On elliptic systems in Hörmander spaces
We study a linear system of pseudodifferential equations uniformly elliptic in Petrovskii’s sense in the Hilbert scale of Hörmander functional spaces defined in $ℝ_n$. An a priori estimate is proved for the solution of the system and its interior smoothness in this scale of spaces is investigated. A...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3027 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509044384464896 |
|---|---|
| author | Murach, A. A. Мурач, А. А. Мурач, А. А. |
| author_facet | Murach, A. A. Мурач, А. А. Мурач, А. А. |
| author_sort | Murach, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:35Z |
| description | We study a linear system of pseudodifferential equations uniformly elliptic in Petrovskii’s sense in the Hilbert scale of Hörmander functional spaces defined in $ℝ_n$. An a priori estimate is proved for the solution of the system and its interior smoothness in this scale of spaces is investigated. As an application, we establish a sufficient condition for the existence of continuous bounded derivatives of the solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:34:51Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.956.222, 517.982.27
A. A. Muraç (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev; Çernyhov. texnol. un-t)
OB ∏LLYPTYÇESKYX SYSTEMAX
V PROSTRANSTVAX XERMANDERA
In the Hilbert scale of the Hörmander functional spaces given in Rn, a linear system of pseudodifferen-
tial equations uniformly elliptic in the sense of Petrovs'kyi is studied. An a priori estimate of a solution
of the system is proved and its interior smoothness is investigated in this scale. As an application, a
sufficient condition for the existence of continuous bounded derivatives of the solution is found.
U hil\bertovij ßkali funkcional\nyx prostoriv Xermandera, zadanyx u Rn, vyvçeno rivnomir-
no eliptyçnu za Petrovs\kym linijnu systemu psevdodyferencial\nyx rivnqn\. Dovedeno
apriornu ocinku rozv’qzku systemy i doslidΩeno joho vnutrißng hladkist\ u cij ßkali. Qk
zastosuvannq, znajdeno dostatng umovu isnuvannq neperervnyx obmeΩenyx poxidnyx u
rozv’qzku.
1. Vvedenye y postanovka zadaçy. V evklydovom prostranstve Rn
rassmat-
ryvaetsq lynejnaq systema psevdodyfferencyal\n¥x uravnenyj
A uj k k
k
p
,
=
Â
1
= fj , j = 1, … , p , (1)
v kotoroj n, p Œ N , a Aj k, , k = 1, … , p , — skalqrn¥e klassyçeskye (t. e. poly-
odnorodn¥e) psevdodyfferencyal\n¥e operator¥ (PDO), zadann¥e v prostran-
stve Rn
[11] (pp.;1.5, 3.1). Symvol a xj k, ( , )x PDO Aj k, qvlqetsq kompleksno-
znaçnoj beskoneçno dyfferencyruemoj funkcyej arhumentov x , x Œ Rn
ta-
koj, çto dlq lgb¥x mul\tyyndeksov a, b suwestvuet çyslo ca b, > 0, dlq ko-
toroho
∂ ∂x j ka xa
x
b x, ( , ) £ c
rj k
a b
bx,
,· Ò -
dlq lgb¥x x , x Œ Rn . (2)
Zdes\ rj k, : = ord Aj k, , · Òx : = ( ) /1 2 1 2+ x , x : = ( ) /x x1
2 2 1 2+ º + n , x : =
: = ( ), ,x x1 º n Œ Rn
y b : = b b1 + º + n dlq mul\tyyndeksa b = ( ), ,b b1 º n .
Dlq klassyçeskoho PDO Aj k, opredelen takΩe hlavn¥j symvol, poloΩytel\-
no odnorodn¥j po peremennoj x porqdka rj k, y ne ravn¥j toΩdestvenno nulg.
PoloΩym
mk : = max , ,{ }, ,ord ordA Ak p k1 º pry k = 1, … , p .
Reßenye uravnenyq (1) ponymaetsq v sm¥sle teoryy raspredelenyj. VaΩ-
n¥m prymerom system¥ (1) qvlqetsq systema lynejn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj s beskoneçno hladkymy kompleksn¥my koπffycyentamy, ohranyçen-
n¥my so vsemy proyzvodn¥my v R
n.
Predpolahaetsq, çto systema (1) ravnomerno πllyptyçeskaq v Rn
po Pet-
rovskomu, t. e. [1] (p.;3.2, b) suwestvuet çyslo c > 0 takoe, çto
det ( , )( ),
( )
,a xj k j k
p0
1x = ≥ c dlq lgb¥x x, x Œ Rn , x = 1.
Zdes\ a xj k,
( )( , )0 x — hlavn¥j symvol PDO Aj k, v sluçae, kohda ord Aj k, = mk ,
lybo a xj k,
( )( , )0 x ∫ 0, esly ord Aj k, < mk .
