On the theory of stability of matrix differential equations
We establish the conditions of asymptotic stability of a linear system of matrix differential equations with quasiperiodic coefficients on the basis of constructive application of the principle of comparison with a Lyapunov matrix-valued function.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3034 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509056167313408 |
|---|---|
| author | Lila, D. M. Martynyuk, A. A. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. |
| author_facet | Lila, D. M. Martynyuk, A. A. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. |
| author_sort | Lila, D. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:50Z |
| description | We establish the conditions of asymptotic stability of a linear system of matrix differential equations with quasiperiodic coefficients on the basis of constructive application of the principle of comparison with a Lyapunov matrix-valued function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 531.36
D. M. Lyla, A. A. Mart¥ngk (Yn-t mexanyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
K TEORYY USTOJÇYVOSTY MATRYÇNÁX
DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ
Conditions of the asymptotic stability of a linear system of matrix differential equations with quasi-
periodic coefficients are established via the constructive application of the principle of comparison with
the matrix-valued Lyapunov function.
Vstanovleno umovy asymptotyçno] stijkosti linijno] systemy matryçnyx rivnqn\ z kvaziperio-
dyçnymy koefici[ntamy na osnovi konstruktyvnoho zastosuvannq pryncypu porivnqnnq z mat-
ryçnoznaçnog funkci[g Lqpunova.
1. Vvedenye. Matryçn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq prymenqgtsq v neko-
tor¥x oblastqx prykladnoj matematyky y mexanyky, takyx kak spektral\naq
faktoryzacyq [1], opysanye ynvaryantnoho pohruΩenyq y processov rasseqnyq
[2, 3], teoryq optymal\noho upravlenyq [4], teoryq matryçn¥x dyfferencyal\-
n¥x yhr [5] y druhyx.
V dannoj stat\e predlahaetsq nov¥j podxod k analyzu ustojçyvosty reße-
nyj matryçn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj, osnovann¥j na yspol\zovanyy
matryçnoznaçn¥x funkcyj Lqpunova. Formulyruetsq pryncyp sravnenyq s
matryçnoznaçnoj funkcyej Lqpunova, y dlq klassa matryçn¥x lynejn¥x urav-
nenyj s kvazyperyodyçeskymy koπffycyentamy ukazan sposob postroenyq y
prymenenyq matryçnoznaçnoj funkcyy. V kaçestve prymera yssleduetsq sys-
tema vos\moho porqdka.
2. Pryncyp sravnenyq dlq matryçnoj system¥. Rassmotrym systemu
uravnenyj
dX
dt
= F t X( , ), X t( )0 = X0, (1)
hde X
n n∈ ×R y F � matryçnoznaçnaq funkcyq, udovletvorqgwaq uslovyqm
suwestvovanyq y edynstvennosty reßenyq X(t; t0
, X0) system¥ (1) na yntervale
T0 = t0, ∞[ ) , t0 ≥ 0, pry (t0, X0) ∈ T0 × N , N
n n⊂ ×R � otkr¥taq svqznaq ob-
last\; F t X( , ) = 0 pry vsex t T∈ 0, esly X = 0 ∈ ×Rn n .
Sleduq rabote [6], predpoloΩym, çto dlq system¥ (1) yzvestna matryçno-
znaçnaq funkcyq U : T0 × Rn n× → Rn n× y suwestvuet matryçnoznaçnaq funk-
cyq G t U( , ) takaq, çto
D U t X+ ( , ) ≤ G t U t X, ( , )( ) (2)
pry vsex ( , )t X ∈ T0 × N, hde G ∈ C T0( × Rn n× , R
n n× ) y
D U t X+ ( , ) = lim sup ( , ( , )) – ( , ) :–U t h X hF t X U t X h h+ +[ ] →{ }+1 0 .
Opredelenye 1. Matryçnoe dyfferencyal\noe uravnenye
dY
dt
= G t U( , ) , Y t( )0 = Y
n n
0 ∈ ×R , (3)
qvlqetsq systemoj sravnenyq dlq matryçnoho dyfferencyal\noho uravnenyq
(1), esly v mnoΩestve reßenyj uravnenyq (3) suwestvuet reßenye Y t( ), svq-
zannoe s reßenyqmy X t( ) matryçnoj system¥ (1) sootnoßenyqmy U (t0, X0) ≤
≤ Y0 y U t( , X t( )) ≤ Y t( ) pry vsex t t≥ 0 .
