On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points
We solve the problem of existence of an asymmetric spline averaged in Steklov’s sense that takes equal minimum values at given points.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3017 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509032229371904 |
|---|---|
| author | Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. |
| author_facet | Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. |
| author_sort | Skorokhodov, D. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:20Z |
| description | We solve the problem of existence of an asymmetric spline averaged in Steklov’s sense that takes equal minimum values at given points. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:39Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
D. S. Skoroxodov (Dnepropetr. nac. un-t)
O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO
NESYMMETRYÇNOHO ( )αα ββ, -SPLAJNA, USREDNENYQ
KOTOROHO PRYNYMAGT RAVNÁE MYNYMUMÁ
V ZADANNÁX TOÇKAX
We solve the problem of the existence of an asymmetric spline which is averaged in the Steklov sense
and attains equal minimal values at preassigned points.
Rozv�qzano zadaçu pro isnuvannq userednenoho za St[klovym nesymetryçnoho splajna, wo
nabuva[ odnakovyx minimal\nyx znaçen\ u napered zadanyx toçkax.
Pust\ C y Lp , 1 ≤ p ≤ ∞
, � prostranstva 2π -peryodyçeskyx funkcyj f : R →
→ R s sootvetstvugwymy normamy ⋅ C y ⋅ p. Dlq n ∈ N oboznaçym çerez
R∞
n prostranstvo Rn , v kotorom rasstoqnye meΩdu toçkamy x y n, ∈ ∞R naxo-
dytsq po pravylu
x y− = max , ,x y x yn n1 1− … −{ } .
Napomnym, çto svertkoj dvux funkcyj K L, ϕ ∈ 1 naz¥vaetsq funkcyq
K ∗ ϕ , kotoraq opredelqetsq sledugwym obrazom:
( )( )K x∗ ϕ : = K x t t dt( ) ( )−∫ ϕ
π
0
2
.
Pry πtom funkcyq K naz¥vaetsq qdrom svertky. Dlq zadannoho qdra K polo-
Ωym µ = µ ( K ) = 1, esly K t dt( )
0
2π
∫ = 0, y µ = µ ( k ) = 0, esly K t dt( )
0
2π
∫ ≠ 0.
Dlq funkcyj f g L, ∈ 1 oboznaçym çerez f g⊥ tot fakt, çto
0
2π
∫ f t g t dt( ) ( ) =
= 0.
Budem hovoryt\, çto qdro K L∈ 1 qvlqetsq CVD -qdrom (sm. [1]), esly dlq
lgb¥x a ∈ R y ϕ ∈C , ϕ µ⊥ , ymeet mesto neravenstvo
ν µ ϕ( )a K+ ∗ ≤ ν ϕ( ), (1)
hde ν ( g ) oboznaçaet kolyçestvo peremen znaka funkcyy g ∈ C na peryode.
Oçevydno, çto qdra Bernully Dr (sm. [2], § 3.5) qvlqgtsq CVD -qdramy dlq
vsex r ∈ N . Ewe odnym, no daleko ne edynstvenn¥m, vaΩn¥m semejstvom CVD -
qder qvlqetsq semejstvo { }Aε ε >0 funkcyj, opredelqem¥x sledugwym obra-
zom:
A xε( ) : =
1
2π ε
exp( )
( )
ikx
kk ch= −∞
∞
∑ .
Kak pokazano v [3], semejstvo { }Aε ε >0 qvlqetsq takΩe del\taobrazn¥m semej-
stvom funkcyj pry ε → 0 .
Dlq proyzvol\noj yzmerymoj funkcyy g poloΩym
g t±( ) : = max ( ),±{ }g t 0 .
Pust\ α β, > 0 , n ∈ N . Oboznaçym çerez Sn
α β, mnoΩestvo vsex funkcyj f ta-
kyx, çto α β−
+
−
−−1 1f t f t( ) ( ) ≡ 1 na peryode, f ⊥ 1 y ν ( f ) ≤ 2 n . ∏lement¥
© D. S. SKOROXODOV, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2 261
262 D. S. SKOROXODOV
mnoΩestva Sn
α β, budem naz¥vat\ nesymmetryçn¥my ( , )α β -splajnamy yly pros-
to splajnamy.
