Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case
We investigate the problem of the determination of conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations and the construction of these solutions. We consider the special critical case where the equation for fin...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3039 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509060948819968 |
|---|---|
| author | Chuiko, S. M. Чуйко, С. М. Чуйко, С. М. |
| author_facet | Chuiko, S. M. Чуйко, С. М. Чуйко, С. М. |
| author_sort | Chuiko, S. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:50Z |
| description | We investigate the problem of the determination of conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations and the construction of these solutions. We consider the special critical case where the equation for finding the generating solution of a weakly nonlinear Noetherian boundary-value problem turns into an identity. We improve the classification of critical cases and construct an iterative algorithm for finding solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems in the special critical case. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
С. М. Чуйко (Пед. ун-т, Славянск)
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА
В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ
We study the problem of finding existence conditions and the construction of solutions of weakly nonlinear
Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations. We consider the particular
critical case where the equation for the determination of a generating solution of a Noetherian weakly nonlinear
boundary-value problem becomes the identity. We give a refined classification of the critical cases and iterative
algorithm for the construction of solutions of Noetherian weakly nonlinear boundary-value problems in the
particular critical case.
Дослiджено задачу про знаходження умов iснування та побудову розв’язкiв нетерових слабконелiнiй-
них крайових задач для систем звичайних диференцiальних рiвнянь. Розглянуто особливий критичний
випадок, коли рiвняння для знаходження породжуючого розв’язку нетерової слабконелiнiйної крайової
задачi перетворюється на тотожнiсть. Уточнено класифiкацiю критичних випадкiв та побудовано iтера-
цiйний алгоритм для знаходження розв’язкiв нетерових слабконелiнiйних крайових задач в особливому
критичному випадку.
1. Постановка задачи. Исследуем задачу о нахождении условий существования и
построении решения z(t, ε) ∈ C1[a, b], C[0, ε0] системы дифференциальных урав-
нений [1 – 4]
dz
dt
= A(t)z + f(t) + εZ(z, t, ε), (1)
удовлетворяющих краевому условию
`z(·, ε) = α + εJ(z(·, ε), ε). (2)
Решение нетеровой (m 6= n) задачи (1), (2) ищем в малой окрестности решения
порождающей задачи
dz0
dt
= A(t)z0 + f(t), `z0(·) = α, α ∈ Rm. (3)
Здесь A(t) — (n×n)-мерная матрица и f(t) — n-мерный вектор-столбец, элементами
которых являются непрерывные на отрезке [a, b] действительные функции, `z(·) —
линейный ограниченный векторный функционал. Нелинейности
Z(z, t, ε) = col
(
Z(1)(z, t, ε), . . . , Z(n)(z, t, ε)
)
,
J(z(·, ε), ε) = col
(
J (1)(z(·, ε), ε), . . . , J (m)(z(·, ε), ε)
)
задачи (1), (2) предполагаем дважды непрерывно дифференцируемыми по неиз-
вестной z в малой окрестности порождающего решения и по малому параметру ε
в малой положительной окрестности нуля. Кроме того, считаем вектор-функцию
Z(z, t, ε) непрерывной по независимой переменной t на отрезке [a, b]. Исследован
критический случай (PQ∗ 6= 0), причем предполагается выполненным условие
PQ∗
d
{
α− `K
[
f(s)
]
(·)
}
= 0; (4)
в этом случае порождающая задача (3) имеет (r = n − n1)-параметрическое
семейство решений z0(t, cr) = Xr(t)cr + G
[
f(s);α
]
(t), cr ∈ Rr. Здесь X(t)
c© С. М. ЧУЙКО, 2009
548 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 549
— нормальная (X(0) = In) фундаментальная матрица однородной части систе-
мы (3), Q = `X(·) — (m × n)-матрица, rank Q = n1, Xr(t) = X(t)PQr
, PQr
— (n × r)-матрица, составленная из r линейно независимых столбцов (n × n)-
матрицы-ортопроектора PQRn → N(Q), PQ∗
r
— (r×n)-матрица, составленная из r
линейно независимых строк (n × n)-матрицы-ортопроектора PQ∗ : Rn → N(Q∗),
G
[
f(s);α
]
(t) = K
[
f(s)
]
(t) −X(t)Q+`K
[
f(s)
]
(·) — обобщенный оператор Грина
краевой задачи (3), K
[
f(s)
]
(t) = X(t)
∫ t
a
X−1(s)f(s)ds — оператор Грина зада-
чи Коши для системы (3), Q+ — псевдообратная матрица по Муру – Пенроузу [1].
Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи (3) имеет вид
PQ∗
d
{
J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)− `K
[
Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
= 0. (5)
Решение задачи (1), (2) z(t, ε) = z0(t, cr)+x(t, ε) ищем в окрестности решения по-
рождающей задачи (3), известного с точностью до вектора cr ∈ Rr, для нахождения
которого в равенстве (5) переходим к пределу при ε → 0:
F0(cr) = PQ∗
d
{
J(z0(·, cr), 0)− `K
[
Z(z0(s, cr), s, 0)
]
(·)
}
= 0. (6)
Традиционно это условие используют для нахождения параметра c∗r ∈ Rr, обуслов-
ливающего выбор порождающего решения, однако возможно это не всегда, так как
в ряде случаев [5] последнее равенство выполняется тождественно:
F0(cr) = PQ∗
d
{
J(z0(·, cr), 0)− `K
[
Z(z0(s, cr), s, 0)
]
(·)
}
≡ 0. (7)
Краевые задачи (1), (2) при условии (7) по классификации И. Г. Малкина [5, c. 139]
представляют особый критический случай, поскольку традиционная схема анализа
и построения решения [1, 4] для таких задач не применима в силу невозмож-
ности нахождения параметра c∗r , определяющего выбор порождающего решения,
непосредственно из уравнения (6). Для нахождения возмущения x(t, ε) ∈ C1[a, b],
C[0, ε0], x(t, 0) ≡ 0, порождающего решения z0(t, cr) получаем задачу
dx
dt
= A(t)x + εZ(z0 + x, t, ε), `x(·, ε) = εJ(z0(·, cr) + x(·, ε), ε). (8)
Решение задачи (8) представимо в виде x(t, ε) = Xr(t)cr(ε) + x(1)(t, ε), где
x(1)(t, ε) = εG
[
Z(z0(s, cr) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, cr) + x(·, ε), ε)
]
(t),
cr(ε) ∈ C[0, ε0].
В малой окрестности порождающего решения имеет место разложение
Z(z0(t, cr) + x(t, ε), t, ε) =
= Z(z0(t, cr), t, 0) + A1(t)x + εA3(t) + εR3(z0(t, cr) + x(t, ε), t, ε). (9)
Здесь
A1(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂z
∣∣∣∣ z=z0(t,cr)
ε=0
, A3(t) =
∂Z(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣ z=z0(t,cr)
ε=0
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
550 С. М. ЧУЙКО
Остаток εR3(z0(t, cr)+x(t, ε), t, ε) разложения функции Z(z, t, ε) имеет более высо-
кий порядок малости по неизвестной x в малой окрестности нуля и по малому
параметру ε в малой положительной окрестности нуля, чем два первых члена раз-
ложения (9), поэтому R3(z0(t, cr), t, 0) ≡ 0. Аналогично в окрестности точек x = 0
и ε = 0 имеет место разложение
J(z0(·, c) + x(·, ε), ε) =
= J(z0(·, cr), 0) + `1x(·, ε) + ε`3(z0(·, cr), 0) + εJ3(z0(·, cr) + x(·, ε), ε), (10)
представимое через производные (по Фреше)
`1x(·, ε) =
∂J(z(·, ε), ε)
∂z
∣∣∣∣∣ z=z0(t,cr)
ε=0
, `3(z0(·, cr), 0) =
∂J(z(·, ε), ε)
∂ε
∣∣∣∣∣ z=z0(t,cr)
ε=0
.
Остаток εJ3(z0(·, c∗r)+x(·, ε), ε) разложения функционала J(z, ε) имеет более высо-
кий порядок малости по x и ε в окрестности точек x = 0 и ε = 0, чем два первых
члена разложения (10), поэтому J3(z0(·, cr), 0) = 0. Поскольку в особом критиче-
ском случае равенство (7) удовлетворяется тождественно, ключевая в традицион-
ной схеме анализа и построения решений [1, 4] матрица
B0 =
∂F0(cr)
∂cr
= PQ∗
d
{
`1Xr(·)− `K
[
A1(s)Xr(s)
]
(·)
}
≡ 0.
Переходя в равенстве (5) к пределу при ε → 0, получаем необходимое условие
существования искомого решения
F1(cr) = PQ∗
d
{
`1G
[
Z(z0(s, cr), s, 0); J(z0(·, cr), 0)
]
(·) + `3(z0(·, cr), 0) −
− `K
[
A1(s)G
[
Z(z0(τ, cr), τ, 0); J(z0(·, cr), 0)
]
(s) + A3(s)
]
(·)
}
= 0. (11)
В особом критическом случае данное требование представляет уравнение относи-
тельно вектора cr ∈ Rr.
Таким образом, доказано следующее утверждение [10].
Лемма. Пусть выполнено условие (4) и краевая задача (1), (2) представля-
ет особый критический случай PQ∗ 6= 0, F0(cr) ≡ 0. Предположим также, что
задача (1), (2) имеет решение z(t, ε) ∈ C1[a, b], C[0, ε0], z(t, 0) = z0(t, c∗r). Тогда
вектор c∗r ∈ Rr удовлетворяет уравнению (11).
Корни уравнения (11) определяют порождающее решение, в малой окрестности
которого в особом критическом случае могут существовать искомые решения ис-
ходной задачи (1), (2). Если же уравнение (11) не имеет действительных корней, то
исходная задача (1), (2) в особом критическом случае не имеет искомых решений.
Предположим, что уравнение (11) не вырождается в тождество и имеет корень
c∗r ∈ Rr. Решение исходной задачи (1), (2) ищем в окрестности порождающего
решения
z0(t, c∗r) = Xr(t)c∗r + G
[
f(s);α
]
(t).
Уточним разложение (9), для чего выделим из остатка [9]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 551
εR3(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) =
=
1
2
[
εA4(t)x + A5(t, x(t, ε))x + ε2A6(t)
]
+ ε2R4(z0(t, c∗r) + x(t, ε), t, ε) (12)
слагаемые, содержащие (n× n)-матрицы [8]
A4(t) =
∂2Z(z, t, ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
, A5(t, x(t, ε)) =
1
2
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
x
]∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
и n-мерный вектор-столбец
A6(t) =
1
2
∂2Z(z, t, ε)
∂ε2
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
.
