Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups
For locally compact groups $K, M$, and $N$ such that $M$ and $N$ are subgroups of $K, K = M ∙ N$ and $M ∩ N = \{e\}$, where $e$ is the identity of the group $K$, we give a complete description and propose a method for the construction of pairs of continuous cocycles used in the structure of bicrosse...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3016 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509031884390400 |
|---|---|
| author | Podkolzin, G. B. Chapovsky, Yu. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. |
| author_facet | Podkolzin, G. B. Chapovsky, Yu. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. |
| author_sort | Podkolzin, G. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:20Z |
| description | For locally compact groups $K, M$, and $N$ such that $M$ and $N$ are subgroups of $K, K = M ∙ N$ and $M ∩ N = \{e\}$, where $e$ is the identity of the group $K$, we give a complete description and propose a method for the construction of pairs of continuous cocycles used in the structure of bicrossed product with cocycles in terms of continuous 2-cocycles on the groups $M, N$, and $$K and 3-cocycles on the group $K$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.664.3
Г. Б. Подколзин, Ю. А. Чаповский (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ
ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ
ЛОКАЛЬНО КОМПАКТНЫХ ГРУПП*
For locally compact groups K, M, N such that M, N are subgroups of K, K = M ·N and M ∩N = {e},
where e is the identity of the group K, we give a complete description and propose the method of the
construction of pairs of continuous cocycles that are used in the bicrossed product with cocycles in terms of
continuous 2-cocycles on the groups M, N, K and 3-cocycles on the group K.
Для локально компактних груп K, M, N таких, що M, N — пiдгрупи K, K = M ·N i M∩N = {e}, де e
— одиниця групи K, наведено повний опис та побудову пар неперервних коциклiв, що використовуються
в конструкцiї подвiйного схрещеного добутку з коциклами в термiнах неперервних 2-коциклiв на групах
M, N, K i 3-коциклiв на групi K.
1. Введение. Конструкция двойного скрещенного произведения конечных групп
с коциклами была предложена Г. И. Кацем в [1] для построения примеров ко-
нечномерных кольцевых групп, называемых сейчас конечномерными алгебрами
Каца. Далее эта конструкция обобщалась для локально компактных групп в [2], и
наиболее общая конструкция дана в [3], примеры для малых размерностей приве-
дены в [4]. Для конечномерных алгебр Хопфа аналогичная конструкция исследо-
вана в [5]. Коциклы, содержащиеся в конструкции, образуют группу, которая для
конечномерных алгебр Каца была охарактеризована в терминах точной последова-
тельности в [1]. Далее этот результат был обобщен для измеримых коциклов в [6].
Аналогичный результат для конечномерных биалгебр Ли получен в [7].
Однако при применении конструкции двойного скрещенного произведения
групп возникает необходимость явно вычислять представители группы коциклов.
Этот вопрос и решается в настоящей статье для непрерывных коциклов. Дается но-
вое доказательство точности последовательности Каца в терминах неоднородных
коциклов. Это позволяет получить явную формулу для нахождения всех непрерыв-
ных коциклов в терминах обычных непрерывных 2- и 3-коциклов на группах, что
является основным результатом настоящей статьи.
В случае, когда рассматривается двойное скрещенное произведение групп Ли
и одна из подгрупп одномерна, алгоритм для построения некоторых пар коциклов
был предложен в [3]. Другой алгоритм для нахождения пар коциклов для групп
Ли, при выполнении некоторых дополнительных условий, предложен в [8] (см.
также [9]).
Статья построена следующим образом. В п. 2 приведены необходимые опреде-
ления и результаты. В п. 3 доказана точность последовательности Каца в терминах
неоднородных коциклов и изложен основной результат статьи. В п. 4 приведен при-
мер нильпотентной группы Z(3) верхнетреугольных матриц порядка 3 с единицей
на главной диагонали. Этот пример, в числе других, был рассмотрен в [4], однако
мы используем его в качестве иллюстрации использования основного результата
статьи.
2. Определения и обозначения. Всюду далее под группой понимаем ло-
кально компактную группу. Элементы групп K, M, N будем обозначать k, k1, . . .
*Частично поддержана научной программой НАН Украины (проект № 0107U002333).
c© Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2 243
244 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
. . . , m,m1, . . . , n, n1, . . . . Множества натуральных, целых, действительных чисел
обозначаем N , Z , R соответственно. Будем рассматривать T = R /Z как комму-
тативную группу по сложению с естественной топологией. Для топологических
пространств X, Y множество непрерывных функций на X со значением в Y обо-
значается через C(X,Y ).
Пусть M, N — подгруппы группы K такие, что
K = M ·N и M ∩N = {e}, (1)
где e — единичный элемент группы K. Пару (M,N) будем называть парой согла-
сованных групп. Представление (1) для элементов группы K означает, что каждый
элемент k ∈ K может быть представлен в виде k = m ·n, m ∈M, n ∈ N, и притом
однозначно. Это свойство порождает левое действие . : N ×M →M группы N на
множестве группы M и правое действие / : N ×M → N группы M на множестве
группы N, определяемые равенством
n ·m = (n . m) · (n / m), m ∈M, n ∈ N, (2)
и удовлетворяющие соотношениям
n . (m1 ·m2) = (n . m1) · ((n / m1) . m2),
(n1 · n2) / m = (n1 / (n2 . m)) · (n2 / m).
(3)
Для сокращения обозначений мы часто будем опускать точку в произведении
элементов группы и, записывая произведение и действие вместе, будем иметь в
виду, что произведение предшествует действию. Например, n . m1m2 = n1 .
. (m1m2) и n1n2 .m = (n1n2) . m. Те же соглашения предполагаются для правого
действия.
Напомним, что для группы G с единицей e рассматриваются тривиальные G-
модули
Cn(G) =
{
f ∈ C(Gn,T ) | f(g1, . . . , gn) = 0,
если gi = e для некоторого i = 1, . . . , n
}
непрерывных T -значных неоднородных нормализованных n-коцепей на группе
G и последовательность морфизмов dn : Cn(G) → Cn+1(G), определяемых для
f ∈ Cn(G) формулой
(d nf)(g1, . . . , gn+1) = f(g2, . . . , gn+1) +
+
n∑
i=1
(−1)if(g1, . . . , gigi+1, . . . , gn+1) + (−1)n+1f(g1, . . . , gn). (4)
При этом используются следующие обозначения: Zn(G) = Ker dn — группа n-
коциклов, Bn(G) = Im dn−1 — группа n-кограниц, Hn(G) = Zn(Z)/Bn(G) —
группа непрерывных когомологий группы G со значениями в T (см. [10]).
