Girsanov theorem for stochastic flows with interaction
We prove an analog of the Girsanov theorem for the stochastic differential equations with interaction $$dz(u,t) = a(z(u,t),μt)dt + ∫R f(z(u,t)−p)W(dp,dt),$$ where $W$ is a Wiener sheet on $ℝ × [0; +∞)$ and $a(∙)$ is a function of special type.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3025 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509043282411520 |
|---|---|
| author | Malovichko, T. V. Маловичко, Т. В. Маловичко, Т. В. |
| author_facet | Malovichko, T. V. Маловичко, Т. В. Маловичко, Т. В. |
| author_sort | Malovichko, T. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:35Z |
| description | We prove an analog of the Girsanov theorem for the stochastic differential equations with interaction
$$dz(u,t) = a(z(u,t),μt)dt + ∫R f(z(u,t)−p)W(dp,dt),$$
where $W$ is a Wiener sheet on $ℝ × [0; +∞)$ and $a(∙)$ is a function of special type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
Т. В. Маловичко (Нац. техн. ун-т Украины „КПИ”, Киев)
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ
ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ
An analogue of the Girsanov theorem is proved for stochastic differential equations with interaction given by
dz(u, t) = a(z(u, t), µt) dt +
∫
R
f(z(u, t)− p)W (dp, dt),
where W is a Wiener sheet on R× [0; +∞) and a function a(·) is of a special type.
Доведено аналог теореми Гiрсанова для стохастичних диференцiальних рiвнянь iз взаємодiєю
dz(u, t) = a(z(u, t), µt) dt +
∫
R
f(z(u, t)− p)W (dp, dt),
де W — вiнерiв листок на R× [0; +∞), а функцiя a(·) має спецiальний вигляд.
Стохастические потоки в настоящее время интенсивно исследуются (см., например,
[1]). Мерозначные процессы, соответствующие стохастическим потокам со взаимо-
действием, были получены с помощью предельного перехода от конечных систем
взаимодействующих частиц в работе [2], в которой рассматривались уравнения
dxi(t) =
N∑
j=1
ajf(xi(t), xj(t)) dt+
∫
Rd
g(xi(t)− p)W (dp, dt), i = 1, . . . , N, (1)
гдеW — винеровский лист. Это уравнение можно представить следующим образом:
dxi(t) =
∫
Rd
f(xi(t), v)µt
N (dv)dt+
∫
Rd
g(xi(t)− p)W (dp, dt), i = 1, . . . , N,
где
µt
N =
N∑
j=1
ajδxj(t).
В работе [2] доказаны существование и единственность решения (1). Затем рас-
сматривался слабый предел процессов {µt
N , t > 0} при приближении дискретными
мерами µN произвольной вероятностной меры µ. Было показано, что соответству-
ющий предел является марковским мерозначным процессом. В работе [3] этому
процессу поставлен в соответствие стохастический поток и введены уравнения со
взаимодействием. Эти уравнения имеют вид
dx(u, t) = a(x(u, t), µt, t) dt+
∫
Rd
b(x(u, t), µt, t, p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ Rd,
µt = µ ◦ x(·, t)−1, t > 0,
где W — винеровский лист на R × [0;+∞). В возникающем потоке движение
отдельной частицы зависит от распределения всей массы по пространству.
c© Т. В. МАЛОВИЧКО, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3 365
366 Т. В. МАЛОВИЧКО
Уравнениям со взаимодействием в настоящее время уделяется пристальное вни-
мание. В частности, вопрос существования решения уравнения со взаимодействием
исследовался в работах [3 – 5]. Более того, в [6] рассматривался и вопрос перено-
са стохастическим потоком со взаимодействием обобщенных функций. Для дока-
зательства существования сильного решения уравнения с обобщенной функцией
были показаны сначала существование слабого решения, а затем потраекторная
единственность. Для уравнений со взаимодействием такой подход можно найти
в [7]. В бесконечномерном случае результаты о существовании решения уравне-
ния, управляемого обобщенными функциями, получены в работе [8].
Данная статья посвящена доказательству аналога теоремы Гирсанова для сто-
хастических дифференциальных уравнений со взаимодействием вида
dz(u, t) = a(z(u, t), µt) dt+
∫
R
f(z(u, t)− p)W (dp, dt),
где функция a(·) имеет специальный вид, а именно
a(z(u, t), µt) =
∫
R
∫
R
b(v, p)µt(dv) f(z(u, t)− p)dp,
т. е. для решений x и y уравнений
dx(u, t) =
∫
R
f(x(u, t)− p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ R,
(2)
и
dy(u, t) =
∫
R
∫
R
b(y(v, t), p)µ(dv) f(y(u, t)− p)dp dt+
∫
R
f(y(u, t)− p)W (dp, dt),
(3)
y(u, 0) = u, u ∈ R,
где µ — произвольная вероятностная мера, доказана абсолютная непрерывность
распределения потока y относительно распределения x и выведен вид соответству-
ющей плотности.
