p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases
We investigate the flattening properties of the Lie group $G_r^{II}$ of transformations of a second-order tangent bundle $T^2(M)$ equipped with the lift $∇^{II}$ of an affine connection $∇$ and the lift $g^{II}$ of a metric $g$ on the base of $M$ induced by the Lie group $G_r$ of concircular transfo...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3024 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509043523584000 |
|---|---|
| author | Zubrilin, K. M. Зубрилин, К. М. Зубрилин, К. М. |
| author_facet | Zubrilin, K. M. Зубрилин, К. М. Зубрилин, К. М. |
| author_sort | Zubrilin, K. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:35Z |
| description | We investigate the flattening properties of the Lie group $G_r^{II}$ of transformations of a second-order tangent bundle $T^2(M)$ equipped with the lift $∇^{II}$ of an affine connection $∇$ and the lift $g^{II}$ of a metric $g$ on the base of $M$ induced by the Lie group $G_r$ of concircular transformations of the base of $M$. The obtained results reveal certain geometric features of the induced group $G_r^{II}$ within the framework of the theory of $p$-geodesic mappings. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:50Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
К. М. Зубрилин (Одес. нац. ун-т)
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ
В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ВТОРОГО ПОРЯДКА,
ИНДУЦИРОВАННЫЕ КОНЦИРКУЛЯРНЫМИ
ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ БАЗ
The flattening properties of the Lie group GII
r of transformations of the tangent bundle T 2(M) are investigated.
The lift ∇II of affine connection ∇ and the lift gII of metric g on the base of M are given in a tangent
bundle of the second order. The Lie group GII
r is induced by the Lie group Gr concircular transformations
of the base of M.
The obtained results reveal certain geometrical features of the induced group GII
r in the framework of
the theory of the p-geodesic mappings.
Дослiджено сплощуючi властивостi групи Лi GII
r перетворень дотичного розшарування T 2(M) другого
порядку, надiленого пiдняттям ∇II aфiнної зв’язностi ∇ i пiдняттям gII метрики g на базi M, яка
iндукована групою Лi Gr конциркулярних перетворень бази M.
Отриманi результати виявляють певнi геометричнi особливостi iндукованої групи GII
r у рамках
теорiї p-геодезичних вiдображень.
1. Введение. Изучению уплощающих свойств дифференцируемых отображений
посвящено много работ.
Уплощающие свойства диффеоморфизмов касательных расслоений первого и
второго порядков, наделенные полными поднятиями (лифтами) аффинных связнос-
тей на базах, которые индуцированы геодезическими (проективными) диффеомор-
физмами базисных многообразий, исследованы в работе [1]. В работе [2] изучены
группы Ли таких преобразований.
Работа [3] посвящена изучению уплощающих свойств преобразований каса-
тельного расслоения, наделенного полным поднятием аффинной связности (псев-
до)риманова пространства, являющегося базой, которые индуцированы концирку-
лярными преобразованиями базисного многообразия. В рамках теории p-геодези-
ческих отображений выявлены определенные геометрические особенности групп
Ли таких преобразований.
В работе [4] рассмотрены уплощающие свойства сечений касательного рассло-
ения первого порядка относительно связности полного поднятия.
Данная работа посвящена изучению уплощающих свойств преобразований ка-
сательного расслоения второго порядка, наделенного связностью II-поднятия, кото-
рые индуцированы конциркулярными преобразованиями базисного многообразия.
Основные определения второго пункта взяты из работ [2, 3]. Показывается,
что изучение уплощающих свойств диффеоморфизмов сводится к изучению упло-
щающих свойств произвольной геодезической кривой относительно специальной
связности образа аффинной связности.
Третий пункт посвящен поднятиям инфинитезимального конциркулярного пре-
образования. Теорема этого пункта выявляет уплощающие свойства инфинитези-
мальных преобразований касательного расслоения второго порядка, порожденных
поднятиями конформного киллингова векторного поля. Основные определения и
свойства поднятий касательного расслоение второго порядка взяты из [5].
В четвертом пункте изучаются уплощающие свойства преобразований каса-
тельного расслоения второго порядка, индуцированные конциркулярными пре-
c© К. М. ЗУБРИЛИН, 2009
346 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 347
образованиями базисного многообразия. Здесь рассматриваются теорема об образе
II-поднятия аффинной связности, теорема о тензоре аффинной деформации ин-
дуцированного диффеоморфизма, теорема об образе связности Леви – Чивитты.
Приводится вспомогательная лемма, которая используется для нахождения кри-
визн произвольной геодезической кривой относительно образа аффинной связно-
сти. Отсюда следует основная теорема об уплощающих свойствах преобразований
касательного расслоения второго порядка со связностью II-поднятия, которые ин-
дуцированы конциркулярными преобразованиями баз.
2. Необходимые сведения из теории p-геодезических отображений. Рассмот-
рим гладкое многообразие M с аффинной связностью ∇ без кручений. Пусть
γ : (a, b) → M — гладкая кривая в M, причем ξ — поле касательных векторов
вдоль γ, ξ1 = ∇γξ — поле векторов 1-й кривизны вдоль γ, ξq = ∇γξq−1 — поле
векторов q-й кривизны вдоль γ.
Определение 1. Говорят, что кривая γ в точке x = γ(t0) имеет уплощение
q-го порядка, если в точке x векторы ξ, ξ1, . . . , ξq−1 линейно независимы, а векторы
ξ, ξ1, . . . , ξq−1, ξq линейно зависимы.
Если кривая γ в каждой своей точке имеет уплощение p-го порядка, то она
называется p-геодезической кривой.
Точка x = γ(t0) кривой γ называется граничной точкой уплощения, если в
каждой окрестности точки x есть хотя бы одна точка кривой γ, в которой поря-
док уплощения отличается от порядка уплощения в точке x. Учитывая свойства
внешнего произведения, получаем, что точка x кривой γ имеет уплощение p-го
порядка тогда и только тогда, когда в точке x выполняются условия
ξ ∧ ξ1 ∧ . . . ∧ ξp−1 6= 0, ξ ∧ ξ1 ∧ . . . ∧ ξp−1 ∧ ξp = 0. (1)
Значит, чтобы кривая γ была p-геодезической, необходимо и достаточно выполне-
ния условий (1) вдоль кривой γ.
Параметр t на p-геодезической кривой γ называется s-каноническим (p > s >
> 1), если вдоль кривой выполняется равенство αp−s = 0.
Параметр t на p-геодезической кривой γ называется s1, s2, . . . , sm-каноническим
(p > s1 > s2 > . . . > sm > 1), если он является одновременно s1-каноническим,
s2-каноническим, . . . , sm-каноническим.
Пусть (M,∇) и (M̄, ∇̄) — аффинно-связные пространства.
Определение 2. Диффеоморфизм µ : M → M̄ двух аффинно-связных про-
странств без кручения называется p-геодезическим, если для каждой геодезичес-
кой кривой γ : (a, b) → M ее образ µ ◦ γ является кривой, каждая точка которой
имеет уплощение порядка q 6 p. Число q зависит как от выбора кривой γ, так и
от точки на ней, а число p фиксировано и является наибольшим из всех q.
p-Геодезический диффеоморфизм (на себя) π : M → M называется p-геодези-
ческим конечным преобразованием аффинно-связного пространства (M,∇).
Из определения 1 следует, что геометрически p-геодезические диффеоморфиз-
мы характеризуются тем, что они геодезические кривые преобразуют в кривые,
которые на отдельных участках (дугах) являются q-геодезическими кривыми, при-
чем q 6 p.