Dlq obwyx πllyptyçeskyx system yzvestn¥ vnutrennye apryorn¥e ocenky
© A. A. MURAÇ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3 391
392 A. A. MURAÇ
reßenyq v podxodqwyx parax prostranstv Hel\dera (s necel¥my yndeksamy) [2]
y prostranstv Soboleva [3] (p.;1.0). V sluçae, kohda πllyptyçeskaq systema za-
dana na hladkom zamknutom (kompaktnom) mnohoobrazyy, πty ocenky ravnosyl\-
n¥ tomu, çto ohranyçenn¥j operator, sootvetstvugwyj systeme, qvlqetsq ne-
terov¥m (t. e. ymeet koneçn¥j yndeks) [4] (p. 19.5), [1] (p.;3.2, b). Esly mnohoob-
razye ne kompaktno, to na symvol ravnomerno πllyptyçeskoho PDO neobxodymo
naklad¥vat\ dopolnytel\n¥e uslovyq, obespeçyvagwye neterovost\ operatora
(sm. [4] (p.;3.1, h) y pryvedennug tam byblyohrafyg).
V otlyçye ot ukazann¥x rabot m¥ yzuçaem systemu (1) v hyl\bertovoj ßkale
yzotropn¥x prostranstv Xermandera [5] (p. 2.2)
H nj( )R : = B2, ( )j ·◊Ò = w w Ln nŒ ¢ · Ò Œ{ }S ( ) ( ) ( ) ( ): √R Rj x x x2 , (3)
hde funkcyonal\n¥j parametr j : [ 1, • ) Æ ( 0, • ) qvlqetsq RO -menqgwymsq
na beskoneçnosty po Avakumovyçu [6], [7] (pryloΩenye;1). V (3), kak ob¥çno,
¢S ( )Rn
— lynejnoe topolohyçeskoe prostranstvo Ívarca medlenno rastuwyx
raspredelenyj (antylynejn¥x funkcyonalov), zadann¥x v Rn , a √( )w x — pre-
obrazovanye Fur\e raspredelenyq w. Otmetym, çto v hyl\bertovom sluçae pro-
stranstva Xermandera, a znaçyt, y prostranstva (3) sovpadagt s prostranstva-
my, vvedenn¥my y yzuçenn¥my L.;R.;Volevyçem y B.;P.;Paneqxom [8] (§;2).
Klass prostranstv (3) sovpadaet (s toçnost\g do πkvyvalentnosty norm) s
klassom vsex ynterpolqcyonn¥x hyl\bertov¥x prostranstv dlq par hyl\ber-
tov¥x prostranstv Soboleva (sm.;[9, 10]). Blahodarq πtomu ynterpolqcyonnomu
svojstvu prostranstva (3) zanymagt osoboe mesto sredy prostranstv obobwen-
noj hladkosty, kotor¥e vse aktyvnee yssledugtsq y yspol\zugtsq v poslednye
hod¥ (sm. obzor [11], rabotu [12] y pryvedennug tam byblyohrafyg). Poskol\-
ku pry ynterpolqcyy nasleduetsq ohranyçennost\ lynejn¥x operatorov, m¥
moΩem rasprostranyt\ klassyçeskug teoryg πllyptyçeskyx PDO [1], [4] (hl.
19) na ukazann¥e prostranstva Xermandera.
Lynejn¥j operator, sootvetstvugwyj systeme (1), neprer¥vno dejstvuet yz
prostranstva �k
p nH
mk
=1
jr ( )R v prostranstvo ( ( ))H n pj R , hde r( )t : = t pry
t ≥ 1. V parax πtyx prostranstv namy dokazana apryornaq ocenka reßenyq sys-
tem¥ (1) (p.;3, teorema;1) y yssledovana eho vnutrennqq hladkost\ (p.;4, teore-
m¥;2 y 3). V kaçestve pryloΩenyq ustanovleno odno dostatoçnoe uslovye su-
westvovanyq neprer¥vn¥x ohranyçenn¥x proyzvodn¥x u reßenyq (p.;5, teore-
ma;4). V p.;2 rabot¥ pryveden¥ neobxodym¥e nam svedenyq o prostranstvax Xer-
mandera.
Analohyçn¥e rezul\tat¥ spravedlyv¥ dlq πllyptyçeskyx system na zamk-
nut¥x (kompaktn¥x) hladkyx mnohoobrazyqx y budut pryveden¥ v druhoj stat\e.
Dlq bolee uzkoj ßkal¥ prostranstv Xermandera (utoçnennoj ßkal¥) πllypty-
çeskye operator¥ y πllyptyçeskye kraev¥e zadaçy yzuçen¥ v rabotax avtora [13
– 22]. ∏ty prostranstva pryvqzan¥ k prostranstvam Soboleva s pomow\g
çyslovoho parametra.
2. Prostranstva Xermandera. PredpoloΩym, çto yzmerymaq po Borelg
funkcyq j : [ 1, • ) Æ ( 0, • ) qvlqetsq vesovoj v sm¥sle [8, c. 9], t. e. suwest-
vugt çysla c ≥ 1 y l > 0 takye, çto
j t j( ) ( )t £ c t l( )1 + -t dlq vsex t , t ≥ 1.