Будем предполагать, что функции f : R → R и b : R× R → R удовлетворяют
следующим условиям:
1) ∃B > 0 ∀ v ∈ R :
∫
R
b2(v, p) dp 6 B;
2) ∃C > 0 ∀ v, p ∈ R : |b(v, p)| 6 C;
3) ∃K > 0 ∀ p, v1, v2 ∈ R : |b(v1, p)− b(v2, p)| 6 K |v1 − v2|;
4) функция f трижды дифференцируема, причем f ′ и f ′′′ ограничены;
5) f, f ′ ∈ L1(R) ∩ L2(R);
6) функция f и ее преобразование Фурье отличны от нуля λ-почти наверное
(λ-п.н.), где λ — мера Лебега на прямой.
Прежде чем формулировать основной результат, необходимо проверить, что при
указанных технических условиях уравнения (2) и (3) действительно имеют реше-
ния. Воспользуемся теоремой о существовании решений стохастических диффе-
ренциальных уравнений со взаимодействием.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 367
Определение 1 [4]. Решением уравнения со взаимодействием
dx(u, t) = α(x(u, t), µt, t)dt+
∫
Rd
β(x(u, t), µt, t, p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ Rd,
µt = µ0 ◦ x(·, t)−1, t ≥ 0,
где W — Rd-значный винеровский лист, соответствующим коэффициентам α,
β и начальной мере µ0, называется случайное Rd-значное поле x(u, t), u ∈ Rd,
t ∈ [0;+∞), такое, что:
1) для каждого t ≥ 0 ограничение x на отрезок [0; t] является B(Rd)×B([0; t])×
×Ft-измеримым;
2) для каждого u ∈ Rd и каждого t ≥ 0 с вероятностью 1
x(u, t) = u+
t∫
0
α(x(u, s), µs, s)ds+
t∫
0
∫
Rd
β(x(u, s), µs, s, p)W (dp, ds);
3) µt(A) = µ0
({
u : x(u, t) ∈ A
})
, A ∈ B(Rd).
Пусть M — множество всех вероятностных мер на B(Rd). Для произвольных
двух мер µ, ν ∈ M обозначим через C(µ, ν) множество всех вероятностных мер
на B(R2d), для которых меры µ и ν являются маргинальными распределениями.
Определение 2 [4]. Расстоянием (метрикой) Вассерштейна нулевого порядка
между µ и ν называется значение
γ(µ, ν) = inf
κ∈C(µ,ν)
∫
Rd
∫
Rd
‖u− v‖
1 + ‖u− v‖
κ(du, dv).
Следующий результат является частным случаем теоремы 2.1.1 [4].
Теорема 1. Пусть коэффициенты α и β удовлетворяют условию
∃C > 0 ∀u1, u2 ∈ Rd, ν1, ν2 ∈ M :
∥∥α(u1, ν1)− α(u2, ν2)
∥∥+
∫
Rd
∥∥β(u1, ν1, p)− β(u2, ν2, p)
∥∥2
dp
1/2
≤
≤ C
(
‖u1 − u2‖+ γ(ν1, ν2)
)
.
Тогда уравнение
dx(u, t) = α(x(u, t), µt)dt+
∫
Rd
β(x(u, t), µt, p)W (dp, dt),
x(u, 0) = u, u ∈ Rd,
µt = µ0 ◦ x(·, t)−1, t ≥ 0,
имеет решение, причем это решение единственно.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
368 Т. В. МАЛОВИЧКО
Лемма 1. Решения уравнений (2) и (3) существуют и единственны.
Доказательство. Сначала докажем, что
∃L, L̃ > 0 ∀u1, u2 ∈ R :∫
R
|f(u1 − p)− f(u2 − p)|2dp
1/2
6 L |u1 − u2|,
∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p)
∣∣ dp 6 L̃|u1 − u2|.
(4)
Действительно, для u1 ≤ u2∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p)
∣∣2 dp =
=
∫
R
∣∣f(q)− f(q + u2 − u1)
∣∣2 dq =
∫
R
q+u2−u1∫
q
1 · f ′(v) dv
2
dq ≤
≤
∫
R
(u2 − u1)
q+u2−u1∫
q
(f ′(v))2dv dq =
= (u2 − u1)
∫
R
v∫
v−(u2−u1)
(f ′(v))2dq dv =
= (u2 − u1)2
∫
R
(f ′(v))2dv = ‖f ′‖2
2 (u2 − u1)2
и ∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p)
∣∣ dp =
∫
R
∣∣f(q)− f(q + u2 − u1)
∣∣ dq ≤
≤
∫
R
q+u2−u1∫
q
|f ′(v)| dv dq =
∫
R
v∫
v−(u2−u1)
|f ′(v)| dq dv =
= (u2 − u1)
∫
R
|f ′(v)| dv = ‖f ′‖1 (u2 − u1).
Поскольку уравнение (3) можно представить в виде
dy(u, t) =
∫
R
∫
R
b(v, p)µt(dv) f(y(u, t)− p)dp dt+
∫
R
f(y(u, t)− p)W (dp, dt),
y(u, 0) = u, u ∈ R,
µt = µ ◦ x(·, t)−1, t ≥ 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 369
для доказательства леммы достаточно показать, что найдется такая константа Ĉ >
> 0, что для любых u1, u2 ∈ R, для произвольных вероятностных мер ν1 и ν2 на
B(R) и для любого t ≥ 0∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣+
+
∫
Rd
(f(u1 − p)− f(u2 − p))2 dq
1/2
≤
≤ Ĉ
(
|u1 − u2|+ γ(ν1, ν2)
)
,
после чего воспользоваться теоремой 1.
