Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations
We establish conditions required for the existence and uniqueness of bounded solutions of the nonlinear differential equation $f_1\left(\frac{dx(t)}{dt} \right) = f_2(x(t)), t ∈ ℝ$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3018 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509036542164992 |
|---|---|
| author | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Slyusarchuk, V. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:20Z |
| description | We establish conditions required for the existence and uniqueness of bounded solutions of the nonlinear differential equation $f_1\left(\frac{dx(t)}{dt} \right) = f_2(x(t)), t ∈ ℝ$.
|
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:43Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.988.63
V. G. Slgsarçuk (Nac. un-t vodn. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, Rivne)
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX
ROZV�QZKIV NELINIJNYX DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of the nonlinear differential equation
f
dx t
dt1
( )( ) = f x t
2
( )( ) – h t( ) , t ∈R , are obtained.
Poluçen¥ uslovyq suwestvovanyq y edynstvennosty ohranyçenn¥x reßenyj nelynejnoho dyf-
ferencyal\noho uravnenyq f
dx t
dt1
( )( ) = f x t
2
( )( ) – h t( ) , t ∈R .
1. Osnovni poznaçennq, ob�[kt doslidΩen\ i rezul\taty. Poznaçymo çerez
C0 banaxiv prostir neperervnyx i obmeΩenyx na R funkcij x = x(t) zi znaçen-
nqmy v R z normog
x C0 =
sup ( )
t
x t
∈R
,
çerez C1 banaxiv prostir funkcij x C∈ 0 , poxidna koΩno] z qkyx [ elementom
prostoru C0 , z normog
x C1 = max ,x dx
dtC
C
0
0
,
çerez C mnoΩynu vsix neperervnyx funkcij y : R → R , çerez M mnoΩynu
vsix stroho monotonnyx funkcij g : R → R , dlq koΩno] z qkyx mnoΩyna zna-
çen\ R g( ) zbiha[t\sq z R, a çerez F mnoΩynu vsix neperervnyx funkcij g :
R → R, dlq koΩno] z qkyx R g( ) = R i lim ( )
t
g t
→ +∞
= + ∞.
Vyznaçymo operator L : C1→ C0 rivnistg
( )( )Lx t = f dx t
dt1
( )
– f x t2 ( )( ) , (1)
de x C∈ 1, f1 ∈M i f2 ∈C .
Z�qsu[mo, pry vykonanni qkyx umov dyferencial\ne rivnqnnq
f dx t
dt1
( )
= f x t2 ( )( ) – h t( ), t ∈R, (2)
dlq koΩno] funkci] h C∈ 0 ma[ xoça b odyn rozv�qzok x C∈ 1, a vidpovidnyj
operator L ma[ obernenyj neperervnyj operator.
Zaznaçymo, wo analohiçni zadaçi rozv�qzuvalysq bahat\ma avtoramy perevaΩ-
no u vypadku linijnyx abo slabkonelinijnyx vidobraΩen\ (dyv., napryklad, [1 –
– 9]). Vypadok f t1( ) ≡ t rozhlqnuto v [10 – 12].
SpravdΩugt\sq nastupni tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj f1 ∈M , f1 0( ) = 0, i f2 ∈C .
Rivnqnnq (2) dlq koΩno] funkci] h C∈ 0 ma[ xoça b odyn rozv�qzok x C∈ 1
todi i til\ky todi, koly R f( )2 = R. Pry c\omu dlq koΩnoho vidrizka α β,[ ],
dlq qkoho R f2 α β,[ ]( ) = R h( ) i f2( )α{ , f2( )β } =
inf ( )
t
h t
∈{ R
,
sup ( )
t
h t
∈
}
R
, isnu[ takyj
rozv�qzok x C∈ 1, wo R (x) � α β[ ].
© V. G. SLGSARÇUK, 2009
268 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX ROZV�QZKIV … 269
Teorema 2. Nexaj f1 ∈M , f1 0( ) = 0, i f2 ∈C . Todi [ rivnosyl\nymy nas-
tupni tverdΩennq:
a) f2 ∈M ;
b) operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj neperervnyj operator;
v) operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj neperervnyj obmeΩenyj operator;
h) operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj neperervnyj obmeΩenyj i c-nepe-
rervnyj operator.
Ci teoremy vstanovymo za dopomohog rqdu dopomiΩnyx tverdΩen\.
2. Lokal\no zbiΩni poslidovnosti neperervnyx funkcij . Hovorytymemo,
wo poslidovnist\ ( )xk k ≥1 elementiv prostoru C0 lokal\no zbiha[t\sq do
elementa x C∈ 0 , i poznaçatymemo
x xk
Clok., 0
→ pry k → ∞,
qkwo cq poslidovnist\ [ obmeΩenog i dlq koΩnoho p > 0
lim max ( ) – ( )
k t p
kx t x t
→ +∞ ≤
= 0.
Analohiçno poslidovnist\ ( )xk k ≥1 elementiv prostoru C1 lokal\no zbiha-
[t\sq do elementa x C∈ 1:
x xk
Clok., 1
→ pry k → ∞,
qkwo xk lok., C0
→ x i
dx
dt
k lok., C0
→ dx
dt
pry k → ∞.