Nesymmetryçn¥e ( , )α β -splajn¥, v çastnosty ( , )1 1 -splajn¥, qvlqgtsq ysk-
lgçytel\no vaΩn¥my funkcyqmy, kotor¥e naßly mnohoçyslenn¥e prymene-
nyq v teoryy pryblyΩenyj (sm., naprymer, [2, 4, 5]). Tak, v teoryy kvadratur,
kak pokazano v rabote [6], vopros o nayluçßej kvadraturnoj formule na dosta-
toçno ßyrokom klasse funkcyj po suwestvu svodytsq k reßenyg πkstremal\-
noj zadaçy dlq nesymmetryçn¥x splajnov.
Pust\ h > 0. Operator Sh : L1 → C takoj, çto
S f xh( )( ) : =
1
2h
f x t dt
h
h
( )+
−
∫ ,
naz¥vaetsq operatorom usrednenyq po Steklovu. Rezul\tat dejstvyq πtoho ope-
ratora na funkcyg f ∈ L1 budem oboznaçat\ çerez f h .
UtverΩdenyq o suwestvovanyy funkcyj, prynadleΩawyx nekotoromu klas-
su y prynymagwyx odynakov¥e znaçenyq v zadann¥x toçkax, predstavlqgt bol\-
ßoj ynteres dlq teoryy kvadratur (sm., naprymer, [4 – 12]).
Ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema 1. Pust\ α β, > 0 , n ∈ N , h ∈ ( 0, π / n ) y K � proyzvol\noe
CVD -qdro. Tohda dlq lgboho nabora çysel 0 < x1 < … < xn < 2π suwestvu-
et funkcyq f ∈ Sn
α β, takaq, çto dlq vsex j = 1, n
( )( )K f xh
j∗ = min ( )
[ , )
( )
t
hK f t
∈
∗
0 2π
.
Dlq dokazatel\stva teorem¥ 1 prymenym metod, predloΩenn¥j v rabote [5].
Otmetym, çto dlq dokazatel\stva podobn¥x utverΩdenyj πtot metod ne qvlqet-
sq edynstvenn¥m. Suwestvugt metod¥, opyragwyesq na teoremu Borsuka (sm.
[13]), a takΩe metod¥, v kotor¥x yskomug funkcyg f ∈ Sn
α β, moΩno najty kak
reßenye πkstremal\noj zadaçy (sm., naprymer, [6]). Odnako teoremu 1 s pomo-
w\g poslednyx dvux metodov moΩno dokazat\ lyß\ dlq napered zadann¥x to-
çek, dlq kotor¥x
x1 < x2 – 2 h < … < xn – 2 ( n – 1 ) h < x1 + 2π – 2nh .
Realyzacyq metoda yz rabot¥ [5] natalkyvaetsq na trudnosty, svqzann¥e s
tem, çto operator usrednenyq po Steklovu ne qvlqetsq CVD -qdrom. Odnako,
ymeet mesto nekotoroe oslablenye uslovyq (1) dlq operatorov Sh , kotoroe da-
etsq sledugwej lemmoj.
Lemma 1. Pust\ α β, > 0 , n ∈ N y splajn¥ s s Sn
1 2, ,∈ α β takov¥, çto
ν( )sh
1 = ν( )sh
2 = 2n . Krome toho, pust\ raznost\ s s1 2− ne ymeet nulev¥x
πkstremumov. Tohda dlq vsex h ∈ ( 0, π / n ) y λ ∈ R
ν λ( )+ −s sh h
1 2 ≤ ν( )s s1 2− .
Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ moΩno provesty analohyçno dokazatel\stvu
teorem¥ 7 v rabote [14].
Perejdem teper\ k dokazatel\stvu teorem¥ 1.
Vezde nyΩe budem predpolahat\ qdro K analytyçeskym na dejstvytel\noj
osy. ∏to moΩno sdelat\ vsledstvye toho fakta, çto semejstvo funkcyj
{ }A Kε ε∗ >0 � sovokupnost\ CVD -qder, qvlqgwyxsq analytyçeskymy na dej-
stvytel\noj osy y takyx, çto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( , )α β -SPLAJNA … 263
Aε ∗ K → K pry ε → 0 .