Pryvedem odno yz osnovn¥x utverΩdenyj pryncypa sravnenyq, pozvolqgwee
© D. M. LYLA, A. A. MARTÁNGK, 2009
464 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
K TEORYY USTOJÇYVOSTY MATRYÇNÁX DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ 465
yssledovat\ dynamyçeskye svojstva reßenyj uravnenyq (1) s prymenenyem mat-
ryçnoznaçnoj funkcyy.
Teorema 1. Pust\ dlq system¥ (1) y matryçnoj system¥ sravnenyq (3)
v¥polnqgtsq uslovyq:
1) suwestvuet matryçnoznaçnaq funkcyq U t X( , ) ∈ C T0( × Rn n× , R
n n× ),
lokal\no lypßyceva po X;
2) suwestvuet matryçnoznaçnaq funkcyq G t U( , ) ∈ C T0( × Rn n× , R
n n× ),
kvazymonotonno neub¥vagwaq po U pry vsex t ∈ +R , takaq, çto
D U t X t+ ( ), ( ) ≤ G t U t X, ( , )( )
pry vsex ( , )t X ∈ R+ × Rn n× ;
3) suwestvugt reßenyq X t( ) system¥ (1) y maksymal\noe reßenye
Y t( ) = Y t( ; t0, Y0) system¥ sravnenyq (3) pry vsex t t≥ 0 .
Tohda pry uslovyy, çto
U t X( , )0 0 < Y0, (4)
v¥polnqetsq ocenka
U t X t, ( )( ) < Y t( ) (5)
pry vsex t t≥ 0 .
Dokazatel\stvo πtoj teorem¥ pryvedeno v rabote [6]. Ee faktyçeskoe pry-
menenye svqzano s konstruktyvn¥m postroenyem matryçnoznaçnoj funkcyy dlq
rassmatryvaemoho klassa matryçn¥x uravnenyj. NyΩe pryvodytsq sposob post-
roenyq takoj funkcyy dlq odnoho klassa matryçn¥x dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj.
3. Postroenye funkcyy Lqpunova dlq klassa lynejn¥x nestacyonar-
n¥x matryçn¥x system. Rassmotrym matryçnug systemu uravnenyj
dX
dt
1 = A X11 1 + A t X12 2( ) , X t1 0( ) = X10,
(6)
dX
dt
2 = A X22 2 + A t X21 1( ) , X t2 0( ) = X20 ,
hde X1, X Rn n
2 ∈ × , matryc¥ A11, A Rn n
22 ∈ × postoqnn¥ y A t12( ) , A t21( ) �
kvazyperyodyçeskye matryc¥-funkcyy. Budem sçytat\, çto
A t12( ) =
k N
N
k i tA e k
=
∑
–
( )
12
ω , A t21( ) =
k N
N
k i tA e k
=
∑
–
( )
21
ω ,
hde ωk ∈R , ω–k = –ωk , ωk ≠ 0, A k
12
( ) , A
k n n
21
( ) ∈ ×C (C � mnoΩestvo komp-
leksn¥x çysel), A k
12
(– ) = A k
12
( ) , A k
21
(– ) = A k
21
( ) , A12
0( ) = 0, A21
0( ) = 0.
Prqmug summu X = X1 ¯ X2 =
X
X
1
2
0
0
budem naz¥vat\ vektorom sostoqnyq
system¥ (6).
Oboznaçym çerez K 1 mnoΩestvo poloΩytel\no poluopredelenn¥x matryc,
obrazugwyx zamknut¥j v¥pukl¥j konus vewestvennoho lynejnoho prostran-
stva symmetryçeskyx (n × n)-matryc [7], y poluçym v kaçestve sootvetstvugwe-
ho konusa symmetryçeskyx (2n × 2n)-matryc fazovoho prostranstva E system¥
(6) mnoΩestvo K = K 1
2 . Pry πtom:
1) esly A ∈K , λ ≥ 0, to λA ∈K ;
2) esly A ∈K , B ∈K , to A + B ∈ K ;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
466 D. M. LYLA, A. A. MARTÁNGK
3) esly A ∈K , − ∈A K , to A = 0.