Произведение [8, c. 313]
{
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
· x
]}
· y =
y ∗ ·H1(z, t, ε) · x
y ∗ ·H2(z, t, ε) · x
. . . . . . . . . . . . . . . . .
y ∗ ·Hn(z, t, ε) · x
выражается через (n× n)-мерные симметрические матрицы Гессе
Hi(z, t, ε) =
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂(z(1))2
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂z(1)∂z(2)
. . .
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂z(1)∂z(n)
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂z(2)∂z(1)
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂(z(2))2
. . .
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂z(2)∂z(n)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂z(n)∂z(1)
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂z(n)∂z(2)
. . .
∂2Z(i)(z, t, ε)
∂(z(n))2
, i = 1, 2, . . . ,
и представляет собой отображение{
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
x
]}
y : Rn ×Rn → Rn,
обладающее свойствами симметрии [11]{
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
· x
]}
· y =
{
∂
∂z
[
∂Z(z, t, ε)
∂z
· y
]}
· x
и билинейности [8, c. 314]. Остаток ε2R4(z0(t, c∗r)+x(t, ε), t, ε) разложения вектор-
функции Z(z(t, ε), t, ε) выше второго порядка малости по x и ε, поэтому
R4(z0(t, c∗r), t, 0) ≡ 0,
∂R4(z, t, ε)
∂ε
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
≡ 0,
∂R4(z, t, ε)
∂x
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
≡ 0.
Аналогично из остатка [9]
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
552 С. М. ЧУЙКО
εJ3(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) =
=
1
2
[
ε`4x(·, ε) + `5(·, x(·, ε))x(·, ε) + ε2`6(z0(·, c∗r), 0)
]
+
+ ε2J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) (13)
выделяем слагаемые, содержащие производные (по Фреше)
`4x(·, ε) =
∂2J(z(·, ε), ε)
∂z∂ε
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
, `6x(·, ε) =
1
2
∂2J(z(·, ε), ε)
∂ε2
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
,
`5(·, x(·, ε))x(·, ε) =
1
2
∂
∂z
[∂J(z(·, ε), ε)
∂z
x(·, ε)
]∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
.
Остаток ε2J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) разложения функционала J(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
выше второго порядка малости по x и ε, поэтому J4(z0(·, c∗r), 0) = 0,
∂J4(z(·, ε), ε)
∂ε
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
≡ 0,
∂J4(z(·, ε), ε)
∂x
∣∣∣∣∣ z=z0(t,c
∗
r)
ε=0
≡ 0.
Равенства (9) – (13) приводят к необходимому и достаточному условию существо-
вания решения исходной задачи (1), (2)
PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x + εA3(s) + εR3(z, s, ε); `1x(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z, ε)
]
(·) +
+ `4x(·, ε) +
1
ε
`5(·, x(·, ε))x(·, ε) + ε`6(z0(·, ε), 0) + εJ4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) −
− `K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x + εA3(τ) + εR3(z(τ, ε), τ, ε); `1x(·, ε) +
+ ε`3(z0, 0) + εJ3(z(·, ε), ε)
]
(s)+
+ A4(s)x +
1
ε
A5(s, x(s, ε))x + εA6(s) + εR4(z(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
= 0.
Возвращаясь к тождеству B0 ≡ 0, заметим, что для любого c̄r ∈ Rr оно равно-
сильно следующему: B0c̄r ≡ 0. Дифференцируя последнее тождество, для любого
вектора c̄r ∈ Rr имеем равенство
∂
∂c̄r
PQ∗
d
{∂J(z0(·, c∗r), 0)
∂z
Xr(·)c̄r − `K
[∂Z(z0(s, c∗r), s, 0)
∂z
Xr(s)c̄r
]
(·)
}
≡ 0,
которое в свою очередь приводит к тождеству
PQ∗
d
{
`5
(
·, Xr(·)c̄r
)
Xr(·)− `K
[
A5
(
s,Xr(s)c̄r
)
Xr(s)
]
(·)
}
≡ 0. (14)
Таким образом, условие разрешимости задачи (1), (2) приводит к уравнению
Ξ0cr(ε) = −PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x(1)(s, ε) + εA3(s) + εR3(z, s, ε);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 553
`1x
(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z, ε)
]
(·) +
+ `4x
(1)(·, ε) + ε`6(z0(·, c∗r), 0) + εJ4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε) −
− `K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)(τ, ε) + εA3(τ) + εR3(z(τ, ε), τ, ε);
`1x
(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z(·, ε), ε)
]
(s)+
+ A4(s)x(1)(s, ε) + εA6(s) + εR4(z(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
, (15)
где
Ξ0 = PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)Xr(s); `1Xr(·)
]
(·) + `4Xr(·) +
+ 2`5
(
·, G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·)
)
Xr(·) −
− `K
[
A1(s)G
[
A1(τ)Xr(τ); `1Xr(·)
]
(s) +
+ A4(s)Xr(s) + 2A5
(
s,G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s)
)
Xr(s)
]
(·)
}
— (d× r)-матрица. Частное решение задачи (8) представимо в виде
x(1)(t, ε) = εG
{
Z(z0(s, c∗r), s, 0) + A1(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+ εA3(s) +
+ εA4(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+ A5
(
s,Xr(s)cr
)
Xr(s)cr +
+ 2ε ·A5
(
s,G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s)
)
·Xr(s)cr +
+ ε2A6(s) + ε2R4(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r), 0) +
+ `1
[
Xr(·)cr + x(1)(·, ε)
]
+ ε`3(z0(·, c∗r), 0)+
+ε`4
[
Xr(·)cr + x(1)(·, ε)
]
+ `5
(
·, Xr(·)cr
)
Xr(·)cr+
+2ε · `5
(
·, G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·)
)
·Xr(·)cr +
+ ε2`6(z0(·, c∗r), 0) + ε2J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
}
(t).