Rozhlqnemo u prostorax C0 i C1 zamkneni kuli
B r0 0,[ ] = x C x rC∈ ≤{ }0
0:
i
B r1 0,[ ] = x C x rC∈ ≤{ }1
1:
radiusa r > 0.
VaΩlyvym dlq podal\ßoho [ nastupne tverdΩennq.
Lema 1 [13]. Dlq koΩno] poslidovnosti funkcij xn ∈ B r0
0 0,[ ] I B r1
1 0,[ ],
n ≥ 1, de r0 i r1 � dovil\ni dodatni çysla, isnugt\ taki stroho zrostag-
ça poslidovnist\ natural\nyx çysel nk , k ≥ 1, i funkciq x ∈ B r0
0 0,[ ], wo
xnk
lok., C0
→ x pry k → ∞.
3. Odne spivvidnoßennq dlq elementiv mnoΩyny F. Oçevydno, wo M �
� F i f ° g ∈F dlq dovil\nyx f, g ∈F .
Lema 2. Nexaj f ∈M i g ∈F .
Todi dlq koΩnyx vidrizka γ γ1 2,[ ] i dosyt\ velykoho çysla a > 0 isnu[ take
dijsne çysla k ≠ 0, wo
f g t kt( ) – –γ( ) ≤ k a
dlq vsix t ∈ – ,a a[ ] i γ ∈ γ γ1 2,[ ].
Dovedennq. Za umovy lemy isnu[ vidrizok – ,δ δ[ ], dlq qkoho
f g t( ) – γ( ) ≠ 0
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
270 V. G. SLGSARÇUK
dlq vsix t ∈ R \ – ,δ δ[ ] i γ ∈ γ γ1 2,[ ]. Zafiksu[mo dovil\ne çyslo a > δ. Os-
kil\ky funkciq f g t( )( – γ) zminnyx t i γ [ neperervnog na R2 , to vona ob-
meΩena na koΩnij obmeΩenij mnoΩyni M ⊂ R2 . Tomu skinçennymy [
max ( ) –
, ,t
f g t
≤ ∈[ ]
( )
δ γ γ γ
γ
1 2
i
max ( ) –
– ,– , , ,t a a
f g t
∈[ ] [ ] ∈[ ]
( )
δ δ γ γ γ
γ
U 1 2
,
qki poznaçymo vidpovidno çerez H1 i H2. Rozhlqnemo dovil\ne dijsne çyslo k ≠
≠ 0, dlq qkoho
k ≥ max
–
,
H
a
H
a
1 2
δ
(3)
i
kf g( ) –δ γ 2( ) > 0. (4)
Zavdqky (3) dlq vsix t ∈ – ,δ δ[ ] i γ ∈ γ γ1 2,[ ]
f g t kt( ) – –γ( ) ≤ f g t( ) – γ( ) + kt ≤ H1 + k δ ≤ k a .
Zavdqky (3) i (4) dlq vsix t ∈ – , –a δ[ ] U δ, a[ ] i γ ∈ γ γ1 2,[ ]
f g t kt( ) – –γ( ) < max ,H k a2{ } = k a .
Zvidsy vyplyva[ tverdΩennq lemy.
Lemu 2 dovedeno.
4. Ocinka znyzu pryrostiv stroho zrostagçyx funkcij.
Lema 3. Nexaj neperervna na R2 funkciq F t s( , ) zi znaçennqmy v R [
stroho zrostagçog po zminnij t na R dlq koΩnoho s ∈R .
Todi dlq koΩnyx prqmokutnyka a b,[ ] × c d,[ ] i çysla ε ∈ (0, b – a) isnu[
take çyslo k > 0, wo F u s( , ) – F s( , )v ≥ k u( – v) dlq vsix (u, v, s) ∈ a b,[ ] ×
× a b,[ ] × c d,[ ], dlq qkyx u – v ≥ ε.
Dovedennq. Prypustymo, wo tverdΩennq lemy [ xybnym. Todi isnu[ posli-
dovnist\ toçok (un , vn , sn) ∈ a b,[ ] × a b,[ ] × c d,[ ], n ∈N , dlq qkyx un – vn ≥ ε,
n ∈N , i
lim
( , ) – ( , )
–n
n n n n
n n
F u s F s
u→∞
v
v
= 0.
Tomu zavdqky neperervnosti funkci] F t s( , ) na a b,[ ] × c d,[ ] isnugt\ taki çys-
la α, β ∈ a b,[ ] i γ ∈ c d,[ ], wo β – α ≥ ε i F( , )β γ = F( , )α γ . Ostannq rivnist\
supereçyt\ umovam lemy.
OtΩe, lemu 3 dovedeno.
5. Umovy rozv�qznosti rivnqnnq (2) u prostori periodyçnyx funkcij.
Poznaçymo çerez PT (T � dodatne çyslo) pidprostir prostoru C0 , wo mis-
tyt\ vsi T-periodyçni funkci].