В силу условий 2 и 3
∀ v1, v2, p ∈ R :
∣∣b(v1, p)− b(v2, p)
∣∣ ≤ min
{
2C; K |v1 − v2|
}
≤ C̃
|v1 − v2|
1 + |v1 − v2|
,
где C̃ = 2C +K. Таким образом, для произвольной меры κ ∈ C(ν1, ν2)∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) −
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2)
f(u1 − p) dp
∣∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2)
(f(u1 − p)− f(u2 − p)) dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤
∫
R
∫
R
∫
R
| b(v1, p)− b(v2, p)|κ(dv1, dv2)
|f(u1 − p)| dp +
+ C
∫
R
∣∣f(u1 − p)− f(u2 − p))
∣∣ dp ≤
≤ C̃
∫
R
∫
R
∫
R
|v1 − v2|
1 + |v1 − v2|
κ(dv1, dv2)
∣∣f(u1 − p)
∣∣ dp +
+ C
∫
R
|f(u1 − p)− f(u2 − p)| dp.
Следовательно, в силу условия 5 и неравенств (4)∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
370 Т. В. МАЛОВИЧКО
≤ C̃ γ(ν1, ν2)
∫
R
|f(u1 − p)| dp+ C L̃ |u1 − u2|.
Отсюда видно, что∣∣∣∣∣∣
∫
R
∫
R
b(v1, p) ν1(dv1) f(u1 − p) dp−
∫
R
∫
R
b(v2, p) ν2(dv2) f(u2 − p) dp
∣∣∣∣∣∣+
+
∫
Rd
(f(u1 − p)− f(u2 − p))2 dq
1/2
≤
≤ Ĉ(|u1 − u2|+ γ(ν1, ν2)),
где
Ĉ = max
C̃
∫
R
|f(u)| du; C L̃+ L
.
Лемма 1 доказана.
Лемма 2. Пусть
{
X(∆, t) : t > 0, ∆ ∈ B(R), λ(∆) < +∞
}
является непре-
рывным квадратично интегрируемым мартингалом по t при каждом фиксирован-
ном ∆ относительно одного и того же потока σ-алгебр,
X(∆, 0) = 0
и взаимная характеристика мартингалов X(∆1, ·) и X(∆2, ·) равна〈
X(∆1), X(∆2)
〉
t
= λ(∆1 ∩∆2) t,
где λ — мера Лебега на прямой.
Тогда
X(∆, t) = W (∆× [0; t]),
где W — винеровский лист на R× [0;+∞).
Доказательство. Обозначим
W̃ (∆× [0; t]) df= X(∆, t).
Положим по определению
W̃ (∆× (t1; t2])
df= W̃ (∆× [0; t2])− W̃ (∆× [0; t1]) = X(∆, t2)−X(∆, t1).
Покажем конечную аддитивность функции множеств W̃ на множествах вида
∆× (t1; t2], ∆ ∈ B(R), где λ(∆) < +∞. Для множеств ∆ = ∆1∪∆2, ∆1∩∆2 = ∅
процесс X̃(·) df= X(∆, ·)−X(∆1, ·)−X(∆2, ·) является непрерывным квадратично
интегрируемым мартингалом c нулевой характеристикой. Поскольку X̃(0) = 0,
отсюда следует, что X̃ ≡ 0 и
W̃
(
∆× (t1; t2]
)
− W̃
(
∆1 × (t1; t2]
)
− W̃
(
∆2 × (t1; t2]
)
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 371
Так как для любых множеств ∆× (t01; t
0
2] таких, что
∆× (t01; t
0
2] =
∞⋃
k=1
(
∆k × (tk1 ; tk2 ]
)
,
имеем
E
∣∣∣∣∣W̃ (∆× (t01; t
0
2])−
n∑
k=1
W̃ (∆× (tk1 ; tk2 ])
∣∣∣∣∣
2
=
= E
∣∣∣∣∣W̃ (∆× (t01; t
0
2])− W̃
(
n⋃
k=1
(∆k × (tk1 ; tk2 ])
)∣∣∣∣∣
2
=
= λ(∆× (t01; t
0
2])− λ
(
n⋃
k=1
(∆k × (tk1 ; tk2 ])
)
−→ 0, n→∞,
W̃ является счетно-аддитивной функцией множеств.