Неизвестная вектор-функция малого параметра cr = cr(ε) непрерывна по ε в малой
положительной окрестности нуля. Поскольку отклонение x(t, ε) от порождающе-
го решения z0(t, c∗r) при ε = 0 является нулевым вектором, необходимо должны
выполняться равенство cr(0) = 0 и тождество x(1)(t, 0) ≡ 0 на всем отрезке [a, b].
Обозначим
Ψ(ε) = −PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x(1)(s, ε) + εA3(s)+
+εR3(z, s, ε); `1x(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z, ε)
]
(·) +
+ `4x
(1)(·, ε) + ε`6(z0(·, c∗r), 0) + εJ4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
554 С. М. ЧУЙКО
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)(τ, ε) + εA3(τ)+
+εR3(z(τ, ε), τ, ε); `1x(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x(1)(s, ε) + εA6(s) + εR4(z(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
.
Вектор-функция Ψ(ε) представима в виде суммы Ψ(ε) = Ψ1(ε) + εΨ2(ε), где
Ψ1(ε) = −ε · PQ∗
d
{
J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)− `K
[
R4(z(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
,
ε ·Ψ2(ε) = −ε · PQ∗
d
{
`1G
[1
ε
A1(s)x(1)(s, ε) + A3(s) + R3(z, s, ε);
1
ε
`1x
(1)(·, ε) + `3(z0, 0) + J3(z, ε)
]
(·) +
1
ε
`4x
(1)(·, ε) + `6(z0(·, c∗r), 0) −
− `K
[
A1(s)G
[1
ε
A1(τ)x(1)(τ, ε) + A3(τ) + R3(z(τ, ε), τ, ε);
1
ε
`1x
(1)(·, ε) + `3(z0, 0) + J3(z(·, ε), ε)
]
(s) +
+
1
ε
A4(s)x(1)(s, ε) + A6(s)
]
(·)
}
.
Остатки R4(z(t, ε), t, ε) и J4(z(·, ε), ε) разложения нелинейностей задачи (1), (2)
при ε → 0 равны нулю, поэтому Ψ1(0) = 0. Найдем предел
F2(c∗r) = lim
ε→0
Ψ2(ε) =
= −PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s) + A3(s);
`1G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·) + `3(z0, 0)
]
(·)+
+`6(z0(·, c∗r), 0) + `4G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)G
[
Z(z0(ν, c∗r), ν, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(τ)+
+A3(τ); `1G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·) + `3(z0, 0)
]
(s)+
+A4(s)G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s) + A6(s)
]
(·)
}
.
В силу ограниченности вектора-столбца F2(c∗r) вектор-функция Ψ(ε) при ε = 0
равна нулю. Уравнение (15) разрешимо при условии PΞ∗
0
= 0, где PΞ∗
0
— ортопро-
ектор матрицы Ξ∗0 : PΞ∗
0
: Rd → N(Ξ∗0). Пусть rank PΞ0 = ρ2, PΞ0 : Rr → N(Ξ0)
— (r × r)-матрица-ортопроектор. Обозначим через Pρ2 (r × ρ2)-матрицу, состав-
ленную из ρ2 линейно независимых столбцов матрицы-ортопроектора PΞ0 . При
условии PΞ∗
0
= 0 уравнение (15) имеет по меньшей мере одно решение
cr(ε) = −Ξ+
0 PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x(1)(s, ε)+
+εA3(s) + εR3(z, s, ε); `1x(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z, ε)
]
(·)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 555
+`4x
(1)(·, ε) + ε`6(z0(·, c∗r), 0) + J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)(τ, ε) + εA3(τ) + εR3(z(τ, ε), τ, ε); `1x(1)(·, ε)+
+ε`3(z0, 0) + εJ3(z(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x(1)(s, ε) + εA6(s) + εR4(z(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
+ Pρ2cρ2(ε),
зависящее от вектора cρ2(ε) ∈ C1[0, ε0], cρ2(0) = 0. Таким образом, при условии
PΞ∗
0
= 0 решение краевой задачи (8) определяет операторная система
x(t, ε) = Xr(t)cr + x(1)(t, ε),
x(1)(t, ε) = εG
{
Z(z0(s, c∗r), s, 0) + A1(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+ εA3(s)+
+εA4(s)
[
Xr(s)cr + x(1)(s, ε)
]
+ A5
(
s,Xr(s)cr
)
Xr(s)cr + ε2A6(s)+
+2εA5
(
s,G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s)
)
Xr(s)cr+
+ε2R4(z0(s, c∗r) + x(s, ε), s, ε); J(z0(·, c∗r), 0) + `1
[
Xr(·)cr + x(1)(·, ε)
]
+
+ε`3(z0(·, c∗r), 0) + ε`4
[
Xr(·)cr + x(1)(·, ε)
]
+ `5
(
·, Xr(·)cr
)
Xr(·)cr+
+2ε · `5
(
·, G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·)
)
·Xr(·)cr+
+ε2`6(z0(·, c∗r), 0) + ε2J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)
}
(t), (16)
cr(ε) = −Ξ+
0 PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x(1)(s, ε) + εA3(s) + εR3(z, s, ε);
`1x
(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z, ε)
]
(·)+
+`4x
(1)(·, ε) + ε`6(z0(·, c∗r), 0) + J4(z0(·, c∗r) + x(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)(τ, ε) + εA3(τ) + εR3(z(τ, ε), τ, ε);
`1x
(1)(·, ε) + ε`3(z0, 0) + εJ3(z(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x(1)(s, ε) + εA6(s) + εR4(z(s, ε), s, ε)
]
(·)
}
+ Pρ2cρ2(ε).
