Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables
We establish sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions of a countable system of first-order quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3019 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509035659264000 |
|---|---|
| author | Berzhanov, A. B. Kurmangaliev, E. K. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. |
| author_facet | Berzhanov, A. B. Kurmangaliev, E. K. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. |
| author_sort | Berzhanov, A. B. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:20Z |
| description | We establish sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions of a countable system of first-order quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:42Z |
| format | Article |
| fulltext |
К О Р О Т К I П О В I Д О М Л Е Н Н Я
УДК 517.946
А. Б. Бержанов, Е. К. Курмангалиев (Актюб. ун-т, Казахстан)
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СЧЕТНОЙ СИСТЕМЫ
КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ*
We obtain sufficient conditions for the existence and uniqueness of a solution multiperiodic in a part of
variables for a countable system of first-order quasilinear partial differential equations.
Отримано достатнi умови iснування та єдиностi багатоперiодичного за частиною змiнних розв’язку
однiєї системи квазiлiнiйних рiвнянь з частинними похiдними першого порядку.
1. Изучение счетных систем дифференциальных уравнений представляет весь-
ма определенный интерес. Как показано, например, в [1], к решению различных
задач, в которых рассматриваются колебания систем с распределенными параме-
трами, удобно применять аппарат счетных систем дифференциальных уравнений.
Систематические исследования в данном направлении изложены во многих рабо-
тах (см., например, [2 – 4]). Отметим также монографию [5], посвященyю иссле-
дованию инвариантных тороидальных многообразий счетных систем дифференци-
альных уравнений. В работах [6, 7] получены необходимые и достаточные усло-
вия существования и единственности многопериодических решений и достаточные
условия существования и единственности почти многопериодических решений не-
линейных систем в частных производных со счетным множеством переменных.
В настоящей работе изучается вопрос о существовании и единственности много-
периодического по части переменных решения счетной системы квазилинейных
уравнений в частных производных вида
Dx
εx ≡
(
∂
∂t
+ a(t, ϕ, ψ, x, ε)
∂
∂ϕ
+ b(t, ϕ, ψ, x, ε)
∂
∂ψ
)
x =
= P (t, ϕ, ψ)x+ µQ(t, ϕ, ψ, x, µ), (1)
где x, Q — счетномерные векторы-столбцы; x = x(t, ϕ, ψ) — искомая вектор-
функция; ϕ, a, ψ, b — счетномерные векторы; P (t, ϕ, ψ) = {pij(t, ϕ, ψ)}, i, j =
= 1,∞, — бесконечная матрица; векторы a · ∂
∂ϕ
, b · ∂
∂ψ
означают формальные ска-
лярные произведения соответственно счетномерных векторов a, b и символических
векторов
∂
∂ϕ
=
(
∂
∂ϕ1
,
∂
∂ϕ2
, . . .
)
,
∂
∂ψ
=
(
∂
∂ψ1
,
∂
∂ψ2
, . . .
)
, координаты которых
также являются счетномерными векторами; ε > 0, µ > 0 — малые параметры.
Пусть t ∈ R = (−∞,+∞); ϕ, ψ ∈ R∞ =
{
ξ = (ξ1, ξ2, . . .) : |ξk| < ∞,
k = 1, 2, . . .
}
, при этом норма ‖ξ‖ = sup
k
{|ξk|}; x ∈ R∆, где R∆ — множество
*Выполнена при финансовой поддержке Фонда науки Министерства образования и науки Республи-
ки Казахстан (N1-1-1, 2-12(60)).
c© А. Б. БЕРЖАНОВ, Е. К. КУРМАНГАЛИЕВ, 2009
280 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СЧЕТНОЙ . . . 281
ограниченных последовательностей с числом ∆, т. е. R∆ =
{
x = (x1, x2, . . .):
‖x‖ ≤ ∆,
}
⊂ R∞, ε ∈ Eε0 = [0, ε0], µ ∈ Mµ0 = [0, µ0], ∆, ε0, µ0 — некоторые
положительные постоянные.
Вектор-функцию f(t, ϕ, ψ) ∈ R∆, определенную и непрерывную в области
Ω = R × R∞ × R∞, назовем многопериодической по части переменных, если она(
(θ, ω) ∈ R × R∞
)
-периодична по t, ϕ равномерно относительно ψ ∈ R∞, т. е.