Теперь проверим, что для произвольных значений n ∈ N, ∆1, ∆2, . . . ,∆n ∈
∈ B(R), t11 ≤ t12, t21 ≤ t22, . . . , tn1 ≤ tn2 случайные величины W̃
(
∆1× (t11; t12]
)
,
W̃
(
∆2 × (t21; t22]
)
, . . . , W̃
(
∆k × (tn1; tn2]
)
являются совместно гауссовскими. В
силу конечной аддитивности достаточно показать, что произвольная линейная ком-
бинация
n∑
k=1
ak W̃
(
∆k × (tk1; tk2]
)
=
n∑
k=1
ak (X(∆k, tk2)−X(∆k, tk1))
является гауссовской случайной величиной только для попарно непересекающихся
множеств ∆1, ∆2, . . . ,∆n ∈ B(R). Случайный процесс
X̂(·) df=
(
X(∆1, ·)√
λ(∆1)
,
X(∆2, ·)√
λ(∆2)
, . . . ,
X(∆n, ·)√
λ(∆n)
)
при λ(∆k) > 0, k = 1, n, является непрерывным квадратично интегрируемым
мартингалом c 〈
X̂i, X̂j
〉
t
= δij t, i, j = 1, n.
Следовательно, по теореме Леви [9] (гл. II, теорема 6.1) X̂ является n-мерным вине-
ровским процессом. Таким образом, случайные величины X(∆1, t12), X(∆1, t11),
X(∆2, t22), X(∆2, t21), . . . , X(∆n, tn2), X(∆n, tn1) являются совместно гауссов-
скими при любых непересекающихся ∆1, ∆2, . . . ,∆n ∈ B(R), а значит, линейная
комбинация
n∑
k=1
ak (X(∆k, tk2)−X(∆k, tk1))
также является гауссовской величиной.
Покажем теперь, что для множеств A и B вида ∆× (t1; t2]
EW̃ (A)W̃ (B) = λ2(A ∩B),
где λ2 — мера Лебега на плоскости.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
372 Т. В. МАЛОВИЧКО
Пусть для определенности s1 < t1 < s2 < t2. Тогда
EW̃
(
∆1 × (s1; s2])W̃ (∆2 × (t1; t2]
)
=
= E(X(∆1, s2)−X(∆1, s1))(X(∆2, t2)−X(∆2, t1)) =
= EX
(
∆1, s2)X(∆2, t2
)
− EX
(
∆1, s1)X(∆2, t2
)
−
−EX(∆1, s2)X(∆2, t1) + EX(∆1, s1)X(∆2, t1) =
= EX(∆1, s2)X(∆2, s2)− EX(∆1, s1)X(∆2, s1)−
−EX(∆1, t1)X(∆2, t1) + EX(∆1, s1)X(∆2, s1) =
= λ(∆1 ∩∆2)s2 − λ(∆1 ∩∆2)s1 − λ(∆1 ∩∆2)t1 + λ(∆1 ∩∆2)s1 =
= λ(∆1 ∩∆2)(s2 − t1) = λ2
(
(∆1 × (s1; s2]
)
∩
(
∆2 × (t1; t2])
)
,
поскольку
EX(∆1, s)X(∆2, t) = EX(∆1, 0)X(∆2, 0) + E〈X(∆1), X(∆2)〉s∧t =
= λ(∆1 ∩∆2) s ∧ t.
Остальные случаи рассматриваются аналогично.
Следовательно, W̃ можно продолжить на B(R) × B
(
[0;+∞)
)
, причем ее про-
должение W — гауссовская мера с ортогональными значениями со структурной
мерой λ2. Таким образом, W — винеровский лист.
Лемма 2 доказана.
Лемма 3. Если преобразования Фурье функций f, h ∈ L1(R)∩L2(R) отличны
от нуля λ-почти всюду и h финитна, то линейные комбинации функций∫
R
f(u− · − v) h(v)1I[0; t](·) dv,
где u ∈ R, t ∈ [0;T ], плотны в L2
(
R× [0;T ]
)
.
Доказательство. Прежде всего покажем, что
A =
∫
R
f(u− · − v) h(v)1I[0; t](·) dv; u ∈ R, t ∈ [0;T ]
⊂ L2(R× [0;T ]).
Пусть [a; b] — некоторый отрезок такой, что
∀v /∈ [a; b] : h(v) = 0.
Тогда
∀u ∈ R ∀t ∈ (0;T ] :
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v)h(v)1I[0; t](s)dv
2
dp ds =
=
T∫
0
∫
R
1I[0; t](s) ·
b∫
a
f(u− p− v) h(v) dv
2
dp ds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 373
≤ (b− a)t
∫
R
b∫
a
f2(u− p− v) h2(v) dv dp =
= (b− a)t
b∫
a
∫
R
f2(u− p− v)dp
h2(v) dv =
= (b− a)t ‖f‖2
2
∫
R
h2(v) dv = (b− a)t · ‖f‖2
2 · ‖h‖2
2 < +∞.
Теперь предположим, что ϕ ∈ L2(R × [0;T ]) и ортогональна всем элементам
множества A, т. е.
∀u ∈ R ∀t ∈ (0;T ] :
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dv
· ϕ(p, s) dp ds = 0.
Тогда
T∫
0
∫
R
(f ∗ h)(u− p)ϕ(p, s) 1I[0; t](s) dp ds = 0,
т. е. для всех u и t
t∫
0
(f ∗ h ∗ ϕ(·, s))(u) ds = 0
и для всех u и почти всех t
f ∗ h ∗ ϕ(·, t) = 0.
Тогда для почти всех t
F (f) · F (h) · F (ϕ(·, t)) = F (f ∗ h ∗ ϕ(·, t)) = 0,
где F — преобразование Фурье. А поскольку преобразования Фурье функций f и
h отличны от нуля λ-почти всюду, для почти всех t
F (ϕ(·, t)) = 0 λ-п.н.
