Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums
We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by Zygmund sums in the uniform metric on the classes of continuous 2π-periodic functions whose (ψ, β)-derivatives belong to the set $H_{ω}$ in the case where the sequences ψ that generate the classes tend to zero not faster...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3037 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509056792264704 |
|---|---|
| author | Ovsii, E. Yu. Serdyuk, A. S. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. |
| author_facet | Ovsii, E. Yu. Serdyuk, A. S. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. |
| author_sort | Ovsii, E. Yu. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:50Z |
| description | We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by Zygmund sums in the uniform metric on the classes of continuous 2π-periodic functions whose (ψ, β)-derivatives belong to the set $H_{ω}$ in the case where the sequences ψ that generate the classes tend to zero not faster than a power function. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517. 5
A. S. Serdgk, E. G. Ovsyj (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cββ
ψψ Hωω
OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA
Asymptotic equalities are found for exact upper bounds of approximations by the generalized Zygmund
sums in the uniform metric on classes of continuous 2π-periodic functions whose (ψ, β)-derivatives
belong to the set Hω in the case where sequences ψ generating classes tend to zero not faster than
the power function.
Znajdeno asymptotyçni rivnosti dlq toçnyx verxnix meΩ nablyΩen\ uzahal\nenymy sumamy Zyh-
munda u rivnomirnij metryci na klasax neperervnyx 2π-periodyçnyx funkcij, (ψ, β)-poxidni
qkyx naleΩat\ mnoΩyni Hω , u vypadku, koly poslidovnosti ψ, wo porodΩugt\ klasy, prqmu-
gt\ do nulq ne ßvydße stepenevo] funkci].
Pust\ L � prostranstvo summyruem¥x na (0, 2π) 2π-peryodyçeskyx funkcyj
f (t) s normoj f L =
−∫ π
π
f t dt( ) , M � prostranstvo yzmerym¥x y suwestvenno
ohranyçenn¥x 2π-peryodyçeskyx funkcyj f (t) s normoj f M = ess sup ( )
t
f t ,
a C � prostranstvo neprer¥vn¥x 2π-peryodyçeskyx funkcyj f (t), v kotorom
norma opredelqetsq ravenstvom f C = max ( )
t
f t .
Çerez Cβ
ψ oboznaçym vvedenn¥e A. Y. Stepancom [1, 2] klass¥ neprer¥vn¥x
2π-peryodyçeskyx funkcyj sledugwym obrazom. Pust\ f C∈ y
S f[ ] =
a0
2
+
k
k ka k x b k x
=
∞
∑ +
1
( cos sin ) (1)
� ee rqd Fur\e. Esly posledovatel\nost\ ψ = ψ (k), k ∈N , dejstvytel\n¥x
çysel y çyslo β ∈R takov¥, çto rqd
k
k kk
a k x b k x
=
∞
∑ +
+ +
1
1
2 2ψ
βπ βπ
( )
cos sin
qvlqetsq rqdom Fur\e nekotoroj funkcyy ϕ ∈L, to ϕ( )⋅ naz¥vagt ( , )ψ β -
proyzvodnoj funkcyy f ( )⋅ y oboznaçagt çerez fβ
ψ ( )⋅ . Pry πtom hovorqt, çto
funkcyq f ( )⋅ prynadleΩyt mnoΩestvu Cβ
ψ . Esly f C∈ β
ψ y f
Mβ
ψ ≤ 1, to
polahaem, çto f C∈ ∞β
ψ
, . Esly Ωe f C∈ β
ψ y f Hβ
ψ
ω∈ , hde
Hω = ϕ ϕ ϕ ω∈ − ≤ −( ) ∀ ∈{ }C t t t t t t: ( ) ( ) ,1 2 1 2 1 2 R ,
a ω( )t � fyksyrovann¥j modul\ neprer¥vnosty, to budem zapys¥vat\ f ∈
∈ C Hβ
ψ
ω . Pry ψ( )k = k r− , r > 0, klass¥ Cβ
ψ
,∞ y C Hβ
ψ
ω sovpadagt s yzvestn¥-
my klassamy Vejlq � Nadq W r
β y W Hr
β ω sootvetstvenno (sm., naprymer, [2,
s. 25 – 33]).
Dalee budem polahat\, çto posledovatel\nost\ ψ( )k , kotoraq opredelqet
klass¥ C Hβ
ψ
ω , qvlqetsq suΩenyem na mnoΩestve N nekotoroj neprer¥vnoj
funkcyy ψ( )t neprer¥vnoho arhumenta t, prynadleΩawej mnoΩestvu
© A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ, 2009
524 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 525
� = ψ ψ ψ ψ ψ( ), : ( ) , ( ) ( ) , ;t t t t
t t
t t t≥ > − +
+ ≥ ∀ ∈ ∞[ )
1 0 2
2
0 11
1 2
2 1 2 ,
lim ( )
t
t
→∞
=
ψ 0 .
Sleduq A. Y. Stepancu (sm., naprymer, [3, s. 160]), yz mnoΩestva � budem v¥-
delqt\ podmnoΩestva � 0 , � C y � ∞
+ vyda
� 0 = ψ µ ψ∈ < ≤ < ∞ ∀ ≥{ }� : ( ; )0 1t K t ,
� C = ψ µ ψ∈ < ≤ ≤ < ∞ ∀ ≥{ }� : ( ; )0 11 2K t K t ,
� ∞
+ = ψ µ ψ∈ ↑ ∞ → ∞{ }� : ( ; ) ,t t ,
hde µ ψ( ; )t = t
t tη ψ( ; ) −
, η ψ( ; )t = ψ ψ− (1 ( )t / 2) , ψ− ⋅1( ) � obratnaq k ψ( )⋅
funkcyq, a konstant¥ K, K1 y K2, voobwe hovorq, mohut zavyset\ ot funkcyy
ψ. Estestvenn¥my predstavytelqmy mnoΩestva � C qvlqgtsq, naprymer,
funkcyy t r− , r > 0, predstavytelqmy mnoΩestva � 0 \ � C � funkcyy
ln( )t e+ −α , α > 0, a mnoΩestva � ∞
+ � funkcyy vyda e tr−α , α > 0, r > 0. Çe-
rez ′� budem oboznaçat\ podmnoΩestvo funkcyj ψ( )⋅ yz �, podçynenn¥x
uslovyg
1
∞
∫ ψ( )t
t
dt < ∞. PoloΩym takΩe ′� 0 = � 0 I ′� .