найдутся положительные числа θ, ωk, k = 1,∞, такие, что равенство
f
(
t+ θ, ϕ+
∧
qω, ψ
)
− f(t, ϕ, ψ) = 0,
имеет место для любых точек (t, ϕ, ψ) ∈ Ω, где ω = (ω1, ω2, . . .),
∧
qω = (q1ω1,
q2ω2, . . .), q = (q1, q2, . . .) — целочисленный вектор.
Поставим задачу: выяснить достаточные условия существования и единствен-
ности многопериодического по части переменных решения системы (1).
Пусть счетномерная вектор-функция f(t, ϕ, ψ) в области Ω удовлетворяет сле-
дующим условиям, соответствующим условиям из [6]:
а) непрерывна по переменным t, ϕ, ψ;
б) ограничена по норме, т. е.∥∥f(t, ϕ, ψ)
∥∥ = sup
k
{|fk(t, ϕ, ψ)|} ≤ α,
где α > 0 — некоторая постоянная, k ∈ N, N — множство натуральных чисел;
в) удовлетворяет усиленному условию Липшица по ϕ, ψ:∥∥∥f(t, ϕ1, . . . , ϕm, ϕ
′
m+1, . . . ;ψ1, . . . , ψm, ψ
′
m+1, . . .) −
− f(t, ϕ1, . . . , ϕm, ϕ
′′
m+1, . . . ;ψ1, . . . , ψm, ψ
′′
m+1, . . .)
∥∥∥ ≤
≤ lm(∆mϕ+ ∆mψ), m = 0, 1, 2, . . . ,
где ∆mϕ = sup
[
|ϕ′m+1 − ϕ′′m+1|, |ϕ′m+2 − ϕ′′m+2|, . . .
]
; ∆mψ = sup
[
|ψ′m+1 −
− ψ′′m+1|, |ψ′m+2 − ψ′′m+2|, . . .
]
; {lm} — положительная числовая последователь-
ность, монотонно сходящаяся к нулю, т. е. lm ↘ 0 при m→∞;
введя проекторы Wm и Vm, которые счетномерному вектору ξ = (ξ1, ξ2, . . .)
ставят в соответствие векторы Wmξ = (ξ1, . . . ξm, 0, 0, . . .) и Vmξ = (0, . . . , 0, ξm+1,
ξm+2, . . .), условие в) запишем в виде∥∥∥f(t,Wmϕ+ Vmϕ
′,Wmψ + Vmψ
′)− f(t,Wmϕ+ Vmϕ
′′,Wmψ + Vmψ
′′)
∥∥∥ ≤
≤ lm(∆mϕ+ ∆mψ), m = 0, 1, 2, . . . ,
где ∆mϕ =
∥∥Vm(ϕ′ − ϕ′′)
∥∥, ∆mψ =
∥∥Vm(ψ′ − ψ′′)
∥∥;
г) имеет ограниченные и непрерывные частные производные первого поряд-
ка по всем координатам векторов ϕ и ψ, причем дифференцирование функции
проводится в покоординатном смысле;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
282 А. Б. БЕРЖАНОВ, Е. К. КУРМАНГАЛИЕВ
д) имеют место неравенства∥∥∥∥ ∂∂ϕf(t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ϕ
f(t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ =
∞∑
k=1
∥∥∥∥ ∂
∂ϕk
f(t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ϕk
f(t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤
≤ c0
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖+ ‖ψ′ − ψ′′‖
)
,∥∥∥∥ ∂
∂ψ
f(t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ψ
f(t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ =
∞∑
r=1
∥∥∥∥ ∂
∂ψr
f(t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ψr
f(t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤
≤ c0
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖+ ‖ψ′ − ψ′′‖
)
,
где c0 > 0 — некоторая постоянная.
Отметим, что условие вида д) встречается в работе [2].
Совокупность условий а) – д) назовем условиями (π), а вектор-функции, удовлет-
воряющие этим условиям, — π-функциями, и кратко обозначим их так: f(t, ϕ, ψ) ∈
∈ π(α, lm, c0).
В качестве примера многопериодической по части переменных π-функции рас-
смотрим следующую скалярную функцию:
f(t, ϕ1, ϕ2, . . . , ψ1, ψ2, . . .) = cos t+
∞∑
k=1
1
2k−1
sin
√
k
k + 1
ϕk +
∞∑
j=1
1
2j−1
arctgψj .
Непосредственной проверкой можно легко убедиться, что f(t, ϕ, ψ) ∈ π
(
3 +
+ π,
1
2m−1
, 2
)
.