Следовательно, ϕ = 0 λ2-почти всюду.
Лемма 3 доказана.
Теорема 2. Пусть x — решение стохастического уравнения (2),
Fx
T = σ
{
x(u, t), u ∈ R, t ∈ [0;T ]
}
,
FW
T = σ
{
W (∆× [0; t]), ∆ ∈ B(R), t ∈ [0;T ]
}
.
Тогда для всех T > 0
Fx
T = FW
T .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
374 Т. В. МАЛОВИЧКО
Доказательство. Покажем сначала существование и непрерывность производ-
ной x′v(v, s), для чего воспользуемся результатом из [1]. Рассмотрим на множестве
функций ϕ, для которых существуют непрерывные производные
∂2
∂u∂v
ϕ(u, v),
норму
‖ϕ‖∼ = ‖ϕ‖∗ +
∥∥∥∥ ∂2
∂u∂v
ϕ
∥∥∥∥∗∗ ,
где
‖ϕ‖∗ = sup
u,v∈R
|ϕ(u, v)|
(1 + |u|)(1 + |v|)
+ sup
u,v∈R
∣∣∣∣ ∂2
∂u∂v
ϕ(u, v)
∣∣∣∣ ,
а
‖ϕ‖∗∗ = sup
u 6=u′, v 6=v′
|ϕ(u, v)− ϕ(u′, v)− ϕ(u, v′) + ϕ(u′, v′)|
|u− u′| |v − v′|
.
Для функции
ϕ(u, v) =
∫
R
f(u− p)f(v − p)dp
имеем
∂2
∂u∂v
ϕ(u, v) =
∫
R
f ′(u− p)f ′(v − p)dp,
так как f ′ ограничена, а f, f ′ ∈ L1(R), и
‖ϕ‖∗ = sup
u,v∈R
∣∣∣∣ ∫
R
f(u− p)f(v − p)dp
∣∣∣∣
(1 + |u|)(1 + |v|)
+ sup
u,v∈R
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′(u− p)f ′(v − p)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
u,v∈R
‖f‖2
2
(1 + |u|)(1 + |v|)
+ ‖f ′‖2
2 ≤ ‖f‖2
2 + ‖f ′‖2
2,∣∣∣∣ ∂2
∂u∂v
ϕ
∣∣∣∣∗∗ = sup
u 6=u′, v 6=v′
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′(u− p)f ′(v − p)− f ′(u′ − p)f ′(v − p) −
− f ′(u− p)f ′(v′ − p) + f ′(u′ − p)f ′(v′ − p)dp
∣∣∣∣∣∣ =
= sup
u 6=u′, v 6=v′
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′(u− v − p)f ′(−p)− f ′(u′ − v − p)f ′(−p) −
− f ′(u− v′ − p)f ′(−p) + f ′(u′ − v′ − p)f ′(−p)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 375
≤ sup
u 6=u′, v 6=v′, |u−u′|≤|v−v′|
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′(u+ θu
1 (u− u′)− v − p)f ′(−p)(u− u′) −
− f ′′(u+ θu
2 (u− u′)− v′ − p)f ′(−p)(u− u′)dp
∣∣∣∣∣∣+
+ sup
u 6=u′, v 6=v′, |u−u′|>|v−v′|
1
|u− u′| |v − v′|
×
×
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′(v + θv
1(v − v′)− u− p)f ′(−p)(v − v′) −
− f ′′(v + θv
2(v − v′)− u′ − p)f ′(−p)(v − v′)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
u 6=u′, v 6=v′
2
|u− u′| |v − v′|
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′′(ξ(p))f ′(−p)(u− u′)(v − v′)dp
∣∣∣∣∣∣ =
= sup
u 6=u′, v 6=v′
∣∣∣∣∣∣
∫
R
f ′′′(ξ(p))f ′(−p)dp
∣∣∣∣∣∣ ≤M
∫
R
|f ′(p)|dp = M‖f ′‖1,
где |f ′′′| ≤M .
Таким образом,
‖ϕ‖∼ ≤ ‖f‖2
2 + ‖f ′‖2
2 +M‖f ′‖1.
Отсюда следует, что с вероятностью 1 существует x′v(v, s), причем производная
x′v(v, s) непрерывна по (v, s) [1] (теорема 4.6.5), а также для любой гладкой функ-
ции q(·) такой, что q и q′ ограничены, а q′ липшицева, найдется положительная
константа C такая, что
E(x′v(q(v), s)− x′u(q(u), s′))4 ≤ C((v − u)4 + (s− s′)2),
E(x′v(q(v), s))4 ≤ C
для всех s, s′, v, u [1] (теорема 4.6.4).
Пусть
h(v) = (v + a)1I[−a; 0)(v) + (a− v)1I[0; a](v), a > 0.
Покажем, что для всех u ∈ R и t ∈ [0;T ] случайная величина
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dvW (dp, ds)
является Fx
T -измеримой. Поскольку
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
376 Т. В. МАЛОВИЧКО∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dv = 1I[0; t](s)
∫
R
f(v1 − p)h(u− v1) dv1,
то
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dvW (dp, ds) =
=
t∫
0
∫
R
∫
R
f(v − p) h(u− v) dvW (dp, ds).
