Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form
We present the complete description of finite posets whose Tits form is not nonnegative but all proper subsets of which have nonnegative Tits forms. A similar result for positive forms was obtained by the authors earlier.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3045 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509069749518336 |
|---|---|
| author | Bondarenko, V. M. Stepochkina, M. V. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. |
| author_facet | Bondarenko, V. M. Stepochkina, M. V. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. |
| author_sort | Bondarenko, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We present the complete description of finite posets whose Tits form is not nonnegative but all proper subsets of which have nonnegative Tits forms. A similar result for positive forms was obtained by the authors earlier. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 512.64+512.56
В. М. Бондаренко, М. В. Степочкина (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ,
КРИТИЧЕСКИХ ОТНОСИТЕЛЬНО НЕОТРИЦАТЕЛЬНОСТИ
КВАДРАТИЧНОЙ ФОРМЫ ТИТСА
We present the complete description of finite posets whose Tits form is not nonnegative but all proper subposets
already have the nonnegative Tits form. The analogous result for positive forms is obtained by the authors
earlier.
Наведено повний опис скiнченних частково впорядкованих множин, форма Тiтса яких не є невiд’ємною,
але всi власнi пiдмножини яких мають невiд’ємну форму Тiтса. Аналогiчний результат для додатних
форм отримано авторами ранiше.
1. Введение. В работе [1] П. Габриель ввел для конечного колчана (ориентирован-
ного графа) Q с множеством вершин Q0 и множеством стрелок Q1 квадратичную
форму qQ : ZQ0 → Z, названную им квадратичной формой Титса колчана Q:
qQ(z) =
∑
i∈Q0
z2
i −
∑
i→j
zizj ,
где i → j пробегает множество Q1. В этой же работе доказано, что колчан имеет
конечный представленческий тип над полем k (т. е., с точностью до изоморфизма,
конечное число неразложимых представлений) тогда и только тогда, когда его фор-
ма Титса является положительной. Эта работа П. Габриеля стала началом нового
направления в алгебре, которое изучает связь между свойствами представлений
различных объектов и свойствами связанных с ними квадратичных форм.
Следующими в этом направлении были работы Ш. Бреннер [2] и Ю. А. Дрозда
[3], посвященные изучению квадратичных форм Титса соответственно для колча-
нов с соотношениями и частично упорядоченных (ч. у.) множеств. В общей ситуа-
ции для матричных задач без соотношений форма Титса введена М. М. Клейнером
и А. В. Ройтером в [4].
В работе [3] показано, что ч. у. множество имеет конечный представленческий
тип тогда и только тогда, когда его форма Титса слабоположительна (т. е. принимает
положительное значение на любом ненулевом векторе с неотрицательными коорди-
натами (представления ч. у. множеств введены Л. А. Назаровой и А. В. Ройтером в
работе [5]). Заметим, что форма Титса колчана является слабоположительной тогда
и только тогда, когда она положительна. Для ч. у. множеств это не так, и поэтому
изучение ч. у. множеств с положительной формой Титса выглядит естественным
(хотя бы с формальной точки зрения). Такие ч. у. множества изучались в работах
[6 – 14]; при этом изучались как сами ч. у. множества с положительной формой Тит-
са, так и их свойства, связанные непосредственно с категориями представлений.
Настоящая статья посвящена изучению ч. у. множеств с неотрицательной фор-
мой Титса (изучение таких ч. у. множеств начато авторами в работе [15]).
2. Формулировка основного результата. Пусть S — ч. у. множество, которое
всегда предполагается конечным и не содержащим элемент 0. Eго квадратичной
формой Титса называют квадратичную форму qS : ZS∪0 → Z, которая задается
равенством
c© В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5 611
612 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
qS(z) = z2
0 +
∑
i∈S
z2
i +
∑
i<j,i,j∈S
zizj − z0
∑
i∈S
zi.
Ч. у. множество S назовем критическим относительно положительности (со-
ответственно неотрицательности) квадратичной формы Титса или, сокращенно,
P -критическим (соответственно NP -критическим), если форма Титса любого его
собственного подмножества является положительной (соответственно неотрица-
тельной), но форма Титса самого S таковой не является.
Шириной ч. y. множества S называется максимальное число ее попарно не-
сравнимых элементов. Двойственное к S ч. y. множество будем обозначать через
Sop; другими словами, Sop = S, как обычные множества, и при этом x < y в
Sop тогда и только тогда, когда x > y в S. Ч. у. множества S и T называются
антиизоморфными, если S изоморфно T op.
В работе [10] приведен список всех P -критических ч. у. множеств. Этот список
приведен ниже в табл. 1 (см. последний пункт). Целью данной статьи является
описание всех NP -критических множеств.
Имеет место следующая теорема.
Теорема 1. NP -критические ч. y. множества исчерпываются, с точностью
до изоморфизма и антиизоморфизма, ч. y. множествами 1 – 115, указанными в
табл. 2 (приведенной в последнем пункте).
Сделаем некоторые замечания к табл. 2.
Указанное в этой таблице ч. y. множество под номером i обозначаем через Ni.
Если множество Ni имеет ширину 2 и в таблице написано i = j′, то это означает,
что Ni можно получить из Nj заменой единственной ee максимальной точки на
единственную минимальную точку. То же самое касается и случая i = j′′ = (j′)′
(нужно сравнивать Ni и Nj′ ). Если множество Ni имеет ширину 3 и в таблице
написано i = j′, то это означает, что изложенное выше относится уже не к Ni
и Nj , а к их связным компонентам (прямым слагаемым) ширины 2. То же самое
касается и случая i = j′′.
Произвольные ч. y. множества S и T, которые получаются одно из другого с
помощью подобных операций, назовем 0-изоморфными. И если из табл. 2 выбро-
сить множества с номерами i = j′ и i = j′′, то получим описание NP -критических
множеств с точностью до 0-изоморфизма и двойственности.