Poskol\ku fazovoe prostranstvo system¥ (6) obrazuet podmnoΩestvo mno-
Ωestva vewestvenn¥x (2n × 2n)-matryc s poluuporqdoçennost\g, ynducyrovan-
noj konusom poloΩytel\no poluopredelenn¥x matryc sootvetstvugweho po-
rqdka, ono takΩe poluuporqdoçeno s tem Ωe otnoßenyem porqdka [8]: A B≥
K
,
esly A – B ∈ K . Toçno tak Ωe A B>
K
, esly matryca A – B qvlqetsq poloΩy-
tel\no opredelennoj, t. e. ymeet mesto neravenstvo A – B >
K
0 , hde 0 � nulevaq
matryca takoho Ωe porqdka.
Konus K telesn¥j (mnoΩestvo K
0 = X
:
X > }K
0 eho vnutrennyx toçek ne
pusto), vosproyzvodqwyj y normal\n¥j [8, 9].
Pust\ U ∈K , U ≠ 0. ∏lement X ∈E naz¥vaetsq yzmerym¥m, esly pry ne-
kotorom α ≥ 0 spravedlyva ocenka � αU ≤
K
X ≤
K
αU. Naymen\ßee znaçenye α
naz¥vaetsq U-normoj [8, 10] πlementa X y oboznaçaetsq X U .
Edynyçn¥m ßarom v mnoΩestve EU vsex U -yzmerym¥x πlementov prost-
ranstva E, predstavlqgwyx soboj bloçno-dyahonal\n¥e symmetryçeskye mat-
ryc¥, budet konusn¥j otrezok – ,U U =
X U X U: − ≤ ≤{ }K K
.
Dlq system¥ (6) postroym matryçnoznaçnug funkcyg
U t X( , ) = X P t XT ( ) =
X
X
P P t
P t P
X
X
T
T T
1
2
11 12
12 22
1
2
0
0
0
0
( )
( )
, (7)
hde P11 >
K 1
0, P22 >
K 1
0, P t12( ) ∈ C
1 R( , R
n n× ). Pry v¥polnenyy uslovyq
P22 >
K 1
P t P P tT
12 11
1
12( ) ( )– , t t≥ 0 , (8)
s uçetom symmetryçnosty matryc¥ P t( ) budem ymet\ [7] poloΩytel\nug polu-
opredelennost\ matryc¥ U t X( , ) .
Vvedem v rassmotrenye dvuxkomponentnug (konusoznaçnug) funkcyg Lqpu-
nova
V t X H H( , , , )1 2 = V t X H1 1( , , ) ¯ V t X H2 2( , , ) , (9)
hde
V t X H1 1( , , ) = H U t X HT
1 1( , ) , V t X H2 2( , , ) = H U t X HT
2 2( , )
y H1, H
n n
2
2∈ ×R � nekotor¥e matryc¥-parametr¥. Uçyt¥vaq uslovye (8), dlq
funkcyy (9) poluçaem neravenstva vyda
V t X H1 1( , , ) ≥
K 1
0, V t X H2 2( , , ) ≥
K 1
0, V t X H H( , , , )1 2 ≥
K
0, t t≥ 0 . (10)
Najdem polnug proyzvodnug po vremeny funkcyy (9) vdol\ reßenyj sys-
tem¥ (6):
dV
dt
i
( )6
= H d
dt
X P X X P t X X P t X X P X Hi
T T T T T T
i1 11 1 1 12 2 2 12 1 2 22 2
6
+ + +( )( ) ( )
( )
=
= H X A P P A P t A t A t P t Xi
T T T T T
1 11 11 11 11 12 21 21 12 1+ + +( )( ( ) ( ) ( ) ( ) +
+ X A P P A P t A t A t P t XT T T T
2 22 22 22 22 12 12 12 12 2+ + +( )( ) ( ) ( ) ( ) +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
K TEORYY USTOJÇYVOSTY MATRYÇNÁX DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ 467
+ X
dP
dt
A P t P t A P A t A t P XT T T
1
12
11 12 12 22 11 12 21 22 2+ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) +
+ X
dP
dt
A P t P t A P A t A t P X HT
T
T T T T
i2
12
22 12 12 11 22 21 12 11 1+ + + +
( ) ( ) ( ) ( ) , i = 1, 2.
