Simple derivations of higher degree in two variables
We present a new class of simple derivations of arbitrary degree in the ring of polynomials in two variables.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3041 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509063507345408 |
|---|---|
| author | Havran, V. S. Гавран, В. С. |
| author_facet | Havran, V. S. Гавран, В. С. |
| author_sort | Havran, V. S. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:43:50Z |
| description | We present a new class of simple derivations of arbitrary degree in the ring of polynomials in two variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.628 + 517.952
В. С. Гавран (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ПРОСТI ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ВИЩОГО СТЕПЕНЯ
ВIД ДВОХ ЗМIННИХ
A new class of simple differentiations of arbitrary degree of a ring of two-variable polynomials is presented.
Указан новый класс простых дифференцирований произвольной степени кольца многочленов от двух
переменных.
Нехай k — поле характеристики 0, R = k[x, y] — кiльце многочленiв над k. Дифе-
ренцiюванням δ кiльця R називають таке k-лiнiйне вiдображення δ : R → R, що для
всiх f, g ∈ R виконується рiвнiсть δ(fg) = δ(f)g +fδ(g). Кожне диференцiювання
δ кiльця R можна однозначно подати у виглядi
δ = f1
∂
∂x
+ f2
∂
∂y
для деяких f1, f2 ∈ R. Iдеал I кiльця R називають δ-iнварiантним, якщо δ(I) ⊆
⊆ I. Диференцiювання δ кiльця R називають простим, якщо R не має iнших
δ-iнварiантних iдеалiв, крiм 0 i R. Такi диференцiювання вiдiграють важливу роль
у багатьох задачах. Наприклад, кiльце скручених многочленiв R[t, δ] є простим
тодi й лише тодi, коли δ є простим диференцiюванням [1] (теорема 8.4). Так само
алгебра Лi, визначена на просторi R правилом [a, b] = aδ(b)−δ(a)b, є простою тодi
й лише тодi, коли δ є простим [2]. Нагадаємо також, що коли диференцiювання
δ =
∂
∂x
+ f
∂
∂y
є простим, то iснують многочлени G такi, що фактор-модуль
A2/A2(δ + G) є простим негологомним A2-модулем, де A2 — алгебра Вейля або
алгебра диференцiальних операторiв на площинi [3] (теорема 2.1). Нарештi, якщо
f1 та f2 не мають спiльних нулiв, простота диференцiювання δ рiвносильна тому,
що воно не має многочленiв Дарбу, тобто таких многочленiв F /∈ k, що δF = ΛF
для деякого многочлена Λ, який називають кофактором [4] (твердження 2.1).
Задача пошуку необхiдних i достатнiх умов для f1, f2, за яких δ буде простим,
є досить складною, i поки що її розв’язано лише в деяких окремих випадках. Так,
у роботах [2, 4, 5] розглянуто диференцiювання
∂
∂x
+ (a(x)y + b(x))
∂
∂y
, a(x), b(x) ∈ k[x], (1)
∂
∂x
+ (y2 − p(x))
∂
∂y
, p(x) ∈ k[x], (2)
∂
∂x
+ (ym + ax)
∂
∂y
, m > 2, 0 6= a ∈ k. (3)
Для диференцiювання (1) було встановлено необхiднi та достатнi умови його прос-
тоти, для (2) вказано лише деякi достатнi умови. У роботi [5] доведено, що дифе-
ренцiювання (3) є простим. Ми доведемо наступну теорему, яка значно узагальнює
останнiй результат.
Теорема. Нехай k — поле характеристики 0, m, n ∈ N, m > 2, a ∈ k \ {0}.
Тодi диференцiювання
c© В. С. ГАВРАН, 2009
568 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
ПРОСТI ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ВИЩОГО СТЕПЕНЯ ВIД ДВОХ ЗМIННИХ 569
D =
∂
∂x
+ (ym + axn)
∂
∂y
кiльця k[x, y] буде простим.
Згiдно з твердженням 10.1 [4] можемо вважати поле k алгебраїчно замкненим.
Тодi в полi k iснують такi елементи β i γ, що βmn+m−n = a1−m, γ = aβn+1.
Розглянемо k-автоморфiзм τ : k[x, y] → k[x, y] такий, що τ(x) = βx, τ(y) = γy.
Тодi d = β−1τDτ−1, де
d =
∂
∂x
+ (ym + xn)
∂
∂y
.
Очевидно, d i D є простими одночасно. Отже, як зазначено вище, достатньо довести
такий результат.
Твердження. Диференцiювання d не має многочленiв Дарбу.