Это относится и к табл. 1.
3. Min-эквивалентные ч. y. множества. Мы изложим некоторые сведения, свя-
занные с min-эквивалентными ч. y. множествами. Такая эквивалентность введена
первым из авторов в работе [7], а детальному ее изучению посвящена работа [10].
Пусть S — ч. y. множество. Для минимального элемента a ∈ S обозначим через
S↑a ч. y. множество, которое совпадает с S как множество, с тем же отношением
порядка на S \ {a}, но в S↑a элемент a является уже максимальным, причем a
сравнимо с x в T тогда и только тогда, когда a несравнимо с x в S. Будем писать
S↑↑xy вместо (S↑x)↑y, S↑↑↑xyz вместо ((S↑x)↑y)↑z и т. д.
Ч. у. множество T назовем min-эквивалентным ч. у. множеству S, если T равно
некоторому ч. y. множеству вида
S = S↑↑...↑x1x2...xp
, p ≥ 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ, КРИТИЧЕСКИХ . . . 613
где xi — минимальный элемент S↑↑...↑x1x2...xi−1
для любого i ∈ {1, . . . , p}; при p =
= 0 считаем S = S. При этом не требуется, чтобы элементы x1, x2, . . . , xp были
различны.
Min-эквивалентность ч. y. множеств обозначается символом ∼=min .
Отметим, что понятие min-эквивалентности можно естественным образом про-
должить до понятия min-изоморфизма, считая, что ч. y. множества S и S′ min-
изоморфны, если существует ч. y. множество T, которое min-эквивалентно S и
изоморфно S′.
Пусть S — ч. y. множество. Конечная последовательность α = (x1, x2, . . . , xp)
элементов xi ∈ S называется min-допустимой, если выражение S = S↑↑...↑x1x2...xp
имеет смысл (случай p = 0 не исключается). В этом случае будем также писать
S = S↑α.
Множество всех min-допустимых последовательностей обозначаем P(S), а
множество всех таких последовательностей без повторений — P1(S). Подмноже-
ство в S, состоящее из всех элементов xi последовательности α ∈ P1(S), будем
обозначать через [α]S . Заметим, что для min-эквивалентных ч. y. множеств S и T
не всегда существует последовательность α ∈ P1(S) такая, что T = S↑α (см. [10],
п. 6).
Подмножество X называем нижним, если x ∈ X всякий раз, когда x < y и
y ∈ X. Запись X < Y для подмножеств S будет означать, что x < y для любых
x ∈ X, y ∈ Y. Заметим, что Z < ∅ и ∅ < Z для любого подмножества Z.
Согласно следствиям 5 и 9 из работы [10] имеем соответственно следующие
два утверждения:
1) в P1(S) существует последовательность α такая, что [α]S = X, тогда и
только тогда, когда подмножество X нижнее;
2) если α, β ∈ P1(S) и [α]S = [β]S , то S↑α = S↑β .
Следовательно, для нижнего подмножества X естественно определить ч. y. мно-
жество S↑X , считая, что S↑X = S↑α, где α ∈ P1(S) — любая из последовательностей
таких, что [α]S = X. Легко показать (предложение 6 [10]), что a < b в S = S↑X в
том и только в том случае, когда выполняется одно из следующих условий:
a) a < b в S и либо a, b ∈ X, либо a, b /∈ X;
b) a >< b в S и b ∈ X, a /∈ X.
Отсюда, в частности, следует, что если Z — нижнее подмножество в X, такое,
что Z < S \X, то Z является нижним подмножеством и в S↑X .
В работе [10] указан (и обоснован) алгоритм для описания всех ч. y. множеств,
min-эквивалентных фиксированному ч. y. множеству S. Он состоит из следующих
шагов.
I. Описать все нижние подмножества X 6= S в S и для каждого из них построить
ч. y. множество S↑X .
II. Описать все пары (Y, X), состоящие из собственного нижнего подмножества
Y в S и непустого нижнего подмножества X в Y такого, что X < S\Y ; для каждой
такой пары построить ч. y. множество S↑↑Y X = (S↑Y )↑X .
III. Среди полученных в пп. I и II ч. y. множеств выбрать по одному из каждого
класса изоморфных множеств.
Назовем указанные в п. I подмножества X и X ′ сильноизоморфными, если суще-
ствует автоморфизм ϕ : S → S такой, что ϕ(X) = X ′ (как ч. y. подмножества). Ана-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
614 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
логично, две указанные в п. II пары (Y, X) и (Y ′, X ′) назовем сильноизоморфными,
если существует автоморфизм ϕ : S → S такой, что ϕ(Y ) = Y ′ и ϕ(X) = X ′. Оче-
видно, что подмножества в п. I и пары подмножеств в п. II достаточно описывать с
точностью до сильного изоморфизма.
4. Доказательство теоремы 1. Сформулируем сначала один из двух основных
результатов работы [15], который понадобится в дальнейшем.
Известно, что в теории представлений ч. y. множеств важную роль играют сле-
дующие ч. y. множества, названные в [15] критическими ч. y. множествами Наза-
ровой:
N1 = {1, 2, 3, 4, 5}, где все элементы попарно несравнимы:
e e e e e
N2 = {1, 2, 3, 4, 5 | 4 ≺ 5}:
e e e e
e
N3 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | 1 ≺ 2, 3 ≺ 4, 5 ≺ 6 ≺ 7}:
e e e
e e e
e
N4 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | 2 ≺ 3 ≺ 4, 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8}:
e e e
e e
e e
e
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ, КРИТИЧЕСКИХ . . . 615
N5 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 2 ≺ 3, 4 ≺ 5 ≺ 6 ≺ 7 ≺ 8 ≺ 9}:
e e e
e e
e
e
e
e
N6 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 | 1 ≺ 2 ≺ 3 ≺ 4 ≺ 5, 6 ≺ 7, 8 ≺ 9, 6 ≺ 9}:
e e
e e
�
�
�e
e
e
e
e
Теперь можно сформулировать необходимый результат из работы [15].