Пусть (M,N) — согласованная пара локально компактных групп.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 245
Определение 1. Пара (u, v) непрерывных функций u : N ×M ×M → T и
v : N × N × M → T называется парой коциклов на согласованной паре групп
(M,N), если непрерывная функция fu,v : K3 → T , определенная как
fu,v(k1, k2, k3) = u(n1,m2, n2 . m3) + v(n1 / m2, n2,m3), (5)
где ki = mini, i = 1, 2, 3, является неоднородным нормализованным 3-коциклом
на группе K.
Две пары коциклов (u1, v1) и (u2, v2) на согласованной паре (M,N) называются
эквивалентными, если существует r ∈ C2(K) такая, что
r(k1, k2) = r(n1,m2) (6)
для всех ki ∈ K, где ki = mini, i = 1, 2, и
fu2,v2 − fu1,v1 = d 2r. (7)
Замечание 1. Г. И. Кац в [1] определил пару коциклов и их эквивалентность
посредством соотношений, которые, как показано в [11], эквивалентны условиям
определения 1.
Множество классов эквивалентности [u, v] пар коциклов на согласованной паре
групп (M,N) образуют группу относительно поточечного сложения, т. е. [u1, v1]+
+ [u2, v2] = [u1 + u2, v1 + v2]. Эту группу далее обозначим E(M,N).
Замечание 2. Легко видеть, что f — нормализованный 3-коцикл на K, удов-
летворяющий условию
f(m1n1,m2n2,m3n3) = f(n1,m2n2,m3) (8)
для всех mi ∈ M, ni ∈ N, i = 1, 2, 3, тогда и только тогда, когда пара (u, v)
функций, определенных как ограничения
u = f �N×M×M , v = f �N×N×M , (9)
является парой коциклов на согласованной паре (M,N).
Поэтому, обозначив через MZ3
N (K) подгруппу в Z3(K) 3-коциклов, удовлетво-
ряющих (8), группу E(M,N) будем рассматривать как MZ3
N (K)/ ∼, где соотно-
шение эквивалентности ∼ задается (7) и (6).
3. Точная последовательность Каца. В случае конечныхM иN для описания
группы E(M,N) Г. И. Кац [1] получил длинную точную последовательность
. . . −→ H2(K)
π2
∗−→ H2(M)⊕H2(N) σ∗−→
σ∗−→ E(M,N) ι∗−→ H3(K)
π3
∗−→ H3(M)⊕H3(N) −→ . . . (10)
в терминах однородных коциклов.
Ниже мы определяем явным образом отображения π2
∗, σ∗, ι∗, π
3
∗ в рассматри-
ваемом случае и непосредственно доказываем точность последовательности (10) в
терминах неоднородных коциклов.
π2, π3: Определим π2 : Z2(K) → Z2(M)⊕ Z2(N) на f ∈ Z2(K) как
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
246 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
π2(f) = π2
M (f) + π2
N (f), (11)
где π2
M : Z2(K) → Z2(M) и π2
N : Z2(K) → Z2(N) — соответствующие ограниче-
ния, т. е.
π2
M (f)(m1,m2) = f(m1,m2), π2
N (f)(n1, n2) = f(n1, n2). (12)
Отображения π3
M , π3
N и π3 = π3
M + π3
N определяются аналогичным образом.
σ: Пусть f = fM + fN , где fM ∈ Z2(M), fN ∈ Z2(N). Тогда для ki = mini,
i = 1, 2, 3, положим
σ(fM )(k1, k2, k3) = −fM (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) + fM (m2, n2 . m3),
σ(fN )(k1, k2, k3) = fN (n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3)− fN (n1 / m2, n2).
(13)
ι: Использовав замечание 2, определим ι : MZ3
N (K) → Z3(K) как вложение,
т. е. для f ∈ MZ3
N (K)
ι(f) = f. (14)
Лемма 1. Отображения π2, π3, σ, ι, определенные формулами (11), (13),
(14), корректно определяют гомоморфизмы π2
∗, π
3
∗, σ∗, ι∗ соответствующих групп
в (10).
Доказательство. Корректность определения π2
∗, π
3
∗ очевидна.
Докажем корректность σ∗. Пусть fM ∈ Z2(M). Прежде всего из определе-
ния (13) следует, что σ(fM ) удовлетворяет (8). Теперь докажем, что σ(fM ) ∈
∈ Z3(K). Для ki = mini, i = 1, . . . , 4, используя (4) и (3), имеем
d 3(σ(fM ))(k1, k2, k3, k4) = σ(fM )(m2n2,m3n3,m4n4) −
− σ(fM )(m1n1m2n2,m3n3,m4n4) + σ(fM )(m1n1,m2n2m3n3,m4n4) −
− σ(fM )(m1n1,m2n2,m3n3m4n4) + σ(fm)(m1n1,m2n2,m3n3) =
= σ(fM )(m2n2,m3n3,m4n4)− σ(fM )(m1(n1 . m2)(n1 / m2)n2,m3n3,m4n4) +
+ σ(fM )(m1n1,m2(n2 . m3)(n2 / m3)n3,m4n4) −
− σ(fM )(m1n1,m2n2,m3(n3 . m4)(n3 / m4)n4) +
+ σ(fM )(m1n1,m2n2,m3n3).
Теперь, используя (13) и (3) и приводя подобные члены, получаем
d 3(σ(fM ))(k1, k2, k3, k4) = −fM (n2 . m3, (n2 / m3)n3 . m4) +
+ fM
(
(n1 / m2)n2 . m3, ((n1 / m2)n2 / m3)n3 . m4
)
−
− fM
(
(n1 . m2)((n1 / m2)n2 . m3), (n1 / m2(n2 . m3))(n2 / m3)n3 . m4
)
+
+ fM
(
m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3 . m4
)
+
+ fM
(
n1 . m2, ((n1 / m2)n2 . m3)(((n1 / m2)n2 / m3)n3 . m4)
)
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 247
− fM
(
m2, (n2 . m3)((n2 / m3)n3 . m4)
)
−
− fM (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) + fM (m2, n2 . m3) =
= −(d2fM )(m2, n2 . m3, (n2 / m3)n3 . m4) +
+ (d2fM )(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, ((n1 / m2)n2 / m3)n3 . m4).