Если при p-геодезическом диффеоморфизме µ : M → M̄ канонический па-
раметр каждой геодезической кривой γ является на p-геодезических кривых µ ◦
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
348 К. М. ЗУБРИЛИН
◦ γ s-каноническим (p > s > 1), то µ называется s-каноническим p-геодезическим
диффеоморфизмом.
Чтобы определить порядок уплощения диффеоморфизма µ : M → M̄ по опре-
делению, необходимо для каждой геодезической кривой γ в M найти наибольший
из порядков уплощения точек кривой образа γ̄ = µ ◦ γ. Затем из найденных чисел
выбрать наибольшее. Это и будет порядок уплощения диффеоморфизма µ.
Нахождение порядков уплощения точек кривой образа γ̄ можно свести к на-
хождению порядков уплощения соответствующих точек геодезической кривой γ
относительно специальной связности на многообразии M -образа аффинной связ-
ности ∇̄ при обратном диффеоморфизме µ−1 (см. [6, с. 189], § 30, раздел 3).
Образ аффинной связности ∇̄ при диффеоморфизме µ−1 определяется как аф-
финная связность ∇̃ на многообразии M правилом
∇̃XY = µ−1
∗
(
∇̄µ∗Xµ∗Y
)
для произвольных векторных полей X, Y ∈ X(M).
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. Пусть µ : M → M̄ — диффеоморфизм многообразий, ∇̄ — аф-
финная связность на M̄, ∇̃ — образ связности ∇̄ при диффеоморфизме µ−1,
γ : (a, b) → M — гладкая кривая в M и γ̄ = µ ◦ γ — кривая-образ в M̄.
Для того чтобы кривая γ в произвольной точке x = γ(t) имела уплощение
порядка k относительно образа ∇̃, необходимо и достаточно, чтобы порядок
уплощения кривой-образа γ̄ в соответствующей точке γ(t) был равен k.
Таким образом, порядок уплощения диффеоморфизма µ : M → M̄ равен наи-
большему из порядков уплощения точек всех геодезических кривых в M. Эти
порядки уплощения находятся относительно аффинной связности образа.
Нетрудно показать, что правило P (X, Y ) = ∇̃XY − ∇XY, где X, Y ∈ X(M),
определяет тензорное поле P ∈ T0
2(M). Это тензорное поле тесно связано с тензо-
ром аффинной деформации H диффеоморфизма µ (см. [6, с. 153], § 23, раздел 3)
равенством µ∗(P (X, Y )) = H(X, Y ). По этой причине тензорное поле P также
будем называть тензором аффинной деформации диффеоморфизма µ.
Тогда для произвольного гладкого векторного поля χ, заданного вдоль гладкой
кривой γ, справедливо равенство
∇̃γχ = ∇γχ + P (ξ, χ), (2)
где ξ — поле касательных векторов к кривой γ. Это равенство можно использовать
для нахождения кривизн ξ̃1, ξ̃2, . . . геодезической кривой γ относительно аффинной
связности образа ∇̃.
Пусть τ : ũh = uh+εXh
(
u1, u2, . . . , un
)
— инфинитезимальное преобразование
многообразия (M,∇), соответствующее векторному полю X = Xh ∂
∂uh
, ε — ин-
финитезимальный параметр. Для произвольной кривой γ : (a, b) → M рассмотрим
преобразованную кривую γ̃ = τ ◦ γ, причем ξ̃ — поле касательных векторов вдоль
γ̃, ξ̃1 = ∇γ̃ ξ̃ — поле векторов 1-й кривизны вдоль γ̃, . . . , ξ̃q = ∇γ̃ ξ̃q−1 — поле
векторов q-й кривизны вдоль γ̃.
Определение 3. Говорят, что инфинитезимальное преобразование τ (или
векторное поле X) сообщает геодезической кривой γ : (a, b) → M в точке x =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 349
= γ(t0) уплощение q-го порядка, если в точке x выполняются условия
lim
ε→0
1
εq
ξ̃ ∧ ξ̃1 ∧ . . . ∧ ξ̃q−1 ∧ ξ̃q = 0 (3)
и число q является наименьшим из возможных.
Определение 4. Инфинитезимальное локальное преобразование τ многообра-
зия (M,∇) называется p-геодезическим инфинитезимальным преобразованием (p-
г. и. п.), если на каждой геодезической кривой γ : (a, b) → M оно сообщает каждой
точке уплощение q-го порядка, q 6 p. Число q может зависеть как от выбора
геодезической кривой γ, так и от выбора точки на ней, а число p является наи-
большим из всех возможных чисел q.
С геометрической точки зрения p-г. и. п. имеют ту особенность, что они пре-
образуют любую геодезическую кривую γ в кривую γ̃ = τ ◦γ, для которой ее упло-
щенное приближение γ̃ε является на отдельных участках (дугах) q-геодезической
кривой, причем q 6 p.
Если при p-г. и. п. τ канонический параметр каждой геодезической кривой
γ является на соответствующих уплощающих приближениях γ̃ε s-каноническим
параметром, то τ называется s-каноническим p-г. и. п.
Инфинитезимальное преобразование τ : M → M будет p-геодезическим тогда
и только тогда, когда для поля X выполнены условия
δ
[h
(i Lh1
j1j2
. . . L
hp−1
k1k2...kp
L
hp]
l1l2... lp+1)
= 0, δ
[h
(i Lh1
j1j2
. . . L
hp−1]
k1k2... kp) 6= 0. (4)
Здесь Lh
ij = LXΓh
ij — производная Ли коэффициентов аффинной связности ∇ и
Lh
i1i2...iqiq+1
= ∇(iq+1 Lh
i1i2... iq).
Соотношения (4) называются основными уравнениями p-г. и. п.
Для того чтобы p-г. и. п. τ было s1, s2, . . . , sm-каноническим (p > s1 >
> s2 > . . . > sm > 1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство
δ
[h
(i . . . L̂
hp−s1
j1j2...jp−s1+1
. . . L̂
hp−s2
k1k2...kp−s2+1
. . . L̂
hp−sm
r1r2...rp−sm+1 . . . L
hp]
l1l2... lp+1)
= 0, (5)
где запись L̂h
i1i2...iqiq+1
означает, что произведение не содержит множитель
Lh
i1i2...iqiq+1
.
3. Инфинитезимальные конциркулярные преобразования. Инфинитези-
мальное преобразование
τ : ũh = uh + εXh
(
u1, u2, . . . , un
)
(псевдо)риманова пространства (M, g), соответствующее векторному полю X =
= Xh ∂
∂uh
, называется конциркулярным, если оно конформное, т. е.
LXgij = agij , (6)
где функция a порождает специальное конциркулярное ковекторное поле ai =
∂a
∂ui
,
удовлетворяющее равенству
∇jai = ϕgij . (7)
Здесь ∇ — риманова связность, порожденная метрикой g. Уравнения (6) и (7) на-
зываются основными уравнениями инфинитезимального конциркулярного преобра-
зования.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
350 К. М. ЗУБРИЛИН
Векторное поле X называют конформным киллинговым полем. Конциркулярное
инфинитезимальное преобразование геометрически характеризуется тем, что оно
с точностью до членов второго порядка сохраняет геодезические окружности (цик-
лы), т. е. кривые, у которых первая кривизна Френе постоянна, а последующие
равны нулю.
В [3] показано, что инфинитезимальное конциркулярное преобразование явля-
ется 1-каноническим 2-г. и. п., если a 6= const, и абсолютно каноническим 1-г. и. п.,
если a = const.