PredpoloΩyv, çto matryca-funkcyq P t12( ) udovletvorqet lynejnomu dyffe-
rencyal\nomu uravnenyg
dP
dt
12 + A P tT
11 12( ) + P t A12 22( ) = – ( ) ( )P t A t11 12 – A t PT
21 22( ) , (11)
eho reßenye pry yzvestn¥x (sm. [11]) ohranyçenyqx na matryc¥ A11, A22 budem
yskat\ v vyde
P t12( ) =
k N
N
k i tP e k
=
∑
–
( )
12
ω , (12)
hde P k
12
( ) ∈ Cn n× . Netrudno vydet\, çto
dV
dt ( )6
=
dV
dt
1
6( )
¯ dV
dt
2
6( )
. (13)
Zdes\
dV
dt
i
( )6
= H X S t X Hi
T T
i( ) , i = 1, 2, (14)
y
S t( ) = S t1( ) ¯ S t2( ),
S t1( ) = A PT
11 11 + P A11 11 + P t A t12 21( ) ( ) + A t P tT T
21 12( ) ( ),
S t2( ) = A PT
22 22 + P A22 22 + P t A tT
12 12( ) ( ) + A t P tT
12 12( ) ( ).
Pry v¥polnenyy uslovyj
S t1( ) ≤
K 1
0, S t2( ) ≤
K 1
0 (15)
pry vsex t t≥ 0 ymeet mesto otrycatel\naq poluopredelennost\ v¥raΩenyq
dV
dt ( )6
otnosytel\no konusa K .
Narqdu s systemoj uravnenyj (6) rassmotrym systemu sravnenyq dlq (6)
dY
dt
= G t Y( , ), Y t( )0 = Y0, (16)
hde G : T0 × E → E � neprer¥vnaq funkcyq, harantyrugwaq suwestvovanye
sootvetstvugweho edynstvennoho reßenyq, takaq, çto G t( , )0 = 0.
Opredelenye 2. Reßenye Y ≡ 0 uravnenyq (16) naz¥vaetsq ustojçyv¥m v
K, esly dlq lgb¥x ε > 0, t0 0≥ moΩno ukazat\ takoe δ > 0, çto yz Y 0 ∈ Sδ
sleduet, çto Y t( ; t0 , Y0) ∈ Sε pry vsex t t≥ 0 , hde Sε = – ,ε εU U .
Opredelenye 3. Reßenye Y ≡ 0 uravnenyq (16) naz¥vaetsq ravnomerno
ustojçyv¥m v K , esly dlq lgboho ε > 0 moΩno ukazat\ takoe δ > 0, çto yz
Y0 ∈ Sδ sleduet, çto Y t( ; t0 , Y0) ∈ Sε pry vsex t t≥ 0 , hde t0 0≥ � lgboj
naçal\n¥j moment vremeny.
Opredelenye 4. Reßenye Y ≡ 0 uravnenyq (16) naz¥vaetsq ravnomerno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
468 D. M. LYLA, A. A. MARTÁNGK
asymptotyçesky ustojçyv¥m v K , esly ono ravnomerno ustojçyvo v K y dlq
nekotoroho h > 0 yz Y 0 ∈ Sh sleduet, çto lim (
t
Y t
→∞
; t0 , X U0 = 0 (ravno-
merno po otnoßenyg k t0 ).
Teorema 2. PredpoloΩym, çto systema uravnenyj (16) takova, çto su-
westvugt postoqnn¥e symmetryçeskye (n × n)-matryc¥ P11, P22 y posto-
qnn¥e (2n × n )-matryc¥ H1, H2 , dlq kotor¥x v¥polnqgtsq sledugwye
uslovyq:
1) vse posledovatel\n¥e hlavn¥e mynor¥ matryc P11, P22 poloΩytel\n¥;
2) vse posledovatel\n¥e hlavn¥e mynor¥ matryc¥ P22 – P tT
12( ) P P t11
1
12
− ( )
poloΩytel\n¥ pry vsex t t≥ 0 ;
3) U t X( , ) = 0, esly y tol\ko esly X = 0;
4) rank H1 = rank H2 = n;
5) vse hlavn¥e mynor¥ matryc – ( )S t1 , – ( )S t2 neotrycatel\n¥ pry vsex
t t≥ 0 .
Tohda reßenye X ≡ 0 system¥ (6) ravnomerno ustojçyvo.