Pust\ n ∈ N , h ∈ ( 0, π / n ) y α , β > 0. Oboznaçym çerez KNn mnoΩestvo
funkcyj f, predstavym¥x v vyde
f = K g ah∗ + ,
hde g Sn∈ α β, , a ∈ R y f ymeet rovno 2n πkstremumov na peryode. MnoΩestvo
KNn nepusto, tak kak v sylu (1) K wh∗ ∈ KNn dlq proyzvol\noj 2π /n -peryo-
dyçeskoj funkcyy w Sn∈ α β, .
Dlq splajna f Sn∈ α β, çerez
ξ1 < ξ2 < … < ξ2n < ξ1 + 2 π
oboznaçym eho uzl¥, pronumerovann¥e takym obrazom, çto f ( t ) ≡ α pry t ∈
∈ ( , )ξ ξ1 2 . Poskol\ku f ⊥ 1, nesloΩno vydet\, çto
( )−
=
∑ 1
1
2
j
j
j
n
ξ =
2πβ
α β+
.
Sledovatel\no, proyzvol\naq systema toçek ξ1 < ξ2 < … < ξ2n < ξ1 +
+ 2 π , dlq kotoroj
2
1
1
2 1πβ
α β
ξ
+
− −
=
−
∑ ( ) j
j
j
n
< ξ π1 2+ ,
odnoznaçno opredelqet nekotor¥j splajn f Sn∈ α β, . Oboznaçym takug systemu
toçek çerez ξ ξ ξj j j
n=( )=
−{ } 1
2 1 y nazovem ee opredelqgwej systemoj dlq
splajna f . Splajn, sootvetstvugwyj systeme toçek ξ , oboznaçym çerez fξ .
Dlq zadannoj opredelqgwej system¥ ξ poloΩym
ξ2n =
2
1
1
2 1πβ
α β
ξ
+
− −
=
−
∑ ( ) j
j
j
n
y ξ2 1n+ = ξ π1 2+ .
Pust\ Uρ ξ( ) � zamknut¥j ßar s centrom v toçke ξ = ( ), , ,ξ ξ ξ1 2 2 1… −n ra-
dyusa ρ > 0 v prostranstve R ∞
−2 1n .
Lemma 2. Pust\ ξ ∈ −R2 1n
� opredelqgwaq systema dlq splajna f Sn
ξ α β∈ , .
Tohda najdetsq ρ > 0 takoe, çto proyzvol\naq toçka η ξρ∈U ( ) budet op-
redelqgwej systemoj dlq nekotoroho splajna f Sn
η α β∈ , .
Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ moΩno provesty analohyçno dokazatel\stvu
lemm¥ 3.2 yz [5].
Pust\ splajn f Sn∈ α β, takov, çto K f KNh
n∗ ∈ , y ξ � eho opredelqgwaq
systema. Dlq takoho splajna oboznaçym çerez 1ξ < 2ξ < … < nξ < 1 2ξ π+
te toçky, v kotor¥x funkcyq K f h∗ dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov.
V sylu analytyçnosty na dejstvytel\noj osy y, sledovatel\no, ohranyçennosty
qdra K najdetsq dostatoçno maloe çyslo ρ > 0, pry kotorom K f KNh
n∗ ∈η
dlq vsex η ξρ∈U ( ) . Rassmotrym proyzvol\n¥j ynterval ( , )a a + 2π , soderΩa-
wyj toçky 1η < 2η < … < nη. Qsno, çto çyslo ρ moΩno v¥brat\ takym ob-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
264 D. S. SKOROXODOV
razom, çtob¥ dlq lgboho η ξρ∈U ( ) toçky 1ξ < 2ξ < … < nξ , v kotor¥x
funkcyq K f h∗ η dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov, takΩe prynadleΩaly
yntervalu ( , )a a + 2π .
OtobraΩenye τ ξρ: ( )U n→ −R2 1 opredelym sledugwym obrazom. Dlq kaΩ-
doj toçky η ξρ∈U ( ) poloΩym
τ ( η ) = 1 2 1 1η η η η η ηη η η η, , , ( ) ( ), , ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )… ∗ − ∗ … ∗ − ∗{ }n
h h h
n
hK f K f K f K f .
NesloΩno ubedyt\sq v tom, çto otobraΩenye τ budet neprer¥vn¥m.
Lemma 3. Suwestvuet ′ ∈ρ ρ( , )0 takoe, çto suΩenye otobraΩenyq τ na
ßar U ′ρ ξ( ) qvlqetsq ynæektyvn¥m otobraΩenyem.