Последнее выражение равно 0, так как fM ∈ Z2(M).
Пусть теперь fM ∈ B2(M), т. е. fM = d 1rM для некоторой rM ∈ C1(M).
Тогда
σ(fM )(k1, k2, k3) = σ(d 1rM )(m1n1,m2n2,m3n3) =
= −d 1rM (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) + d 1rM (m2, n2 . m3) =
= −rM
(
(n1 / m2)n2 . m3
)
+ rM
(
(n1 . m2)((n1 / m2)n2 . m3
)
− rM (n1 . m2) +
+ rM (n2 . m3)− rM
(
m2(n2 . m3)
)
+ rM (m2).
Определяя 2-коцепь r на K формулой
r(m1n1,m2n2) = rM (n1 . m2)− rM (m2),
получаем σ(fM ) = d2r. Кроме того, r удовлетворяет условию (6). Следовательно,
σ(fM ) — тривиальный элемент E(M,N).
Аналогичные рассуждения проводим для fN ∈ Z2(N).
Наконец, корректность ι∗ непосредственно следует из определения E(M,N)
(см. замечание 2).
Лемма доказана.
Утверждение 1. Последовательность (10) точна в члене H2(M)⊕H2(N).
Доказательство. Везде ниже ki = mini, ki ∈ K, mi ∈M, ni ∈ N, i ∈ N .
Прежде всего заметим, что если f ∈ Z2(K), то d 2f = 0 и, следовательно,
f(k1k2, k3) = f(k2, k3) + f(k1, k2k3)− f(k1, k2), (15)
f(k1, k2k3) = f(k1, k2) + f(k1k2, k3)− f(k2, k3) (16)
для всех k1, k2, k3 ∈ K.
Теперь докажем, что σ∗ ◦π2
∗ = 0. Пусть f ∈ Z2(K). По определению (11) и (13)(
(σ ◦ π2)(f)
)
(k1, k2, k3) = f
(
n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3
)
− f(n1 / m2, n2) −
− f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3
)
+f(m2, n2 . m2). (17)
Покажем, что
(σ ◦ π2)(f) = d 2r,
где
r(k1, k2) = −f(n1,m2) + f(n1 . m2, n1 / m2).
Заметим, что r удовлетворяет (6). Далее,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
248 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
d 2r(k1, k2, k3) = r(k2, k3)− r(k1k2, k3) + r(k1, k2k3)− r(k1, k2) =
= r(n2,m3)− r
(
(n1 / m2)n2,m3
)
+ r
(
n1,m2(n2 . m3)
)
− r(n1,m2) =
= −f(n2,m3) + f(n2 . m3, n2 / m3) +
+ f
(
(n1 / m2)n2,m3
)
− f
(
(n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3
)
−
− f
(
n1,m2(n2 . m3)
)
+ f
(
n1 . m2(n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3)
)
+
+f(n1,m2)− f(n1 . m2, n1 / m2).
Применяя (3) к четвертому и шестому членам последнего выражения, имеем
d 2ϕ(k1, k2, k3) = −f(n2,m3) + f(n2 . m3, n2 / m3) +
+ f
(
(n1 / m2) · n2,m3
)
−
− f
(
(n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2(n2 . m3)) · (n2 / m3)
)
−
− f
(
n1,m2 · (n2 . m3)
)
+
+ f
(
(n1 . m2) · ((n1 / m2)n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3)
)
+
+ f(n1,m2)− f(n1 . m2, n1 / m2).
Применяя свойства 3-коцикла (15) и (16) к третьему, четвертому, пятому и шестому
членам и сокращая подобные, находим
d 2r(k1, k2, k3) = f(n2 . m3, n2 / m3) + f(n1 / m2, n2m3)− f(n1 / m2, n2) −
− f
(
((n1 / m2)n2 . m3) · (n1 / m2(n2 . m3)), n2 / m3
)
+
+ f(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) −
− f(n1m2, n2 . m3) + f(m2, n2 . m3) +
+ f
(
n1 . m2, ((n1 / m2)n2 . m3) · (n1 / m2(n2 . m3))
)
−
− f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3
)
− f(n1 . m2, n1 / m2).
Далее, применяя определения левого и правого действий (2) ко второму, четвертому,
шестому и восьмому слагаемым, получаем
d 2r(k1, k2, k3) = f(n2 . m3, n2 / m3) + f
(
n1 / m2, (n2 . m3) · (n2 / m3)
)
−
− f(n1 . m2, n2)− f
(
(n1 / m2) · (n2 . m3), n2 / m3
)
+
+ f(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3)− f
(
(n1 . m2) · (n1 / m2), n2 . m3
)
+
+ f(m2, n2 . m3) + f
(
n1 . m2, (n1 / m2) · (n2 . m3)
)
−
− f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3
)
− f(n1 . m2, n1 / m2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 249
Снова применяя (15) к четвертому слагаемому и (16) к шестому и приводя подоб-
ные члены, находим выражение в правой части (17).
Пусть теперь fM ∈ Z2(M), fN ∈ Z2(N) такие, что σ(fM + fN ) = d 2r для
некоторой r ∈ C2(K), удовлетворяющей (6), т. е.
d 2r(k1, k2, k3) = −fM (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) + fM (m2, n2 . m3) +
+ fN (n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3)− fN (n1 / m2, n2). (18)
Построим f ∈ Z2(K) так, чтобы π2
M (f) = fM и π2
N (f) = fN . Для этого положим
f = f̃ − r, (19)
где
f̃(k1, k2) = fM (m1, n1 . m2) + fN (n1 / m2, n2). (20)
Прежде всего докажем, что f ∈ Z2(K). Используя (2), имеем
d 2f̃(k1, k2, k3) = f̃(k2, k3)− f̃
(
m1(n1 . m2)(n1 / m2)n2, k3
)
+
+ f̃
(
k1,m2(n2 . m3)(n2 / m3)n3
)
− f̃(k1, k2).
Используя определение (20), свойства (3) и меняя порядок слагаемых, находим
d 2f̃(k1, k2, k3) = fM (m2, n2 . m3)− fM (m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2 . m3) +
+ fM
(
m1, (n1 . m2) · ((n1 / m2)n2 . m3)
)
− fM (m1, n1 . m2) +
+ fN (n2 / m3, n3)− fN
(
(n1 / m2(n2 . m3)) · (n2 / m3), n3
)
+
+ fN (n1 / m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3)− fN (n1 / m2, n2).
