Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals
We determine the exact values of upper bounds of approximations by biharmonic Poisson integrals on classes of conjugate differentiable functions in uniform and integral metrics.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3023 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509041375051776 |
|---|---|
| author | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_facet | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. |
| author_sort | Zhyhallo, K. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:35Z |
| description | We determine the exact values of upper bounds of approximations by biharmonic Poisson integrals on classes of conjugate differentiable functions in uniform and integral metrics. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:48Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
K. М. Жигалло, Ю. I. Харкевич (Волин. нац. ун-т, Луцьк)
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ
ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ IНТЕГРАЛАМИ ПУАССОНА*
We obtain exact values of upper bounds of approximations by biharmonic Poisson integrals on classes of
conjugate differentiable functions in uniform and integral metrics.
Получены точные значения верхних граней приближений бигармоническими интегралами Пуассона на
классах сопряженных дифференцируемых функций в равномерной и интегральной метриках.
1. Основнi означення. Нехай C — простiр 2π-перiодичних неперервних функцiй,
у якому норма задається за допомогою рiвностi
‖f‖C = max
t
|f(t)|;
L∞ — простiр 2π-перiодичних вимiрних суттєво обмежених функцiй iз нормою
‖f‖∞ = ess sup
t
|f(t)|;
L — простiр 2π-перiодичних сумовних на перiодi функцiй, де норму задано таким
чином:
‖f‖L = ‖f‖1 =
π∫
−π
|f(t)|dt.
Розглянемо крайову задачу (в одиничному крузi) для рiвняння
∆(∆u) = 0, (1)
де ∆ =
∂2
∂ρ2
+
1
ρ
∂
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
∂x2
— оператор Лапласа у полярних координатах.
Розв’язок рiвняння (1), що задовольняє крайовi умови
u (ρ, x)
∣∣
ρ=1
= f(x),
∂u(ρ, x)
∂ρ
∣∣∣∣
ρ=1
= 0, −π ≤ x ≤ π, (2)
де f(x) — сумовна 2π-перiодична функцiя, далi позначатимемоB(ρ; f ;x) = u(ρ, x).
Тодi розв’язок крайової задачi (1), (2) можемо записати у виглядi
B(ρ; f ;x) =
=
1
π
π∫
−π
f(t+ x)
{
1
2
+
∞∑
k=1
[
1 +
k
2
(
1− ρ2
)]
ρk cos kt
}
dt, 0 ≤ ρ < 0. (3)
Величину (3) називають бiгармонiчним iнтегралом Пуассона функцiї f (див., на-
приклад, [1]). Поклавши ρ = e−1/δ, бiгармонiчний iнтеграл запишемо у виглядi
* Виконано за пiдтримки Державного фонду фундаментальних дослiджень України (грант
Ф25.1/043).
c© K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 333
334 K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Bδ(f, x) =
1
π
π∫
−π
f(t+ x)Kδ(t)dt, δ > 0,
де
Kδ(t) =
1
2
+
∞∑
k=1
[
1 +
k
2
(
1− e−2/δ
)]
e−k/δ cos kt
— бiгармонiчне ядро Пуассона.
Через W r
p (де p = 1 або p = ∞) позначимо множину 2π-перiодичних функ-
цiй, якi мають абсолютно неперервнi похiднi до (r − 1)-го порядку включно i
‖f (r)(t)‖p ≤ 1, якщо p = 1,∞; через W
r
p — клас функцiй, спряжених до функцiй
iз класу W r
p , тобто
W
r
p =
f̄ : f̄ (x) = − 1
2π
π∫
−π
f (x+ t) ctg
t
2
dt, f ∈W r
p
,
де iнтеграл розумiється в сенсi його головного значення, тобто
π∫
−π
f (x+ t) ctg
t
2
dt = lim
ε→0+
−ε∫
−π
+
π∫
ε
f (x+ t) ctg
t
2
dt
(див., наприклад, [2, с. 22]).
Позначимо
E (N, Bδ)C = sup
f∈N
‖f (x)−Bδ (f, x)‖C , (4)
E (N, Bδ)1 = sup
f∈N
‖f (x)−Bδ (f, x)‖1. (5)
Якщо в явному виглядi знайдено функцiю g (δ) = g (N; δ) таку, що при δ →∞
має мiсце точна асимптотична рiвнiсть
E (N, Bδ)X = g (δ) + o (g (δ)) ,
то, наслiдуючи О. I. Степанця [3, с. 198], будемо говорити, що розв’язано задачу
Колмогорова – Нiкольського для даного класу N i оператора Bδ(f, x) у метрицi
простору X .