Теорема 2. Ч. у. множество S является NP -критическим тогда и только
тогда, когда оно min-эквивалентно некоторому критическому ч. y. множеству
Назаровой.
Таким образом, все NP -критические ч. y. множества можно получить следу-
ющим образом: взять все критические множества Назаровой и для каждого из
них описать все min-эквивалентные ему ч. y. множества (говоря „все”, мы подра-
зумеваем „все с точностью до изоморфизма”). Однако, если исходить только из
определения min-эквивалентности, не совсем ясно, как практически осуществлять
соответствующий процесс (хотя бы потому, что формально он бесконечен). Однако
мы воспользуемся указанным в предыдущем пункте алгоритмом.
Итак, перейдем непосредственно к доказательству теоремы 1.
Шаг I. Опишем (с точностью до сильного изоморфизма) все нижние подмно-
жества в критических множествах Назаровой N1 –N6 (см. п. 4):
для N1 — A1,1 = ∅, A1,2 = {1}, A1,3 = {1, 2}, A1,4 = {1, 2, 3}, A1,5 =
= {1, 2, 3, 4};
для N2 — A2,1 = ∅, A2,2 = {1}, A2,3 = {4}, A2,4 = {1, 2}, A2,5 = {1, 4},
A2,6 = {4, 5}, A2,7 = {1, 2, 3}, A2,8 = {1, 2, 4}, A2,9 = {1, 4, 5}, A2,10 = {1, 2, 3, 4},
A2,11 = {1, 2, 4, 5};
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
616 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
для N3 — A3,1 = ∅, A3,2 = {1}, A3,3 = {5}, A3,4 = {1, 2}, A3,5 = {1, 3},
A3,6 = {1, 5}, A3,7 = {5, 6}, A3,8 = {1, 2, 3}, A3,9 = {1, 2, 5}, A3,10 = {1, 3, 5},
A3,11 = {1, 5, 6}, A3,12 = {5, 6, 7}, A3,13 = {1, 2, 3, 4}, A3,14 = {1, 2, 3, 5}, A3,15 =
= {1, 2, 5, 6}, A3,16 = {1, 3, 5, 6}, A3,17 = {1, 5, 6, 7}, A3,18 = {1, 2, 3, 4, 5}, A3,19 =
= {1, 2, 3, 5, 6}, A3,20 = {1, 2, 5, 6, 7}, A3,21 = {1, 3, 5, 6, 7}, A3,22 = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
A3,23 = {1, 2, 3, 5, 6, 7};
для N4 — A4,1 = ∅, A4,2 = {1}, A4,3 = {2}, A4,4 = {5}, A4,5 = {1, 2},
A4,6 = {1, 5}, A4,7 = {2, 3}, A4,8 = {2, 5}, A4,9 = {5, 6}, A4,10 = {1, 2, 3},
A4,11 = {1, 2, 5}, A4,12 = {1, 5, 6}, A4,13 = {2, 3, 4}, A4,14 = {2, 3, 5}, A4,15 =
= {2, 5, 6}, A4,16 = {5, 6, 7}, A4,17 = {1, 2, 3, 4}, A4,18 = {1, 2, 3, 5}, A4,19 =
= {1, 2, 5, 6}, A4,20 = {1, 5, 6, 7}, A4,21 = {2, 3, 4, 5}, A4,22 = {2, 3, 5, 6}, A4,23 =
= {2, 5, 6, 7}, A4,24 = {5, 6, 7, 8}, A4,25 = {1, 2, 3, 4, 5}, A4,26 = {1, 2, 3, 5, 6},
A4,27 = {1, 2, 5, 6, 7}, A4,28 = {1, 5, 6, 7, 8}, A4,29 = {2, 3, 4, 5, 6}, A4,30 = {2, 3, 5, 6,
7}, A4,31 = {2, 5, 6, 7, 8}, A4,32 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A4,33 = {1, 2, 3, 5, 6, 7}, A4,34 =
= {1, 2, 5, 6, 7, 8}, A4,35 = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, A4,36 = {2, 3, 5, 6, 7, 8}, A4,37 = {1, 2, 3,
4, 5, 6, 7}, A4,38 = {1, 2, 3, 5, 6, 7, 8}, A4,39 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8};
для N5 — A5,1 = ∅, A5,2 = {1}, A5,3 = {2}, A5,4 = {4}, A5,5 = {1, 2},
A5,6 = {1, 4}, A5,7 = {2, 3}, A5,8 = {2, 4}, A5,9 = {4, 5}, A5,10 = {1, 2, 3},
A5,11 = {1, 2, 4}, A5,12 = {1, 4, 5}, A5,13 = {2, 3, 4}, A5,14 = {2, 4, 5}, A5,15 =
= {4, 5, 6}, A5,16 = {1, 2, 3, 4}, A5,17 = {1, 2, 4, 5}, A5,18 = {1, 4, 5, 6}, A5,19 =
= {2, 3, 4, 5}, A5,20 = {2, 4, 5, 6}, A5,21 = {4, 5, 6, 7}, A5,22 = {1, 2, 3, 4, 5}, A5,23 =
= {1, 2, 4, 5, 6}, A5,24 = {1, 4, 5, 6, 7}, A5,25 = {2, 3, 4, 5, 6}, A5,26 = {2, 4, 5, 6, 7},
A5,27 = {4, 5, 6, 7, 8}, A5,28 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A5,29 = {1, 2, 4, 5, 6, 7}, A5,30 =
= {1, 4, 5, 6, 7, 8}, A5,31 = {2, 3, 4, 5, 6, 7}, A5,32 = {2, 4, 5, 6, 7, 8}, A5,33 = {4, 5, 6,