Естественным образом возникает вопрос о том, какими уплощающими свой-
ствами обладают инфинитезимальные преобразования касательных расслоений, ко-
торые соответствуют поднятиям конформного киллингова векторного поля. Исчер-
пывающий ответ на этот вопрос для касательного расслоения T (M) дан в [3].
В случае касательного расслоения T 2(M) поднятия X0, XI , XII векторного
поля X порождают соответственно инфинитезимальные преобразования расслое-
ния T 2(M):
τ0 :
ũk = uk,
ũk̄ = uk̄,
ũ
¯̄k = u
¯̄k + εXk,
τ I :
ũk = uk,
ũk̄ = uk̄ +
1
2
εXk,
ũ
¯̄k = u
¯̄k + ε∂Xk,
τ II :
ũk = uk + εXk,
ũk̄ = uk̄ + ε∂Xk,
ũ
¯̄k = u
¯̄k + ε∂2Xk,
где ∂Xk = uī∂iX
k и ∂2Xk = u
¯̄i∂iX
k + uīuj̄∂i∂jX
k.
Уплощающие свойства преобразований τ0, τ I , τ II выражаются следующей
теоремой.
Теорема 2. Пусть τ — конциркулярное (не гомотетическое, т. е. a 6= const)
инфинитезимальное преобразование (псевдо)риманова пространства (M, g), со-
ответствующее конформному киллингову полю X. Тогда инфинитезимальные пре-
образования τ0, τ I , τ II касательного расслоения T 2(M), соответствующие под-
нятиям X0, XI , XII , обладают следующими уплощающими свойствами относи-
тельно метрики gII :
1) в общем случае при ϕ 6= const :
τ0 является 3, 2-каноническим 3-г. и. п.,
τ I является 4, 3-каноническим 4-г. и. п.,
τ II является 3-каноническим 4-г. и. п.;
2) в случае ϕ = const 6= 0 τ0, τ I , τ II являются абсолютно каноническими
3-г. и. п.;
3) в случае ϕ = const = 0 τ0, τ I , τ II являются абсолютно каноническими
2-г. и. п.
Доказательство. Как показано в [5], поднятие ∇II римановой связности ∇,
порожденной метрикой g, является римановой связностью на T 2(M), порожденной
поднятием gII .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 351
Определим векторное A и ковекторное ω поля правилом
ω = aidui, A = ah ∂
∂uh
, ah = ghkak.
Тогда основные уравнения инфинитезимального конциркулярного преобразования
можно записать в инвариантной форме
LXg = ag, ∇ω = ϕg.
Выражение для ковариантного дифференциала ∇A векторного поля A имеет вид
∇A = ϕδ,
где δ — единичный аффинор.
В [3] получено выражение для производной Ли от аффинной связности ∇ в
инвариантной форме
(LX∇) (Y, Z) =
1
2
(
ω(Y )Z + ω(Z)Y − g(Y, Z)A
)
. (8)
Случай преобразования τ0. Беря от обеих частей равенства (8) 0-поднятие и
учитывая, что для равенства двух тензорных полей типа (s, 0) и (s, 1) на T 2(M)
достаточно их совпадения на II-поднятиях от произвольных тензорных полей,
заданных на базисном многообразии M, получаем
LH
IJ =
1
2
(
ω0
Jδ0H
I + ω0
Iδ0H
J − g0
I JA0H
)
. (9)
Учитывая равенства
∇IIω0 = (∇ω)0 = (ϕg)0 = ϕ0g0, ∇IIA0 = (∇A)0 = (ϕδ)0 = ϕ0δ0, (10)
имеем
LH
I J K = ∇II
(KLH
I J) =
1
2
ϕ0g0
(I Jδ0H
K). (11)
Поскольку
∇II
Mϕ0 = ϕ0
M =
∂ϕ0
∂uM
, ∇IIg0 = (∇g)0 = 0, ∇IIδ0 = (∇δ)0 = 0,
то
LH
I J K M = ∇II
(MLH
I J K) =
1
2
ϕ0
(Mg0
I Jδ0H
K). (12)
Учитывая равенства (9), (11) и (12), находим
δ
[H
(I LH1
J1J2
LH2
K1K2K3
L
H3]
M1M2M3M4)
= 0,
где квадратные скобки означают альтернирование.
Данное равенство показывает, что в общем случае (ϕ 6= const) инфините-
зимальное преобразование τ0 касательного расслоения T 2(M), соответствующее
поднятию X0, является 3-г. и. п., а равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
352 К. М. ЗУБРИЛИН
L
[H1
(K1K2K3
L
H2]
M1M2M3M4)
= 0
показывает, что τ0 является 3, 2-каноническим.
Если ϕ = const 6= 0, то из равенства (12) будем иметь
LH
M1M2M3M4
= 0.
Данное равенство показывает, что τ0 является абсолютно каноническим 3-г. и. п.
Если ϕ = const = 0, то из равенства (11) получаем
LH
K1K2K3
= 0.
Это равенство показывает, что τ0 является абсолютно каноническим 2-г. и. п.
Случай преобразования τ I . Берем I-поднятие от обеих частей равенства (8) и,
учитывая замечание о равенстве тензорных полей на T 2(M), имеем
LH
I J =
1
2
(
ωI
Jδ0H
I + ω0
JδIH
I + ωI
I δ0H
J + ω0
IδIH
J − g0
I JAIH − gI
I JA0H
)
. (13)
Применяя равенства (10), а также равенства
∇IIωI = (∇ω)I = (ϕg)I = ϕIg0 + ϕ0gI ,
∇IIAI = (∇A)I = (ϕδ)I = ϕIδ0 + ϕ0δI ,
(14)
находим
LH
I J K = ∇II
(KLH
I J) =
1
2
(
ϕIg0
(J K + ϕ0gI
(J K
)
δ0H
I) −
1
2
ϕ0g0
(J KδIH
I). (15)
Из последнего равенства получаем
LH
I J K M = ∇II
(MLH
I J K) =
1
2
(
ϕI
(Mg0
J K + ϕ0
(MgI
JK
)
δ0H
I) −
1
2
ϕ0
(Mg0
J KδIH
I), (16)
где
∇II
Mϕ0 = ϕ0
M =
∂ϕ0
∂uM
, ∇II
MϕI = ϕ1
M =
∂ϕI
∂uM
.
Аналогично
L H
IJKMP = ∇II
(P L H
IJKM) =
=
1
2
(
ϕI
(Mg0
J K + ϕ0
(P MgI
J K
)
δ0H
I) −
1
2
ϕ0
(P Mg0
J KδIH
I), (17)
где
ϕ0
P M = ∇II
P ϕ0
M , ϕI
P M = ∇II
P ϕI
M .
Из равенств (13), (15) – (17) будем иметь
δ
[H
(I L H1
J1 J2
L H2
K1 K2 K3
L H3
M1 M2 M3 M4
L
H4]
P1 P2 P3 P4 P5)
= 0.
Данное равенство показывает, что в общем случае (ϕ 6= const) инфините-
зимальное преобразование τ I касательного расслоения T 2(M), соответствующее
поднятию XI , является 4-г. и. п., а равенство
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 353
L
[H1
(K1 K2 K3
L H2
M1 M2 M3 M4
L
H3]
P1 P2 P3 P4 P5)
= 0
показывает, что τ I является 4, 3-каноническим.
Если ϕ = const 6= 0, то из равенства (16) находим
L H
M1 M2 M3 M4
= 0.
Данное равенство показывает, что τ I является абсолютно каноническим 3-г. и. п.
Если ϕ = const = 0, то из равенства (15) получаем
L H
K1 K2 K3
= 0.
Это равенство показывает, что τ I является абсолютно каноническим 2-г. и. п.