Операторная система (16) принадлежит классу систем, для решения которых при-
меним метод простых итераций [1, 2, 4]. Первое приближение к решению систе-
мы (16) ищем, как решение краевой задачи первого приближения к задаче (8)
dx1
dt
= A(t)x1 + εZ(z0(t, c∗r), t, 0), `x1(·, ε) = εJ(z0(·, c∗r), 0).
Решение задачи первого приближения существует в силу условия (7) и представимо
в виде x1(t, ε) = εG
[
Z(z0(s, c∗r), s, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(t). Второе приближение к
решению операторной системы (16) представляет решение краевой задачи второго
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
556 С. М. ЧУЙКО
приближения к задаче (8)
dx2
dt
= A(t)x2 + ε
{
Z(z0(t, c∗r), t, 0) + A1(t)x1 + εA3(t)
}
,
`x2(·, ε) = ε
{
J(z0(·, c∗r), 0) + `1x1(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0)
}
.
Решение задачи второго приближения представимо в виде
x2(t, ε) = Xr(t)cr1 + x
(1)
2 (t, ε), x
(1)
2 (t, ε) = x1(t, ε) + x
(2)
2 (t, ε),
где
x
(2)
2 (t, ε) = εG
[
A1(s)x1(s, ε) + εA3(s); `1x1(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0)
]
(t).
Выполнение необходимого и достаточного условия разрешимости задачи второго
приближения с учетом тождества (7) обеспечивается выбором вектора c∗r , удовлет-
воряющего уравнению (11). Таким образом, условие разрешимости задачи второго
приближения равносильно равенству F1(c∗r) = 0.
Третье приближение к решению операторной системы (16) представляет реше-
ние краевой задачи третьего приближения к задаче (8)
dx3
dt
= A(t)x3 + ε
{
Z(z0(t, c∗r), t, 0) + A1(t)
[
Xr(t)cr1 + x
(1)
2 (t, ε)
]
+
+εA3(t) + εA4(t)x1(t, ε) + ε2A6(t)
}
,
`x3(·, ε) = ε
{
J(z0(·, c∗r), 0) + `1
[
Xr(·)cr1 + x
(1)
2 (·, ε)
]
+
+ε`3(z0(·, c∗r), 0) + ε`4x1(·, ε) + ε2`6(z0(·, c∗r), 0)
}
.
Решение задачи третьего приближения представимо в виде
x3(t, ε) = Xr(t)cr2 + x
(1)
3 (t, ε), x(1)
3 (t, ε) = x1(t, ε) + x
(2)
3 (t, ε),
где
x
(2)
3 (t, ε) = εG
{
A1(s)
[
Xr(s)cr1 + x
(1)
2 (s, ε)
]
+ εA3(s) + εA4(s)x1(s, ε) + ε2A6(s);
`1
[
Xr(·)cr1 + x
(1)
2 (·, ε)
]
+ ε`3(z0(·, c∗r), 0) + ε`4x1(·, ε) + ε2`6(z0(·, c∗r), 0)
}
(t).
Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи третьего приближения
с учетом равенства (7), уравнения (11) и равенства B0 = 0 принимает вид
PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x1(s, ε) + εA3(s); `1x1(·, ε)+
+ε`3(z0(·, c∗r), 0)
]
(·) + J3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x1(τ, ε) + εA3(τ); `1x1(·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0)
]
(s)+
+R3(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε)
]
(·)
}
= 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 557
Здесь введены обозначения
εR3(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε) = εA4(s)x1(s, ε) + ε2A6(s),
εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε) = ε`4x1(·, ε) + ε2`6(z0(·, c∗r), 0).
Условие разрешимости задачи третьего приближения равносильно требованию
F2(c∗r) = 0. Предположим, что это требование выполнено. Четвертое приближе-
ние к решению операторной системы (16) представляет решение краевой задачи
четвертого приближения к задаче (8)
dx4
dt
= A(t)x4 + ε
{
Z(z0(t, c∗r), t, 0) + A1(t)
[
Xr(t)cr2 + x
(1)
3 (t, ε)
]
+
+εA3(t) + εA4(t)
[
Xr(t)cr1 + x
(1)
2 (t, ε)
]
+
+A5
(
t, Xr(t)cr1 + x
(1)
2 (t, ε)
)[
Xr(t)cr1 + x
(1)
2 (t, ε)
]
+
+ε2A6(t) + ε2R4(z0(t, c∗r) + x1(t, ε), ε)
}
,
`x4(·, ε) = ε
{
J(z0(·, c∗r), 0) + `1
[
Xr(·)cr2 + x
(1)
3 (·, ε)
]
+ ε`3(z0(·, c∗r), 0)+
+`5
(
·, Xr(·)cr1 + x
(1)
2 (·, ε)
)[
Xr(·)cr1 + x
(1)
2 (·, ε)
]
+
+ ε`4
[
Xr(·)cr1 + x
(1)
2 (·, ε)
]
+ ε2`6(z0(·, c∗r), 0) + ε2J4(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
}
.
