Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces
In weighted C-spaces, we establish the solvability of a boundary-value problem for a semilinear elliptic equation of order 2m in a bounded domain with generalized functions given on its boundary, strong power singularities at some points of the boundary, and finite orders of singularities on the ent...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3035 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509057297678336 |
|---|---|
| author | Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. |
| author_facet | Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. |
| author_sort | Lopushanskaya, G. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:50Z |
| description | In weighted C-spaces, we establish the solvability of a boundary-value problem for a semilinear elliptic equation of order 2m in a bounded domain with generalized functions given on its boundary, strong power singularities at some points of the boundary, and finite orders of singularities on the entire boundary. The behavior of the solution near the boundary of the domain is analyzed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:03Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
Г. П. Лопушанська (Львiв. нац. ун-т)
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ
НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ РIВНЯНЬ
IЗ ВАГОВИХ ФУНКЦIОНАЛЬНИХ ПРОСТОРIВ
In weighted C-spaces, we prove the solvability of a boundary-value problem for semilinear 2m-order elliptic
equation in a bounded domain with generalized functions given on its boundary, strong power singularities at
some points of the boundary, and finite orders of singularities on the whole boundary. We describe the behavior
of a solution near the boundary of the domain.
В весовых C-пространствах установлена разрешимость краевой задачи для полулинейного эллиптичес-
кого уравнения порядка 2m в ограниченной области с заданными на ее границе обобщенными функция-
ми, сильными степенными особенностями в отдельных точках и конечными порядками сингулярностей
на всей границе. Установлен характер поведения решения около границы области.
У роботi [1] за допомогою принципiв Шаудера та стисливих вiдображень знайдено
умови iснування розв’язкiв крайових задач для квазiлiнiйних елiптичних диферен-
цiальних рiвнянь у соболєвських просторах.
У роботах [2 – 9] запропоновано метод дослiдження крайових задач для напiв-
лiнiйних елiптичних та параболiчних рiвнянь при заданих на межi областi узагаль-
нених функцiях. Вiдомо (див. [3, 8] та наведену там бiблiографiю), що регулярний
всерединi областi розв’язок лiнiйного чи напiвлiнiйного елiптичного рiвняння на-
буває узагальнених крайових значень iз простору (C∞)′ тодi i тiльки тодi, коли вiн
належить до певного вагового L1-простору. З результатiв [2 – 9] випливає, зокрема,
розв’язнiсть задачi
∆u = |u|q, x ∈ Ω, u |∂Ω = g
у ваговому L1-просторi (з вагою — степенем s вiдстанi до межi областi) при до-
вiльнiй узагальненiй функцiї g ∈ (C∞)′ та q ∈ (0, q0), де q0 ∈ (0, 1), q0 та s
залежать вiд порядку сингулярностi узагальненої функцiї g. У статтях [10 – 14]
встановлено однозначну розв’язнiсть задачi Дiрiхле для рiвняння ∆u = |u|q−1u
при довiльнiй функцiї g iз простору обмежених мiр Бореля на ∂Ω та 1 < q <
< qc =
n+ 1
n− 1
, а також той факт, що при q ≥ qc узагальненi крайовi значення
мiри можуть не iснувати. У роботi [6] дослiджувався характер степеневих особ-
ливостей розв’язкiв таких крайових задач на межi областi, а у статтi [7] – характер
точкових степеневих особливостей розв’язкiв у випадку напiвлiнiйних крайових
умов.
У данiй статтi будемо дослiджувати розв’язнiсть лiнiйної нормальної крайо-
вої задачi для напiвлiнiйного елiптичного рiвняння порядку 2m в обмеженiй облас-
тi Ω ⊂ Rn, n ≥ 3, у вагових C-просторах (пiдпросторах певного вагового
L1-простору) при заданих на межi областi узагальнених функцiях iз сильними
степеневими точковими особливостями та скiнченними порядками сингуляр-
ностей на всiй межi. Встановимо, в якому сенсi слiд трактувати розв’язок.
Для доведення розв’язностi будемо використовувати метод зведення такої уза-
гальненої крайової задачi до iнтегрального рiвняння у ваговому функцiональному
просторi.
c© Г. П. ЛОПУШАНСЬКА, 2009
472 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 473
1. Основнi позначення, функцiональнi простори, формулювання задачi та
допомiжнi факти. 1.1. Нехай Ω — обмежена область в Rn з межею S iз класу
C∞, A(x,D) =
∑
|α|≤2m
aα(x)Dα, aα ∈ C∞(Ω), — елiптичний диференцiальний
вираз, на S задано крайовi диференцiальнi вирази
Bj(x,D) =
∑
|α|≤mj
bjα(x)Dα, bjα ∈ C∞(S), j = 1,m,
система {Bj(x,D)}m
j=1 є нормальною i задовольняє умову Лопатинського щодо
A(x,D). Нехай Tj , B̂j , T̂j — крайовi диференцiальнi вирази порядкiв m̂j , 2m−m̂j−
−1, 2m−mj−1, j = 1,m, вiдповiдно (див., наприклад, [15]), такi, що правильною
є формула Грiна∫
Ω
(vAu− uA∗v)dx =
m∑
j=1
∫
S
(T̂jvBju− B̂jvTju)dS, u, v ∈ C∞(Ω). (1)
Нехай ε0 ∈ (0, 1) i таке, що при ε ∈ (0, ε0) паралельнi до поверхнi S поверхнi
Sε =
{
xε = x + εν(x) : x ∈ S
}
також є нескiнченно диференцiйовними. Тут ν(x)
— орт внутрiшньої нормалi до поверхнi S у точцi x ∈ S.
Для довiльної фiксованої точки x̂ ∈ S позначимо через %(x, x̂) (x ∈ Ω) нескiн-
ченно диференцiйовну функцiю, додатну в Ω\{x̂}, порядку |x− x̂| при |x− x̂| → 0,
%(x̂, x̂) = 0, через %(x) — нескiнченно диференцiйовну функцiю, додатну в Ω, по-
рядку вiдстанi d(x) вiд точки x ∈ Ω до S при d(x) → 0. Також будемо вважати,
що %(x) ≤ 1, %(x, x̂) ≤ 1, x ∈ Ω. Нехай d0 ∈
(
0,
ε0
2
]
, d1, d2, d̂1, d̂2 — такi додатнi
сталi, що
d1d(x) ≤ %(x) ≤ d2d(x) при d(x) ≤ d0 та d̂1|x − x̂| ≤ %(x, x̂) ≤ d̂2|x − x̂| при
|x− x̂| ≤ d0,
Ω0(d0) = {y ∈ Ω: |y − x̂| < d0}, Ω1(d0) = {y ∈ Ω: d(y) < d0 та |y − x̂| > d0},
Ω1(d0) = Ω0(d0) ∪ Ω1(d0), Ω2(d0) = Ω \ Ω1(d0).
Для {s, k} ⊂ R+, {l1, l} ⊂ R−, подiбно до [3, с. 2], визначаємо такi функцiо-
нальнi простори:
Zk(Ω) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω) ∩ C [k](Ω): %|α|−kDαϕ ∈ C(Ω) для всiх α, |α| > k, та
Dαϕ
ln %
∈ C(Ω), якщо |α| = k ∈ N
}
, де [k] — цiла частина k при k нецiлому та
[k] = k − 1 при k ∈ N,
Z0(Ω) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω):
ϕ
ln %
∈ C(Ω) та %|α|Dαϕ ∈ C(Ω) для всiх α, |α| 6= 0
}
,
Zk(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω \ {x̂}) ∩ C [k](Ω): %|α|−k(·, x̂)Dαϕ ∈ C(Ω) для всiх α,
|α| > k, та
Dαϕ
ln %(·, x̂)
∈ C(Ω), якщо |α| = k ∈ N
}
, k > 0,
Zk(S, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(S \ {x̂}) ∩ C [k](S) : %|α|−k(·, x̂)Dαϕ ∈ C(S) для всiх α,
|α| > k, та
Dαϕ
ln %(·, x̂)
∈ C(S), якщо |α| = k ∈ N
}
, k > 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
474 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Z̃k(Ω) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω): %|α|−kDαϕ ∈ C(Ω) ∀α, |α| 6= k, та
Dαϕ
ln %
∈ C(Ω), якщо
|α| = k ∈ N ∪ {0}
}
, Z̃0(Ω) = Z0(Ω),
Z̃k(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω \ {x̂}): %|α|−k(·, x̂)Dαϕ ∈ C(Ω) для всiх |α| 6= k та
Dαϕ
ln %(·, x̂)
∈ C(Ω), якщо |α| = k ∈ N ∪ {0}
}
,
Z̃k(S, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(S \ {x̂}) : %|α|−k(·, x̂)Dαϕ ∈ C(S) для всiх |α| 6= k та
Dαϕ
ln %(·, x̂)
∈ C(S), якщо |α| = k ∈ N ∪ {0}
}
,
Z0(Ω, x̂) = Z̃0(Ω, x̂), Z0(S, x̂) = Z̃0(S, x̂),
Z̃k,s(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ C∞(Ω): ϕ(x) = %s(x)ϕ(x, x̂), ϕ(·, x̂) ∈ Z̃k−s(Ω, x̂)
}
, k > s,
Xs(Ω) =
{
ψ ∈ C∞(Ω): A∗ψ = O(ds(x)) при d(x) → 0, B̂jψ = 0, j = 1,m
}
,
X̃k(Ω, x̂) =
{
ψ ∈ Z̃k+2m(Ω, x̂) : A∗ψ(x) = O(|x− x̂|k) при |x− x̂| → 0, T̂jψ ∈
∈ Zk+mj+1(S, x̂), B̂jψ = 0, j = 1,m
}
,
X̃k,s(Ω, x̂) =
{
ϕ ∈ X̃k(Ω, x̂) : A∗ϕ(x) = O(ds(x)|x − x̂|k−s) при d(x) → 0
}
(згiдно з [3, с. 2] простори Xs(Ω), X̃k(Ω, x̂), X̃k,s(Ω, x̂) непорожнi),
Ms(Ω) =
{
v ∈ L1,loc(Ω): ‖v‖s =
∫
Ω
%s(x)|v(x)|dx < +∞
}
,
Mk(Ω, x̂) =
{
v :
∫
Ω
%k(x, x̂)|v(x)|dx < +∞
}
,
M̃k,s(Ω, x̂) =
{
v : ‖v‖k,s =
∫
Ω
%s(x)%k−s(x, x̂)|v(x)|dx < +∞
}
,
Cl(Ω) =
{
v ∈ C(Ω): %−l(·)v ∈ C
(
Ω
)}
, ‖v‖′Cl(Ω) = ‖v‖′l = sup
x∈Ω
%−l(x)|v(x)|,
Cl(Ω, x̂) =
{
v ∈ C
(
Ω \ {x̂}
)
: %−l(·, x̂)v ∈ C(Ω)
}
,
‖v‖′
Cl(Ω,x̂)
= sup
x∈Ω\{x̂}
%−l(x, x̂)|v(x)|,
Cll1(Ω, x̂) =
{
v ∈ C(Ω): %−l1(·)%−(l−l1)(·, x̂)v ∈ C(Ω)
}
,
‖v‖Cll1 (Ω,x̂) = ‖v‖′l,l1 = sup
x∈Ω
%−l1(x)%l−l1(x, x̂)
∣∣v(x)∣∣.