Используя (15) для третьего и (16) для шестого слагаемых и приводя подобные
члены, получаем правую часть формулы (18). Таким образом, d 2f̃ = d 2r. Это
доказывает, что d f = 0 и f, определенная (19), является 2-коциклом на K.
Из определения (20) следует, что π2
M (f̃) = fM и π2
N (f̃) = fN , поскольку r
удовлетворяет (6) и является нормализованной коцепью, так что π2
M (r) = π2
N (r) =
= 0.
Утверждение доказано.
Утверждение 2. Последовательность (10) точна в члене E(M,N).
Доказательство. Сначала покажем, что
ι∗ ◦ σ∗ = 0. (21)
Пусть fM ∈ Z2(M). Найдем ϕM ∈ C2(K) такую, что
(ι ◦ σ)(f) = d 2ϕM . (22)
По определению
(ι ◦σ)(fM )(k1, k2, k3) = −fM (n1 .m2, (n1 /m2)n2 .m3)+ fM (m2, n2 .m3). (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
250 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
Положим
ϕM (k1, k2) = fM (m1, n1 . m2). (24)
Имеем
d 2ϕM (k1, k2, k3) = ϕM (k2, k3)− ϕM (m1(n1 . m2)(n1 / m2)n2, k3) +
+ ϕM (k1,m2(n2 . m3)(n2 / m3)n3)− ϕM (k1, k2),
где использовано тождество (2). По определению (24) имеем
d 2ϕM (k1, k2, k3) = fM (m2, n2 . m3)− fM (m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2 . m3) +
+ fM
(
m1, (n1 . m2) · ((n1 / m2)n2 . m3)
)
− fM (m1, n1 . m2),
где в третьем слагаемом использовано тождество из (3). Теперь, используя тож-
дество (16) для третьего слагаемого и приводя подобные члены, получаем правую
часть равенства (23).
Аналогичные вычисления показывают, что, определяя ϕN (k1, k2) = fN (n1 /
/ m2, n2) для fN ∈ Z2(N), имеем (ι ◦ σ)(fN ) = d 2ϕN .
Это доказывает (21).
Пусть теперь f ∈ MZ3
N (K), причем ι∗[f ] = 0 в H3(K), т. е.
f(k1, k2, k3) = d 2ϕ(k1, k2, k3) (25)
для некоторой коцепи ϕ ∈ C2(K), и докажем, что существуют fM ∈ Z2(M) и
fN ∈ Z2(N) такие, что f ∼ σ(fM + fN ), где эквивалентность определяется (7).
Поскольку f — нормализованный 3-коцикл, удовлетворяющий (8), из тождест-
ва (25) следует, что для всех k1, k2, k3 ∈ K, m1 ∈M, n3 ∈ N
d 2ϕ(m1, k2, k3) = 0, (26)
d 2ϕ(k1, k2, n3) = 0, (27)
а отсюда — что
π2
M (ϕ) ∈ Z2(M), π2
N (ϕ) ∈ Z2(N), (28)
а также
ϕ(m1k2, k3) = ϕ(k2, k3) + ϕ(m1, k2k3)− ϕ(m1, k2), (29)
ϕ(k1, k2n3) = ϕ(k1, k2) + ϕ(k1k2, n3)− ϕ(k2, n3). (30)
Как следует из (5),
f(k1, k2, k3) = f(n1 / m2, n2,m3) + f(n1,m2, n2 . m3) =
= d 2ϕ(n1 / m2, n2,m3) + d 2ϕ(n1,m2, n2 . m3) =
= ϕ(n2,m3)− ϕ
(
(n1 / m2)n2,m3
)
+ ϕ(n1 / m2, n2m3) −
− ϕ(n1 / m2, n2) + ϕ(m2, n2 . m3)− ϕ(n1m2, n2 . m3) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 251
+ ϕ
(
n1,m2(n2 . m3)
)
− ϕ(n1,m2). (31)
Рассмотрим шестое слагаемое в последнем выражении. Используя (2), (29), (30),
имеем
ϕ(n1m2, n2 . m3) = ϕ
(
(n1 . m2)(n1 / m2), n2 . m3
)
=
= ϕ(n1 / m2, n2 . m3) + ϕ
(
n1 . m2, (n1 / m2)(n2 . m3)
)
−
− ϕ(n1 . m2, n1 / m2) =
= ϕ(n1 / m2, n2 . m3) + ϕ
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3)(n1 / m2(n2 . m3)
)
−
−ϕ(n1 . m2, n1 / m2) =
= ϕ(n1 / m2, n2 . m3) + ϕ(n1 / m2, (n1 / m2)n2 . m3) +
+ ϕ
(
(n1 / m2)((n1 / m2)n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3)
)
−
− ϕ
(
(n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3)
)
− ϕ(n1 . m2, n1 / m2). (32)
Точно так же для третьего слагаемого в последнем выражении (31) находим
ϕ(n1 / m2, n2m3) = ϕ(n1 / m2, n2 . m3) + ϕ(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) +
+ ϕ
(
(n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2(n2 . m3))(n2 / m3)
)
−
− ϕ
(
(n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3)
)
− ϕ(n2 / m3, n2 . m3). (33)
Определим
r1(k1, k2) = ϕ(n1,m2), r2(k1, k2) = ϕ(n1 . m2, n1 / m2). (34)
Заметим, что r1 и r2 удовлетворяют условию (6). Имеем
d 2r1(k1, k2, k3) = ϕ(n2,m3)− ϕ
(
(n1 / m2)n2,m3
)
+
+ ϕ
(
n1,m2(n2 . m3)
)
− ϕ(n1,m2),
(35)
d 2r2(k1, k2, k3) = ϕ(n2 . m3, n2 / m3) −
− ϕ
(
(n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3
)
+
+ ϕ
(
n1 / m2(n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3)
)
−
− ϕ(n1 . m2, n1 / m2).
Подставляя (33), (32) в (31) и используя (35), после приведения подобных членов
получаем
(f − d 2r1 + d 2r2)(k1, k2, k3) =
= −ϕ(n1 / m2, n2) + ϕ(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
252 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
+ ϕ(m2, n2 . m2)− ϕ(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) =
= σ
(
π2
M (ϕ) + π2
N (ϕ)
)
(k1, k2, k3).