Для каждого фиксированного v случайный процесс x(v, ·) является семимар-
тингалом, поэтому существует интеграл
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) =
= L2 − lim
|∆|→0
l−1∑
k=0
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)(x(v, sk+1)− x(v, sk)),
где ∆ = {0 = s0 < s1 < . . . < sl = t} — разбиение отрезка [0; t] с диаметром |∆|.
Покажем, что
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) =
=
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds). (5)
Выбрав функцию q(·) так, чтобы в некоторой окрестности точки v она совпада-
ла с тождественным отображением, получим, что для некоторой положительной
константы Cv
E(x′v(v, s)− x′v(v, s′))4 ≤ Cv(s− s′)2,
E(x′v(v, s))4 ≤ Cv
для всех s, s′. Тогда
E
(
l−1∑
k=0
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)(x(v, sk+1)− x(v, sk))−
−
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds)
)2
=
= E
(
l−1∑
k=0
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)
sk+1∫
sk
∫
R
f(x(v, s)− p)W (dp, ds)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 377
−
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds)
)2
=
= E
(
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
∫
R
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]
×
×f(x(v, s)− p)W (dp, ds)
)2
=
=
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
∫
R
E
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]2
×
×f(x(v, s)− p)2 dp ds =
=
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
E
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]2
×
×
∫
R
f(x(v, s)− p)2 dp ds =
= ‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
E
[
h(u− x(v, sk))x′v(v, sk)− h(u− x(v, s))x′v(v, s)
]2
ds ≤
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
[
E(h(u− x(v, sk))− h(u− x(v, s)))2x′v(v, sk)2+
+ Eh(u− x(v, s))2(x′v(v, sk)− x′v(v, s))2
]
ds ≤
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(E(x(v, sk)− x(v, s))2x′v(v, sk)2+
+ a2E(x′v(v, sk)− x′v(v, s))2) ds ≤
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(
√
E(x(v, sk)− x(v, s))4Ex′v(v, sk)4+
+ a2
√
E(x′v(v, sk)− x′v(v, s))4) ds =
= 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(
√
3(s− sk)‖f‖2
2
√
Ex′v(v, sk)4+
+ a2
√
E(x′v(v, sk)− x′v(v, s))4) ds ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
378 Т. В. МАЛОВИЧКО
≤ 2‖f‖2
l−1∑
k=0
sk+1∫
sk
(
√
3(s− sk)‖f‖2
2
√
Cv + a2
√
Cv(s− sk)2) ds ≤
≤ 2‖f‖2
√
Cv
(√
3‖f‖2
2 + a2
)
t|∆| → 0, |∆| → 0.
Таким образом, (5) доказано.
Обозначим
ψ(v, p, s) = f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)
и докажем, что
ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) ∈ L1(Ω× R× R× R× [0;T ]).
Действительно,
E
∫
R
∫
R
∫
R
T∫
0
∣∣ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s)
∣∣ ds dp dv2 dv1 =
= E
T∫
0
∫
R
∫
R
∫
R
∣∣∣ f(x(v1, s)− p) f(x(v2, s)− p)h(u− x(v1, s))h(u− x(v2, s))×
×x′v1
(v1, s)x′v2
(v2, s)
∣∣∣ dp dv1 dv2 ds =
= E
T∫
0
∫
R
∫
R
∫
R
∣∣ f(x(v1, s)− p) f(x(v2, s)− p)
∣∣ dp
×
×h(u− x(v1, s))h(u− x(v2, s))x′v1
(v1, s)x′v2
(v2, s) dv1 dv2 ds ≤
≤ ‖f‖2
2 E
T∫
0
∫
R
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dv
2
ds =
= ‖f‖2
2 E
T∫
0
∫
R
h(u− v) dv
2
ds = ‖f‖2
2 ‖h‖2
2 T < +∞.
Тогда
E
t∫
0
∫
R
∫
R
f(v − p) h(u− v) dvW (dp, ds) −
−
∫
R
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) dv
2
=
= E
t∫
0
∫
R
∫
R
f(x(v, s)− p) h(u− x(v, s))x′v(v, s) dvW (dp, ds) −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 379
−
∫
R
t∫
0
∫
R
f(x(v, s)− p)h(u− x(v, s))x′v(v, s)W (dp, ds) dv
2
=
= E
t∫
0
∫
R
∫
R
ψ(v, p, s) dvW (dp, ds)−
∫
R
t∫
0
∫
R
ψ(v, p, s)W (dp, ds) dv
2
=
=
t∫
0
∫
R
E
∫
R
ψ(v1, p, s) dv1
∫
R
ψ(v2, p, s) dv2
dp ds−
−2E
∫
R
t∫
0
∫
R
∫
R
ψ(v1, p, s) dv1W (dp, ds)
t∫
0
∫
R
ψ(v2, p, s)W (dp, ds)
dv2+
+
∫
R
∫
R
E
t∫
0
∫
R
ψ(v1, p, s)W (dp, ds)
t∫
0
∫
R
ψ(v2, p, s)W (dp, ds)
dv1 dv2 =
=
t∫
0
∫
R
E
∫
R
∫
R
ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) dv1 dv2
dp ds−
− 2
∫
R
t∫
0
∫
R
E
∫
R
ψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) dv1
dp ds dv2+
+
∫
R
∫
R
t∫
0
∫
R
Eψ(v1, p, s)ψ(v2, p, s) dp ds dv1 dv2 = 0
по теореме Фубини.