Як i в [3, с. 2], кажемо, що послiдовнiсть ϕν → 0 при ν → +∞ у просторi
Zk(Ω, x̂) (вiдповiдно Zk(S, x̂)), якщо для довiльного мультиiндексу α рiвномiрно
у Ω (S) збiгається до нуля послiдовнiсть %|α|−k(·, x̂)Dαϕν при |α| > k, послiдов-
нiсть Dαϕν при |α| ≤ [k] i послiдовнiсть
Dαϕν
ln %(·, x̂)
при |α| = k ∈ N. Аналогiчно
визначаємо топологiю в iнших просторах.
Зауважимо, що Zk1(Ω, x̂) ⊂ Zk2(Ω, x̂) при k1 ≥ k2, Mk1(Ω, x̂) ⊂Mk2(Ω, x̂) при
k1 ≤ k2, M̃k1,s(Ω, x̂) ⊂ M̃k2,s(Ω, x̂) при s < k1 ≤ k2.
Оскiльки %−kϕ ∈ C(Ω) при ϕ ∈ Z̃k(Ω), k > 0, то при довiльних ϕ ∈ Z̃k(Ω) та
v ∈ Mk(Ω) iснує i є скiнченним
∫
Ω
ϕvdx =
∫
Ω
%−kϕ%kvdx. При ϕ ∈ Z̃k,s(Ω, x̂),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 475
k > s, маємо %−s(·)%s−k(·, x̂)ϕ ∈ C(Ω), тому при довiльних ϕ ∈ Z̃k,s(Ω, x̂) та v ∈
∈ M̃k,s(Ω, x̂) iснує i є скiнченним
∫
Ω
ϕvdx =
∫
Ω
%−s(x)%s−k(x, x̂)ϕ(x)%s(x)%k−s(x,
x̂)v(x)dx. Звiдси Mk(Ω) (та вiдповiдно M̃k,s(Ω, x̂)) є прикладами просторiв регу-
лярних узагальнених функцiй на просторах Z̃k(Ω) (вiдповiдно Z̃k,s(Ω, x̂)).
Зауважимо, що Cl1(Ω) ⊂ Ms(Ω), Cll1(Ω, x̂) ⊂ M̃k,s(Ω, x̂) ⊂ Mk(Ω, x̂) при
s+ l1 > −1 та k + l > −n. Справдi,
‖v‖k,s =
∫
Ω
%s(x)%k−s(x, x̂)|v(x)|dx =
=
∫
Ω
%s+l1(x)%k−s+l−l1(x, x̂)%−l1(x)%−(l−l1)(x, x̂)|v(x)|dx ≤
≤ ‖v‖′l,l1
∫
Ω
%s+l1(x)%k−s+l−l1(x, x̂)dx = C ′‖v‖′l,l1 .
Будемо використовувати позначення:
Ω(0) = Ω, Ω(j) = S при j = 1,m, m0 = 2m, (0) = 0, (j) = 1 при j = 1,m,
D(S) = C∞(S), D(Ω) = C∞(Ω),
Φ′ — простiр лiнiйних неперервних функцiоналiв (узагальнених функцiй) на
просторi основних функцiй Φ,
(ϕ, F ) — значення узагальненої функцiї F ∈ Φ′(Ω) на основнiй функцiї ϕ ∈
∈ Φ(Ω),
〈ϕ, F 〉 — значення F ∈ Φ′(S) на основнiй функцiї ϕ ∈ Φ(S),
s(F ) ≤ s — порядок сингулярностi узагальненої функцiї F ∈ Φ′(S) не вищий
за s, тобто [16, 17] при s ∈ N ∪ {0}
〈ϕ, F 〉 =
∫
S
∑
|α|≤s
DαϕfαdS ∀ϕ ∈ Φ(S), (2)
де fα ∈ L1(S) для всiх |α| ≤ s, s(F ) ≤ s при s < 0, якщо DαF ∈ L1(Ω) для всiх
|α| ≤ −s. Так само визначаємо s(F ) для F ∈ Φ′(Ω).
Якщо F ∈ D′(S) та s(F ) ≤ s ∈ N, то F ∈ (Cs(S))′ [16]. Тодi, враховуючи
вкладення Zk(S, x̂) ⊂ Cs(S) при k > s, одержуємо F ∈ (Cs(S))′ ⊂ Z ′k(S, x̂)
при довiльнiй x̂ ∈ S, (2) виконується для довiльної ϕ ∈ Cs(S) (а отже, i для
ϕ ∈ Zk(S, x̂)). Простору Z ′k(Ω, x̂) також належать узагальненi функцiї F ∈ D′(Ω)
порядкiв сингулярностей s(F ) < k.
При F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂), 0 ≤ s(F0) ≤ s0 < p0, Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), pj > 0, s(Fj) ≤
≤ sj < pj , j = 1,m, обмеженiй за змiнною x ∈ Ω та неперервнiй за змiнною z ∈ R
функцiї f0(x, z) розглядаємо крайову задачу
A(x,D)u(x) = F0(x) + f0(x, u(x)), x ∈ Ω, (3)
Bj(x,D)u(x) = Fj(x), x ∈ S, j = 1,m. (4)
Позначаємо p′ = max
1≤j≤m
(pj −mj), s′ = max
1≤j≤m
(max{sj , 0} −mj).
Зауважимо, що p′ > 1− 2m, s′ ≥ 1− 2m при 0 ≤ sj < pj , 1 ≤ j ≤ m.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
476 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Припущення A. Вiдповiдна задачi (3), (4) лiнiйна однорiдна крайова задача
має лише тривiальний розв’язок.
Припущення A1. Вважаємо
s′ ≥ 2− n, s > s′ + n− 2, k ≥ k0 = max{p′ − 1, p0 − 2m} та k > s,∫
Ω
∣∣f0(x, v(x)∣∣dx < +∞ ∀v ∈ M̃k,s(Ω, x̂). (5)
Означення. Розв’язком задачi (3), (4) у просторi M̃k,s(Ω, x̂) називають таку
функцiю u ∈ M̃k,s(Ω, x̂), що для довiльної ψ ∈ X̃k,s(Ω, x̂)∫
Ω
A∗ψudx =
∫
Ω
ψf0(·, u)dx+ (ψ, F0) +
m∑
j=1
〈T̂jψ, Fj〉. (6)
Зауважимо, що при ψ ∈ X̃k,s(Ω, x̂) ⊂ Zk+2m(Ω, x̂), F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂) та k ≥ p0 −
− 2m визначено (ψ, F0), при k ≥ p′− 1 маємо T̂jψ ∈ Zk+mj+1(S, x̂) ⊂ Zpj
(S, x̂),
тому для довiльних Fj ∈ Z ′pj
(Ω, x̂) визначено
∑m
j=1
〈T̂jψ, Fj〉, iз (5) для u ∈
∈ M̃k,s(Ω, x̂) та k + 2m ≥ p0 > 0 одержуємо iснування
∫
Ω
ψf0(·, u)dx.