Opredelenye(1. Yzotropnoe lynejnoe prostranstvo Xermandera H
nj( )R
sostoyt yz vsex raspredelenyj u
nŒ ¢S ( )R takyx, çto √u lokal\no summyru-
emo po Lebehu v Rn
y udovletvorqet neravenstvu
j x x x2 2( ) ( )√· ÒÚ u d
nR
< • .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
OB ∏LLYPTYÇESKYX SYSTEMAX V PROSTRANSTVAX XERMANDERA 393
V prostranstve H
nj( )R opredeleno skalqrnoe proyzvedenye raspredele-
nyj u1, u2 po formule
( , )u u1 2 j : =
j x x x x2
1 2( ) ( ) ( )√ √· ÒÚ u u d
nR
.
Ono zadaet na H
nj( )R strukturu hyl\bertova prostranstva y opredelqet
normu u u uj j: ( , ) /= 1 2.
Prostranstvo H nj( )R polno y separabel\no. MnoΩestvo C n
0
•( )R bes-
koneçno dyfferencyruem¥x funkcyj s kompaktn¥my nosytelqmy plotno
v;; H nj( )R .
Dalee m¥ ohranyçymsq sledugwym podklassom vesov¥x funkcyj.
Opredelenye(2. Pust\ RO — mnoΩestvo vsex yzmerym¥x po Borelg
funkcyj j : [ 1, • ) Æ ( 0, • ) , dlq kotor¥x suwestvugt çysla a > 1 y c ≥ 1
takye, çto
c-1 £ j l j( ) ( )t t £ c dlq lgb¥x t ≥ 1, l Œ [ 1, a ]
(postoqnn¥e a y c zavysqt ot j ) . Takye funkcyy naz¥vagt RO-menqg-
wymysq na beskoneçnosty.
Klass RO-menqgwyxsq funkcyj vveden Avakumovyçem [6] v 1936 h. y dosta-
toçno polno yzuçen (sm., naprymer, [7], pryloΩenye;1). Otmetym nekotor¥e eho
svojstva.
PredloΩenye(1. Spravedlyvo sledugwee opysanye klassa RO:
j ŒRO ¤ j( )t = exp ( )
( )b e t
t
tt d
t
+
Ê
ËÁ
ˆ
¯̃Ú
1
, t ≥ 1,
hde vewestvenn¥e funkcyy b y e yzmerym¥ po Borelg y ohranyçen¥ na
poluosy [ 1, • ) .
PredloΩenye(2. Dlq lgboj funkcyy j Œ RO suwestvugt çysla s0 , s1;Œ
Œ R , s0 £ s1, y c1 ≥ 1 takye, çto
c s
1
1 0- l £ j l j( ) ( )t t £ c s
1
1l pry t ≥ 1, l ≥ 1. (4)
Pust\ j Œ RO. PoloΩym:
s j0( ) : =
sup : ( )s0 4Œ{ }R v¥polnqetsq ,
s j1( ) : = inf : ( )s1 4Œ{ }R v¥polnqetsq .
Oçevydno, çto – • < s j0( ) £ s j1( ) < • .
Esly dlq funkcyy j ΠRO opredelen porqdok yzmenenyq s ΠR , t. e .
s j0( ) = s j1( ) = : s , to udobno oboznaçenye H nj( )R = : H ns j, ( )0 R , hde j( )t =
= t ts j0( ). V sluçae, kohda funkcyq j0 medlenno menqetsq po Karamata na
beskoneçnosty [7] (p.;1.1), prostranstvo H ns j, ( )0 R yzuçeno avtoramy v [14, 19].
Dlq stepennoj funkcyy j( )t = ts
prostranstvo H
nj( )R sovpadaet s hyl\-
bertov¥m prostranstvom Soboleva H ns( )R .
Yz neravenstva (4) pry t = 1 sledugt neprer¥vn¥e y plotn¥e vloΩenyq
H
s n1 ( )R O H
nj( )R O H
s n0 ( )R dlq vsex çysel s1 > s j1( ), s0 < s j0( ).
(5)
3. ∏llyptyçeskaq systema v prostranstvax Xermandera. Sleduq [1]
(p.;1.1), oboznaçym çerez Y
r n( )R , hde r ΠR , klass vsex PDO G v Rn
(ne
obqzatel\no klassyçeskyx) takyx, çto yx symvol g x( ), x udovletvorqet uslo-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
394 A. A. MURAÇ
vyg vyda (2): dlq lgb¥x mul\tyyndeksov a, b suwestvuet çyslo ca b, > 0, dlq
kotoroho
∂ ∂x g xa
x
b x( , ) £ c r
a b
bx, · Ò -
pry lgb¥x x , x Œ R
n.