Остается положить fM = π2(ϕ), fN = π2
N (ϕ).
При доказательстве точности в члене H3(K) будет использовано представле-
ние (37).
Лемма 2. Пусть f ∈ Z3(K), ki = mini, i = 1, 2, 3. Тогда, определяя ϕ ∈
∈ C2(K) как
ϕ(k1, k2) = f(m1, n1, k2)− f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2) −
− f(n1,m2, n2) + f(n1 . m2, n1 / m2, n2), (36)
имеем
f(k1, k2, k3)− dϕ(k1, k2, k3) = f(n1 / m2, n2,m3) + f(n1,m2, n2 . m3) +
+ f((n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) +
+ f(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3)) −
− f(n1 . m2, n1 / m2, n2 . m3)− f(n1 / m2, n2 . m3, n2 / m3) +
+ f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) + f(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3, n3). (37)
Доказательство. Прежде всего заметим, что f ∈ Z3(K) эквивалентно каждо-
му из следующих тождеств:
f(k1 · k2, k3, k4) = f(k2, k3, k4) + f(k1, k2k3, k4)− f(k1, k2, k3k4) + f(k1, k2, k3),
(38)
f(k1, k2 · k3, k4) = f(k1k2, k3, k4)− f(k2, k3, k4) + f(k1, k2, k3k4)− f(k1, k2, k3),
(39)
f(k1, k2, k3 · k4) = f(k1, k2, k3) + f(k1, k2k3, k4)− f(k1k2, k3, k4) + f(k2, k3, k4),
(40)
точки в левых частях которых указывают на раскладываемые произведения.
Как и ранее, ki = mini, где ki ∈ K, mi ∈M, ni ∈ N, i = 1, 2, 3. Итак, имеем
f(k1, k2, k3) = f(m1 · n1, k2, k3) =
= f(n1, k2, k3) + f(m1, n1k2, k3)− f(m1, n1, k2k3) + f(m1, n1, k2).
Применяя (39) к первому слагаемому f(n1, k2, k3) = f(n1,m2 ·n2, k3) и ко второму
f(m1, n1k2, k3) = f(m1, (n1.m2) ·(n1/m2)n2, k3) и меняя порядок суммирования,
получаем
f(k1, k2, k3) = f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2k3)− f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2) +
+ f(m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2, k3)− f(n1 . m2, (n1 / m2)n2, k3) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 253
+ f(n1,m2, n2k3)− f(n1,m2, n2) + f(n1m2, n2, k3) −
− f(m2, n2, k3)− f(m1, n1, k2k3) + f(m1, n1, k2).
Поскольку для ϕ1(k1, k2) = f(m1, n1, k2)
d 2ϕ1(k1, k2, k3) = f(m2, n2, k3)− f(m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2, k3) +
+ f(m1, n1, k2k3)− f(m1, n1, k2),
то
(f + d 2ϕ1)(k1, k2, k3) =
= f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2k3)− f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2) −
− f(n1 / m2, (n1 / m2)n2, k3) + f(n1,m2, n2k3) −
− f(n1,m2, n2) + f(n1m2, n2, k3). (41)
Полагая ϕ2(k1, k2) = f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2), находим
d 2ϕ2(k1, k2, k3) = f(m2, n2 . m3, (n2 / m3)n3) −
− f
(
m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2 . m3, ((n1 / m2)n2 / m3)n3
)
+
+ f(m1, n1 . m2(n2 . m3), ((n1 / m2)n2 / m3)n3) −
− f(m1, n2 . m2, (n1 / m2)n2),
и, следовательно, применяя (40) к первому слагаемому в (41),
f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2k3) =
= f
(
m1, n1 . m2, ((n1 / m2)n2 . m3) · ((n1 / m2)n2 / m3)
)
,
и к четвертому слагаемому в (41),
f(n1,m2, n2k3) = f(n1,m2, (n2 . m3) · (n2 / m3)n3),
имеем
(f + d 2ϕ1 − d 2ϕ2)(k1, k2, k3) = f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) +
+ f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, ((n1 / m2)n2 / m3)n3
)
−
− f(n1 / m2, (n1 / m2)n2, k3) + f(n1,m2, n2 . m3) +
+ f(n1,m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3) −
− f(n1m2, n2 . m3, (n2 / m3)n3)− f(n1,m2, n2) + f(n1m2, n2, k3). (42)
Положим ϕ3(k1, k2) = f(n1,m2, n2). Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
254 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
d 2ϕ3(k1, k2, k3) = f(n2,m3, n3)− f
(
(n1 / m2)n2,m3, n3
)
+
+ f(n1,m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3)− f(n1,m2, n2). (43)
Продолжая преобразовывать (42), обозначим
f7(k1, k2, k3) = f(k1, k2, k3)− f(m1, n1 . m2, (n1 / m2) . m3)
и применим (40) к последнему слагаемому в (42), f(n1m2, n2, k3) = f(n1m2, n2,
m3 · n3). С учетом (43) получим
(f7 + d 2ϕ1 − d 2ϕ2 − d 2ϕ3)(k1, k2, k3) =
= f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, ((n1 / m2)n2 / m3)n3
)
−
− f(n1 . m2, (n1 / m2)n2,m3) −
− f(n1 . m2, (n1 / m2)n2m3, n3) + f(n1,m2, n2 . m3) −
− f(n1m2, n2 . m3, (n2 / m3)n3) + f(n1m2, n2,m3) + f(n1m2, n2m3, n3). (44)
Обозначая
f27(k1, k2, k3) = f7(k1, k2, k3)− f(n1,m2, n2 . m3)
и раскладывая третье слагаемое в (44),
f(n1 . m2, (n1 / m2)n2m3, n3) =
= f(n1 . m2, ((n1 / m2)n2 . m3) · ((n1 / m2)n2 / m3), n3),
и последнее слагаемое в (44),
f(n1m2, n2m3, n3) = f(n1m2, (n2 . m3) · (n2 / m3), n3),
имеем
(f27 + d 2ϕ1 − d 2ϕ2 − d 2ϕ3)(k1, k2, k3) =
= −f(n1 . m2, (n1 / m2)n2,m3) −
− f(n1 . m2(n2 . m3), (n1 / m2)n2 / m3, n3) +
+ f
(
(n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3, n3
)
+
+ f(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3) + f(n1m2, n2,m3) −
− f(n1m2, n2 . m3, n2 / m3) + f(n1m2(n2 . m3), n2 / m3, n3) −
− f(n2 . m3, n2 / m3, n3). (45)
Полагая ϕ4(k1, k2) = f(n1 . m2, n1 / m2, n2), находим
d 2ϕ4(k1, k2, k3) = f(n2 . m3, n2 / m3, n3) −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 255
− f
(
(n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3, n3
)
+
+ f(n1 . m2(n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3)− f(n1 . m2, n1 / m2, n2),