1.2. Нехай G(x, y) = (G0(x, y), G1(x, y), . . . , Gm(x, y)) — вектор-функцiя Грiна
[18, 19] вiдповiдної для (3), (4) лiнiйної крайової задачi. У статтях [18, 19] вста-
новлено, що за припущення A функцiю G0(x, y) визначено однозначно, Gj(x, y) =
= T̂j(y,D)Gj(x, y), j = 1,m, для довiльних мультиiндексiв α, γ при x 6= y справ-
джуються оцiнки∣∣Dα
xD
γ
yGj(x, y)
∣∣ ≤ Cj,α,γ
(
|x−y|mj+(j)−n−|α|−|γ|+κmj−|α|−|γ|| ln |x−y‖+1
)
, (7)
де Cj,α,γ = const > 0, κs 6= 0 тiльки при s = 0, κ0 = 1, а у роботах [3, 6] для
|α| < mj + (j), k > t > −1 та довiльного мультиiндексу γ одержано оцiнки
|Dγ
y
∫
Ω
Dα
xGj(x, y)%t(x)%k−t(x, x̂)dx| ≤
≤ C ′
jkαγ
(
%k+mj+(j)−|α|−|γ|(y, x̂) + 1
)
, y ∈ Ω, x̂ ∈ S, (8)∫
Ω
∣∣Dα
xGj(x, y)
∣∣%t(x)%k−t(x, x̂)dx ≤
≤ C ′′
jkα(%k+mj+(j)−|α|(y, x̂) + 1), y ∈ Ω, x̂ ∈ S. (9)
Сталi C ′
jkαγ , C
′′
jkα залежать вiд сталих Cj,α,γ з оцiнок (7). Вважаємо далi Cj,α,γ =
= Cj , C
′
jkαγ = C ′
jk, C
′′
jkα = C ′′
jk для |α| = 0, |γ| = 0, j = 0,m.
З оцiнок (8) видно, що для кожної ϕ ∈ Z̃k,s(Ω, x̂) функцiя ψ =
∫
Ω
ϕ(x)G0(x,
·)dx ∈ Zk+2m(Ω, x̂), при цьому A∗ψ = ϕ. Тому при k ≥ p0 − 2m, всiх s < k i
F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂) (⊂ Z ′k+2m(Ω, x̂)) на Z̃k,s(Ω, x̂) визначено функцiонал F̃0:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 477
(ϕ, F̃0) =
∫
Ω
ϕ(x)G0(x, y)dx, F0(y)
, ϕ ∈ Z̃k,s(Ω, x̂).
Лема 1. Якщо F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂), p0 > 0, 0 ≤ s(F0) ≤ s0 < p0, то для довiльних
k ≥ p0 − 2m та k > s ∈ R+ F̃0 ∈ M̃k,s(Ω, x̂) (⊂ Z̃ ′k,s(Ω, x̂)), а при додатковiй
умовi F0 ∈ C(Ω) маємо F̃0 ∈ M̃k,s(Ω, x̂) ∩ C2m−1(Ω).
Доведення. З означень та оцiнок (8) одержуємо скiнченнiсть
(ϕ, F̃0) =
∑
|α|≤s0
∫
Ω
Dα
∫
Ω
ϕ(x)G0(x, y)dx
F0α(y)dy, ϕ ∈ Z̃k,s(Ω, x̂),
де F0α ∈ L1(Ω), |α| ≤ s0.
Лiнiйнiсть i неперервнiсть функцiонала F̃0 на Z̃k,s(Ω, x̂) випливає з оцiнок (9).
З оцiнок (9) випливає, зокрема, скiнченнiсть∫
Ω
%s(x)%k−s(x, x̂)F̃0(x)dx =
=
∑
|α|≤s0
∫
Ω
Dα
∫
Ω
%s(x)%k−s(x, x̂)G0(x, y)dx
F0α(y)dy,
а отже, F̃0 ∈ M̃k,s(Ω, x̂) для всiх k > s ≥ 0.
При F0 ∈ C(Ω), ϕ ∈ C∞
0 (Ω) (suppϕ ⊂ Ω0 ⊂ Ω′
0 ⊂ Ω), |α| ≤ 2m− 1 маємо
(ϕ,DαF̃0) = (−1)|α|
∫
Ω′
0
∫
Ω0
(Dαϕ)(x)G0(x, y)dx)
F0(y)dy =
=
ϕ,Dα
∫
Ω′
0
G0(·, y)F0(y)dy
,
тому за лемою Дюбуа-Реймона [16] DαF̃0 = Dα
∫
Ω
G0(·, y)F0(y)dy ∈ C(Ω) при
|α| ≤ 2m− 1.
Введемо позначення
g(x) =
m∑
j=1
gj(x) =
m∑
j=1
〈
Gj(x, y), Fj(y)
〉
, x ∈ Ω.
Лема 2. Якщо Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), pj > 0, s(Fj) ≤ sj < pj , j = 1,m, k > s >
> n− 2 + s′ та k ≥ p′ − 1, то g ∈ M̃k,s(Ω, x̂) ∩ C∞(Ω).
При Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj , j = 1,m, s > n−2+s′ також g ∈Ms(Ω)∩C∞(Ω).
Доведення. У випадку Fj ∈ D′(S), j = 1,m, за теоремою про структуру
узагальненої функцiї [16, 17]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
478 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
∫
Ω
%s(x)gj(x)dx =
∑
|α|≤sj
∫
Ω
%s(x)
∫
S
Dα
yGj(x, y)fjα(y)dS
dx,
де fjα ∈ L1(S), |α| ≤ max{sj , 0}. Використовуючи оцiнки (7) та враховуючи, що
|x− y| ≥ d(x) для x ∈ Ω, y ∈ S, при s > s′ + n− 2 одержуємо
‖g‖s ≤
m∑
j=1
C̃j
∫
Ω
[
%s(x) + %s+mj+1−n−|α|(x)
]
dx < +∞.
У випадку Fj ∈ Z ′k(S, x̂), j = 1,m,
‖g‖k,s ≤
∫
Ω0(d0)
%k(x, x̂)|g(x)|dx+
∫
Ω1(d0)
%s(x)|g(x)|dx+
∫
Ω2(d0)
|g(x)|dx.
Скiнченнiсть першого доданка при k ≥ p′ − 1 доводиться, як i у [3, c. 88; 5],
другий доданок є скiнченним при s > s′ + n − 2 (за доведеним вище), третiй
доданок є скiнченним за неперервнiстю функцiї g всерединi Ω.
Iз властивостей вектор-функцiї Грiна (нескiнченної диференцiйовностi всiх її
компонент при x 6= y) одержуємо g ∈ C∞(Ω).
Зауважимо також, що s′ + n− 2 ≥ n− 2m− 1 при sj ≥ 0, j = 1,m.
Аналогiчно до [8], враховуючи формули∫
Ω
(A∗ψ)(x)G0(x, y)dx = ψ(y), y ∈ Ω, ψ ∈ X̃k,s(Ω, x̂),
∫
Ω
(A∗ψ)(x)Gj(x, y)dx = (T̂jψ)(y), y ∈ S, ψ ∈ X̃k,s(Ω, x̂), j = 1,m,
i те, що
∫
Ω
%s(x)%k−s(x, x̂)Gj(x, ·)dx ∈ Zk+mj+(j)(Ω(j), x̂), j = 0,m [3, c. 70],
доводимо наступну теорему.
Теорема 1. Функцiя u ∈ M̃k,s(Ω, x̂) є розв’язком задачi (3), (4) тодi i тiльки
тодi, коли вона є розв’язком у просторi M̃k,s(Ω, x̂) iнтегрального рiвняння
u(x) = F̃0(x) + g(x) +
∫
Ω
G0(x, y)f0(y, u(y))dy, x ∈ Ω. (10)
2. Розв’язок задачi. Розглянемо задачу (3), (4) у випадку, коли
f0(x, z) = µ(x)|z|q0 , x ∈ Ω, z ∈ R, µ ∈ L∞(Ω), q0 ∈ (0; 1). (11)
На пiдставi теореми 1 достатньо довести розв’язнiсть iнтегрального рiвнян-
ня (10) у просторi M̃k,s(Ω, x̂).
Припущення Б. 0 < q0 < 1
(
також 0 < q0 <
1
n− 2m
у випадку 2m < n та
sj ≥ 0 для всiх j = 1,m
)
,
0 < p0 <
n
q0
+ 2m− n, 1− 2m < p′ <
n
q0
+ 1− n, 2− n < s′ <
1
q0
+ 1− n.
Як i у [5], доводимо наступну теорему.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 479
Теорема 2. Нехай F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂), 0 ≤ s(F0) ≤ s0 < p0, Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂),
s(Fj) ≤ sj < pj , j = 1,m, f0 має вигляд (11), виконуються припущення А, Б,
max{p′ − 1, p0 − 2m} = k0 ≤ k < k1 =
n
q0
− n,
n− 2 + s′ < s < min
{
1
q0
− 1, k
}
.
Тодi задача (3), (4) має розв’язок u ∈ M̃k,s(Ω, x̂). Якщо, крiм того, F0 ∈ C(Ω),
µ ∈ C(Ω), а у випадку 2m < n також q0 <
2m
n
, то u ∈ M̃k,s(Ω, x̂) ∩ C2m−1(Ω).
Одержаний результат можна сформулювати по-iншому: якщо F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂),
p0 > 0, s(F0) ≤ s0 < p0, Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), s(Fj) ≤ sj < pj , j = 1,m, k ≥ k0,
n − 2 + s′ < s < k, 0 < q0 < min
{
n
n+ k
,
1
s+ 1
}
= q∗, то задача (3), (4) має
розв’язок u ∈ M̃k,s(Ω, x̂); при F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂) ∩ C(Ω), µ ∈ L∞(Ω) ∩ C(Ω) та за
умови q0 < min
{
q∗,
2m
n
}
(якщо 2m < n) u ∈ M̃k,s(Ω, x̂)∩C2m−1(Ω). Зауважимо,
що q∗ ≤ min
{
n
p′ + n− 1
,
1
s′ + n− 1
,
n
p0 + n− 2m
}
при 2m < n.