Решение задачи четвертого приближения представимо в виде
x4(t, ε) = Xr(t)cr3 + x
(1)
4 (t, ε), x
(1)
4 (t, ε) = x1(t, ε) + x
(2)
4 (t, ε),
где
x
(2)
4 (t, ε) = εG
{
A1(s)
[
Xr(s)cr2 + x
(1)
3 (s, ε)
]
+
+εA3(s) + εA4(s)
[
Xr(s)cr1 + x
(1)
2 (s, ε)
]
+ A5
(
s,Xr(s)cr1
)
Xr(s)cr1+
+2ε ·A5
(
s,G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s)
)
·Xr(s)cr1 + ε2A6(s)+
+ε2R4(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε); `1
[
Xr(·)cr2 + x
(1)
3 (·, ε)
]
+
+ε`3(z0(·, c∗r), 0) + `5
(
·, Xr(·)cr1
)
Xr(·)cr1+
+2ε · `5
(
·, G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·)
)
·Xr(·)cr1+
+ε`4x1(·, ε) + ε2`6(z0(·, c∗r), 0) + ε2J4(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
}
(t).
Необходимое и достаточное условие разрешимости задачи четвертого приближения
с учетом равенства (7), уравнения (11), равенства B0 = 0 и тождества (14) приводит
к уравнению
Ξ0cr1(ε) = −PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x
(1)
2 (s, ε) + εA3(s) + εR3(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε);
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
558 С. М. ЧУЙКО
`1x
(1)
2 (·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0) + εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
]
(·)+
+`4x
(1)
2 (·, ε) + ε`6(z0(·, c∗r), 0) + εJ4(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)
2 (τ, ε) + εA3(τ) + εR3(z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε), ε);
`1x
(1)
2 (·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0) + εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x
(1)
2 (s, ε) + εA6(s) + εR4(z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε), ε)
]
(·)
}
.
Последнее уравнение при условии PΞ∗
0
= 0 имеет по меньшей мере одно решение
cr1(ε) = −Ξ+
0 PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x
(1)
2 (s, ε) + εA3(s) + εR3(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε);
`1x
(1)
2 (·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0) + εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
]
(·)+
+`4x
(1)
2 (·, ε) + ε`6(z0(·, c∗r), 0) + εJ4(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(1)
2 (τ, ε) + εA3(τ) + εR3(z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε), ε);
`1x
(1)
2 (·, ε) + ε`3(z0(·, c∗r), 0) + εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x
(1)
2 (s, ε) + εA6(s) + εR4(z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρ2cρ2(ε).
При условии F2(c∗r) = 0 это решение значительно упрощается:
cr1(ε) = −Ξ+
0 PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x
(2)
2 (s, ε) + εR3(z0(s, c∗r) + x1(s, ε), ε);
`1x
(2)
2 (·, ε) + εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
]
(·)+
+`4x
(2)
2 (·, ε) + εJ4(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(2)
2 (τ, ε) + εR3(z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε), ε);
`1x
(2)
2 (·, ε) + εJ3(z0(·, c∗r) + x1(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x
(2)
2 (s, ε) + εR4(z0(τ, c∗r) + x1(τ, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρ2cρ2(ε).
Таким образом, на четвертом шаге найдено второе приближение x2(t, ε) = Xr(t)cr1(ε)+
+ x
(1)
2 (t, ε). Продолжая рассуждения, приходим к следующему утверждению [10].
Теорема. Пусть выполнено условие (4) разрешимости порождающей зада-
чи (3) и краевая задача (1), (2) представляет особый критический случай PQ∗ 6=
6= 0, F0(cr) ≡ 0. Тогда для каждого корня c∗r ∈ Rr уравнения (11) при условиях
PΞ∗
0
= 0, F2(c∗r) = 0 задача (1), (2) имеет по меньшей мере одно решение z(t, ε) ∈
∈ C1[a, b], C[0, ε0], z(t, 0) = z0(t, c∗r). Решение z(t, ε) = z0(t, c∗r) + x(t, ε) краевой
задачи (1), (2) может быть найдено из операторной системы (16) с помощью
итерационной процедуры
xk+3(t, ε) = Xr(t)crk+2 + x
(1)
k+3(t, ε), x
(1)
k+3(t, ε) = x1(t, ε) + x
(2)
k+3(t, ε),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 559
x
(2)
k+3(t, ε) = εG
{
A1(s)
[
Xr(s)crk+1 + x
(1)
k+2(s, ε)
]
+
+εA3(s) + εA4(s)
[
Xr(s)crk
+ x
(1)
k+1(s, ε)
]
+ A5
(
s,Xr(s)crk
)
Xr(s)crk
+
+2ε ·A5
(
s,G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(s)
)
·Xr(s)crk
+
+ε2A6(s) + ε2R4(z0(s, c∗r) + xk(s, ε), ε);
`1
[
Xr(·)crk+1 + x
(1)
k+2(·, ε)
]
+ ε`3(z0(·, c∗r), 0)+
+ε`4
[
Xr(·)crk
+ x
(1)
k+1(·, ε)
]
+ `5
(
·, Xr(·)crk
)
Xr(·)crk
+
+2ε · `5
(
·, G
[
Z(z0(τ, c∗r), τ, 0); J(z0(·, c∗r), 0)
]
(·)
)
·Xr(·)crk
+
+ε2`6(z0(·, c∗r), 0) + ε2J4(z0(·, c∗r) + xk(·, ε), ε)
}
(t), (17)
crk+2(ε) = −Ξ+
0 PQ∗
d
{
`1G
[
A1(s)x
(2)
k+3(s, ε) + εR3(z0(s, c∗r) + xk+2(s, ε), ε);
`1x
(2)
k+3(·, ε) + εJ3(z0(·, c∗r) + xk+2(·, ε), ε)
]
(·)+
+`4x
(2)
k+3(·, ε) + εJ4(z0(·, c∗r) + xk+2(·, ε), ε)−
−`K
[
A1(s)G
[
A1(τ)x(2)
k+3(τ, ε)εR3(z0(τ, c∗r) + xk+2(τ, ε), ε);
`1x
(2)
k+3(·, ε) + εJ3(z0(·, c∗r) + xk+2(·, ε), ε)
]
(s)+
+A4(s)x
(2)
k+3(s, ε) + εR4(z0(s, c∗r) + xk+2(s, ε), ε)
]
(·)
}
+ Pρ2cρ2(ε),
zk+3(t, ε) = z0(t, c∗r) + xk+3(t, ε), k = 1, 2, . . . .
