On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation
We study the phenomenon of instantaneous shrinking of the support of solution to the Cauchy problem for the parabolic equation with anisotropic degeneration, double nonlinearity, and strong absorption. In terms of the behavior of locally integrable initial data, we formulate necessary and sufficient...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3046 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509069767344128 |
|---|---|
| author | Degtyarev, S. P. Дегтярев, С. П. Дегтярев, С. П. |
| author_facet | Degtyarev, S. P. Дегтярев, С. П. Дегтярев, С. П. |
| author_sort | Degtyarev, S. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We study the phenomenon of instantaneous shrinking of the support of solution to the Cauchy problem for the parabolic equation with anisotropic degeneration, double nonlinearity, and strong absorption. In terms of the behavior of locally integrable initial data, we formulate necessary and sufficient conditions for the realization of instantaneous shrinking and establish the exact (in order) bilateral estimates for the size of the support of solution. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:15Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 917.956.45
С. П. Дегтярев (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ
РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНОГО
ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
We study the phenomenon of instantaneous support shrinking in a Cauchy problem for a doubly nonlinear
parabolic equation with anisotropic degeneration and with strong absorption. In terms of the behavior of locally
integrable initial data we formulate necessary and sufficient conditions for the phenomenon of instantaneous
support shrinking to take place and, in the same terms, we establish bilateral estimates sharp with respect to
order for the size of the support of the solution.
Розглянуто явище миттєвої компактифiкацiї носiя розв’язку в задачi Кошi для параболiчного рiвняння з
анiзотропним виродженням, подвiйною нелiнiйнiстю та сильною абсорбцiєю. У термiнах поведiнки ло-
кально iнтегровних початкових даних сформульовано необхiдну та достатню умову наявностi миттєвої
компактифiкацiї та встановлено точнi за порядком двостороннi оцiнки розмiрiв носiя розв’язку.
1. Постановка задачи и основной результат. В области RN × [0, T ] N — раз-
мерность пространства RN , T > 0, рассмотрим следующую задачу Коши для
неизвестной функции u(x, t):
∂
∂t
(|u|β−1
u)−
N∑
i=1
∂
∂xi
(∣∣∣∣ ∂u∂xi
∣∣∣∣pi−2
∂u
∂xi
)
+ |u|λ−1
u = 0, (x, t) ∈ RN × (0, T ),
(1.1)
|u|β−1
u(x, 0) = |u0|β−1
u0(x), x ∈ RN , (1.2)
где β > 0, pi > 0, i = 1, N, λ > 0 — заданные постоянные, |u0|β−1u0(x) — заданная
начальная локально интегрируемая функция. При этом будем рассматривать случай
медленной диффузии по всем направлениям и сильной абсорбции, что выражается
в следующем ограничении на параметры задачи:
β > 0, pi > 1 + β, i = 1, N, 0 < λ < β. (1.3)
В случае изотропного уравнения, т. е. когда pi = p, i = 1, N, известно, что при
определенных условиях на начальную функцию |u0|β−1u0(x) задача (1.1), (1.2)
разрешима в слабом смысле и наблюдается явление мгновенной компактификации
носителя (см. [1 – 10]). Суть этого явления состоит в том, что носитель решения
становится компактным в любой сколь угодно малый момент времени t > 0 и сжи-
мается при малых t, несмотря на то, что носитель начальной функции совпадает со
всем RN . Не останавливаясь подробно на истории вопроса (см. [1 – 10]), отметим,
что, в частности, в [10] в случае изотропного уравнения была получена точная по
порядку двусторонняя оценка размера D(t) носителя решения задачи (1.1), (1.2)
ψ−1
Mt(γ1t
β/(β−λ)) ≤ D(t) ≤ (1 + ε)ψ−1
t (γ0t
β/(β−λ)), (1.4)
где
D(t) = inf
{
r : u(x, t) ≡ 0, |x| > r
}
,
ε, γ0, γ1, M — некоторые положительные постоянные, и для ρ > 0
c© С. П. ДЕГТЯРЕВ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5 625
626 С. П. ДЕГТЯРЕВ
ψt(ρ) ≡ sup
|x0|=ρ
1
|Btκ (x0)|
∫
Btκ (x0)
|u0(x)|β dx ≡ sup
|x0|=ρ
∮
Btκ (x0)
|u0|β dx,
причем κ = (p − 1 − λ)/p(β − λ), Btκ — шар с центром в точке x0 радиуса tκ и
при немонотонной ψt(ρ)
ψ−1
t (s) = inf
ρ
{
ρ : ψt(k) < s, k > ρ}.
Таким образом, было, в частности, показано, что мгновенная компактификация
носителя имеет место тогда и только тогда, когда ψt(ρ) → 0 при ρ→∞.