У випадку k = −l − n + ε, ε > 0, s = −l1 з умов щодо k, s у припущеннi А1
маємо l1 < 2− n− s′, l ≤ 2m− n− p0 (оскiльки k ≥ p0 − 2m), l ≤ −(p′ + n− 1)
(k ≥ p′ − 1), 0 ≤ −l1 ≤ −l − n (0 < s < k), звiдки l ≤ l1 − n ≤ −n. Тому
припущення А1 набирає наступного вигляду.
Припущення A2. l1 ≤ 1− n− s′,
l ≤ min{2m− n− p0, 1− n− p′, l1 − n} = −n+ min{2m− p0, 1− p′, l1}.
За припущення А2 для довiльних ψ ∈ X̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂), F0 ∈ Z ′p0
(Ω, x̂), Fj ∈
∈ Z ′pj
(Ω, x̂) визначено (ψ, F̃0) та
∑m
j=1
〈T̂jψ, Fj〉, з лем 1, 2 — F̃0, g ∈
∈ M̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂).
Розглядатимемо далi iнтегральне рiвняння (10) у просторi Cll1(Ω, x̂) ⊂
⊂ M̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂) за додаткових умов F̃0, g0 ∈ Cll1(Ω, x̂) та f0 вигляду (11). Iз
розв’язностi (10) у просторi Cll1(Ω, x̂) випливає розв’язнiсть його i задачi (3), (4) у
просторi M̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂).
Використовуватимемо позначення:
g0 = F̃0 + g, C1ll1 = ‖g0‖′ll1 ,
G̃ll1(x, y, x̂) = %−l1(x)%−l2(x, x̂)G0(x, y)%l1q0(y)%l2q0(y, x̂), x, y ∈ Ω, де l2 =
= l − l1,
R0 = max
x∈Ω
∫
Ω
|G0(x, y)|dy, j = 0,m.
Лема 3. За припущень
0 < q0 <
1
n− 2m
,
−2m
q0
+ max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l < −n− 2m− 1
1− q0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
480 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
− 1
q0
< l1 < lq0 + 2m+ 1− n
у випадку 2m < n,
0 < q0 < 1, −min
{
n
q0
,
1
q20
}
< l < 0, − 1
q0
< l1 < lq0
у випадку 2m ≥ n iснує така додатна стала Ĉ, що
sup
x∈Ω
∫
Ω
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ Ĉ,
для довiльного ε > 0 iснує таке δ = δ(ε) > 0, що для довiльної областi ω ⊂ Ω,
мiра якої m(ω) ≤ δ, виконується
I = sup
x∈Ω
∫
ω
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ ε.
Доведення. Нехай 2m < n, Jll1(x) =
∫
Ω
|G0(x, y)|%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy.
При x ∈ Ω0(d0) розiб’ємо Ω на частини:
Ω1
0 = Ω1
0(x) =
{
y ∈ Ω: |y − x̂| < 1
2
|x− x̂|
}
(
|y − x| ≥ |x− x̂| − |y − x̂| > 1
2
|x− x̂| при y ∈ Ω1
0
)
,
Ω2
0 = Ω2
0(x) =
{
y ∈ Ω: |y − x| < 1
2
|x− x̂|
}
(
|y − x̂| ≥ |x− x̂| − |y − x| > 1
2
|x− x̂| при y ∈ Ω2
0
)
,
Ω3
0 = Ω3
0(x) = Ω \ (Ω1
0 ∪ Ω2
0).
Нехай
Jll1(x) =
3∑
i=1
J0i
ll1(x) =
3∑
i=1
∫
Ωi
0
∣∣G0(x, y)
∣∣%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy.
Маємо J01
ll1
(x) ≤ C̃1|x−x̂|2m−n
∫
Ω1
0
dl1q0(y)|y−x̂|l2q0dy, а переходячи в iнтегралi
до розпрямляючої системи координат iз центром у точцi x̂, на пiдставi формули
(3) iз [20, c. 588] при lq0 > −n одержуємо J01
ll1
(x) ≤ C1|x − x̂|2m−n|x − x̂|lq0+n =
= C1|x− x̂|2m+lq0 .
При l1q0 > −1 аналогiчно знаходимо
J02
ll1(x) ≤ C̃2|x− x̂|l2q0
∫
Ω2
0
|G0(x, y)|dl1q0(y)dy ≤ C2|x− x̂|lq0+2m−n+1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 481
Тут i далi C̃i, Ci, C̃
′
i, C
′
i, i = 1, 2, 3, C̃ ′′
i , C
′′
i , i = 1, 2, Ĉj , Ĉ
′
j , Ĉ
′′
j , Cj , C
′
j , C
′′
j ,
j = 0, 1, 2, — певнi додатнi сталi.
При y ∈ Ω3
0 маємо |y−x̂| > 1
2
|x−x̂|, |y−x| > 1
2
|x−x̂|, 1
2
|x−x̂| < d(y) < |y−x̂|
або d(y) <
1
2
|x− x̂|, тому
J03
ll1(x) ≤ C̃3
[
|x− x̂|lq0
∫
Ω3
0
|G0(x, y)|dy+
+|x− x̂|l2q0+2m−n
(|x−x̂|)/2∫
0
%l1q0(y)dy
]
≤
≤ 1
2
C3
[
|x− x̂|lq0 + |x− x̂|lq0+2m−n+1
]
≤ C3|x− x̂|lq0+2m−n+1.
Отже, при −1 < l1q0 < 0, −n < lq0 < 0, q0 ∈ (0, 1)
sup
x∈Ω0(d0)
%−l1(x)%−l2(x, x̂)Jll1(x) ≤
≤ sup
x∈Ω0(d0)
[
(C1 + C2)|x− x̂|2m−l(1−q0) + C3|x− x̂|−l(1−q0)+2m−n+1
]
,
звiдки при − n
q0
< l ≤ −n− 2m− 1
1− q0
та q0 <
n
2(n−m)− 1
одержуємо
sup
x∈Ω0(d0)
%−l1(x)%−l2(x, x̂)Jll1(x) ≤ Ĉ0d
−l(1−q0)+2m−n+1
0 < +∞.
При x ∈ Ω1(d0) розiб’ємо Ω на частини:
Ω1
1 = Ω1
1(x) =
{
y ∈ Ω: d(y) <
1
2
d(x)
} (
|y − x| ≥ |x − y0| − |y − y0| =
= |x− y0| − d(y) ≥ d(x)− d(y) >
1
2
d(x) при y ∈ Ω1
1
)
,
Ω2
1 = Ω2
1(x) =
{
y ∈ Ω: |y−x| < 1
2
d(x)
} (
d(y) = |y−y0| ≥ |x−y0|− |y−x| >
>
1
2
d(x), а отже, |y − x̂| ≥ d(y) >
1
2
d(x) при y ∈ Ω1
2
)
,
Ω3
1 = Ω3
1(x) = Ω \ (Ω1
1 ∪ Ω2
1)
(
|y − x̂| ≥ d(y) >
1
2
d(x), |y − x| > 1
2
d(x) при
y ∈ Ω3
1
)
.
За позначення J1i
ll1
(x) =
∫
Ωi
1
|G0(x, y)|%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy, i = 1, 2, 3, маємо
J11
ll1(x) ≤
≤ C̃ ′
1d
2m−n(x)
∫
Ω1
1∩{y : |y−x̂|< 1
2 d(x)}
dl1q0(y)|y − x̂|l2q0dy + dl2q0(x)
1
2 d(x)∫
0
tl1q0dt
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
482 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
≤ C ′
1
[
dlq0+2m(x) + d2m−n+lq0+1(x)
]
,
якщо l1q0 > −1, lq0 > −n,
J12
ll1(x) ≤ C̃ ′
2d
lq0(x)
∫
|y−x|< 1
2 d(x)
|y − x|2m−ndy ≤ C ′
2d
lq0+2m(x),
J13
ll1(x) ≤ C̃ ′
3d
lq0(x)
∫
Ω3
1
∣∣G0(x, y)
∣∣dy ≤ C ′
3d
lq0(x),
звiдки
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)Jll1(x) =
3∑
i=1
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)J1i
ll1(x) ≤
≤ sup
x∈Ω1(d0)
[C ′
1d
2m−n−l1+lq0+1(x) + (C ′
1 + C ′
2)d
−l1+lq0+2m(x) + C ′
3d
−l1+lq0(x)] ≤
≤ Ĉ1d
−l1+lq0+2m−n+1
0(
остання нерiвнiсть виконується при − 1
q0
< l1 ≤ 2m − n + 1 + lq0, а отже,
max
{
− n
q0
,− 1
q20
+
n− 2m− 1
q0
}
< l < −n− 2m− 1
1− q0
та q0 <
1
n− 2m
≤
≤ n
2(n−m)− 1
)
.