Lema 4. Nexaj f1 ∈M , f1 0( ) = 0, i f2 ∈F .
Todi rivnqnnq (2) dlq koΩno] funkci] h T∈P ma[ xoça b odyn rozv�qzok
x T∈P .
Dovedennq. Zafiksu[mo dovil\nyj element h T∈P . Funkciq f1 ma[ ober-
nenu neperervnu na R funkcig f1
1– . Tomu rivnqnnq (2) rivnosyl\ne rivnqnng
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX ROZV�QZKIV … 271
dx t
dt
( ) = f f x t h t1
1
2
– ( ) – ( )( )( ) , t ∈R.
Viz\memo çysla k ≠ 0 i a > 0, dlq qkyx
f f t kt1
1
2
– ( ) – –γ( ) ≤ k a , qkwo t ≤ a i γ ≤ h C0 . (5)
Taki çysla isnugt\ zavdqky vklgçenng f1
1– ∈M i lemi 2. Rozhlqnemo cilkom
neperervne vidobraΩennq G : PT → PT , wo vyznaça[t\sq rivnistg
( )( )Gx t =
–
( – ) –
( – ) –
( ) – ( ) – ( ) , ,
– ( ) – ( ) – ( ) , .
∞
+∞
∫
∫
( )( )( ) <
( )( )( ) >
t
k t s
t
k t s
e f f x s h s k x s ds k
e f f x s h s k x s ds k
1
1
2
1
1
2
0
0
qkwo
qkwo
Vykorystovugçy [1], nevaΩko perekonatysq v tomu, wo zadaça pro isnuvannq
T-periodyçnyx rozv�qzkiv rivnqnnq (2) rivnosyl\na analohiçnij zadaçi dlq riv-
nqnnq
x t( ) = ( )( )Gx t , t ∈R, (6)
i na pidstavi (5) GSa � Sa , de Sa = x T∈{ P : x C0 ≤ a} . Tomu zavdqky teoremi
Íaudera pro neruxomu toçku [14] mnoΩyna T-periodyçnyx rozv�qzkiv rivnqnnq
(6), a otΩe i rivnqnnq (2), ne [ poroΩn\og.
Lemu 4 dovedeno.
Lema 5. Nexaj f1 ∈M , f1 0( ) = 0, f2 ∈C , h T∈P i a b,[ ], α β,[ ] � taki
vidrizky, wo R f2 α β,[ ]( ) = R h( ) = a b,[ ] i f2( )α{ , f2( )β } = a b,{ }.
Todi rivnqnnq (2) ma[ rozv�qzok y T∈P , dlq qkoho R y( ) � α β,[ ].
Dovedennq. Rozhlqnemo funkcig f2
∗ ∈F , dlq qko] f2
∗
[ ]α β, = f2 α β,[ ] i
f t2
∗ ∈( ) R \ a b,[ ] dlq vsix t ∈R \ α β,[ ]. (7)
Zavdqky lemi 4 rivnqnnq
f dx t
dt1
( )
= f x t2
∗( )( ) – h t( ), t ∈R, (8)
ma[ rozv�qzok y T∈P , qkyj u deqkyx toçkax t1 i t2 dosqha[ najmenßoho ymin i
najbil\ßoho ymax znaçen\. U cyx toçkax dy / dt = 0 i, otΩe, f dy1( / dt) = 0. To-
mu f y2
∗{ ( )min , f y2
∗( )}max = h t{ ( )1 , h t( )2 } i na pidstavi (7) ymin{ , ymax} � α β,[ ].
Oskil\ky f t2
∗( ) = f t2( ) dlq vsix t ∈ α β,[ ], to rozv�qzok y = y(t) rivnqnnq (8)
takoΩ [ rozv�qzkom rivnqnnq (2).
Lemu 5 dovedeno.
6. Dovedennq teoremy 1. Nexaj R f( )2 = R. Rozhlqnemo poslidovnosti çy-
sel Tn i funkcij
hn Tn
∈P , n ∈N , dlq qkyx lim
n
nT
→∞
= + ∞, R hn( ) = R h( ) ,
n ∈N , i
h hn
Clok., 0
→ pry n → ∞, (9)
a takoΩ vidrizok α β,[ ], dlq qkoho R f2 α β,[ ]( ) = R h( ) i
inf ( )
t
h t
∈{ R
,
sup ( )
t
h t
∈
}
R
=
= f2( )α{ , f2( )β }. Na pidstavi lemy 5 isnugt\ taki funkci]
xn Tn
∈P , n ∈N , wo
R xn( ) � α β,[ ], n ∈N , i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
272 V. G. SLGSARÇUK
x tn( ) = xn( )0 +
0
1
1
2
t
n nf f x s h s ds∫ ( )( )– ( ) – ( ) , k ∈N , t ∈R. (10)
Zvidsy, z obmeΩenosti poslidovnosti ( )hn n≥1, iz spivvidnoßen\ R xn( ) � α β,[ ],
n ∈N , i neperervnosti funkcij f1
1– i f2 vyplyva[, wo
sup
n
n Cx
≥1
1 < + ∞.