Предположим, что в уравнении (1)
a(t, ϕ, ψ, x, ε) = a0(t) + εa1(t, ϕ, ψ, x, ε),
b(t, ϕ, ψ, x, ε) = b0(t) + εb1(t, ϕ, ψ, x, ε),
и будем считать, что относительно его коэффициентов выполнены следующие усло-
вия (обозначим их через (N∞)):
1) вектор-функции a0(t), b0(t) непрерывны, ограничены и θ-периодичны в R;
2) вектор-функции a1, b1, Q непрерывны и ограничены соответственно в
областях Ω × R∆ × Eε0 , Ω × R∆ × Eε0 , Ω × R∆ × Mµ0 , многопериодичны по
t, ϕ с вектором-периодом (θ, ω) ∈ R × R∞ равномерно относительно ψ ∈ R∞,
x ∈ R∆, ε ∈ Eε0 , µ ∈ Mµ0, удовлетворяют условиям по ϕ, ψ, x равномерно
относительно ε, µ;
3) матрица P (t, ϕ, ψ) =
{
pij(t, ε, ψ)
}
, i, j = 1,∞, непрерывна и ограничена
по норме в области Ω, т. е. ряды
∑∞
j=1
pij(t, ϕ, ψ) сходятся абсолютно в Ω, причем
∥∥P (t, ϕ, ψ)
∥∥ = sup
i
∞∑
j=1
|pij(t, ϕ, ψ)|
≤ P0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СЧЕТНОЙ . . . 283
где P0 > 0 — некоторая постоянная, (θ, ω)-периодична по t, ϕ равномерно относи-
тельно ψ ∈ R∞, удовлетворяет усиленному условию Липшица по ϕ, ψ:∥∥∥P (t,Wmϕ+ Vmϕ
′,Wmψ + Vmψ
′)− P (t,Wmϕ+ Vmϕ
′′,Wmψ + Vmψ
′′)
∥∥∥ ≤
≤ Pm(∆mϕ+ ∆mψ), m = 0, 1, 2, . . . ,
где Pm > 0, Pm ↘ 0 при m→∞, ∆mϕ = ‖Vm(ϕ′−ϕ′′)‖, ∆mψ = ‖Vm(ψ′−ψ′′)‖,
имеет ограниченные и непрерывные частные производные в поэлементном списке
по координатам векторов ϕ, ψ, и матричные ряды
∞∑
k=1
∂P
∂ϕk
,
∞∑
r=1
∂P
∂ψr
,
сходятся абсолютно и равномерно в Ω, причем∥∥∥∥∂P∂ϕ
∥∥∥∥ =
∞∑
k=1
∥∥∥∥ ∂P∂ϕk
∥∥∥∥ ≤ P ′1, ∥∥∥∥∂P∂ψ
∥∥∥∥ =
∞∑
r=1
∥∥∥∥ ∂P∂ψr
∥∥∥∥ ≤ P ′′1 ,
где P ′1, P
′′
1 — некоторые положительные постоянные, кроме того, частные производ-
ные по ϕ, ψ удовлетворяют неравенствам вида∥∥∥∥ ∂∂ϕP (t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ϕ
P (t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ =
∞∑
k=1
∥∥∥∥ ∂
∂ϕk
P (t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ϕk
P (t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤
≤ P ′2
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖+ ‖ψ′ − ψ′′‖
)
,∥∥∥∥ ∂
∂ψ
P (t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ψ
P (t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ =
∞∑
r=1
∥∥∥∥ ∂
∂ψr
P (t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ψr
P (t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤
≤ P ′′2
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖+ ‖ψ′ − ψ′′‖
)
,
где P ′2, P
′′
2 > 0 — некоторые постоянные.
Запишем соотношения, исходящие из условий (N∞), которые необходимы для
получения требуемых оценок:∥∥a0(t)
∥∥ ≤ a0,
∥∥b0(t)
∥∥ ≤ b0,
a1(t, ϕ, ψ, x, ε) ∈ π(a10, αm, a0), b1(t, ϕ, ψ, x, ε) ∈ π(b10, βm, b0),
Q(t, ϕ, ψ, x, µ) ∈ π(Q0, qm, q0), P (t, ϕ, ψ) ∈ π(P 0, Pm, P
′
2 + P ′′2 ),
равномерно относительно ε, µ.
При ε = 0 из системы (1) получаем систему
D0x
0 = P (t, ϕ, ψ)x0 + µQ(t, ϕ, ψ, x0, µ), (2)
которой назовем условно вырожденной.