7, 8, 9}, A5,34 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A5,35 = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8}, A5,36 = {1, 4, 5, 6, 7, 8,
9}, A5,37 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A5,38 = {2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A5,39 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8},
A5,40 = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A5,41 = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9};
для N6 — A6,1 = ∅, A6,2 = {1}, A6,3 = {6}, A6,4 = {8}, A6,5 = {1, 2},
A6,6 = {1, 6}, A6,7 = {1, 8}, A6,8 = {6, 7}, A6,9 = {6, 8}, A6,10 = {1, 2, 3},
A6,11 = {1, 2, 6}, A6,12 = {1, 2, 8}, A6,13 = {1, 6, 7}, A6,14 = {1, 6, 8}, A6,15 =
= {6, 7, 8}, A6,16 = {6, 8, 9}, A6,17 = {1, 2, 3, 4}, A6,18 = {1, 2, 3, 6}, A6,19 =
= {1, 2, 3, 8}, A6,20 = {1, 2, 6, 7}, A6,21 = {1, 2, 6, 8}, A6,22 = {1, 6, 7, 8}, A6,23 =
= {1, 6, 8, 9}, A6,24 = {6, 7, 8, 9}, A6,25 = {1, 2, 3, 4, 5}, A6,26 = {1, 2, 3, 4, 6},
A6,27 = {1, 2, 3, 4, 8}, A6,28 = {1, 2, 3, 6, 7}, A6,29 = {1, 2, 3, 6, 8}, A6,30 = {1, 2, 6, 7,
8}, A6,31 = {1, 2, 6, 8, 9}, A6,32 = {1, 6, 7, 8, 9}, A6,33 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A6,34 =
= {1, 2, 3, 4, 5, 8}, A6,35 = {1, 2, 3, 4, 6, 7}, A6,36 = {1, 2, 3, 4, 6, 8}, A6,37 = {1, 2, 3,
6, 7, 8}, A6,38 = {1, 2, 3, 6, 8, 9}, A6,39 = {1, 2, 6, 7, 8, 9}, A6,40 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},
A6,41 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}, A6,42 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8}, A6,43 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9},
A6,44 = {1, 2, 3, 6, 7, 8, 9}, A6,45 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A6,46 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 8,
9}, A6,47 = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9}.
Обозначим через Ni,j ч. y. множество S↑X при S = Ni и X = Ai,j . Тогда
легко убедиться в том, что N1,1
∼= N115, N1,2
∼= N114, N1,3
∼= N45, N1,4
∼= Nop
45 ,
N1,5
∼= Nop
114, N2,1
∼= N112, N2,2
∼= N43, N2,3
∼= N113, N2,4
∼= Nop
1 , N2,5
∼= N44,
N2,6
∼= N41, N2,7
∼= Nop
41 , N2,8
∼= Nop
44 , N2,9
∼= N1, N2,10
∼= Nop
113, N2,11
∼= Nop
43 ,
N3,1
∼= N46, N3,2
∼= N49, N3,3
∼= N50, N3,4
∼= N4, N3,5
∼= N53, N3,6
∼= N52,
N3,7
∼= N47, N3,8
∼= Nop
6 , N3,9
∼= N7, N3,10
∼= Nop
54 , N3,11
∼= N51, N3,12
∼= N2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ, КРИТИЧЕСКИХ . . . 617
N3,13
∼= Nop
2 , N3,14
∼= Nop
51 , N3,15
∼= Nop
7 , N3,16
∼= N54, N3,17
∼= N6, N3,18
∼= Nop
47 ,
N3,19
∼= Nop
52 , N3,20
∼= Nop
4 , N3,21
∼= Nop
53 , N3,22
∼= Nop
50 , N3,23
∼= Nop
49 , N4,1
∼= N55,
N4,2
∼= N17, N4,3
∼= N62, N4,4
∼= N63, N4,5
∼= Nop
15 , N4,6
∼= Nop
18 , N4,7
∼= N58,
N4,8
∼= N69, N4,9
∼= N60, N4,10
∼= Nop
13 , N4,11
∼= Nop
66 , N4,12
∼= Nop
16 , N4,13
∼= N11,
N4,14
∼= N65, N4,15
∼= N68, N4,16
∼= N56, N4,17
∼= Nop
8 , N4,18
∼= Nop
64 , N4,19
∼= Nop
67 ,
N4,20
∼= Nop
14 , N4,21
∼= N14, N4,22
∼= N67, N4,23
∼= N64, N4,24
∼= N8, N4,25
∼= Nop
56 ,
N4,26
∼= Nop
68 , N4,27
∼= Nop
65 , N4,28
∼= Nop
11 , N4,29
∼= N16, N4,30
∼= N66, N4,31
∼= N13,
N4,32
∼= Nop
60 , N4,33
∼= Nop
69 , N4,34
∼= Nop
58 , N4,35
∼= N18, N4,36
∼= N15, N4,37
∼= Nop
63 ,
N4,38
∼= Nop
62 , N4,39
∼= Nop
17 , N5,1
∼= N70, N5,2
∼= N27, N5,3
∼= N74, N5,4
∼= Nop
84 ,
N5,5
∼= Nop
25 , N5,6
∼= N29, N5,7
∼= N23, N5,8
∼= N95, N5,9
∼= N82, N5,10
∼= Nop
19 ,
N5,11
∼= N94, N5,12
∼= N31, N5,13
∼= N26, N5,14
∼= N96, N5,15
∼= N80, N5,16
∼= Nop
71 ,
N5,17
∼= Nop
101, N5,18
∼= Nop
30 , N5,19
∼= N23, N5,20