Pust\ f x( ) � nekotoraq summyruemaq funkcyq s peryodom 2π y (1) � ee
rqd Fur\e. Rassmotrym polynom¥ vyda
Z f xn
ϕ( ; ) =
a0
2
+
k
n
k k
k
n
a k x b k x
=
−
∑ −
+( )
1
1
1
ϕ
ϕ
( )
( )
cos sin , n ∈N , (2)
hde ϕ( )k � znaçenyq v celoçyslenn¥x toçkax nekotoroj funkcyy ϕ ∈F , F �
mnoΩestvo vsex neprer¥vn¥x y monotonno vozrastagwyx k beskoneçnosty na
1, ∞[ ) funkcyj ϕ( )u . Polynom¥ Z f xn
ϕ( ; ) poqvylys\ v rabotax [4, 5] y naz¥-
vagtsq obobwenn¥my summamy Zyhmunda. Ponqtno, çto esly ϕ( )t = ts , s > 0,
to Z f xn
ϕ( ; ) sovpadagt s klassyçeskymy summamy Zyhmunda Z f xn
s( ; ), t. e. po-
lynomamy vyda
Z f xn
s( ; ) =
a0
2
+
k
n s
s k k
k
n
a k x b k x
=
−
∑ −
+( )
1
1
1 cos sin , n ∈N .
Pry s = 1 summ¥ Zyhmunda Z f xn
s( ; ) prevrawagtsq v yzvestn¥e summ¥ Fejera
σn f x( ; ) porqdka n – 1 funkcyy f x( ).
Na osnovanyy yzvestn¥x utverΩdenyj S. M. Nykol\skoho [6, s. 261] (sm. tak-
Ωe [3, s. 18, 20]), kasagwyxsq neobxodym¥x y dostatoçn¥x uslovyj rehulqrnos-
ty lynejn¥x metodov summyrovanyq rqdov Fur\e, dlq polynomov Z f xn
ϕ( ; ) leh-
ko ustanovyt\ sledugwee utverΩdenye.
UtverΩdenye 1. Pust\ funkcyq ϕ( )u ≥ 0, u ∈ 0, ∞[ ) , takova, çto ϕ( )0 =
= 0, ϕ ∈F , y dlq lgboho n = 2, 3, … ϕ( )u v¥pukla vverx yly vnyz pry u ∈
∈ 0, n[ ]. Tohda uslovye
1
1
1
ϕ
ϕ ϕ
( )
( ) ( )
n
n k
n kk
n
=
−
∑ −
−
≤ K (3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
526 A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ
qvlqetsq neobxodym¥m y dostatoçn¥m dlq ravnomernoj sxodymosty polyno-
mov Z f xn
ϕ( ; ) k funkcyy f x( ) na vsem prostranstve C.
Na osnovanyy teorem¥ 2.1 rabot¥ [3, s. 92], soderΩawej dostatoçn¥e uslo-
vyq y porqdky nas¥wenyq obwyx lynejn¥x metodov summyrovanyq rqdov Fur\e,
lehko ubedyt\sq, çto metod Zn
ϕ , poroΩdaem¥j poloΩytel\noj funkcyej ϕ ,
qvlqetsq nas¥wenn¥m v prostranstve C s porqdkom nas¥wenyq 1
ϕ( )n
. ∏to
znaçyt, çto dlq obobwenn¥x summ Zyhmunda yz sootnoßenyq
f Z fn C
( ) ( ; )⋅ − ⋅ϕ =
o
n
( )
( )
1
ϕ
, n → ∞,
sleduet, çto f (x) ≡ const y najdetsq xotq b¥ odna funkcyq f (x), otlyçnaq ot
postoqnnoj, dlq kotoroj
f Z fn C
( ) ( ; )⋅ − ⋅ϕ =
O
n
( )
( )
1
ϕ
, n → ∞.
Cel\g dannoj rabot¥ qvlqetsq naxoΩdenye asymptotyçeskyx ravenstv dlq
velyçyn
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ;( ) = sup ( ) ( ; )
f C H
n C
f Z f
∈
⋅ − ⋅
β
ψ
ω
ϕ , n → ∞, (4)
pry nekotor¥x estestvenn¥x ohranyçenyqx na funkcyy ϕ( )⋅ , ψ( )⋅ , ω( )⋅ y pa-
rametr β. Esly takye ravenstva poluçen¥, to hovorqt [3, 7], çto reßena zadaça
Kolmohorova � Nykol\skoho dlq metoda Zn
ϕ na klasse C Hβ
ψ
ω v metryke pro-
stranstva C. Dlq razlyçn¥x lynejn¥x metodov summyrovanyq rqdov Fur\e na
razlyçn¥x funkcyonal\n¥x klassax reßenye πtoj zadaçy poluçylo razvytye
vo mnohyx rabotax (sm., naprymer, [3, 8 – 19]). Bolee detal\no s ystoryej dan-
noho voprosa moΩno oznakomyt\sq v kommentaryqx y byblyohrafyçeskyx ukaza-
nyqx monohrafyj [3, 7, 11, 12, 14].
Naybolee poln¥e rezul\tat¥, kasagwyesq naxoΩdenyq asymptotyçeskyx
ravenstv dlq velyçyn
E �; Zn
s
C( ) =
sup ( ) ( ; )
f
n
s
C
f Z f
∈
⋅ − ⋅
�
, n → ∞,
pry � = W r
β , r > 0, β ∈R , poluçen¥ S. A. Telqkovskym [16], a pry � = Cβ
ψ
,∞,
β ∈R , ψ ∈ ′� � D. N. Bußev¥m [20]. Yzuçenyg approksymatyvn¥x svojstv
obobwenn¥x summ Zyhmunda Z f xn
ϕ( ; ) na klassax Cβ
ψ
,∞ pry razlyçn¥x ψ( )⋅
posvqwen¥ rabot¥ [4, 5, 21 – 24]. V rabote [5] pokazano, v çastnosty, çto esly
ψ ∈� C U � ∞
+ , β = 0 y ϕ( )t ψ( )t = 1, t ≥ 1, to dlq lgboj funkcyy f C∈ ∞β
ψ
,
spravedlyva ocenka
f Z fn C
( ) ( ; )⋅ − ⋅ϕ = O n n n( ) ( ) ln min ( ; ),1 1ψ µ ψ+ { }( ) , n > 1.
V rabotax [23, 25] poluçen¥ asymptotyçeskye ravenstva dlq velyçyn
E �; Zn C
ϕ( ) =
sup ( ) ( ; )
f
n C
f Z f
∈
⋅ − ⋅
�
ϕ , (5)
kohda � = Cβ
ψ Hω , ψ ∈ ∞
+� , ϕ( )t ψ( )t = 1, t ≥ 1, β ∈R , pry nekotor¥x dopol-
nytel\n¥x ohranyçenyqx na funkcyy ω( )t y µ ψ( ; )t . V çastnosty, pokazano
[23, s. 81], çto esly β = 2l, l ∈Z , y
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 527
ω µ ψ( / ) ln min ( ; ),1 n n n{ }( ) = o(1), n → ∞,
to pry n → ∞ ymeet mesto asymptotyçeskoe ravenstvo
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ;( ) =
2
2
0
2
ψ
π
ω
π
( )
( )
/
n
t dt∫ + O n n n n( ) ( ) ( / ) ln min ( ; ),1 1ψ ω µ ψ{ }( ) .