2. Обозначим через B∞(∆, δm, c) класс (совокупность) счетномерных много-
периодических по части переменных π-функций f(t, ϕ, ψ), удовлетворяющих
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
284 А. Б. БЕРЖАНОВ, Е. К. КУРМАНГАЛИЕВ
π(∆, δm, c)-условиям, где δm ↘ 0 при m → +∞, норма которых определяется
соотношением
‖f‖B = sup
Ω
‖f‖+ sup
Ω
∥∥∥∥∂f∂ϕ
∥∥∥∥+ sup
Ω
∥∥∥∥ ∂f∂ψ
∥∥∥∥ ,
Ω = R×R∞ ×R∞.
Следуя идеям работ [6, 8], для некоторой функции f(t, ϕ, ψ) ∈ B∞(∆, δm, c)
строим характеристическую функцию Γf (s, t, ϕ, ψ, ε) =
{
λf (s, t, ϕ, ψ, ε), ξf (s, t,
ϕ, ψ, ε)
}
линеаризованного дифференциального оператора Df
ε , компоненты кото-
рой допускают следующие интегральные представления:
λf (s, t, ϕ, ψ, ε) = ϕ+
s∫
t
{
a0(σ) + εa1
[
σ, λf (σ, t, ϕ, ψ, ε), ξf (σ, t, ϕ, ψ, ε),
f(σ, λf (σ, t, ϕ, ψ, ε), ξf (σ, t, ϕ, ψ, ε)), ε
]}
dσ,
ξf (s, t, ϕ, ψ, ε) = ψ +
s∫
t
{
b0(σ) + εb1
[
σ, λf (σ, t, ϕ, ψ, ε), ξf (σ, t, ϕ, ψ, ε),
f(σ, λf (σ, t, ϕ, ψ, ε), ξf (σ, t, ϕ, ψ, ε)), ε
]}
dσ.
Несложно убедиться в правильности следующего утверждения.
Лемма 1. Для вектор-функций λ и ξ при выполнении условий (N∞) справе-
дливы соотношения:
1a)
∥∥∥λ(s, t,Wmϕ+Vmϕ′,Wmψ+Vmψ′, ε)−λ(s, t,Wmϕ+Vmϕ′′,Wmψ+Vmψ′′,
ε)
∥∥∥+
∥∥∥ξ(s, t,Wmϕ+Vmϕ′,Wmψ+Vmψ′, ε)−ξ(s, t,Wmϕ+Vmϕ′′,Wmψ+Vmψ′′, ε)
∥∥∥ ≤
≤
(
1 +
lm
l0
[
e2εl0|t−s| − 1
])
(∆mϕ + ∆mψ), где ∆mϕ = ‖Vm(ϕ′ − ϕ′′)‖, ∆mψ =
= ‖Vm(ψ′ − ψ′′)‖, lm = αm + βm + (α0 + β0)δm, l0 = (α0 + β0)(1 + δ0);
1б) λ(s + θ, t + θ, ϕ +
∧
qω, ψ) = λ(s, t, ϕ, ψ) +
∧
qω, ξ(s + θ, t + θ, ϕ +
∧
qω, ψ) =
= ξ(s, t, ϕ, ψ);
1в) ‖λf (s, t, ϕ, ψ, ε) − λg(s, t, ϕ, ψ, ε)‖ + ‖ξf (s, t, ϕ, ψ, ε) − ξg(s, t, ϕ, ψ, ε)‖ ≤
≤ ‖f − g‖B
1 + δ0
(
eεl0|t−s| − 1
)
∀f, g ∈ B∞(∆, δm, c);
1г)
∥∥∥∥∂λf∂ν − ∂λg∂ν
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂ξf∂ν − ∂ξg∂ν
∥∥∥∥ ≤ d‖f − g‖B
3l0
(
e3εl0|t−s|− 1
)
eεl0|t−s| ∀f, g ∈
∈ B∞(∆, δm, c), где ν означает вектор ϕ или ψ, d = 2
((
a0 +b0
)
(1+δ0)+α0 +β0
)
;
1д)
∥∥∥∥∂λ′f∂ν − ∂λ′′f
∂ν
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂ξ′f∂ν − ∂ξ′′f
∂ν
∥∥∥∥ ≤ d
4l0
(
e4εl0|t−s| − 1
)
eεl0|t−s|
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖+
+ ‖ψ′ − ψ′′‖
)
, где ν означает вектор ϕ или ψ, d = 2
(
a0 + b0
)
(1 + δ0)2 + 2c(α0 +
β0), λ′f = λf (s, t, ϕ′, ψ′, ε), λ′′f = λf (s, t, ϕ′′, ψ′′, ε), ξ′f = ξf (s, t, ϕ′, ψ′, ε), ξ′′f =
= ξf (s, t, ϕ′′, ψ′′, ε).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СЧЕТНОЙ . . . 285
3. Пусть Xf (t0, t, ϕ, ψ) — матрица типа Грина для линеаризованной системы
Df
εx = P (t, ϕ, ψ)x, (3)
где f ∈ B∞(∆, δm, c), удовлетворяющая условию некритичности [6]:∥∥Xf (t0, t, ϕ, ψ)
∥∥ ≤ B exp
{
−γ|t− t0|
}
,
Xf (t− 0, t, ϕ, ψ)−Xf (t+ 0, t, ϕ, ψ) = E,
(4)
с постоянными B ≥ 1, γ > 0, где E — бесконечная единичная матрица.