Длина отрезка [0, ε∗], на котором сохраняется сходимость итерационной про-
цедуры (17), может быть оценена как посредством мажорирующих уравнений Ля-
пунова [2], так и непосредственно из условия сжимаемости оператора типа [12],
определяющего итерационную процедуру (17). Ключевая в особом критическом
случае матрица Ξ0 получена в явном виде и в случае периодической задачи совпа-
дает с производной уравнения для порождающих амплитуд (11), использованной
И. Г. Малкиным [5] для доказательства аналогичной теоремы. В случае задач фред-
гольмова типа m = n, следовательно, d = r и требование PΞ∗
0
= 0 становится
равносильным условию невырожденности матрицы Ξ0. В свою очередь, невырож-
денность матрицы Ξ0 эквивалентна простоте [6] корня c∗r уравнения (11).
Если в особом критическом случае выполнены все требования доказанной те-
оремы, за исключением условия F2(c∗r) = 0, то краевая задача (1), (2) имеет искомое
решение, но это решение не может быть найдено с помощью итерационной про-
цедуры (17). В этом случае для нахождения решения операторной системы (16)
можно воспользоваться методом простых итераций либо разложением искомого
решения в ряд.
Пример. В качестве иллюстрации схемы анализа краевой задачи (1), (2) в
особом критическом случае рассмотрим известное уравнение [5, 7], описывающее
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
560 С. М. ЧУЙКО
движение маятника, точка подвеса которого совершает вертикальные гармониче-
ские колебания высокой частоты. В частном случае это уравнение имеет вид
y′′ = −ε2 sin y − 2ε sin y cos t.
Согласно принятым соглашениям, приходим к задаче о нахождении 2π-периодичес-
кого решения
z(t, ε) = col
(
za(t, ε), zb(t, ε)
)
,
zj(·, ε) ∈ C1[0, T ], zj(t, ·) ∈ C[0, ε0], j = 1, 2,
дифференциального уравнения
dz
dt
= Az + εZ(z, t, ε), (18)
где
A =
(
0 1
0 0
)
, Z(z, t, ε) =
(
0
−ε sin za − 2 sin za cos t
)
.
Нормальная фундаментальная матрица линейной однородной части системы (18)
x(t) =
(
1 t
0 1
)
определяет матрицу Q, псевдообратную матрицу и ее ортопроекторы
Q = 2π
(
0 1
0 0
)
, Q+ =
1
2π
(
0 0
1 0
)
,
PQ =
(
1 0
0 0
)
, PQ∗ =
(
0 0
0 1
)
.
Поскольку PQ∗ 6= 0, имеет место критический случай. Традиционное необходи-
мое условие существования 2π-периодического решения системы (18) выполня-
ется тождественно F0(cr) ≡ 0 при любом действительном cr, следовательно, 2π-
периодическая задача для системы (18) представляет особый критический случай.
Вычисляя производные нелинейной вектор-функции Z(z(t, ε), t, ε)
A1(t, cr) = −2
(
0 0
1 0
)
cos cr cos t, A3(t, cr) = −
(
0
1
)
sin cr,
приходим к уравнению для порождающих амплитуд 2π-периодической задачи для
системы (18): F1(cr) = −2π(2 cos cr + 1) sin cr = 0. Серия корней c∗r = πk,
k = 0,±1,±2, . . . , уравнения для порождающих амплитуд соответствует поло-
жениям равновесия системы (18), определяющих верхнее и нижнее положения
равновесия маятника. Серия корней, определяемых равенством cos c∗r = −1
2
, k =
= 0,±1,±2, . . . , определяет амплитуды порождающих решений z0(s, c∗r), в кото-
рые могут обращаться искомые 2π-периодические решения системы (18). Поло-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
СЛАБОНЕЛИНЕЙНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ОСОБОМ КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ 561
жим для определенности c∗r =
2π
3
. Таким образом, найдено порождающее реше-
ние z0(t, c∗r) =
2π
3
col(1, 0). Матрица Ξ0 = 3π, соответствующая этому корню,
невырождена, что свидетельствует о простоте корней уравнения F1(cr) = 0 для
порождающих амплитуд 2π-периодической задачи для системы (18) и гарантиру-
ет разрешимость этой задачи. Таким образом, разрешимость периодической задачи
для системы (18) доказана. Условие F2(c∗r) = 0, гарантирующее применимость ите-
рационной процедуры (17) для приближенного решения 2π-периодической задачи,
для системы (18) выполнено. Согласно итерационной процедуре (17), первое при-
ближение к отклонению x(t, ε) от порождающего решения периодической задачи
для системы (18) имеет вид
x1(t, ε) = 2ε sin c∗r
(
cos t− 1
− sin t
)
,
а второе — x2(t, ε) = Xr(t)cr1(ε) + x
(1)
2 (t, ε), где
x
(1)
2 (t, ε) = ε
√
3
(
cos t− 1
− sin t
)
+ ε2
√
3
cos t− 7
8
− 1
8
cos 2t
− sin t +
1
4
sin 2t
.