Dokazatel\stvo. Pust\ a ≤ t1 ≤ t2 ≤ … ≤ t n2 < a + 2π � toçky, v koto-
r¥x funkcyq K f h∗ ξ dostyhaet svoyx lokal\n¥x πkstremumov. PoloΩym
mj : = ( )( )K f th
j∗ ξ , j = 1 2, n.
Çerez w0 oboznaçym naymen\ßee çyslo, udovletvorqgwee ravenstvu
ω ξ( );K f wh∗ =
1
2 1 2
1min
,j n
j jm m
=
+ − ,
hde m n2 1+ = m1 y ω( ; )g t � modul\ neprer¥vnosty funkcyy g ∈ C.
Pust\ θ : =
1
4 1 2
1n j n
j jmin
,=
+ −ξ ξ . Dlq kaΩdoho ε ∈ −
=
+0
1
8 1 2
1, min
,j n
j jm m
çyslo ′ρ v¥berem takym obrazom, çtob¥ ′ρ < min ; ;ρ θw0
2 2
y dlq proyzvol\-
noho η ξρ∈ ′U ( ) rasstoqnye meΩdu funkcyqmy K f h∗ η y K f h∗ ξ v L∞ -metry-
ke ne prev¥ßalo ε . Yz opredelenyq çysel ε y w0 sleduet, çto rasstoqnye
meΩdu toçkamy, v kotor¥x funkcyq K f h∗ η , η ξρ∈ ′U ( ), dostyhaet svoyx lo-
kal\n¥x πkstremumov, ne men\ße w0.
PokaΩem, çto suΩenye otobraΩenyq τ na U ′ρ ξ( ) budet ynæektyvn¥m otob-
raΩenyem.
PredpoloΩym protyvnoe, t. e. najdutsq dve toçky η, ζ ξρ∈ ′U ( ), η ≠ ζ, ta-
kye, çto τ ( η ) = τ ( ζ ) . Poskol\ku fη y fζ prynadleΩat mnoΩestvu KNn, ne-
sloΩno vydet\, çto
ν η( )f h = ν ζ( )f h = 2 n . (2)
Pust\ a < 1η < … < nη < a + 2π y a < 1ζ < … < nζ < a + 2π � toçky,
v kotor¥x funkcyy K f h∗ η y K f h∗ ζ dostyhagt svoyx lokal\n¥x mynymumov
sootvetstvenno. Tohda, v sylu predpoloΩenyq, jη = jζ y
( ) ( )( ) ( )K f K fh
j
h∗ − ∗η ηη η1 = ( ) ( )( ) ( )K f K fh
j
h∗ − ∗ζ ζζ ζ1
dlq vsex j = 1, n .
Bez ohranyçenyq obwnosty moΩem sçytat\, çto ζ η1 1− = ζ η− . Polo-
Ωym u : = ζ η1 1− y rassmotrym funkcyg f t uη( )− . Dal\nejßye yssledovanyq
provedem dlq sluçaq u > 0 (sluçaj u < 0 rassmatryvaetsq analohyçno).
Oçevydno, çto systema ζ η η1 2 2 1, , ,+ … +{ }−u un qvlqetsq opredelqgwej
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( , )α β -SPLAJNA … 265
systemoj dlq splajna f t uη( )− . Poskol\ku u ≤ 2 ′ρ < 2θ, ymegt mesto ne-
ravenstva
ζ1 < ζ2 ≤ η2 + u < ζ3 ≤ η3 + u < … < ζ2 1n− ≤ η2 1n u− + < η2n u+ ≤ ζ2n .
Yz πtoj cepoçky neravenstv sleduet, çto funkcyq f t u f tη ζ( ) ( )− − ymeet ne
bolee 2n – 1 peremen znaka na peryode y vse ee πkstremum¥ ne qvlqgtsq nule-
v¥my. PoloΩym
g t1( ) : = ( ) ( )( ) ( )K f t u K fh h∗ − − ∗η η η1 ,
g t2( ) : = ( ) ( )( ) ( )K f t K fh h∗ − ∗ζ ζ η1 .
PokaΩem, çto raznost\ g t1( ) – g t2( ) ymeet ne men\ße dvux peremen znaka na
kaΩdom yntervale [ ],j jη η+1 , j = 1, n . Dejstvytel\no, tak kak u ≤ 2 ′ρ <
< 2 0w , to
g gj j1 2( ) ( )η η− > 0, j = 1, n .