Апроксимативнi властивостi методу наближення бiгармонiчними iнтегралами
Пуассона на класах диференцiйовних функцiй дослiджувались багатьма авторами.
У 1963 р. С. Канiєв [4] встановив для величини E
(
W 1
∞, B(ρ)
)
C
, тобто для точ-
них верхнiх меж вiдхилень функцiй iз класу W 1
∞ вiд їх бiгармонiчних iнтегралiв
Пуассона, асимптотичну рiвнiсть при ρ→ 1−
E
(
W 1
∞, B(ρ)
)
C
=
2
π
(1− ρ) +
ερ
π
, ερ = o(1− ρ),
а також точнi значення апроксимативних характеристик E (W r
∞, B(ρ))C .
У 1968 р. P. Pych [5] отримала асимптотичну рiвнiсть
E
(
W 1
∞, B(ρ)
)
C
=
2
π
(1− ρ) +O
(
(1− ρ)2 ln
1
1− ρ
)
, ρ→ 1− .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ . . . 335
Пiзнiше цi дослiдження було продовжено у роботi Л. П. Фалалєєва [6], де
отримано повний асимптотичний розклад для величини E
(
W 1
∞, B(ρ)
)
C
:
E
(
W 1
∞, B(ρ)
)
C
=
2
π
{
(1− ρ) + (1− ρ)2 ln
1
1− ρ
+
+
(
ln 2 +
1
2
)
(1− ρ)2 +
∞∑
k=3
(
αk (1− ρ)k ln
1
1− ρ
+ βk (1− ρ)k
)}
,
αk =
1
k
,
βk =
1
k
(
ln 2 +
1
k
−
k−1∑
i=1
1
i2i
− 1
(k − 2) (k − 1) 2k−2
− 1
(k − 1) 2k−1
)
.
У роботi Л. П. Фалалєєва та Т. I. Аманова [7] знайдено повний асимптотичний
розклад для величини E
(
W 1
∞, Bδ
)
C
, який формулюється як у термiнах
1
δ
, так i в
термiнах 1− ρ, а саме, при δ →∞ (ρ→ 1− 0)
E
(
W 1
∞, Bδ
)
C
=
1− ρ2
π
{
1 +
∞∑
k=1
(−1)k+1
(
2k
∞∫
π
(t)2πdt
t2k+2
− 1
π2k
)
1
δ2k
}
+
+
(
2
π
1
δ
− 1− ρ2
π
){
ln δ + lnπ +
∞∫
π
(t)2πdt
t2
+
+
∞∑
k=1
(−1)k+1
(
1
2kπ2k
−
∞∫
π
(t)2πdt
t2k+2
)
1
δ2k
}
,
де (t)2π — парне 2π-перiодичне продовження функцiї ϕ(t) = t з [0, π] на всю
вiсь. У цiй же роботi знайдено також загальнi вирази, якi дозволяють одержувати
аналогiчнi розклади величин E (W r
∞;Bδ)C при довiльних r ∈ N .
Метою даної роботи є отримання точних значень величин (4) i (5) при N = W
r
∞
та N = W
r
1, r ∈ N \ {1}, у рiвномiрнiй та iнтегральнiй метриках вiдповiдно.
Через Kn i K̃n, як це прийнято, у подальшому будемо позначати вiдомi кон-
станти Ж. Фавара – Н. I. Ахiєзера – М. Г. Крейна з теорiї найкращих наближень:
Kn =
4
π
∞∑
m=0
(−1)m(n+1)
(2m+ 1)n+1
, n = 0, 1, 2, . . . ,
K̃n =
4
π
∞∑
m=0
(−1)mn
(2m+ 1)n+1
, n ∈ N.
Теорема 1. Якщо r = 2l, l ∈ N, то при кожному δ > 0 мають мiсце рiвностi
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
= E
(
W
r
1, Bδ
)
1
=
r
2∑
i=1
1
(2i− 1)!