Таким образом,
T∫
0
∫
R
∫
R
f(u− p− v) h(v)1I[0; t](s) dvW (dp, ds) =
=
∫
R
t∫
0
h(u− x(v, s))x′v(v, s) dx(v, s) dv,
а значит, этот интеграл является Fx
T -измеримой случайной величиной.
Поскольку функция h финитна и ее преобразование Фурье равно
2
u2
(1−cos(au))
и λ-почти всюду отлично от нуля, в силу леммы 3 произвольную функцию g ∈
∈ L2(R× [0;T ]) можно приблизить линейными комбинациями функций вида∫
R
f(u− · − v) h(v) dv · 1I[0; t],
откуда следует, что случайная величина
∫ T
0
∫
R
g(p, s)W (dp, ds) Fx
T -измерима.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
380 Т. В. МАЛОВИЧКО
Положив
g(p, s) = 1I∆× [0; t)(p, s),
где ∆ — произвольное борелевское множество на прямой, получим
T∫
0
∫
R
g(p, s)W (dp, ds) = W (∆× [0; t)).
Таким образом,
FW
T ⊂ Fx
T .
Обратное включение очевидно, поскольку x — решение стохастического урав-
нения (2).
Теорема 2 доказана.
Теорема 3. Пусть x и y являются решениями стохастических дифференци-
альных уравнений (2) и (3) соответственно, а νx и νy — распределения потоков x
и y в пространстве измеримых функций на R× [0;∞).
Тогда
νy � νx,
причем функция
exp
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)W (dp, ds) −
− 1
2
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
2
dp ds
Fx
t -измерима и является плотностью
dνy
dνx
(x(·, ·), t).
Доказательство. Поскольку в силу условия 1
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
2
dp =
=
∫
R
∫
R
∫
R
b(x(u, s), p) b(x(v, s), p) dpµ(du)µ(dv) 6
∫
R
∫
R
B dµdµ = B,
для любого
E exp
1
2
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)dµ
2
dp ds
6 exp
{
t
2
B
}
<∞
и по теореме Новикова [9] (гл. III, теорема 5.3)
Zt = exp
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)W (dp, ds) −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 381
− 1
2
t∫
0
∫
R
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
2
dp ds
является непрерывным P -мартингалом.
Тогда существует мера Q такая, что для всех t ≥ 0 ограничение Q на FW
t
абсолютно непрерывно относительно вероятности P с плотностью
dQ
dP
∣∣∣∣
FW
t
= Zt,
а случайный процесс
M∆
t −
t∫
0
1
Zs
d〈Z,M∆〉s,
где
M∆
t =
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds),
является локальным мартингалом относительно меры Q ([10, с. 109], теорема 20).
По формуле Ито
〈Z,M∆〉t =
t∫
0
Zs
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p) dµ
f(x(u, s)− p) dp ds.
Следовательно,
L∆
t
df=
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds)−
−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p) dµ
f(x(u, s)− p) dp ds
является локальным мартингалом относительно меры Q.
Легко видеть, что характеристика L∆
t относительно меры Q имеет вид
〈L∆〉Qt =
t∫
0
∫
∆
f2(x(u, s)− p) dp ds,
а совместная характеристика L∆1 и L∆2 относительно этой же меры
〈L∆1 , L∆2〉Qt =
t∫
0
∫
∆1∩∆2
f2(x(u, s)− p) dp ds.
На ступенчатых функциях вида
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
382 Т. В. МАЛОВИЧКО
ϕ(p, s) =
n∑
k=0
n∑
j=0
αkj1I[tk;tk+1)(s)1I∆j (p),
где ∆j , j = 0, . . . , n, — непересекающиеся борелевские множества на прямой, име-
ющие конечную меру Лебега, а случайные величины αkj , j = 0, . . . , n, являются
FW
tk
-измеримыми, зададим интеграл по L как
t∫
0
∫
∆
ϕ(p, s)L(dp, ds) =
n∑
k=0
n∑
j=0
αkj(L
∆j
tk+1
− L
∆j
tk
).
Переходя к пределу в среднем квадратическом, получаем, что если для функции
g интегралы в правой части следующего равенства существуют, то
t∫
0
∫
∆
g(p, s)L(dp, ds) =
t∫
0
∫
∆
g(p, s)f(x(u, s)− p)W (dp, ds)−
−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p) dµ
g(p, s)f(x(u, s)− p) dp ds.
Пусть
W̃ (∆× [0; t)) =
t∫
0
∫
∆
1
f(x(u, s)− p)
L(dp, ds) =
=
t∫
0
∫
∆
W (dp, ds)−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv) dp ds =
= W (∆× [0; t))−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv) dp ds.