Krome toho,
g u g uj j1 2( ) ( )η η+ − + < 0, j = 1, n .
Takym obrazom,
ν( )g g1 2− ≥ 2 n . (3)
V sluçae, kohda µ = µ ( K ) = 1, poluçaem
ν( )g g1 2− = ν η ηζ η η ζ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )K f K f K f u K fh h h h∗ − ∗ + ∗ ⋅ − − ∗ ⋅( )1 1 ≤
≤ ν η ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅( ) .
V sylu ravenstva (2) vydno, çto uslovyq lemm¥ 1 v¥polnen¥ dlq funkcyj
f t uη( )− y f tζ( ). Sledovatel\no,
ν( )g g1 2− ≤ ν η ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅( ) ≤ ν η ζf u f( ) ( )⋅ − − ⋅( ) ≤ 2 2n − .
Odnako πto protyvoreçyt neravenstvu (3).
Rassmotrym teper\ sluçaj, kohda µ = µ ( K ) = 0. Pust\ λ ∈ R � takoe
çyslo, çto λ
π
K t dt( )
0
2
∫ = ( ) ( )( ) ( )K f K fh h∗ − ∗ζ ηη η1 1 . V πtom sluçae
ν( )g g1 2− = ν η ηζ η η ζ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )K f K f K f u K fh h h h∗ − ∗ + ∗ ⋅ − − ∗ ⋅( )1 1 ≤
≤ ν λη ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅ +( ) .
S uçetom lemm¥ 1 y toho fakta, çto f t uη( )− – f tζ( ) ymeet ne bolee 2 2n −
nenulev¥x lokal\n¥x πkstremuma, poluçaem
ν( )g g1 2− ≤ ν λη ζf u fh h( ) ( )⋅ − − ⋅ +( ) ≤ ν η ζf u f( ) ( )⋅ − − ⋅( ) ≤ 2 2n − .
Odnako πto snova protyvoreçyt neravenstvu (3). Sledovatel\no, suΩenye otob-
raΩenyq τ na U ′ρ ξ( ) budet ynæektyvn¥m, çto y zaverßaet dokazatel\stvo
lemm¥.
Takym obrazom, yz lemm¥ 3 y neprer¥vnosty otobraΩenyq τ sleduet, çto τ
� homeomorfyzm yz U ′ρ ξ( ) v R2 1n− .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
266 D. S. SKOROXODOV
Pust\ E � mnoΩestvo toçek x = ( , , , )x x xn1 2 1… − ∈ Rn−1 takyx, çto 0 <
< x1 < … < xn−1 < 2 π . Oçevydno, çto E � svqznoe mnoΩestvo. Pust\ E0 �
takoe podmnoΩestvo mnoΩestva E, çto dlq kaΩdoj toçky x ∈ E0 najdetsq
splajn f ∈ Sn
α β, , dlq kotoroho K f KNh
n∗ ∈ y K f h∗ dostyhaet svoyx lo-
kal\n¥x mynymumov v toçkax 0 1 1, , ,x xn… − . MnoΩestvo E0 ne pusto, tak kak
ono soderΩyt toçku
2 2 1π π
n
n
n
, ,
( )… −
. Dejstvytel\no, dlq proyzvol\noj
2π
n
-peryodyçeskoj funkcyy K f KNh
n∗ ∈ moΩno v¥brat\ çyslo b takoe, çto
funkcyq K f bh∗ ⋅ +( ) dostyhaet svoyx lokal\n¥x mynymumov v toçkax
2k
n
π
,
k = 0 1, n − .
Lemma 4. MnoΩestvo E0 � otkr¥toe podmnoΩestvo mnoΩestva E .
Dokazatel\stvo. V sylu opredelenyq mnoΩestva E0 dlq proyzvol\noj
toçky x ∈ E0 najdetsq splajn f ∈ Sn
α β, takoj, çto funkcyq K f h∗ dostyhaet
svoyx lokal\n¥x mynymumov v toçkax 0 1 1, , ,x xn… − . Pust\ ξ � opredelqgwaq
systema dlq splajna f . V sylu lemm¥ 3 suwestvuet zamknut¥j ßar U ′ρ ξ( ) ta-
koj, çto otobraΩenye τ ξρ: ( )U n
′
−→ R2 1 budet homeomorfyzmom. Tohda po
teoreme ob ynvaryantnosty otkr¥toho mnoΩestva (sm. [15]) sleduet, çto toçka
τ ξ( ) = ( , , , , , , )0 0 01 1x xn… …− budet vnutrennej toçkoj mnoΩestva τ ξρ( ( ))U ′ .