Случай преобразования τ II . Берем II-поднятие от обеих частей равенства (8)
и, учитывая замечание о равенстве тензорных полей на T 2(M), находим
L H
I J =
1
2
(
ωII
J δ0H
I + 2ωI
JδIH
I + ω0
JδH
I + ωII
I δ0H
J + 2ω1
IδIH
J + ω0
IδH
J −
−g0
I JAIIH − 2gI
I JAIH − gII
I JA0H
)
. (18)
Используя равенства (10) и (14), а также равенства
∇IIωII =(∇ω)II = (ϕ g)II = ϕIIg0 + 2ϕIgI + ϕ0gII ,
∇IIAII =(∇A)II = (ϕ δ)II = ϕIIδ0 + 2ϕIδI + ϕ0δ,
имеем
L H
I J K = ∇II
(KL H
I J) =
1
2
(
ϕIIg0
(J K + 2ϕIgI
(J K + ϕ0gII
(J K
)
δ0H
I)+
+
(
ϕIg0
(J K + ϕ0gI
(J K
)
δIH
I) +
1
2
ϕ0g0
(J KδH
I). (19)
Отсюда получаем
L H
IJKM = ∇II
(ML H
I J K) =
1
2
(
ϕII
(Mg0
J K + 2ϕI
(MgI
J K + ϕ0
(MgII
J K
)
δ0H
I)+
+
(
ϕI
(Mg0
J K + ϕ0
(MgI
J K
)
δIH
I) +
1
2
ϕ0
(Mg0
J KδH
I), (20)
где
∇II
Mϕ0 = ϕ0
M =
∂ϕ0
∂uM
, ∇II
MϕI = ϕI
M =
∂ϕI
∂uM
, ∇II
MϕII = ϕII
M =
∂ϕII
∂uM
.
Аналогично
L H
IJKMP = ∇II
(P L H
I J K M) =
1
2
(
ϕII
(PMg0
J K + 2ϕI
(PMgI
J K + ϕ0
(PMgII
J K
)
δ0H
I)+
+
(
ϕI
(PMg0
J K + ϕ0
(PMgI
J K
)
δIH
I) +
1
2
ϕ0
(PMg0
J KδH
I), (21)
где
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
354 К. М. ЗУБРИЛИН
ϕ0
P M = ∇II
P ϕ0
M , ϕI
P M = ∇II
P ϕI
M , ϕII
P M = ∇II
P ϕII
M .
Из равенств (18), (19), (20) и (21) имеем
δ
[H
(I L H1
J1 J2
L H2
K1 K2 K3
L H3
M1 M2 M3 M4
L
H4]
P1 P2 P3 P4 P5)
= 0.
Данное равенство показывает, что в общем случае (ϕ 6= const) инфинитези-
мальное преобразование τ II касательного расслоения T 2(M), соответствующее
поднятию XII , является 4-г. и. п., а равенство
δ
[H
(I L H1
K1 K2 K3
L H2
M1 M2 M3 M4
L
H3]
P1 P2 P3 P4 P5)
= 0
показывает, что τ II является 3-каноническим.
Если ϕ = const 6= 0, то из равенства (20) будем иметь
L H
M1M2M3,M4
= 0.
Данное равенство показывает, что τ II является абсолютно каноническим 3-г. и. п.
Если ϕ = const = 0, то из равенства (19) получаем
L H
K1K2K3
= 0.
Это равенство показывает, что τ II является абсолютно каноническим 2-г. и. п.
Теорема доказана.
4. Конциркулярные преобразования. Нам понадобятся следующие теоремы
об образе аффинной связности.
Теорема 3. Пусть µ : M → M̄ — диффеоморфизм многообразия M на мет-
рическое пространство (M̄, ḡ), g = µ∗(ḡ) — образ метрического тензора ḡ при
диффеоморфизме µ, ∇̄ — связность Леви – Чивитты метрики ḡ.
Тогда образ ∇̃ связности ∇̄ при обратном диффеоморфизме µ−1 совпадает со
связностью ∇ Леви – Чивитты метрики g.
Доказательство непосредственно следует из определений и свойств.
Теорема 4. Пусть µ : M → M̄ — диффеоморфизм многообразия M на
аффинно-связное пространство (M̄, ∇̄), ∇̃ — образ связности ∇̄ при обратном
диффеоморфизме µ−1 и µ∗ : T 2(M) → T 2(M̄) — индуцированный диффеоморфизм
касательных расслоений второго порядка.
Тогда образ ˜̄∇II поднятия ∇̄II аффинной связности ∇̄ совпадает с поднятием
∇̃II образа ∇̃.
Доказательство непосредственно следует из определений и свойств.
Преобразование µ : M → M (псевдо)риманова пространства (M, g) называется
конциркулярным, если выполняется равенство
ḡ = e2σg, (22)
где ḡ = µ∗(g) — образ метрического тензора g при преобразовании µ, а функ-
ция σ порождает специальное ковекторное поле σi =
∂σ
∂ui
, которое удовлетворяет
условию
∇jσi = σiσj + ν gi j . (23)
Уравнения (22) и (23) называются основными уравнениями конциркулярного
преобразования.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 355
Определим ковекторное поле θ и векторное поле B, которые в карте (U ;uh)
имеют локальные представления соответственно θ = σidui и B = σh ∂
∂uh
, где
σh = gh kσk. Тогда равенство (23) примет вид
∇θ = θ ⊗ θ + ν g, (24)
а выражение для ковариантного дифференциала ∇B векторного поля B —
∇B = θ ⊗B + νδ. (25)
Для произвольного векторного поля X на M получим
g(B,X) = X · σ = θ(X).
Тензор P аффинной деформации конциркулярного преобразования µ имеет вид
P (X, Y ) = ∇̄XY −∇XY = θ(X)Y + θ(Y )X − g(X, Y )B. (26)
Изучим уплощающие свойства преобразования µ∗ касательного расслоения
T 2(M), индуцированного конциркулярным преобразованием µ базисного много-
образия M.
Теорема 5. II-поднятие тензора аффинной деформации P диффеоморфиз-
ма µ : M → M̄ совпадает с тензором аффинной деформации P̄ индуцированного
преобразования µ∗ : T 2(M) → T 2(M̄).
Доказательство следует непосредственно из определений и свойств поднятий.
Берем II-поднятие от обеих частей равенства (26). Как отмечено в [5], для
равенства тензорных полей типа (0, s) и (1, s) на T 2(M) достаточно равенства этих
тензорных полей на II-поднятиях произвольных векторных полей многообразия
M. Тогда получим выражение для тензора аффинной деформации преобразования,
индуцированного конциркулярным преобразованием
P̄ = θII ⊗ δ0 + 2θI ⊗ δI + θ0 ⊗ δ + δ0 ⊗ θII + 2δI ⊗ θI + δ ⊗ θ0−
−gII ⊗B0 − 2gI ⊗BI − g0 ⊗BII . (27)
Лемма. Пусть γ : (a, b) → T 2(M) — геодезическая кривая в T 2(M) отно-
сительно поднятия ∇II , отнесенная к каноническому параметру. Допустим, что
вдоль кривой γ задано векторное поле
χ = a δ0(ξ) + b δI(ξ) + c ξ + d B0 + eBI + f BII ,
где ξ — поле касательных векторов вдоль кривой γ, δ — единичный аффинор на
M, а коэффициенты a, b, c, d, e, f определяются правилом: найдутся такие
тензорные поля Tk ∈ T0
k(M) и Rk ∈ T0
k+1(M), что
a = T II
k (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k
, b = 2T I
k (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k
, c = T 0
k (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k
,
d = RII
k (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+1
, e = 2RI
k (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+1
, f = R0
k (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
356 К. М. ЗУБРИЛИН
Тогда ковариантная производная ∇̃II
γ χ этого векторного поля выражается
равенством
∇̃II
γ χ = a′ δ0(ξ) + b′ δI(ξ) + c′ ξ + d′ B0 + e′ BI + f ′ BII ,
где коэффициенты a′, b′, c′, d′, e′, f ′ определяются правилом
a′ = T II
k+1 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+1
, b′ = 2T I
k+1 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+1
, c′ = T 0
k+1 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+1
,
d′ = RII
k+1 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+2
, e′ = 2RI
k+1 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+2
, f ′ = R0
k+1 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
k+2
,
Tk+1 = ∇Tk + 2Tk ⊗ θ + (ν + ∆1σ)Rk, Rk+1 = ∇Rk + Rk ⊗ θ − Tk ⊗ g.