Тогда W̃ (∆) при любом ∆ является непрерывным мартингалом относительно
меры Q, причем 〈
W̃ (∆1), W̃ (∆2)
〉Q
t
= λ(∆1 ∩∆2) t.
В силу леммы 2 W̃ является винеровским листом относительно меры Q.
При этом
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p) W̃ (dp, ds) =
t∫
0
∫
∆
L(dp, ds) =
=
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
ТЕОРЕМА ГИРСАНОВА ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ СО ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ 383
−
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
f(x(u, s)− p) dp ds.
Таким образом,
x(u, t) =
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p)W (dp, ds) =
=
t∫
0
∫
∆
∫
R
b(x(v, s), p)µ(dv)
f(x(u, s)− p) dp ds+
+
t∫
0
∫
∆
f(x(u, s)− p) W̃ (dp, ds).
В силу единственности решения уравнения (3)
Q ◦ x−1 = P ◦ y−1.
Следовательно,
νy � νx
и
dνy
dνx
(x(·, ·), t) = E{Zt | Fx
t }.
Используя теорему 2, окончательно получаем
dνy
dνx
(x(·, ·), t) = Zt.
Теорема 3 доказана.
1. Kunita H. Stochastic flows and stochastic differential equations // Text. Monograph, Cambridge Stud.
Adv. Math. – Cambridge etc.: Cambridge Univ. Press, 1990. – 24. – 346 p.
2. Kotelenez P. A stochastic Navier – Stokes equation for the vorticity of a two-dimentional fluid // Ann.
Appl. Probab. – 1995. – 5, № 4. – P. 1126 – 1160.
3. Dorogovtsev A. A. Measure-valued Markov processes and stochastic flows on abstract spaces // Stochast.
and Stochast. Repts. – 2004. – 76, № 5. – P. 395 – 407.
4. Дороговцев А. А. Мерозначные процессы и стохастические потоки. — Киев: Ин-т математики НАН
Украины, 2007. – 289 с.
5. Карликова М. П. О слабом решении уравнения для эволюционного потока со взаимодействием //
Укр. мат. журн. – 2005. – 57, № 7. – С. 895 – 903.
6. Карликова М. П. О переносе обобщенных функций эволюционным потоком // Там же. – № 8. –
С. 1020 – 1029.
7. Пилипенко А. Ю. Мерозначные диффузии и континуальные системы взаимодействующих частиц
в случайной среде // Там же. – № 9. – С. 1289 – 1301.
8. Brayman V. B. On existence and uniqueness of a solution for differential equation with interaction
governed by generalized function in abstract Wiener space // Theory Stochas. Process. – 2005. – 11(27),
№ 3-4. – С. 29 – 41.
9. Ватанабэ С., Икэда Н. Стохастические дифференциальные уравнения и диффузионные процес-
сы. — М.: Наука, 1986. – 448 с.
10. Protter Philip. Stochastic integration and differential equations. A new approach // Appl. Math. – Berlin:
Springer, 1990. – 21. – 302 p.
Получено 14.02.07,
после доработки — 18.11.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 3
|
| id | umjimathkievua-article-3025 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:49Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cd/948b88e04e70c27dd707f7475aa95bcd.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30252020-03-18T19:43:35Z Girsanov theorem for stochastic flows with interaction Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием Malovichko, T. V. Маловичко, Т. В. Маловичко, Т. В. We prove an analog of the Girsanov theorem for the stochastic differential equations with interaction $$dz(u,t) = a(z(u,t),μt)dt + ∫R f(z(u,t)−p)W(dp,dt),$$ where $W$ is a Wiener sheet on $ℝ × [0; +∞)$ and $a(∙)$ is a function of special type. оведено аналог теореми Прсанова для стохастичних диференціальних рівнянь із взаємодiєю $$dz(u,t) = a(z(u,t),μt)dt + ∫R f(z(u,t)−p)W(dp,dt),$$ де $W$ — вінерів листок на $ℝ × [0; +∞)$, а функція $a(∙)$ має спеціальний вигляд. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3025 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 3 (2009); 384-390 Український математичний журнал; Том 61 № 3 (2009); 384-390 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3025/2799 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3025/2800 Copyright (c) 2009 Malovichko T. V. |
| spellingShingle | Malovichko, T. V. Маловичко, Т. В. Маловичко, Т. В. Girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| title | Girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| title_alt | Теорема Гирсанова для стохастических потоков со взаимодействием |
| title_full | Girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| title_fullStr | Girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| title_full_unstemmed | Girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| title_short | Girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| title_sort | girsanov theorem for stochastic flows with interaction |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3025 |
| work_keys_str_mv | AT malovichkotv girsanovtheoremforstochasticflowswithinteraction AT malovičkotv girsanovtheoremforstochasticflowswithinteraction AT malovičkotv girsanovtheoremforstochasticflowswithinteraction AT malovichkotv teoremagirsanovadlâstohastičeskihpotokovsovzaimodejstviem AT malovičkotv teoremagirsanovadlâstohastičeskihpotokovsovzaimodejstviem AT malovičkotv teoremagirsanovadlâstohastičeskihpotokovsovzaimodejstviem |