При x ∈ Ω2(d0) розiб’ємо Ω на частини:
Ω1
2 = Ω1
2(x) =
{
y ∈ Ω1
2 : |y − x| < 1
2
d0
}
(
d(y) = |y − y0| ≥ |x− y0| − |x− y| ≥ d(x)− 1
2
d0 > d0 −
1
2
d0 =
1
2
d0,
|y − x̂| ≥ |x− x̂| − |y − x| > 1
2
d0 при y ∈ Ω1
2
)
,
Ω2
2 = Ω2
2(x) = Ω \ Ω1
2.
Позначимо J2i
ll1
(x) =
∫
Ωi
2
|G0(x, y)|%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy, i = 1, 2. Тодi
J21
ll1(x) ≤ C̃ ′′
1 d
lq0
0
∫
Ω1
2
|y − x|2m−ndy ≤ C ′′
1 d
2m+lq0
0 ,
J22
ll1(x) ≤ C̃ ′′
2 d
2m−n
0
∫
Ω2
2
%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy ≤ C ′′
2 d
2m−n
0 .
В результатi одержуємо iснування додатної сталої Ĉ = Ĉ(d0) такої, що
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 483
sup
x∈Ω
%−l1(x)%−l2(x, x̂)Jll1(x) =
= max
{
sup
x∈Ω0(d0)
%−l1(x)%−l2(x, x̂)Jll1(x),
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)Jll1(x), sup
x∈Ω2(d0)
Jll1(x)
}
≤ Ĉ.
У випадку 2m > n, використовуючи обмеженiсть функцiї G0(x, y) в Ω × Ω та
наведенi вище мiркування щодо збiжностi iнтегралiв, при lq0 > −n та l1q0 > −1
маємо
sup
x∈Ω0(d0)
%−l1(x)%−l2(x, x̂)Jll1(x) ≤
≤ C̃1 sup
x∈Ω0(d0)
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∫
Ω
%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy ≤
≤ C1 sup
x∈Ω0(d0)
[
|x− x̂|−l(1−q0)+n + |x− x̂|−l(1−q0)+1 + |x− x̂|−l(1−q0)
]
≤
≤ C0d
−l(1−q0)
0 ≤ C0,
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)Jll1(x) ≤ C̃2 sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)
∫
Ω
%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy ≤
≤ C2 sup
x∈Ω1(d0)
[
d−l1+lq0+1(x) + d−l1+lq0+n(x) + d−l1+lq0(x)
]
≤
≤ C1d
−l1+lq0
0 ≤ C1,
якщо l1 ≤ lq0
(
а тодi l > −min
{
n
q0
,
1
q20
})
, sup
x∈Ω2(d0)
Jll1(x) ≤ C2, звiдки
sup
x∈Ω
Jll1(x) ≤ max
{
C0, C1, C2
}
≤ Ĉ.
У випадку 2m = n одержуємо такий самий результат.
Доведемо друге твердження леми. За доведеним вище
I(1)(d0) = sup
x∈Ω1(d0)
∫
ω
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ adl∗
0 ,
де l∗ = −l1 + lq0 + 2m − n + 1 у випадку 2m < n, l∗ = −l1 + lq0 у випадку
2m ≥ n (l∗ > 0 за умов леми), a — додатна стала. За заданим ε > 0, вибираючи
d0 <
(
ε
a
)1/l∗
, отримуємо I(1)(d0) ≤ ε.
При x ∈ Ω2(d0), ω′ = ω ∩ Ω1
2(x), ω
′′ = ω \ ω′ iз попереднiх оцiнок у випадку
2m < n одержуємо
I(2)(d0) = sup
x∈Ω2(d0)
∫
ω
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
484 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
= sup
x∈Ω2(d0)
∫
ω′
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy +
∫
ω′′
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy
≤
≤ b̃
dlq0
0
∫
ω′
|x− y|2m−ndy + d2m−n
0
∫
ω′′
%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy
≤
≤ b
[
dlq0+2m
0 + d2m−n
0 tm(ω)
]
,
де t — таке додатне число, що
∫
ω′′
%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy = tm(ω′′) ≤ tm(ω).
У випадку 2m ≥ n маємо I(2)(d0) ≤ 2btm(ω), b̃, b — додатнi сталi.
Вибираючи d0 <
(
ε
2b
)1/(lq0+min{2m,n})
та m(ω) ≤ δ =
dlq0+n
0
t
, одержуємо
I(2)(d0) ≤ ε, а тодi при d0 < min
{(
ε
a
)1/l∗
,
(
ε
3b
)1/(lq0+min{2m,n})}
та m(ω) ≤ δ
I = max
{
I(1)(d0), I(2)(d0)
}
≤ ε.
Зауваження 1. Поєднуючи припущення А2 та умови леми 3, у випадку 2m <
< n отримуємо −2m
q0
+ max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l ≤ l1 − n < lq0 + 2m −
−2n+2, тодi −2m
q0
+max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l < −2(n−m)− 1
1− q0
, що можливо
при q0 < min
{
1
n− 2m
,
2m
2n− 1
}
та nq20 + (n − 2m)q0 − 1 < 0 ⇔ q0 < q̂0 =
=
n− 2m
2n
[(
1 +
4n
(n− 2m)2
)1/2
− 1
]
, а отже, q0 < min
{
2m
2n− 1
, q̂0
}
; зазначимо,
що −2(n−m)− 1
1− q0
≤ −n для всiх q0 ∈ (0, 1); min
{
2m
2n− 1
, q̂0
}
= q̂0 при m 6= 1;
− 1
q0
−n < −2(n−m)− 1
1− q0
при q0 < q̂0, −
2m
q0
+max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l ≤
≤ − 1
q0
− n можливо при q0 < min
{
q̂0,
2m− 1
n
}
, а тодi l1 > − 1
q0
≥ l + n;
−2m
q0
+max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l ≤ 2m−n−p0, звiдки p0 < 2m−n+
2m
q0
−
−max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
;
−2m
q0
+ max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l ≤ 1 − n − p′, звiдки p′ < 1 − n +
2m
q0
−
−max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
;
з умови − 1
q0
< l1 ≤ 1− n− s′ одержуємо s′ < 1− n− 1
q0
.
Зауважимо, що q̂0 <
2m
n
, q̂0 =
1
n− 1
при m = 1, а max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
= 0
при q0 ≤
1
n− 1
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 485
Аналогiчно у випадку 2m ≥ n знаходимо max
{
− n
q0
,− 1
q20
}
< l ≤ l1 − n <
< lq0 − n, а отже, max
{
− n
q0
,− 1
q20
}
< l < − n
1− q0
при nq20 + q0 − 1 < 0 ⇔
⇔ q0 < q =
[4n+ 1]1/2 − 1
2n
(
<
1
2
)
, при q0 < q також max
{
− n
q0
,− 1
q20
}
< l ≤
≤ − 1
q0
−n < − n
1− q0
, тодi max
{
− 1
q0
, l+n
}
= − 1
q0
< l1 < lq0. Крiм того, q̂ ≤ q
при 2m < n.
Наступне припущення забезпечує одночасне виконання А2 та умов леми 3.
Припущення В. У випадку 2m < n вважаємо q0 < q̂ = min
{
2m
2n− 1
,
2m− 1
n
,
q̂0
}
, де
q̂0 =
n− 2m
2n
[(
1 +
4n
(n− 2m)2
)1/2
− 1
] (
∈
[
1
n− 1
,
1
n− 2m
))
,
0 < p0 < 2m− n+
2m
q0
−max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
,
1− 2m < p′ < 1− n+
2m
q0
−max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
, s′ < 1− n+
1
q0
,
−2m
q0
+ max
{
0,
(n− 1)q0 − 1
q20
}
< l ≤ min
{
− 1
q0
− n, 1− n− p′, 2m− n− p0
}
,
− 1
q0
< l1 < lq0 + 2m− n+ 1
(
<− n− 2m− 1
1− q0
)
та l1 ≤ 1− n− s′;
у випадку 2m ≥ n
q0 < q =
[4n+ 1]1/2 − 1
2n
, 0 < p0 < 2m− n+ min
{
n
q0
,
1
q20
}
,
1− 2m < p′ < 1− n+ min
{
n
q0
,
1
q20
}
, 1− n < s′ <
1
q0
+ 1− n,
max
{
− n
q0
,− 1
q20
}
< l ≤ min
{
− 1
q0
− n, 1− n− p′, 2m− n− p0
}
,
− 1
q0
< l1 < lq0 та l1 ≤ 1− n− s′.
Лема 4. Нехай l < l1 < 0 (l1 < 2m−n+1 у випадку 2m < n), F0 ∈ Cll1
(Ω, x̂),
де l ∈ (−n, 0] (та l ≥ l1 +n− 2m− 1 при 2m < n, l ≥ l1 при 2m ≥ n), l1 ∈ (−1, 0]
або l ≥ lq0, l1 ≥ l1q0 за припущення В щодо q0, l, l1. Тодi F̃0 ∈ Cll1(Ω, x̂).
Якщо l < 0, F0 ∈ Cl(Ω, x̂), де l ∈ (−n, 0] (та l ≥ l− 2m при 2m < n, l ≥ l при
2m ≥ n), то F̃0 ∈ Cl(Ω, x̂).
Якщо l1 < 0, F0 ∈ Cl1
(Ω), де l1 ∈ (−1, 0] (та l1 ≥ l1 +n− 2m− 1 при 2m < n,
l1 ≥ l1 при 2m ≥ n), то F̃0 ∈ Cl1(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
486 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
Доведення. Нехай
J ll1ll1
(x) = %−l1(x)%−l2(x, x̂)
∫
Ω
G0(x, y)%l1(y)%l(y, x̂)dy.