PoloΩym
Y - •( )Rn : =
Yr n
r
( )R
RŒ
I .
PredloΩenye(3. Pust\ r Œ R y G
r nŒY ( )R . SuΩenye lynejnoho otob-
raΩenyq u GuÆ , u nŒ ¢S ( )R , na prostranstvo H ny ( )R qvlqetsq ohrany-
çenn¥m operatorom
G : H
ny ( )R Æ H
r ny r-
( )R dlq lgboho y ΠRO. (6)
∏to predloΩenye dokazano v [9] (p.;5, lemma;2). Otmetym, çto ohranyçen-
nost\ operatora (6) sleduet s pomow\g ynterpolqcyy yz ohranyçennosty PDO
G v ßkale prostranstv Soboleva.
Zapyßem systemu (1) v matryçnoj forme: Au = f . Zdes\ A : = ( ), ,Aj k j k
p
=1 —
matryçn¥j PDO, a u = col( , , )u up1 º , f = col( , , )f fp1 º — funkcyonal\n¥e
stolbc¥. Poskol\ku Aj k
m nk
, ( )ŒY R , sohlasno predloΩenyg;3 ymeem ohrany-
çenn¥j lynejn¥j operator
A :
�
k
p
nH
mk
=1
jr ( )R Æ ( ( ))H n pj R dlq lgboho j Œ RO. (7)
Najdem apryornug ocenku reßenyq uravnenyq Au = f dlq operatora (7).
Poskol\ku systema (1) ravnomerno πllyptyçeskaq v R
n
, dlq matryçnoho
PDO A suwestvuet parametryks B , t. e. spravedlyvo sledugwee predloΩenye
[1] (p.;3.2,b).
PredloΩenye(4. Suwestvuet matryçn¥j klassyçeskyj PDO B = ( ), ,Bk j k j
p
=1
takoj, çto Bk j
m nk
, ( )Π-Y R y
BA = I + T1 , AB = I + T2 , (8)
hde T1 = ( ),
,T j k
j k
p
1 1= , T2 = ( ),
,T k j
k j
p
2 1= — nekotor¥e matryçn¥e PDO, sostoq-
wye yz πlementov klassa Y - •( )Rn , a I — toΩdestvenn¥j operator v
¢S ( )Rn .
Teorema(1. Pust\ zadan¥ funkcyq j Œ RO y çyslo s > 0. Suwestvuet
çyslo c = c ( j, s ) > 0 takoe, çto dlq proyzvol\n¥x vektor-funkcyj
u = col( , , ) ( )u u Hp
k
p
nmk
1
1
º Œ
=
� jr R , f = col( , , ) ( ( ))f f Hp
n p
1 º Œ j R , (9)
udovletvorqgwyx uravnenyg Au = f v Rn , spravedlyva apryornaq ocenka
uk
k
p
mkjr
2
1
1 2
=
Â
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜
/
£ c f c uj
j
p
k
k
p
mkj jr s
2
1
1 2
2
1
1 2
= =
 Â
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜ +
Ê
Ë
Á
ˆ
¯
˜-
/ /
. (10)
Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez ◊ ¢
j, ◊ ¢¢
j y ◊ ¢
j s, sootvetstvenno nor-
m¥ v prostranstvax
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
OB ∏LLYPTYÇESKYX SYSTEMAX V PROSTRANSTVAX XERMANDERA 395
�
k
p
nH
mk
=1
jr ( )R , ( ( ))H n pj R y
�
k
p
nH
mk
=
-
1
jr s
( )R .
Pust\ vektor-funkcyy (9) udovletvorqgt uravnenyg Au = f v Rn . V sylu
pervoho ravenstva v (8) zapyßem u = B f T u- 1 . Otsgda sleduet ocenka (10):
u j
¢ = B f T u- ¢
1 j £ B f T uj j
¢ + ¢
1 £ c f c uj j s
¢¢ + ¢
, .
Zdes\ c — maksymum norm operatorov
B : ( ( ))H n pj R Æ
�
k
p
nH
mk
=1
jr ( )R , (11)
T1 : �
k
p
nH
mk
=
-
1
jr s
( )R Æ �
k
p
nH
mk
=1
jr ( )R . (12)
Operator¥ (11), (12) ohranyçenn¥e v sylu predloΩenyj;3 y 4.
Teorema;1 dokazana.
4. Hladkost\ reßenyq πllyptyçeskoj system¥. PredpoloΩym, çto
pravaq çast\ uravnenyq Au = f ymeet nekotorug vnutrenngg hladkost\ na za-
dannom otkr¥tom mnoΩestve V
nÕ R v ßkale Xermandera. Yzuçym vnutren-
ngg hladkost\ reßenyq u na πtom mnoΩestve. Rassmotrym snaçala sluçaj,
kohda V n= R . Oboznaçym
H
n- •( )R : =
Hs n
s
( )R
RŒ
U =
H nj
j
( )R
ŒRO
U ,
H n•( )R : =
Hs n
s
( )R
RŒ
I =
H nj
j
( )R
ŒRO
I .