Целью данной работы является выяснение условий наличия мгновенной компак-
тификации носителя в случае анизотропного уравнения (1.1) и получение точных
по порядку двусторонних оценок размеров носителя решения задачи (1.1), (1.2).
При этом, как следует, например, из результатов работы [10], равенство решения
нулю в окрестности какой-либо точки пространства с течением малого времени
определяется локальным поведением решения в окрестности этой точки. Поэто-
му следует ожидать, что оценка размеров носителя решения для анизотропного
уравнения (1.1) в случае изотропного и однородного во всех направлениях поведе-
ния начальных данных на бесконечности также будет иметь изотропный характер,
аналогичный (1.4), несмотря на анизотропию уравнения. В случае же различного
поведения начальных данных на бесконечности в различных направлениях размер
носителя решения также будет зависеть от направления (см. замечание 1.1).
Чтобы сформулировать основной результат, нам понадобятся несколько опре-
делений и обозначений. Всюду ниже
p =
(
1
N
N∑
i=1
1
pi
)−1
(1.5)
— среднее гармоническое показателей pi. Обозначим
d = p− 1− β, dλ = p− 1− λ, di = pi − 1− β, diλ = pi − 1− λ,
k = N(p− 1− β) + βp = Nd+ βp > 0.
(1.6)
Под слабым решением задачи (1.1), (1.2) на интервале времени [0, T ] мы пони-
маем измеримую функцию u(x, t), имеющую следующие свойства:
1) для любой функции ζ(x) ∈ C∞0 (RN ) отображение
t ∈ [0, T ] →
∫
RN
|u|β−1
u(x, t)ζ(x)dx
непрерывно;
2) для любой финитной по x достаточно регулярной функции η(x, t) выполне-
но интегральное тождество∫
RN
|u|β−1
u(x, t)ηdx+
N∑
i=1
t∫
0
∫
RN
|uxi
|pi−2
uxi
ηxi
dxdτ +
t∫
0
∫
RN
|u|λ−1
uηdxdτ =
=
∫
RN
|u0|β−1
u0(x)η(x, 0)dx+
t∫
0
∫
RN
|u|β−1
u(x, t)ητdxdτ. (1.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 627
Отметим, что из результатов работ [11, 12] следует, что задача (1.1), (1.2) при
заданном соотношении параметров (1.3) разрешима для локально интегрируемых
начальных данных, не слишком быстро растущих на бесконечности, и при опреде-
ленном ограничении на разброс значений показателей pi. Поэтому, следуя [11, 12],
предполагаем выполненным следующее ограничение на разброс показателей pi:
pi < p(N + β)/N. (1.8)
Начальные же данные |u0|β−1u0(x) предполагаем неотрицательными (а следо-
вательно, рассматриваем неотрицательные решения u(x, t)) и удовлетворяющими
для некоторого r > 0 условию (ср. с [11, 12])∣∣∣∣∣∣uβ
0 (x)
∣∣∣∣∣∣ ≡ sup
x0∈RN
sup
ρ≥r
ρ−k/d
∫
Pρ(x0)
uβ
0 (x)dx <∞, (1.9)
где Pρ(x0) =
{
x : |xi − x0i| < ραi
}
, αi = pdi/pid, — параллелепипед с центром в
точке x0. Из результатов работ [11, 12] следует, что при этом условии для решения
рассматриваемой задачи (1.1), (1.2) конечна такая же норма по переменной x,
причем на некотором интервале времени [0, T ] справедлива оценка∣∣∣∣∣∣uβ(x, t)
∣∣∣∣∣∣ ≡ sup
x0∈RN
sup
ρ≥r
ρ−k/d
∫
Pρ(x0)
uβ(x, t)dx ≤ C
∣∣∣∣∣∣∣∣∣uβ
0 (x)
∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (1.10)
Здесь и всюду ниже через C, γ, b, ν обозначены все абсолютные константы ли-
бо константы, зависящие только от раз и навсегда зафиксированных параметров
задачи.
Отметим, что, как можно проверить, условие (1.9) следует из необходимого
условия мгновенной компактификации (1.16), поэтому на самом деле в рассматри-
ваемом случае условие (1.9) не является ограничением.
Отметим также, что, как и в работах [11, 12], в данной работе мы используем
метод локальных интегральных оценок из [13 – 15].