∼= N99, N5,21
∼= N77, N5,22
∼= Nop
77 ,
N5,23
∼= Nop
99 , N5,24
∼= Nop
28 , N5,25
∼= N30, N5,26
∼= N101, N5,27
∼= N71, N5,28
∼= Nop
80 ,
N5,29
∼= Nop
96 , N5,30
∼= Nop
26 , N5,31
∼= Nop
31 , N5,32
∼= Nop
94 , N5,33
∼= N19, N5,34
∼= Nop
82 ,
N5,35
∼= Nop
95 , N5,36
∼= Nop
23 , N5,37
∼= Nop
29 , N5,38
∼= N25, N5,39
∼= Nop
84 , N5,40
∼= Nop
74 ,
N5,41
∼= Nop
27 , N6,1
∼= N85, N6,2
∼= N93, N6,3
∼= N76, N6,4
∼= Nop
97 , N6,5
∼= N91,
N6,6
∼= N98, N6,7
∼= N111, N6,8
∼= N37, N6,9
∼= Nop
75 , N6,10
∼= N89, N6,11
∼= N100,
N6,12
∼= N110, N6,13
∼= N39, N6,14
∼= Nop
106, N6,15
∼= Nop
104, N6,16
∼= Nop
36 , N6,17
∼=
∼= N86, N6,18
∼= N102, N6,19
∼= N109, N6,20
∼= N40, N6,21
∼= Nop
107, N6,22
∼= Nop
103,
N6,23
∼= Nop
108, N6,24
∼= Nop
32 , N6,25
∼= N32, N6,26
∼= N103, N6,27
∼= N108, N6,28
∼=
∼= Nop
40 , N6,29
∼= N107, N6,30
∼= Nop
102, N6,31
∼= N109, N6,32
∼= Nop
86 , N6,33
∼= N104,
N6,34
∼= N36, N6,35
∼= Nop
39 , N6,36
∼= N106, N6,37
∼= Nop
100, N6,38
∼= Nop
110, N6,39
∼=
∼= Nop
89 , N6,40
∼= Nop
37 , N6,41
∼= N75, N6,42
∼= Nop
98 , N6,43
∼= Nop
111, N6,44
∼= Nop
91 ,
N6,45
∼= Nop
76 , N6,46
∼= N97, N6,47
∼= Nop
93 .
Шаг II. Опишем (с точностью до сильного изоморфизма) все пары (Y, X)
нижниx собственных подмножеств в критических множествах Назаровой N2 –N6
такие, что X ⊆ Y и X < S \ Y (для N1 таких пар нет):
для N2 — B2,1 = (A2,10, {4});
для N3 — B3,1 = (A3,18, {5}), B3,2 = (A3,22, {5}), B3,3 = (A3,22, {5, 6}), B3,4 =
= (A3,23, {3});
для N4 — B4,1 = (A4,25, {5}), B4,2 = (A4,32, {5}), B4,3 = (A4,32, {5, 6}), B4,4 =
= (A4,34, {2}), B4,5 = (A4,37, {5}), B4,6 = (A4,37, {5, 6}), B4,7 = (A4,37, {5, 6, 7}),
B4,8 = (A4,38, {2}), B4,9 = (A4,38, {2, 3});
для N5 — B5,1 = (A5,16, {4}), B5,2 = (A5,22, {4}), B5,3 = (A5,22, {4, 5}), B5,4 =
= (A5,28, {4}), B5,5 = (A5,28, {4, 5}), B5,6 = (A5,28, {4, 5, 6}), B5,7 = (A5,34, {4}),
B5,8 = (A5,34, {4, 5}), B5,9 = (A5,34, {4, 5, 6}), B5,10 = (A5,34, {4, 5, 6, 7}), B5,11 =
= (A5,39, {4}), B5,12 = (A5,39, {4, 5}), B5,13 = (A5,39, {4, 5, 6}), B5,14 = (A5,39, {4,
5, 6, 7}), B5,14 = (A5,39, {4, 5, 6, 7, 8}), B5,16 = (A5,40, {2});
для N6 — B6,1 = (A6,32, {1}), B6,2 = (A6,39, {1}), B6,3 = (A6,39, {1, 2}), B6,4 =
= (A6,41, {6}), B6,5 = (A6,44, {1}), B6,6 = (A6,44, {1, 2}), B6,7 = (A6,44, {1, 2, 3}),
B6,8 = (A6,45, {6}), B6,9 = (A6,45, {8}), B6,10 = (A6,45, {6, 8}), B6,11 = (A6,46, {6}),
B6,12 = (A6,47, {1}), B6,13 = (A6,47, {1, 2}), B6,14 = (A6,47, {1, 2, 3}), B6,15 =
= (A6,47, {1, 2, 3, 4}).
Обозначим через N ′
i,j ч. у. множество (S↑Y )↑X при S = Ni и (Y,X) = Bi,j .
Тогда легко убедиться в том, что N ′
2,1
∼= N42, N ′
3,1
∼= Nop
3 , N ′
3,2
∼= N48, N ′
3,3
∼= N3,
N ′
3,4
∼= N5, N ′
4,1
∼= Nop
9 , N ′
4,2
∼= Nop
57 , N ′
4,3
∼= N10, N ′
4,4
∼= Nop
12 , N ′
4,5
∼= N61, N ′
4,6
∼=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
618 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
∼= N57, N ′
4,7
∼= N9, N ′
4,8
∼= N59, N ′
4,9
∼= N12, N ′
5,1
∼= Nop
20 , N ′
5,2
∼= Nop
72 , N ′
5,3
∼= Nop
21 ,
N ′
5,4
∼= Nop
78 , N ′
5,5
∼= Nop
73 , N ′
5,6
∼= N22, N ′
5,7
∼= Nop
81 , N ′
5,8
∼= N79, N ′
5,9
∼= N73,
N ′
5,10
∼= N21, N ′
5,11
∼= N83, N ′
5,12
∼= N81, N ′
5,13
∼= N78, N ′
5,14
∼= N72, N ′
5,15
∼= N20,
N ′
5,16
∼= N24, N ′
6,1
∼= Nop
33 , N ′
6,2
∼= Nop
87 , N ′
6,3
∼= Nop
34 , N ′
6,4
∼= N35, N ′
6,5
∼= Nop
90 ,
N ′
6,6
∼= N88, N ′
6,7
∼= N34, N ′
6,8
∼= N105, N ′
6,9
∼= Nop
38 , N ′
6,10
∼= Nop
35 , N ′
6,11
∼= N38,
N ′
6,12
∼= N92, N ′
6,13
∼= N90, N ′
6,14
∼= N87, N ′
6,15
∼= N33.