∏to oboznaçenye korrektno v sylu (5). V prostranstvax H n- •( )R y H n•( )R
vvodqtsq topolohyy sootvetstvenno ynduktyvnoho y proektyvnoho predelov, v
kaΩdoj yz kotor¥x PDO A neprer¥ven.
Teorema 2. Pust\ j Œ RO. PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq u Œ
Œ ( ( ))H n p- • R qvlqetsq reßenyem uravnenyq Au = f v R
n
, hde f Hj
nΠj( )R
dlq vsex j = 1, … , p . Tohda u Hk
nmkŒ jr ( )R dlq vsex k = 1, … , p .
Dokazatel\stvo. V sylu (8), (11) y uslovyq ymeem u = B f T u- 1 , hde
B f H
k
p
nmkŒ
=
�
1
jr ( )R .
Krome toho, poskol\ku T
j k n
1
, ( )Œ - •Y R , to T u H n
1 Œ •( )R y teorema;2 dokazana.
Rassmotrym teper\ obwyj sluçaj, kohda V — proyzvol\noe otkr¥toe nepus-
toe podmnoΩestvo prostranstva R
n. PoloΩym
H Vint ( )j : = w H nŒ{ - •( )R :
c c c c ∂jw H C V Vn
b
nŒ " Œ à > }•( ) ( ), , ( , )R R supp dist supp 0 . (13)
Zdes\ j ΠRO, a Cb
n•( )R — prostranstvo vsex beskoneçno dyfferencyruem¥x
v R
n
kompleksnoznaçn¥x funkcyj, u kotor¥x lgbaq çastnaq proyzvodnaq oh-
ranyçena v R
n. Topolohyq v prostranstve H Vint ( )j
zadaetsq polunormamy
w wÆ c j , hde funkcyy c te Ωe, çto y v (13).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
396 A. A. MURAÇ
Teorema(3. Pust\ j Œ RO. PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq u;Œ
Œ ( ( ))H n p- • R qvlqetsq reßenyem uravnenyq Au = f na otkr¥tom mnoΩest-
ve V, hde
f H Vj Œ int ( )j dlq vsex j = 1, … , p . (14)
Tohda
u H Vk
mk
Πint ( )jr
dlq vsex k = 1, … , p . (15)
Dokazatel\stvo. PokaΩem snaçala, çto yz uslovyq (14) v¥tekaet sledug-
wee svojstvo pov¥ßenyq vnutrennej hladkosty reßenyq uravnenyq Au = f;:
dlq kaΩdoho çysla r ≥ 1 spravedlyva ymplykacyq
u H V
k
p mk r
Œ
=
-
�
1
int ( )jr
fi
u H V
k
p mk r
Œ
=
- +
�
1
1
int ( )jr
. (16)
V¥berem proyzvol\no funkcyg c Œ •Cb
n( )R takug, çto
supp c à V y dist supp( , )c ∂V > 0. (17)
Dlq nee suwestvuet funkcyq h Œ •Cb
n( )R takaq, çto
supp h à V, dist supp( , )h ∂V > 0 y h = 1 v okrestnosty supp c . (18)
Dejstvytel\no, m¥ moΩem opredelyt\ ukazannug funkcyg s pomow\g opera-
cyy svertky h : = c we e2 * , hde e : = dist supp( , )/c ∂V 4, c e2 — yndykator 2e -
okrestnosty mnoΩestva supp c, a funkcyq we Œ •C n( )R udovletvorqet uslo-
vyqm
we ≥ 0, supp we à x xnŒ £{ }R : e y we ( )x dx
nR
Ú = 1.
Neposredstvenno proverqetsq, çto takaq funkcyq h prynadleΩyt klassu
Cb
n•( )R y udovletvorqet uslovyqm (18).
Perestavyv matryçn¥j PDO A y operator umnoΩenyq na funkcyg c , za-
pyßem
A uc = A uch = c h hA u A u+ ¢ = c c h hAu A u A u+ - + ¢( )1 =
= c c h hf A u A u+ - + ¢( )1 v Rn , (19)
hde matryçn¥j PDO ¢A = ( ), ,¢ =Aj k j k
p
1 — kommutator PDO A y operatora umno-
Ωenyq na funkcyg c . Poskol\ku
¢ Œ -Aj k
m nk
, ( )Y 1 R , v sylu predloΩenyq;3
ymeem ohranyçenn¥j operator
¢A : �
k
p
nH
mk r
=
-
1
jr ( )R Æ ( ( ))H
r n pjr- +1
R .