Sledovatel\no, najdetsq okrestnost\ U ( x ) toçky x takaq, çto dlq proyzvol\-
noj toçky y ∈ U ( x )
( , , , , , , )0 0 01 1y yn… …− ∈ τ ξρ( ( ))U ′ .
Takym obrazom, najdetsq toçka η ∈ U ′ρ ξ( ) takaq, çto τ ( η ) = ( , ,0 1y …
… , yn− …1 0 0, , , ). ∏to y zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥.
Lemma 5. MnoΩestvo E0 qvlqetsq zamknut¥m podmnoΩestvom v E .
Dokazatel\stvo. Pust\ x ∈ E y posledovatel\nost\ { }x Em
m =
∞ ⊂1 0 sxo-
dytsq k πlementu x pry m → ∞ . Po opredelenyg mnoΩestva E0 dlq kaΩdoj
toçky xm najdetsq splajn fm ∈ Sn
α β, s opredelqgwej systemoj ξ
m
= { }ξ j
m
m
n
=
−
1
2 1
takoj, çto
( )( )K fm
h∗ 0 = ( )( )K f xm
h
j
m∗ ,
( ) ( )K fm
h∗ ′ 0 = ( ) ( )K f xm
h
j
m∗ ′ , j = 1 1, n − .
NesloΩno uvydet\, çto najdetsq podposledovatel\nost\ { }ξmk , sxodqwaq-
sq k nekotoroj toçke ξ ∈ −R2 1n pry k → ∞ . Oçevydno, çto ξ � opredelqg-
waq systema dlq splajna f ∈ Sn
α β, . Sledovatel\no, f fmk
−
1
→ 0 pry k →
→ ∞ . Takym obrazom, posledovatel\nost\ { }K fm
h
kk
∗ =
∞
1 sxodytsq ravnomerno k
K f∗ , a posledovatel\nost\ ( )K fm
h
kk
∗ ′{ } =
∞
1
� k ( )K f∗ ′ . Otsgda sleduet, çto
( )( ) ( )( )K f x K f xm
h
j
m h
jk
k∗ → ∗ y ( ) ( ) ( ) ( )K f x K f xm
h
j
m h
jk
k∗ ′ → ∗ ′
pry k → ∞ dlq vsex j = 1 1, n − y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
O SUWESTVOVANYY OBOBWENNOHO NESYMMETRYÇNOHO ( , )α β -SPLAJNA … 267
( ) ( )( ) ( )K f K fm
h h
k
∗ → ∗0 0 y ( ) ( )( ) ( )K f K fm
h h
k
∗ ′ → ∗ ′0 0
pry k → ∞ . Takym obrazom,
( ) ( )( ) ( )K f x K fh
j
h∗ = ∗ 0 ,
( ) ( )( ) ( )K f x K fh
j
h∗ ′ = ∗ ′ =0 0 , j = 1 1, n − ,
y funkcyq K f h∗ dostyhaet ravn¥x lokal\n¥x mynymumov v toçkax 0 1, ,x …
… −, xn 1. ∏to y zaverßaet dokazatel\stvo lemm¥.
Ytak, m¥ dokazaly, çto podmnoΩestvo E0 nepustoe, otkr¥toe y zamknutoe v
svqznom mnoΩestve E
. ∏to oznaçaet, çto E0 = E
. Sledovatel\no, teorema 1
dokazana.
Avtor v¥raΩaet blahodarnost\ V. F. Babenko za pomow\ v obsuΩdenyy dan-
noj rabot¥.
1. Karlin S. Total positivity. – Stanford Univ. Press, 1968.
2. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyj. � M.: Nauka, 1976. � 320 s.
3. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy v srednem //
Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1946. � 10. � S. 207 � 256.
4. Lyhun A. A. Toçn¥e neravenstva dlq splajn-funkcyj y nayluçßye kvadraturn¥e formu-
l¥ na nekotor¥x klassax funkcyj // Mat. zametky. � 1976. � 19. � S. 913 � 926.