Шаг III. Легко убедиться в том, что в пп. I и II каждое из ч. у. множеств Ni и
Nop
i , где i = 1, 2, . . . , 115, встречается по одному разу (при этом если Nop
i
∼= Ni,
то Ni встречается, а Nop
i — нет).
Таким образом, теорема 1 доказана.
4. Таблицы.
Таблица 1. P -критические ч. у. множества
r rrr
��@@
1
rr r��
rr r
2
rr rr��
rr
3
rr r
��
��rr r
4=3′
r rr
r
�
�
�
��
rr
r5
r rr
r
�
�
�
��
rr6=5′
r��
rr rr�
�
�
rr
r
7
r
rr rr��
rr
8
r
rr rr
��rr
9
r rr
r
�
�
�
rr
rr10
r rr
r
�
�
�
rr
r
r��
11=10′
r rr
r
�
�
�
rr
r��r
12=10′′
r rr
r
�
�
�
�
�
�
��rr
rr13
r rr
r
�
�
�
�
�
�
��rr
r
r��
14=13′
r rr
r
�
�
rr
r
r
15
r rr
r
�
�
�
�
�
�rr
r
r
16
r rr
r
�
�
�
�
�
�rr
r
r
17
r rr
r
�
�
�
��
rrrr
18
r rr
r
�
�
�
��rrrr
19
r rr
r
�
�
�
rrrr
20
r rr
r
��
r
��
rr
r
21
r rr
r
��
r
��
r
r
r��
22=21′
r rr
r
��
r
��r
r��r
23=21′′
r rr
r
��
rr
r
�
�
�
�
�
�
r
24
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ, КРИТИЧЕСКИХ . . . 619
Продолжение табл. 1
r
r rr
��
r
��
rr
r
25=24′
r rr
r
�
�
�
�
�
�r
�
�
�
�
�
�rr
r
26
r rr
r
�
�
�
�
�
�rr
r
r��
27=26′
r rr
r
�
�
�
��
r
�
�
�
��
r
rr
28
r rr
r
�
�
�
r
�
�
�
rrr
29
r rr r�� @@
30
r rr rrr
31
r r rr
r
��r
32
r r
rr r
��
�
�
� r
33
r rr rr����
r
HH
H
34
r rr rr
rr
35
r r rr
r
�
�
�
��
rr36
r r rr
r
�
�
�
�
�
r
�
�r
37=36′
r rr rr�
�
�
�
�rr
38
r rr rr�
�
�
r
�
�
r
r
39
r rr rr�
�
r
�
�
r
40
r rr
rr
�
�
�r��
r
41
r rr rr
rr
r42
r r rr
r
�
�
�
rr
r43
r r rr
r
�
�
�
rr
��r
44=43′
r
r rr
r
�
�
�
r
��rr
45=43′′
r r rr
r
�
�
�
�
�
�
��rr
r46
r rr rr��
rr
r47
r rr rr�
�
�
�
�
�rr
r48
r r
r
rr�
�
�r r
r49
rr r
r
rr�
�
�
r
r��
50=49′
r r
r
rr�
�
�r rr
51
r
rr r rr�
�
�
r
r��
52=51′
r r
r
rr�
�
�r rr53
r rr rr��
rr
r54
r rr rr��
r
��
rr55
r rr rr�
�
�
�
�
�r
��
rr56
r rr rr�
�
�
�
�r
�
�
r r57
r r
rr rr
�
�
�
�
�
rr58
r r
rr rr�
�
�
�
�
�
�
�
rr
59
r r
rr rr�
�
�
�
�
rr60
r r
rr rr�
�
�
�
�
�
rr
61
r r
rr
r
r���
�
� r
r62
r r
rr
r
r
���
�
�
rr63
r r
rr
r
r
���
�
�
�
�
�
��rr64
r rr rr��
r
��
rr
65
r
r
r rr��
r��
rr
66
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
620 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
Окончание табл. 1
r rr rr��
r
��
rr67
r rr rr��
r
��
r
r��
68=67′
r rr rr��
r
��
r
r
69
rr rr rr��
r
��
r��
70=69′
r rr rr��
r
��
rr
71
r r
rr rr
���
�
���
rr72
r r
rr rr
��
����r
r73
rr rr
rr��
��
��
rr74
r r r r
75
Таблица 2. NP -критические ч. у. множества
b bb
bb
��@@
1
bb bb
b
��
bb
2
bb b
��
b
�� bb b3=2′
bb bb
b
�
�
�bb
4
bb b
��
b
�
�
�bb b5=4′
bb b
b
��
bb b6
bb bb��
bb b
7
b bb
b
b
�
�
�
��
bb
b8
b bb
b
b
�
�
�
��
bb
b��
9=8′
bb bb
b
�
�
�
��bb
b��
10=8′′
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�bb
b11
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�bb
b��
12=11′
bb bb
b
�
�
�
bb
b13
bb bb
b
�
�
�
��bb
b14
b
bb bb
b
��
bb
15
b
bb bb
b
�
�
�
bb
16
b
bb bb
b
�
�
�bb
17
b
bb bb
b
��
bb
18
b bb
b
b
�
�
�
bb
bb
19
b bb
b
b
�
�
�
bb
b
b��
20=19′
b bb
b
b
�
�
�
bb
b��b
21=19′′
bb bb
b
�
�
�
bb
b��b
22=19′′′
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
bb
bb
23
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
bb
b
b��
24=23′′
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ, КРИТИЧЕСКИХ . . . 621
Продолжение табл. 2
b bb
b
b
��
bb
b
b
25
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
��bb
b
b
26
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
��
bb
b
b
27