Sledovatel\no,
u H V
k
p mk r
Œ
=
-
�
1
int ( )jr
fi ¢ Œ
- +
A u H
r n ph jr( ( ))
1
R . (20)
Dalee, sohlasno uslovyg (14) y v sylu neravenstva r ≥ 1 ymeem
c
jf H n pŒ( ( ))R O ( ( ))H
r n pjr- +1
R . (21)
Krome toho, tak kak nosytely funkcyj c y h – 1 ne peresekagtsq, PDO
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
OB ∏LLYPTYÇESKYX SYSTEMAX V PROSTRANSTVAX XERMANDERA 397
c hAj k
n
, ( ) ( )- Œ - •1 Y R dlq vsex j, k = 1, … , p .
∏to neposredstvenno sleduet yz formul¥ dlq symvola kompozycyy dvux PDO:
c Aj k, y operatora umnoΩenyq na funkcyg h - 1 (sm. [1], p.;1.2, d ). Poπtomu
c hA u H n p( ) ( ( ))- Œ •1 R . (22)
Teper\ yz formul (19) – (22) sleduet ymplykacyq
u H V
k
p mk r
Œ
=
-
�
1
int ( )jr
fi A u H
r n pc jrŒ
- +
( ( ))
1
R .
No sohlasno teoreme;2
A u H
r n pc jrŒ
- +
( ( ))
1
R fi
c jru H
k
p
nmk r
Œ
=
- +
�
1
1
( )R .
Sledovatel\no, spravedlyva ymplykacyq (16) vsledstvye proyzvol\nosty v¥bo-
ra funkcyy c Œ •Cb
n( )R , udovletvorqgwej uslovyg (17).
Teper\ s pomow\g (16) lehko v¥vesty svojstvo (15). V sylu (5) suwestvuet
celoe çyslo q ≥ 1 takoe, çto
u H
k
p
nmk q
Œ
=
-
�
1
jr ( )R .
Poskol\ku umnoΩenye na funkcyg c Œ •Cb
n( )R est\ PDO klassa Y
0( )Rn , v
sylu predloΩenyq;3
u H V
k
p mk q
Œ
=
-
�
1
int ( )jr
.
Dalee, prymenqq ymplykacyg (16) posledovatel\no dlq r = q, q – 1, … , 1, v¥-
vodym svojstvo (15):
u H V
k
p mk q
Œ
=
-
�
1
int ( )jr
fi u H V
k
p mk q
Œ
=
- +
�
1
1
int ( )jr
fi … fi u H V
k
p mk
Œ
=
�
1
int ( )jr
.
Zameçanye(1. Sleduet razlyçat\ vnutrenngg y lokal\nug hladkost\ na
otkr¥tom mnoΩestve V nà R . Prostranstvo raspredelenyj, ymegwyx dannug
lokal\nug hladkost\ na πtom mnoΩestve, opredelqetsq sledugwym obrazom:
H Vloc
j ( ) : = w H w H C Vn n nŒ{ Œ " Œ à }- • •( ) ( ) ( ): ,R R Rc c cj
0 supp ,
hde j Œ RO. V sluçae, kohda mnoΩestvo V ohranyçeno, prostranstva H Vint ( )j
y H Vloc
j ( ) sovpadagt. Esly Ωe V ne ohranyçeno, to moΩet b¥t\ strohoe
vklgçenye H Vint ( )j à H Vloc
j ( ). Dlq lokal\noj utoçnennoj hladkosty spra-
vedlyv analoh teorem¥;3, kotor¥j lehko v¥vodytsq yz nee. V ee formulyrovke
sleduet lyß\ zamenyt\ int na loc v oboznaçenyqx prostranstv.
5. PryloΩenye. Teorema;3 daet vozmoΩnost\ ustanovyt\ nalyçye nepre-
r¥vn¥x proyzvodn¥x u v¥brannoj komponent¥ uk reßenyq system¥ (1). Obo-
znaçym çerez Cb
r n( )R banaxovo prostranstvo vsex funkcyj u
n: R CÆ , ymeg-
wyx neprer¥vn¥e y ohranyçenn¥e v Rn
proyzvodn¥e do porqdka r vklgçy-
tel\no. Nam ponadobytsq sledugwyj kryteryj vloΩenyq prostranstv Xerman-
dera v prostranstvo Cb
r n( )R .
PredloΩenye(5. Pust\ y Œ RO. Dlq kaΩdoho fyksyrovannoho celoho çys-
la r ≥ 0 neravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
398 A. A. MURAÇ
t t dtr n2 1 2
1
+ - -
•
Ú y ( ) < • (23)
ravnosyl\no vloΩenyg H ny ( )R O Cb
r n( )R . ∏to vloΩenye neprer¥vno.
PredloΩenye;5 sleduet yz rezul\tata Xermandera [5] (p.;2.2, teorema;2.2.7),
sohlasno kotoromu neravenstvo
· Ò · Ò-Ú x y x x2 2r d
n
( )
R
< •
ravnosyl\no vloΩenyg H
ny ( )R O Cb
r n( )R , y πto vloΩenye neprer¥vno. Pe-
rexodq k sferyçeskym koordynatam, poluçaem, çto poslednee neravenstvo rav-
nosyl\no (23).