Введем, далее, следующие показатели, являющиеся анизотропными аналогами
изотропному случаю (ср. с [10]):
κi =
pi − 1− λ
pi(β − λ)
=
diλ
pi(β − λ)
, κ =
p− 1− λ
p(β − λ)
=
dλ
p(β − λ)
(1.11)
и обозначим через
Ptκ ≡ Ptκ (x0) =
{
x : |xi − x0i| ≤ tκi
}
(1.12)
параллелепипед с центром в точке x0 и со сторонами 2tκi , заметив при этом, что
объем этого параллелепипеда равен |Ptκ | = Ctκ1+...+κN = CtNκ. Пусть, далее,
ϕt(x0) =
1
|Ptκ (x0)|
∫
Ptκ (x0)
uβ
0 (x)dx ≡
∮
Ptκ (x0)
uβ
0 (x)dx, (1.13)
ϕt(ρ) = sup
|x0|=ρ
ϕt(x0), (1.14)
ϕ−1
t (s) = inf
ρ
{
ρ : ϕt(k) < s, k > ρ
}
. (1.15)
Основным результатом настоящей статьи является следующая теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
628 С. П. ДЕГТЯРЕВ
Теорема 1.1. Если начальная функция в (1.2) неотрицательна, то неотрица-
тельное решение задачи (1.1), (1.2) имеет свойство мгновенной компактификации
носителя тогда и только тогда, когда
ϕt(ρ) → 0, ρ→∞, (1.16)
при каком-либо t > 0 (можно проверить, что при этом условие (1.16) выполнено
при любом t > 0). Кроме того, для любого ε > 0 существуют константы t0 =
= t0(ε), γ0, γ1, M, зависящие от u0(x), такие, что на интервале времени (0, t0]
справедливы следующие оценки сверху и снизу размеров носителя решения:
D(t) ≤ (1 + ε)ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)), (1.17)
D(t) ≥ ϕ−1
Mt(γ1t
β/(β−λ)). (1.18)
Замечание 1.1. Оценки размеров носителя (1.17), (1.18), несмотря на анизо-
тропию уравнения (1.1), имеют изотропный характер, что обусловлено определе-
нием функции ϕt(ρ), которое не учитывает возможное анизотропное поведение
начальных данных. Непосредственно из доказательства теоремы 1.1 следует, что
если определить для ρ > 0, ω ∈ Sn−1 = {x : |x| = 1} функцию
ϕt(ρ, ω) = ϕt(x0), ρ = |x0|, ω =
x0
|x0|
,
ϕ−1
t (s, ω) = inf
ρ
{
ρ : ϕt(k, ω) < s, k > ρ
}
,
и функцию
D(t, ω) = inf
{
ρ : u(rω, t) ≡ 0, r ≥ ρ
}
,
то справедлива оценка
ϕ−1
Mt(γ1t
β/(β−λ), ω) ≤ D(t, ω) ≤ Cϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ), ω), (1.19)
т. е. размер носителя решения может быть различен в различных направлениях в
зависимости от поведения начальной функции.
Прежде чем перейти к доказательству теоремы 1.1 (где, как отмечено выше, мы
будем использовать метод локальных интегральных оценок из [13 – 15]), заметим,
что при получении нужных нам интегральных соотношений будем умножать урав-
нение (1.1) на различные тестирующие функции с последующим интегрированием.
Эти операции оправдываются выбором в интегральном тождестве (1.7) в качестве
тестирующих функций срезок от стекловских усреднений решения, выполнением
нужных промежуточных операций и последующим предельным переходом по па-
раметру усреднения в окончательном соотношении. Этот процесс стандартен (см.,
например, монографию [16]), и поэтому мы не останавливаемся на этом подробно
(см. также работу [11], где описанные промежуточные вычисления для анизотроп-
ного уравнения приведены подробно).
Отметим также, что ниже мы используем анизотропное неравенство Ниренбер-
га – Гальярдо вида
‖u‖Lq(Ω) ≤ C
(
N∏
i=1
‖uxi
‖1/N
Lpi
(Ω)
)α
‖u‖1−α
Lε(Ω) ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 629
≤ C
N∑
i=1
∫
Ω
|uxi
|pi dx
α/p
‖u‖1−α
Lε(Ω), (1.20)
где Ω ⊂ RN — область с достаточно гладкой границей, константа C не зависит от
размеров Ω, 0 < ε < q, α ∈ (0, 1), p — среднее гармоническое показателей pi ≥ 1,
причем величина α определяется из условия
1
q
= α
(
1
p
− 1
N
)
+ (1− α)
1
ε
, (1.21)
и при p < N должно быть выполнено q < Np/(N−p). Неравенство (1.20) следует,
например, из более общих оценок работы [17].
2. Условие на локальную энергию, при котором решение локально равно
нулю. Справедлива следующая лемма.