Як i при доведеннi леми 3, знаходимо оцiнку sup
x∈Ω
J ll1ll1
: у випадку 2m < n при
l > −n, l1 > −1 та l ≥ l + n− 2m− 1
sup
x∈Ω0(d0)
J ll1ll1
(x) ≤
≤ C0
2
sup
x∈Ω0(d0)
[
|x− x̂|l−l+2m + |x− x̂|l−l+2m−n+1
]
≤ C0d
l−l+2m−n+1
0 ,
при l ≥ l1 + n− 2m− 1 (> l + n− 2m− 1)
sup
x∈Ω1(d0)
J ll1ll1
(x) ≤
≤ C1
3
sup
x∈Ω1(d0)
[
dl−l1+2m−n+1(x) + dl−l1+2m(x) + dl−l1(x)
]
≤
≤ C1d
l−l1+2m−n+1(x) ≤ C1d
l−l1+2m−n+1
0 ,
sup
x∈Ω2(d0)
J ll1ll1
(x) ≤ C3
[
dl+2m
0 + d2m−n
0
]
;
у випадку 2m ≥ n при l > −n
sup
x∈Ω0(d0)
J ll1ll1
(x) ≤
≤ C0
3
sup
x∈Ω0(d0)
[
|x− x̂|l−l+n + |x− x̂|l−l+1 + |x− x̂|l−l
]
≤ C0d
l−l
0 ,
при l ≥ l1 (> l)
sup
x∈Ω1(d0)
J ll1ll1
(x) ≤ C1
3
sup
x∈Ω1(d0)
[
dl−l1(x) + dl−l1+n(x) + dl−l1(x)
]
≤
≤ C1d
l−l1(x) ≤ C1d
l
0,
sup
x∈Ω2(d0)
J ll1ll1
(x) ≤ C3.
Отже, при F0 ∈ Cll1
(Ω, x̂) за умов леми (та на пiдставi леми 3 у випадку l ≥ lq0,
l1 ≥ l1q0 та припущення В щодо q0, l, l1) iснує така стала C = max
{
C1, C2, C3
}
,
що sup
x∈Ω
J ll1ll1
(x) ≤ C. Тодi
∥∥∥∥∫
Ω
G0(·, y)F0(y)dy
∥∥∥∥′
l,l1
≤ sup
x∈Ω
J ll1ll1
(x)‖F0‖′l,l1 ≤
≤ C‖F0‖′l,l1 , так що
∫
Ω
G0(·, y)F0(y)dy ∈ Cll1(Ω, x̂) ⊂ M̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂) i для
довiльної ϕ ∈ Z̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂) визначено
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 487ϕ,∫
Ω
G0(·, y)F0(y)dy
=
∫
Ω
ϕ(x)
∫
Ω
G0(x, y)F0(y)dy
dx = (ϕ, F̃0),
тобто F̃0 =
∫
Ω
G0(·, y)F0(y)dy ∈ Cll1(Ω, x̂). Iншi випадки розглядаються ана-
логiчно.
Лема 5. Якщо Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), s(Fj) ≤ sj < pj , j = 1,m, l ≤ 1 − n − p′,
l1 ≤ 1 − n − s′, то g ∈ Cll1(Ω, x̂). При Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj , j = 1,m,
l1 ≤ 1− n− s′ маємо g ∈ Cl1(Ω).
Доведення. Якщо Fj ∈ D′(S), 0 ≤ s(Fj) ≤ sj , j = 1,m, то за теоремою про
структуру узагальненої функцiї [16, 17]
‖gj‖′l1 = sup
x∈Ω
%−l1(x)
∣∣〈Gj(x, y), Fj(y)
〉∣∣ ≤
≤ max
{
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)|gj(x)|, sup
x∈Ω2(d0)
|gj(x)|
}
≤
≤ cj max
{
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x) max
|γ|≤sj
sup
y∈S
|Dγ
yGj(x, y)|, 1
}
.
З оцiнок (7) випливає, що
∣∣Dγ
yGj(x, y)
∣∣ ≤ c̃jγ при |γ| < mj +1−n,
∣∣Dγ
yGj(x, y)
∣∣ ≤
≤ c̃jγ ln |x − y| при |γ| = mj + 1 − n,
∣∣Dγ
yGj(x, y)
∣∣ ≤ c̃jγ |x − y|mj+1−n−|γ| <
< c̃jγd
mj+1−n−|γ|(x) при |γ| > mj + 1− n, тому при l1 ≤ mj + 1− n− sj маємо
‖gj‖′l1 ≤ Cj , c̃jγ , cj , Cj — додатнi сталi.
Якщо sj < 0, то використовуємо такi ж оцiнки при |γ| = 0.
При Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), 0 ≤ s(Fj) ≤ sj < pj , j = 1,m,
‖gj‖′l,l1 ≤ max
{
sup
x∈Ω0(d0)
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∣∣gj(x)
∣∣,
sup
x∈Ω1(d0)
%−l1(x)|gj(x)|, sup
x∈Ω2(d0)
∣∣gj(x)
∣∣}.
Другий та третiй вирази оцiнюємо, як i у випадку Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj . Для
оцiнки першого виразу використаємо результат [5]: iснують функцiї f̃j ∈ L2(S) i
натуральнi числа Nj , sj +
n− 1
2
< Nj < pj +
n− 1
2
, такi, що
gj(x) = 〈Gj(x, y), Fj(y)〉 =
∫
S
(1−∆S)Nj/2
y Gj(x, y)f̃j(y)dS, j = 1,m,
де ∆S — оператор Лапласа – Бельтрамi на S.
Нехай
S1 = S1(x, x̂) =
{
y ∈ S : |y − x| < 1
2
|x− x̂|
}
,
S2 = S2(x, x̂) =
{
y ∈ S : |y − x| > 1
2
|x− x̂|
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
488 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
При y ∈ S1 маємо |y− x̂| ≥ |x− x̂|−|y−x|> 1
2
|x− x̂| (звiдки |x− x̂| < 2|y− x̂|),
при y ∈ S2 — d(x) ≤ |x− x̂| < 2|y − x|, тому за умови mj +
1− n
2
−Nj − l > 0
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∫
S1
∣∣(1−∆S)Nj/2
y Gj(x, y)
∣∣|f̃j(y)|dS ≤
≤
∫
S1
%−2l(y, x̂)
∣∣(1−∆S)Nj/2
y Gj(x, y)
∣∣2dS
1/2 ∫
S1
|f̃j(y)|2dS
1/2
≤
≤ c̃j1
∫
S1
|y − x|2(mj+1−n−Nj)|y − x̂|−2ldS
1/2 ∫
S1
|f̃j(y)|2dS
1/2
≤
≤ cj1|x− x̂|mj+(1−n)/2−Nj−l < +∞,
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∫
S2
|(1−∆S)Nj/2
y Gj(x, y)||f̃j(y)|dS ≤
≤ c̃j2
∫
S2
[
1 + |y − x|2(mj+1−n−Nj−l)
]
dS
1/2 ∫
S2
|f̃j(y)|2dS
1/2
≤
≤ cj2
[
1 + |x− x̂|mj+(1−n)/2−Nj−l
]
< +∞,
c̃ji, cji, i = 1, 2, — певнi додатнi сталi, а отже, sup
x∈Ω0(d0)
%−l(x, x̂)
∣∣gj(x)
∣∣ < +∞.
Оскiльки 1−n−pj <
1− n
2
−Nj , то при l ≤ mj +1−n−pj та l1 ≤ mj +1−n−sj
маємо ‖gj‖′l,l1 < +∞, j = 1,m.
Лему доведено.
Теорема 3. Нехай Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), s(Fj) ≤ sj < pj , j = 1,m, f0 має ви-
гляд (11), виконуються припущення А, В, F0 ∈ Cll1
(Ω, x̂), де l ∈ (−n, 0] (та
l ≥ l1 + n − 2m − 1 при 2m < n, l ≥ l1 при 2m ≥ n), l1 ∈ (−1, 0] або l ≥ lq0,
l1 ≥ l1q0. Тодi задача (3), (4) має розв’язок u ∈ Cll1(Ω, x̂).
Доведення. При u ∈ Cll1(Ω, x̂), lq0 > −n, l1q0 > −1 iнтеграл∫
Ω
|µ(y)||u|q0dy =
∫
Ω
|µ(y)|
[
|u(y)|%−l1(y)%−l2(y, )̂
]q0
%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy ≤
≤
[
‖u‖′l,l1
]q0
∫
Ω
∣∣µ(y)
∣∣%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)dy
є скiнченним — виконується умова (5) та скiнченним є iнтеграл
∫
Ω
ψ(x)f0(x,
u(x))dx для кожної ψ ∈ X̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂). За умов теореми для всiх ψ ∈
∈ X̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂) визначено
∑m
j=1
〈T̂jψ, Fj〉. За лемами 4, 5 g0 = g + F̃0 ∈
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 489
∈ Cll1(Ω, x̂). Тому функцiя u ∈ Cll1(Ω, x̂), яка задовольняє (6) для довiльної
ψ ∈ X̃−l−n+ε,−l1(Ω, x̂), буде розв’язком задачi (3), (4). Згiдно з теоремою 1 до-
статньо довести розв’язнiсть iнтегрального рiвняння (10) у просторi Cll1(Ω, x̂).