Teorema(4. Pust\ zadan¥ cel¥e çysla k pŒ º{ , , }1 , r ≥ 0 y funkcyq j;Œ
ΠRO, udovletvorqgwaq neravenstvu
t t dtr n mk2 1 2 2
1
+ - - -
•
Ú j ( ) < • . (24)
PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq u H n pŒ - •( ( ))R qvlqetsq reßenyem urav-
nenyq Au = f na otkr¥tom mnoΩestve V
nÕ R , hde f H Vj Œ int ( )j
dlq vsex
j = 1, … , p . Tohda komponenta u k reßenyq ymeet na mnoΩestve V nepre-
r¥vn¥e çastn¥e proyzvodn¥e do porqdka r vklgçytel\no, pryçem πty proyz-
vodn¥e ohranyçen¥ na kaΩdom mnoΩestve V V0 Ã takom, çto dist ( , )V V0 ∂ > 0.
V çastnosty, esly V n= R , to u Ck b
r nΠ( )R .
Dokazatel\stvo. V sylu teorem¥;3 u H Vk
mk
Œ int ( )jr . Pust\ funkcyq h Œ
ΠCb
n•( )R udovletvorqet uslovyqm
supp h à V , dist supp( , )h ∂V > 0 y h = 1 v okrestnosty V0 .
∏ta funkcyq stroytsq tak Ωe, kak y v dokazatel\stve teorem¥;3, esly zamenyt\
v nem supp c na V0. V sylu uslovyq (24) funkcyq y : = jrmk
udovletvorqet
neravenstvu (23). Poπtomu sohlasno predloΩenyg;5
h
jru Hk
nmkΠ( )R O Cb
r n( )R .
Otsgda sleduet, çto vse çastn¥e proyzvodn¥e funkcyy uk do porqdka r
vklgçytel\no neprer¥vn¥ y ohranyçen¥ v nekotoroj okrestnosty mnoΩestva
V0. Tohda πty proyzvodn¥e neprer¥vn¥ y na mnoΩestve V, poskol\ku moΩno
vzqt\ V0 : = { }x0 dlq lgboj toçky x V0 Œ .
Teorema;4 dokazana.
Yz teorem¥;4 dlq r = m k neposredstvenno sleduet dostatoçnoe uslovye
klassyçnosty reßenyq ravnomerno πllyptyçeskoj system¥ dyfferencyal\-
n¥x uravnenyj. Zdes\ predpolahaetsq, çto v systeme (1) vse Aj k, qvlqgtsq
lynejn¥my dyfferencyal\n¥my operatoramy s koπffycyentamy klassa
Cb
n•( )R .
Sledstvye. PredpoloΩym, çto vektor-funkcyq u H n pŒ - •( ( ))R qvlqetsq
obobwenn¥m reßenyem uravnenyq Au = f na otkr¥tom mnoΩestve V Õ Rn
,
hde f H Vj Πint ( )j
dlq vsex j = 1, … , p , y nekotoroj funkcyy j ŒM, udov-
letvorqgwej neravenstvu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
OB ∏LLYPTYÇESKYX SYSTEMAX V PROSTRANSTVAX XERMANDERA 399
t t dtn- -
•
Ú 1 2
1
j ( ) < • .
Tohda reßenye u klassyçeskoe na mnoΩestve V , t.7e. u C Vk
mkΠ( ) dlq vsex
k = 1, … , p .
Otmetym, çto dlq klassyçeskoho reßenyq u system¥ (1) ee lev¥e çasty v¥-
çyslqgtsq s pomow\g klassyçeskyx (a ne obobwenn¥x) proyzvodn¥x y qvlqgt-
sq neprer¥vn¥my funkcyqmy na mnoΩestve V.
1. Agranovich M. S. Elliptic operators on closed manifolds // Encycl. Math. Sci., Part. Different.
Equat. – Berlin: Springer, 1994. – 63. – P. 1 – 130.
2. Douglis A., Nirenberg L. Interior estimates for elliptic systems of partial differential equations //
Communs Pure and Appl. Math. – 1955. – 8, # 4. – P. 503 – 538.
3. Hörmander L. Pseudodifferential operators and non-elliptic boundary problems // Ann. Math. –
1966. – 83, # 1. – P. 129 – 209.
4. Hörmander L. The analysis of linear partial differential operators. III: Pseudodifferential opera-
tors. – Berlin: Springer, 1985. – 525 p.
5. Hörmander L. Linear partial differential operators. – Berlin: Springer, 1963. – 285 p.
6. Avakumović V. G. O jednom O-inverznom stavu // Rad. Jugoslovenske Akad. znatn. umjetn. –
1936. – 254. – P. 167 – 186.
