Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary
A method for the construction of high-precision approximate solutions of boundary-value problems for the Laplace equation in domains with corner points is proposed. We consider boundary-value problems for the three-dimensional Laplace equation in domains in the form of bodies of revolution whose mer...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3043 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509064032681984 |
|---|---|
| author | Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. |
| author_facet | Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. |
| author_sort | Barnyak, M. Ya. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | A method for the construction of high-precision approximate solutions of boundary-value problems for the Laplace equation in domains with corner points is proposed. We consider boundary-value problems for the three-dimensional Laplace equation in domains in the form of bodies of revolution whose meridional section has corner points. The solutions of the problems are constructed by using variational methods. For the numerical realization of these methods, we construct special solutions of the Laplace equation with singularities (or with singularities of their partial derivatives) on a certain ray originating at a corner point and directed outside the domain. To illustrate the proposed method, we construct the solutions of the Neumann problem and the problem of natural oscillations of ideal liquid in a spherical cavity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.598
M. Q. Barnqk (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ
DLQ RIVNQNNQ LAPLASA V OBLASTQX
OBERTANNQ Z REBRYSTOG MEÛEG
A method of the construction of high-precision approximate solutions of boundary-value problems for
the Laplace equation in domains with corner points is proposed. Boundary-value problems are
considered for the three-dimensional Laplace equation in domains that have the shape of a body of
revolution and the meridian cross-section containing corner points. Solutions of the problems are found
with the use of variational methods. For the numerical realization of these methods, special solutions of
the Laplace equation are constructed that themselves or their partial derivatives have discontinuities on
some ray which starts at a corner point and is directed outward a domain. To illustrate the proposed
method, solutions of the Neyman problem and the problem of eigenoscillations of ideal liquid in a
spherical vessel are constructed.
Predlahaetsq metod postroenyq v¥sokotoçn¥x pryblyΩenn¥x reßenyj kraev¥x zadaç dlq
uravnenyq Laplasa v oblastqx s uhlov¥my toçkamy. Rassmatryvagtsq kraev¥e zadaçy dlq trex-
mernoho uravnenyq Laplasa v oblastqx, ymegwyx formu tela vrawenyq, s merydyonal\n¥m se-
çenyem, ymegwym uhlov¥e toçky. Reßenyq zadaç stroqtsq s pomow\g varyacyonn¥x metodov,
dlq çyslennoj realyzacyy kotor¥x postroen¥ specyal\n¥e reßenyq uravnenyq Laplasa, koto-
r¥e samy yly yx çastn¥e proyzvodn¥e preterpevagt razr¥v na nekotorom luçe s naçalom v uh-
lovoj toçke y napravlennom za predel¥ oblasty. V kaçestve yllgstracyy predloΩennoho me-
toda postroen¥ reßenyq zadaçy Nejmana y zadaçy o sobstvenn¥x kolebanyqx ydeal\noj Ωyd-
kosty v sferyçeskoj polosty.
0. Vstup. U cij roboti proponu[t\sq metodyka pobudovy vysokotoçnyx nably-
Ωenyx analityçnyx rozv’qzkiv krajovyx zadaç dlq rivnqnnq Laplasa v odno-
zv’qznyx oblastqx, qki magt\ formu tila obertannq vidnosno vertykal\no] osi.
Nexaj zadano odnozv’qznu oblast\ Ω , meΩa qko] S utvorena obertannqm kus-
kovo-hladko] kryvo] L vidnosno vertykal\no] osi z. U cij oblasti budemo roz-
hlqdaty krajovi zadaçi dlq rivnqnnq Laplasa
∆ ψ = 0. (0.1)
V cylindryçnij systemi koordynat ( z, r, η ) rivnqnnq Laplasa dopuska[ vidok-
remlennq kruhovo] koordynaty η i çastynni rozv’qzky rivnqnnq (0.1) magt\ vy-
hlqd
ψ ( z, r, η ) = ψm ( z, r ) exp ( i m η ) , m = 0, 1, 2, … , (0.2)
de funkciq ψm ( z, r ) zadovol\nq[ rivnqnnq
Lm ψm ( z, r ) ≡
1 2
2
2
2r r
r
z r
r
z r
z
m z r
r
m m m∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
−ψ ψ ψ( , ) ( , ) ( , )
= 0. (0.3)
Rozv’qzky krajovyx zadaç dlq rivnqnnq (0.1) oblasti Ω moΩna podaty u vyhlqdi
rqdu Fur’[ za zminnog η
ψ ( z, r, η ) = ψ η ψ ηm
m
m
m
z r m z r m0
0
1
1
( , )cos( ) ( , )sin( )
=
∞
=
∞
∑ ∑+ (0.4)
z koefici[ntamy ψm z r0 ( , ) i ψm z r1 ( , ), qki [ rozv’qzkamy poslidovnosti krajovyx
zadaç dlq rivnqnnq (0.3) v merydional\nomu pererizi G oblasti Ω .
© M. Q. BARNQK, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5 579
580 M. Q. BARNQK
Same pobudova nablyΩenyx analityçnyx rozv’qzkiv krajovyx zadaç dlq riv-
nqnnq (0.3) v oblastqx z kutovymy toçkamy [ osnovnog metog dano] roboty.
Rozv’qzky cyx zadaç magt\ osoblyvyj xarakter povedinky v okoli kutovyx to-
çok, a tomu ne moΩut\ buty z dostatn\og toçnistg aproksymovani hladkymy
funkciqmy. Dlq realizaci] variacijnyx metodiv rozv’qzuvannq cyx zadaç potrib-
no vraxovuvaty osoblyvosti rozv’qzkiv pry vybori koordynatnyx funkcij.
Zokrema, qkwo rozhlqdaty krajovi zadaçi dlq dvovymirnoho rivnqnnq La-
plasa
∆ ϕ ≡
∂
∂
+ ∂
∂
2
2
2
2
ϕ ϕ
x y
= 0 (0.5)
v oblasti G z kutovymy toçkamy, to moΩna odnoznaçno stverdΩuvaty, wo dlq
dovil\no] harmoniçno] v G i obmeΩeno] v kutovij toçci funkci] ϕ( , )x y , qka ma[
v cij toçci neusuvnu osoblyvist\, cq toçka ne moΩe buty izol\ovanog osobly-
vog toçkog. Inßymy slovamy, za meΩamy oblasti G cq funkciq sama, abo ]]
çastynni poxidni zaznagt\ rozryvu. Zvidsy robymo vysnovok, wo pry aproksyma-
ci] ßukanyx rozv’qzkiv krajovyx zadaç dlq rivnqn\ (0.3) çy (0.5) v oblastqx z ku-
tovymy toçkamy do çysla koordynatnyx funkcij porqd z hladkymy rozv’qzkamy
cyx rivnqn\ docil\no vklgçaty rozv’qzky, qki sami abo ]xni çastynni poxidni za-
znagt\ rozryvu za meΩeg oblasti G . Rozv’qzky rivnqnnq (0.5) takoho typu [
vidomymy. Takymy [, napryklad, dijsna ta uqvna çastyny funkcij typu zν,
z zm n(ln ) , de z = x iy+ , ν — drobove çyslo, a m i n — cili abo racional\ni
çysla [1, 2]. Vsi ci funkci] abo ]xni çastynni poxidni zaznagt\ rozryvu na vid’-
[mnij çastyni dijsno] osi kompleksno] plowyny. ZavΩdy moΩna vybraty syste-
mu dekartovyx koordynat ( x , y ) takym çynom, wob toçka z = 0 bula rozmiwena
u kutovij toçci oblasti, a promin\ y = 0, x < 0 znaxodyvsq za meΩamy oblasti.
Bil\ß skladnog vyqvylasq zadaça pobudovy analohiçnyx rozv’qzkiv rivnqn-
nqD(0.3).