Лемма 2.1. Пусть x0 = (x01, x02, . . . , x0N ) ∈ RN , t > 0, R ∈ (1, 2), σ ∈
∈ (1/8, 7/8), ρ2i = Rtκi , ρ1i = (1−σ)ρ2i,∆ρi = ρ2i−ρ1i, i = 1, N, Pm = Pm(x0) =
=
{
x = (x1, x2, . . . , xN ) ∈ RN : |xi − x0i| ≤ ρmi, i = 1, N
}
, m = 1, 2. Тогда
существует такая достаточно малая константа γ2 = γ2(R, σ), что если
Y
(
t
2
, P2
)
≡ sup
t/2<τ<t
∫
P2
u1+β(x, τ)dx+
N∑
i=1
t∫
0
∫
P2
|uxi |pidxdτ +
+
t∫
0
∫
P2
u1+λdxdτ ≤ γ2t
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) ,
то u(x, t) ≡ 0 на множестве P1(x0)× [3t/4, t]. (Локальной энергией мы называем
левую часть последнего неравенства.)
Доказательство. Пусть для n = 0, 1, . . . Rni = ρ1i + (ρ2i − ρ1i)2−n, Rni =
= (Rni + R(n+1)i)/2, tn = 3t/4 − t2−n/4, tn = (tn + tn+1)/2, Pn =
{
x : |xi −
− x0i| ≤ Rni, i = 1, N
}
— сужающиеся концентрические параллелепипеды с
центром в точке x0, Pn =
{
x : |xi − x0i| ≤ Rni, i = 1, N
}
, Qn = Pn × [tn, t],
Qn = Pn × [tn, t]. Пусть, далее, ζn(x, t) ∈ C∞0 (RN × [0, T ]) — срезающие функции
цилиндров Qn такие, что ζn ≡ 1 на Qn+1, ζn ≥ 1/2 на Qn, ζn ≡ 0 вне Qn,
|ζnxi | ≤ C2n(ρ2i − ρ1i) = C2n∆ρi, ζnt ≤ C2nt−1. Заметим, что такие гладкие
срезающие функции можно построить, например, в виде произведения ζn(x, t) =
= ζ1
n(x1)ζ2
n(x2) . . . ζN
n (xN )ζ0
n(t).Пусть еще ξn — такие гладкие срезающие функции
цилиндров Qn, что ξn ≡ 1 на Qn+1, ξn ≡ 0 вне Qn, |ξnxi
| ≤ C2n∆ρi, |ξnt| ≤
≤ C2nt−1.
Умножим обе части уравнения (1.1) (обозначая в этом уравнении переменную
t через τ) на u(x, τ)ξs
n(x, τ), s > max pi, и проинтегрируем по частям по Qn. В
результате получим
1
1 + β
∫
Pn
u1+β(x, t)ξs
ndx+
+
N∑
i=1
t∫
tn
∫
Pn
∣∣∣∣ ∂u∂xi
∣∣∣∣pi
ξs
ndxdτ +
t∫
tn
∫
Pn
u1+λξs
ndxdτ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
630 С. П. ДЕГТЯРЕВ
=
s
1 + β
t∫
tn
∫
Pn
u1+βξs−1
n ξnτdxdτ − s
N∑
i=1
t∫
tn
∫
Pn
∣∣∣∣ ∂u∂xi
∣∣∣∣pi−2
∂u
∂xi
uξs−1
n ξnxi
dxdτ ≡
≡ I0 +
N∑
i=1
Ii.
Оценим каждый интеграл Ii, i = 1, N, в правой части последнего равенства по
неравенству Юнга с ε = 1/2 следующим образом:
|Ii| ≤
1
2
t∫
tn
∫
Pn
∣∣∣∣ ∂u∂xi
∣∣∣∣pi
ξs
ndxdτ + C
t∫
tn
∫
Pn
upiξs−pi
n |ξnxi
|pi dxdτ. (2.1)
Используя эту оценку в предыдущем равенстве, учитывая свойства функции
ξn(x, τ), в частности оценки ее производных, а также произвольность t, получаем
sup
tn+1≤τ≤t
∫
Pn+1
u1+β(x, τ)dx+
N∑
i=1
∫∫
Qn+1
|uxi
|pi dxdτ +
∫∫
Qn+1
u1+λdxdτ ≤
≤ Cbn
t−1
∫∫
Qn
u1+βdxdτ +
N∑
i=1
(∆ρi)
−pi
∫∫
Qn
upidxdτ
, (2.2)
где b = 2max pi . Определим функции vn(x, τ) = ζn(x, τ)u(x, τ), заметив при этом,
что в силу свойств функции ζn(x, τ)∫∫
Qn+1
∣∣v(n+1)xi
∣∣pi
dxdτ ≤ C
∫∫
Qn+1
|uxi
|pi dxdτ + C2npi (∆ρi)
−pi
∫∫
Qn
upidxdτ.