Dokazatel\stvo. V¥berem v kaçestve vspomohatel\noj funkcyy konuso-
znaçnug funkcyg V(t, X, H1, H2), opredelennug sootnoßenyem (9). Yz uslo-
vyj 1 � 4 y ocenok (8), (10) sleduet poloΩytel\naq poluopredelennost\ πtoj
funkcyy [7] otnosytel\no konusa K . Poskol\ku yz uslovyq 5 teorem¥ 2 y v¥-
raΩenyj (13), (14) dlq polnoj proyzvodnoj funkcyy V(t, X, H1, H2) vdol\ re-
ßenyj system¥ (6) sleduet otrycatel\naq poluopredelennost\ proyzvodnoj
dV dt/ , estestvenno prynqt\ v kaçestve pravoj çasty system¥ sravnenyq (16)
G t Y( , ) ≡ 0 y poloΩyt\ Y0 0≥
K
. Pry πtom sohlasno lemme VaΩevskoho (sm. [6,
10, 12]) y teoreme 1 poluçym ocenky
0 1 2≤ ( )
K
V t X t H H, ( ), , ≤
K
Y t t V t X H H; , ( , , , )0 0 0 1 2( ) ≡ Y0 . (17)
Takym obrazom, ysxodq yz ravnomernoj ustojçyvosty sostoqnyq Y ≡ 0, dlq
lgboho ε > 0 najdetsq δ ε0( ) = ε takoe, çto dlq lgb¥x Y U0 = Y t0( ; t0 , V t( 0 ,
X0, H1, H U2)) < δ0 ymeem Y t( ; t0 , V t( 0 , X0, H1, H U2)) < ε. Po neprer¥vnosty
dlq kaΩdoho ε najdetsq δ ε( ) > 0 takoe, çto yz neravenstva X0 < δ sleduet
neravenstvo V t0( , X0, H1, H2) = Y0 < C2 2ε
ν
, hde ν y C � nekotor¥e polo-
Ωytel\n¥e konstant¥, opredelqem¥e nyΩe. Vsled za neravenstvom (17) s uçe-
tom normal\nosty konusa K ( (V t, X, H1, H2) ≤ ν Y0 , hde ν � konstanta
normal\nosty konusa [8, 9]), poluçaem ocenku V t( , X , H1, H2) < C2 2ε . V
svog oçered\ V t X H H( ), , ,1 2 ≥ V t X Hi i( ), , = Hi
T XT P t1 2/ ( ) P t1 2/ ( )X Hi =
= P t1 2/ ( )X Hi
2
, i = 1, 2, hde ⋅ � spektral\naq matryçnaq norma, tak çto
P t1 2/ ( )X Hi < Cε . (18)
Dlq skalqrnoj funkcyy
ψ( )X = P t1 2/ ( )X Hi , t t≥ 0 , (19)
lehko ustanovyt\ sledugwye svojstva:
1) ψ( )X = 0, esly y tol\ko esly X = 0 ;
2) ψ( )cX = c ψ( )X dlq vsex kompleksn¥x çysel c y lgboj matryc¥
X ∈E ;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
K TEORYY USTOJÇYVOSTY MATRYÇNÁX DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ 469
3) ψ X( + ′)X ≤ ψ( )X + ψ( )′X dlq vsex X, ′ ∈X E .
∏to oznaçaet, çto funkcyq ψ( )⋅ , opredelennaq ravenstvom (19), zadaet na
fazovom prostranstve system¥ (6) matryçnug normu, πkvyvalentnug, vsled-
stvye koneçnomernosty prostranstva E, norme ⋅ . Suwestvovanye v πtom
sluçae poloΩytel\noj konstant¥ C takoj, çto X ≤
ψ( )X
C
, pryvodyt, s uçe-
tom sootnoßenyq (18), k ocenke X t( ; t0, X0) < ε. V svqzy s proyzvol\nost\g
çysla ε y nezavysymost\g v¥bora sootvetstvugweho δ ot momenta vremeny t0
poluçenye πtoj ocenky yz uslovyq X0 < δ zaverßaet dokazatel\stvo ravno-
mernoj ustojçyvosty sostoqnyq X ≡ 0 system¥ (6).
Teorema 3. PredpoloΩym, çto systema uravnenyj (6) takova, çto su-
westvugt postoqnn¥e symmetryçeskye ( n × n )-matryc¥ P11, P22 y pos-
toqnn¥e (2n × n)-matryc¥ H1, H2 , dlq kotor¥x v¥polnqgtsq sledugwye
uslovyq:
1) vse posledovatel\n¥e hlavn¥e mynor¥ matryc P11, P22 poloΩytel\n¥;
2) vse posledovatel\n¥e hlavn¥e mynor¥ matryc¥ P22 – P tT
12( ) P11
1– P t12( )
poloΩytel\n¥ pry vsex t t≥ 0 ;
3) U t X( , ) = 0, esly y tol\ko esly X = 0;
4) rank H1 = rank H2 = n;
5) vse posledovatel\n¥e hlavn¥e mynor¥ matryc – ( )S t1 , – ( )S t2 poloΩy-
tel\n¥ pry vsex t t≥ 0 .