Kr−2i+1
1
δ2i−1
−
−
r−2
2∑
i=1
1
(2i)!
K̃r−2i
1
δ2i
+
1− e−2/δ
2
( r−2
2∑
i=1
1
(2i− 1)!
K̃r−2i
1
δ2i−1
−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
336 K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
−
r−2
2∑
i=0
1
(2i)!
Kr−2i−1
1
δ2i
)
− α
(r)
δ +
1− e−2/δ
2
α
(r−1)
δ ,
де
α
(n)
δ =
2
π
1/δ∫
0
tn∫
0
. . .
t2∫
0
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1dt2 . . . dtn.
Доведення. Доведемо спочатку теорему для випадку рiвномiрної метрики.
Iнтегруючи r разiв частинами коефiцiєнти Фур’є функцiї f , отримуємо
f(x)−Bδ(f, x) =
=
1
π
π∫
−π
f (r)(x+ t)
∞∑
k=1
1−
[
1 +
k
2
(
1−e−2/δ
)]
e−k/δ
kr
cos
(
kt+
(r + 1)π
2
)
dt. (6)
Враховуючи останню рiвнiсть, знаходимо
E(W
r
∞;Bδ)C =
1
π
sup
f∈W r
∞
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
f (r)(t)Qr (t; δ) dt
∣∣∣∣∣∣,
де
Qr (t; δ) =
∞∑
k=1
1−
[
1 +
k
2
(
1− e−2/δ
)]
e−k/δ
kr
cos
(
kt+
(r + 1)π
2
)
, δ > 0. (7)
Оскiльки f ∈W r
∞, Qr(t; δ) є непарною при r = 2l, l ∈ N , то
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
≤ 2
π
π∫
0
∣∣Qr (t; δ)
∣∣dt.
Переконаємося в тому, що
signQr (t; δ) = ± sign sin t, r = 2l, l ∈ N. (8)
Очевидно, що
Qr (0; δ) = Qr(π; δ) = 0, r = 2l, l ∈ N.
Припустимо, що iснує t0 ∈ (0, π) така, що Qr(t0; δ) = 0. Тодi, застосовуючи r − 2
рази теорему Ролля, приходимо до висновку, що для функцiї Q2 (t; δ) iснує точка
tr−2 ∈ (0, π) така, що Q2(tr−2; δ) = 0. А це неможливо, оскiльки, використовуючи
зауваження до теореми 1.14 роботи [8, с. 297], можна переконатись, що Q2(t; δ) >
> 0, t ∈ (0, π). Отже, рiвнiсть (8) доведено.
Розглянемо функцiю f таку, що f (r) (t) = sign
(
Qr (t; δ)
)
, t ∈ [−π, π]. Така
функцiя неперервно i перiодично продовжується на R i належить до класу W r
∞ [9,
c. 104 – 106]. А отже, при r = 2l, l ∈ N
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ . . . 337
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
≥ 2
π
π∫
0
∣∣Qr (t; δ)
∣∣dt
i, таким чином,
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
=
2
π
π∫
0
∣∣Qr (t; δ)
∣∣dt =
2
π
∣∣∣∣∣∣
π∫
0
Qr (t; δ) dt
∣∣∣∣∣∣. (9)
Отже, згiдно з рiвнiстю (9) маємо
E(W
r
∞;Bδ)C =
4
π
∞∑
k=0
1−
[
1 +
2k + 1
2
(1− e−2/δ)
]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
. (10)
Рiвнiсть (10) запишемо у виглядi
E
(
W
r
∞ ;Bδ
)
C
=
4
π
∞∑
k=0
1− e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
− 2
π
(1− e−2/δ)
∞∑
k=0
1
(2k + 1)r
+
+
2
π
(
1− e−2/δ
) ∞∑
k=0
1− e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r
. (11)
Введемо до розгляду функцiю, визначену на [0,∞),
ϕn(x) =
4
π
∞∑
k=0
1− e−(2k+1)/x
(2k + 1)n+1
, n ≥ 1.
Дана функцiя допускає зображення
ϕn(x) =
2
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t2
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1 . . . dtn,
зокрема
ϕ1(x) =
2
π
1/x∫
0
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1.