Нахождение вектора cr1(ε) невозможно в элементарных функциях, поэтому исполь-
зуем разложение нелинейности дифференциального уравнения (18) в ряд Тейлора
в окрестности точек x = 0 и ε = 0, пренебрегая членами, содержащими ε4, ε5, . . . :
Z(z1(t, ε), t, ε) =
=
(
0
1
)(√
3
2
− ε ·
√
3
2
(cos t− 1)− ε2 · 3
√
3
4
(cos2 t− 2 cos t + 1) + . . .
)
,
при этом вектор
cr1(ε) ≈
127
48
·
√
3ε2.
Итак, на втором шаге итерационной процедуры, пренебрегая членами, содержащи-
ми ε3, ε4, . . . , находим второе приближение
z2(t, ε) ≈
2π
3
·
(
1
0
)
+
127
48
·
√
3ε2 · 10 + x
(1)
2 (t, ε)
к 2π-периодическому решению системы (18).
1. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary-value problems.
– Utrecht; Boston: VSP, 2004. – XIV + 317 p.
2. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы
краевые задачи. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 318 с.
3. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования решений краевых
задач. – Киев: Наук. думка, 1986. – 224 с.
4. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.: Наука,
1979. – 432 с.
5. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. – 491 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
562 С. М. ЧУЙКО
6. Бойчук А. А., Чуйко С. М., Чуйко А. С. Неавтономные периодические краевые задачи в особом
критическом случае // Нелiнiйнi коливання. – 2004. – 7, № 1. – С. 53 – 66.
7. Капица П. Л. Динамическая устойчивость маятника при колеблющейся точке подвеса // Журн.
эксперим. и теор. физики. – 1951.– 21, № 5. – С. 499 – 597.
8. Постников М. М. Введение в теорию Морса. – М.: Наука, 1971. – 567 с.
9. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 496 с.
10. Чуйко С. М. Нетерова краевая задача в особом критическом случае // Доп. НАН України. – 2007.
– № 2. – С. 26 – 30.
11. Деннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных
уравнений. – М.: Мир, 1988. – 440 с.
12. Чуйко А. С. Область сходимости итерационной процедуры для слабонелинейной краевой задачи
// Нелiнiйнi коливання. – 2005. – 8, № 2. – С. 278 – 288.
Получено 23.03.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-3039 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:06Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/79/2b8c0123055150a85fc8b127b2ae5979.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30392020-03-18T19:43:50Z Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case Слабонелинейная краевая задача в особом критическом случае Chuiko, S. M. Чуйко, С. М. Чуйко, С. М. We investigate the problem of the determination of conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems for systems of ordinary differential equations and the construction of these solutions. We consider the special critical case where the equation for finding the generating solution of a weakly nonlinear Noetherian boundary-value problem turns into an identity. We improve the classification of critical cases and construct an iterative algorithm for finding solutions of weakly nonlinear Noetherian boundary-value problems in the special critical case. Досліджено задачу про знаходження умов існування та побудову розв'язків нетерових слабконеліній-них крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. Розглянуто особливий критичний випадок, коли рівняння для знаходження породжуючого розв'язку нетерової слабконелінійної крайової задачі перетворюється на тотожність. Уточнено класифікацію критичних випадків та побудовано ітера-ційний алгоритм для знаходження розв'язків нетерових слабконелінійних крайових задач в особливому критичному випадку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3039 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 4 (2009); 548-562 Український математичний журнал; Том 61 № 4 (2009); 548-562 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3039/2827 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3039/2828 Copyright (c) 2009 Chuiko S. M. |
| spellingShingle | Chuiko, S. M. Чуйко, С. М. Чуйко, С. М. Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| title | Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| title_alt | Слабонелинейная краевая задача в особом критическом случае |
| title_full | Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| title_fullStr | Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| title_full_unstemmed | Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| title_short | Weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| title_sort | weakly nonlinear boundary-value problem in a special critical case |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3039 |
| work_keys_str_mv | AT chuikosm weaklynonlinearboundaryvalueprobleminaspecialcriticalcase AT čujkosm weaklynonlinearboundaryvalueprobleminaspecialcriticalcase AT čujkosm weaklynonlinearboundaryvalueprobleminaspecialcriticalcase AT chuikosm slabonelinejnaâkraevaâzadačavosobomkritičeskomslučae AT čujkosm slabonelinejnaâkraevaâzadačavosobomkritičeskomslučae AT čujkosm slabonelinejnaâkraevaâzadačavosobomkritičeskomslučae |