(6)
Yz rezul\tatov rabot¥ [24] sleduet, v çastnosty, çto esly ψ ∈ ′� 0 , β ∈R y
funkcyq ϕ( )u ψ( )u ne ub¥vaet y v¥pukla vverx pry u ≥ 1, to pry n → ∞
spravedlyvo ravenstvo
E C Zn Cβ
ψ ϕ
, ;∞( ) = 2
2
1
1
π
βπ
ϕ
ϕ ψ ψ
sin
( )
( ) ( ) ( )
n
u u
u
du
u
u
du
n
n
∫ ∫+
∞
+ O n( ) ( )1 ψ .
V nastoqwej rabote yssledovano asymptotyçeskoe povedenye velyçyn
E C Hβ
ψ
ω( ; Zn C
ϕ) pry ϕ( )t ψ( )t = 1, t ≥ 1, v sluçae, kohda ψ ∈� 0 y β = 0 lybo
kohda ψ ∈ ′� 0 y β ∈R . Poluçenn¥e rezul\tat¥ dopolnqgt upomqnut¥e v¥-
ße yssledovanyq [23, 25] na klassax C Hβ
ψ
ω y, krome toho, v kaçestve sledstvyq
soderΩat rqd nov¥x utverΩdenyj dlq klassyçeskyx summ Zyhmunda Z f xn
s( ; ).
Spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Teorema 1. Pust\ ψ ∈ ′� 0 , β ∈R y ϕ ψ( ) ( )u u = 1 pry vsex u ≥ 1. Tohda
pry n → ∞
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); =
θ
π
βπ ψ ω ω ψω sin ( ) ( ) ( ) ( ) sin
/
/
2
2 2
1
1
0
1
n t
t
dt t u ut dudt
n
n
n
∫ ∫ ∫+
∞
+
+ O n( ) ( )1 ψ , (7)
hde θω ∈ [2 / 3, 1], pryçem θω = 1, esly ω( )t � v¥pukl¥j modul\ neprer¥v-
nosty.
Esly, krome toho,
0
1
∫ ω( )t
t
dt ≤ K, (8)
to pry n → ∞ ymeet mesto ocenka
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); = O n( ) ( )1 ψ . (9)
V formulax (7) y (9) O(1) � velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq po n y β.
Kak sleduet yz rabot¥ [3, s. 214, 216], v sluçae, kohda ψ( )t = t r− , r > 0, vto-
roe slahaemoe v pravoj çasty ravenstva (7) ne prev¥ßaet po porqdku ostatoç-
n¥j çlen. V πtom sluçae ravenstvo (7) poluçeno v rabote [15, s. 42]. V sluçae,
kohda ψ ∈ ∞
+� , utverΩdenye, analohyçnoe teoreme 1, b¥lo ustanovleno v ra-
bote [25, s. 185].
Sopostavlenye ravenstva (3.10) yz rabot¥ [3, s. 216] y ravenstva (10) yz rabo-
t¥ [26, s. 662] pozvolqet poluçyt\ asymptotyçeskug formulu
0
1
2
/
( ) ( ) sin
n
n
t u ut dudt∫ ∫
∞
ω ψ =
0
1
1
/
( )
n
t
t
t
dt∫
ψ ω + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω +
+ O n n n n( ) ( ) ( ) ( / )1 1 1ψ ψ ω− +( ) , ψ ∈ ′� 0 .
No poskol\ku dlq proyzvol\noj funkcyy ψ ∈ ′� 0 ymeet mesto sootnoßenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
528 A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ
n n nψ ψ( ) ( )− +( )1 = O n( ) ( )1 ψ ,
kotoroe lehko sleduet yz formul¥ (12.10) rabot¥ [3, s. 161], to
0
1
2
/
( ) ( ) sin
n
n
t u ut dudt∫ ∫
∞
ω ψ =
0
1
1
/
( )
n
t
t
t
dt∫
ψ ω + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , ψ ∈ ′� 0 . (10)
Uçyt¥vaq (10), ravenstvo (7) moΩno zapysat\ v vyde
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); =
θ
π
βπ ψ ω ψ ωω sin ( ) ( ) ( )
/
/
2
2 1
1
1
0
1
n t
t
dt
t
t
t
dt
n
n
∫ ∫+
+
+ O n( ) ( )1 ψ . ( ′7 )
Zametym, çto, naprymer, dlq funkcyy ψ( )t = ln(t + 1)−α , α > 1, y dlq maΩo-
rant¥ ω( )t , sovpadagwej na yntervale 0 1, /e( ] s funkcyej ln( / )1 t −γ , 0 < γ <
< 1, pervoe y vtoroe slahaem¥e v pravoj çasty ravenstva ( ′7 ) qvlqgtsq hlavn¥-
my, y, sledovatel\no, v dannom sluçae teorema 1 soderΩyt reßenye zadaçy Kol-
mohorova � Nykol\skoho dlq metoda Zn
ϕ na klassax C Hβ
ψ
ω . V to Ωe vremq
nesloΩno pryvesty prymer maΩorant¥ ω( )t , dlq kotoroj dannaq teorema poz-
volqet poluçyt\ lyß\ toçnoe po porqdku ravenstvo velyçyn¥ (5) pry � =
= C Hβ
ψ
ω (v¥brav, v çastnosty, ω( )t = tα , 0 < α ≤ 1). V sluçae β ∈Z udaetsq
poluçyt\ bolee toçn¥e ocenky velyçyn¥
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); , kotor¥e pryveden¥ v
sledugwyx teoremax.
Teorema 2. Pust\ ψ ∈ ′� 0 , β = 2l + 1, l ∈Z , y ϕ ψ( ) ( )u u = 1 pry vsex u ≥
≥ 1. Tohda esly
0
δ
ω∫ ( )t
t
dt = O( ) ( )1 ω δ , (11)
to pry n → ∞ spravedlyvo asymptotyçeskoe ravenstvo
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); =
θ ψ
π
ωω
π
( ) ( )
sin
/
n t
t
dt
0
2
2∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , (12)
hde θω ∈ [2 / 3, 1], pryçem θω = 1, esly ω( )t � v¥pukl¥j modul\ neprer¥v-
nosty, a O( )1 � velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq po n y β.
Pry ψ( )k = k−1, β = 1 y ω( )t = tα , 0 < α ≤ 1, ravenstvo (12) b¥lo dokaza-
no S. M. Nykol\skym [9, s. 26], a dlq proyzvol\noho v¥pukloho modulq nepre-
r¥vnosty � A. Y. Stepancom (sm. teoremu 5 rabot¥ [27]). Pry ψ( )k = k r− , r =
= 1, 3, … , β = r, y ω( )t = tα , 0 < α ≤ 1, ravenstvo (12) dokazano B. Nadem [10,
s. 48].
Teorema 3. Pust\ ψ ∈� 0 , β = 2l, l ∈Z , y ϕ ψ( ) ( )u u = 1 pry vsex u ≥ 1.
Tohda pry n → ∞ spravedlyvo asymptotyçeskoe ravenstvo
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); =
2
2
0
2
ψ
π
ω
π
( )
( )
/
n
t dt∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , (13)
hde O( )1 � velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq po n y β.