Tohda reßenye X ≡ 0 system¥ (6) ravnomerno asymptotyçesky ustojçyvo.
Dokazatel\stvo. Yz uslovyj 1 � 4 teorem¥ 3 y ocenok (8), (10) sleduet po-
loΩytel\naq poluopredelennost\ funkcyy V(t, X, H1, H2).
Pust\ ε � poloΩytel\noe çyslo. Sohlasno teoreme 2 moΩno ukazat\ çyslo
δ > 0 takoe, çto yz X0 < δ sleduet X t( ; t0, X0) < ε pry vsex t t≥ 0 . Pred-
poloΩym, çto reßenye X t( ; t0, X0) ne popadet pry t t≥ 0 v otkr¥t¥j ßar Jδ
radyusa δ s centrom v toçke X1 = X2 = 0 ∈ ×Rn n . Tohda vsledstvye ohranyçen-
nosty reßenyq X t( ; t0, X0) pry vsex t t≥ 0 polutraektoryq X t( ; t0, X0) pry
t t≥ 0 budet prynadleΩat\ nekotoromu ßarovomu slog D = JR / Jδ , vo vsex
toçkax kotoroho sohlasno uslovyg 5 teorem¥ 3
dV
dt
<
K
0.
Yspol\zuq ponqtye y opredelqgwee svojstvo soprqΩennoho s K konusa
K
∗ = Φ ∈{ E : ( , )Φ X ≥ 0 pry vsex X ∈ }K (sm. [12]), moΩno utverΩdat\, çto
vo vsex toçkax ukazannoho kompaktnoho mnoΩestva D v¥polnqetsq neraven-
stvo Ψ
,
dV
dt
< 0, hde Ψ ∈ ∗K . Otsgda sup
Ψ =
∈
1
X D
Ψ
,
dV
dt
= – µ < 0 y pry vsex
Ψ ∈ ∗K , X D∈ ymeet mesto ocenka Ψ
,
dV
dt
≤ – µ. Vsledstvye πtoho
t
t
0
∫
Ψ ,
dV
ds
ds
≤ – µ(t – t0).
Okonçatel\no ymeem
Ψ( , V t( , X, H1, H2)) ≤ Ψ( , V t( 0 , X0, H1, H2)) – µ(t – t0).
∏tot v¥vod protyvoreçyv, tak kak svqzan s otrycatel\noj opredelennost\g
funkcyy V pry neohranyçennom vozrastanyy t, kohda dolΩno b¥t\ Ψ( , V t( ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
470 D. M. LYLA, A. A. MARTÁNGK
X, H1, H2)) ≥ 0. Takym obrazom, reßenye X t( ; t0 , X0) popadaet v nekotor¥j
moment v ßar Jδ , no çyslo δ v¥brano tak, çto, popav v Jδ , reßenye X t( ; t0 ,
X0) ne smoΩet v¥jty za predel¥ Jε . Tak kak çyslo ε b¥lo vzqto proyz-
vol\n¥m, otsgda sleduet, çto lim
t→∞
X t( ; t0, X0) = 0.
Teorema dokazana.
4. Prymer. V kaçestve pryloΩenyq pryvedennoho sposoba postroenyq ko-
nusoznaçnoj funkcyy Lqpunova rassmotrym matryçnug lynejnug systemu vyda
dX
dt
1 = αX1 + β νe XJt
2 ,
(20)
dX
dt
2 = γ X2 + δ νe XJt–
1,
hde Xi ∈ ×R2 2 , i = 1, 2, α, β, γ, δ, ν ∈R , ν ≠ 0, J =
0 1
1 0–
[13].
Postroym vnaçale dlq system¥ (20) matryçnoznaçnug funkcyg U t X( , ) =
= XT P(t)X, poloΩyv P(t) =
I P t
P t IT
12
12
( )
( )
, hde I � edynyçnaq matryca vtoroho
porqdka, a P t12( ) udovletvorqet matryçnomu dyfferencyal\nomu uravnenyg
dP
dt
12 + ( ) ( )α γ+ P t12 = –( )β δ ν+ e Jt .