Дiйсно, оскiльки
ln
1 + e−t1
1− e−t1
= 2
∞∑
k=0
e−(2k+1)t1
2k + 1
,
то
2
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t3
∞∫
t2
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1dt2 . . . dtn−1dtn =
=
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t3
∞∫
t2
∞∑
k=0
e−(2k+1)t1
2k + 1
dt1dt2 . . . dtn−1dtn =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
338 K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
=
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t3
∞∑
k=0
e−(2k+1)t2
(2k + 1)2
dt2 . . . dtn−1dtn = . . .
. . . =
4
π
1/x∫
0
∞∑
k=0
e−(2k+1)tn
(2k + 1)n
dtn =
4
π
∞∑
k=0
1− e−(2k+1)/x
(2k + 1)n+1
= ϕn(x).
Виконаємо деякi перетворення функцiї ϕn(x), n > 1:
ϕn(x) =
2
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t2
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1 . . . dtn =
=
2
π
1/x∫
0
∞∫
0
∞∫
tn−1
. . .
∞∫
t2
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1 . . . dtn−
− 2
π
1/x∫
0
tn∫
0
∞∫
tn−1
. . .
∞∫
t2
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1 . . . dtn =
= ϕn−1(0)
1/x∫
0
dtn −
2
π
1/x∫
0
tn∫
0
∞∫
tn−1
. . .
∞∫
t2
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1 . . . dtn−1dtn,
пiсля чого на пiдставi рекурентних спiввiдношень
ϕn(x) = ϕn−1(0)
1/x∫
0
dt−
1/x∫
0
ϕn−1
(
1
t
)
dt
отримаємо
ϕn(x) = ϕn−1(0)
1/x∫
0
dt1 −
1/x∫
0
ϕn−1
(
1
t1
)
dt1 =
= ϕn−1(0)
1/x∫
0
dt1 − ϕn−2(0)
1/x∫
0
t1∫
0
dt1dt2 +
1/x∫
0
t1∫
0
ϕn−2
(
1
t2
)
dt1dt2 = . . .
. . . =
n−1∑
k=1
(−1)k−1
ϕn−k(0)
1/x∫
0
t1∫
0
. . .
tk−1∫
0
dt1 . . . dtk+
+(−1)n−1 2
π
1/x∫
0
t1∫
0
. . .
tn−2∫
0
ϕ1
(
1
tn−1
)
dt1 . . . dtn−1 =
=
n−1∑
k=1
(−1)k−1
ϕn−k(0)
1/x∫
0
t1∫
0
. . .
tk−1∫
0
dt1 . . . dtk +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ . . . 339
+(−1)n−1 2
π
1/x∫
0
tn∫
0
. . .
t2∫
0
ln
1 + e−t1
1− e−t1
dt1 . . . dtn−1dtn,
тобто
ϕn(x) =
n−1∑
k=1
(−1)k−1
k!
ϕn−k(0)
1
xk
+ (−1)n−1
α(n)
x , (12)
де
ϕn(0) =
Kn, n = 2l − 1,
K̃n, n = 2l,
l ∈ N.
Враховуючи означення функцiї ϕn(x), з рiвностi (11) отримуємо
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
= ϕr(δ)−
1− e−2/δ
2
ϕr−1(0) +
1− e−2/δ
2
ϕr−1(δ).
Використовуючи спiввiдношення (12), маємо
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
=
=
r−1∑
k=1
(−1)k−1
k!
ϕr−k(0)
1
δk
− α
(r)
δ +
1− e−2/δ
2
ϕr−1(0) +
+
1− e−2/δ
2
(
r−2∑
k=1
(−1)k−1
k!
ϕr−k−1(0)
1
δk
+ α
(r−1)
δ
)
=
=
r
2∑
i=1
1
(2i− 1)!
Kr−2i+1
1
δ2i−1
−
r−2
2∑
i=1
1
(2i)!
K̃r−2i
1
δ2i
+
+
1−e−2/δ
2
( r−2
2∑
i=1
1
(2i− 1)!
K̃r−2i
1
δ2i−1
−
r−2
2∑
i=0
1
(2i)!
Kr−2i−1
1
δ2i
)
−
− α
(r)
δ +
1− e−2/δ
2
α
(r−1)
δ .
Ми показали справедливiсть теореми у випадку рiвномiрної метрики.