Pry ψ( )k = k−2 y β = 2 ravenstvo (13) dokazano A. Y. Stepancom [28,
s. 352].
Na osnovanyy (6) y (13) zaklgçaem, çto esly ψ ∈� 0 U � ∞
+ , β = 2l, l ∈Z , y
ϕ ψ( ) ( )u u = 1, u ≥ 1, to pry n → ∞
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 529
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); =
2
2
0
2
ψ
π
ω
π
( )
( )
/
n
t dt∫ + O n n n n( ) ( ) ( / ) ln min ( ; ),1 1 1ψ ω µ ψ+ { }( )( )+ ,
hde ln ( )+ t = ln( )t , esly t > 1, y ln ( )+ t = 0, esly t ≤ 1.
PreΩde çem perejty k dokazatel\stvu teorem 1 � 3, zametym, çto poskol\ku
klass¥ C Hβ
ψ
ω ynvaryantn¥ otnosytel\no sdvyha arhumenta (sm., naprymer, [1,
s. 121, 122]), to v¥polnqetsq ravenstvo
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); = sup ( ; )
f C H
n f
∈ β
ψ
ω
ρ 0 , (14)
hde ρn f( ; )0 = ρn f( ; 0 ; Zn
ϕ) =df f (0) – Z fn
ϕ( ; )0 . Dlq ocenky velyçyn¥ ρn f( ; )0
nam potrebuetsq sledugwee utverΩdenye.
Lemma 1. Pust\ ψ ∈ ′� 0 , β ∈R yly ψ ∈� 0 y β = 2l, l ∈Z . Tohda es-
ly ϕ ψ( ) ( )u u = 1 pry u ≥ 1, to dlq proyzvol\noj funkcyy f ∈ C Hβ
ψ
ω y
n ∈N spravedlyvo ravenstvo
ρn f( ; )0 = −
≥
∫1
2
1
2π
βπ ψ δsin ( )
sin
n n t
n
t
n
t
dt
t
+
+
t
t
n
nu ut dudt
≤
∞
∫ ∫
1 1
δ ψ( ) sin + n n t
n
t
n
t
dt
π
βπ ψ δcos ( )
cos
2
1
2
−∞
∞
∫
−
+
+ O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , (15)
hde δ( )⋅ =df fβ
ψ ( )⋅ – fβ
ψ ( )0 , a O( )1 � velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq po
n y β.
Dokazatel\stvo. PoloΩym
τn u( ) =
ψ
ψ
ψ
( ) , ,
( ), ,
( ), ,
n nu u
n
n
n
u
nu u
0 1
1 1
1
≤ ≤
≤ ≤
≥
νn u( ) =
ψ
ψ
( ) , ,
( ), ,
n u u
nu u
0 1
1
≤ ≤
≥
y µn u( ) = τn u( ) – νn u( ) pry u ≥ 0. Pust\ ψ udovletvorqet uslovyqm lemm¥ 1.
Tohda na osnovanyy lemm¥ 3.1 rabot¥ [3, s. 186] zaklgçaem, çto preobrazovanye
ˆ ( )νn t = 1
2
0
π
ν βπ∞
∫ +
n u ut du( ) cos
(ponymaemoe kak nesobstvenn¥j yntehral) qvlqetsq summyruemoj na vsej osy
funkcyej, t. e.
−∞
∞
∫ ˆ ( )νn t dt < ∞. (16)
Poskol\ku funkcyq µn u( ) absolgtno neprer¥vna na [0, 1], µn( )1 = 0 y, kak
nesloΩno ubedyt\sq, yntehral¥
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
530 A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ
0
1
1∫ − ′u u d un( ) ( )µ ,
0
1
∫ µn u
u
du
( )
,
0
1
1∫ −
µn u
u
du
( )
sxodqtsq, sohlasno teoreme 1 rabot¥ [16, s. 70] ymeet mesto neravenstvo
−∞
∞
∫ ∫ +
0
1
2
µ βπ
n u ut du dt( ) cos < ∞. (17)
Uçyt¥vaq (16) y (17), pryxodym k v¥vodu, çto funkcyq
ˆ ( )τn t = 1
2
0
π
τ βπ∞
∫ +
n u ut du( ) cos
qvlqetsq summyruemoj na vsej osy. Tohda, poskol\ku
τn u( ) =
1 1 1 0 1
1 1 1
−( ) ≤ ≤
−( ) ≤ ≤ ∈
λ ψ
λ ψ
n
n
n nu u
n
u nu
n
u n
( / ) ( ) , ,
( ) ( ), , ,N
hde
λn u( ) =
1
1
0 1
1 1 1
− ≤ ≤
− ≤ ≤ ∈
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
( )
( )
, ,
( )
( )
, , ,
n
nu u
n
nu
n n
u F
sohlasno teoreme 3.2 rabot¥ [2, s. 56] dlq kaΩdoj funkcyy f ∈ C Hβ
ψ
ω spraved-
lyvo ravenstvo
ρn f( ; )0 =
−∞
∞
∫
f t
n
t dtnβ
ψ τ̂ ( ) . (18)
Poskol\ku τn( )0 = 0, sohlasno lemme 3 rabot¥ [16, s. 71], v sylu kotoroj
−∞
∞
∫ ˆ ( )τn t dt = 0, ravenstvo (18) moΩno predstavyt\ v vyde
ρn f( ; )0 =
−∞
∞
∫
−
f t
n
f t dtnβ
ψ
β
ψ τ( ) ˆ ( )0 =
−∞
∞
∫
δ τt
n
t dtnˆ ( ) =
=
cos
( ) cos
βπ
π
δ τ2
0−∞
∞ ∞
∫ ∫
t
n
u ut dudtn –
sin
( ) sin
βπ
π
δ τ2
0−∞
∞ ∞
∫ ∫
t
n
u ut dudtn . (19)
V¥polnqq yntehryrovanye po çastqm y uçyt¥vaq ravenstvo τn( )∞ = 0, naxodym
0
∞
∫ τn u ut du( ) cos = ψ( )
cos
n n
t
n
t
− 1
2 – n
t
nu ut du
1
∞
∫ ′ψ ( ) sin , ′ψ ( )t =df ′ +ψ ( )t 0
(20)
y
0
∞
∫ τn u ut du( ) sin = ψ( )
sin
n
n t
n
t2 + n
t
nu ut du
1
∞
∫ ′ψ ( ) cos . (21)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 531
Yz formul (19) � (21) poluçaem
ρn f( ; )0 =
=
n
n t
n
t
n
t
dt
cos
( )
cos
βπ
π
ψ δ2
1
2
−
−∞
∞
∫ –
−∞
∞ ∞
∫ ∫
′
δ ψt
n t
nu ut dudt1
1
( ) sin –
–
sin
( )
sin
βπ
π
ψ δ2
1
2n n t
n
t
n
t
dt
t
≥
∫ + n t
n t
nu ut dudt
t ≥
∞
∫ ∫
′
1 1
1δ ψ ( ) cos +
+
t
n
t
n
u ut dudt
≤
∫ ∫
1 0
1
δ τ ( ) sin +
t
t
n
nu ut dudt
≤
∞
∫ ∫
1 1
δ ψ( ) sin . (22)
Poskol\ku τn u( ) ≤ ψ( )n pry u ∈ [0, 1] y δ ( )t ≤ ω t( ), ymeem
t
n
t
n
u ut dudt
≤
∫ ∫
1 0
1
δ τ ( ) sin = O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω . (23)
Kak sleduet yz rabot¥ [3, s. 223, 226] (sm. takΩe [29, s. 285]), spravedlyv¥
ocenky
n t
n t
nu ut dudt
−∞
∞ ∞
∫ ∫
′δ ψ1
1
( ) sin = O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , ψ ∈� 0 , (24)
y
n t
n t
nu ut dudt
t ≥
∞
∫ ∫
′
1 1
1δ ψ ( ) cos = O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , ψ ∈ ′� 0 . (25)
Obæedynqq (22) � (25), poluçaem ravenstvo (15).