и, раскладывая пятый, шестой и седьмой члены в (45),
f(n1m2, n2,m3) = f
(
(n1 . m2) · (n1 / m2), n2,m3
)
,
f(n1m2, n2 . m3, n2 / m3) = f
(
(n1 . m2) · (n1 / m2), n2 . m3, n2 / m3
)
,
f
(
n1m2(n2 . m3), n2 / m3, n3) =
= f
(
(n1 . m2(n2 . m3)) · (n1 / m2(n2 . m3)), n2 / m3, n3),
используя (40) и меняя порядок слагаемых, получаем
(f27 + d 2ϕ1 − d 2ϕ2 − d 2ϕ3 + d 2ϕ4)(k1, k2, k3) =
= f(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3) +
+ f(n1 / m2, n2,m3)− f(n1 / m2, n2 . m3, n2 / m3) −
− f(n1 . m2, (n1 / m2)(n2 . m3), n2 / m3)− f(n1 . m2, n1 / m2, n2 . m3) +
+ f(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3, n3) +
+ f(n1 . m2(n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3). (46)
Рассматривая сумму первого, четвертого и седьмого слагаемых в (46), применяя (3),
(2) и (39), имеем
f(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2)n2 / m3) −
− f(n1 . m2, (n1 / m2)(n2 . m3), n2 / m3) +
+ f(n1 . m2(n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) =
= f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, (n1 / m2(n2 . m3))(n2 / m3)
)
−
− f
(
n1 . m2, ((n1 / m2)n2 . m3) · (n1 / m2(n2 . m3)), n2 / m3
)
+
+ f
(
(n1 . m2)((n1 / m2)n2 . m3), n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3
)
=
= f
(
(n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3
)
+
+ f
(
n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3)
)
,
что вместе с (46) завершает доказательство формулы (37).
Лемма доказана.
Следствие 1. Пусть f ∈ Z3(K) такой, что π3
M (f) = d 2ψM , π3
N (f) =
= d 2ψN для некоторых ψM ∈ C2(M), ψN ∈ C2(N). Тогда
f(k1, k2, k3)− d 2(ϕ+ ψ)(k1, k2, k3) = f(n1 / m2, n2,m3) + f(n1,m2, n2 . m3) +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
256 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
+ f((n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) +
+ f(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3)) −
− f(n1 . m2, n1 / m2, n2 . m3)− f(n1 / m2, n2 . m3, n2 / m3) +
+ ψM (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3)− ψM (m2, n2 . m3) −
− ψN (n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) + ψN (n1 / m2, n2), (47)
где ϕ определено в (36), а
ψ(k1, k2) = ψM (m1, n1 . m2) + ψN (n1 / m2, n2). (48)
Доказательство. Рассмотрим два последних члена в (37). Из условия след-
ствия имеем
f(m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) =
= d 2ψM (m1, n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3) =
= ψM (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3)− ψM (m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2 . m3) +
+ ψM
(
m1, (n1 . m2)((n1 / m2)n2 . m3)
)
− ψM (m1, n1 . m2),
(49)
f(n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3, n3) = d 2ψN (n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3, n3) =
= ψN (n2 / m3, n3)− ψN
(
(n1 / m2(n2 . m3))(n2 / m3), n3
)
+
+ ψN (n1 / m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3)− ψN (n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3).
Из (48) следует, что
(d 2ψ)(k1, k2, k3) = ψ(k2, k3)− ψ(m1(n1 . m2)(n1 / m2)n2, k3) +
+ ψ(k1,m2(n2 . m3)(n2 / m3)n3)− ψ(k1, k2) =
= ψM (m2, n2 . m3)− ψM (m1(n1 . m2), (n1 / m2)n2 . m3) +
+ ψM
(
m1, (n1 . m2)((n1 / m2)n2 . m3)
)
− ψM (m1, n1 . m2) +
+ ψN (n2 / m3, n3)− ψN
(
(n1 / m2(n2 . m3))(n2 / m3), n3) +
+ ψN (n1 / m2(n2 . m3), (n2 / m3)n3)− ψN (n1 / m2, n2). (50)
Подставляя выражения (49) и (50) в (37), получаем (47).
Утверждение 3. Последовательность (10) точна в члене H3(K).
Доказательство. Из описания группы E(M,N) (см. замечание 2) непосред-
ственно следует, что (π3 ◦ ι)(f) = 0 для произвольного нормализованного f ∈
∈ MZ3
N (K).
Пусть теперь f ∈ Z3(K) и [f ] ∈ Kerπ3
∗, т. е. π3
M (f) = dψM , π3
N (f) = dψN для
некоторых ψM ∈ C3(M), ψN ∈ C3(N). Тогда f эквивалентен нормализованному
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 257
коциклу, определяемому правой частью (47), которая не зависит от m1, n3, т. е.
удовлетворяет (8). Это означает, что правая часть (47) задает элемент из MZ3
N (K)
и, следовательно, элемент из E(M,N), что и завершает доказательство.
Следующий результат непосредственно следует из утверждения 3.
Теорема. Определим отображение τ : Kerπ3
∗ → MZ3
N (K) следующим обра-
зом. Зафиксируем набор представителей всех элементов Kerπ3
∗,
A =
{
fα ∈ Z3(K) | Kerπ3
∗ = ∪ [fα]; [fα] 6= [fβ ], α 6= β
}
,
для каждого fα ∈ A зафиксируем ψα
M ∈ C2(M), ψα
N ∈ C2(N) так, что π3
M (fα) =
= d 2ψα
M , π3
N (fα) = d 2ψα
N , положим
τ([fα])(k1, k2, k3) = fα(n1 / m2, n2,m3) + fα(n1,m2, n2 . m3) +
+ fα((n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) +
+ fα(n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3, n1 / m2(n2 . m3)) −
− fα(n1 . m2, n1 / m2, n2 . m3)− fα(n1 / m2, n2 . m3, n2 / m3) +
+ ψα
M (n1 . m2, (n1 / m2)n2 . m3)− ψα
M (m2, n2 . m3) −
− ψα
N (n1 / m2(n2 . m3), n2 / m3) + ψα
N (n1 / m2, n2), (51)
и, наконец, τ∗ : Kerπ3
∗ → E(M,N) — отображение, индуцированное τ. Тогда τ∗ —
сечение ι∗ в короткой точной последовательности
0 −→
(
H2(M)⊕H2(N)
)
/Imπ2
∗
σ̃∗−−→ E(M,N)
ι∗−−→
L99
τ∗
Kerπ3
∗ −→ 0, (52)
где σ̃∗ — отображение, индуцированное σ∗ в (10).