Tomu za lemog 1 isnugt\ funkciq z C∈ 0 i çysla n kk > , k ∈N , dlq qkyx
R z( ) � α β,[ ] i
x zn
C
k
lok., 0
→ pry k → ∞.
Zvidsy, iz spivvidnoßen\ (9), (10) i neperervnosti funkcij f1
1– , f2 vyplyva[, wo
z t( ) = z( )0 +
0
1
1
2
t
f f z s h s ds∫ ( )( )– ( ) – ( ) , t ∈R,
tobto z t( ) � rozv�qzok rivnqnnq (2).
Nexaj R f( )2 ≠ R. Rozhlqnemo rivnqnnq
f dx t
dt1
( )
= f x t2 ( )( ) – m, t ∈R,
de m ∈ R \ R f( )2 . KoΩnyj rozv�qzok x t( ) c\oho rivnqnnq [ neobmeΩenym, os-
kil\ky
dx t
dt
( ) ≥ inf ( – ) : ( )–f y m y R f1
1
2∈{ } > 0
dlq vsix toçok t z mnoΩyny vyznaçennq c\oho rozv�qzku. Zvidsy vyplyva[, wo
isnuvannq obmeΩenyx rozv�qzkiv rivnqnnq (2) iz dovil\nog funkci[g h C∈ 0 ha-
rantu[ vykonannq spivvidnoßennq R f( )2 = R, wo zaverßu[ dovedennq teore-
my 1.
7. Dovedennq teoremy 2. Spoçatku nahada[mo, wo operator F : X → Y , de
X, Y � elementy mnoΩyny C C0 1,{ }, nazyva[t\sq obmeΩenym, qkwo vin koΩnu
obmeΩenu mnoΩynu vidobraΩa[ v obmeΩenu mnoΩynu. Cej operator nazyva[t\-
sq c-neperervnym, qkwo dlq dovil\nyx x X∈ i x Xn ∈ , n ≥ 1, dlq qkyx
x xn
Xlok., → pry n → ∞,
vyplyva[, wo
Fx Fxn
Ylok., → pry n → ∞.
Teper perejdemo do dovedennq teoremy 2.
Implikaci] (h) ⇒ (v) i (v) ⇒ (b) [ oçevydnymy.
Dovedemo implikacig (b) ⇒ (a). Nexaj operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj
neperervnyj operator. Zafiksu[mo dovil\ne çyslo h ∈R i rozhlqnemo rivnqn-
nq
f dx t
dt1
( )
= f x t2 ( )( ) – h, t ∈R. (11)
Qkwo funkciq y t( ) [ rozv�qzkom rivnqnnq (11), to dlq koΩnoho τ ∈R funk-
ciq y(t + τ) takoΩ [ rozv�qzkom c\oho rivnqnnq. A oskil\ky, zhidno z oborot-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX ROZV�QZKIV … 273
nistg operatora L : C1 → C0 , rivnqnnq (11) ma[ [dynyj rozv�qzok y C∈ 1, to
y t( ) ≡ const i, otΩe, koΩnyj rozv�qzok rivnqnnq (11) [ rozv�qzkom rivnqnnq
f x2( ) – h = 0. (12)
KoΩnyj stalyj rozv�qzok rivnqnnq (12) takoΩ [ rozv�qzkom rivnqnnq (11). To-
mu rivnqnnq (12) takoΩ ma[ [dynyj rozv�qzok. Na pidstavi c\oho ta rivnosti
R f( )2 = R, wo vyplyva[ z dovil\nosti vyboru h ∈R , funkciq f2 : R → R ma[
obernenu funkcig. Zvidsy ta z vklgçennq f2 ∈C vyplyva[, wo f2 ∈M .
OtΩe, implikacig (b) ⇒ (a) dovedeno.
Dovedemo implikacig (a) ⇒ (h). Za teoremog 1 dlq mnoΩyny R L( ) znaçen\
operatora L : C1 → C0 spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
R L( ) = C0 . (13)
Rozhlqnemo dovil\ni funkci] h Cn ∈ 0 , x Cn ∈ 1, n ≥ 0, dlq qkyx
Lxn = hn , n ≥ 0, (14)
i
lim –
n
n Ch h
→∞
0 0 = 0. (15)
PokaΩemo, wo
lim –
n
n Cx x
→∞
0 1 = 0. (16)
Zvidsy vyplyvatyme, wo: 1) dlq koΩno] funkci] h C∈ 0 rivnqnnq (2) ma[ [dynyj
rozv�qzok x C∈ 1 (tomu zavdqky (13) operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj ope-
rator L–1); 2) operator L–1
: C0 → C1 [ neperervnym.