Покажемо, що E(W
r
1 ;Bδ)1 збiгається з правою частиною рiвностi (10), тобто
E(W
r
∞;Bδ)C = E(W
r
1 ;Bδ)1.
Враховуючи рiвнiсть (6), дiстаємо
E(W
r
1 ;Bδ)1 = sup
f∈W r
1
1
π
π∫
−π
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
f (r) (t+ x)Qr (t; δ) dt
∣∣∣∣∣∣ dx, r ∈ N, (13)
де Qr (t; δ) задається рiвнiстю (7).
Оскiльки має мiсце рiвнiсть (8), то при r = 2l, l ∈ N, одержуємо
E
(
W
r
1;Bδ
)
1
≤ 1
π
π∫
−π
∣∣∣Qr (t; δ)
∣∣∣dt =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
340 K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
=
2
π
∣∣∣∣∣
π∫
0
∞∑
k=1
1−
[
1 +
k
2
(
1− e−2/δ
)]
e−k/δ
kr
sin kt dt
∣∣∣∣∣ =
=
4
π
∞∑
k=0
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
. (14)
З iншого боку, використовуючи лему з роботи [10, с. 63], при парному r маємо
E
(
W
r
1 ;Bδ
)
1
≥ 4
π
∞∑
k=0
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
. (15)
Порiвнюючи спiввiдношення (14) та (15), а також враховуючи рiвнiсть (10),
приходимо до висновку, що при парному r має мiсце формула
E
(
W
r
1 ;Bδ
)
1
=
=
4
π
∞∑
k=0
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
= E
(
W
r
∞;Bδ
)
C
.
На пiдставi останньої рiвностi робимо висновок, що теорема є справедливою i
у випадку iнтегральної метрики.
Теорему 1 доведено.
Теорема 2. Якщо r = 2l + 1, l ∈ N, то при кожному δ > 0 мають мiсце
рiвностi
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
= E
(
W
r
1, Bδ
)
1
=
=
(r−1)/2∑
i=1
1
(2i− 1)!
Kr−2i+1
1
δ2i−1
−
(r−1)/2∑
i=1
1
(2i)!
K̃r−2i
1
δ2i
+
+
1− e−2/δ
2
(r−1)/2∑
i=1
1
(2i− 1)!
K̃r−2i
1
δ2i−1
−
(r−3)/2∑
i=0
1
(2i)!
Kr−2i−1
1
δ2i
+
+ β
(r)
δ − 1− e−2/δ
2
β
(r−1)
δ ,
де
β
(r)
δ =
4
π
1/δ∫
0
tr∫
0
. . .
t2∫
0
arctg e−t1dt1 . . . dtr.
Доведення. Спочатку доведемо теорему для рiвномiрної метрики.
Нехай r = 2l + 1, l ∈ N . Тодi, як i при доведеннi попередньої теореми, можна
показати, що
E(W
r
∞;Bδ)C =
1
π
sup
f∈W r
∞
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
f (r) (t)Qr (t; δ) dt
∣∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ . . . 341
=
1
π
sup
f∈W r
∞
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
f (r) (t)
(
Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
dt
∣∣∣∣∣∣,
де Qr (t; δ) задається рiвнiстю (7).
Оскiльки f ∈W r
∞, Qr (t; δ) є парною при r = 2l + 1, l ∈ N , то
E(W
r
∞;Bδ)C ≤ 2
π
π∫
0
∣∣∣Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
)∣∣∣dt.
Доведемо, що
sign
(
Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
= ± sign cos t, r = 2l + 1, l ∈ N. (16)
Нехай
Qr (t0; δ)−Qr
(π
2
; δ
)
= 0, t0 ∈ (0, π) , t0 6=
π
2
.
Тодi згiдно з теоремою Ролля iснує точка t1 ∈ (0, π) така, що Q
′
r (t1; δ) = 0, звiдки
Qr−1 (t1; δ) = 0. А це внаслiдок (8) неможливо. Рiвнiсть (16) доведено.
Розглянемо функцiю f таку, що
sign
(
Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
= sign cos t, t ∈ [−π, π].