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�bbbb
28
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�bbbb
29
b bb
b
b
�
�
�
��
bbbb
30
b bb
b
b
�
�
�
��bbbb
31
b bb
b
b
��
b
��
bb
b
32
b bb
b
b
��
b
��
b
b
b��
33=32′
b bb
b
b
��
b
��b
b��b
34=32′′
b bb
b
b
��
bb
b
�
�
�
�
�
�
��
b
35
b
b bb
b
��
b
��
bb
b
36=35′
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
��b
�
�
�
�
�
�
��bb
b
37
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
��bb
b
b��
38=37′
b bb
b
b
�
�
�
�
�
�b
�
�
�
�
�
�b
bb
39
b bb
b
b
�
�
�
��
b
�
�
�
��bbb
40
b bb b��
b
@@
41
b bb b��
b
@@
@@ ��
42=41′
b bb b�
�
�
b
A
A
A
43
b bb b��
b
@@��
44
b bb
�� b��
b
AA�
��
Q
QQ
AA
45
b bb bb
bb
46
b b bb
bb
��b
47
b b
b bb
b
��
b��
48=47′
b b bb
bb
�
�
�b
49
b b bb
bb ��b
50
b b
bb bb
��
�
�
� b
51
b b
bb bb��
�
�
� b
52
b b
bb
bb
��
�
�
�
��
b
53
b bb bb
b
����
b
HHH
54
b bb bb
bbb
55
b b bb
b
b
�
�
�
��
bb
56
b b bb
b
b
�
�
�
��
b
��b
57=56′
b b bb
b
b
�
�
�
�
�
�bb
58
b b bb
b
b
�
�
�
�
�
�b
��b
59=58′
b bb bb
b
�
�
�
��bb
60
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
622 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
Продолжение табл. 2
b bb b b
b
�
�
�
��bb
��
61=60′
b bb bb
b
�
�
�
�
�
�bb
62
b bb bb
b
�
�
�
��bb
63
b bb bb
b
�
�
�
b
��
b
b
64
b bb bb
b
�
�
�
��b
��
b
b
65
b bb bb
b
��
b
��
b
66
b bb bb
b
�
�
�
b
��
b
67
b bb
bb
b
�
�
�b�� b
68
b bb
bb
b
�
�
�
��b�� b
69
b bb bb
bb
bb
70
b b bb
b
b
�
�
�
bb
b71
b b bb
b
b
�
�
�
bb
��b
72=71′
b
b bb
b
b
�
�
�
b
��bb
73=72′′
b b bb
b
b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
bb
b74
b bb bb
b
��
bb
b
75
b bb bb
b
�
�
�
�
�
�
��
bb
b
76
b b
b
bb
b
�
�
�b b
b
77
bb b
b
bb
b
�
�
�
b
b��
78=77′
bb b
b
b b
b
�
�
�b
b��
79=77′′
b b
b
bb
b
�
�
�b bb
80
b
bb b bb
b
�
�
�
b
b��
81=80′
b b
b
bb
b
�
�
�b bb
82
b b
b b b
b
�
�
�b bb
��
83=82′
b b
b
bb
b
�
�
�b bb
84
b bb bb
b
��
bb
b
85
b bb bb
b
��
b
��
bb
86
b bb bb
b
��
b
��
b
b��
87=86′
b bb
b b
b
��
b
��
b
b
��
88=86′′
b bb bb
b
��
b
��
b
b
89
bb bb bb
b
��
b
��
b��
90=89′
b bb bb
b
��
b
��
bb
91
bb bb bbb
��
b
��
b��
92=91′
b bb bb
b
��
b
��
bb
93
b bb bb
b
��
b
��
bb
94
b bb bb
b
�
�
�
�
�
�
��
b
��
bb
95
b bb bb
b
�
�
�
�
�
�b
��
b b
96
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
ОПИСАНИЕ ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ, КРИТИЧЕСКИХ . . . 623
Окончание табл. 2
b b
bb bb
b
���
�
�
bb
97
b b
bb bb
b
�
�
�
�
�
�
�
�
�
bb
98
b b
bb bb
b
�
�
�
��
��
bb
99
b b
bb bb
b
�
�
�
��
�
�
�
bb
100
b b
bb
b
b
b
�
�
�
��
b
b101
b b
bb
b
b
b
�
�
�
�
�
� b
b102
b b
bb
b
b
b
���
�
� b
b
103
b b
bb
b
bb
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
bb
104
b b
bb
b
bb
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�bb
105
b bb bb
b
��
b
��
bb
106
b
b
b bb
b
��
b�� bb
107
b b
bb bb
b
���
�
� ��
bb
108
b b
bb bb
b
��
�� ��b
b109
bb bb
bb
b
��
��
��
bb
110
bb bb
bb
b
��
��
��
b
b
111
b bb bb
112
b bb bb
�� @@
113
b bb bb
�
��
�� AA Q
QQ
114
b bb b b115
1. Gabriel P. Unzerlegbare Darstellungen // Manuscr. Math. – 1972. – 6. – S. 71 – 103, 309.
2. Brenner S. Quivers with commutativity conditions and some phenomenology of forms // Proc. Int. Conf.
Represent. Algebras. – Ottawa, Ontario: Carleton Univ., 1974. – Paper № 5.
3. Дрозд Ю. А. Преобразования Кокстера и представления частично упорядоченных множеств //
Функцион. анализ и его прил. – 1974. – 8. – C. 34 – 42.