Систему (3) назовем некритической относительно класса B∞(∆, δm, c), если
условие (4) выполняется для любой функции f ∈ B∞(∆, δm, c).
О свойствах матрицы Xf говорится в следующем утверждении.
Лемма 2. Если система (3) некритическая относительно класса B∞(∆, δm,
c) и выполнены условия (N∞), то при 0 < ε < ε =
γ
8l0B
для матрицы типа Грина
имеют место соотношения:
2a)
∥∥∥∥∂Xf
∂ϕ
∥∥∥∥ +
∥∥∥∥∂Xf
∂ψ
∥∥∥∥ ≡ ∞∑
k=1
∥∥∥∥∂Xf
∂ϕk
∥∥∥∥ +
∞∑
r=1
∥∥∥∥∂Xf
∂ψr
∥∥∥∥ ≤ B∗e−
γ
2 |t−t0|, где B∗ =
= LB(P ′1 + P ′′1 ), L = 2Lγ−1;
2б)
∥∥Xf (t0, t,Wmϕ + Vmϕ,Wmψ + Vmψ) − Xf (t0, t,Wmϕ + Vmϕ,Wmψ +
+Vmψ)
∥∥ ≤ L[BKm+2εB∗lm]e−
γ
2 |t−t0| (∆mϕ+ ∆mψ) , где lm = αm+βm+(α0 +
+ β0)δm, l0 = (α0 + β0)(1 + δ0), Km = Pm + lm
P0
2l0
;
2в) Xf (t0 + θ, t+ θ, ϕ+
∧
qω, ψ) = Xf (t0, t, ϕ, ψ);
2г)
∥∥Xf (t0, t, ϕ, ψ) − Xg(t0, t, ϕ, ψ)
∥∥ ≤ LB∗ε(α0 + β0)‖f − g‖Be−
γ
2 |t−t0|
∀f, g ∈ B∞(∆, δm, c);
2д)
∥∥∥∥∂Xf
∂ϕ
−∂Xg
∂ϕ
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂Xf
∂ψ
−∂Xg
∂ψ
∥∥∥∥ ≤ 2LL‖f−g‖Be−
γ
4 |t−t0| ∀f, g ∈ B∞(∆, δm,
c), где L = 2Lε(α0 + β0)(P ′1 + P ′′1 )(1 + l0L) + B(P ′2 + P ′′2 ) + B∗
((
a0 + b0
)
(2 +
+ δ0) + α0 + β0
)
;
2e)
∥∥∥∥ ∂∂ϕXf (t0, t, ϕ′, ψ′) −
∂
∂ϕ
Xf (t0, t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ +
∥∥∥∥ ∂
∂ψ
Xf (t0, t, ϕ′, ψ′) −
− ∂
∂ψ
Xf (t0, t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤ 2LLe−
γ
4 |t−t0|(‖ϕ′−ϕ′′‖+‖ψ′−ψ′′‖), где L = 2L(BK0 +
+ 2εB∗l0)(P ′1 + P ′′1 )(1 + l0L) +B(P ′2 + P ′′2 ) +B∗d.
4. Рассмотрим оператор T, отображающий каждую вектор-функцию f(t, ϕ, ψ) ∈
∈ B∞(∆, δm, c ) в вектор-функцию
Ff (t, ϕ, ψ) ≡ T (f) = µ
+∞∫
−∞
Xf (s, t, ϕ, ψ)Q
[
s, λf (s, t, ϕ, ψ, ε), ξf (s, t, ϕ, ψ, ε),
f(s, λf (s, t, ϕ, ψ, ε), ξf (s, t, ϕ, ψ, ε)), µ
]
ds. (5)
Из свойств матрицы Xf и вектор-функций f,Q следует, что Ff (t, ϕ, ψ) непре-
рывна и непрерывно дифференцируема в Ω.В (5) возможноDf
ε -дифференцирование
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
286 А. Б. БЕРЖАНОВ, Е. К. КУРМАНГАЛИЕВ
под знаком интеграла. Действуя дифференциальным оператором Df
ε на соотноше-
ние (5), получаем равенство
Df
εFf (t, ϕ, ψ) = P (t, ϕ, ψ)Ff (t, ϕ, ψ) + µQ
[
t, ϕ, ψ, Ff (t, ϕ, ψ), µ
]
.