7. Seneta E. Regularly varying functions. – Berlin: Springer, 1976. – 112 p.
8. Volevyç L. R., Paneqx B. P. Nekotor¥e prostranstva obobwenn¥x funkcyj y teorem¥ vlo-
Ωenyq // Uspexy mat. nauk. – 1965. – 20, # 1. – S.;3 – 74.
9. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Ynterpolqcyonn¥e prostranstva Xermandera y πllyptyçeskye
operator¥ // Zb. prac\ In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2008. – 5, # 1. – S.;205 – 266.
10. Myxajlec V. A., Muraç A. A. Ob πllyptyçeskyx operatorax na zamknutom mnohoobrazyy //
Dop. NAN Ukra]ny. Matematyka, pryrodoznavstvo, texn. nauky. – 2009. – # 3. – S.;29 – 35.
11. Kalyabin G. A., Lizorkin P. I. Spaces of functions of generalized smoothness // Math. Nachr. –
1987. – 133. – S. 7 – 32.
12. Farkas W., Leopold H.-G. Characterisation of function spaces of generalised smoothness // Ann.
mat. pura ed appl. – 2006. – 185, # 1. – P. 1 – 62.
13. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. I //
Ukr. Math. J. – 2006. – 58, # 2. – P. 244 – 262.
14. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. II
// Ibid. – # 3. – P. 398 – 417.
15. Mikhailets V. A., Murach A. A. Regular elliptic boundary-value problem for a homogeneous
equation in a two-sided improved scale of spaces // Ibid. – # 11. – P. 1748 – 1767.
16. Mikhailets V. A., Murach A. A. Improved scale of spaces and elliptic boundary-value problems. III
// Ibid. – 2007. – 59, # 5. – P. 744 – 765.
17. Murach A. A. Elliptic pseudodifferential operators in a refined scale of spaces on a closed manifold
// Ibid. – # 6. – P. 874 – 893.
18. Mikhailets V. A., Murach A. A. Elliptic operator with homogeneous regular boundary conditions in
two-sided refined scale of spaces // Ukr. Math. Bull. – 2006. – 3, # 4. – P. 529 – 560.
19. Mikhailets V. A., Murach A. A. Interpolation with a function parameter and refined scale of spaces
// Meth. Funct. Anal. and Top. – 2008. – 14, # 1. – P. 81 – 100.
20. Murach A. A. Douglis – Nirenberg elliptic systems in the refined scale of spaces on a closed
manifold // Ibid. – # 2. – P. 142 – 158.
21. Myxajlec V. A., Muraç A. A. ∏llyptyçeskaq kraevaq zadaça v dvustoronnej utoçnennoj
ßkale prostranstv // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60, # 4. – S.;497 – 520.
22. Muraç A. A. ∏llyptyçeskye po Duhlysu – Nyrenberhu system¥ v prostranstvax obobwen-
noj hladkosty // Ukr. mat. visn. – 2008. – 5, # 3. – S.;350 – 365.
Poluçeno 10.11.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 3
|
| id | umjimathkievua-article-3027 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:34:51Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/02/8b5b50b2615c4587b579fa0b585d4702.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30272020-03-18T19:43:35Z On elliptic systems in Hörmander spaces Об эллиптических системах в пространствах Хермандера Murach, A. A. Мурач, А. А. Мурач, А. А. We study a linear system of pseudodifferential equations uniformly elliptic in Petrovskii’s sense in the Hilbert scale of Hörmander functional spaces defined in $ℝ_n$. An a priori estimate is proved for the solution of the system and its interior smoothness in this scale of spaces is investigated. As an application, we establish a sufficient condition for the existence of continuous bounded derivatives of the solution. У гільбертовій шкалі функціональних просторів Хермандера, заданих у Rn, вивчено рівномірно еліптичну за Петровським лінійну систему псевдодиференціальних рівнянь. Доведено апріорну оцінку розв'язку системи і досліджено його внутрішню гладкість у цій шкалі. Як застосування, знайдено достатню умову існування неперервних обмежених похідних у розв'язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-03-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3027 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 3 (2009); 391-399 Український математичний журнал; Том 61 № 3 (2009); 391-399 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3027/2803 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3027/2804 Copyright (c) 2009 Murach A. A. |
| spellingShingle | Murach, A. A. Мурач, А. А. Мурач, А. А. On elliptic systems in Hörmander spaces |
| title | On elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_alt | Об эллиптических системах в пространствах Хермандера |
| title_full | On elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_fullStr | On elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_full_unstemmed | On elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_short | On elliptic systems in Hörmander spaces |
| title_sort | on elliptic systems in hörmander spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3027 |
| work_keys_str_mv | AT murachaa onellipticsystemsinhormanderspaces AT muračaa onellipticsystemsinhormanderspaces AT muračaa onellipticsystemsinhormanderspaces AT murachaa obélliptičeskihsistemahvprostranstvahhermandera AT muračaa obélliptičeskihsistemahvprostranstvahhermandera AT muračaa obélliptičeskihsistemahvprostranstvahhermandera |