Lemma 1 dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 1. Budem ysxodyt\ yz ravenstv (14) y (15). V¥-
polnqq zamenu peremenn¥x v pervom y tret\em yntehralax pravoj çasty raven-
stva (15) y yspol\zuq formulu
−∞
∞
∫ −
y t
t
t
dt( )
cos1
2 = 1
2
−
∫
π
π
y t dt( ) ∀ ∈y L (26)
(sm., naprymer, [30, s. 1084]), posle πlementarn¥x preobrazovanyj poluçaem
ρn f( ; )0 = − +
≥ ≤
∞
∫ ∫ ∫
sin
( ) ( )
sin
( ) sin
/
βπ
π
ψ δ δ ψ2
1
2
1 1
n t
t
t
dt t
n
nu ut dudt
t n t
+
+ O n( ) ( )1 ψ . (27)
Dalee m¥ budem uprowat\ pravug çast\ v (27), ne terqq pry πtom ee hlavnoho
znaçenyq. Lehko vydet\, çto
t n
t
t
t
dt
≥
∫
1
2
/
( )
sinδ =
1 1
2 1
/
( )
sin
( )
n t
t
t
t
dt O
≤ ≤
∫ +δ =
=
1 1/
( )
n t
t
t
dt
≤ ≤
∫ δ
+
1 1
2 1
/
( )
sin
( )
n t
t
t t
t
dt O
≤ ≤
∫ − +δ . (28)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
532 A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ
Poskol\ku funkcyq
sin t t
t
−
2 ohranyçena na sehmente [– 1, 1], obæedynqq for-
mul¥ (27) y (28), poluçaem
ρn f( ; )0 = − +
≤ ≤ ≤
∞
∫ ∫ ∫
sin
( )
( )
( ) sin
/
βπ
π
ψ δ δ ψ2
1 1 1 1
n
t
t
dt t
n
nu ut dudt
n t t
+
+ O n( ) ( )1 ψ . (29)
V sylu lemm¥ 3.1.6 rabot¥ [7, s. 143] funkcyq
1
∞
∫ ψ( )nu sin u t du poloΩytel\na
pry t ∈ 0 1,( ], y poskol\ku ona neçetnaq, ymeem
t
t
n
nu ut dudt
≤
∞
∫ ∫
1 1
δ ψ( ) sin =
0
1
1
∫ ∫
− −
∞
δ δ ψt
n
t
n
nu ut dudt( ) sin ≤
≤
0
1
2
/
( ) ( ) sin
n
n
t u ut dudt∫ ∫
∞
ω ψ . (30)
Uçyt¥vaq ocenku
1 1/
( )
n t
t
t
dt
≤ ≤
∫ δ
=
1
1
/
( ) ( )
n
t t
t
dt∫ − −δ δ
≤
1
1
2
/
( )
n
t
t
dt∫ ω
y formul¥ (14), (29) y (30), naxodym
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ;( ) ≤
≤ sin
( ) ( ) ( ) ( ) sin
/
/
βπ ψ
π
ω
π
ω ψ
2
2 1 2
1
1
0
1
n t
t
dt t u ut dudt
n
n
n
∫ ∫ ∫+
∞
+ O n( ) ( )1 ψ . (31)
Pust\
ϕ∗( )t =
1
2
2 0
2
1
2
2 2
2
0
ω π
ω π π π
ϕ π
( ), ,
( ), ,
( ), ,
t t
t t
t t
≤ ≤
− ≤ ≤
− − − ≤ ≤
∗
ϕ π∗ +( )t 2 = ϕ∗( )t
y ω( )t � v¥pukl¥j modul\ neprer¥vnosty. V πtom sluçae (sm., naprymer, [15,
s. 28, 29]) funkcyq ϕ∗( )t prynadleΩyt klassu Hω . Oçevydno, çto ϕ ω
∗ ∈H0 ,
hde Hω
0 = ϕ{ : ϕ ω∈H , ϕ ⊥ }1 . Tohda sohlasno p. 7.2 rabot¥ [2, s. 109, 110] v
klasse C Hβ
ψ
ω , ψ ∈ ′� 0 , suwestvuet funkcyq g∗ ⋅( ), dlq ( , )ψ β -proyzvodnoj
kotoroj g t∗
β
ψ
( ) v¥polnqetsq ravenstvo
g t∗
β
ψ
( ) = ϕ∗( )t . (32)
Dlq funkcyy g t∗( ) , sohlasno formule (29), ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 533
ρn g( ; )∗ 0 = sin
( ) ( ) ( ) ( ) sin
/
/
βπ ψ
π
ω
π
ω ψ
2
2 1 2
1
1
0
1
n t
t
dt t u ut dudt
n
n
n
∫ ∫ ∫+
∞
+
+ O n( ) ( )1 ψ .
Otsgda sleduet, çto v sootnoßenyy (31) moΩno postavyt\ znak ravenstva. Tem
sam¥m v sluçae, kohda ω( )t � v¥pukl¥j modul\ neprer¥vnosty, ravenstvo (7)
dokazano.
Esly ω( )t � proyzvol\n¥j modul\ neprer¥vnosty, to funkcyq ϕ∗( )t mo-
Ωet y ne prynadleΩat\ klassu Hω . Odnako, kak pokazano v rabote [15, s. 11],
funkcyq ϕ∗( )t = 2ϕ∗( )t / 3 uΩe prynadleΩyt klassu Hω . Znaçyt, v klasse
C Hβ
ψ
ω najdetsq funkcyq g t∗( ) , ( , )ψ β -proyzvodnaq kotoroj g t∗β
ψ ( ) udovlet-
vorqet ravenstvu
g t∗β
ψ ( ) = ϕ∗( )t . (33)
Dlq funkcyy g t∗( ) , sohlasno formule (29), ymeem
ρn g( ; )∗ 0 = 2
3 2
2 1 2
1
1
0
1
sin
( ) ( ) ( ) ( ) sin
/
/
βπ ψ
π
ω
π
ω ψn t
t
dt t u ut dudt
n
n
n
∫ ∫ ∫+
∞
+
+ O n( ) ( )1 ψ .