Следствие 2. Пусть σ̃∗ и τ∗ определены, как в теореме 3. Тогда
E(M,N) = Im σ̃∗ + Im τ∗.
4. Пример: группа Z(3). В этом пункте верхний индекс используется для
обозначения элементов групп, т. е. k, k1, . . . ∈ K, m,m1, . . . ∈M, n, n1, . . . ∈ N.
Пусть K = Z(3), — группа верхнетреугольных матриц порядка 3 с единицами
на главной диагонали, т. е.
K = {k(k12, k23, k13) | k12, k23, k13 ∈ R } ,
k(k12, k23, k13) =
1 k12 k13
0 1 k23
0 0 1
,
и
M =
{
m(m23,m13) | m23,m13 ∈ R
}
, m(m23,m13) =
1 0 m13
0 1 m23
0 0 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
258 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
N = {n(n12) | n12 ∈ R }, n(n12) =
1 n12 0
0 1 0
0 0 1
.
Условия (1) выполнены. Кроме этого, для m ∈M, n ∈ N
n(n12) . m(m23,m13) = m(m23,m13 + n12m23),
n(n12) / m(m23,m13) = n(n12).
(53)
Рассмотрим группы Hn(K,T ), n ∈ N , непрерывных когомологий со значе-
ниями в T . Как известно, короткая точная последовательность тривиальных K-
модулей
0 → Z → R → T → 0
порождает длинную точную последовательность
. . .→ Hn(K,Z ) → Hn(K,R ) → Hn(K,T ) → Hn+1(K,Z ) → . . .
и, поскольку группаK связна и коцепи — непрерывные функции, группыHn(K,Z ),
n ∈ N , тривиальны, следовательно, группы Hn(K,T ) и Hn(K,R ) изоморфны.
Кроме того, K — группа Ли, а значит [10], Hn(K,R ) совпадает с Hn
diff(K,R ) —
соответствующей группой бесконечно дифференцируемых когомологий. Кроме то-
го, максимальная компактная подгруппа в K тривиальна и, cогласно теореме ван
Эста [10], Hn(K,R ) и Hn(k,R ), n ∈ N , изоморфны, где k — алгебра Ли группы
K, а R — тривиальный k-модуль.
Аналогично, группы H2(M,T ), H2(N,T ) изоморфны группам H2(m,R ),
H2(n,R ) соответственно, где m, n — соответствующие алгебры Ли групп Ли
M, N.
Непосредственные вычисления показывают, что
H2(k,R ) = H2(m,R )⊕H2(n,R ).
Поэтому группа (
H2(M)⊕H2(N)
)
/Imπ2
∗
тривиальна.
Опишем теперь H3(K,R ). Непосредственные вычисления показывают,
что линейное пространство H3(k,R ) одномерно и порождается элементом
F ∈ Hom (Λ3 k,R ), определенным посредством F (Y12, X23, X13) = 1, где Y12 и
X23, X13 — соответствующие матричные единицы, являющиеся базисными элемен-
тами в n и m соответственно и удовлетворяющие коммутационным соотношениям
в k:
[Y12, X13] = 0, [Y12, X23] = X13, [X13, X23] = 0.
Вводя координаты aij , 1 < i < j < 3, на K посредством aij(k) = kij , левоин-
вариантную дифференциальную 3-форму на K, соответствующую F, записываем
в виде
ω = da12 ∧ da23 ∧ da13. (54)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
ПОСТРОЕНИЕ НЕПРЕРЫВНЫХ КОЦИКЛОВ ДЛЯ ДВОЙНОГО СКРЕЩЕННОГО ... 259
Поэтому [10], рассматривая стандартный 3-симплекс ∆3 в R 3 с координатами
(t1, t2, t3), т. е.
∆3 =
{
(t1, t2, t3) ∈ R 3
∣∣ 0 ≤ t1, t2, t3 ≤ 1, t1 + t2 + t3 ≤ 1
}
,
полагая
s1(t1) = t1, s2(t1, t2) =
t2
1− t1
, s3(t1, t2, t3) =
t3
1− t1 − t2
и определяя отображение γt : K → K для каждого t ∈ [0, 1] посредством
γt(k) = tk + (1− t)e, (55)
где элементы k, e ∈ K рассматриваются как матрицы, а e— единица вK, для фикси-
рованных k1, k2, k3 ∈ K получаем сингулярный 3-симплекс σ(k1, k2, k3) : ∆3 →
→ K, определенный посредством формулы
σ(k1, k2, k3)(t1, t2, t3) = γs1(t1)
(
k1γs2(t1,t2)
(
k2γs3(t1,t2,t3)(k
3)
))
. (56)
Следовательно, 3-коцикл f ∈ Z3(K,R ) можно найти как [10]
f(k1, k2, k3) =
∫
σ(k1,k2,k3)
ω.
Имеем
(da12 ∧ da23 ∧ da13)(σ(k1, k2, k3)) =
=
∣∣∣∣∣∣∣∣
k1
12 k1
23 k1
13
k2
12 k2
23 k2
13 + k1
12k
2
23
k3
12 k3
23 k3
13 + k1
12k
3
23 + k2
12k
3
23
∣∣∣∣∣∣∣∣ dt1 ∧ dt2 ∧ dt3,
где ki = ki(ki
12, k
i
23, k
i
13), i = 1, 2, 3. Следовательно,
f(k1, k2, k3) =
1
6
∣∣∣∣∣∣∣∣
k1
12 k1
23 k1
13
k2
12 k2
23 k2
13 + k1
12k
2
23
k3
12 k3
23 k3
13 + k1
12k
3
23 + k2
12k
3
23
∣∣∣∣∣∣∣∣ .