Нехай
(Pu)(x) =
∫
Ω
G0(x, y)µ(y)
∣∣u(y)∣∣(q0)
dy + g0(x), x ∈ Ω.
Тодi рiвняння (10) набирає вигляду u = Pu, i для доведення його розв’язностi
використаємо принцип Шаудера [21].
При v ∈ Cll1(Ω, x̂) розглянемо
‖Pv‖′l,l1 ≤ sup
x∈Ω
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
G0(x, y)µ(y)|v(y)|q0dy
∣∣∣∣∣∣ + ‖g0‖′l,l1 ≤
≤ µ0 sup
x∈Ω
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∫
Ω
∣∣G0(x, y)
∣∣%l1q0(y)%l2q0(y, x̂)×
×
[
sup
y∈Ω
%−l1(y)%−l2(y, x̂)|v(y)|
]q0
dy + C1ll1 =
= µ0
[
‖v‖′l,l1
]q0 sup
x∈Ω
∫
Ω
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy,
де
µ0 = sup
x∈Ω
|µ(x)|, C1ll1 = ‖g0‖′l,l1 .
Використовуючи лему 3 та позначення All1 = µ0 sup
x∈Ω
∫
Ω
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy, маємо
‖Pv‖′l,l1 ≤ All1
(
‖v‖′l,l1
)q0 + C1ll1 < +∞ ∀v ∈ Cll1(Ω, x̂). (12)
Нехай Cll1,C(Ω, x̂) =
{
v ∈ Cll1(Ω, x̂) : ‖v‖′ll1 ≤ C
}
(куля у просторi Cll1(Ω, x̂)).
Покажемо iснування такої сталої C > 0, що P : Cll1,C(Ω, x̂) → Cll1,C(Ω, x̂).
Iз (12) одержуємо
‖Pv‖′l,l1 ≤ All1C
q0 + C1ll1 ∀v ∈ Cll1,C(Ω, x̂). (13)
Для довiльних додатних All1 , C1ll1 та q0 ∈ (0, 1) iснує така стала C0 > 0, що
при C > C0
All1C
q0 + C1ll1 < C.
Тодi з (13) при C > C0 отримуємо P : Cll1,C(Ω, x̂) → Cll1,C(Ω, x̂).
Для довiльних v1, v2 ∈ Cll1(Ω, x̂), q0 ∈ (0, 1) за умов леми 3 подiбно оцiнюємо
‖Pv1 − Pv2‖′l,l1 =
= sup
x∈Ω
%−l1(x)%−l2(x, x̂)
∣∣∣∣∣∣
∫
Ω
G0(x, y)µ(y)
[
|v1(y)|q0 − |v2(y)|q0
]
dy
∣∣∣∣∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
490 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
≤ All1
[
‖v1 − v2‖′ll1
]q0
,
а отже, оператор P є неперервним на просторi Cll1(Ω, x̂).
Доведемо компактнiсть оператора P на просторi Cll1,C(Ω, x̂), тобто вiдносну
компактнiсть множини
{
Pv : v ∈ Cll1,C(Ω, x̂)
}
у просторi Cll1(Ω, x̂).
Iз (13) випливає рiвномiрна обмеженiсть ‖Pv‖′l,l1 на просторi Cll1,C(Ω, x̂). До-
ведемо одностайну неперервнiсть множини
{
Pv : v ∈ Cll1,C(Ω, x̂)
}
у просторi
Cll1(Ω, x̂). Вважаємо %(x + z, x̂) = 0, якщо x + z /∈ Ω. При x ∈ Ω, z ∈ Rn,
v ∈ Cll1(Ω, x̂) ∥∥(Pv)(x+ t)− (Pv)(x)
∥∥′
l,l1
=
= sup
x∈Ω
∣∣∣%−l1(x+ z)%−l2(x+ z, x̂)(Pv)(x+ z)− %−l1(x)%−l2(x, x̂)(Pv)(x)
∣∣∣ ≤
≤ sup
x∈Ω
{∣∣∣%−l1(x+ z)%−l2(x+ z, x̂)g0(x+ z)− %−l1(x)%−l2(x, x̂)g0(x)
∣∣∣+
+µ0
∫
Ω
∣∣∣%−l1(x+ z)%−l2(x+ z, x̂)G0(x+ z, y)−
−%−l1(x)%−l2(x, x̂)G0(x, y)
∣∣∣ |v(y)|q0dy
}
≤
≤ J1(z) + J2(z),
де
J1(z) = sup
x∈Ω
∣∣∣%−l1(x+ z)%−l2(x+ z, x̂)g0(x+ z)− %−l1(x)%−l2(x, x̂)g0(x)
∣∣∣,
J2(z) = Cq0µ0 sup
x∈Ω
∫
Ω
∣∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣∣dy.
Iз рiвномiрної неперервностi функцiї %−l1(x)%−l2(x, x̂)g0(x) в Ω випливає iсну-
вання для довiльного ε > 0 такого δ′ = δ′(ε) > 0, що для довiльних x ∈ Ω,
z ∈ Rn, |z| ≤ δ′ виконується J1(z) ≤
ε
2
.
Нехай η ∈ (0, ε0), Ωη — пiдобласть Ω, обмежена поверхнею Sη. За лемою 3
для довiльного ε > 0 iснують δ0 = δ0(ε) > 0 та вiдповiдне η0 ∈ (0, ε0) такi, що
m(Ω \ Ωη0) ≤ δ0 та
I21 = µ0C
q sup
x∈Ω
∫
Ω\Ωη0
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ ε
8
.
Через ωz позначимо зсув множини ω на вектор z. Тодi також для всiх z ∈ Rn
I ′21(z) = µ0C
q sup
x∈Ω
∫
Ω\Ωη0
∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)
∣∣dy =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 491
= µ0C
q sup
x∈Ω
∫
(Ω\Ωη0 )−z
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ ε
8
.
Виберемо η1 < min
{
1
2
η0,
(
δ0
σn
)1/n}
, де σn — площа поверхнi одиничної сфери
в Rn.
Для x ∈ Ωη0/2 визначимо множини ωη1(x) =
{
ξ ∈ Ωη0 : |ξ − x| < η1
}
. Маємо
m(ωη1(x)) = σnη
n
1 < δ0. Тодi за лемою 3 µ0C
q0 sup
x∈Ω
∫
ωη1 (x)
G̃ll1(x, y, x̂)dy ≤
ε
8
.
Виберемо δ1 < min
{
σnη
n
1 ,
1
2
η1
}
. Якщо x ∈ Ωη0/2, z ∈ Rn, |z| ≤ δ1
(
<
1
4
η0
)
,
то x+ z ∈ Ωη0/4 ⊂ Ω, ω−z
η1
(x) ⊂ Ω. Отже, за лемою 3
I22(z) = µ0C
q sup
x∈Ω η0
2
∫
ωη1 (x)
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy +
∫
ωη1 (x)
∣∣G̃l,l1(x+ z, y, x̂)
∣∣dy
=
= µ0C
q sup
x∈Ω η0
2
∫
ωη1 (x)
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy +
∫
ω−z
η1 (x)
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy
≤ ε
8
+
ε
8
=
ε
4
.
При x ∈ Ωη0/4, y ∈ Ωη0 \ ωη1(x), z ∈ Rn, |z| ≤ δ1
(
<
1
4
η0
)
маємо x + z ∈ Ω,
|y − x| ≥ η1, |y − (x + z)| ≥ |y − x| − |z| ≥ η1 − δ1 > 0, а отже, y 6= x та
y 6= x + z. Також d(y) ≥ η0, |y − x̂| ≥ η0. Внаслiдок рiвномiрної неперервностi
функцiї G̃ll1(x, y, x̂) на замкненiй множинi V =
{
(x, y) ∈ Ω: x ∈ Ωη0/4, y ∈
∈ (Ωη0 \ ωη1(x))
}
для довiльного ε > 0 iснує таке δ2 = δ2(ε) ∈ (0, δ1], що для
довiльних (x, y) ∈ V1 = Ωη0/2 × (Ωη0 \ ωη1(x)) ⊂ V, z ∈ Rn, |z| ≤ δ2 виконується∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣ ≤ ε
4µ0Cq0m(Ω)
, тодi
I23(z) = µ0C
q0 sup
x∈Ωη0/2
∫
Ωη0\ωη1 (x)
∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ ε
4
.
Отже, для довiльного ε > 0 iснує таке δ2 > 0, що для довiльного z ∈ Rn, |z| ≤
≤ δ2,
sup
x∈Ω η0
2
∫
Ωη0
∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃l,l1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ I22(z) + I23(z) ≤
ε
4
+
ε
4
=
ε
2
.
При x ∈ Ω \ Ωη0/2, y ∈ Ωη0 , z ∈ Rn, |z| ≤ δ1 та x+z ∈ Ω маємо y 6= x, y 6= x+z,
також d(y) ≥ η0, |y − x̂| ≥ η0. Тому %l1q0(y)%l2q0(y, x̂) ≤ b1η
lq0
0 , b1 = const, а
внаслiдок рiвномiрної неперервностi функцiї G̃ll1(x, y, x̂) на замкненiй множинi
V ′ =
(
Ω \ Ω(3/4)η0) × Ωη0 для довiльного ε > 0 iснує таке δ3 ∈ (0, δ1], що для
довiльних (x, y) ∈ V ′
1 = (Ω \ Ωη0/2)× Ωη0 ⊂ V ′, z ∈ Rn, |z| ≤ δ3 виконується
∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃l,l1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ η−lq0
0
2b1µ0Cq0m(Ω)
ε,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
492 Г. П. ЛОПУШАНСЬКА
звiдки
I24(z) = µ0C
q0 sup
x∈Ω\Ωη0/2
∫
Ωη0
∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃l,l1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤ ε
2
.