Следовательно, учитывая, что ζn ≥ 1/2 на Qn, и вводя величины Yn, из последних
двух соотношений находим
Yn+1 ≡ sup
tn+1≤τ≤t
∫
Pn+1
v1+β
(n+1)(x, τ)dx+
+
N∑
i=1
∫∫
Qn+1
∣∣v(n+1)xi
∣∣pi
dxdτ +
∫∫
Qn+1
v1+λ
(n+1)dxdτ ≤
≤ Cbn
t−1
∫∫
Qn
v1+β
n dxdτ +
N∑
i=1
(∆ρi)
−pi
∫∫
Qn
vpi
n dxdτ
≡
≡ Cbn
(
I1 +
N∑
i=1
I2i
)
. (2.3)
Рассмотрим сначала величину I1 в правой части последнего неравенства. Оце-
ним I1 следующим образом:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 631
I1 ≤ t−1
sup
tn≤τ≤t
∫
Pn
v1+β
n (x, τ)dx
1−α t∫
tn
∫
Pn
v1+β
n (x, τ)dx
α
dτ, (2.4)
где α ∈ (0, 1) будет выбрано ниже. Применяя ко второму интегралу по Pn в фор-
муле (2.4) неравенство Ниренберга – Гальярдо (1.20), имеем ∫
Pn
v1+β
n (x, τ)dx
α
≤
≤ C
N∑
i=1
∫
Pn
|vnxi |
pi dx
αω0
1+β
p
∫
Pn
v1+λ
n (x, τ)dx
α(1−ω0)
1+β
1+λ
, (2.5)
где ω0 определяется из равенства
1
1 + β
= ω0
(
1
p
− 1
N
)
+ (1− ω0)
1
1 + λ
.
Выберем α из условия, что сумма степеней интегралов в правой части (2.5) равна
1, т. е.
αω0
1 + β
p
+ α(1− ω0)
1 + β
1 + λ
= 1.
Непосредственный подсчет показывает, что
α =
Ndλ + p(1 + λ)
Ndλ + p(1 + β)
, 1− α =
p(β − λ)
Ndλ + p(1 + β)
.
Поскольку сумма степеней интегралов в правой части (2.5) равна единице, интег-
рируя неравенство (2.5) по времени и применяя неравенство Юнга, получаем
t∫
tn
∫
Pn
v1+β
n (x, τ)dx
α
dτ ≤ C
N∑
i=1
∫∫
Qn
|vnxi
|pi dxdτ +
∫∫
Qn
v1+λ
n (x, τ)dxdτ
.
Из этого неравенства и оценки (2.4) находим
I1 ≤ Ct−1Y 1+(1−α)
n = Ct−1Y
1+
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
n . (2.6)
Рассмотрим теперь величины I2i в (2.3). Для оценки I2i применим к интегралу
по dx по Pn неравенство Ниренберга – Гальярдо вида
∫
Pn
vpi
n dx ≤ C
N∑
j=1
∫
Pn
∣∣vnxj
∣∣pj
dx
ω1
pi
p
∫
Pn
v1+β
n dx
ω2
pi
1+β
∫
Pn
v1+λ
n dx
ω3
pi
1+λ
,
(2.7)
являющееся следствием неравенства (1.20), где числа ωm ∈ (0, 1), m = 1, 2, 3,
определяются неоднозначно и удовлетворяют условиям
ω1 + ω2 + ω3 = 1,
1
pi
= ω1
(
1
p
− 1
N
)
+ ω2
1
1 + β
+ ω3
1
1 + λ
.
(2.8)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
632 С. П. ДЕГТЯРЕВ
(Числа ωm зависят, конечно, от pi и, тем самым, от i, но мы не будем, там, где это
не вызывает двусмысленности, отражать эту зависимость, чтобы не загромождать
обозначения.)
Как и при оценке I1, числа ωm выберем из условия, что сумма степеней первого
и последнего интегралов в (2.7) равна 1, т. е.
ω1
pi
p
+ ω3
pi
1 + λ
= 1. (2.9)
Из системы (2.8), (2.9) числа ωm определяются уже однозначно и удовлетворяют
условиям ωm ∈ (0, 1). При этом из непосредственных вычислений видно, что
ω2
pi
1 + β
=
p(pi − 1− λ)
N(p− 1− λ) + p(1 + β)
=
pdλ
Ndλ + p(1 + β)
.
Интегрируя, как и выше, (2.7) по времени, вынося множитель sup
tn≤τ≤t
∫
Pn
v1+β
n (x, τ)dx
ω2pi/(1+β)
и применяя неравенство Юнга с учетом условия (2.9), получаем
t∫
tn
∫
Pn
vpi
n dxdτ ≤ C
sup
tn≤τ≤t
∫
Pn
v1+β
n (x, τ)dx
ω2
pi
1+β
×
×
N∑
j=1
t∫
tn
∫
Pn
∣∣vnxj
∣∣pj
dxdτ +
t∫
tn
∫
Pn
v1+λ
n dxdτ
.