Ohranyçennoe reßenye πtoho uravnenyq ymeet vyd
P t12( ) = –
( )
( ) –
β δ
α γ ν
α γ ν ν+
+ +
+( )2 2 I J e Jt .
Polahaq H1 = H2 =
I
I
y uçyt¥vaq (9), �svert¥vaem� matrycu U dlq poluçe-
nyq konusoznaçnoj funkcyy V(t, X, H1, H2) = V1(t, X, H1) ¯ V2 (t, X, H2), hde
V1 = V2 = X XT
1 1 + X XT
2 2 + X P t XT
1 12 2( ) + X P t XT T
2 12 1( ) .
Takym obrazom, uslovyq 1 � 4 teorem¥ 3, obespeçyvagwye poloΩytel\nug op-
redelennost\ funkcyy Lqpunova dlq system¥ (20), svodqtsq k v¥polnenyg ne-
ravenstva
( )α γ+ 2 + ν2 – ( )β δ+ 2 > 0. (21)
Otrycatel\naq opredelennost\ polnoj proyzvodnoj (13), (14) πtoj funkcyy
vdol\ reßenyj system¥ (20) πkvyvalentna otrycatel\noj opredelennosty mat-
ryc
S1 = 2 2 2α δ β δ α γ
α γ ν
–
( )( )
( )
+ +
+ +
I , S2 = 2 2 2γ β β δ α γ
α γ ν
–
( )( )
( )
+ +
+ +
I ,
poπtomu uslovye 5 teorem¥ 3 pryvodytsq k uslovyg sovmestnosty system¥ ne-
ravenstv
α α γ ν( )+ +( )2 2 – δ β δ α γ( )( )+ + < 0,
(22)
γ α γ ν( )+ +( )2 2 – β β δ α γ( )( )+ + < 0.
Fyksyruq, naprymer, znaçenyq α, γ, ν, moΩno poluçyt\ oblast\ ravnomernoj
asymptotyçeskoj ustojçyvosty dannoj system¥ (sm. [13]) v prostranstve para-
metrov (β; δ).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
K TEORYY USTOJÇYVOSTY MATRYÇNÁX DYFFERENCYAL|NÁX URAVNENYJ 471
5. V¥vod¥. Prymer lynejnoj system¥ vos\moho porqdka s peryodyçeskymy
koπffycyentamy, rassmotrenn¥j v fazovom prostranstve, obrazovannom mno-
Ωestvom kvazydyahonal\n¥x vewestvenn¥x matryc çetvertoho porqdka s bloka-
my ravn¥x razmerov (n1 = n2 = 2), demonstryruet vozmoΩnost\ yssledovanyq
ustojçyvosty matryçn¥x system dyfferencyal\n¥x uravnenyj metodom funk-
cyj Lqpunova bez �vektoryzacyy� matryçnoj system¥. Pry πtom texnyka pry-
menenyq matryçnoznaçn¥x funkcyj (sm., naprymer, [10, 12 – 14]) dopuskaet
obobwenye dlq matryçn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj na osnove pryncypa
sravnenyq s matryçnoznaçnoj funkcyej Lqpunova [6]. Konstruktyvnost\ pred-
loΩennoho sposoba postroenyq funkcyy Lqpunova pozvolqet yssledovat\ ne-
kotor¥e prykladn¥e zadaçy, matematyçeskymy modelqmy kotor¥x qvlqgtsq
matryçn¥e system¥ dyfferencyal\n¥x uravnenyj s πvolgcyonyrugwymy svq-
zqmy meΩdu yx otdel\n¥my podsystemamy.
1. Clements D. J., Anderson B. D. O. Polynomial factorization via the Riccati equation // SIAM J.
Appl. Math. – 1976. – 31. – P. 179 – 205.
2. Juang J. Existence of algebraic matrix Riccati equations arising in transport theory // Linear
Algebra and Appl. – 1995. – 230. – P. 89 – 100.
3. Kuiper H. J. Positive invariance and asymptotic stability of solutions to certain Riccati equations //
Dynam. and Stabil. Syst. – 1994. – 9. – P. 331 – 334.
4. Thompson D. D., Volz R. A. The linear quadratic cost problem with linear state constraints and the
non symmetric Riccati equation // SIAM J. Contr. – 1975. – 13. – P. 110 – 145.