Доказательство. Учитывая равенство (2), получаем
∇̃II
γ χ = ∇II
γ χ + P̄ (ξ, χ).
Введем обозначения
a′ = ∇II
γ a + d(ν + ∆1σ)0 + e(ν + ∆1σ)I + f(ν + ∆1σ)II+
+ 2aθ0(ξ) + 2bθI(ξ) + 2cθII(ξ),
b′ = ∇II
γ b + e(ν + ∆1σ)0 + 2f(ν + ∆1σ)I + 2bθ0(ξ) + 4cθI(ξ),
c′ = ∇II
γ c + f(ν + ∆1σ)0 + 2cθ0(ξ),
d′ = ∇II
γ d + dθ0(ξ) + eθI(ξ) + fθII(ξ)− ag0(ξ, ξ)− bgI(ξ, ξ)− cgII(ξ, ξ),
e′ = ∇II
γ e + eθ0(ξ) + 2fθI(ξ)− bg0(ξ, ξ)− 2cgI(ξ, ξ),
f ′ = ∇II
γ f + fθ0(ξ)− cg0(ξ, ξ).
Тогда
∇̃II
γ χ = a′ · δ0(ξ) + b′ · δI(ξ) + c′ · ξ + d′ ·B0 + e′ ·BI + f ′ ·BII .
Для завершения доказательства вспомогательной леммы осталось найти выра-
жения для коэффициентов a′, b′, c′, d′, e′, f ′. Исходя из свойств ковариантной
производной тензорного поля вдоль кривой и выражений для коэффициентов a, b,
c, d, e, f, получаем выражение для коэффициента a′:
a′ = (∇Tk + 2Tk ⊗ θ + (ν + ∆1σ)Rk)II (ξ, ξ, . . . , ξ).
Выражения для коэффициентов b′, c′, d′, e′ и f ′ примут вид
b′ = 2 (∇Tk + 2Tk ⊗ θ + (ν + ∆1σ)Rk)I (ξ, ξ, . . . , ξ),
c′ = (∇Tk + 2Tk ⊗ θ + (ν + ∆1σ)Rk)0 (ξ, ξ, . . . , ξ),
d′ = (∇Rk + Rk ⊗ θ − Tk ⊗ g)II (ξ, ξ, . . . , ξ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 357
e′ = 2 (∇Rk + Rk ⊗ θ − Tk ⊗ g)I (ξ, ξ, . . . , ξ),
f ′ = (∇Rk + Rk ⊗ θ − Tk ⊗ g)0 (ξ, ξ, . . . , ξ).
Вводя в рассмотрение тензорные поля Tk+1 ∈ T0
k+1(M) и Rk+1 ∈ T0
k+2(M) пра-
вилом
Tk+1 = ∇Tk + 2Tk ⊗ θ + (ν + ∆1σ)Rk, Rk+1 = ∇Rk + Rk ⊗ θ − Tk ⊗ g,
получаем требуемое.
Теорема 6. Пусть µ — конциркулярное (не гомотетическое) преобразование
(псевдо)риманова пространства (M, g), которое описывается уравнениями
g = e2σg, ∇jσi = σiσj + ν gi j .
Тогда индуцированное преобразование µ∗ : T 2(M) → T 2(M) касательного рас-
слоения T 2(M) относительно связности полного поднятия обладает следующими
уплощающими свойствами:
1) в общем случае µ∗ является 6-геодезическим преобразованием;
2) для того чтобы индуцированное преобразование µ∗ было 4-геодезическим,
необходимо и достаточно выполнения равенства ν = ∆1σ.
Если преобразование µ : M → M гомотетическое, т. е. σ = const, то инду-
цированное преобразование µ∗ является гомотетическим, а значит, абсолютно
каноническим 1-геодезическим (т. е. аффинным) преобразованием.
Доказательство. В начале рассмотрим случай гомотетического преобразо-
вания, т. е. σ = const. Беря II-поднятие от обеих частей равенства g = e2σg,
получаем
gII = e2σ0
gII .
Теперь рассмотрим случай, когда преобразование µ : M → M не является го-
мотетическим, т. е. σ 6= const.
Возьмем на T 2(M) произвольную геодезическую кривую γ : (a, b) → T 2(M),
относительно поднятия ∇II отнесенную к каноническому параметру.
Векторное поле ξ может быть представлено в виде
ξ = a0 · δ0(ξ) + b0 · δI(ξ) + c0 · ξ + d0 ·B0 + e0 ·BI + f0 ·BII ,
где a0 = b0 = 0, c0 = 1, d0 = e0 = f0 = 0.
Определим функцию T0 ∈ F(M) и линейную форму R0 ∈ T0
1(M) правилом
T0(p) = 1, R0(p) = 0 ∀p ∈ M.
Поскольку функция T0 и ковектор R0 постоянны, справедливы равенства T II
0 =
= T I
0 = 0, RII
0 = RI
0 = 0; кроме того, T 0
0 = T0 = 1, R0
0 = R0 = 0. Значит,
a0 = T II
0 , b0 = 2T I
0 , c0 = T 0
0 , d0 = RII
0 , e0 = 2RI
0, f0 = R0
0.
Поэтому к векторному полю ξ можно применить вспомогательную лемму. В ре-
зультате этого получим выражение для векторного поля ξ1:
ξ1 = ∇II
γ ξ = a1 · δ0(ξ) + b1 · δI(ξ) + c1 · ξ + d1 ·B0 + e1 ·BI + f1 ·BII ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
358 К. М. ЗУБРИЛИН
где
a1 = T II
1 (ξ), b1 = 2T I
1 (ξ), c1 = T 0
1 (ξ),
d1 = RII
1 (ξ, ξ), e1 = 2RI
1(ξ, ξ), f1 = R0
1(ξ, ξ),
T1 = ∇T0 + 2T0 ⊗ θ + (ν + ∆1σ)R0, R1 = ∇R0 + R0 ⊗ θ − T0 ⊗ g.
Подставляя выражения для T0, R0, получаем
T1 = 2θ, R1 = −g.
Найдем выражения для внешнего произведения ξ ∧ ξ1. Будем иметь
ξ ∧ ξ1 = a1 · ξ ∧ δ0(ξ) + b1 · ξ ∧ δI(ξ) + d1 · ξ ∧B0 + e1 · ξ ∧BI + f1 · ξ ∧BII .
Из линейной независимости векторов δ0(ξ), δI(ξ), ξ, B0, B1, BII следует линейная
независимость внешних произведений: ξ ∧ δ0(ξ), ξ ∧ δI(ξ), ξ ∧B0, ξ ∧BI , ξ ∧BII .
Поскольку f1 = −g0(ξ, ξ) 6= 0, то ξ ∧ ξ1 6= 0.