4. Клейнер М. М., Ройтер А. В. Представления дифференциальных градуированных категорий //
Матричные задачи. – Киев: Ин-т математики АН УССР, 1977. – С. 5 – 70.
5. Назарова Л. А., Ройтер А. В. Представления частично упорядоченных множеств // Зап. науч. сем.
ЛОМИ. – 1972. – 28. – С. 5 – 31.
6. Бондаренко В. М., Полищук А. М. О критерии положительной определенности для одного класса
бесконечных квадратичных форм // Нелiнiйнi коливання. – 2003. — 6, № 1. – С. 3 – 14.
7. Bondarenko V. M. On (min, max)-equivalence of posets and applications to the Tits forms // Вiсн. Київ.
ун-ту. Сер. фiзика i математика. – 2005. – Вип. 1. – С. 24 – 25.
8. Bondarenko V. M., Styopochkina M. V. On posets of width two with positive Tits form // Algebra and
Discrete Math. – 2005. – № 2. – P. 11 – 22.
9. Бондаренко В. М., Степочкина М. В. Частично упорядоченные множества инъективно-конечного
типа // Наук. вiсн. Ужгород. ун-ту. Сер. математика i iнформатика. – 2005. – Вип. 9. – С. 15 – 25.
10. Бондаренко В. М., Степочкина М. В. (Min, max)-эквивалентность частично упорядоченных мно-
жеств и квадратичная форма Титса // Проблеми аналiзу i алгебри: Зб. праць Iн-ту математики НАН
України. – 2005. – 2, № 3. – С. 18 – 58.
11. Bondarenko V. M., Styopochkina M. V. On finite posets of inj-finite type and their Tits forms // Algebra
and Discrete Math. – 2006. – № 2. – P. 17 – 21.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
624 В. М. БОНДАРЕНКО, М. В. СТЕПОЧКИНА
12. Бондаренко В. М., Стьопочкiна М. В. Про серiйнi частково впорядкованi множини з додатно
визначеною квадратичною формою Тiтса // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 9, № 3. – С. 320 – 325.
13. Бондаренко В. М., Стьопочкiна М. В. Про вигляд ч. в. множин з додатно визначеною формою
Тiтса // Вiсн. Київ. ун-ту. – 2006. – Вип. 3. – С. 11 – 14.
14. Бондаренко В. М., Стьопочкина М. В. О связи между inj-конечностью типа и положительно-
стью квадратичной формы Титса для конечных частично упорядоченных множеств // Наук. вiсн.
Ужгород. ун-ту. – 2006. – Вип. 12. – С. 20 – 27.
15. Бондаренко В. М., Степочкина М. В. (Min, max)-эквивалентность частично упорядоченных мно-
жеств и неотрицательные формы Титса // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 9. – С. 1157 – 1167.
Получено 23.12.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-3045 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:15Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/c5/c8b952567246ee886e5f3886d476aec5.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30452020-03-18T19:44:07Z Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form Описание частично упорядоченных множеств, критических относительно неотрицательности квадратичной формы Титса Bondarenko, V. M. Stepochkina, M. V. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. We present the complete description of finite posets whose Tits form is not nonnegative but all proper subsets of which have nonnegative Tits forms. A similar result for positive forms was obtained by the authors earlier. Наведено повний опис скінченних частково впорядкованих множин, форма Тітса яких не є невід'ємною, але всі власні підмножини яких мають невід'ємну форму Тітса. Аналогічний результат для додатних форм отримано авторами раніше. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3045 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 611-624 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 611-624 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3045/2839 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3045/2840 Copyright (c) 2009 Bondarenko V. M.; Stepochkina M. V. |
| spellingShingle | Bondarenko, V. M. Stepochkina, M. V. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. Бондаренко, В. М. Степочкина, М. В. Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form |
| title | Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form |
| title_alt | Описание частично упорядоченных множеств, критических относительно неотрицательности квадратичной формы Титса |
| title_full | Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form |
| title_fullStr | Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form |
| title_full_unstemmed | Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form |
| title_short | Description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic Tits form |
| title_sort | description of posets critical with respect to the nonnegativity of the quadratic tits form |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3045 |
| work_keys_str_mv | AT bondarenkovm descriptionofposetscriticalwithrespecttothenonnegativityofthequadratictitsform AT stepochkinamv descriptionofposetscriticalwithrespecttothenonnegativityofthequadratictitsform AT bondarenkovm descriptionofposetscriticalwithrespecttothenonnegativityofthequadratictitsform AT stepočkinamv descriptionofposetscriticalwithrespecttothenonnegativityofthequadratictitsform AT bondarenkovm descriptionofposetscriticalwithrespecttothenonnegativityofthequadratictitsform AT stepočkinamv descriptionofposetscriticalwithrespecttothenonnegativityofthequadratictitsform AT bondarenkovm opisaniečastičnouporâdočennyhmnožestvkritičeskihotnositelʹnoneotricatelʹnostikvadratičnojformytitsa AT stepochkinamv opisaniečastičnouporâdočennyhmnožestvkritičeskihotnositelʹnoneotricatelʹnostikvadratičnojformytitsa AT bondarenkovm opisaniečastičnouporâdočennyhmnožestvkritičeskihotnositelʹnoneotricatelʹnostikvadratičnojformytitsa AT stepočkinamv opisaniečastičnouporâdočennyhmnožestvkritičeskihotnositelʹnoneotricatelʹnostikvadratičnojformytitsa AT bondarenkovm opisaniečastičnouporâdočennyhmnožestvkritičeskihotnositelʹnoneotricatelʹnostikvadratičnojformytitsa AT stepočkinamv opisaniečastičnouporâdočennyhmnožestvkritičeskihotnositelʹnoneotricatelʹnostikvadratičnojformytitsa |