Rozhlqnemo funkcig
Y t s( , ) = f f t s1
1
2
– ( ) –( ),
qka [ stroho monotonnog po t na R dlq vsix s ∈R , oskil\ky f1, f2 ∈M (za-
znaçymo, wo funkciq f1 ma[ obernenu funkcig f1
1– na pidstavi vklgçennq
f1 ∈M ). Todi zavdqky (14)
dx t
dt
n( )
= Y x t h tn n( ), ( )( ) , t ∈R, n ≥ 1, (17)
i
dx t
dt
0( )
= Y x t h t0 0( ), ( )( ) , t ∈R. (18)
Prypustymo, wo spivvidnoßennq (16) ne vykonu[t\sq. Ne obmeΩugçy zahal\-
nosti, moΩna vvaΩaty, wo
inf –
n
n Cx x
≥1
0 1 > 0. (19)
Iz c\oho spivvidnoßennq vyplyva[, wo
inf –
n
n Cx x
≥1
0 0 > 0. (20)
Spravdi, qkwo dlq deqko] zrostagço] poslidovnosti ( )nk k ≥1 cilyx çysel
lim –
n
n C
x x
k→∞
0 0 = 0, (21)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
274 V. G. SLGSARÇUK
to zavdqky rivnomirnij neperervnosti funkci] Y t s( , ) na koΩnij obmeΩenij i
zamknenij mnoΩyni spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
lim sup ( ), ( ) – ( ), ( )
k t
n nY x t h t Y x t h t
k k→∞ ∈
( ) ( )
R
0 0 = 0.
Tomu na pidstavi (17) i (18)
lim sup
( )
–
( )
k t
ndx t
dt
dx t
dt
k
→∞ ∈R
0 = 0,
wo razom iz (21) supereçyt\ (19).
Poslidovnist\ ( )hn n≥0 [ obmeΩenog (na pidstavi (15)). Tomu zavdqky (14) ta
teoremi 1 analohiçnu vlastyvist\ ma[ poslidovnist\ ( )xn n≥0 . OtΩe, isnugt\ vid-
rizky a b,[ ] i c d,[ ], dlq qkyx
n
nR x a b
≥
⊂ [ ]
0
U ( ) , (22)
i
n
nR h c d
≥
⊂ [ ]
0
U ( ) , . (23)
Poznaçymo çerez µ livu çastynu nerivnosti (20).
Rozhlqnemo vypadok, koly funkciq Y t s( , ) [ stroho zrostagçog po zminnij t
na R dlq vsix s ∈R (takyj vypadok moΩlyvyj zavdqky umovam teoremy). Za
lemog 3 isnu[ take çyslo k > 0, wo
Y u s( , ) – Y s( , )v ≥ k u( – )v (24)
dlq vsix (u, v, s) ∈ a b,[ ] × a b,[ ] × c d,[ ], dlq qkyx u – v ≥
µ
2
. Viz\memo take
çyslo δ > 0, wob
kµ – 2δ > 0. (25)
Zavdqky (15), (22), (23), rivnosti inf
n
nx
≥1
– x C0 0 = µ i neperervnosti funkci]
Y t( , s) na a b,[ ] × c d,[ ] isnugt\ çysla n1 ∈N i t1 ∈R , dlq qkyx
sup ( ), ( ) – ( ), ( )
t
n nY x t h t Y x t h t
∈
( ) ( )
R
1 10 1 ≤ δ (26)
i x t0 1( ) – x tn1 1( ) ≥
µ
2
. Ne obmeΩugçy zahal\nosti, moΩna vvaΩaty, wo
x t0 1( ) – x tn1 1( ) ≥
µ
2
. (27)
Vykorysta[mo spivvidnoßennq
d x t x t
dt
n0 1
( ) – ( )( )
= Y x t h t Y x t h tn0 0 01
( ), ( ) – ( ), ( )( ) ( )( ) +
+ Y x t h t Y x t h tn n n1 1 10( ), ( ) – ( ), ( )( ) ( )( ), t ∈R, (28)
wo vyplyva[ z (17) i (18). Zvidsy z uraxuvannqm (24) � (27) otrymu[mo
d x t x t
dt
n0 1 11
( ) – ( )( )
> 0. (29)
Rozhlqnemo dovil\nyj promiΩok t T1,[ ) , dlq qkoho
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX ROZV�QZKIV … 275
d x t x t
dt
n0 1
( ) – ( )( )
> 0, t ∈ t T1,[ ) (30)
(takyj promiΩok isnu[, oskil\ky funkci] Y x t0( )( , h t0( )) , Y x tn1
( )( , h t0( )) i
Y x tn1
( )( , h tn1
( )) neperervni na R i spravdΩugt\sq spivvidnoßennq (28) i (29)).
Todi na pidstavi (30) funkciq x t0( ) � x tn1
( ) [ stroho zrostagçog na promiΩku
t T1,[ ) . Tomu zavdqky neperervnosti v toçci T ci[] funkci] vykonu[t\sq neriv-
nist\ x T0( ) – x Tn1
( ) ≥
µ
2
. A oskil\ky na pidstavi (22) x T0( ){ , x Tn1
( )} � a b,[ ],
to zavdqky (24) � (26)
Y x T h T Y x T h Tn0 0 01
( ), ( ) – ( ), ( )( ) ( )( ) +
+ Y x T h T Y x T h Tn n n1 1 10( ), ( ) – ( ), ( )( ) ( )( ) >
kµ
2
– δ > 0.