Ця функцiя неперервно i перiодично продовжується на R i належить до класу W r
∞
[9, c. 187, 188]. Отже, при r = 2l + 1, l ∈ N,
E(W
r
∞;Bδ)C ≥ 2
π
π∫
0
∣∣∣Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
)∣∣∣dt
i, таким чином,
E(W
r
∞;Bδ)C =
2
π
π∫
0
∣∣∣Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
)∣∣∣dt =
=
2
π
∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
0
(
Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
dt−
π/2∫
0
(
Qr (π − t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
dt
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
2
π
∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
0
(
Qr (t; δ)−Qr (π − t; δ)
)
dt
∣∣∣∣∣∣∣. (17)
Далi, виходячи iз спiввiдношення (17), при r = 2l + 1, l ∈ N, одержуємо
E
(
W
r
∞;Bδ
)
C
=
=
4
π
∣∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
0
∞∑
k=0
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r
cos (2k + 1) tdt
∣∣∣∣∣∣∣∣.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
342 K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
Таким чином, при r = 2l + 1, l ∈ N, справджується рiвнiсть
E
(
W
r
∞;Bδ
)
C
=
4
π
∞∑
k=0
(−1)k
1−
[
1 +
2k + 1
2
(1− e−2/δ)
]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
. (18)
Рiвнiсть (18) перепишемо у виглядi
E
(
W
r
∞;Bδ
)
C
=
4
π
∞∑
k=0
(−1)k 1− e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
−
− 2
π
(
1− e−2/δ
) ∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)r
+
2
π
(
1− e−2/δ
) ∞∑
k=0
(−1)k 1− e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r
. (19)
Введемо до розгляду функцiю, що визначена на [0,∞),
ψn(x) =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k 1− e−(2k+1)/x
(2k + 1)n+1
, n ≥ 1.
Функцiя ψn(x) допускає зображення
ψn(x) =
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t2
arctg e−t1dt1 . . . dtn,
зокрема
ψ1(x) =
4
π
1/x∫
0
arctg e−t1dt1.
Дiйсно, оскiльки
arctg e−t1 =
∞∑
k=0
(−1)k e
−(2k+1)t1
2k + 1
,
то
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t3
∞∫
t2
arctg e−t1dt1dt2 . . . dtn−1dtn =
=
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t3
∞∫
t2
∞∑
k=0
(−1)k e
−(2k+1)t1
2k + 1
dt1dt2 . . . dtn−1dtn =
=
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t3
∞∑
k=0
(−1)k e
−(2k+1)t2
(2k + 1)2
dt2 . . . dtn−1dtn = . . .
. . . =
4
π
1/x∫
0
∞∑
k=0
e−(2k+1)tn
(2k + 1)n
dtn =
4
π
∞∑
k=0
(−1)k 1− e−(2k+1)/x
(2k + 1)n+1
= ψn(x).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ . . . 343
Виконаємо деякi перетворення функцiї ψn(x), n > 1:
ψn(x) =
4
π
1/x∫
0
∞∫
tn
. . .
∞∫
t2
arctg e−t1dt1 . . . dtn =
=
4
π
1/x∫
0
∞∫
0
∞∫
tn−1
. . .
∞∫
t2
arctg e−t1dt1 . . . dtn−
− 4
π
1/x∫
0
tn∫
0
∞∫
tn−1
. . .
∞∫
t2
arctg e−t1dt1 . . . dtn =
= ψn−1(0)
1/x∫
0
dt− 4
π
1/x∫
0
tn∫
0
∞∫
tn−1
. . .
∞∫
t2
arctg e−t1dt1 . . . dtn.
Далi, використовуючи рекурентнi спiввiдношення
ψn(x) = ψn−1(0)
1/x∫
0
dt−
1/x∫
0
ψn−1
(
1
t
)
dt,
отримуємо
ψn(x) = ψn−1(0)
1/x∫
0
dt1 −
1/x∫
0
ψn−1
(
1
t1
)
dt1 =
= ψn−1(0)
1/x∫
0
dt1 − ψn−2(0)
1/x∫
0
t1∫
0
dt1dt2 +
1/x∫
0
t1∫
0
ψn−2
(
1
t2
)
dt1dt2 = . . .