На основании оценок 1a) – 1д), 2а) – 2е), в силу условий (N∞), (4) аналогично
[6] устанавливаем следующие оценки:
3a)
∥∥Ff (t, ϕ, ψ)
∥∥ ≤ µLQ0;
3б)
∥∥Ff (t,Wmϕ+ Vmϕ,Wmψ + Vmψ)− Ff (t,Wmϕ+ Vmϕ,Wmψ + Vmψ)
∥∥ ≤
≤ µΓm (∆mϕ+ ∆mψ) , где Γm = L
{
2
(
q0
α0 + β0
lm + qm + q0δm
)
+
+LQ0
[
2Km + (P ′1 + P ′′1 )
lm
l0
]}
;
3в) Ff (t+ θ, ϕ+
∧
qω, ψ) = Ff (t, ϕ, ψ);
3г)
∥∥∥∥ ∂∂ν Ff (t, ϕ′, ψ′)− ∂
∂ν
Ff (t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤ µC
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖+ ‖ψ′ − ψ′′‖
)
, где ν
означает вектор ϕ или ψ, C =
8
γ
{
2LLQ0 + q0(1 + δ0)
(
B∗ + 2L
(
BK0 +
γ
4
(P ′1 +
+ P ′′1 )
))
+B
(
q0(1 + δ0)2 + q0c+
q0d
3(α0 + β0)
)}
;
3д)
∥∥Ff (t, ϕ, ψ)−Fg(t, ϕ, ψ)
∥∥ ≤ µN∗‖f − g‖B ∀f, g ∈ B∞(∆, δm, c), где N∗ =
= L
(
2q0 + LQ0
P ′1 + P ′′1
2(1 + δ0)
)
;
3e)
∥∥∥∥ ∂∂ν Ff (t, ϕ, ψ) − ∂
∂ν
Fg(t, ϕ, ψ)
∥∥∥∥ ≤ µN∗‖f − g‖B ∀f, g ∈ B∞(∆, δm, c),
где ν означает вектор ϕ или ψ, N∗ =
1
γ
{
16LLQ0 + 8q0B
∗ + L2q0γ(P ′1 + P ′′1 ) +
+ 8B
(
q0(1 + δ0) + q0 +
q0d
3(α0 + β0)
)}
.
5. Положим µ1 =
∆
LQ0
, µ2(m) =
δm
Γm
, m = 0, 1, 2, . . . , µ3 = c/C, µ4 =
1
2N∗
,
µ5 =
1
2N∗
.
Выберем теперь значение параметра так, чтобы
0 < µ < µ(m) = min{µ1, µ2, µ3, µ4, µ5, }, m = 0, 1, 2, . . . .
При этих значениях параметра µ из оценок 3a) – 3e) следуют сотношения:
4a)
∥∥Ff (t, ϕ, ψ)
∥∥ ≤ ∆;
4б)
∥∥Ff (t,Wmϕ+ Vmϕ,Wmψ + Vmψ)− Ff (t,Wmϕ+ Vmϕ,Wmψ + Vmψ)
∥∥ ≤
≤ δm(∆mϕ+ ∆mψ);
4в) Ff (t+ θ, ϕ+
∧
qω, ψ) = Ff (t, ϕ, ψ);
4г)
∥∥∥∥ ∂∂ν Ff (t, ϕ′, ψ′) − ∂
∂ν
Ff (t, ϕ′′, ψ′′)
∥∥∥∥ ≤ µc
(
‖ϕ′ − ϕ′′‖ + ‖ψ′ − ψ′′‖
)
, где ν
означает вектор ϕ или ψ;
4д)
∥∥Ff (t, ϕ, ψ)− Fg(t, ϕ, ψ)
∥∥ ≤ 1
2
‖f − g‖B ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЕ ПО ЧАСТИ ПЕРЕМЕННЫХ РЕШЕНИЕ ОДНОЙ СЧЕТНОЙ . . . 287
4e)
∥∥∥∥ ∂∂ϕFf (t, ϕ, ψ)− ∂
∂ϕ
Fg(t, ϕ, ψ)
∥∥∥∥ ≤ 1
2
‖f − g‖B ,
∥∥∥∥ ∂
∂ψ
Ff (t, ϕ, ψ)− ∂
∂ψ
Fg(t,
ϕ, ψ)
∥∥∥∥ ≤ 1
2
‖f − g‖B .