Таким образом, вследствие определений величин ρ1i, ρ2i и ∆ρi для выражений I2i
из правой части (2.3) имеем оценку
I2i ≤ C(R, σ)t−
diλ
β−λY
1+
pdiλ
Ndλ+p(1+β)
n . (2.10)
Из (2.3), (2.6) и (2.10) вытекает, что
Yn+1 ≤ C(R, σ)bnYn
(
t−1Y
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
n +
N∑
i=1
t−
diλ
β−λY
pdiλ
Ndλ+p(1+β)
n
)
.
На основании итеративной леммы 5.6 в [16] из последнего неравенства следует,
что Yn → 0 при n → ∞, если достаточно мала величина в круглых скобках в
правой части последнего неравенства при n = 0, т. е.
C(R, σ)
(
t−1Y
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
0 +
N∑
i=1
t−
diλ
β−λY
pdiλ
Ndλ+p(1+β)
0
)
=
= C(R, σ)
t−1Y
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
0 +
N∑
i=1
(
t−1Y
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
0
) diλ
(β−λ)
≤ γ,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 633
где γ достаточно мало. Очевидно, что указанная величина будет малой тогда и
только тогда, когда мала величина t−1Y
p(β−λ)
Ndλ+p(1+β)
0 , т. е. когда
Y0 ≤ γ2t
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) , (2.11)
где число γ2 = γ2(R, σ) достаточно мало.
Вследствие определения величин Yn лемма 2.1 доказана.
3. Оценка энергии решения и максимума модуля решения через массу
решения. В этом пункте приведем две оценки из [11] (аналогичные оценкам лемм
4.1 – 4.3 из [13]), которые потребуются нам в дальнейшем. Отметим при этом, что в
[11] приводимые нами ниже оценки доказаны для уравнения без абсорбции, но, как
легко увидеть из доказательств этих оценок в [11], абсорбция не мешает, а только
усиливает оценки, так что результаты работы [11] без изменений переносятся на
случай уравнения (1.1) (см. доказательства лемм 2 и 3 в [11]. В этом пункте мы
также получим условия на локальную массу решения, при которых выполнено
условие леммы 2.1, т. е. решение локально равно нулю.
Лемма 3.1. Пусть x0 ∈ RN , σ, θ1, θ2 ∈ (0, 1), 0 < θ1 + θ2 < 1, τ1 = t(1− θ1),
τ2 = t(1 − θ1 − θ2), R1i = Ri > 0, R2i = Ri(1 + σ) = R1i(1 + σ), i = 1, N,
PRm
=
{
x : |xi − x0i| ≤ Rmi, i = 1, N}, m = 1, 2. Кроме того, пусть
E(τ2, PR2) = sup
τ2≤τ≤t
∫
PR2
uβ(x, τ)dx
— локальная масса решения. Тогда справедлива оценка
Y (τ1, PR1) ≡ sup
τ1≤τ≤t
∫
PR1
u1+β(x, τ)dx+
+
N∑
j=1
t∫
τ1
∫
PR1
∣∣uxj
∣∣pj
dxdτ +
t∫
τ1
∫
PR1
u1+λdxdτ ≤
≤ C(σ, θ1, θ2)
{
t−N/kE(τ2, PR2)
(k+p)/k+
+
N∑
i=1
tR
− pi(k+N)
N(p−pi)+βp
i E(τ2, PR2)
N(p−pi)+pip
N(p−pi)+βp
}
. (3.1)
Доказательство этой леммы аналогично доказательству леммы 2 в [11].
Лемма 3.2. В обозначениях леммы 3.1 справедлива оценка
‖u‖∞,PR1×[τ1,t] ≤ C(θ1, θ2)σ−C×
×
{
t−N/kE(τ2, PR2)
p/k +
N∑
i=1
tR
− pi(k+N)
N(p−pi)+βp
i E(τ2, PR2)
(pi−β)p
N(p−pi)+βp
}
. (3.2)
По поводу доказательства этой леммы см. доказательство леммы 3 в [11].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
634 С. П. ДЕГТЯРЕВ
Отметим, что константы C(σ, θ1, θ2), C(θ1, θ2) в оценках (3.1), (3.2) зависят от
указанных параметров, но если для фиксированного ν > 0 эти параметры выбраны
так, что σ ∈ (ν, 1 − ν), θm ∈ (ν, 1/2 − ν), то константы в оценках (3.1), (3.2)
становятся абсолютными. Отметим также, что оценка (3.2) будет использована
нами ниже и при малых σ.
Из оценки (3.1) следует, что величина локальной энергии Y (τ1, PR1) будет
достаточно малой (как того требует лемма 2.1), если достаточно мала величина
локальной массы E(τ2, PR2) по более широкому множеству.