Otsgda zaklgçaem, çto v sluçae proyzvol\n¥x modulej neprer¥vnosty ω( )t
ymeet mesto ravenstvo (7).
Pust\, krome toho, dlq maΩorant¥ ω( )t v¥polnqetsq uslovye (8). V rabote
[3, s. 191] pokazano, çto
n
u ut du
∞
∫ ψ( ) sin <
n
n t
u du
+
∫
2π
ψ
/
( ) ∀ ∈ ′ψ � 0.
Otsgda sleduet ocenka
0
1
2
/
( ) ( ) sin
n
n
t u ut dudt∫ ∫
∞
ω ψ = O t u dudt
n
n
n t
( ) ( ) ( )
/ /
1 2
0
1 2
∫ ∫
+
ω ψ
π
=
= O n
t
t
dt
n
( ) ( )
( )
/
1
0
1
ψ ω∫ . (34)
Tohda yz formul (8), (31) y (34) poluçaem (9).
Teorema 1 dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 2. Ne umalqq obwnosty, dostatoçno rassmot-
ret\ lyß\ sluçaj β = 1. V¥polnqq zamenu peremenn¥x v pervom yntehrale pra-
voj çasty formul¥ (15) y yspol\zuq ravenstvo
−∞
∞
∫ −
y t
t t
t
dt( )
sin
2 = 0 ∀ ∈y L
(sm., naprymer, [30, s. 1084]), poluçaem
ρn f( ; )0 = − −
−∞
∞
−
∫ ∫ψ
π
δ( )
( )
sin
/
/
n
t
t
t
dt
n
n
1
1
2 –
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
534 A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ
� 1
1 1
π
δ ψ
t
t
n
nu ut dudt
≤
∞
∫ ∫
( ) sin + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω =
= − + − − − −( )
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ ∫ψ
π
δ δ δ δ( ) ( )
( )
sin
( ) ( )
sin
/
n t
t
dt t
t t
t
dt t t
t
t
dt
n
2
0
1
2 –
� 1
1 1
π
δ ψ
t
t
n
nu ut dudt
≤
∞
∫ ∫
( ) sin + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω =
= −
−∞
∞
∫ψ
π
δ( ) ( )n t
t
dt – 1
1 1
π
δ ψ
t
t
n
nu ut dudt
≤
∞
∫ ∫
( ) sin +
+ O n t
t
t
dt n
n
( ) ( ) ( )
sin
( / )
/
1 2 1
0
1
2ψ ω ω∫ +
=
= − −
−∞
∞
≤
∞
∫ ∫ ∫ψ
π
δ
π
δ ψ( ) ( ) ( ) sin
n t
t
dt t
n
nu ut dudt
t
1
1 1
+
+ O n t
t
dt n
n
( ) ( ) ( ) ( / )
/
1 1
0
1
ψ ω ω∫ +
. (35)
Sohlasno formule (1.33) rabot¥ [2, s. 43], v¥polnqetsq ravenstvo
−∞
∞
∫ y t
t
dt
( )
= 1
2 2
−
∫
π
π
y t t dt( ) ctg ∀ ∈y L ,
yspol\zuq kotoroe, yz (11), (30), (34) y (35) naxodym
ρn f( ; )0 = −
−
∫ψ
π
δ
π
π
( )
( )
n
t t dt
2 2
ctg + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω . (36)
Dalee, poskol\ku
−
∫
π
π
δ( )t t dtctg
2
=
−
∫ ∫+
π
π
π
π
δ
/
/
/
/
( )
2
2
2
3 2
2
t t dtctg =
=
0
2
2
π
δ δ
/
( ) – ( )∫ −( )t t t dtctg –
0
2
2
π
δ π δ π
/
( ) – ( )∫ + −( )t t t dttg ,
to
−
∫
π
π
δ( )t t dtctg
2
≤
0
2
2
π
ω
/
∫ (2 ) ctgt t dt +
0
2
2
π
ω
/
∫ (2 ) tgt t dt = 2
0
2π
ω
/
∫ (2 )
sin
t
t
dt . (37)
Obæedynqq formul¥ (14), (36) y (37), ymeem
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); ≤
ψ
π
ω
π
( ) ( )
sin
/
n t
t
dt
0
2
2∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω . (38)
S pomow\g ravenstva (36) netrudno ubedyt\sq, çto dlq funkcyy ˜( )g t , sovpa-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 535
dagwej s rassmotrennoj ranee funkcyej g t∗( ) v sluçae, kohda ω( )t � v¥puk-
laq maΩoranta, y s funkcyej g t∗( ) v ostal\n¥x sluçaqx, spravedlyva for-
mula
ρn g( ˜; )0 = α ω ψ
π
ω
π
( )
( ) ( )
sin
/
n t
t
dt
0
2
2∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω , (39)
hde α ω( ) = 1, esly ω( )t � v¥pukl¥j modul\ neprer¥vnosty, y α ω( ) = 2 / 3 v
ostal\n¥x sluçaqx. Obæedynqq sootnoßenyq (38) y (39), poluçaem (12).
Teorema 2 dokazana.
Dokazatel\stvo teorem¥ 3. Ne umalqq obwnosty, dostatoçno rassmot-
ret\ lyß\ sluçaj β = 0. V¥polnqq zamenu peremenn¥x v tret\em yntehrale
pravoj çasty formul¥ (15) y uçyt¥vaq ravenstvo (26), naxodym
ρn f( ; )0 = 1 1
2π
ψ δ( ) ( )
cos
n t
t
t
dt
−∞
∞
∫ −
+ O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω =
=
ψ
π
π
π
β
ψ
β
ψ( )
( ) ( )
n
f t f dt
2
0
−
∫ −( ) + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω . (40)
Yz (40) sleduet ocenka
ρn f( ; )0 =
=
ψ
π
π
β
ψ
β
ψ
π
β
ψ
β
ψ( )
( ) ( ) ( ) ( )
n
f t f dt f t f dt
2
0 0
0 0
∫ ∫−( ) + − −( ) + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω ≤
≤ 2 2
0
2
π
ψ ω
π
( ) ( )
/
n t dt∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω . (41)
Na osnovanyy ravenstv (14) y (41) ymeem
E C H Zn Cβ
ψ
ω
ϕ( ); ≤ 2 2
0
2
π
ψ ω
π
( ) ( )
/
n t dt∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω . (42)
PoloΩym
ϕ0( )t =
2 2 0
0
0
2
0
π
ω τ τ ω π
ϕ π
π /
( ) ( ), ,
( ), ,
∫ − ≤ ≤
− − ≤ ≤
d t t
t t
ϕ π0 2( )t + = ϕ0( )t .