5. Motorn¥j V. P. O nayluçßej kvadraturnoj formule vyda p f xk kk
n
( )
=∑ 1
na nekotor¥x
klassax peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1974. �
38. � S. 583 � 614.
6. Babenko V. F. Approximations, widths and optimal quadrature formulae for classes of periodic
functions with rearrangement invariant sets of derivatives // Anal. Math. – 1987. – 13. – P. 15 – 28.
7. Babenko V. F. Neravenstva dlq perestanovok dyfferencyruem¥x peryodyçeskyx funkcyj,
zadaçy pryblyΩenyq y pryblyΩennoho yntehryrovanyq // Dokl. AN SSSR. � 1983. � 272. �
S. 1038 � 1041.
8. Babenko V. F. O zadaçe optymyzacyy pryblyΩennoho yntehryrovanyq // Yzuçenye sovremen-
n¥x voprosov summyrovanyq y pryblyΩenyq funkcyj y yx pryloΩenye. � Dnepropetrovsk,
1984. � S. 3 � 13.
9. Ûens¥kbaev A. A. Nayluçßaq kvadraturnaq formula na nekotor¥x klassax peryodyçes-
kyx funkcyj // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1977. � 41. � S. 1110 � 1124.
10. Ûens¥kbaev A. A. Monosplajn¥ mynymal\noj norm¥ y nayluçßye kvadraturn¥e formul¥
// Uspexy mat. nauk. � 1981. � 36. � S. 107 � 159.
11. Nykol\skyj S. M. Kvadraturn¥e formul¥. � M.: Nauka, 1988.
12. Motornyi V. P. On the best quadrature formula in the class of functions with bounded rth deriva-
tive // E. J. Approxim. – 1998. – 4. – P. 459 – 478.
13. Spen\er ∏. Alhebrayçeskaq topolohyq. � M.: Myr, 1971.
14. Babenko V. F., Skoroxodov D. S. Ob optymal\n¥x ynterval\n¥x kvadraturn¥x formulax na
klassax peryodyçeskyx dyfferencyruem¥x funkcyj // Vestn. Dnepropetr. un-ta. Matema-
tyka. � 2007. � 8. � S. 16 � 25.
15. Aleksandrov P. S. Kombynatornaq topolohyq. � M., 1956.
Poluçeno 15.05.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3017 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:39Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/21f344b4168f6ac851e2de59fb3c6f7d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30172020-03-18T19:43:20Z On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. We solve the problem of existence of an asymmetric spline averaged in Steklov’s sense that takes equal minimum values at given points. Розв'язано задачу про існування усередненого за Стєкловим несиметричного сплайна, що набуває однакових мінімальних значень у наперед заданих точках Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3017 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 2 (2009); 261-267 Український математичний журнал; Том 61 № 2 (2009); 261-267 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3017/2783 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3017/2784 Copyright (c) 2009 Skorokhodov D. S. |
| spellingShingle | Skorokhodov, D. S. Скороходов, Д. С. Скороходов, Д. С. On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| title | On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| title_alt | О существовании обобщенного несимметричного (α, β)-сплайна, усреднения которого принимают равные минимумы в заданных точках |
| title_full | On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| title_fullStr | On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| title_full_unstemmed | On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| title_short | On the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| title_sort | on the existence of a generalized asymmetric (α, β)-spline whose average values have equal minima at given points |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3017 |
| work_keys_str_mv | AT skorokhodovds ontheexistenceofageneralizedasymmetricabsplinewhoseaveragevalueshaveequalminimaatgivenpoints AT skorohodovds ontheexistenceofageneralizedasymmetricabsplinewhoseaveragevalueshaveequalminimaatgivenpoints AT skorohodovds ontheexistenceofageneralizedasymmetricabsplinewhoseaveragevalueshaveequalminimaatgivenpoints AT skorokhodovds osuŝestvovaniiobobŝennogonesimmetričnogoabsplajnausredneniâkotorogoprinimaûtravnyeminimumyvzadannyhtočkah AT skorohodovds osuŝestvovaniiobobŝennogonesimmetričnogoabsplajnausredneniâkotorogoprinimaûtravnyeminimumyvzadannyhtočkah AT skorohodovds osuŝestvovaniiobobŝennogonesimmetričnogoabsplajnausredneniâkotorogoprinimaûtravnyeminimumyvzadannyhtočkah |