Кроме того, при этих значениях µ
Ff (t, ϕ, ψ) ∈ C(1,1,1)
t,ϕ,ψ (R×R∞ ×R∞) ⊂ C(0,1,1)
t,ϕ,ψ (R×R∞ ×R∞)
и ∥∥∥∥∂Ff∂ϕ
∥∥∥∥+
∥∥∥∥∂Ff∂ψ
∥∥∥∥ =
∞∑
k=1
∥∥∥∥∂Ff∂ϕk
∥∥∥∥+
∞∑
r=1
∥∥∥∥∂Ff∂ψ
∥∥∥∥ ≤ δ0,
причем эти ряды сходятся абсолютно и равномерно на множестве Ω.
Отсюда видно, что оператор T при значениях параметров 0 < ε < ε, 0 <
< µ < µ(m) отображает класс B∞(∆, δm, c) в себя, т. е. Ff (t, ϕ, ψ) ≡ T (f) ∈
∈ B∞(∆, δm, c), и является сжимающим оператором с коэффициентом сжатия
1
2
.
Выберем любую функцию f0 ∈ B∞(∆, δm, c) и построим последовательность
функций
f0, f1, . . . , fk, . . . , (6)
определяемых рекуррентным соотношением fk = T (fk−1), k = 1, 2, . . . . Тогда из
изложенного выше следует, что fk ∈ B∞(∆, δm, c). Теперь покажем, что после-
довательность функций (6) равномерно сходится и ее предел является функцией
этого же класса.
Для этого рассмотрим ряд
f0 + (f1 − f0) + . . .+ (fk+1 − fk) + . . . . (7)
Заметим, что ‖f0‖ ≤ ∆, ‖f1−f0‖ ≤ ‖f1‖+‖f0‖ ≤ 2∆. Далее, на основе оценки 4д)
для каждого k ∈ N будем иметь
‖fk+1 − fk‖ ≤
∆
2k−1
.
Следовательно, ряд (7) мажорируется сходящимся числовым рядом
∆ + 2∆ +
∞∑
k=1
∆
2k−1
. (8)
Отсюда следует, что последовательность (6) равномерно сходится к некоторой
предельной функции f∗ = f∗(t, ϕ, ψ). В силу равномерной сходимости ее предел
f∗ имеет те свойства, что и fk, кроме дифференцируемости.
Осталось показать дифференцируемость f∗ по координатам векторов ϕ, ψ.
Рассмотрим последовательность
∂f0
∂ϕj
,
∂f1
∂ϕj
, . . . ,
∂fk
∂ϕj
, . . . , (9)
получаемую из (6) дифференцированием по ϕj итерационной формулы fk =
= T (fk−1), где ϕj — j-я координата вектора ϕ. Теперь, как и выше, составим
ряд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
288 А. Б. БЕРЖАНОВ, Е. К. КУРМАНГАЛИЕВ
∂f0
∂ϕj
+
(
∂f1
∂ϕj
− ∂f0
∂ϕj
)
+ . . .+
(
∂fk+1
∂ϕj
− ∂fk
∂ϕj
)
+ . . . . (10)
На основе оценки 4e) аналогично предыдущему заметим, что этот ряд мажориру-
ется тем же числовым рядом (8). Следовательно, ряд (10) сходится равномерно и
абсолютно. Отсюда следует равномерная сходимость последовательности (9).
Пусть Φ(t, ϕ, ψ) — равномерный предел этой последовательности. Тогда, в силу
известной теоремы о почленном дифференцировании ряда, получаем
Φ(t, ϕ, ψ) =
∂f∗(t, ϕ, ψ)
∂ϕj
.
Тем самым доказана дифференцируемость f∗ по координатам вектора ϕ. Диф-
ференцируемость по координатам вектора ψ доказывается аналогично.
Таким образом, выполнены все условия теоремы Каччиополи – Банаха [8] о
принципе сжатых отображений.
Следовательно, в силу этой теоремы в классе B∞(∆, δm, c) существует един-
ственная неподвижная точка f∗ = f∗(t, ϕ, ψ, ε, µ) оператора T, т. е.
T (f∗) = f∗,
которая является решением системы (1).
Сформулируем основной результат этой статьи.