Теперь, применяя вспомогательную лемму к векторному полю ξ1, получаем
выражение для векторного поля ξ2:
ξ2 = ∇II
γ ξ1 = a2 · δ0(ξ) + b2 · δI(ξ) + c2 · ξ + d2 ·B0 + e2 ·BI + f2 ·BII ,
a2 = T II
2 (ξ, ξ), b2 = 2T I
2 (ξ, ξ), c2 = T 0
2 (ξ, ξ),
d2 = RII
2 (ξ, ξ, ξ), e2 = 2RI
2(ξ, ξ, ξ), f2 = R0
2(ξ, ξ, ξ),
где
T2 = ∇T1 + 2T1 ⊗ θ + (ν + ∆1σ)R1, R2 = ∇R1 + R1 ⊗ θ − T1 ⊗ g.
Подставляя выражения для T1, R1, находим
T2 = 6θ ⊗ θ + (ν −∆1σ)g, R2 = −3θ ⊗ g.
Определим тензорные поля S2 и V2 правилом
S2 = −3θ, V2 = T2 + 2S2 ⊗ θ.
Тогда, с одной стороны, R2 = (−3θ)⊗ g = S2 ⊗ g, а с другой —
V2 = (ν −∆1σ)g.
Легко проверить, что внешнее произведение ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 линейно выражается
через линейно независимое семейство внешних произведений, составленных из
векторов δ0(ξ), δI(ξ), ξ, B0, BI , BII , с коэффициентами, равными минорам 2-го
порядка матрицы (
a1 b1 d1 e1 f1
a2 b2 d2 e2 f2
)
.
Рассмотрим минор M4,5
1,2 . Тогда
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 359
M4,5
1,2 = 2g0(ξ, ξ)2(−3θ)I(ξ) = −6g0(ξ, ξ)2θI(ξ) 6= 0,
так как g0(ξ, ξ) 6= 0, и ξ может быть выбрано так, чтобы θI(ξ) 6= 0. Таким образом,
ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 6= 0.
Теперь применим вспомогательную лемму к векторному полю ξ2. Получим
выражение для векторного поля ξ3:
ξ3 = ∇II
γ ξ2 = a3 · δ0(ξ) + b3 · δI(ξ) + c3 · ξ + d3 ·B0 + e3 ·BI + f3 ·BII ,
a3 = T II
3 (ξ, ξ, ξ), b3 = 2T I
3 (ξ, ξ, ξ) , c3 = T 0
3 (ξ, ξ, ξ),
d3 = RII
3 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
4
, e3 = 2RI
3 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
4
, f3 = R0
3 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
4
,
где
T3 = ∇T2 + 2T2 ⊗ θ + (ν + ∆1σ)R2, R3 = ∇R2 + R2 ⊗ θ − T2 ⊗ g.
Подставляя выражения для T2, R2, получаем
R3 = ∇S2 ⊗ g + S2 ⊗ θ ⊗ g − T2 ⊗ g.
Определим тензорные поля S3 и V3 правилом
S3 = ∇S2 + S2 ⊗ θ − T2, V3 = T3 + 2S3 ⊗ θ.
Тогда, с одной стороны,
R3 = (∇S2 + S2 ⊗ θ − T2)⊗ g = S3 ⊗ g,
а с другой —
V3 = ∇T2 + 2∇S2 ⊗ θ + 2S2 ⊗ θ ⊗ θ + (ν + ∆1σ)R2.
Найдем выражение для ковариантного дифференциала ∇V2, воспользовавшись ра-
венством V2 = T2 + 2S2 ⊗ θ :
∇V2 = ∇T2 + 2∇S2 ⊗ θ + 2S2 ⊗ θ ⊗ θ + 2νS2 ⊗ g.
Отсюда имеем
∇T2 + 2∇S2 ⊗ θ + 2S2 ⊗ θ ⊗ θ = ∇V2 − 2νS2 ⊗ g.
Подставляя найденное выражение в равенство для V3, получаем
V3 = ∇V2 − (ν −∆1σ)R2.
Но ∇V2 = ∇
(
(ν −∆1σ)g
)
= ∇(ν −∆1σ)⊗ g + (ν −∆1σ)⊗ g = d(ν −∆1σ)⊗ g.
Значит,
V3 = d(ν −∆1σ)⊗ g − (ν −∆1σ)R2 = d(ν −∆1σ)⊗ g + 3(ν −∆1σ)θ ⊗ g.
Легко проверить, что внешнее произведение ξ∧ξ1∧ξ2∧ξ3 линейно выражается
через линейно независимое семейство внешних произведений, составленных из
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
360 К. М. ЗУБРИЛИН
векторов δ0(ξ), δI(ξ), ξ, B0, BI , BII , с коэффициентами, равными минорам 3-го
порядка матрицы
a1 b1 d1 e1 f1
a2 b2 d2 e2 f2
a3 b3 d3 e3 f3
.
Рассмотрим минор M3,4,5
1,2,3 . Тогда
M3,4,5
1,2,3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
d1 e1 f1
d2 e2 f2
d3 e3 f3
∣∣∣∣∣∣∣∣ = −2g0(ξ, ξ)3
∣∣∣∣∣ SII
2 (ξ) SI
2 (ξ)
SII
3 (ξ, ξ) SI
3 (ξ, ξ)
∣∣∣∣∣ .
Поскольку ξ меняется произвольным образом, получаем ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 6= 0.
Теперь применим вспомогательную лемму к векторному полю ξ3. Получим
выражение для векторного поля ξ4:
ξ4 = ∇II
γ ξ3 = a4 · δ0(ξ) + b4 · δI(ξ) + c4 · ξ + d4 ·B0 + e4 ·BI + f4 ·BII ,
a4 = T II
4 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
4
, b4 = 2T I
4 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
4
, c4 = T 0
4 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
4
,
d4 = RII
4 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
5
, e4 = 2RI
4 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
5
, f4 = R0
4 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
5
,
где
T4 = ∇T3 + 2T3 ⊗ θ + (ν + ∆1σ)R3, R4 = ∇R3 + R3 ⊗ θ − T3 ⊗ g.
Подставляя выражения для T3, R3, находим
R4 = (∇S3 + S3 ⊗ θ − T3)⊗ g.
Определим тензорные поля S4 и V4 правилом
S4 = ∇S3 + S3 ⊗ θ − T3, V4 = T4 + 2S4 ⊗ θ.
Тогда, с одной стороны, R4 = (∇S3 + S3 ⊗ θ − T3)⊗ g = S4 ⊗ g, а с другой —
V4 = ∇T3 + 2∇S3 ⊗ θ + 2S3 ⊗ θ ⊗ θ + (ν + ∆1σ)R3.
Найдем выражение для ковариантного дифференциала ∇V3, воспользовавшись ра-
венством V3 = T3 + 2S3 ⊗ θ :
∇V3 = ∇T3 + 2∇S3 ⊗ θ + 2S3 ⊗ θ ⊗ θ + 2νS3 ⊗ g.
Отсюда имеем
∇T3 + 2∇S3 ⊗ θ + 2S3 ⊗ θ ⊗ θ = ∇V3 − 2νS3 ⊗ g.
Подставляя найденное выражение в равенство для V4, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 361
V4 = ∇V3 − (ν −∆1σ)R3.
Но
∇V3 = ∇2(ν −∆1σ)⊗ g + 3d(ν −∆1σ)⊗ θ ⊗ g +
+ 3(ν −∆1σ)θ ⊗ θ ⊗ g + 3ν(ν −∆1σ)g ⊗ g.