Zvidsy vyplyva[, wo na promiΩku t1, +∞[ ) nema[ Ωodno] toçky τ, dlq qko]
d x t x t
dt
n
t
0 1
( ) – ( )( )
= τ
= 0.
Tomu
d x t x t
dt
n0 1
( ) – ( )( )
> 0, t ≥ t1.
OtΩe,
x t0( ) – x tn1
( ) ≥
µ
2
, t ≥ t1.
Todi na pidstavi (24) � (26) i (28)
d x t x t
dt
n0 1
( ) – ( )( )
≥
kµ
2
– δ > 0, t ≥ t1.
Ce spivvidnoßennq, oçevydno, supereçyt\ (22).
Takym çynom, prypuwennq pro te, wo spivvidnoßennq (16) ne vykonu[t\sq, [
xybnym u vypadku, koly funkciq Y t s( , ) [ stroho zrostagçog po zminnij t na
R dlq vsix s ∈R . OtΩe, u c\omu vypadku operator L : C1 → C0 ma[ oberne-
nyj neperervnyj operator L–1.
Teper rozhlqnemo vypadok, koly funkciq Y t s( , ) [ stroho spadnog po zmin-
nij t na R dlq vsix s ∈R . Cej vypadok zvodyt\sq do rozhlqnutoho vywe.
Spravdi, dopomiΩnyj operator L1 : C1 → C0 , vyznaçenyj rivnistg
( )( )L y t1 = f
dy t
dt1
( )
– f y t2 – ( )( ), t ∈R,
ma[ obernenyj neperervnyj operator, oskil\ky vidpovidna funkciq
Y t s1( , ) = f f t s1
1
2
– (– ) –( )
[ stroho zrostagçog po zminnij t na R dlq vsix s ∈R . Oskil\ky
( )( )Lx t = ( )(– )L y t1
dlq vsix x, y C∈ 1 i t ∈R, qkwo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
276 V. G. SLGSARÇUK
x t( ) = – (– )y t , t ∈R,
to operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj neperervnyj operator L–1 j u vypad-
ku stroho spadno] po zminnij t na R dlq vsix s ∈R funkci] Y t s( , ) .
OtΩe, operator L : C1 → C0 ma[ obernenyj neperervnyj operator L–1.
PokaΩemo obmeΩenist\ operatora L–1. Rozhlqnemo dovil\nu obmeΩenu mno-
Ωynu M C⊂ 0 . Isnugt\ vidrizky a b,[ ] i α β,[ ], dlq qkyx
h M
R h
∈
U ( ) � a b,[ ]
i
R f2 α β,[ ]( ) = a b,[ ].
Zavdqky teoremi 1 dlq koΩno] funkci] h M∈
R L h–1( ) � α β,[ ]. (31)
Takym çynom, operator L–1 vidobraΩa[ obmeΩenu mnoΩynu M C⊂ 0 v obme-
Ωenu mnoΩynu L M–1 � C0 . MnoΩyna L M–1 takoΩ obmeΩena u prostori C1.
Spravdi, oskil\ky dlq koΩno] funkci] h M∈
d L h
dt
–1( )
= Y L h t h t– ( ), ( )1( )( ), t ∈R,
i funkciq Y t s( , ) obmeΩena na prqmokutnyku α β,[ ] × a b,[ ], to
sup
–
h M C
dL h
dt∈
1
0
≤ max ( , )
( , ) , ,t s a b
Y t s
∈[ ]×[ ]α β
< + ∞.
Zvidsy i z (31) vyplyva[ obmeΩenist\ mnoΩyny L M–1 u prostori C1.
OtΩe, operator L M–1 [ obmeΩenym.
Teper pokaΩemo, wo operator L–1
: C0 → C1 [ c-neperervnym.
Prypustymo, wo vlastyvist\ c-neperervnosti dlq L–1 ne vykonu[t\sq. Isnu-
gt\ funkci] h C∈ 0 , h Cn ∈ 0 , n ∈N , i çysla δ > 0, a, b ∈R (a < b), dlq qkyx
h hn
Clok., 0
→ pry n → ∞ (32)
i
max ( ) – ( )– –
a t b
nL h t L h t
≤ ≤
( ) ( )1 1 +
+ max
( )
–
( )– –
a t b
nd L h t
dt
d L h t
dt≤ ≤
( ) ( )1 1
> δ, n ∈N . (33)
Zhidno z obmeΩenistg mnoΩyny hn{ : n ∈ }N u prostori C0 i obmeΩenistg
operatora L–1 mnoΩyna L hn
–1{ : n ∈ }N [ obmeΩenog u prostori C1. Tomu na
pidstavi lemy 1 moΩna vvaΩaty, ne zmenßugçy zahal\nosti, wo
L h yn
C– .,1 0lok → pry n → ∞, (34)
de y � deqkyj element prostoru C0 . Oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX ROZV�QZKIV … 277
d L h t
dt
n
– ( )1( )
≡ Y L h t h tn n
– ( ), ( )1( )( ), n ≥ 1,
to
L h tn
– ( )1( ) – L hn
– ( )1 0( ) =
0
1
t
n nY L h h d∫ ( )( )– ( ), ( )τ τ τ , t ∈R, n ∈N .