Теорема. Если система (3) некритическая относительно класса B∞(∆, δm,
c), то при условиях (N∞) существуют числа ε, µ такие, что при всех значениях
параметров 0 < ε < ε, 0 < µ < µ(m) система (1) допускает единственное
многопериодическое по части переменных решение из класса B∞(∆, δm, c), обра-
щающееся при ε = 0 в многопериодическое по части переменных решение условно
вырожденной системы (2), а при µ = 0 — в тривиальное решение x ≡ 0.
1. Митропольский Ю. А. Укр. мат. журн. – 1964. – 16, № 3. – C. 334 – 337.
2. Персидский К. П. Избранные труды. – Алма-Ата: Наука, 1976. – Т. 2.
3. Валеев К. Г., Жаутыков О. А. Бесконечные системы дифференциальных уравнений. – Алма-Ата,
1974.
4. Халилов З. И. Докл. АН СССР. – 1952. – 84. – С. 229 – 232.
5. Самойленко А. М., Теплинский Ю. В. Счетные системы дифференциальных уравнений. – Киев:
Наук. думка, 1993.
6. Умбетжанов Д. У. Почти многопериодические решения дифференциальных уравнений в частных
производных. – Алма-Ата: Наука, 1979. – 211 с.
7. Умбетжанов Д. У., Сартабанов Ж. А. // Вопросы математики и прикл. математики. – Алма-Ата,
1977. – С. 102 – 108.
8. Митропольский Ю. А., Лыкова О. Б. Интегральные многообразия в нелинейной механике. – М.:
Наука, 1973. – 512 с.
Получено 10.01.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 2
|
| id | umjimathkievua-article-3019 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:42Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/38/5a57ce9e0955a2ed62d73e5b3411ea38.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30192020-03-18T19:43:20Z Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables Многопериодическое по части переменных решение одной счетной системы квазилинейных уравнений в частных производных Berzhanov, A. B. Kurmangaliev, E. K. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. We establish sufficient conditions for the existence and uniqueness of solutions of a countable system of first-order quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables. Отримано достатні умови iснування та єдиності багатоперiодичного за частиною змінних розв'язку однієї системи квазілінійних рівнянь з частинними похідними першого порядку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-02-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3019 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 2 (2009); 280-288 Український математичний журнал; Том 61 № 2 (2009); 280-288 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3019/2787 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3019/2788 Copyright (c) 2009 Berzhanov A. B.; Kurmangaliev E. K. |
| spellingShingle | Berzhanov, A. B. Kurmangaliev, E. K. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. Бержанов, А. Б Курмангалиев, Е. К. Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| title | Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| title_alt | Многопериодическое по части переменных решение одной счетной системы квазилинейных уравнений в частных производных |
| title_full | Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| title_fullStr | Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| title_full_unstemmed | Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| title_short | Solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| title_sort | solution of a countable system of quasilinear partial differential equations multiperiodic in a part of variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3019 |
| work_keys_str_mv | AT berzhanovab solutionofacountablesystemofquasilinearpartialdifferentialequationsmultiperiodicinapartofvariables AT kurmangalievek solutionofacountablesystemofquasilinearpartialdifferentialequationsmultiperiodicinapartofvariables AT beržanovab solutionofacountablesystemofquasilinearpartialdifferentialequationsmultiperiodicinapartofvariables AT kurmangalievek solutionofacountablesystemofquasilinearpartialdifferentialequationsmultiperiodicinapartofvariables AT beržanovab solutionofacountablesystemofquasilinearpartialdifferentialequationsmultiperiodicinapartofvariables AT kurmangalievek solutionofacountablesystemofquasilinearpartialdifferentialequationsmultiperiodicinapartofvariables AT berzhanovab mnogoperiodičeskoepočastiperemennyhrešenieodnojsčetnojsistemykvazilinejnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyh AT kurmangalievek mnogoperiodičeskoepočastiperemennyhrešenieodnojsčetnojsistemykvazilinejnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyh AT beržanovab mnogoperiodičeskoepočastiperemennyhrešenieodnojsčetnojsistemykvazilinejnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyh AT kurmangalievek mnogoperiodičeskoepočastiperemennyhrešenieodnojsčetnojsistemykvazilinejnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyh AT beržanovab mnogoperiodičeskoepočastiperemennyhrešenieodnojsčetnojsistemykvazilinejnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyh AT kurmangalievek mnogoperiodičeskoepočastiperemennyhrešenieodnojsčetnojsistemykvazilinejnyhuravnenijvčastnyhproizvodnyh |