Доведення. Припустимо, що диференцiювання d має многочлен Дарбу F ∈
∈ k[x, y] \ k i Λ ∈ k[x, y] — вiдповiдний кофактор, тобто виконується рiвнiсть
d(F ) = ΛF. (4)
Нехай degy F = s. З рiвностi (4) маємо s > 0. Нехай старший член многочлена F
вiдносно y дорiвнює vys, v ∈ k[x], v 6= 0, тобто F = vys + F1, де degy F1 < s, а у
многочлена Λ вiн дорiвнює uyκ, u ∈ k[x], u 6= 0. Прирiвнюючи у лiвiй та правiй
частинах рiвностi (4) старшi члени вiдносно y, отримуємо svys+m−1 = uvyκ+s,
звiдки u = s, κ = m− 1. Таким чином, degy Λ = m− 1. З рiвностi (4) також маємо
очевидну нерiвнiсть degx Λ 6 n.
Нехай σ : k[x, y] → k[x, y] — такий k-автоморфiзм, що
σ(x) = εx, σ(y) = εn+1y,
де ε — примiтивний корiнь з одиницi степеня ν = mn+m−n. Порядок автоморфiз-
му σ дорiвнює ν. Легко бачити, що ненульовий многочлен f буде σ-iнварiантним
тодi й лише тодi, коли кожен його моном буде σ-iнварiантним, а моном αxpyq,
α ∈ k∗, буде σ-iнварiантним тодi й лише тодi, коли p + (n + 1)q дiлиться на ν.
Також легко перевiрити, що для кожного i
σ−idσi = εid. (5)
Покладемо
F̃ =
ν−1∏
i=0
σi(F ), Λ̃ =
ν−1∑
i=0
εiσi(Λ).
Зауважимо, що F̃ , Λ̃ ∈ k[x, y] i F̃ /∈ k, до того ж degy F̃ = νs. Також очевидним є
те, що F̃ є σ-iнварiантним. З рiвностей (4) та (5) маємо d(F̃ ) = Λ̃F̃ .
Проаналiзуємо тепер многочлен Λ̃. Розглянемо довiльний моном axpyq, a 6= 0,
що входить у Λ. При q 6 m− 2 маємо нерiвнiсть 1 + p + (n + 1)q 6 1 + n + (n +
+ 1)(m− 2) < ν. Тому
ν−1∑
i=0
εiσi(axpyq) = axpyq
ν−1∑
i=0
ε(1+p+(n+1)q)i =
0, якщо q < m− 1,
νsym−1, якщо q = m− 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
570 В. С. ГАВРАН
(нагадаємо, що старший член Λ вiдносно y дорiвнює sym−1). Отже, ми отримали
Λ̃ = νsym−1.
Наступна лема завершує доведення твердження.
Лема. Диференцiювання d не має σ-iнварiантного многочлена Дарбу F з
кофактором Λ = sym−1, де s = degy F.
Доведення. Будемо вважати, що n > 1, оскiльки для n = 1 теорему доведено
в роботi [5]. Припустимо, що диференцiювання d має σ-iнварiантний многочлен
Дарбу F = v0 + v1x + . . . + vlx
l, де v0, . . . , vl ∈ k[y], vl 6= 0. Очевидно, що l > 0.
Прирiвнюючи в лiвiй i правiй частинах рiвностi d(F ) = sym−1F коефiцiєнти при
xi+n, −n 6 i 6 l, отримуємо рiвняння
(i + n + 1)vi+n+1 + v′i + ymv′i+n = sym−1vi+n, (6)
в якому вважаємо, що vj = 0 при j /∈ 0, l. З цього рiвняння випливає, що v′i = 0,
тобто vi = ci ∈ k при i > l−n. З огляду на те, що vl 6= 0, можна вважати, що vl = 1.
Оскiльки многочлен F є σ-iнварiантним, то ν | l; бiльш того, якщо vi ∈ k \ {0}, то
ν | i, звiдки випливає, що vi = 0 при l−n < i < l, тому що ν > n. Далi через o(yj)
будемо позначати довiльний многочлен степеня, меншого за j. Покладемо також
l = np + r, p ∈ N, 0 6 r < n.
З рiвностi (6) при i = l − n маємо v′l−n = sym−1, тобто vl−n =
s
m
ym + o(ym).
Крiм того, v′l−n−1 = cl−1y
m−1 − l = −l, отже, vl−n−1 = −ly + o(y). З рiвностi
(6) та з того, що ν | i + (n + 1) deg vi для кожного i, за iндукцiєю виводимо, що
deg vl−ni−j 6 mi для i ∈ 0, p, j ∈ 0, n− 1, бiльш того, deg vl−ni−1 6 m(i− 1) + 1,
i якщо
vl−ni = aiy
mi + o(ymi), а vl−ni−1 = biy
m(i−1)+1 + o(ym(i−1)+1),
то ai, bi ∈ Q для всiх i, причому ai та bi задовольняють рекурентнi спiввiдношення
ai+1 =
s−mi
m(i + 1)
ai, (7)
bi+1 =
(s−m(i− 1)− 1)bi − (l − ni)ai
mi + 1
. (8)
Розглянемо два випадки.