Лемма 3.3. Пусть σ, ρ1i, ρ2i, параллелепипеды P1, P2 такие же, как в лем-
ме 2.1. Пусть, кроме того, ρi = ρ2i(1 + σ), i = 1, N, Pρ =
{
x : |xi − x0i| ≤ ρi,
i = 1, N
}
. Существует такое γ3 > 0, что условия леммы 2.1 выполнены, т. е.
Y
(
t
2
, P1
)
≤ γ2t
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) , (3.3)
если
E
(
t
4
, Pρ
)
≡ sup
t/4≤τ≤t
∫
Pρ
uβ(x, τ)dx ≤ γ3t
β
β−λ +N
dλ
p(β−λ) = γ3t
β
β−λ +Nκ. (3.4)
Доказательство следует из оценки (3.1), если в лемме 3.1 выбрать θ1 = 1/2,
θ2 = 1/4, R1i = ρ2i, R2i = ρi = R(1 + σ)tκi . Тогда из (3.1) следует, что (3.3) будет
выполнено, если достаточно мало каждое слагаемое в правой части (3.1), т. е. если
с достаточно малым γ > 0 выполнены неравенства
t−
N
k E(τ2, PR2)
k+p
k ≤ γt
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) , (3.5)
t (Rtκi)−
pi(k+N)
N(p−pi)+βp E(τ2, PR2)
N(p−pi)+pip
N(p−pi)+βp ≤ γt
Ndλ+p(1+β)
p(β−λ) , (3.6)
каждое из которых дает некоторое условие наE(t/4, Pρ) (τ2 = t/4). Решая неравен-
ства (3.5), (3.6) относительно E(t/4, Pρ), получаем некоторые условия малости на
E(t/4, Pρ). При этом непосредственный элементарный подсчет соответствующих
возникающих показателей степеней переменной t показывает, что, в силу опре-
деления показателей κi , каждое из условий (3.5), (3.6) эквивалентно в точности
одному и тому же условию (3.4) с достаточно малым γ3 > 0. Тем самым лемма 3.3
доказана.
Отметим, что из лемм 3.3 и 2.1 следует, что при выполнении условия (3.4)
решение u(x, t) равно нулю в окрестности точки (x0, t). Таким образом, следующая
наша задача — оценить локальную массу решения E(t/4, Pρ) через локальную
массу начальной функции.
4. Оценка локальной массы решения через локальную массу начальной
функции. В дальнейшем нам понадобится простая вспомогательная лемма.
Лемма 4.1. Пусть x0, y ∈ RN , 0 < ri ≤ Ri, i = 1, N, Pr(y) =
{
x : |xi −
− yi| ≤ ri, i = 1, N
}
, PR =
{
x : |xi − x0i| ≤ Ri, i = 1, N
}
. Для неотрицательной
интегрируемой функции v(x) выполняется неравенство∮
PR
v(x)dx ≡ 1
|PR|
∫
PR
v(x)dx ≤ C(N) sup
y∈PR
∮
Pr(y)
v(x)dx. (4.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 635
Доказательство этой леммы элементарно и следует из того факта, что паралле-
лепипед PR можно покрыть меньшими параллелепипедами Pr(y) в количестве не
более чем C(N)
∏N
i=1(Ri/ri).
Обратимся теперь к оценкам локальной массы решения. Пусть всюду ниже
x0, y ∈ RN , σ > 0, Ri > 0, i = 1, N, R0i = Ri, и для θ ∈ [0, σ] Rθi = Ri(1 + θ),
i = 1, N, Pθ = {x : |xi − x0i| ≤ Rθi}. Обозначим также
Eθ = sup
0≤τ≤t
∫
Pθ
uβ(x, τ)dx, µθ =
∫
Pθ
uβ
0 (x)dx, (4.2)
Mθ(t) ≡M(Eθ, t, Ri) ≡ t−N/kE
p/k
θ +
N∑
i=1
tR
− pi(k+N)
N(p−pi)+βp
i E
(pi−β)p
N(p−pi)+βp
θ . (4.3)
Отметим при этом, что величина Mθ(t) соответствует правой части оценки макси-
мума модуля решения (3.2), так что, в частности, в силу (3.2)
max
Pσ/2×[t/2,t]
|u| ≤ Cσ−CMσ(t). (4.4)
Лемма 4.2. Имеет место следующая оценка:
E0 ≤ µσ + Cσ−CEσ
N∑
j=1
( t
R
pj
j
Mσ(t)dj
)1/pj
+
+
N∑
i=1
(
t
Rpi
i
Mσ(t)di
)(pj−1)/pj
(
t
R
pj
j
Mσ(t)dj
)1/pj
≡
≡ E(t, Ri, Eσ). (4.5)
Доказательство. Пусть ζ(x) — гладкая срезающая функция параллелепипеда
Pσ/4, равная единице на P0 и нулю вне Pσ/4, |ζxi
| ≤ C/σRi. Умножая уравнение
(1.1) на ζ(x) и интегрируя по области Pσ/4 × [0, t], получаем
∫
Pσ/4
uβ(x, t)ζ(x)dx+
t∫
0
∫
Pσ/4
uλ(x, τ)ζ(x)dxdτ =
=
∫
Pσ/4
uβ
0 (x)ζ(x)dx+
N∑
i=1
t∫
0
∫
Pσ/4
|uxi |
pi−2
uxiζxidxdτ ≤
≤ µσ/4 + Cσ−1
N∑
i=1
R−1
i
t∫
0
∫
Pσ/4
|uxi
|pi−1
dxdτ.