Непосредственно видно, что f ∈ Kerπ3, поэтому выберем ψM ≡ 0, ψN ≡ 0.
Теперь, используя (51), (53), для ki = mini, i = 1, 2, 3, получаем
τ(f)(k1, k2, k3) =
1
2
n1
12
∣∣∣∣∣ m
2
23 m2
13
m3
13 m3
13 + n2
12m
3
23
∣∣∣∣∣ .
Поэтому из (9) следует
u(n1,m2,m3) = αn1
12
∣∣∣∣∣ m
2
23 m2
13
m3
13 m3
13
∣∣∣∣∣ mod Z , v(n1, n2, n3) = 0,
где n1 = n(n1
12), m
i = m(mi
23,m
i
13), i = 2, 3, α ∈ R .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
260 Г. Б. ПОДКОЛЗИН, Ю. А. ЧАПОВСКИЙ
Авторы выражают благодарность А. А. Калюжному за многочисленные полез-
ные обсуждения результатов статьи.
1. Кац Г. И. Расширения групп, являющиеся кольцевыми группами // Мат. сб. – 1968. – 76, № 3. –
С. 473 – 496.
2. Baaj S., Skandalis G. Transformations pentagonales // C. r. Acad. sci. Sér. I. – 1998. – 327. – P. 623 – 628.
3. Vaes S., Vainerman L. Extensions of locally compact quantum groups and the bicrossed product
construction // Adv. Math. – 2003. – 175, № 1. – P. 1 – 101.
4. Vaes S., Vainerman L. On low-dimensional locally compact quantum groups // Locally Compact Quantum
Groups and Groupoids: Proc. meeting Theor. Phys. and Math. / IRMA Lect. Math. and Math. Phys. –
2003. – P. 127 – 187.
5. Majid S. Foundations of quantum group theory. – Cambridge Univ. Press, 1995.
6. Baaj S., Skandalis G., Vaes S. Measurable Kac cohomology for bicrossed products // Trans. Amer. Math.
Soc. – 2005. – 357, № 4. – P. 1497 – 1524.
7. Masuoka A. Extensions of Hopf algebras and Lie bialgebras // Ibid. – 2000. – 352, № 8. – P. 2837 – 3879.
8. Калюжный А. А., Подколзин Г. Б., Чаповский Ю. А. Построение коциклов для двойного скрещен-
ного произведения групп Ли // Функцион. анализ и его прил. – 2006. – 40, № 2. – С. 70 – 73.
9. Калюжный А. А., Подколзин Г. Б., Чаповский Ю. А. Нахождение коциклов в конструкции двойного
скрещенного произведения групп Ли // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 11. – С. 1510 – 1522.
10. Гишарде А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. – М.: Мир, 1984.
11. Chapovsky Yu. A., Kalyuzhnyi A. A., Podkolzin G. B. On the group of extensions for the bicrossed
product construction for a locally compact group // Algebra and Discrete Math. – 2004. – 3. – P. 12 – 19.
Получено 08.08.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3016 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:39Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5f/6ec534ac507d679f955a13a94bd21e5f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30162020-03-18T19:43:20Z Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups Построение непрерывных коциклов для двойного скрещенного произведения локально компактных групп Podkolzin, G. B. Chapovsky, Yu. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. For locally compact groups $K, M$, and $N$ such that $M$ and $N$ are subgroups of $K, K = M ∙ N$ and $M ∩ N = \{e\}$, where $e$ is the identity of the group $K$, we give a complete description and propose a method for the construction of pairs of continuous cocycles used in the structure of bicrossed product with cocycles in terms of continuous 2-cocycles on the groups $M, N$, and $$K and 3-cocycles on the group $K$. Для локально компактних груп $K, M, N$ таких, що $M, N$ — підгрупи $K, K = M ∙ N$ i $M ∩ N = \{e\}$, де $e$ — одиниця групи $K$, наведено повний опис та побудову пар неперервних коциклів, що використовуються в конструкци подвшного схрещеного добутку з коциклами в термінах неперервних 2-коциклів на групах $M, N, K$ i 3-коциклів на групі $K$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3016 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 2 (2009); 243-260 Український математичний журнал; Том 61 № 2 (2009); 243-260 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3016/2781 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3016/2782 Copyright (c) 2009 Podkolzin G. B.; Chapovsky Yu. |
| spellingShingle | Podkolzin, G. B. Chapovsky, Yu. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. Подколзин, Г. Б. Чаповский, Ю. А. Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| title | Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| title_alt | Построение непрерывных коциклов для двойного
скрещенного произведения локально компактных групп |
| title_full | Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| title_fullStr | Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| title_full_unstemmed | Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| title_short | Construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| title_sort | construction of continuous cocycles for the bicrossed product of locally compact groups |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3016 |
| work_keys_str_mv | AT podkolzingb constructionofcontinuouscocyclesforthebicrossedproductoflocallycompactgroups AT chapovskyyu constructionofcontinuouscocyclesforthebicrossedproductoflocallycompactgroups AT podkolzingb constructionofcontinuouscocyclesforthebicrossedproductoflocallycompactgroups AT čapovskijûa constructionofcontinuouscocyclesforthebicrossedproductoflocallycompactgroups AT podkolzingb constructionofcontinuouscocyclesforthebicrossedproductoflocallycompactgroups AT čapovskijûa constructionofcontinuouscocyclesforthebicrossedproductoflocallycompactgroups AT podkolzingb postroenienepreryvnyhkociklovdlâdvojnogoskreŝennogoproizvedeniâlokalʹnokompaktnyhgrupp AT chapovskyyu postroenienepreryvnyhkociklovdlâdvojnogoskreŝennogoproizvedeniâlokalʹnokompaktnyhgrupp AT podkolzingb postroenienepreryvnyhkociklovdlâdvojnogoskreŝennogoproizvedeniâlokalʹnokompaktnyhgrupp AT čapovskijûa postroenienepreryvnyhkociklovdlâdvojnogoskreŝennogoproizvedeniâlokalʹnokompaktnyhgrupp AT podkolzingb postroenienepreryvnyhkociklovdlâdvojnogoskreŝennogoproizvedeniâlokalʹnokompaktnyhgrupp AT čapovskijûa postroenienepreryvnyhkociklovdlâdvojnogoskreŝennogoproizvedeniâlokalʹnokompaktnyhgrupp |