Ponqtno, çto ϕ ω0
0∈H , y, znaçyt (sm. p. 7.2 rabot¥ [2, s. 109, 110]), v klasse
C Hβ
ψ
ω , ψ ∈� 0 , suwestvuet funkcyq g0( )⋅ , (ψ, β)-proyzvodnaq kotoroj sov-
padaet na peryode s funkcyej ϕ0( )t . Dlq funkcyy g t0( ) yz (40) poluçaem
ρn g( ; )0 0 = 2 2
0
2
π
ψ ω
π
( ) ( )
/
n t dt∫ + O n n( ) ( ) ( / )1 1ψ ω .
Otsgda zaklgçaem, çto v (42) moΩno postavyt\ znak ravenstva.
Teorema 3 dokazana.
Polahaq v teoremax 2 y 3 ψ( )t = t r− , r > 0, y uçyt¥vaq, çto v dannom sluçae
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
536 A. S. SERDGK, E. G. OVSYJ
C Hβ
ψ
ω = W Hr
β ω , poluçaem takoe utverΩdenye.
Sledstvye 1. Pust\ r > 0, s = r , β ∈Z y, krome toho, pry β = 2l + 1,
l ∈Z , v¥polnqetsq uslovye (11). Tohda pry n → ∞ ymegt mesto asympto-
tyçeskye ravenstva
E W H Zr
n
s
Cβ ω( ); =
2
2 1 1 2
2
1 1 2 1
0
2
0
2
π
ω ω β
θ
π
ω ω β
π
ω
π
n
t dt O n n l
n
t
t
dt O n n l
r
r
r
r
/
/
( ) ( ) ( / ), ,
( )
sin
( ) ( / ), ,
∫
∫
+ =
+ = +
−
−
l ∈Z ,
(43)
hde velyçyn¥ θω y O( )1 ymegt tot Ωe sm¥sl, çto y v teoreme 2.
Poskol\ku pry ω( )t = t ymeet mesto ravenstvo W Hr
r
−
−
1
1
ω = W r , r = 2, 3, … ,
hde W r � klass 2π-peryodyçeskyx funkcyj, (r – 1)-e proyzvodn¥e kotor¥x
absolgtno neprer¥vn¥ y poçty vsgdu f r( ) ≤ 1, uçyt¥vaq formulu
0
2π /
sin∫ t
t
dt = 2G, hde G � konstanta Katalana (sm., naprymer, [31, s. 431]), yz
sledstvyq 1 poluçaem sledugwee utverΩdenye.
Sledstvye 2. Pust\ s = r – 1 y r = 2, 3, … . Tohda pry n → ∞ spraved-
lyv¥ asymptotyçeskye ravenstva
E W Zr
n
s
C
( ); =
4
1 2 4
2
1 3 5
G
n
O n r
n
O n r
s
r
s
r
π
π
+ = …
+ = …
−
−
( ) , , , ,
( ) , , , ,
(44)
hde G � konstanta Katalana, a O( )1 � velyçyna, ravnomerno ohranyçennaq
po n.
Netrudno zametyt\, çto, poskol\ku G =
k
k
k=
∞∑ −
+0 2
1
2 1
( )
( )
(sm., naprymer, [31,
s. 21]), konstant¥ v hlavn¥x çlenax formul¥ (44) sovpadagt pry j = 1 s tak
naz¥vaem¥my konstantamy Favara � Axyezera � Krejna K̃ j y K j ,
K j = 4 1
2 10
1
1π k
k j
jk=
∞ +
+∑ −
+
( )
( )
( )
, K̃ j = 4 1
2 10
1π k
kj
jk=
∞
+∑ −
+
( )
( )
, j = 0, 1, 2, …
(sm., naprymer, [11, s. 89, 329]).
Asymptotyçeskye ravenstva (44) b¥ly dokazan¥ B. Nadem [10, s. 47].
Lehko vydet\, çto v sylu (2) v teoremax 1 � 3 uslovye ϕ ψ( ) ( )t t = 1, t ≥ 1, mo-
Ωet b¥t\ zameneno uslovyem ϕ ψ( ) ( )t t = const, t ≥ 1.
1. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq peryodyçeskyx funkcyj y skorost\ sxodymosty yx rqdov
Fur\e // Yzv. AN SSSR. Ser. mat. � 1986. � 50, # 1. � S. 101 � 136.
2. Stepanec A. Y. Klassyfykacyq y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj. � Kyev: Nauk.
dumka, 1987. � 268 s.
3. Stepanec A. Y. Metod¥ teoryy pryblyΩenyq: V 2 ç. � Kyev: Yn-t matematyky NAN Ukray-
n¥, 2002. � 40. � Ç 1. � 427 s.
4. Havrylgk V. T. O xarakterystyke klassa nas¥wenyq C L0
ψ
∞ // Ukr. mat. Ωurn. � 1986. � 38,
# 4. � S. 421 � 427.
5. Havrylgk V. T. O klassax nas¥wenyq lynejn¥x metodov summyrovanyq rqdov Fur\e // Tam
Ωe. � 1988. � 40, # 5. � S. 569 � 576.
6. Nykol\skyj S. M. O lynejn¥x metodax summyrovanyq rqdov Fur\e // Yzv. AN SSSR. Ser.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
PRYBLYÛENYE KLASSOV Cβ
ψ Hω OBOBWENNÁMY SUMMAMY ZYHMUNDA 537
mat. � 1948. � 12, # 3. � S. 259 � 278.
7. Stepanec A. Y., Rukasov V. Y., Çajçenko S. O. PryblyΩenyq summamy Valle Pussena // Pr.
In-tu matematyky NAN Ukra]ny. � 2007. � 68. � 386 s.
8. Kolmogoroff A. N. Zur Grössenordnung des Restliedes Fouriershen Reihen differenzierbaren
Funktionen // Ann. Math. – 1935. – 36. – S. 521 – 526.
9. Nykol\skyj S. M. PryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj tryhonometryçeskymy polynoma-
my // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. � 1945. � 15. � S. 1 � 76.
10. Nagy B. Sur une classe générale de procédés de summation pour les séries de Fourier // Hung. Acta
Math. – 1948. – 3. – P. 14 – 52.
11. Tyman A. F. Teoryq pryblyΩenyq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. � M.: Fyzmat-
hyz, 1960. � 624 s.
12. Dzqd¥k V. K. Vvedenye v teoryg ravnomernoho pryblyΩenyq funkcyj polynomamy. � M.:
Nauka, 1977. � 512 s.
13. Steçkyn S. B. Ocenka ostatka rqda Fur\e dlq dyfferencyruem¥x funkcyj // Tr. Mat.
yn-ta AN SSSR. � 1980. � 145. � S. 126 � 151.
14. Kornejçuk N. P. ∏kstremal\n¥e zadaçy teoryy pryblyΩenyq. � M.: Nauka, 1976. � 320 s.
15. Efymov A. V. Lynejn¥e metod¥ pryblyΩenyq nekotor¥x klassov neprer¥vn¥x peryody-
çeskyx funkcyj // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. � 1961. � 62. � S. 3 � 47.