Zvidsy, iz (32), (34) ta neperervnosti Y t s( , ) na R2 otrymu[mo
y t( ) – y( )0 =
0
t
nY y h d∫ ( )( ), ( )τ τ τ
i
L h yn
C– .,1 1lok → pry n → ∞. (35)
OtΩe, rivnqnnq
dx t
dt
( )
= Y x t h t( ), ( )( ) , t ∈R,
ma[ rozv�qzky x = L h–1( ) (t) i y = y t( ), dlq qkyx zavdqky (33) i (35)
x y C– 1 ≥ δ > 0,
wo supereçyt\ oborotnosti operatora L : C0 → C1.
Takym çynom, prypuwennq pro te, wo operator L : C1 → C0 ne [ c-neperer-
vnym, xybne.
OtΩe, implikacig (a) ⇒ (h) dovedeno.
Teoremu 2 dovedeno.
8. ObmeΩeni nelinijni zburennq rivnqnnq (2). Navedemo zastosuvannq ot-
rymanyx rezul\tativ.
Teorema 3. Nexaj:
1) f1, f2 ∈M i f1 0( ) = 0;
2) H : C0 → C0 � c-neperervnyj operator, dlq qkoho
sup
x C
CH x
∈ 0
0 < + ∞.
Todi rivnqnnq
f
dx t
dt1
( )
= f x t2 ( )( ) – H x t( )( ), t ∈R, (36)
ma[ xoça b odyn rozv�qzok x C∈ 1.
Dovedennq. Zaznaçymo, wo zavdqky teoremi 2 ta perßij umovi teoremy ope-
rator L : C1 → C0 , wo vyznaça[t\sq rivnistg (1), ma[ obernenyj neperervnyj
obmeΩenyj i c-neperervnyj operator L–1. Tomu zadaça pro isnuvannq obmeΩe-
nyx rozv�qzkiv rivnqnnq (36) rivnosyl\na analohiçnij zadaçi dlq rivnqnnq
x t( ) = L H x t– ( )1( ) , t ∈R. (37)
Operator L H–1
: C0 → C1 qk kompozyciq dvox c-neperervnyx operatoriv [ c-
neperervnym j isnu[ take çyslo r > 0, wo
sup –
x C
C
L H x
∈ 0
1
1 ≤ r. (38)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
278 V. G. SLGSARÇUK
Tut vykorystano druhu umovu teoremy ta obmeΩenist\ operatora L–1.
Vyznaçymo operator Pn : C1 → C1 rivnistg
P x tn( )( ) = p t x tn( ) ( ) ,
de
p tn( ) =
1
1
2
0 1
2
2
, ,
cos , ,
, ,
qkwo
qkwo
qkwo
t n
t n t n
t n
≤
< ≤ +
> +
π
i rozhlqnemo rivnqnnq
x t( ) = P L H x tn
– ( )1( ) , t ∈R. (39)
Oskil\ky na pidstavi (38), oçevydno] nerivnosti
sup ( , )
n
n L C CP
≥1
1 1 < π + 1
i teoremy Arcela operator P L Hn
–1
: C0 → C0 [ cilkom neperervnym, a kulq
Br = x C x rC∈ ≤{ }0
0:
invariantna po vidnoßenng do c\oho operatora, to na pidstavi teoremy Íaudera
pro neruxomu toçku [14] rivnqnnq (39) ma[ rozv�qzok
y Bn r∈ .
Cej rozv�qzok takoΩ [ elementom prostoru C1 i
yn C1 < (π + 1) r.
Na pidstavi lemy 1 isnu[ taka funkciq y Br∗ ∈ , wo
y yn
Clok., 0
→ ∗ pry n → ∞.
Zvidsy, z oznaçennq operatora Pn , c-neperervnosti operatora L H–1 i spivvidno-
ßen\
y L Hy∗ ∗– –1 = y yn∗( )– + y P L H yn n n– –1( ) +
+ P L H y P L Hyn n n
– ––1 1 ∗( ) + P L H y L Hyn
– ––1 1∗ ∗( ) ,
y P L Hyn n n– –1 = 0,
P L H yn n
–1 – P L Hyn
C– .,1 0
0∗ →lok pry n → ∞,
P L Hyn
–1 ∗ – L Hy C– .,1 0
0∗ →lok pry n → ∞
vyplyva[
y∗ – P L Hn
–1 ∗ = 0,
tobto rivnqnnq (37) ma[ rozv�qzok y C∗ ∈ 0 . Cej rozv�qzok [ elementom prostoru
C1, oskil\ky L Hh–1 ∈ C1 dlq vsix h C∈ 0 .