1. Pobudova rozv’qzkiv tryvymirnyx rivnqn\ Laplasa ta Hel\mhol\ca v
oblastqx, qki magt\ formu tila obertannq. Dovedemo nastupnu teoremu.
Teorema91.1. Nexaj zadano deqku odnozv’qznu, obmeΩenu i symetryçnu
vidnosno osi ordynat u oblast\
G = ( , ) : , – ( ) ( )x u a u b g u x g u≤ ≤ ≤ ≤ >{ }0
taku, wo peretyn ]] z dovil\nog paralel\nog osi abscys x prqmog [ odnozv’qz-
nym vidrizkom, i funkciq ϕ( , )x u zadovol\nq[ rivnqnnq
∆ ϕ ≡
∂
∂
− ∂
∂
+
2
2
2
2
2ϕ ϕ ω ϕ
u x
= 0 (1.1)
v oblasti G. Todi funkciq
f u rm( , ) = ϕ
π
( cos( ), ) cos( )r t u mt dt
0
∫ (1.2)
zadovol\nq[ rivnqnnq
L fm m ≡
∂
∂
− ∂
∂
∂
∂
+ +
2
2
2
2
21f
u r r
r
f
r
m
r
f fm m
m mω = 0 (1.3)
u pravij çastyni oblasti G1 = ( , ) : , ( )r u a u b r g u≤ ≤ ≤ ≤ >{ }0 0 .
Dovedennq. Poklademo x = r tcos( ), todi
L fm m =
∂
∂
− ∂
∂
− ∂
∂
+ +
∫
2
2
2
2
2
2
2
2
0
1ϕ ϕ ϕ ϕ ω ϕ
π
u x
t
r x
t
m
r
mt dtcos( ) cos( ) cos( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 581
Rozhlqnemo okremo intehral
m
r
r t u mt dt
2
2
0
ϕ
π
( cos( ), ) cos( )∫ =
m
r
r t u d mt2
0
ϕ
π
( cos( ), ) sin( )∫ =
=
m
r
r t u mt
m
r
r t u
2
0 0
ϕ
ϕπ π
( cos ( ), ) sin ( )
( cos ( ), )
+
∂
∫ ∂∂x
t mt dtsin ( ) sin ( ) =
= –
1
0
r
r t u
x
t d mt
π ϕ∫ ∂
∂
( cos( ), )
sin( ) cos( ) = –
1
0r
r t u
x
t mt
∂
∂
ϕ π( cos( ), )
sin( ) cos( ) +
+
1
0 0
2
2
2
r
r t u
x
t mt dt
r t u
x
t mt dt
∂
∂
− ∂
∂∫ ∫ϕ ϕπ π
( cos( ), )
cos( ) cos( )
( cos( ), )
sin( ) cos( ) .
V rezul\tati oderΩymo
L fm m ≡
∂
∂
− ∂
∂
+
∫
2
2
2
2
2
0
ϕ ϕ ω ϕ
π
u x
mt dtcos( ) = 0,
wo i potribno bulo dovesty.
Qkwo poklasty ω = 0 i perejty do novo] zminno] u = iz r+ 0 , to rivnqnnq
(1.1) stane rivnqnnqm Laplasa (0.5), a rivnqnnq (1.3) — rivnqnnqm (0.3).
Qkwo funkciq f u rm( , ) zadovol\nq[ rivnqnnq
1 2
2
2
2r r
r
f
r
f
u
m
r
fm m
m
∂
∂
∂
∂
− ∂
∂
− = 0, (1.4)
to dijsna ta uqvna çastyny funkci] ψm z r( , ) = f iz r rm( , )+ 0 zadovol\nqgt\ riv-
nqnnq (0.3).
U podal\ßomu obmeΩymosq rozhlqdom vypadku ω = 0, tobto vypadku, koly
rivnqnnq (1.1) [ xvyl\ovym rivnqnnqm i joho rozv’qzok vyznaça[t\sq u vyhlqdi
sumy dvox dovil\nyx dviçi neperervno dyferencijovnyx funkcij f u x1( )+ +
+ f u x2( )− . OtΩe, rozv’qzok rivnqnnq (0.3) moΩna podaty u vyhlqdi
ψm z r( , ) = f iz r r t mt dt( cos( )) cos( )+ +∫ 0
0
π
, (1.5)
de f w( ) — dovil\na analityçna funkciq kompleksno] zminno] w .
Formula (1.5) [ naslidkom vidomoho zobraΩennq Uittekera dlq harmoniçnyx
funkcij tr\ox zminnyx [3].
Zokrema, qkwo v qkosti funkci] f w( ) vybraty f w( ) = wk
i poklasty r0 =
= 0, to oderΩymo odnoridni polinomial\ni rozv’qzky rivnqnnq (0.3) [3, 4]
w z rk ( , ) =
2
0
m
k m
km k m
i k
iz r t mt dt
!( )!
!
( cos( )) cos( )
− +− ∫π
π
. (1.6)
2. Pobudova special\nyx rozv’qzkiv tryvymirnoho rivnqnnq Laplasa.
Qkwo Ω v qkosti funkci] f w( ) vybraty funkci] z osoblyvostqmy, to oderΩymo
takoΩ i rozv’qzky rivnqnnq (0.3) z osoblyvostqmy.
Poklademo u formuli (1.5) funkcig f u r t( cos( ))+ rivnog ln( cos( ))u r t+ D×
×D ( cos( ))u r t k+ ta poznaçymo çerez vk
m u r( , ) funkci]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
582 M. Q. BARNQK
vk
m u r( , ) =
2
0
m
ku r t u r t mt dt
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ +∫ , (2.1)
a çerez w u rk
m( , ) funkci]
w u rk
m( , ) =
2
0
m
ku r t mt dt
π
π
( cos( )) cos( )+∫ . (2.2)
Pry 0 ≤ k < m funkci] w u rk
m( , ) dorivnggt\ nulg. Obçyslymo çastynni po-
xidni vid funkcij w u rk
m( , ) za zminnymy u ta r :
∂
∂
w
u
k
m
=
2 1
0
m
kk
u r t mt dt
π
π
( cos ( )) cos ( )+ −∫ = kwk
m
−1 , (2.3)
r
∂
∂
w
r
k
m
=
2 1
0
m
kk
u r t t mt dt
π
π
( cos ( )) cos ( ) cos ( )+ −∫ =
= k u r t mt dt
m
k2
0
π
π
( cos ( )) cos ( )+∫ –
– uk u r t mt dt
m
k2 1
0
π
π
( cos ( )) cos ( )+ −∫ = kw ukwk
m
k
m− −1 . (2.4)
Vykorystovugçy intehral\ne zobraΩennq dlq funkcij vk
m u r( , ), obçyslg[-
mo çastynni poxidni vid cyx funkcij za zminnymy u ta r :
∂
∂
vk
m
u
=
2 1
0
m
kk
u r t u r t mt dt
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ + −∫ +
+
2 1
0
m
ku r t mt dt
π
π
( cos( )) cos( )+ −∫ = k wk
m
k
mv − −+1 1, (2.5)
r
r
k
m∂
∂
v
= k r t u r t u r t mt dt
m
k2 1
0
π
π
cos( ) ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ + −∫ +
+
2 1
0
m
kr t u r t mt dt
π
π
cos( ) ( cos( )) cos( )+ −∫ =
= k u r t u r t mt dt
m
k2
0
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ +∫ –
– u
k
u r t u r t mt dt
m
k2 1
0
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ + −∫ +
+
2 2
0
1
0
m
k
m
ku r t mt dt u u r t mt dt
π π
π π
( cos( )) cos( ) ( cos( )) cos( )+ − +∫ ∫ − =
= k ku w uwk
m
k
m
k
m
k
mv v− + −− −1 1. (2.6)
Pry k = 0 ci formuly nabyragt\ vyhlqdu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 583
∂
∂
v0
m
u
= wm
−1,
r
r
m∂
∂
v0 = w uwm m
0 1− − .
Vykorystovugçy oderΩani vywe spivvidnoßennq dlq perßyx çastynnyx poxid-
nyx vid funkcij w u rk
m( , ) i vk
m u r( , ), oderΩu[mo spivvidnoßennq dlq vyznaçen-
nq druhyx çastynnyx poxidnyx vid cyx funkcij:
∂
∂
2
2
w
u
k
m
= k k wk
m( )− −1 2 ,
r
r
r
w
r
k
m∂
∂
∂
∂
= k w uk k w u k k wk
m
k
m
k
m2
1
2
22 1 1− − + −− −( ) ( ) ,
∂
∂
2
2
vk
m
u
= k k k k wk
m
k
m( ) ( )− + −− −1 2 12 2v ,
r
r
r
r
k
m∂
∂
∂
∂
v
= k kw uk k u k wk
m
k
m
k
m
k
m2
1 12 2 1 4 1v v+ − − − −− −( ) ( ) +
+ u k k u k wk
m
k
m2
2
2
21 2 1( ) ( )− + −− −v .
Pry k = 1 i m ≥ 1 ci formuly nabyragt\ vyhlqdu
∂
∂
2
1
2
vm
u
= wm
−1, r
r
r
r
m∂
∂
∂
∂
v1 = v v1 1 0
2
1
m m m mw u u w+ − + − .
Pidstavlqgçy oderΩani spivvidnoßennq u rivnqnnq (1.3), otrymu[mo rekurentni
formuly dlq funkcij w u rk
m( , ) i vk
m u r( , ) :
( ) ( ) ( ) ( )k m w uk k w u r k k wk
m
k
m
k
m2 2
1
2 2
22 1 1− − − + − −− − = 0,
(2.7)
( ) ( ) ( )k m kw uk k u k wk
m
k
m
k
m
k
m2 2
1 12 2 1 4 1− + − − − −− −v v +
+ ( ) ( ) ( )( )u r k k u r k wk
m
k
m2 2
2
2 2
21 2 1− − + − −− −v = 0.
Pry k = 1 i m > 1 ostannq formula nabyra[ vyhlqdu
( ) ( )1 2
1 0
2 2
1− − + − −m u u r wm m mv v = 0.
Dlq obçyslennq poslidovnosti funkcij w u rk
m( , ) i vk
m u r( , ) pry m ≥ 1 spo-
çatku neobxidno znajty znaçennq funkcij w u rm
−1( , ) i v0
m u r( , ), a potim za dopo-
mohog formul (1.3) vyznaçyty funkci] vk
m u r( , ) do k = m – 1 vklgçno.
Funkci] w u rm
−1( , ) i v0
m u r( , ) magt\ vyhlqd
wm
−1 =
1
2
2 2
2 2
u r
u r u
r
m
−
− −
pry m ≥ 0, (2.8)
v0
m = –
1
2
2 2
m
u r u
r
m
− −
pry m ≥ 1. (2.9)
Dlq funkci] v0
0( , )u r , zhidno z formulog (2.1), otrymu[mo
v0
0( , )u r =
1
0
π
π
ln( cos( ))u r t dt+∫ = ln
u r u2 2
2
− +
. (2.10)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
584 M. Q. BARNQK
Pry m = 0 z ohlqdu na formuly (2.8), (2.9) i (2.1), vykorystovugçy rekurentni
formuly (2.7), moΩna znajty poslidovnist\ znaçen\ funkcij vk u r0( , ).
Bil\ß skladnog [ zadaça vyznaçennq znaçen\ funkcij vk
m u r( , ) pry m ≥ 1.
Na osnovi rekurentnyx formul (2.7) moΩna znajty poslidovnist\ znaçen\
funkcij vk
m u r( , ) vid k = 1 do k = m – 1 vklgçno. Vyznaçyty znaçennq
funkci] vm
m u r( , ) za dopomohog rekurentno] formuly (2.7) ne vda[t\sq, oskil\-
ky pry k = m koefici[nt pry vk
m u r( , ) dorivng[ nulg. Funkcig vk
m u r( , ) vy-
znaçymo we v takyj sposib:
vk
m u r( , ) =
2
0
m
ku r t u r t mt dt
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ +∫ =
=
2 1
0
m
ku
u r t u r t mt dt
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )+ + −∫ +
+
2 1
0
m
kr
u r t u r t t mt dt
π
π
ln( cos( ))( cos( )) cos( )cos( )+ + −∫ =
=
2
1
1
1
m
kr
u r t u r t m t
−
−+ + −
π
ln( cos ( )) ( cos ( )) cos (( ) )) dt
0
π
∫ +
+
2 1
1
0
m
kr
u r t u r t m
−
−+ + +∫π
π
ln ( cos ( )) ( cos ( )) cos (( 11) )t dt +
+ u u rk
mv −1( , ) =
u u r r u r
r
u rk
m
k
m
k
mv v v− −
−
−
++ +1 1
1
1
1
4
( , ) ( , ) ( , ). (2.11)
VvaΩa[mo, wo k = m, todi
vm
m u r( , ) =
u u r r u r
r
u rm
m
m
m
m
mv v v− −
−
−
++ +1 1
1
1
1
4
( , ) ( , ) ( , ). (2.12)
Za dopomohog oderΩano] rekurentno] formuly vyznaçymo funkcig v1
1( , )u r .
Dlq c\oho zapyßemo, zhidno z (2.9), taki funkci]:
v0
1 ( , )u r = – 2
2 2u r u
r
− −
, v0
2( , )u r = – 2
2 2 2
u r u
r
− −
. (2.13)
Dali, u vidpovidnosti z formulog (2.8) otrymu[mo
v1
1( , )u r = u u r r u r
r
u rv v v0
1
0
0
0
2
4
( , ) ( , ) ( , )+ + =
= r
u r u r
u
u r u
r
ln
2 2 2 2
2 2
− +
+ − − −
. (2.14)
Teper na osnovi funkcij v0
1 ( , )u r i v1
1( , )u r ta rekurentno] formuly (2.7)
moΩna pobuduvaty dovil\nu funkcig vk u r1 ( , ), a za dopomohog formul (2.5) i
(2.6) vyznaçyty çastynni poxidni vid cyx funkcij. Analohiçno moΩna obçyslg-
vaty znaçennq funkcij vk
m u r( , ) dlq dovil\nyx znaçen\ m i k , vykorystovugçy
rekurentni spivvidnoßennq (2.7), (2.11) i (2.12).
Qk bulo zaznaçeno vywe, pislq zaminy zminno] u = iz r+ 0 dijsna ta uqvna
çastyny funkci] vk
m iz r r( , )+ 0 zadovol\nqgt\ rivnqnnq (0.3).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 585
Vyvçymo deqki xarakterni vlastyvosti funkcij vk
m iz r r( , )+ 0 pry r0 0> , qk
funkcij zminnyx z ta r . Pidintehral\nyj vyraz v (2.1) moΩna peretvoryty ta-
kym çynom :
F z r( , ) = ln( cos( ))( cos( )) cos( )iz r r t iz r r t mtk+ + + +0 0 =
= r r i
z
r
r
r
t i
z
r
r
r
t mtk
k
0 0
0 0 0 0
1 1ln( ) ln cos( ) cos( ) cos( )+ + +
+ +
.
Ce oznaça[, wo funkcig vk
m iz r r( , )+ 0 moΩna podaty u vyhlqdi
vk
m iz r r( , )+ 0 = r iz r r r w iz rk
k
m k
k
m
0 1 1 0 0 1 11 1v ( , ) ln( ) ( , )+ + + ,
de z1 = z r/ 0 , r1 = r r/ 0 .
OtΩe, doslidΩennq funkcij vk
m iz r r( , )+ 0 pry dovil\nomu dodatnomu zna-
çenni r0 zvodyt\sq do doslidΩennq funkcij vk
m iz r( , )+ 1 .
Pry r < 1 dlq dovil\nyx dijsnyx t i cilyx k znaçen\ funkciq
F z r( , ) = ln( cos( ))( cos( )) cos( )iz r t iz r t mtk+ + + +1 1
[ kompleksnoznaçnog, dovil\ne çyslo raziv neperervno dyferencijovnog
funkci[g zminnyx z i r . Tomu takymy budut\ pry r < 1 i funkci] vk
m iz r( , )+ 1 .
Zokrema, pry r = 0 funkci] vk iz0 1 0( , )+ nabuvagt\ znaçen\ vk iz r0 1( , )+ =
= ln ( )( )iz iz k+ +1 1 , a dlq m > 0 vk
m iz( , )+ 1 0 = 0, tobto pry r = 0 vony [
obmeΩenymy za modulem. Funkciq ln( cos( ))iz r t+ +1 zazna[ skinçennoho
rozryvu pry z = 0 i r > 1 dlq znaçen\ parametra t , wo zadovol\nqgt\
nerivnist\ – 1 ≤ cos ( t ) < – r r0/ , a tomu dijsna ta uqvna çastyny funkci]
vk
m iz r( , )+ 1 ta ]] çastynni poxidni takoΩ moΩut\ zaznavaty rozryvu na promeni
Λ = {( , )z r : z = 0 , r r> >0 0}.
Rozhlqnemo bil\ß detal\no funkcig v0
m u r( , ):
v0 0
m iz r r( , )+ = – ( )!
( ) ( )
m
iz r r iz r
r
m
− + − − +
1 2 0
2 2
0 . (2.15)
Doslidymo povedinku v0 0
m iz r( )+ , koly z prqmu[ do nulq, a r — do r0 . Dlq
c\oho poklademo z = ρ θsin , r = r0 + ρ θcos . Zafiksu[mo θ, a ρ sprqmu[mo do
nulq, todi
v0
m = – ( )!
( sin cos ) sin
cos
m
ir rr i r r
r
m
− − − − −
+
1 2
2 20 0 0 0
0
ρ θ θ ρ ρ θ
ρ θ
.
Iz oderΩano] formuly vydno, wo pry r0 > 0 i prqmuvanni ρ do nulq uqvna
çastyna funkci] v0
m( , )ρ θ takoΩ prqmu[ do nulq i [ ekvivalentnog neskinçenno
malij velyçyni ρ .
Teper vynyka[ pytannq: qkyj zv’qzok magt\ pobudovani funkci] iz vidomymy
rozv’qzkamy rivnqnnq Laplasa?
Na osnovi funkcij vk
m u r( , ) vyznaçymo taki rozv’qzky rivnqnnq (1.1):
f u rk
m( , ) =
v vk
m k m
k
mu r u r( , ) ( ) ( , )− − −−1
2
, (2.16)
g u rk
m( , ) =
v vk
m k m
k
mu r u r( , ) ( ) ( , )+ − −−1
2
. (2.17)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
586 M. Q. BARNQK
Funkci] w u rk
m( , ) i w u rk
m( , )− pry k ≥ m pov’qzani spivvidnoßennqm
w u rk
m( , )− = ( ) ( , )− −1 k m
k
mw u r . (2.18)
Dlq funkcij vk
m u r( , )− , qk vyplyva[ z (2.7), spravdΩu[t\sq spivvidnoßennq
( ) ( , ) ( ) ( , )k m u r uk k u rk
m
k
m2 2
12 1− − + − −−v v +
+
( ) ( ) ( , ) ( ) ( , )u r k k u r kw u rk
m k m
k
m2 2
21 1 2− − + − (−
−v –
– u k w u r u r k w u rk
m
k
m( ) ( , ) ( )( ) ( , )4 1 2 11
2 2
2− + − − )− − = 0. (2.19)
PomnoΩymo ce rekurentne spivvidnoßennq na ( )− −1 k m
i vidnimemo joho vid re-
kurentnoho spivvidnoßennq (2.7) dlq funkcij vk
m u r( , ). V rezul\tati oderΩymo
rekurentne spivvidnoßennq dlq funkcij f u rk
m( , ) :
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )k m f u r uk k f u r u r k k f u rk
m
k
m
k
m2 2
1
2 2
22 1 1− − − + − −− − = 0. (2.20)
Qkwo Ω do druhoho iz spivvidnoßen\ (2.7) dodaty spivvidnoßennq (2.18), po-
mnoΩene na ( )− −1 k m
, to otryma[mo rekurentne spivvidnoßennq dlq funkcij
g u rk
m( , ) :
( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( , )k m g u r uk k g u r u r k k g u rk
m
k
m
k
m2 2
1
2 2
22 1 1− + − + − −− − +
+ 2 4 1 2 11
2 2
2kw u r u k w u r u r k w u rk
m
k
m
k
m( , ) ( ) ( , ) ( )( ) ( , )− − + − −− − = 0. (2.21)
Rozhlqnemo dekil\ka perßyx funkcij f u rk
m( , ) ta g u rk
m( , ) .
Zhidno z (2.11)
v0
0( , )u r = ln
u r u2 2
2
− +
, v0
0( , )−u r = ln
u r u2 2
2
− −
,
a tomu
f u r0
0( , ) =
v v0
0
0
0
2
( , ) ( , )u r u r− −
=
1
2
2 2
2 2
ln
u r u
u r u
− +
− −
,
(2.22)
g u r0
0( , ) =
v v0
0
0
0
2
( , ) ( , )u r u r+ −
=
1
2 4
2
ln
−
r
= ln
r
i
2 2
+ π
,
f u r1
0( , ) =
1
2
2 2
2 2
2 2u
u r u
u r u
u rln
− +
− −
− − ,
(2.23)
g u r1
0( , ) = u
r
iln
2 2
1
+ +
π
.
Dijsna ta uqvna çastyny funkcij f iz r rk
m( , )+ 0 ta g iz r rk
m( , )+ 0 , tak samo qk i
vk
m iz r r( , )+ 0 , zadovol\nqgt\ rivnqnnq (0.3). Ale miΩ cymy funkciqmy ta
funkciqmy vk
m iz r r( , )+ 0 [ sutt[va vidminnist\. Qkwo funkci] vk
m iz r r( , )+ 0 ob-
meΩeni pry r = 0, to funkci] f iz r rk
m( , )+ 0 ta g iz r rk
m( , )+ 0 [ neobmeΩenymy
pry r = 0, a tomu moΩut\ buty vykorystani til\ky dlq aproksymaci] rozv’qzkiv
rivnqnnq Laplasa v oblastqx, wo magt\ formu tila obertannq vidnosno verty-
kal\no] osi i ne peretynagt\ ]].
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 587
MoΩna pokazaty, wo funkci] f iz rk
m( , ) zbihagt\sq z toçnistg do stalyx
mnoΩnykiv z vidomymy [4] funkciqmy w z rk
m∗, ( , ) = R Qk
k
m(cos( ))θ , de ( R , η , θ )
— sferyçni koordynaty, qki pov’qzani z cylindryçnymy koordynatamy ( z, r, η )
spivvidnoßennqmy R = z r2 2+ , tan( )θ = z r/ , Qk
m(cos( ))θ — pry[dnani funk-
ci] LeΩandra druhoho rodu.
3. Pobudova rozv’qzkiv zadaçi Nejmana. V qkosti prykladu zadaçi, dlq
rozv’qzuvannq qko] docil\no vykorystaty pobudovani vywe rozv’qzky rivnqn-
nqD(0.3), rozhlqnemo krajovu zadaçu Nejmana
1 2
2
2
2r r
r
r z
m
r
m m
m
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
−
ψ ψ
ψ = 0 v G,
(3.1)
∂
∂
ψm
z
= f ( r ) na Γ,
∂
∂
ψm
n
= 0 na L, m = 0, 1, 2, … ,
de
G = { }( , ) : , ,z r z r r z hk
2 2 1 0 1+ < ≥ ≤ − ,
Γ = { }( , ) : ,z r z h r rk= − ≤ ≤1 0 0 ,
L = { }( , ) : , ,z r z r r z hk
2 2 1 0 1+ = ≥ ≤ − ,
hk — vysota sehmenta odynyçnoho kruha, r0 = 1 2− hk . Pry m = 0 na funk-
cig f ( r ) potribno naklasty umovu r f r dr
r
( )
0
0∫ = 0, qka vyplyva[ z umovy roz-
v’qznosti zadaçi Nejmana dlq rivnqnnq Laplasa.
NablyΩenyj rozv’qzok ci[] zadaçi pobudu[mo za dopomohog variacijnoho me-
todu [5] ßlqxom minimizaci] funkcionala
F( )ψ = r
r z
m
r
dG r f r dr
G
∂
∂
+ ∂
∂
+
−∫ ∫ψ ψ ψ ψ
2 2 2
2 ( )
Γ
(3.2)
na klasi funkcij ψ ∈W Gr2
1
, ( ), de W Gr2
1
, ( ) — prostir Sobol[va funkcij, inteh-
rovnyx iz kvadratom, razom z perßymy çastynnymy poxidnymy, z vahovog funk-
ci[g r po oblasti G.
Pokladagçy u = iz r+ 0 , na osnovi kompleksnoznaçnyx funkcij vk
m u r( , )
oderΩu[mo rozv’qzky rivnqnnq (0.3):
ω2 1k N z r− + ( , ) = Im ( , )( )vk
m iz r r1 0+ , ω2k N z r+ ( , ) = Re ( , )( )vk
m iz r r1 0+ ,
de z1 = z h− 0.
Zaminu z1 = z h− 0 vykonano dlq toho, wob osoblyva toçka funkcij
ωk N z r+ ( , ) znaxodylasq toçno u kutovij toçci oblasti G z koordynatamy
( , )h r0 0 . Funkci] ωk N z r+ ( , ) u sukupnosti z hladkymy rozv’qzkamy rivnqnnq
ωk u r( , ) , vyznaçeni za dopomohog formuly (1.6), vykorystovu[mo qk koordynat-
ni funkci] pry çysel\nij realizaci] metodu Ritca, podagçy nablyΩenyj rozv’q-
zok zadaçi (3.1) u vyhlqdi
ψm z r( , ) = a z r a z rk k
k
N
k N k N
k
N
ω ω( , ) ( , )
=
+ +
=
∑ ∑+
1 1
1
. (3.3)
Iz umov minimumu funkcionala F m( )ψ vyznaça[mo koefici[nty ak , qk rozv’q-
zok systemy linijnyx alhebra]çnyx rivnqn\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
588 M. Q. BARNQK
ak i k
k
N N
α ,
=
+
∑
1
1
= βi, (3.4)
de
αi k, = r
z r
n
z r dlk
i
L
∂
∂
+
∫ ω ω( , )
( , )
Γ
, βi = r f r z r dri
r
( ) ( , )ω
0
0
∫ .
Dlq kontrolg toçnosti vykonannq krajovyx umov obçyslgvalasq velyçyna
poxybky
δ = r
z
f dr r
n
dlm
r
m
L
∂
∂
−
+ ∂
∂
∫ ∫ψ ψ2
0
20
. (3.5)
U tabl.D3.1 navedeno znaçennq toçnosti δ vykonannq krajovyx umov zadaçi (3.1)
pry m = 1 v zaleΩnosti vid kil\kosti vraxovanyx funkcij z osoblyvostqmy u
kutovij toçci oblasti G. Çyslo N hladkyx funkcij ωk u r1 ( , ) v usix vypadkax
dorivng[ 20. Obçyslennq provodylysq dlq dvox znaçen\ funkci] f ( r ) , a same
f ( r ) = f r1( ) = r r/ 0 ta f ( r ) = f r2( ) = r r3
0
3/ , dlq riznyx znaçen\ vysoty h seh-
menta oblasti G. U tret\omu i p’qtomu stovpçykax tabl.D3.1 navedeno minimal\-
ni znaçennq funkcionala F( )ψ1 , a v çetvertomu i ßostomu stovpçykax —
vidpovidni znaçennq δi , obçysleni za dopomohog formuly (3.5).
Qk vydno z tabl.D3.1, ci znaçennq iz zbil\ßennqm N1 zmenßugt\sq, a mini-
mal\ni znaçennq funkcionala prqmugt\ do deqkoho stabil\noho staloho zna-
çennq. Pry c\omu, wo najbil\ß sutt[vo, na dvaD–Dtry porqdky zbil\ßu[t\sq
toçnist\ vykonannq krajovyx umov zadaçi (3.1). Osoblyvo ce pomitno pry zna-
çennqx h > 1, koly velyçyna kuta rozxylu kutovo] toçky perevywu[ π / 2, a
rozv’qzok zadaçi (2.6), qk vidomo z roboty [1], ma[ bil\ß sutt[vu osoblyvist\ v
okoli kutovo] toçky i nablyΩa[t\sq linijnog kombinaci[g hladkyx funkcij, qk
vydno iz tabl.D3.1 (dani, wo vidpovidagt\ znaçenng N1 0= ), z nedostatn\og
toçnistg. ZauvaΩymo, wo ocinka toçnosti rozv’qzku zadaçi v seredn\okvadra-
tyçnomu sensi u danomu vypadku [ ne dosyt\ vdalog.
Najhirße vykonugt\sq krajovi umovy zadaçi u blyz\komu okoli kutovo] toç-
ky, a tomu varto kontrolgvaty toçnist\ nablyΩenoho rozv’qzku zadaçi same tam.
U tabl.D3.2 navedeno znaçennq toçnosti vykonannq krajovyx umov zadaçi v okoli
kutovo] toçky na viddali 0,005 r0 na Γ ta 0,005 na L vid kutovo] toçky. Tut
δi,1 — toçnist\ vykonannq krajovo] umovy i - g funkci[g na Γ, δi,2 — toçnist\
vykonannq krajovo] umovy i -g funkci[g na L . Qk vydno iz tablyci, toçnist\
vykonannq krajovyx umov sutt[vo pokrawu[t\sq pry vklgçenni do çysla
koordynatnyx funkcij rozv’qzkiv rivnqnnq (0.3), qki magt\ osoblyvist\ u kuto-
vij toçci oblasti G.
Analohiçni çyslovi rezul\taty oderΩano takoΩ u vypadku, koly v qkosti ko-
ordynatnyx funkcij z osoblyvistg bulo vybrano na osnovi formuly (1.5) inßi
rozv’qzky rivnqnnq (0.3):
vk u r∗( , ) = ( cos( )) cos( ),u r t mt dtk+ −∫ 0 5
0
π
, m = 0, 1, … . (3.6)
ZauvaΩymo, wo ci funkci] moΩna podaty çerez povni eliptyçni intehraly,
ale v c\omu nema[ potreby, oskil\ky povni eliptyçni intehraly potribno vyraxo-
vuvaty çysel\no, a tomu [ sens obçyslgvaty çysel\no znaçennq perßyx dvox
funkcij v1
∗( , )u r i v2
∗( , )u r , a potim vΩe za dopomohog rekurentnyx formul
obçyslgvaty znaçennq inßyx funkcij ta znaçennq ]xnix perßyx çastynnyx po-
xidnyx.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 589
TablycqD3.1
h n F1 δ1 F2 δ2
0,50 0 – 0,155026996413 0,552E–08 – 0,069067066057 0,753E–07
0,50 2 – 0,155026996440 0,162E–08 – 0,069067066423 0,221E–07
0,50 4 – 0,155026996443 0,143E–10 – 0,069067066465 0,198E–09
0,50 6 – 0,155026996443 0,673E–11 – 0,069067066465 0,926E–10
0,75 0 – 0,172119566185 0,244E–06 – 0,076039769453 0,161E–05
0,75 2 – 0,172119567483 0,325E–07 – 0,076039778046 0,216E–06
0,75 4 – 0,172119567545 0,848E–10 – 0,076039778463 0,529E–09
0,75 6 – 0,172119567546 0,198E–10 – 0,076039778463 0,157E–09
1,00 0 – 0,159165356972 0,712E–05 – 0,069673110318 0,286E–04
1,00 2 – 0,159165412757 0,385E–06 – 0,069673334795 0,157E–05
1,00 4 – 0,159165413784 0,109E–07 – 0,069673338995 0,423E–07
1,00 6 – 0,159165413801 0,887E–09 – 0,069673339061 0,353E–08
1,25 0 – 0,124603477713 0,683E–04 – 0,053981945445 0,187E–03
1,25 2 – 0,124604173447 0,863E–06 – 0,053983851404 0,243E–05
1,25 4 – 0,124604176327 0,666E–07 – 0,053983859526 0,176E–06
1,25 6 0,124604176438 0,113E–07 – 0,053983859817 0,310E–07
1,50 0 – 0,077858227395 0,405E–03 – 0,033316780889 0,810E–03
1,50 2 – 0,077863476779 0,775E–08 – 0,033327249572 0,701E–07
1,50 4 – 0,077863476834 0,182E–09 – 0,033327250649 0,189E–08
1,50 6 – 0,077863476835 0,281E–11 – 0,033327250664 0,359E–10
1,75 0 – 0,030247043584 0,178E–02 – 0,012712184323 0,273E–02
1,75 2 – 0,030277912566 0,267E–04 – 0,012759950982 0,390E–04
1,75 4 – 0,030278049653 0,525E–05 – 0,012760161809 0,770E–05
1,75 6 – 0,030278061897 0,159E–05 – 0,012760179341 0,239E–05
Rekurentni formuly dlq funkcij vk u r∗( , ), qk i raniße, oderΩymo na osnovi
]x intehral\noho zobraΩennq (3.6).
Zdyferencig[mo formulu (3.6) po u :
∂
∂
∗vk u r
u
( , )
= ( , ) ( cos( )) cos( ),k u r t mt dtk− + −∫0 5 15
0
π
=
( , ) ( , )k u rk− −
∗0 5 1v . (3.7)
V rezul\tati dyferencigvannq formuly (3.6) po r oderΩu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
590 M. Q. BARNQK
TablycqD3.2
h n δ11, δ1 2, δ21, δ2 2,
0,50 0 – 0,00037949 0,00043994 – 0,00140264 0,00162540
0,50 2 0,00014131 – 0,00007728 0,00052255 – 0,00028629
0,50 4 – 0,00000247 – 0,00000670 – 0,00000912 – 0,00002470
0,50 6 – 0,00000082 – 0,00000437 – 0,00000592 – 0,00001868
0,75 0 – 0,00282272 0,00293287 – 0,00726591 0,00753564
0,75 2 0,00061039 – 0,00049976 0,00157192 – 0,00129271
0,75 4 – 0,00000228 – 0,00000038 – 0,00000417 0,00000201
0,75 6 – 0,00000304 – 0,00000221 – 0,00000599 0,00000772
1,00 0 – 0,01403031 0,01578243 – 0,02818434 0,03156991
1,00 2 0,00268368 – 0,00256219 0,00541553 – 0,00519043
1,00 4 0,00014496 – 0,00011216 0,00029284 – 0,00020232
1,00 6 – 0,00011719 – 0,00000993 – 0,00023694 – 0,00001928
1,25 0 – 0,03855195 0,04699977 – 0,06427525 0,07738027
1,25 2 0,00440444 – 0,00448174 0,00747012 – 0,00753579
1,25 4 0,00070115 – 0,00052358 0,00116499 – 0,00080049
1,25 6 0,00006078 0,00007910 0,00010208 0,00013018
1,50 0 – 0,08375788 0,10082155 – 0,12065639 0,14050163
1,50 2 – 0,00042702 0,00052957 0,00031340 0,00080374
1,50 4 – 0,00001880 0,00006288 – 0,00002721 0,00018122
1,50 6 0,00000606 0,00000911 0,00001424 0,00003336
1,75 0 – 0,15253710 0,15498460 – 0,19564202 0,18296874
1,75 2 – 0,02750581 0,02407182 – 0,02925021 0,03061140
1,75 4 – 0,01196630 0,00750394 – 0,01448292 0,00904876
1,75 6 – 0,00467943 0,00180552 – 0,00574120 0,00223308
r
u r
u
k∂
∂
∗v ( , )
= r k u r t mt t dtk( , ) ( cos( )) cos( )cos( ),− + −∫0 5 15
0
π
=
= ( , ) ( cos( )) cos( ),k u r t mt dtk− +
−∫0 5 0 5
0
π
–
– u u r t mt dtk( cos( )) cos( ),+
−∫ 15
0
π
=
( , ) ( , ) ( , )k u r u u rk k− −( )∗
−
∗0 5 1v v . (3.8)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 591
Na osnovi cyx formul znaxodymo formuly dlq druhyx poxidnyx, i pislq pidsta-
novky ]x u rivnqnnq (1.3) oderΩu[mo rekurentnu formulu
k m u rk+
−
+
∗1
2
2
2
1v ( , ) =
( ) ( , ) ( , )( )2 1
1
4
2 2 2
1k ku u r r u k u rk k+ + − −
∗
−
∗v v . (3.9)
Pokladagçy u = iz r+ 0 , na osnovi kompleksnoznaçnyx funkcij vk u r∗( , ) budu[-
mo rozv’qzky rivnqnnq (1.4):
ω2 1k N
m z r− + ( , ) = Im ( , )( )vk iz r r∗ + 0 , ω2k N
m z r+ ( , ) = Re ( , )( )vk iz r r∗ + 0 , (3.10)
a vΩe ci funkci] v sukupnosti z hladkymy rozv’qzkamy rivnqnnq (1.4) ωk z r( , )
vykorystovu[mo v qkosti koordynatnyx funkcij, podagçy nablyΩenyj rozv’q-
zok zadaçi (3.1) u vyhlqdi
ψm z r( , ) = a z r a z rk k
k
N
k N k N
k
N
ω ω( , ) ( , )
=
+ +
=
∑ ∑+
1 1
1
. (3.11)
U tabl.D3.3 navedeno vidpovidni minimal\ni znaçennq funkcionala (3.2) ta sered-
n\oaryfmetyçnu toçnist\ δ vykonannq krajovyx umov zadaçi (3.1) pry zbere-
Ωenni u sumi (3.11) N1 dodankiv pry stalomu N = 20.
Porivnqnnq danyx tabl.D3.1 i 3.3 pokazu[, wo toçnist\ vykonannq krajovyx
umov v obox vypadkax vyboru systemy koordynatnyx funkcij z osoblyvostqmy
sutt[vo pokrawu[t\sq dlq vsix znaçen\ h ta ma[ pryblyzno odyn i toj samyj
porqdok.
4. Pobudova rozv’qzkiv zadaçi pro vlasni kolyvannq ridyny u sferyçnij
poroΩnyni. Vykorysta[mo pobudovani vywe rozv’qzky rivnqnnq (0.3) dlq roz-
v’qzuvannq zadaçi pro vlasni kolyvannq ideal\no] ridyny, qka çastkovo zapovng[
sferyçnu poroΩnynu. Cq zadaça ma[ vyhlqd
1 2
2
2
2r r
r
r z
m
r
m m
m
∂
∂
∂
∂
+ ∂
∂
−ψ ψ ψ = 0 v G,
(4.1)
∂
∂
ψm
z
= λψm na Γ,
∂
∂
ψm
n
= 0 na L , m = 0, 1, 2, … ,
de G = ( , ) : , ,z r x r r z hk
2 2 1 0 1+ < ≥ ≤ −{ } — merydional\nyj pereriz oblas-
ti, zapovneno] ridynog, Γ = ( , ) : ,z r z h r rk= − ≤ ≤{ }1 0 0 — merydional\nyj
pereriz vil\no] poverxni ridyny, L = ( , ) : , ,z r x r r z hk
2 2 1 0 1+ = ≥ ≤ −{ } —
merydional\nyj pereriz poverxni sfery, zmoçeno] ridynog, hk — vysota zapov-
nennq sfery ridynog, r0 = 1 2− hk — radius vil\no] poverxni ridyny, λ —
spektral\nyj parametr. Pry m = 0 na funkcig ψ0( )r neobxidno naklasty
umovu zbereΩennq ob’[mu nestyslyvo] ridyny
r r dr
r
ψ0
0
0
0
( , )∫ = 0.
NablyΩenyj rozv’qzok ci[] zadaçi znovu pobudu[mo za dopomohog variacijno-
ho metodu [4] ßlqxom minimizaci] funkcionala
F u( ) = r
r z
m
r
dG
G
∂
∂
+ ∂
∂
+
∫ ψ ψ ψ
2 2 2
na klasi funkcij ψ ∈W Gr2
1
, ( ), wo zadovol\nqgt\ umovu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
592 M. Q. BARNQK
TablycqD3.3
h n F1 δ1 F2 δ2
0,50 0 – 0,155026996413 0,552E–08 – 0,069067066057 0,753E–07
0,50 2 – 0,155026996436 0,476E–08 – 0,069067066367 0,651E–07
0,50 4 – 0,155026996443 0,239E–09 – 0,069067066462 0,329E–08
0,50 6 – 0,155026996443 0,916E–11 – 0,069067066465 0,115E–09
0,75 0 – 0,172119566185 0,244E–06 – 0,076039769453 0,161E–05
0,75 2 – 0,172119567333 0,139E–06 – 0,076039777047 0,920E–06
0,75 4 – 0,172119567544 0,124E–08 – 0,076039778454 0,841E–08
0,75 6 – 0,172119567546 0,605E–10 – 0,076039778463 0,371E–09
1,00 0 – 0,159165356972 0,712E–05 – 0,069673110318 0,286E–04
1,00 2 – 0,159165407714 0,291E–05 – 0,069673314458 0,117E–04
1,00 4 – 0,159165413802 0,473E–09 – 0,069673339059 0,122E–08
1,00 6 – 0,159165413801 0,928E–11 – 0,069673339060 0,395E–10
1,25 0 – 0,124603477713 0,683E–04 – 0,053981945445 0,187E–03
1,25 2 – 0,124604127030 0,185E–04 – 0,053983724489 0,512E–04
1,25 4 – 0,124604175999 0,218E–06 – 0,053983858819 0,563E–06
1,25 6 – 0,124604176364 0,195E–07 – 0,053983859710 0,536E–07
1,50 0 – 0,077858227395 0,405E–03 – 0,033316780889 0,810E–03
1,50 2 – 0,077863261426 0,652E–04 – 0,033326821798 0,132E–03
1,50 4 – 0,077863469903 0,267E–05 – 0,033327238886 0,512E–05
1,50 6 – 0,077863474920 0,387E–06 – 0,033327248173 0,768E–06
1,75 0 – 0,030247043584 0,178E–02 – 0,012712184323 0,273E–02
1,75 2 – 0,030277516377 0,131E–03 – 0,012759229489 0,216E–03
1,75 4 – 0,030278033751 0,107E–04 – 0,012760142639 0,154E–04
1,75 6 – 0,030278053873 0,229E–05 – 0,012760172246 0,329E–05
r drψ2
Γ
∫ = 1,
a pry m = 0 i umovu
r r dr
r
ψ( , )0
0
0
∫ = 0.
Pokladagçy u = iz r+ 0 , na osnovi kompleksnoznaçnyx funkcij vk
m u r( , )
oderΩu[mo rozv’qzky rivnqnnq (0.3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 593
TablycqD4.1
h n λ1 δ1 λ2 δ2
0,50 0 1,2077172346 0,2375E–07 5,4968839295 0,8108E–06
0,50 2 1,2077172344 0,7461E–08 5,4968839241 0,1923E–06
0,50 4 1,2077172344 0,7311E–10 5,4968839235 0,3040E–08
0,75 0 1,3569647364 0,3042E–06 5,2571815991 0,5559E–07
0,75 2 1,3569647349 0,3672E–07 5,2571815987 0,9541E–08
0,75 4 1,3569647349 0,5464E–10 5,2571815987 0,1358E–08
1,00 0 1,5601572773 0,1286E–04 5,2755468627 0,1007E–03
1,00 2 1,5601571758 0,7163E–06 5,2755460631 0,5608E–05
1,00 4 1,5601571739 0,1956E–07 5,2755460471 0,2040E–06
1,00 6 1,5601571738 0,1298E–08 5,2755460464 0,9460E–07
1,25 0 1,8591337499 0,1998E–03 5,5831142898 0,2431E–02
1,25 2 1,8591316786 0,2807E–05 5,5830884072 0,3852E–04
1,25 4 1,8591316682 0,1947E–06 5,5830882219 0,3124E–05
1,25 6 1,8591316678 0,2758E–07 5,5830882151 0,2925E–06
1,50 0 2,3622785589 0,2527E–02 6,3734444450 0,2897E–01
1,50 2 2,3622449064 0,1060E–05 6,3730431563 0,9154E–04
1,50 4 2,3622448918 0,9161E–09 6,3730418522 0,1241E–05
1,50 6 2,3622448918 0,1613E–10 6,3730418445 0,2341E–08
1,75 0 3,5010428451 0,4105E–01 8,5369928590 0,3318E
1,75 2 3,5003215306 0,6297E–03 8,5310572143 0,7310E–02
1,75 4 3,5003179111 0,1192E–03 8,5309916837 0,9077E–03
1,75 6 3,5003176393 0,3685E–04 8,5309894501 0,2871E–03
ω2 1k N
m z r− + ( , ) = Im ( , )( )vk
m iz r r+ 0 ,
ω2k N
m z r+ ( , ) = Re ( , )( )vk
m iz r r+ 0 ,
a vΩe ci funkci] v sukupnosti z hladkymy rozv’qzkamy vk
m z r( , ) rivnqnnq (0.4)
vykorystovu[mo v qkosti koordynatnyx funkcij, podagçy nablyΩenyj rozv’q-
zok zadaçi (4.1) u vyhlqdi
ψm z r( , ) = a z r a z rk k
m
k
N
k N k N
m
k
N
ω ω( , ) ( , )
=
+ +
=
∑ ∑+
1 1
1
.
U tabl.D4.1 u tret\omu i p’qtomu stovpçykax navedeno velyçyny perßoho ta dru-
hoho vlasnoho znaçennq zadaçi (4.1) pry m = 1, vyznaçeni za dopomohog metodu
Ritca. V çetvertomu i ßostomu stovpçykax tablyci mistyt\sq velyçyna
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
594 M. Q. BARNQK
TablycqD4.2
h n λ1 δ1 λ2 δ2
0,75 0 1,3569647472 0,1407E–05 5,2571816015 0,2542E–06
0,75 2 1,3569647369 0,8948E–06 5,2571815996 0,1427E–06
0,75 4 1,3569647349 0,8896E–08 5,2571815991 0,6503E–09
1,00 0 1,5601572773 0,1286E–04 5,2755468627 0,1007E–03
1,00 2 1,5601571851 0,5312E–05 5,2755461362 0,4138E–04
1,00 4 1,5601571738 0,8388E–09 5,2755460471 0,4805E–07
1,00 6 1,5601571738 0,9710E–11 5,2755460467 0,1988E–06
1,25 0 1,8591337499 0,1998E–03 5,5831142898 0,2431E–02
1,25 2 1,8591318196 0,5529E–04 5,5830902221 0,6761E–03
1,25 4 1,8591316688 0,6028E–06 5,5830882340 0,9611E–05
1,25 6 1,8591316679 0,5352E–07 5,5830882159 0,4398E–06
1,50 0 2,3622785589 0,2527E–02 6,3734444450 0,2897E–01
1,50 2 2,3622463738 0,4214E–03 6,3730621391 0,4947E–02
1,50 4 2,3622449212 0,1616E–04 6,3730423140 0,2321E–03
1,50 6 2,3622448961 0,2371E–05 6,3730418800 0,2242E–04
1,75 0 3,5010428451 0,4105E–01 8,5369928590 0,3318E
1,75 2 3,5003317787 0,3148E–02 8,5311899014 0,3007E–01
1,75 4 3,5003180929 0,2671E–03 8,5309946988 0,2729E–02
1,75 6 3,5003176445 0,5411E–04 8,5309897834 0,5069E–03
δi = r
z
dr r
n
dl
m i
i m i
r
m i
L
∂
∂
−
+
∂
∂
∫ ∫
ψ
λ ψ
ψ,
,
,
2
0
20
,
wo vyznaça[ seredn\oaryfmetyçnu toçnist\ vykonannq krajovyx umov zadaçi.
Nahada[mo, wo funkci] ψm i, normovani, tobto zadovol\nqgt\ umovu
r drm i
r
ψ ,
2
0
0
∫ = 1.
V tabl.D4.2 navedeno nablyΩeni vlasni znaçennq spektral\no] zadaçi (4.1),
obçysleni za dopomohog metodu Ritca, koly v qkosti dodatkovyx koordynatnyx
funkcij bulo vybrano funkci] (3.6).
Porivnqnnq danyx tabl.D4.1 i 4.2 pokazu[, wo toçnist\ vykonannq krajovyx
umov zadaçi, pry vklgçenni do çysla koordynatnyx funkcij osoblyvyx roz-
v’qzkiv rivnqnnqD(0.4), v obox vypadkax sutt[vo pokrawu[t\sq, majΩe na odyn i
toj samyj porqdok, xoça funkci] vk
m u r( , ) i vk u r∗( , ) [ riznymy. Velyçyny vlas-
nyx znaçen\ λi takoΩ prqmugt\ praktyçno do odnyx i tyx samyx znaçen\, wo
svidçyt\ pro vysoku toçnist\ pobudovanyx rozv’qzkiv zadaçi.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
POBUDOVA ROZV’QZKIV KRAJOVYX ZADAÇ DLQ RIVNQNNQ LAPLASA … 595
5. Vysnovky. Navedeni vywe pryklady pokazugt\, wo vykorystannq v qkos-
ti koordynatnyx funkcij porqd z hladkymy funkciqmy special\no pobudovanyx
funkcij, wo magt\ osoblyvosti za meΩeg oblasti, istotno polipßu[ toçnist\
nablyΩenoho rozv’qzku zadaçi, qkyj budu[t\sq za dopomohog variacijnoho meto-
du. Cikavym pry c\omu [ fakt, wo take polipßennq ma[mo pry riznyx systemax
funkcij z osoblyvistg. Spil\nog xarakterystykog povedinky cyx funkcij [
te, wo vony sami abo ]xni çastynni poxidni rozryvni za meΩeg oblasti. Same ta-
kyj xarakter povedinky magt\ ßukani rozv’qzky zadaç v okoli kutovyx toçok.
1. Kondrat\ev V. A. Kraev¥e zadaçy dlq πllyptyçeskyx uravnenyj v oblastqx s kanonyçesky-
my yly uhlov¥my toçkamy // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1967. – 16. – S.D209 – 292.
2. Komarenko A. N. Asymptotyçeskoe razloΩenye sobstvenn¥x funkcyj zadaçy s parametrom
v kraev¥x uslovyqx v okrestnosty uhlov¥x hranyçn¥x toçek // Ukr. mat. Ωurn. – 1980. – 32,
# 6. – S.D653 – 659.
3. Kurant R. Uravnenyq s çastn¥my proyzvodn¥my. – M.: Myr, 1964. – 832 s.
4. Lukovskyj Y. A., Barnqk M. Q., Komarenko A. N. PryblyΩenn¥e metod¥ reßenyq zadaç dy-
namyky ohranyçennoho obæema Ωydkosty. – Kyev: Nauk. dumka, 1984. – 232 s.
5. Myxlyn S. H. Varyacyonn¥e metod¥ v matematyçeskoj fyzyke. – M.: Nauka, 1970. – 512 s.
OderΩano 01.07.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3043 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/72/19d1c2244322f78b7147f989e9080b72.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30432020-03-18T19:44:07Z Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary Побудова розв'язків крайових задач для рівняння Лапласа в областях обертання з ребристою межею Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. A method for the construction of high-precision approximate solutions of boundary-value problems for the Laplace equation in domains with corner points is proposed. We consider boundary-value problems for the three-dimensional Laplace equation in domains in the form of bodies of revolution whose meridional section has corner points. The solutions of the problems are constructed by using variational methods. For the numerical realization of these methods, we construct special solutions of the Laplace equation with singularities (or with singularities of their partial derivatives) on a certain ray originating at a corner point and directed outside the domain. To illustrate the proposed method, we construct the solutions of the Neumann problem and the problem of natural oscillations of ideal liquid in a spherical cavity. Предлагается метод построения высокоточных приближенных решений краевых задач для уравнения Лапласа в областях с угловыми точками. Рассматриваются краевые задачи для трехмерного уравнения Лапласа в областях, имеющих форму тела вращения, с меридиональным сечением, имеющим угловые точки. Решения задач строятся с помощью вариационных методов, для численной реализации которых построены специальные решения уравнения Лапласа, которые сами или их частные производные претерпевают разрыв на некотором луче с началом в угловой точке и направленном за пределы области. В качестве иллюстрации предложенного метода построены решения задачи Неймана и задачи о собственных колебаниях идеальной жидкости в сферической полости Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3043 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 579-595 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 579-595 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3043/2835 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3043/2836 Copyright (c) 2009 Barnyak M. Ya. |
| spellingShingle | Barnyak, M. Ya. Барняк, М. Я. Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| title | Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| title_alt | Побудова розв'язків крайових задач для рівняння Лапласа в областях обертання з ребристою межею |
| title_full | Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| title_fullStr | Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| title_full_unstemmed | Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| title_short | Construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| title_sort | construction of the solutions of boundary-value problems for the laplace equation in domains of revolution with edged boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3043 |
| work_keys_str_mv | AT barnyakmya constructionofthesolutionsofboundaryvalueproblemsforthelaplaceequationindomainsofrevolutionwithedgedboundary AT barnâkmâ constructionofthesolutionsofboundaryvalueproblemsforthelaplaceequationindomainsofrevolutionwithedgedboundary AT barnyakmya pobudovarozv039âzkívkrajovihzadačdlârívnânnâlaplasavoblastâhobertannâzrebristoûmežeû AT barnâkmâ pobudovarozv039âzkívkrajovihzadačdlârívnânnâlaplasavoblastâhobertannâzrebristoûmežeû |