16. Telqkovskyj S. A. O normax tryhonometryçeskyx polynomov y pryblyΩenyy dyfferency-
ruem¥x funkcyj lynejn¥my srednymy yx rqdov Fur\e. I // Tam Ωe. � 1961. � 62. � S. 61 � 67.
17. Telqkovskyj S. A. PryblyΩenye dyfferencyruem¥x funkcyj çastn¥my summamy yx rq-
dov Fur\e // Mat. zametky. � 1968. � 4, # 3. � S. 291 � 300.
18. Motorn¥j V. P. PryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj tryhonometryçeskymy mnohoçle-
namy v srednem // Tam Ωe. � 1974. � 16, # 1. � S. 15 � 26.
19. Tryhub R. M. Mul\typlykator¥ rqdov Fur\e y pryblyΩenye funkcyj polynomamy v pro-
stranstvax L y C // Dokl. AN SSSR. � 1989. � 306, # 2. � S. 292 � 296.
20. Bußev D. N. PryblyΩenye klassov neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj summamy Zyh-
munda. � Kyev, 1984. � 62 s. � (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 84.56).
21. Koval\skaq Y. B. PryblyΩenye klassov peryodyçeskyx funkcyj analohamy summ Zyhmun-
da v metryke C // PryblyΩenye klassov peryodyçeskyx klassov odnoj y mnohyx peremen-
n¥x v metryke C y Lp . � Kyev, 1988. � S. 3 � 28. � (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky;
88.14).
22. Novykov O. A. PryblyΩenye klassov neprer¥vn¥x peryodyçeskyx funkcyj lynejn¥my
metodamy . � Kyev, 1991. � 38 s. � (Preprynt / AN USSR. Yn-t matematyky; 91.50).
23. Ostrovskaq O. V. PryblyΩenye klassov peryodyçeskyx funkcyj obobwenn¥my summamy
Zyhmunda v metryke C // Rqd¥ Fur\e: teoryq y pryloΩenyq. � Kyev: Yn-t matematyky NAN
Ukrayn¥, 1992. � S. 69 � 87.
24. Rukasov V. Y., Novykov O. A. PryblyΩenye funkcyj s nebol\ßoj hladkost\g yz klassov
C∞
ψ lynejn¥my metodamy // Teoriq nablyΩen\ ta harmoniçnyj analiz: Pr. Ukr. mat. konhr. �
2001. � Ky]v: In-t matematyky NAN Ukra]ny, 2002. � S. 184 � 193.
25. Ostrovs\ka O. V. NablyΩennq uzahal\nenymy sumamy Zyhmunda periodyçnyx funkcij kla-
siv C Hβ
ψ
ω // Rqdy Fur�[: teoriq i zastosuvannq: Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. � 1998.
� 20. � S. 181 � 191.
26. Íohunbekov Í. Í. O pryblyΩenyy peryodyçeskyx funkcyj çastn¥my summamy yx rqdov
Fur\e // Dokl. AN TadΩSSR. � 1989. � 32, # 10. � S. 661 � 664.
27. Stepanec A. Y. Approksymacyonn¥e svojstva metoda Zyhmunda // Ukr. mat. Ωurn. � 1999. �
51, # 4. � S. 493 � 518.
28. Stepanec A. Y. PryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj klassov Hel\dera summamy Rysa //
Mat. zametky. � 1977. � 21, # 3. � S. 341 � 354.
29. Stepanec A. Y. PryblyΩenye ψ -yntehralov peryodyçeskyx funkcyj summamy Fur\e (ne-
bol\ßaq hladkost\). I // Ukr. mat. Ωurn. � 1998. � 50, # 2. � S. 274 � 291.
30. Stepanec A. Y. Skorost\ sxodymosty rqdov Fur\e na klassax ψ -yntehralov // Tam Ωe. �
1997. � 49, # 8. � S. 1069 � 1113.
31. Hradßtejn Y. S., R¥Ωyk Y. M. Tablyc¥ yntehralov, summ, rqdov y proyzvedenyj. � M.:
Fyzmathyz, 1963. � 1100 s.
Poluçeno 14.07.08,
posle dorabotky � 21.01.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 4
|
| id | umjimathkievua-article-3037 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/48/b7b8513c2068384e58c5754e5a8cd648.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30372020-03-18T19:43:50Z Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums Приближение классов $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ обобщенными суммами Зигмунда Ovsii, E. Yu. Serdyuk, A. S. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. We obtain asymptotic equalities for the least upper bounds of approximations by Zygmund sums in the uniform metric on the classes of continuous 2π-periodic functions whose (ψ, β)-derivatives belong to the set $H_{ω}$ in the case where the sequences ψ that generate the classes tend to zero not faster than a power function. Знайдено асимптотичні рівності для точних верхніх меж наближень узагальненими сумами Зигмунда у рівномірній метриці на класах неперервних 2π-періодичних функцій, (ψ, β)-похідні яких належать множині $H_{ω}$, у випадку, коли послідовності ψ, що породжують класи, прямують до нуля не швидше степеневої функції. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3037 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 4 (2009); 524-537 Український математичний журнал; Том 61 № 4 (2009); 524-537 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3037/2823 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3037/2824 Copyright (c) 2009 Ovsii E. Yu.; Serdyuk A. S. |
| spellingShingle | Ovsii, E. Yu. Serdyuk, A. S. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. Овсий, E. Ю. Сердюк, А. С. Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums |
| title | Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums |
| title_alt | Приближение классов $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ обобщенными суммами Зигмунда |
| title_full | Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums |
| title_fullStr | Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums |
| title_full_unstemmed | Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums |
| title_short | Approximation of the classes $C_{β}^{ψ} H_{ω}$ by generalized Zygmund sums |
| title_sort | approximation of the classes $c_{β}^{ψ} h_{ω}$ by generalized zygmund sums |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3037 |
| work_keys_str_mv | AT ovsiieyu approximationoftheclassescbpshōbygeneralizedzygmundsums AT serdyukas approximationoftheclassescbpshōbygeneralizedzygmundsums AT ovsijeû approximationoftheclassescbpshōbygeneralizedzygmundsums AT serdûkas approximationoftheclassescbpshōbygeneralizedzygmundsums AT ovsijeû approximationoftheclassescbpshōbygeneralizedzygmundsums AT serdûkas approximationoftheclassescbpshōbygeneralizedzygmundsums AT ovsiieyu približenieklassovcbpshōobobŝennymisummamizigmunda AT serdyukas približenieklassovcbpshōobobŝennymisummamizigmunda AT ovsijeû približenieklassovcbpshōobobŝennymisummamizigmunda AT serdûkas približenieklassovcbpshōobobŝennymisummamizigmunda AT ovsijeû približenieklassovcbpshōobobŝennymisummamizigmunda AT serdûkas približenieklassovcbpshōobobŝennymisummamizigmunda |