. . . =
n−1∑
k=1
(−1)k−1
ψn−k(0)
1/x∫
0
t1∫
0
. . .
tk−1∫
0
dt1 . . . dtk+
+(−1)n−1 2
π
1/x∫
0
t1∫
0
. . .
tn−2∫
0
ψ1
(
1
tn−1
)
dt1 . . . dtn−1 =
=
n−1∑
k=1
(−1)k−1
ψn−k(0)
1/x∫
0
t1∫
0
. . .
tk−1∫
0
dt1 . . . dtk+
+(−1)n−1 4
π
1/x∫
0
tn∫
0
. . .
t2∫
0
arctg e−t1dt1 . . . dtn−1dtn,
тобто
ψn(x) =
n−1∑
k=1
(−1)k−1
k!
ψn−k(0)
1
xk
+ (−1)n−1
β(n)
x , (20)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
344 K. М. ЖИГАЛЛО, Ю. I. ХАРКЕВИЧ
де
ψn(0) =
Kn, n = 2l,
K̃n, n = 2l + 1,
l ∈ N.
Враховуючи означення функцiї ψn(x), iз рiвностi (19) маємо
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
= ψr(δ)−
1− e−2/δ
2
ψr−1(0) +
1− e−2/δ
2
ψr−1(δ).
Використовуючи спiввiдношення (20), отримуємо
E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
=
r−1∑
k=1
(−1)k−1
k!
ψr−k(0)
1
δk
+ β
(r)
δ − 1− e−2/δ
2
ψr−1(0)+
+
1− e2/δ
2
(
r−2∑
k=1
(−1)k−1
k!
ψr−k−1(0)
1
δk
− β
(r−1)
δ
)
=
=
(r−1)/2∑
i=1
1
(2i− 1)!
Kr−2i+1
1
δ2i−1
−
(r−1)/2∑
i=1
1
(2i)!
K̃r−2i
1
δ2i
+
+
1− e−2/δ
2
(r−1)/2∑
i=1
1
(2i− 1)!
K̃r−2i
1
δ2i−1
−
(r−3)/2∑
i=0
1
(2i)!
Kr−2i−1
1
δ2i
+
+ β
(r)
δ − 1− e−2/δ
2
β
(r−1)
δ ,
тобто для випадку рiвномiрної метрики теорему доведено.
Для доведення даної теореми в iнтегральнiй метрицi потрiбно показати спра-
ведливiсть рiвностi E
(
W
r
∞, Bδ
)
C
= E
(
W
r
1 , Bδ
)
1
.
Покажемо, що E
(
W
r
1 ;Bδ
)
1
збiгається з правою частиною рiвностi (18). Iз
рiвностi (13), використовуючи теорему Фубiнi [11, c. 331], при r = 2l + 1, l ∈ N,
маємо
E
(
W
r
1 ;Bδ
)
1
= sup
f∈W r
1
1
π
π∫
−π
∣∣∣∣∣∣
π∫
−π
f (r) (x+ t)
(
Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
dt
∣∣∣∣∣∣ dx ≤
≤ 1
π
π∫
−π
∣∣∣Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
)∣∣∣dt =
=
2
π
∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
0
−
π∫
π/2
(Qr (t; δ)−Qr
(π
2
; δ
))
dt
∣∣∣∣∣∣∣ =
=
4
π
∣∣∣∣∣∣∣∣
π/2∫
0
∞∑
k=0
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
cos(2k + 1)tdt
∣∣∣∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
НАБЛИЖЕННЯ СПРЯЖЕНИХ ДИФЕРЕНЦIЙОВНИХ ФУНКЦIЙ БIГАРМОНIЧНИМИ . . . 345
=
4
π
∞∑
k=0
(−1)k
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
. (21)
З iншого боку, згiдно з лемою роботи [10, с. 63], при непарних r має мiсце
спiввiдношення
E
(
W
r
1 ;Bδ
)
1
≥ 4
π
∞∑
k=0
(−1)k
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
. (22)
Iз (21) та (22), а також (18) при r = 2l + 1, l ∈ N, випливає рiвнiсть
E
(
W
r
1 ;Bδ
)
1
=
=
4
π
∞∑
k=0
(−1)k
1−
[
1 +
2k + 1
2
(
1− e−2/δ
)]
e−(2k+1)/δ
(2k + 1)r+1
= E
(
W
r
∞;Bδ
)
C
.
Теорему 2 доведено.