5. Basar T., Olsder G. J. Dynamic non-cooperative game theory. – New York: Acad. Press, 1995. –
228 p.
6. Mart¥ngk A. A. O pryncype sravnenyq dlq system¥ matryçn¥x dyfferencyal\n¥x urav-
nenyj // Dokl. NAN Ukrayn¥. � 2008. � # 12. � S. 28 �33.
7. Xorn R., DΩonson Ç. Matryçn¥j analyz. � M.: Myr, 1989. � 655 s.
8. Krasnosel\skyj M. A., Lyfßyc E. A., Sobolev A. V. Pozytyvn¥e lynejn¥e system¥: metod
poloΩytel\n¥x operatorov. � M.: Nauka, 1985. � 256 s.
9. Mazko A. H. Ustojçyvost\ y sravnenye sostoqnyj dynamyçeskyx system otnosytel\no pere-
mennoho konusa // Ukr. mat. Ωurn. � 2005. � 57, # 2. � S. 198 � 213.
10. Hrujyç L. T., Mart¥ngk A. A., Rybbens-Pavella M. Ustojçyvost\ krupnomasßtabn¥x sys-
tem pry strukturn¥x y synhulqrn¥x vozmuwenyqx. � Kyev: Nauk. dumka, 1984. � 308 s.
11. Hantmaxer F. R. Teoryq matryc. � M. : Nauka, 1967. � 576 s.
12. Lakßmykantam V., Lyla S., Mart¥ngk A. A. Ustojçyvost\ dvyΩenyq: metod sravnenyq. �
Kyev: Nauk. dumka, 1991. � 248 s.
13. Lyla D. M., Sl¥n\ko V. Y. O postroenyy matryçnoznaçnoj funkcyy Lqpunova dlq lynej-
noj system¥ s kvazyperyodyçeskymy koπffycyentamy // Dokl. NAN Ukrayn¥. � 2007. �
# 1. � S. 60 � 65.
14. Martynyuk A. A. Stability of motion: the role of multicomponent Liapunov functions. – London:
Cambridge Sci. Publ., 2007. – 322 p.
Poluçeno 21.03.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3034 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/08/0fbc93ea68b00199f0d83724579af608.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30342020-03-18T19:43:50Z On the theory of stability of matrix differential equations К теории устойчивости матричных дифференциальных уравнений Lila, D. M. Martynyuk, A. A. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. We establish the conditions of asymptotic stability of a linear system of matrix differential equations with quasiperiodic coefficients on the basis of constructive application of the principle of comparison with a Lyapunov matrix-valued function. Встановлено умови асимптотичної стійкості лінійної системи матричних рівнянь з квазіперіодичними коефіцієнтами на основі конструктивного застосування принципу порівняння з матричнозначною функцією Ляпунова. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3034 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 4 (2009); 464-471 Український математичний журнал; Том 61 № 4 (2009); 464-471 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3034/2817 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3034/2818 Copyright (c) 2009 Lila D. M.; Martynyuk A. A. |
| spellingShingle | Lila, D. M. Martynyuk, A. A. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. Лила, Д. M. Мартынюк, А. А. On the theory of stability of matrix differential equations |
| title | On the theory of stability of matrix differential equations |
| title_alt | К теории устойчивости матричных дифференциальных
уравнений |
| title_full | On the theory of stability of matrix differential equations |
| title_fullStr | On the theory of stability of matrix differential equations |
| title_full_unstemmed | On the theory of stability of matrix differential equations |
| title_short | On the theory of stability of matrix differential equations |
| title_sort | on the theory of stability of matrix differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3034 |
| work_keys_str_mv | AT liladm onthetheoryofstabilityofmatrixdifferentialequations AT martynyukaa onthetheoryofstabilityofmatrixdifferentialequations AT liladm onthetheoryofstabilityofmatrixdifferentialequations AT martynûkaa onthetheoryofstabilityofmatrixdifferentialequations AT liladm onthetheoryofstabilityofmatrixdifferentialequations AT martynûkaa onthetheoryofstabilityofmatrixdifferentialequations AT liladm kteoriiustojčivostimatričnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT martynyukaa kteoriiustojčivostimatričnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT liladm kteoriiustojčivostimatričnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT martynûkaa kteoriiustojčivostimatričnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT liladm kteoriiustojčivostimatričnyhdifferencialʹnyhuravnenij AT martynûkaa kteoriiustojčivostimatričnyhdifferencialʹnyhuravnenij |