Teoremu 3 dovedeno.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
UMOVY ISNUVANNQ TA {DYNOSTI OBMEÛENYX ROZV�QZKIV … 279
ZauvaΩymo, wo rivnqnnq (36) moΩe buty dyferencial\no-funkcional\nym
rivnqnnqm. Ce rivnqnnq [ takym, qkwo operator H : C0 → C0 vyznaça[t\sq
rivnistg
( )( )H x t =
k
kF t x t
=
∞
∑ ( )( )
1
, ( )ϕ , t ∈R,
de Fk : R2 → R i ϕk : R → R � neperervni funkci], x C∈ 0 i funkcional\-
nyj rqd
k
kF t s
=
∞
∑
1
( , )
rivnomirno zbiha[t\sq na R2 . Dlq c\oho operatora druha umova teoremy 3 vyko-
nu[t\sq.
1. Daleckyj G. L., Krejn M. H. Ustojçyvost\ reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj v bana-
xovom prostranstve. � M.: Nauka, 1970. � 535 s.
2. Krasnosel\skyj M. A., Burd V. Í., Kolesov G. S. Nelynejn¥e poçty peryodyçeskye kole-
banyq. � M.: Nauka, 1970. � 352 s.
3. Massera X., Íeffer X. Lynejn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq y funkcyonal\n¥e
prostranstva. � M.: Nauka, 1970. � 456 s.
4. Xartman F. Ob¥knovenn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq. � M.: Myr, 1970. � 720 s.
5. Muxamadyev ∏. Ob obratymosty funkcyonal\n¥x operatorov v prostranstve ohranyçenn¥x
na osy funkcyj // Mat. zametky. � 1972. � 11, # 3. � S. 269 � 274.
6. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ poçty peryodyçeskyx c-neprer¥vn¥x funkcyonal\n¥x ope-
ratorov // Mat. sb. � 1981. � 116 (158), # 4 (12). � S. 483 � 501.
7. Slgsarçuk V. E. Slabo nelynejn¥e vozmuwenyq normal\no razreßym¥x funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x y dyskretn¥x uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. � 1987. � 39, # 5. � S. 660 �
662.
8. Perov A. Y. Ob ohranyçenn¥x reßenyqx nelynejn¥x system ob¥knovenn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj // Vestn. VoroneΩ. un-ta. Ser. fyzyka, matematyka. � 2003. � # 1. �
S. 165 � 168.
9. Slgsarçuk V. G. Nelinijni dyferencial\ni rivnqnnq z obmeΩenymy na R rozv�qzkamy //
Nelinijni kolyvannq. � 2008. � 11, # 1. � S. 96 � 111.
10. Slgsarçuk V. E. Uslovyq suwestvovanyq ohranyçenn¥x reßenyj nelynejn¥x dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj // Uspexy mat. nauk. � 1999. � 54, v¥p. 4. � S. 181 � 182.
11. Slgsarçuk V. G. Neobxidni i dostatni umovy oborotnosti nelinijnyx dyferencial\nyx ope-
ratoriv u prostori obmeΩenyx na osi funkcij // Mat. stud. � 1999. � 12, # 2. � S. 213 � 220.
12. Slgsarçuk V. G. Neobxidni i dostatni umovy lipßycevo] oborotnosti nelinijnoho dyferen-
cial\noho operatora d / dt � f u prostori obmeΩenyx na osi funkcij // Tam Ωe. � 2001. � 15,
# 1. � S. 77 � 86.
13. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq suwestvovanyq y edynstvennosty oh-
ranyçenn¥x reßenyj nelynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Nelinijni kolyvannq. �
1999. � 2, # 4. � S. 523 � 539.
14. Nyrenberh L. Lekcyy po nelynejnomu funkcyonal\nomu analyzu. � M.: Myr, 1977. � 233 s.
OderΩano 08.04.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 2
|
| id | umjimathkievua-article-3018 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:43Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ef/c903f2024c11168842ddb9511141a9ef.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30182020-03-18T19:43:20Z Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations Умови існування та єдиності обмежених розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. We establish conditions required for the existence and uniqueness of bounded solutions of the nonlinear differential equation $f_1\left(\frac{dx(t)}{dt} \right) = f_2(x(t)), t ∈ ℝ$. Полученьї условия существования и единственности ограниченньїх решений нелинейного дифференциального уравнения $f_1\left(\frac{dx(t)}{dt} \right) = f_2(x(t)), t ∈ ℝ$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3018 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 2 (2009); 268-279 Український математичний журнал; Том 61 № 2 (2009); 268-279 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3018/2785 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3018/2786 Copyright (c) 2009 Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Slyusarchuk, V. Yu. Слюсарчук, В. Ю. Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title | Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_alt | Умови існування та єдиності обмежених розв'язків нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full | Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_fullStr | Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_full_unstemmed | Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_short | Conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| title_sort | conditions for the existence and uniqueness of bounded solutions of nonlinear differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3018 |
| work_keys_str_mv | AT slyusarchukvyu conditionsfortheexistenceanduniquenessofboundedsolutionsofnonlineardifferentialequations AT slûsarčukvû conditionsfortheexistenceanduniquenessofboundedsolutionsofnonlineardifferentialequations AT slyusarchukvyu umoviísnuvannâtaêdinostíobmeženihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slûsarčukvû umoviísnuvannâtaêdinostíobmeženihrozv039âzkívnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |