Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets
We generalize some classical results in the theory of extreme problems for nonoverlapping domains.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3044 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509068428312576 |
|---|---|
| author | Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. |
| author_facet | Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. |
| author_sort | Bakhtin, A. K. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We generalize some classical results in the theory of extreme problems for nonoverlapping domains. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:13Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.54
O. K. Baxtin (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV
NEPERETYNNYX OBLASTEJ TA VIDKRYTYX MNOÛYN
*
We obtain generalizations of classical results in the theory of extremal problems of nonoverlapping
domains.
Poluçen¥ obobwenyq klassyçeskyx rezul\tatov v teoryy πkstremal\n¥x zadaç o nenalehagwyx
oblastqx.
1. Ekstremal\ni zadaçi dlq n-promenevyx system toçok. Robotu prysvqçeno
rozv’qzanng novyx ekstremal\nyx zadaç pro neperetynni oblasti z vil\nymy po-
lgsamy na promenqx ta ]x uzahal\nenng na deqki klasy vidkrytyx mnoΩyn.
Vynyknennq danoho naprqmku heometryçno] teori] funkcij kompleksno] zminno]
pov’qzano z klasyçnog robotog M. O. Lavrent\[va [1], v qkij bulo rozv’qzano
zadaçu pro dobutok konformnyx radiusiv dvox vza[mno neperetynnyx oblastej.
Cq zadaça vyklykala velykyj interes bahat\ox matematykiv. S\ohodni rezul\ta-
ty i metody, pov’qzani z zadaçamy takoho rodu, naleΩat\ do vidomoho naprqmku
heometryçno] teori] funkcij kompleksno] zminno] (dyv., napryklad, [2 – 14]).
Sformulg[mo osnovni oznaçennq roboty. Nexaj N i R — mnoΩyny vidpo-
vidno natural\nyx i dijsnyx çysel, R+ = ( , )0 ∞ , C — kompleksna plowyna, a
C = C ∪ {∞} — ]] odnotoçkova kompaktyfikaciq. Poznaçymo çerez r B a( , )
vnutrißnij radius oblasti B ⊂ C vidnosno toçky a B∈ , a çerez cap E — loha-
ryfmiçnu [mnist\ mnoΩyny E (dyv., napryklad, [2, 4]), χ( )t : = 1
2
1( )t t+ −
.
Nexaj n, m ∈ N. Systemu toçok An m, : = ak p, ∈{ }C , k = 1, n , p = 1, m , bude-
mo nazyvaty ( , )n m -promenevog, qkwo pry vsix k = 1, n i p = 1, m vykonugt\sq
spivvidnoßennq 0 < ak,1 < … < ak m, < ∞ , arg ,ak 1 = arg ,ak 2 = … = arg ,ak m = :
= : θk , 0 = θ1 < θ2 < … < θn < θn +1 : = 2π. Na mnoΩyni ( , )n m -promenevyx sys-
tem toçok rozhlqnemo velyçyny αk : = 1
1π
θ θk k+ −[ ] , k = 1, n , αn +1 : = α1, α0 : =
: = αn,
k
n
k=∑ 1
α = 2. Poznaçymo P An m( ), = Pk k
n{ } =1, de Pk : = { w ∈C: θk <
< arg w < θk +1}, k = 1, n . Nexaj z wk ( ) poznaça[ odnoznaçnu hilku bahatoznaçno]
analityçno] funkci] z = − ( )− /
i e wi k kθ α1
, wo odnolysto vidobraΩa[ oblast\ Pk
na pravu pivplowynu.
U vypadku m = 1 ( , )n 1 -promenevu systemu toçok budemo nazyvaty n-pro-
menevog i rozhlqdatymemo bil\ß prosti poznaçennq: ak,1 = : ak , k = 1, n , An,1 = :
= : An .
Dlq mnoΩyny vsix n-promenevyx system vvedemo „kerugçyj” funkcional
L La A
a
a
ak k
n
n
k
n
k
k
k
k{ }( ) = =
=
=
+∏1
1
1
1
2: ( ) : χ α
. (1)
Nexaj Bk k
n{ } =1 — systema oblastej, qki vza[mno ne peretynagt\sq. Pry
koΩnomu k = 1, n lyße skinçenna kil\kist\ komponent zv’qznosti mnoΩyny
*
Vykonano za çastkovo] finansovo] pidtrymky DerΩavno] prohramy Ukra]ny # 0107U002027.
© O. K. BAXTIN, 2009
596 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 597
C \ Bk moΩut\ mistyty vseredyni sebe qkus\ iz oblastej Bj , j = 1, n , j ≠ k ; taki
komponenty my nazyva[mo sutt[vymy. Oblast\, otrymanu vyluçennqm iz C vsix
sutt[vyx komponent zv’qznosti mnoΩyny C \ Bk , budemo poznaçaty B̃k . Zrozu-
milo, wo Bk ⊂ B̃k (pry vsix k = 1, n) i B̃k k
n{ } =1
— systema skinçennozv’qznyx
oblastej, qki vza[mno ne peretynagt\sq, bez izol\ovanyx hranyçnyx toçok. Pe-
rexid vid systemy oblastej Bk k
n{ } =1 do systemy oblastej B̃k k
n{ } =1
nazyva[t\sq
operaci[g zapovnennq nesutt[vyx hranyçnyx komponent.
Dovedemo nastupnu teoremu.
Teorema 1. Nexaj n ∈N , n ≥ 3. Todi dlq bud\-qko] n-promenevo] systemy
toçok An = ak k
n{ } =1 i dovil\no] systemy vza[mno neperetynnyx oblastej
Bk k
n{ } =1, a Bk k∈ ⊂ C , spravdΩu[t\sq nerivnist\
k
n
k k
n
n
k
n
kr B a A
= =
∏ ∏≤
1 1
2( , ) ( )L α ,
znak rivnosti v qkij dosqha[t\sq todi i til\ky todi, koly ak i B̃k [ vidpovid-
no polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyçnoho dyferenciala
Q w dw w
w R
dw
n
n( )
( )
2
2
2= −
−
−
,
de Rn = L ( )An , cap ˜ \B Bk k = 0, k = 1, n .
Dovedennq. Ob’[dnannq zv’qzno] komponenty mnoΩyny z P Bk k k∩( ) , wo
mistyt\ toçku gk
( )1 = z ak k( ), z ]] symetryçnym vidobraΩennqm vidnosno uqvno]
osi i poznaçymo çerez Gk
( )1
, k = 1, n . U svog çerhu, Gk
( )2
, k = 1, n , bude poznaçaty
ob’[dnannq zv’qzno] komponenty mnoΩyny z P Bk k k∩ +( )1 , wo mistyt\ toçku
gk
( )2 = z ak k( )+1 , z ]] symetryçnym vidobraΩennqm vidnosno uqvno] osi, Bn +1 = B1,
gn
( )2 : = z an n( )+1 : = z an( )1 . Qk i v robotax [7, 12], zapyßemo
z w z a a w a ok k k
k
k k
k( ) ( ) ( )/− = − +−1 11 1
α
α , w ak→ , w Pk∈ ,
(2)
z w z ak k k( ) ( )− +1 = 1 11
1 1
1α
α
k
k ka w a ok
+
−
+− +/
( ),
w ak→ +1, w Pk∈ , k = 1, n .
Vidpovidno do teoremy 1.9 [7] i formul (2) otrymu[mo nerivnosti
r B a
r G g r G g
a a
k k
k k k k
k
k
k
k
k k
( , )
, ,( ) ( ) ( ) ( )
/ /
≤
( ) ( )
− −
−
− −−
1
2
1
2 1 1
1
1 1 1 1
1
2
1 11
α α
α α
, k = 1, n . (3)
Z uraxuvannqm (3) oderΩu[mo ocinku
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤
k
n
k k k
k k k k
k
a
r G g r G g
a k k
=
−
− −
+∏ ( ) ( )
−
1
1
2 1
2
1
2 1 1
1 1
1
2
1
α α α α
( ) ( ) ( ) ( )
/ /
, ,
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
598 O. K. BAXTIN
=
k
n
k
k
n
k
k k
n
k k k k
a
a
r G g r G g
k k
= =
+
=
∏ ∏ ∏−
( ) ( )
1 1
1 1 2
1
1 1 2 2
1
2
1
α α α( / / ) /
( ) ( ) ( ) ( ), , . (4)
Slid zauvaΩyty, wo oblasti Gk
( )1
i Gk
( )2
ne peretynagt\sq pry vsix k = 1, n .
Krim c\oho, qk nevaΩko pomityty,
g z a i e a i ak k k
i
k k
k k k( ) / /( )1 1 1= = − ( ) = −− θ α α
,
g z a i e a i ak k k
i
k k
k k k( ) / /
( )2
1 1
1
1
1= = − ( ) =+
−
+ +
θ α α
, (5)
g g a ak k k k
k k( ) ( ) / /1 2 1
1
1− = + +
α α
, k = 1, n .
Peretvorggçy nerivnist\ (4) z uraxuvannqm (5), oderΩu[mo vyrazy
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤
≤
k
n
k
k
n
k k
k k
k
k
n
k k k k
k k
a a
a a
a
r G g r G g
g g
k k
k
= =
+
+ =
∏ ∏ ∏
+ ( ) ( )
−
1 1
1
1
1
1
1 2
1
1 1 2 2
1 2 2
1
2
α
α α
α
/ /
/
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
=
=
k
n
k
k
n
k
k
k
k
k k
n
k k k k
k k
a
a
a
a
a
r G g r G g
g g
k k
= = +
+
=
∏ ∏ ∏+
( ) ( )
−
1 1 1
1 2
1
1 2
1
1 1 2 2
1 2 2
1
2
α
α α/ / ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
=
= 2
1 1 1
1 2
1
1 1 2 2
1 2 2
1
2
n
k
n
k
k
n
k
k
k
k
n
k k k k
k k
a
a
a
r G g r G g
g g
k
= = + =
∏ ∏ ∏
( ) ( )
−
α χ
α/ ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
.
Zvidsy z uraxuvannqm spivvidnoßennq (1) otrymu[mo
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤
2
1 1
1 1 2 2
1 2 2
1
2
n
n
k
n
k
k
n
k k k k
k k
A
r G g r G g
g g
L ( )
, ,( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
= =
∏ ∏ ( ) ( )
−
α . (6)
Iz spivvidnoßen\ (6) vyplyva[, wo
2
1
1
1
n
n
k
n
k
k
n
k kA r B aL ( ) ( , )
=
−
=
∏ ∏
α ≤
k
n
k k k k
k k
r G g r G g
g g=
∏ ( ) ( )
−
1
1 1 2 2
1 2 2
1
2( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,
. (7)
Na pidstavi vidomo] nerivnosti M. O. Lavrent\[va [1, 7] ma[mo
r G g r G g
g g
k k k k
k k
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
, ,1 1 2 2
1 2 2
( ) ( )
−
≤ 1, k = 1, n , (8)
pryçomu znak rivnosti u (8) dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly
˜ ( )Gk
2 = C \ ˜ ( )Gk
1 , ˜ ( )Gk
1 = G( )ρ ,
G( )ρ = z
z g
z g
k
k
:
( )
( )
−
−
<
1
2 ρ , ρ ∈ +R .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 599
Spivstavlqgçy (7) i (8), pryxodymo do vysnovku, wo
2 1
1
1
1
n
n
k
n
k
k
n
k kA r B aL ( ) ( , )
=
−
=
∏ ∏
≤α . (9)
Znak rivnosti u (9) dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly u nerivnostqx (3) i (8)
odnoçasno realizu[t\sq znak rivnosti pry vsix k = 1, n . Na pidstavi rezul\tativ
roboty [11] otrymu[mo, wo dlq realizaci] znaka rivnosti v (9) neobxidno, wob
Bk ⊂ {w : θk −1 < arg w < θk +1}, k = 1, n . Zvidsy vyplyva[, wo toçky w = 0 i w =
= ∞ ne [ vnutrißnimy dlq oblastej Bk , k = 1, n . Takym çynom, oblast\
˜ ( )Gk
2
[ v
toçnosti verxn\og pivplowynog Im z > 0, ˜ ( )Gk
1
— nyΩn\og pry k = 1, n i ne-
obxidno vykonu[t\sq umova gk
( )1 = gk
( )2 , k = 1, n . Krim toho, z umov realizaci]
znaka rivnosti v (3) (dyv., napryklad, [7]) otrymu[mo symetryçnist\ Bk vidnosno
promenq arg w = θk , k = 1, n . Zvidsy vyplyva[, wo αk = 2
n
, k = 1, n . Takym
çynom, znak rivnosti u nerivnosti (9) moΩe buty todi i lyße todi, koly B̃k i ak ,
k = 1, n , [ vidpovidno kruhovymy oblastqmy i polgsamy kvadratyçnoho
dyferenciala
Q w dw w
w
dw
n
n( )
( )
2
2
2
2
1
= −
−
−
.
Dali dlq tako] systemy oblastej vykonugt\sq rivnosti r B ak k( , ) = r B ak k
˜ ,( ),
k = 1, n . U c\omu vypadku ma[ misce nerivnist\ h wk ( ) = g w a
B k
k
˜ ( , ) – g w aB kk
( , ) ≥
≥ 0, k = 1, n , qka v usix rehulqrnyx toçkax meΩi Bk peretvorg[t\sq na rivnist\,
wo za pryncypom maksymumu dlq harmoniçnyx funkcij zabezpeçu[ rivnist\
h wk ( ) ≡ 0, w Bk∈ , k = 1, n . Ostann[ spivvidnoßennq pryvodyt\ do vysnovku, wo
cap ˜ \B Bk k( ) = 0, k = 1, n , u vypadku vykonannq rivnosti u (9).
Teoremu 1 dovedeno.
2. Ocinky funkcionaliv dlq n-promenevyx system toçok i vidkrytyx
mnoΩyn. Teoremu 1 moΩna znaçno uzahal\nyty. Dlq c\oho navedemo we kil\ka
oznaçen\.
Nexaj D, D ⊂ C , — dovil\na vidkryta mnoΩyna i w = a D∈ , todi D a( )
poznaça[ zv’qznu komponentu D, wo mistyt\ a. Dlq bud\-qko] ( , )n m -promene-
vo] systemy toçok An m, = { }ak p, i vidkryto] mnoΩyny D, An m, ⊂ D, poznaçymo
çerez D ak p s( ), zv’qznu komponentu mnoΩyny D ap s( ), ∩ P Ak n m,( ) , wo mistyt\
toçku ap s, , p = k, k + 1, s = 1, m , k = 1, n . Na mnoΩyni par ciloçyslovyx indek-
siv ( , )k p vyznaçymo rivnist\ takym çynom: ( , )k p = ( , )q s ⇔ k = q i p = s.
Budemo hovoryty, wo vidkryta mnoΩyna D, An m, ⊂ D, zadovol\nq[ perßu umo-
vu nenakladannq vidnosno zadano] ( , )n m -promenevo] systemy toçok An m, =
= { }ak p, , qkwo
D a D ak p l k q s( ) ( ), ,∩ = ∅
pry koΩnomu fiksovanomu k = 1, n i dlq vsix riznyx toçok ap l, i aq s, , qki na-
leΩat\ P Ak n m,( ) .
Poklademo r D a( , ) : = r D a a( ),( ),
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
600 O. K. BAXTIN
g w a
w D a
g w a w D a
g a D a w D a
D D a
w
D a
( , ) :
, \ ( ) ,
( , ) , ( ) ,
lim ( , ) , ( ) , ( ) .
( )
( )
=
∈
∈
∈ ∈∂
→
0 C
ζ
ζ ζ
Teorema 2. Nexaj n ∈N , n ≥ 2. Todi dlq bud\-qko] n-promenevo] systemy
toçok An = ak k
n{ } =1 i dovil\no] vidkryto] mnoΩyny D , An m, ⊂ D ⊂ C , qka
zadovol\nq[ perßu umovu nenakladannq vidnosno systemy An , vykonu[t\sq ne-
rivnist\
k
n
k
p l
D p l
n
k
k
n
nr D a g a a A
= ≠ =
∏ ∏ ∏≤
1 1
2( , ) exp ( , ) ( )α L .
Znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq, zokrema, koly ak{ } i mnoΩyna D
[ vidpovidno polgsamy i ob’[dnannqm usix kruhovyx oblastej kvadratyçnoho dy-
ferenciala
Q w dw w
w R
dw
n
n n( )
( )
2
2
2
2= −
−
−
,
de Rn = L ( )An .
Dovedennq. Nasampered zaznaçymo, wo z umovy nenakladannq vyplyva[, wo
mnoΩyna D ma[ uzahal\nenu funkcig Hrina g w aD( , ). Rozhlqnemo mnoΩyny
E0 = C \ D ; Et ka( ) = {w : w ak− < t }, k = 1, n , t ∈ +R . Dlq dostatn\o malyx
t ∈ +R rozhlqnemo kondensator C t D An( , , ) = E E0 1, ( )t{ }, de E1( )t =
k
n
t ka
=1
∪ E ( ) .
{mnistg kondensatora nazyva[t\sq velyçyna (dyv., napryklad, [7, 8])
cap ( , , )C t D An = inf ( ) ( )′ + ′[ ]∫∫ G G dx dyx y
2 2
,
de toçna nyΩnq hran\ beret\sq po klasu vsix dijsnyx, neperervnyx i lipßycevyx
na C funkcij G = G z( ), qki dorivnggt\ nulg u deqkomu okoli mnoΩyny E0
i 1 na E1( )t . Dlq dovil\noho kondensatora C poklada[mo za oznaçennqm C =
= cap C[ ]−1
. Velyçyna C nazyva[t\sq modulem kondensatora C. Rozhlqnemo
vidokremlggçe peretvorennq kondensatora C t D An( , , ) vidnosno sim’] funkcij
z wk k
n( ){ } =1 i systemy oblastej P An( ), de z = z wk ( ) = − ( )− /
i e wi k kθ α1
, k = 1, n ,
P An( ) = P Ak n k
n( ){ } =1. Vvedemo do rozhlqdu nastupni kondensatory: C t Dk ( , ) =
=
E E0 1
( ) ( ), ( )k k t{ } , k = 1, n , de
E0
( )k
[ ob’[dnannqm obrazu mnoΩyny E0 ∩ P Ak n( )
pry vidobraΩenni z = z wk ( ) z ]] symetryçnym vidobraΩennqm vidnosno uqvno]
osi, a E1
( )( )k t — ob’[dnannqm obrazu mnoΩyny E1( )t P Ak n∩ ( ) pry vidobraΩenni
ti[g Ω funkci[g z = z wk ( ) z ]] symetryçnym vidobraΩennqm vidnosno uqvno]
osi. Pry vidokremlggçomu peretvorenni vidnosno sim’] z wk k
n( ){ } =1 i systemy
oblastej P Ak n k
n( ){ } =1 kondensatoru C t D An( , , ) vidpovida[ nabir kondensatoriv
C t Dk k
n( , ){ } =1, symetryçnyx vidnosno uqvno] osi. U vidpovidnosti z robotamy [6 –
8] otrymu[mo nerivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 601
cap ( , , )C t D An ≥ 1
2 1k
n
kC t D
=
∑ cap ( , ).
Zvidsy bezposeredn\o vyplyva[, wo
C t D A C t Dn
k
n
k( , , ) ( , )≤
=
−
−
∑2
1
1
1
.
Iz teoremy 1 [8] otrymu[mo
C t D A
n t
M D A on n( , , ) log ( , ) ( )= + +1
2
1 1
π
, t → 0,
de
M D An( , ) = 1
2 2
1πn
r D a g a a
k
n
k
k p
D k p
= ≠
∑ ∑+
( , ) ( , ) .
Dlq kondensatoriv C t Dk ( , ) ma[ misce analohiçne asymptotyçne zobraΩennq
C t D
t
M D ok k( , ) log ( ) ( )= + +1
2
1
2
1 1
π
, t → 0,
de
M Dk ( ) = 1
2
1
4 1 1
1 1 2 2
1 1
1
1 1π
α α
α α
log
, ,( ) ( ) ( ) ( )
/ /
r G g r G g
a a
k k k k
k
k
k
k
k k
( ) ( )
−
+
−
,
oblasti Gk
s( )
i toçky gk
s( ), k = 1, n , s = 1, 2, vyznaçeno pry dovedenni teoremy 1.
Zvidsy vyplyva[ spivvidnoßennq
C t Dk ( , ) −1 = 4
1
4
1
1
2 2π π
log( / ) log( / )
( ) log
t t
M D o
tk−
+
−
, t → 0.
Todi nevaΩko pomityty, wo
k
n
kC t D
=
−∑
1
1( , ) =
4
1
4
1
1
2
1
2π πn
t t
M D o
tk
n
klog( / ) log( / )
( ) log−
+
=
−
∑ , t → 0.
Iz vykladenoho vywe vyplyva[, wo
1
2
1 1
πn t
M D A onlog ( , ) ( )+ + ≤ 1
2
1 2 12
1πn t n
M D o
k
n
klog ( ) ( )+ +
=
∑ , t → 0.
Pislq skoroçennq osoblyvostej i hranyçnoho perexodu pry t → 0 pryxodymo do
nerivnosti
M D An( , ) ≤ 2
2
1n
M D
k
n
k
=
∑ ( ) .
Zvidsy ma[mo
1
2 2
1πn
r D a g a a
k
n
k
k p
D k p
= ≠
∑ ∑+
log ( , ) ( , ) ≤
≤ 2 1
82
1
2
1 1 2 2
1 1
1
1 1n
r G g r G g
a ak
n
k
k k k k
k k
k kπ
α
α αlog
, ,( ) ( ) ( ) ( )
/ /
=
−
+
−∏ ( ) ( )
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
602 O. K. BAXTIN
Peretvorggçy ostannij vyraz, otrymu[mo nerivnist\
k
n
k
k p
D k pr D a g a a
= ≠
∏ ∏
1
( , ) exp ( , ) ≤
≤
k
n
k
k
n
k
k k k
n
k k k k
a
a a
r G g r G g
k
= = + =
∏ ∏ ∏ ( ) ( )
1 1 1
1 2
1
1 1 2 2
1 2
α α/
( ) ( ) ( ) ( )
/
, , =
=
k
n
k
k
n
k k
k k
k
k
n
k k k k
k k
a a
a a
a
r G g r G g
g g
k k
k
= =
+
+ =
∏ ∏ ∏
+ ( ) ( )
−
1 1
1
1
1
1
1 2
1
1 1 2 2
1 2 2
1 2
α
α α
α
/ /
/
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
/
, ,
.
Tut vykorystano rivnosti (5). Pislq neskladnyx peretvoren\ oderΩu[mo spiv-
vidnoßennq
k
n
k
k p
D k pr D a g a a
= ≠
∏ ∏
1
( , ) exp ( , ) ≤
≤ 2
1 1 1
1
2
1
1 1 2 2
1 2 2
1 2
n
k
n
k
k
n
k
k
k
k
n
k k k k
k k
a
a
a
r G g r G g
g g
k
= = + =
∏ ∏ ∏
( ) ( )
−
α χ α
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
/
, ,
.
Za pobudovog oblasti Gk
( )1
i Gk
( )2
ne peretynagt\sq pry vsix k = 1, n , tomu
na pidstavi rezul\tatu M. O. Lavrent\[va (8) vykonu[t\sq nerivnist\
k
n
k
k p
D k pr D a g a a
= ≠
∏ ∏
1
( , ) exp ( , ) ≤ 2
1
n
k
n
k nA
=
∏α L ( ) .
TverdΩennq pro znak rivnosti perevirq[t\sq bezposeredn\o.
Teoremu 2 dovedeno.
3. Deqki naslidky. Rqd naslidkiv iz teorem 1 i 2 stanovlqt\ znaçnyj inte-
res. Iz teoremy 1 vyplyva[ nastupne tverdΩennq.
Naslidok 1 [11]. Nexaj n ∈N , n ≥ 3. Todi dlq bud\-qko] n-promenevo] sys-
temy toçok An = ak k
n{ } =1 tako], wo L ( )An = 1, i dovil\no] systemy poparno
neperetynnyx oblastej Bk k
n{ } =1, a Bk k∈ ⊂ C , spravdΩu[t\sq nerivnist\
k
n
k k
n
k
n
kr B a
= =
∏ ∏≤
1 1
2( , ) α ,
do toho Ω znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly ak
i B̃k , k = 1, n , [ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyçnoho
dyferenciala
Q w dw w
w
dw
n
n( )
( )
2
2
2
2
1
= −
−
−
i cap ˜ \B Bk k = 0, k = 1, n .
Naslidok 2 [11]. Nexaj n ∈N , n ≥ 3. Todi dlq bud\-qko] n-promenevo] sys-
temy toçok An = ak k
n{ } =1 tako], wo L ( )An = 1, i dovil\no] systemy poparno
neperetynnyx oblastej Bk k
n{ } =1, a Bk k∈ ⊂ C , spravdΩu[t\sq nerivnist\
k
n
k k
n
r B a
n=
∏ ≤
1
4( , ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 603
do toho Ω znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly ak
i B̃k , k = 1, n , [ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyçnoho
dyferenciala
Q w dw w
w
dw
n
n( )
( )
2
2
2
2
1
= −
−
−
i cap ˜ \B Bk k = 0, k = 1, n .
Naslidok 3. Nexaj n ∈N , n ≥ 3. Todi dlq bud\-qko] n-promenevo] systemy
toçok An = ak k
n{ } =1 tako], wo L ( )An = 1, i dovil\no] vidkryto] mnoΩyny D ,
A Dn ⊂ ⊂ C , qka zadovol\nq[ perßu umovu nenakladannq vidnosno systemy An ,
spravdΩu[t\sq nerivnist\
k
n
k
n
k
n
k
k p
D k pr D a g a a
= = ≠
∏ ∏ ∏≤ −{ }
1 1
2( , ) exp ( , )α ,
do toho Ω znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq, zokrema, todi, koly ak i
D [ vidpovidno polgsamy i ob’[dnannqm kruhovyx oblastej kvadratyçnoho dy-
ferenciala
Q w dw w
w
dw
n
n( )
( )
2
2
2
2
1
= −
−
−
.
Naslidky 1 – 3 uzahal\nggt\ vidpovidni rezul\taty z robit [5 – 7].
4. ( n, 2)-Promenevi systemy toçok. U praci [5 ] otrymano rezul\tat, z
qkoho, zokrema, vyplyva[ rozv’qzok ekstremal\no] zadaçi pro toçnu ocinku zver-
xu funkcionala J =
k
n
p k p k pr B a= =∏ ∏1 1
2
( , ), , , de An, 2 = ak p,{ } , k = 1, n , p = 1, 2,
— (n, 2)-promeneva systema toçok taka, wo ak,1 = ρ, a ak k, ,1 2 = R2 , ρ , R ∈ R+ ,
ρ < R, a systema poparno neperetynnyx (bahatozv’qznyx) oblastej, qki zadovol\-
nqgt\ umovy Bk,1 ⊂ UR , Bk, 2 [ symetryçnog Bk,1 vidnosno kola ∂UR, k = 1, n .
U statti [9] bulo rozhlqnuto u vypadku odnozv’qznyx oblastej bil\ß zahal\nu
ekstremal\nu zadaçu dlq takoho Ω funkcionala i (n, 2)-promenevo] systemy to-
çok, qki roztaßovani na dvox koncentryçnyx kolax, pryçomu umovu Bk,1 ⊂ UR ,
k = 1, n , bulo vyluçeno. U cij roboti bulo zaproponovano oryhinal\nyj metod
doslidΩennq i dlq vypadku odnozv’qznyx oblastej otrymano vyçerpnyj rezul\-
tat. U roboti [8] otrymano nestandartne uzahal\nennq c\oho rezul\tatu na vy-
padok special\nyx system vidkrytyx mnoΩyn. U danij roboti proponu[t\sq
metod doslidΩennq, qkyj bazu[t\sq na kuskovo-vidokremlggçomu peretvorenni
[6, 7], wo dozvolq[ znaçno posylyty rezul\tat roboty [9]. Otrymano deqki na-
slidky cyx rezul\tativ. Dlq bud\-qko] (n, 2)-promenevo] systemy toçok An, 2 =
= ak p,{ } , k = 1, n , p = 1, 2, rozhlqnemo nastupni „kerugçi” funkcionaly:
L ( ),An 2 =
k
n
p
k p
k p
k p
a
a
a
k
= = +
∏ ∏
1 1
2
1
1 2
χ
α
,
,
/
, ,
L p n
k
n
k p
k p
k pA
a
a
a
k
( ),
,
,
/
,2
1 1
1 2
=
= +
∏χ
α
, p = 1, 2.
Dlq bud\-qko] (n, 2)-promenevo] systemy toçok poklademo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
604 O. K. BAXTIN
ωk p k k pz a,
( )
,( )1 = , ωk p k k pz a,
( )
,( )2
1= + , ωn p n pz a,
( )
,( )2
1= , k = 1, n , p = 1, 2.
Takym çynom, koΩnij oblasti P Ak n( ), 2 funkciq z wk ( ) spivstavlq[ çetvirku
toçok Ωk : = ω ω ω ωk k k k,
( )
,
( )
,
( )
,
( ), , ,1
1
1
2
2
1
2
2{ }, k = 1, n , i, v svog çerhu, bud\-qkij zadanij
systemi An, 2 odnoznaçno spivstavlq[t\sq nabir Ωk k
n{ } =1. Pobudu[mo kon-
formnyj avtomorfizm λk z( ) plowyny Cz , pry qkomu toçky naboru Ωk pe-
retvorggt\sq u nabir toçok Ωk
0 = − −{ }− −i i i ik k k k
k k k kρ ρ ρ ρα α α α1 1 1 1/ / / /, , , , 0 < ρk < 1,
k = 1, n . Vidobrazymo sperßu plowynu Cz za dopomohog funkci] t1 = T z1( ) =
=
1
1
+
−
z
z
; pry c\omu vidobraΩenni Ωk , k = 1, n , peretvorg[t\sq u nabir toçok
odynyçnoho kola U, pryçomu Im ,
( )T k p1
1ω( ) < 0, Im ,
( )T k p1
2ω( ) > 0, p = 1, 2, k = 1, n .
Dali zastosu[mo peretvorennq t2 = T w2( ) = e
w b
b w
i k
k
θ ( )
( )
−
−1
, 0 ≤ ω < 2π, de bk —
toçka peretynu neevklidovyx heodezyçnyx, qki z’[dnugt\ T k1 1
1ω ,
( )( ) z T k1 2
2ω ,
( )( ) i
T k1 2
1ω ,
( )( ) z T k1 1
2ω ,
( )( ) . V rezul\tati c\oho peretvorennq toçky vyxidnoho naboru
Ωk peretvorggt\sq u verßyny prqmokutnyka, storony qkoho paralel\ni koor-
dynatnym osqm, do toho Ω Im ,
( )T T k p2 1
1ω( )( ) < 0, Im ,
( )T T k p2 1
2ω( )( ) > 0, p = 1, 2, k =
= 1, n . Teper, pokladagçy ζ = T −1 � T2 � T1, otrymu[mo ßukanyj avtomorfizm
ζ = λk z( ) . Takym çynom, koΩnij An, 2 spivstavlq[t\sq [dynyj nabir Ωk k
n0
1{ } =
.
Dali poznaçymo
R R A
t
tn
n0 0
2
0
0
1
1
1
: ( ) :,= = −
+
, t t An
k
n
k
k
nk
k0 0 2
1
2
2
1
1
1
: ( ) :,
/
/= =
−
+
=
∏ ρ
ρ
α
α .
Teorema 3. Nexaj n ∈N , n ≥ 2. Todi dlq bud\-qko] (n, 2)-promenevo] sys-
temy toçok An, 2 = ak p,{ } , k = 1, n , p = 1, 2, tako], wo L ( ),An 2 = 1, i dovil\-
no] systemy poparno neperetynnyx oblastej Bk p,{ }, a Bk p k p, ,∈ ⊂ C , k = 1, n ,
p = 1, 2, spravdΩu[t\sq nerivnist\
k
n
p
k p k p
n
k
n
k
n
n
n
r B a
R
R= = =
∏ ∏ ∏≤
−
+
1 1
2
2
1
2
0
0
2
2
1
1
( , )
( )
( ), , α ,
do toho Ω znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly
ak p,{ } i ˜
,Bk p, k = 1, n , p = 1, 2, [ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy
kvadratyçnoho dyferenciala
Q w dw
w w
w R R w
dw
n n
n n n n
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
0 2 0 2
21
1
= − +
−( ) −( )
−
i cap ˜ \, ,B Bk p k p( ) = 0, k = 1, n , p = 1, 2.
Dovedennq ©runtu[t\sq na metodi kuskovo-vidokremlggçoho peretvorennq
[6, 7]. Qk i pry dovedenni teoremy 1, rozhlqnemo P Ak n k
n
( ), 2 1{ } =
, z wk k
n( ){ } =1,
αk nA( ), 2 , θk nA( ), 2 , k = 1, n . Toçno tak samo pobudu[mo oblasti Gk p−1
2
,
( )
i Gk p,
( )1
,
qki spivstavlqgt\sq oblasti Bk p, pry vidokremlggçomu peretvorenni vidnosno
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 605
simej Pk k
n{ } =1 i z wk k
n( ){ } =1. Zaznaçymo, wo za pobudovog ωk p
s
k p
sG,
( )
,
( )∈ , k = 1, n ,
p, s = 1, 2. Analohiçno (3) z uraxuvannqm (2) otrymu[mo nerivnist\
r B ak p k p( , ), , ≤
r G r G
a a
k p k p k p k p
k k p k k p
k k
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
/
,
/
/
, ,
( / ) ( / )
1 1
1
2
1
2
1 1
1
1 1
1 2
1 1 1
ω ω
α αα α
( ) ( )
− −
−
−
−−
, (10)
k = 1, n , p = 1, 2.
Zvidsy, analohiçno (4), pryxodymo do spivvidnoßennq
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤
≤
k
n
p
k k k p
k p k p k p k p
k p
a
r G r G
a k k
= =
−
− −
+∏ ∏ ( ) ( )
−
1 1
2
1
2 1
2
1
2 1 1
1 1
1 2
1
α α
ω ω
α α,
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
/ /
/
, ,
=
=
k
n
k
k
n
p
k p
k p k
n
p
k p k p k p k p
a
a
r G r G
k k
= = =
+
= =
∏ ∏ ∏ ∏ ∏
( ) ( )[ ]−
1
2
1 1
2
1 1 2
1 1
2
1 1 2 2
1 2
1
α ω ωα α
,
,
( / / ) / ,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
/
, , .
NevaΩko pomityty, wo ω ωk p k p,
( )
,
( )1 2− = ak
k1/α
+ ak
k
+1
1/α
, k = 1, n . Pro-
dovΩugçy mirkuvannq, oderΩu[mo ocinku
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤
≤ 22
1
2
1 1
2
1
1 2
n
k
n
k
k
n
p
k p
k p
k p
a
a
a
k
= = = +
∏ ∏ ∏
α χ
α
,
,
/
, ×
×
k
n
p
k p k p k p k p
k p k p
r G r G
= =
∏ ∏ ( ) ( )
−
1 1
2 1 1 2 2
1 2 2
1
2
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
, ,ω ω
ω ω
.
Zaznaçymo, wo oblasti Gk,
( )
1
1 , Gk,
( )
1
2 , Gk,
( )
2
1 , Gk,
( )
2
2
vza[mno ne peretynagt\sq. Krim
toho, poznaçymo Ek p
s
,
( ) = λk k p
sG ,
( )( ) , de λk z( ) — vywevkazanyj avtomorfizm plo-
wyny kompleksnyx çysel Cz , k = 1, n , p, s = 1, 2. Vraxovugçy umovu L ( ),An 2 =
= 1 i konformnu invariantnist\ funkcionala
J
r G r G r G r G
k
k k k k k k k k
k k k k
=
( ) ( ) ( ) ( )
− −
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,
( )
, , , ,1
1
1
1
1
2
1
2
2
1
2
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
1
2
2 2
ω ω ω ω
ω ω ω ω
,
otrymu[mo nerivnist\
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤ 22
1
2
n
k
n
k
=
∏
α ×
×
k
n
k k k k
k
k k k k
k
r E i r E i r E i r E ik k
k
k k
k
=
− −
−∏
−( ) ( ) −( ) ( )
1
1
1 1
1
2 1
2
2
1 1
2
2 1
24 4
,
( ) /
,
( ) /
/
,
( ) /
,
( ) /
/
, , , ,ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
α α
α
α α
α . (11)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
606 O. K. BAXTIN
Dlq toho wob otrymaty ocinku zverxu funkcionala, qkyj mistyt\sq u fi-
hurnyx duΩkax pravo] çastyny (11), sformulg[mo nastupnyj dopomiΩnyj
rezul\tat.
Lema 1. Pry k = 1, n vykonu[t\sq nerivnist\
r E i r E i r E i r E ik k k k
k
k k k k
k
k k
k
k k
k
,
( ) /
,
( ) /
/
,
( ) /
,
( ) /
/
, , , ,1
1 1
1
2 1
2
2
1 1
2
2 1
24 4
−( ) ( ) −( ) ( )− −
−
ρ ρ
ρ
ρ ρ
ρ
α α
α
α α
α ≤
1
1
2
2
4
−
+
ρ
ρ
α
α
k
k
k
k
/
/ .
Znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly
˜
,
( )Ek p
s , s, p = 1,
2, pry koΩnomu k = 1, n [ kruhovymy oblastqmy kvadratyçnoho dyferenciala
Q w dw
w
w w w
dwk
k k
( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
21= − −
+ +ρ ρ
i, krim toho, cap ˜ \,
( )
,
( )E Ek p
s
k p
s = 0, s, p = 1, 2, k = 1, n .
V odnozv’qznomu vypadku cg lemu otrymano v roboti [9]. Dlq dovil\nyx ba-
hatozv’qznyx oblastej cej rezul\tat dovedeno u [8]. Na osnovi lemy 1 i neriv-
nosti (11) pryxodymo do spivvidnoßennq
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤ 2
1
1
2
1
2
1
2
2
2
n
k
n
k
k
n
k
k
k
k
= =
∏ ∏
−
+
α
ρ
ρ
α
α
/
/ =
= 2
1
1
2
1
2
1
0
0
2
n
k
n
k
k
n n
n
n
R
R= =
∏ ∏
−
+
α ( )
( )
, (12)
z qkoho vyplyva[ rivnist\ teoremy 3. U vypadku realizaci] znaka rivnosti v (12)
neobxidno, wob rivnist\ u (10) dosqhalasq pry vsix k = 1, n , p = 1, 2 i mav misce
znak rivnosti u nerivnosti lemy 1 dlq vsix k = 1, n .
Teoremu 3 dovedeno.
5. Deqki naslidky teoremy 3. Iz teoremy 3 bezposeredn\o vyplyvagt\ deqki
naslidky. Zokrema, moΩna otrymaty sutt[ve uzahal\nennq vidomoho rezul\tatu
{. H. {mel\qnova [9]. Dijsno, poklademo L1 2
1
( ),
/
An
n[ ] = : λ, L 2 2
1
( ),
/
An
n[ ] = :
= : R2
λ
, L ( ),
/
An
n
2
1[ ] = R2 , λ , R ∈ +R . Nexaj dlq bud\-qko] (n, 2)-promenevo]
systemy An, 2 = ak p,{ } i vidpovidnyx znaçen\ λ p = L p n
n
A( ),
/
2
1( ) An, ( )2 λ =
= ak p, ( )λ{ } poznaça[ (n, 2)-promenevu systemu toçok taku, wo ak p, ( )λ =
= λ p
k p
k p
a
a
,
,
, k = 1, n , p = 1, 2, de λ1 : = λ, λ2 : = R2
λ
. Vraxovugçy vvedeni raniße
oznaçennq, otrymu[mo
t
R
An
k
n
k
k
nk
k0 2
1
2
2
1
1 1
1
,
/
/
=
−
+
=
∏ ρ
ρ
α
α , t
R
A R
R
n
k
n
nk
k0 2
1
2
2
1
1
1
1
,
/
/( )λ
λ
λ
α
α
=
−
+
=
∏ .
Naslidok 4. Nexaj n ≥ 3, n ∈N , λ , R ∈ +R , λ < R. Todi dlq bud\-qko]
(n, 2)-promenevo] systemy toçok An, 2 = ak p,{ } tako], wo L ( ),An 2 = R n2 ,
L1 2( ),An = λn , t
R
An0 2
1
,
= t
R
An0 2
1
, ( )λ
, i dovil\no] systemy poparno nepere-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 607
tynnyx oblastej Bk p,{ }, ak p, ∈ Bk p, ⊂ C , k = 1, n , p = 1, 2, vykonu[t\sq ne-
rivnist\
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤ 4 2 2
R
n
R
R
n n n
n n
n
−
+
λ
λ
.
Znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly ak p, i ˜
,Bk p
[ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyçnoho dyferenciala
Q w dw
w w R
w R w
dw
n n n
n n n n n( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2= − +
− −
−
λ λ
i cap ˜ \, ,B Bk p k p = 0.
Dovedennq. Iz teoremy 3 vyplyva[ nerivnist\
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤ ( ) ( ),2 12
1
2
0 2
2
R t
R
An
k
n
k n
n
=
∏
α λ =
= ( )
/
/2
1
1
2
1
2
2
2
R R
R
n
k
n
k
k
k
=
∏
−
+
α
λ
λ
α
α .
Lema 2 [9]. Funkciq y = ln
/
/x
x
x
1
1
1
1
−
+
ρ
ρ
[ opuklog doverxu po x ∈( , )0 1 pry
koΩnomu fiksovanomu ρ ∈( , )0 1 .
Vraxovugçy vykladene vywe, otrymu[mo
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤ ( )
/
/2
1
1
2
1
2
2
2
R R
R
n
k
n
k
k
k
=
∏
−
+
α
λ
λ
α
α ≤
≤ ( )2 2
1
1
2
2
2
R
n
R
R
n
n
n
n
n
−
+
λ
λ
= 4 2 2
R
n
R
R
n n n
n n
n
−
+
λ
λ
.
Naslidok 4 dovedeno.
Funkcional t An0 2( ), , vyznaçenyj na mnoΩyni (n, 2)-promenevyx system to-
çok, moΩna poßyryty na n-promenevi systemy toçok An = ak k
n{ } =1 ⊂ U , wo
naleΩat\ odynyçnomu kruhu, za pravylom t An0( ) : = t An0 2
ˆ
,( ), de
ˆ
,An 2 = ak p,{ } ,
ak,1 : = ak , ak, 2 : = ak( )−1, k = 1, n . Zrozumilo, wo qkwo An ⊂ UR , R ∈ +R , to
t An0( ) : = t
R
An0
1
. Analohiçno do poperedn\oho, dlq bud\-qko] n-promenevo]
systemy toçok An = ak{ } ⊂ UR i 0 < λ < R poklademo An( )λ : =
a
a
k
k k
n
λ
=1
. Iz
oznaçennq vydno, wo An( )λ ⊂ UR pry vsix λ ∈( , )0 R . Teper moΩna sformulg-
vaty rezul\tat, qkyj vyplyva[ iz teoremy 1 i lemy 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
608 O. K. BAXTIN
Naslidok 5. Nexaj n ≥ 3, n ∈N , λ , R ∈ +R , λ < R. Todi dlq bud\-qko] n-
promenevo] systemy toçok An = ak k
n{ } =1, qka zadovol\nq[ umovy An ⊂ UR ,
L ( )An = λn , t
R
An0
1
= t
R
An0
1 ( )λ
, i dovil\no] systemy poparno neperetyn-
nyx oblastej Bk k
n{ } =1, a Bk k∈ ⊂ UR , k = 1, n , spravdΩu[t\sq nerivnist\
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤ 4λ λ
λn
R
R
n n n
n n
n
−
+
.
Znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly ak i B̃k ,
wo naleΩat\ UR , [ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyç-
noho dyferenciala
Q w dw
w w R
w R w
dw
n n n
n n n n n( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
2= − +
− −
−
λ λ
i cap ˜ \B Bk k = 0.
Dovedennq. Spoçatku rozhlqnemo vypadok R = 1, tobto a Bk k∈ ⊂ U1, k =
= 1, n . Iz rivnosti (6) otrymu[mo nerivnist\
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤ ( )
, ,( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
1 1 2 2
1 2 2
1
2
λ αn
k
n
k
k
n
k k k k
k k
r G g r G g
g g= =
∏ ∏
( ) ( )
−
.
Zrozumilo, wo gk
s( ) ∈ Gk
s( ) ⊂ U1, Gk
( )1 ∩ Gk
( )2 = ∅, k = 1, n , s = 1, 2. Pry koΩno-
mu k = 1, n rozhlqnemo konformnyj avtomorfizm w = T zk ( ) plowyny kompleks-
nyx çysel, pry qkomu uqvna vis\ i odynyçnyj kruh peretvorggt\sq v sebe, do
toho Ω
T g ik k
s s
k
k( ) /( ) ( )( ) = −1 1λ α
, λk ∈ +R ,
T Gk k
s
k
s( ) ( ):( ) = Ω , k = 1, n , s = 1, 2.
Isnuvannq takyx avtomorfizmiv [ oçevydnym. Todi za umovamy naslidku 5, in-
variantnistg funkcionala a a r B a r B a1 2
2
1 1 2 2− −
( , ) ( , ) i klasyçnog teoremog
P. P. Kufar[va (dyv., napryklad, [10]) otrymu[mo nerivnist\
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤ ( )
, ,( ) ( )
2
41 1
1 1 2 1
2
1
2
λ α
λ λ
λ
α α
n
k
n
k
k
n
k k k k
k
r i r ik k
= =
/ /
∏ ∏
−( ) ( )
Ω Ω
≤
≤ ( )2
1
11
2
2λ α λ
λ
α
α
n
k
n
k
k
k
=
/
/∏
−
+
= ( ) ( )2
1
0λ αn
k
n
k n
nt A
=
∏ ( ) =
= ( ) ( ( ))2
1
0λ α λn
k
n
k n
nt A
=
∏ ( ) = ( )2
1
11
2
2λ α λ
λ
α
α
n
k
n
k
k
k
=
/
/∏ −
+
≤
≤ ( )2 2 1
1
2
λ λ
λ
n
n n
n
n
n
−
+
= 4 1
1
λ λ
λn
n
n
n
−
+
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
NERIVNOSTI DLQ VNUTRIÍNIX RADIUSIV NEPERETYNNYX OBLASTEJ … 609
Qkwo R ≠ 1, to rozhlqnemo ′An = 1
R
An i ′{ } =
Bk k
n
1
, ′Bk = T BR k( ), T zR( ) : =
: = 1
R
z . Zvidsy oderΩymo spivvidnoßennq
k
n
k kr B a
=
∏ ′ ′
1
( , ) ≤ 4
1
1
n R
R
R
n
n
n
λ
λ
λ
−
+
,
qke [ rivnosyl\nym ßukanij nerivnosti. Vypadok rivnosti doslidΩu[t\sq analo-
hiçno poperedn\omu.
Naslidok 5 dovedeno.
Naslidok 6. Nexaj n ≥ 3, n ∈N , R, λ ∈ +R , λ
R
∈
0 1
7
, . Todi dlq bud\-qko]
(n, 2)-promenevo] systemy toçok An, 2 = ak p,{ } tako], wo L ( ),An 2 = R n2 ,
L1 2( ),An = λn , t
R
An0 2
1
,
= t
R
An0 2
1
, ( )λ
, i dovil\no] systemy vza[mno nepere-
tynnyx oblastej Bk p,{ }, ak p, ∈ Bk p, ⊂ C , k = 1, n , p = 1, 2, vykonu[t\sq ne-
rivnist\
k
n
p
k p k pr B a
= =
∏ ∏
1 1
2
( , ), , ≤ ( )2 2
1
2
R
R
R
n
k
n
k
n n
n n
n
=
∏
−
+
α λ
λ
.
Znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly ak p, i ˜
,Bk p
[ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyçnoho dyferenciala
Q w dw
w w R
w R w
dw
n n n
n n n n n( )
( )
( ) ( )
2
2 2
2 2 2
2= − +
− −
−
λ λ
i cap ˜ \, ,B Bk p k p = 0, k = 1, n , p = 1, 2.
Analohiçnyj rezul\tat ma[ misce dlq neperetynnyx oblastej u kruzi UR .
Naslidok 7. Nexaj n ≥ 3 , n ∈N , R , λ ∈ +R , λ
R
∈
0 1
7
, . Todi dlq bud\-qko]
n-promenevo] systemy toçok An = ak k
n{ } =1, An ⊂ UR , L ( )An = λn , t
R
An0
1
=
= t
R
An0
1 ( )λ
, i dovil\no] systemy vza[mno neperetynnyx oblastej Bk k
n{ } =1,
a Bk k∈ ⊂ UR , k = 1, n , vykonu[t\sq nerivnist\
k
n
k kr B a
=
∏
1
( , ) ≤ ( )2
1
λ α λ
λ
n
k
n
k
n n
n n
n
R
R=
∏
−
+
.
Znak rivnosti u cij nerivnosti dosqha[t\sq todi i lyße todi, koly ak i B̃k ,
wo naleΩat\ UR , [ vidpovidno polgsamy i kruhovymy oblastqmy kvadratyç-
noho dyferenciala
Q w dw
w w R
w R w
dw
n n n
n n n n n( )
( )
( ) ( )
2
2
2 2 2
2= − +
− −
−
λ λ
i cap ˜ \B Bk k = 0, k = 1, n , p = 1, 2.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
610 O. K. BAXTIN
1. Lavrent\ev M. A. K teoryy konformn¥x otobraΩenyj // Tr. Fyz.-mat. yn-ta AN SSSR. –
1934. – 5. – S. 159 – 245.
2. Holuzyn H. M. Heometryçeskaq teoryq funkcyj kompleksnoho peremennoho. – M.: Nauka,
1966. – 628 s.
3. DΩenkyns DΩ. A. Odnolystn¥e funkcyy y konformn¥e otobraΩenyq. – M.: Yzd-vo ynostr.
lyt., 1962. – 256 s.
4. Xejman V. K. Mnoholystn¥e funkcyy. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1960. – 180 s.
5. Dubynyn V. N. O proyzvedenyy vnutrennyx radyusov „çastyçno nenalehagwyx” oblastej //
Vopros¥ metryçeskoj teoryy otobraΩenyj y ee prymenenye. – Kyev: Nauk. dumka, 1978. –
S.Y24 – 31.
6. Dubynyn V. N. Razdelqgwee preobrazovanye oblastej y zadaçy ob zkstremal\nom razbyenyy
// Zap.Ynauç. sem. Lenynhr. otd-nyq Mat. yn-ta AN SSSR. – 1988. – 168. – S. 48 – 66.
7. Dubynyn V. N. Metod symmetryzacyy v heometryçeskoj teoryy funkcyj kompleksnoho
peremennoho // Uspexy mat. nauk. – 1994. – 49, # 1(295). – S. Z – 76.
8. Dubynyn V. N. Asymptotyka modulq v¥roΩdagwehosq kondensatora y nekotor¥e ee pryme-
nenyq // Zap.Ynauç. sem. LOMY. – 1997. – 237. – S. 56 – 73.
9. Emel\qnov E. H. O svqzy dvux zadaç ob zkstremal\nom razbyenyy // Tam Ωe. – 1987. – 160. –
S. 91 – 98.
10. Kufarev P. P., Fales A. ∏. Ob odnoj zkstremal\noj zadaçe dlq dopolnytel\n¥x oblastej
// Dokl. AN SSSR. Ser. mat. – 1951. – 81, # 6. – S. 995 – 998.
11. Baxtyn A. K. Ocenky funkcyonalov dlq otkr¥t¥x mnoΩestv // Nelinijni kolyvannq. –
2005. – 8, # 2. – S. 147 – 153.
12. Baxtyn A. K. O nekotor¥x zkstremal\n¥x zadaçax heometryçeskoj teoryy funkcyj komp-
leksnoho peremennoho // Dop.YNAN Ukra]ny. – 2006. – # 9. – S. 7 – 11.
13. Baxtyn A. K. Neravenstva dlq vnutrennyx radyusov nenalehagwyx oblastej y otkr¥t¥x
mnoΩestv // Tam Ωe. – # 10. – S. 7 – 13.
14. Baxtyn A. K., V\gn V. E. Prymenenye razdelqgweho preobrazovanyq k ocenkam vnutrennyx
radyusov otkr¥t¥x mnoΩestv // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 10. – S. 1314 – 1322.
OderΩano 03.10.07,
pislq doopracgvannq — 03.02.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3044 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:13Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8b/694b806779056bc62037cf8cb6583f8b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30442020-03-18T19:44:07Z Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets Нерівності для внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. We generalize some classical results in the theory of extreme problems for nonoverlapping domains. Получены обобщения классических результатов в теории экстремальных задач o неналегающих областях. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3044 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 596-610 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 596-610 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3044/2837 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3044/2838 Copyright (c) 2009 Bakhtin A. K. |
| spellingShingle | Bakhtin, A. K. Бахтін, О. К. Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| title | Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| title_alt | Нерівності для внутрішніх радіусів неперетинних областей та відкритих множин |
| title_full | Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| title_fullStr | Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| title_full_unstemmed | Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| title_short | Inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| title_sort | inequalities for the inner radii of nonoverlapping domains and open sets |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3044 |
| work_keys_str_mv | AT bakhtinak inequalitiesfortheinnerradiiofnonoverlappingdomainsandopensets AT bahtínok inequalitiesfortheinnerradiiofnonoverlappingdomainsandopensets AT bakhtinak nerívnostídlâvnutríšníhradíusívneperetinnihoblastejtavídkritihmnožin AT bahtínok nerívnostídlâvnutríšníhradíusívneperetinnihoblastejtavídkritihmnožin |