Слiд зазначити, що величини (4) та (5) вiдповiдно для класiв N = W
r
∞ та
N = W
r
1 , коли замiсть Bδ(f, x) розглядався iнтеграл Абеля – Пуассона
Pδ(f, x) =
1
π
π∫
−π
f(t+ x)
(
1
2
+
∞∑
k=1
e−k/δ cos kt
)
dt, δ > 0,
вивчались у роботi авторiв [12].
1. Петров В. А. Бигармонический интеграл Пуассона // Лит. мат. сб. – 1967. – 7, № 1. – С. 137 – 142.
2. Степанец А. И. Классификация и приближение периодических функций. – Киев: Наук. думка,
1987. – 268 с.
3. Степанец А. И. Методы теории приближения: В 2 ч. – Киев: Ин-т математики НАН Украины,
2002. – Ч. I. – 427 с.
4. Каниев С. Об уклонении бигармонических в круге функций от их граничных значений // Докл.
АН СССР. – 1963. – 153, № 5. – С. 995 – 998.
5. Pych P. On a biharmonic function in unit disс // Ann. pol. math. – 1968. – 20, № 3. – P. 203 – 213.
6. Фалалеев Л. П. Полное асимптотическое разложение для верхней грани уклонения функций из
Lip11 от одного сингулярного интеграла // Теоремы вложения и их приложения: мат. Всесоюз.
симп. – Алма-Ата: Наука КазССР, 1976. – С. 163 – 167.
7. Аманов Т. И., Фалалеев Л. П. Приближение дифференцируемых функций операторами типа Абе-
ля – Пуассона // 5-е Сов.-Чех. сов. прим. методов теории функций и функцион. анализа к задачам
мат. физики (Алма-Ата, 1976): Тр. сов. – Новосибирск, 1979. – С. 13 – 16.
8. Зигмунд А. Тригонометрические ряды: В 2 т. – М.: Мир, 1965. – Т. 1. – 615 с.
9. Корнейчук Н. П. Экстремальные задачи теории приближения. – М.: Наука, 1976. – 320 с.
10. Pych P. Approximation of functions in L- and C-metrics // Ann. Soc. math. pol. – 1967. – 1, № 11. –
P. 61 – 76.
11. Натансон I. П. Основи теорiї функцiй дiйсної змiнної. – Київ: Рад. шк., 1950. – 424 с.
12. Жигалло К. М., Харкевич Ю. I. Наближення спряжених диференцiйовних функцiй їх iнтегралами
Абеля – Пуассона // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – С. 73 – 82.
Одержано 12.02.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-3023 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:48Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ea/f77cc1a2d6ec7d2af6b2e17c9b85f0ea.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30232020-03-18T19:43:35Z Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals Наближення спряжених диференційовних функцій бігармонічними інтегралами Пуассона Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. We determine the exact values of upper bounds of approximations by biharmonic Poisson integrals on classes of conjugate differentiable functions in uniform and integral metrics. Получены точные значения верхних граней приближений бигармоническими интегралами Пуассона на классах сопряженных дифференцируемых функций в равномерной и интегральной метриках. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3023 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 3 (2009); 333-345 Український математичний журнал; Том 61 № 3 (2009); 333-345 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3023/2795 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3023/2796 Copyright (c) 2009 Zhyhallo K. M.; Kharkevych Yu. I. |
| spellingShingle | Zhyhallo, K. M. Kharkevych, Yu. I. Жигалло, К. М. Харкевич, Ю. І. Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals |
| title | Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals |
| title_alt | Наближення спряжених диференційовних функцій
бігармонічними інтегралами Пуассона |
| title_full | Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals |
| title_fullStr | Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals |
| title_full_unstemmed | Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals |
| title_short | Approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic Poisson integrals |
| title_sort | approximation of conjugate differentiable functions by biharmonic poisson integrals |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3023 |
| work_keys_str_mv | AT zhyhallokm approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbybiharmonicpoissonintegrals AT kharkevychyui approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbybiharmonicpoissonintegrals AT žigallokm approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbybiharmonicpoissonintegrals AT harkevičûí approximationofconjugatedifferentiablefunctionsbybiharmonicpoissonintegrals AT zhyhallokm nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT kharkevychyui nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT žigallokm nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjbígarmoníčnimiíntegralamipuassona AT harkevičûí nabližennâsprâženihdiferencíjovnihfunkcíjbígarmoníčnimiíntegralamipuassona |