Випадок 1. Нехай r 6= 0. З рiвностi (6) при i = r−n та i = r−n−1 отримуємо
(r + 1)vr+1 + ymv′r = sym−1vr, (9)
rvr + ymv′r−1 = sym−1vr−1. (10)
Припустимо спочатку, що s 6= mi для i = 1, p− 1. Тодi ap > 0, deg vr = mp i
deg vr+1 6 m(p − 1). Прирiвнюючи коефiцiєнти при ym(p+1)−1 в обох частинах
рiвностi (9), знаходимо s = mp. З iншого боку, прирiвнюючи в обох частинах
рiвностi (10) коефiцiєнти при ymp, одержуємо рiвнiсть
rap + (m(p− 1) + 1)bp = sbp, (11)
звiдки bp =
r
m− 1
ap > 0. Тодi з рiвностi (8) випливає, що bi > 0 для всiх i, що
неможливо, оскiльки b1 = −l < 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
ПРОСТI ДИФЕРЕНЦIЮВАННЯ ВИЩОГО СТЕПЕНЯ ВIД ДВОХ ЗМIННИХ 571
Припустимо тепер, що s = mj для деякого j ∈ 1, p− 1. Тодi ap = . . . = aj+1 =
= 0 i з рiвностi (11) випливає bp = 0. З рiвностi (8) одержуємо bp = . . . = bj+1 = 0,
bj =
l − nj
s−m(j − 1)− 1
aj > 0. Тодi, як i вище, bi > 0 для всiх i 6 j, що знову
приводить до суперечностi з тим, що b1 < 0.
Випадок 2. Нехай r = 0. Тодi рiвнiсть (9) перетворюється на рiвнiсть
v1 + ymv′0 = sym−1v0, (12)
а з рiвностi (6) при i = −1 маємо
nvn + ymv′n−1 = sym−1vn−1. (13)
Якщо s 6= mi для i = 1, p− 1, то аналогiчно випадку 1 ap−1 > 0, з рiвностi (12)
маємо s = mp, а з рiвностi (13) одержуємо рiвнiсть
nap−1 + (m(p− 2) + 1)bp−1 = sbp−1, (14)
звiдки bp−1 =
n
2m− 1
ap−1 > 0, i знову приходимо до суперечностi з тим, що
b1 < 0.
Якщо s = m(p − 1), з рiвностi (14) випливає, що bp−1 =
n
m− 1
ap−1 > 0, i
знову отримуємо суперечнiсть.
Нарештi, якщо s = mj для деякого j ∈ 1, p− 2, то повнiстю повторюємо
мiркування випадку 1.
Твердження доведено.
1. McConnell J. C., Robson J. C. Noncommutative Noetherian rings. – Providence: Amer. Math. Soc.,
1987. – xx + 636 p.
2. Nowicki A. Polynomial derivations and their rings of constants. – Torun: M. Copernicus Univ. Press,
1994.
3. Doering A. M., Lequain Y., Ripoll C. C. Differential simplicity and cyclic maximal left ideals of the
Weyl algebra A2(K) // Glasgow Math. J. – 2006. – 48. – P. 269 – 274.
4. Maciejewski A., Moulin Ollagnier J., Nowicki A. Simple quadratic derivations in two variables //
Communs Algebra. – 2001. – 29, № 11. – P. 5095 – 5113.
5. Nowicki A. An example of a simple derivation in two variables // Colloq. math. – 2008. – 113, № 1. –
P. – 25 – 31.
6. Moulin Ollagnier J. Liouvillian first integrals of homogeneous polynomial 3-dimensional vector fields
// Ibid. – 1996. – 70. – P. 195 – 216.
Одержано 24.09.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 4
|
| id | umjimathkievua-article-3041 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d3/3f876134cfa3c831344a46261e1acbd3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30412020-03-18T19:43:50Z Simple derivations of higher degree in two variables Прості диференціювання вищого степеня від двох змінних Havran, V. S. Гавран, В. С. We present a new class of simple derivations of arbitrary degree in the ring of polynomials in two variables. Указан новый класс простых дифференцирований произвольной степени кольца многочленов от двух переменных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-04-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3041 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 4 (2009); 568-571 Український математичний журнал; Том 61 № 4 (2009); 568-571 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3041/2831 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3041/2832 Copyright (c) 2009 Havran V. S. |
| spellingShingle | Havran, V. S. Гавран, В. С. Simple derivations of higher degree in two variables |
| title | Simple derivations of higher degree in two variables |
| title_alt | Прості диференціювання вищого степеня від двох змінних |
| title_full | Simple derivations of higher degree in two variables |
| title_fullStr | Simple derivations of higher degree in two variables |
| title_full_unstemmed | Simple derivations of higher degree in two variables |
| title_short | Simple derivations of higher degree in two variables |
| title_sort | simple derivations of higher degree in two variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3041 |
| work_keys_str_mv | AT havranvs simplederivationsofhigherdegreeintwovariables AT gavranvs simplederivationsofhigherdegreeintwovariables AT havranvs prostídiferencíûvannâviŝogostepenâvíddvohzmínnih AT gavranvs prostídiferencíûvannâviŝogostepenâvíddvohzmínnih |