Значит, выражение для V4 примет вид
V4 = ∇2(ν −∆1σ)⊗ g + 3d(ν −∆1σ)⊗ θ ⊗ g + 15(ν −∆1σ)θ ⊗ θ ⊗ g +
+ (ν −∆1σ)(7ν −∆1σ)g ⊗ g.
В дальнейшем нам понадобится выражение для S4. Найдем его:
S4 = −60θ ⊗ θ ⊗ θ + d (2∆1σ − 5ν)⊗ g + (6∆1σ − 39ν) θ ⊗ g.
Легко проверить, что внешнее произведение ξ∧ξ1∧ξ2∧ξ3∧ξ4 линейно выража-
ется через линейно независимое семейство внешних произведений, составленных
из векторов δ0(ξ), δI(ξ), ξ, B0, BI , BII , с коэффициентами, равными минорам
4-го порядка матрицы
a1 b1 d1 e1 f1
a2 b2 d2 e2 f2
a3 b3 d3 e3 f3
a4 b4 d4 e4 f4
.
Рассмотрим выражения всех миноров 4-го порядка данной матрицы. Для этого
введем в рассмотрение определители
D1 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
V I
2 SII
2 SI
2
V I
3 SII
2 SI
2
V I
4 SII
4 SI
4
∣∣∣∣∣∣∣∣ , D2 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
V II
2 SII
2 SI
2
V II
3 SII
2 SI
2
V II
4 SII
4 SI
4
∣∣∣∣∣∣∣∣,
D3 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
(
T II
2 + 2θII ⊗ S0
2
)
V I
2 SI
2(
T II
3 + 2θII ⊗ S0
3
)
V I
3 SI
3(
T II
4 + 2θII ⊗ S0
4
)
V I
4 SI
4
∣∣∣∣∣∣∣∣ , D4 =
∣∣∣∣∣∣∣∣
V II
2 V I
2 SII
2
V II
3 V I
3 SII
3
V II
4 V I
4 SII
4
∣∣∣∣∣∣∣∣.
Перейдем к рассмотрению указанных выше миноров 4-го порядка. Получим
M1,2,3,4
1,2,3,4 =
(
8g0(ξ, ξ)2θII(ξ)− 16gI(ξ, ξ)g0(ξ, ξ)θI(ξ)
)
D1+
+
(
8gI(ξ, ξ)g0(ξ, ξ)θ0(ξ)− 8g0(ξ, ξ)2θI(ξ)
)
D2+
+
(
8gI(ξ, ξ)2 − 4gII(ξ, ξ)g0(ξ, ξ)
)
D3 + 4gI(ξ, ξ)g0(ξ, ξ)D4.
Аналогично находим другие миноры:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
362 К. М. ЗУБРИЛИН
M1,2,3,5
1,2,3,4 = −8g0(ξ, ξ)2θI(ξ)D1 + 4g0(ξ, ξ)2θ0(ξ)D2 −
− 4g0(ξ, ξ)gI(ξ, ξ)D3 + 2g0(ξ, ξ)2D4,
M1,2,4,5
1,2,3,4 = 4g0(ξ, ξ)2D3, M1,3,4,5
1,2,3,4 = 2g0(ξ, ξ)3D2,
M2,3,4,5
1,2,3,4 = 4g0(ξ, ξ)3D1.
Пусть ν = ∆1σ. Тогда V2 = V3 = V4 = 0, а значит, D1 = D2 = D3 = D4 = 0.
Отсюда получаем
M2,3,4,5
1,2,3,4 = M1,3,4,5
1,2,3,4 = M1,2,4,5
1,2,3,4 = M1,2,3,5
1,2,3,4 = M1,2,3,4
1,2,3,4 = 0,
что влечет
ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4 = 0
для любого ξ. Это показывает, что при ν = ∆1σ индуцированное преобразование
является 4-геодезическим. Обратно, предположим, что индуцированное преобразо-
вание является 4-геодезическим, т. е. выполняется равенство ξ∧ξ1∧ξ2∧ξ3∧ξ4 = 0
для любого ξ. Последнее равенство равносильно системе равенств
M2,3,4,5
1,2,3,4 = 0, M1,3,4,5
1,2,3,4 = 0, M1,2,4,5
1,2,3,4 = 0,
M1,2,3,5
1,2,3,4 = 0, M1,2,3,4
1,2,3,4 = 0
для любого ξ. Из первого равенства при сделанных ограничениях на ξ:
D1 = 0.
Раскладывая данный определитель по первому столбцу и учитывая при этом
выражения для V2, V3, V4, получаем равенство нулю линейной формы от поднятий
и дифференциалов функции ν − ∆1σ с коэффициентами, гладко зависящими от
ξ. Поскольку ξ меняется произвольным образом, кроме сделанных ограничений,
последнее возможно только при ν−∆1σ = 0, т. е. ν = ∆1σ. Тем самым свойство (2)
доказано.
Теперь перейдем к рассмотрению свойства (1), т. е. будем предполагать, что
ν 6= ∆1σ. Из доказанного выше следует, что ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4 6= 0.
Применим вспомогательную лемму к векторному полю ξ4. Получим выражение
для векторного поля ξ5:
ξ5 = ∇II
γ ξ4 = a5 · δ0(ξ) + b5 · δI(ξ) + c5 · ξ + d5 ·B0 + e5 ·BI + f5 ·BII ,
a5 = T II
5 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
5
, b5 = 2T I
5 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
5
, c5 = T 0
5 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
5
,
d5 = RII
5 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
6
, e5 = 2RI
5 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
6
, f5 = R0
5 (ξ, . . . , ξ)︸ ︷︷ ︸
6
,
где
T5 = ∇T4 + 2T4 ⊗ θ + (ν + ∆1σ) R4, R5 = ∇R4 + R4 ⊗ θ − T4 ⊗ g.
Подставляя выражения для T4, R4, получаем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
p-ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ И ИХ ГРУППЫ В КАСАТЕЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЯХ ... 363
R5 =
(
∇S4 + S4 ⊗ θ − T4
)
⊗ g.
Определим тензорные поля S5 и V5 правилом
S5 = ∇S4 + S4 ⊗ θ − T4, V5 = T4 + 2S4 ⊗ θ.
Тогда, с одной стороны, R5 = S5 ⊗ g, а с другой — рассуждая, как и при рассмот-
рении тензорных полей V2, V3, V4, получаем V5 = ∇V4 − (ν −∆1σ)R4 , значит,
V5 = ∇3(ν −∆1σ)⊗ g + 3∇2(ν −∆1σ)⊗ θ ⊗ g + 18d(ν −∆1σ)⊗ θ ⊗ θ ⊗ g +
+ 90(ν −∆1σ)θ ⊗ θ ⊗ θ ⊗ g + (ν −∆1σ)d (12ν − 3∆1σ)⊗ g ⊗ g +
+ (10ν −∆1σ) d(ν −∆1σ)⊗ g ⊗ g + (ν −∆1σ) (69ν − 6∆1σ) θ ⊗ g ⊗ g.
Очевидно
ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4 ∧ ξ5 = M1,2,3,4,5
1,2,3,4,5 δ0(ξ) ∧ δI(ξ) ∧ ξ ∧B0 ∧BI ∧BII .
Равенство M1,2,3,4,5
1,2,3,4,5 = 0 равносильно равенству∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
V II
2 (ξ, ξ) V I
2 (ξ, ξ) SII
2 (ξ) SI
2 (ξ)
V II
3 (ξ, ξ, ξ) V I
3 (ξ, ξ, ξ) SII
3 (ξ, ξ) SI
3 (ξ, ξ)
V II
4 (ξ, . . . , ξ) V I
4 (ξ, . . . , ξ) SII
4 (ξ, ξ, ξ) SI
4 (ξ, ξ, ξ)
V II
5 (ξ, . . . , ξ) V I
5 (ξ, . . . , ξ) SII
5 (ξ, . . . , ξ) SI
5 (ξ, . . . , ξ)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣
= 0.