Для тих x ∈ Ω \ Ωη0/2, y ∈ Ωη0 , z ∈ Rn, |z| ≤ δ′4 < δ1, для яких x+ z /∈ Ω (а отже,
d(x) < δ′4), маємо
I ′24(z) = µ0C
q0 sup
x∈Ω\Ωη0/2
∫
Ωη0
∣∣G̃ll1(x+ z, y, x̂)− G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy =
= µ0C
q0 sup
x∈Ω\Ωη0/2
∫
Ωη0
∣∣G̃ll1(x, y, x̂)
∣∣dy ≤
≤ µ0C
q0(δ′4)
−l1d−l1
2 dl1q0
1 d̂l2q0
1 ηlq0
0 sup
x∈Ω\Ωη0/2
∫
Ωη0
|G0(x, y)|dy ≤M0(δ′4)
−l1ηlq0
0 ,
I ′24(z) ≤ ε
2
при δ′4 ≤ δ4 =
(
εη−lq0
0
2M0
)1/(−l1)
. Отже, при z ∈ Rn, |z| ≤ δ′′ =
= min{δ2, δ3, δ4}
J2(z) ≤ max
{
I21 + I ′21(z), I22 + I23(z), I24(z), I ′24(z)
}
≤ ε
2
.
В результатi для довiльного ε > 0 iснує таке δ = min{δ′, δ′′} > 0, що для
довiльного z ∈ Ω, |z| ≤ δ∥∥(Pv)(x+ z)− (Pv)(x)
∥∥′
l,l1
≤ J1(z) + J2(z) <
ε
2
+
ε
2
= ε.
Ми показали виконання умов принципу Шаудера для оператора P.
Теорему доведено.
Зауваження 2. Нехай f0 має вигляд (11).
У випадку Fj ∈ Z ′pj
(S, x̂), suppFj = {x̂}, j = 1,m,
0 < q0 < 1, 1− 2m < p′ < 1− n+
min{2m,n}
q0
,
−min{2m,n}
q0
< l ≤ 1− n− p′,
F0 ∈ Cl(Ω, x̂), де l ∈ (−n, 0] (та l ≥ l − 2m при 2m < n, l ≥ l при 2m ≥ n) або
l ≥ lq0, задача (3), (4) є розв’язною у Cl(Ω, x̂).
У випадку Fj ∈ D′(S), s(Fj) ≤ sj , j = 1,m,
q0 <
1
n− 2m
, 1−n ≤ s′ <
1
q0
+1−n,− 1
q0
< l1 ≤ min
{
1−n−s′,−n− 2m− 1
1− q0
}
при 2m < n,
q0 ∈ (0, 1), 1− n ≤ s′ <
1
q0
+ 1− n, − 1
q0
< l1 ≤ 1− n− s′ при 2m ≥ n,
F0 ∈ Cl1
(Ω), де l1 ∈ (−1, 0] (та l1 ≥ l1 + n − 2m − 1 при 2m < n, l1 ≥ l1 при
2m ≥ n) або l1 ≥ l1q0, задача (3), (4) є розв’язною у Cl1(Ω).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
УЗАГАЛЬНЕНI КРАЙОВI ЗНАЧЕННЯ РОЗВ’ЯЗКIВ НАПIВЛIНIЙНИХ ЕЛIПТИЧНИХ ... 493
1. Крейн С. Г., Симонов А. С. Теорема о гомеоморфизмах и квазилинейные уравнения // Докл. АН
СССР. – 1966. – 167, № 6. – С. 1226 – 1229.
2. Лопушанська Г. П. Задача Дiрiхле для квазiлiнiйних елiптичних рiвнянь у просторi розподiлiв //
Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 1990. – Вип. 35. – C. 26 – 31.
3. Лопушанська Г. П. Крайовi задачi у просторi узагальнених функцiй D′. – Львiв: Львiв. нац. ун-т,
2002. – 287 c.
4. Лопушанська Г. П., Жидик У. В. Про узагальненi граничнi значення розв’язкiв квазiлiнiйного
елiптичного рiвняння 2-го порядку // Вiсн. Львiв. ун-ту. Сер. мех.-мат. – 2001. – Вип. 59. – C. 126 –
138.
5. Лопушанська Г. П. Узагальненi крайовi задачi для лiнiйних та напiвлiнiйних елiптичних рiвнянь
// Укр. мат. вiсн. – 2005. – 2, № 3. – C. 377 – 394.
6. Лопушанська Г. П. Крайовi значення iз (C∞)′ розв’язкiв напiвлiнiйних елiптичних рiвнянь //
Нелинейные граничные задачи. – 2006. – 16. – С. 173 – 185.
7. Lopushanska H. Solutions with strong power singularities to nonlinear elliptic boundary value problems
// Мат. вiсн. Наук. т-ва iм. Т. Шевченка. – 2006. – 3. – С. 247 – 260.
8. Лопушанська Г. П. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв квазiлiнiйних з лiнiйною головною
частиною елiптичних рiвнянь // Укр. мат. журн. – 2007. – 59, № 12. – C. 1674 – 1688.
9. Лопушанська Г. П., Чмир О. Ю. Узагальненi крайовi значення розв’язкiв напiвлiнiйних елiптичних
та параболiчних рiвнянь // Нелинейные граничные задачи. – 2007. – 17. – С. 50 – 73.
10. Похожаев С. О задаче Дирихле для уравнения ∆u = u2 // Докл. АН СССР. – 1960. – 134, № 4. –
P. 769 – 772.
11. Gmira A., Veron L. Boundary singularities of solutions of some nonlinear elliptic equation // Indiana
Math. J. – 1991. – 64. – P. 271 – 324.
12. Le Gall J.-F. The Brounian snake and the solutions of ∆u = u2 in a domain // Probab. Theory Relat.
Fields. – 1995. – 102. – P. 393 – 432.
13. Dynkin E. B., Kuznetsov S. E. Trace on the boundary for solutions of nonlinear equations // Trans. Amer.
Math. Soc. – 1998. – 350. – P. 4499 – 4519.
14. Marcus M., Veron L. Removable singularities and boundary traces // J. math. pures et appl. – 2001. –
80, № 1. – P. 879 – 900.
15. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.
– 372 c.
16. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. – М.: Наука, 1981. – 512 с.
17. Шилов Г. Е. Математический анализ. Второй спецкурс. – М.: Наука, 1965. – 328 с.
18. Березанский Ю. М., Ройтберг Я. А. Теорема о гомеоморфизмах и функция Грина для общих
эллиптических граничных задач // Укр. мат. журн. – 1967. – 19, № 5. – C. 3 – 32.
19. Красовский Ю. П. Свойства функций Грина и обобщенные решения эллиптических граничных
задач // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1969. – 33, № 1. – C. 109 – 137.
20. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. – М.: Наука, 1981. – 800 с.
21. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 520 c.
Одержано 14.04.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-3035 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:03Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/cc/7f072cb2a9b76799603c416a1b1895cc.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30352020-03-18T19:43:50Z Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces Узагальнені крайові значення розв'язків напівлінійних еліптичних рівнянь із вагових функціональних просторів Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. In weighted C-spaces, we establish the solvability of a boundary-value problem for a semilinear elliptic equation of order 2m in a bounded domain with generalized functions given on its boundary, strong power singularities at some points of the boundary, and finite orders of singularities on the entire boundary. The behavior of the solution near the boundary of the domain is analyzed. В весовых C-пространствах установлена разрешимость краевой задачи для полулинейного эллиптического уравнения порядка 2m в ограниченной области с заданными на ее границе обобщенными функциями, сильными степенными особенностями в отдельных точках и конечными порядками сингулярностей на всей границе. Установлен характер поведения решения около границы области. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3035 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 4 (2009); 472-493 Український математичний журнал; Том 61 № 4 (2009); 472-493 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3035/2819 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3035/2820 Copyright (c) 2009 Lopushanskaya G. P. |
| spellingShingle | Lopushanskaya, G. P. Лопушанська, Г. П. Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| title | Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| title_alt | Узагальнені крайові значення розв'язків напівлінійних еліптичних рівнянь із вагових функціональних просторів |
| title_full | Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| title_fullStr | Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| title_full_unstemmed | Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| title_short | Generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| title_sort | generalized boundary values of the solutions of semilinear elliptic equations from weighted functional spaces |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3035 |
| work_keys_str_mv | AT lopushanskayagp generalizedboundaryvaluesofthesolutionsofsemilinearellipticequationsfromweightedfunctionalspaces AT lopušansʹkagp generalizedboundaryvaluesofthesolutionsofsemilinearellipticequationsfromweightedfunctionalspaces AT lopushanskayagp uzagalʹneníkrajovíznačennârozv039âzkívnapívlíníjnihelíptičnihrívnânʹízvagovihfunkcíonalʹnihprostorív AT lopušansʹkagp uzagalʹneníkrajovíznačennârozv039âzkívnapívlíníjnihelíptičnihrívnânʹízvagovihfunkcíonalʹnihprostorív |