Раскладывая данный определитель по первому и второму столбцах, учитывая при
этом выражения для V2, V3, V4, V5, получаем равенство нулю квадратичной фор-
мы от поднятий и дифференциалов функции ν − ∆1σ с коэффициентами, гладко
зависящими от ξ. Поскольку ξ меняется произвольным образом, кроме сделанных
ограничений, последнее возможно только при ν−∆1σ = 0, т. е. ν = ∆1σ, что про-
тиворечит предположению. Следовательно, M1,2,3,4,5
1,2,3,4,5 6= 0, что влечет равенство
ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4 ∧ ξ5 6= 0.
Последний раз применяя вспомогательную лемму к векторному полю ξ5, полу-
чаем выражение для векторного поля ξ6:
ξ6 = ∇II
γ ξ5 = a6 · δ0(ξ) + b6 · δI(ξ) + c6 · ξ + d6 ·B0 + e6 ·BI + f6 ·BII .
Отсюда с учетом свойств внешнего произведения следует, что
ξ ∧ ξ1 ∧ ξ2 ∧ ξ3 ∧ ξ4 ∧ ξ5 ∧ ξ6 = 0.
Данное равенство показывает, что индуцированное преобразование является
6-геодезическим преобразованием, что и завершает доказательство теоремы.
Теорема 7. Пусть Gr — локальная (не гомотетическая) r-членная группа
Ли конциркулярных преобразований (псевдо)риманова пространства (M, g), со-
ответствующая операторам Xi, i = 1, r.
Тогда индуцированная группа GII
r (соответствующая поднятиям XII
r , i = 1, r,
и состоящая из индуцированных преобразований) является r-членной группой Ли
6-геодезических или 4-геодезических преобразований пространства
(
T 2(M), g11
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
364 К. М. ЗУБРИЛИН
Доказательство. Пусть Xi, i = 1, r, — операторы 1-параметрических концир-
кулярных групп exp(tXi), порождающие r-членную группу Ли Gr конечных кон-
циркулярных преобразований (M, g), со структурными уравнениями [Xs1 , Xs2 ] =
= cs
s1 s2
Xs. На основании свойств поднятий получаем[
XII
s1
, XII
s2
]
= cs
s1 s2
XII
s . (28)
Из этого равенства, согласно второй теореме Ли, следует, что поднятия XII
r ,
i = 1, r, являются операторами некоторой r-членной группы Ли преобразований
касательного расслоения T 2(M), которую мы обозначим GII
r .
Согласно [2] exp (tXi)
∗ = exp
(
tXII
i
)
. Значит, если µi (t) ∈ exp (tXi) , то
индуцированное преобразование µi (t)∗ ∈ exp
(
tXII
i
)
. Осталось применить пре-
дыдущую теорему.
Теорема доказана.
Из этой теоремы непосредственно следует такая теорема.
Теорема 8. Если группа GII
r индуцирована на
(
T 2(M), gII
)
глобальной груп-
пой Gr конциркулярных преобразований компактного риманова пространства
(M, g), то эта группа не содержит 4-геодезических преобразований.
Доказательство повторяет доказательство соответствующей теоремы в [3].
1. Лейко С. Г. Линейные p-геодезические диффеоморфизмы касательных расслоений высших поряд-
ков и высших степеней // Тр. геом. сем. – 1982. – Вып. 14. – С. 34 – 46.
2. Лейко С. Г. P -геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуци-
рованные геодезическими преобразованиями базисного многообразия // Изв. вузов. Математика. –
1992. – № 2. – С. 62 – 71.
3. Лейко С. Г. P -геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях, индуциро-
ванные конциркулярными преобразованиями базисного многообразия // Там же. – 1998. – № 6. –
С. 35 – 45.
4. Лейко С. Г. P -геодезические сечения касательного расслоения // Там же. – 1994. – № 3. – С. 32 – 42.
5. Yano K., Ishihara S. Differential geometry of tangent bundles of order 2 // Kodai Math. Semin. Repts.
– 1968. – 20, № 3. – P. 318 – 354.
6. Лейко С. Г. Рiманова геометрiя: Навч. пос. – Одеса: Астропринт, 2000.
7. Эйзенхарт Л. П. Непрерывные группы преобразований. – М.: Изд-во иностр. лит., 1947. – 360 с.
Получено 06.03.07,
после доработки — 17.09.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-3024 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:50Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/5a/c53beb04205e2d10c4b26d30c6d0cc5a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30242020-03-18T19:43:35Z p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases p-Геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях второго порядка, индуцированные конциркулярными преобразованиями баз Zubrilin, K. M. Зубрилин, К. М. Зубрилин, К. М. We investigate the flattening properties of the Lie group $G_r^{II}$ of transformations of a second-order tangent bundle $T^2(M)$ equipped with the lift $∇^{II}$ of an affine connection $∇$ and the lift $g^{II}$ of a metric $g$ on the base of $M$ induced by the Lie group $G_r$ of concircular transformations of the base of $M$. The obtained results reveal certain geometric features of the induced group $G_r^{II}$ within the framework of the theory of $p$-geodesic mappings. Досліджено сплощуючі властивості групи Лі $G_r^{II}$ перетворень дотичного розшарування $T^2(M)$ другого порядку, наділеного підняттям $∇^{II}$ aфiнної зв'язності $∇$ i підняттям $g^{II}$ метрики $g$ на базі $M$, яка індукована групою Лі $G_r$ конциркулярних перетворень бази $M$. Отримані результати виявляють певні геометричні особливості індукованої групи $G_r^{II}$ у рамках теорії $p$-геодезичних відображень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3024 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 3 (2009); 346-364 Український математичний журнал; Том 61 № 3 (2009); 346-364 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3024/2797 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3024/2798 Copyright (c) 2009 Zubrilin K. M. |
| spellingShingle | Zubrilin, K. M. Зубрилин, К. М. Зубрилин, К. М. p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| title | p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| title_alt | p-Геодезические преобразования и их группы в касательных расслоениях второго порядка, индуцированные конциркулярными преобразованиями баз |
| title_full | p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| title_fullStr | p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| title_full_unstemmed | p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| title_short | p-Geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| title_sort | p-geodesic transformations and their groups in second-order tangent bundles induced by concircular transformations of bases |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3024 |
| work_keys_str_mv | AT zubrilinkm pgeodesictransformationsandtheirgroupsinsecondordertangentbundlesinducedbyconcirculartransformationsofbases AT zubrilinkm pgeodesictransformationsandtheirgroupsinsecondordertangentbundlesinducedbyconcirculartransformationsofbases AT zubrilinkm pgeodesictransformationsandtheirgroupsinsecondordertangentbundlesinducedbyconcirculartransformationsofbases AT zubrilinkm pgeodezičeskiepreobrazovaniâiihgruppyvkasatelʹnyhrassloeniâhvtorogoporâdkainducirovannyekoncirkulârnymipreobrazovaniâmibaz AT zubrilinkm pgeodezičeskiepreobrazovaniâiihgruppyvkasatelʹnyhrassloeniâhvtorogoporâdkainducirovannyekoncirkulârnymipreobrazovaniâmibaz AT zubrilinkm pgeodezičeskiepreobrazovaniâiihgruppyvkasatelʹnyhrassloeniâhvtorogoporâdkainducirovannyekoncirkulârnymipreobrazovaniâmibaz |