Отсюда, в силу произвольности t и определений (4.2), имеем
E0 ≤ µσ/4 + Cσ−1
N∑
j=1
Ij , Ij ≡ R−1
j
t∫
0
∫
Pσ/4
∣∣uxj
∣∣pj−1
dxdτ. (4.6)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
636 С. П. ДЕГТЯРЕВ
Дальнейшее доказательство состоит в оценке интегралов Ij в терминах величи-
ны Eσ, что и приводит к (4.5). Эта оценка использует (4.4) и проводится по схеме,
идущей от классической работы [18] (лемма 3.3) и использованной в анизотропном
случае в [11] (п. 2.2), а также в [10] (лемма 5.2). Поскольку дальнейшие рассужде-
ния для получения оценки (4.5) аналогичны, как отмечено, оценкам [11] (п. 2.2),
мы отсылаем читателя к указанной работе.
Идея следующего утверждения заимствована автором из любезно предостав-
ленной ему неопубликованной пока статьи S. D. Eidelman, S. Kamin, A. F. Tedeev
„Asymptotic representation for solutions of the Cauchy problem for quasilinear degenerate
parabolic equations”.
Лемма 4.3. В обозначениях леммы 4.2 существует такое γ4 > 0, что если
для i = 1, N выполнено
t
k−Ndi
dik R
− pi
di
i E
p
k
σ ≤ γ4, i = 1, N, (4.7)
то
E0 ≤ 2µσ. (4.8)
Доказательство этой леммы непосредственно следует из оценки (4.5) на осно-
вании итеративной леммы [16] (гл. 2, лемма 5.6) и полностью аналогично доказа-
тельству условия (5.22) в [10] (лемма 5.3).
Нашей целью в данном пункте является получение оценки (4.8) для параллеле-
пипедов Pσ =
{
x : |xi − x0i| ≤ tκi(1 + σ)
}
со сторонами Ri = Ctκi . Однако, как
можно проверить, при таких Ri величины t(k−Ndi)/dikR
−pi/di
i в условии (4.7) не
могут быть сделаны малыми при как угодно малых t > 0. Поэтому, чтобы удовлет-
ворить (4.7) при таких Ri, мы должны использовать малость величины Ep/k.
Лемма 4.4. Пусть σ ∈ (0, 1) зафиксировано, x0 ∈ RN , числа r, αi взяты
из соотношения (1.9), параллелепипед Ptκ определен в (1.12). Существуют такие
константы t0 = t0(u0), γ5 = γ5(u0), что для t ≤ t0, если при всех y ∈ Pr =
=
{
y : |yi − x0i| ≤ rαi(1 + σ)2
}
выполнено∮
Ptκ (y)
uβ
0 (x)dx ≡ 1
|Ptκ (y)|
∫
Ptκ (y)
uβ
0 (x)dx ≤ γ5t
β
β−λ , (4.9)
выполнено
Etκ ,x0 ≡ sup
0≤τ≤t
∫
Ptκ (x0)
uβ(x, τ)dx ≤ 2
∫
Ptκ(1+σ)(x0)
uβ
0 (x)dx, (4.10)
где Ptκ(1+σ)(x0) =
{
x : |xi − x0i| ≤ tκi(1 + σ)
}
.
Доказательство. Положим R
(0)
i = rαi и рассмотрим параллелепипеды P0 =
=
{
x : |xi− x0i| ≤ R
(0)
i
}
и P0,σ =
{
x : |xi− x0i| ≤ R
(0)
i (1 + σ)
}
. Для параллелепи-
педов P0 P0,σ условие (4.7) принимает вид
t
k−Ndi
dik
(
r
pdi
dpi
)− pi
di E
p
k
0,σ ≤ γ4, i = 1, N,
где E0,σ — масса решения, соответствующая параллелепипеду P0,σ. Последнему
неравенству можно придать вид
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 637
t
k−Ndi
dik
sup
0≤τ≤t
r−
k
d
∫
P0,σ
uβ(x, τ)dx
p/k
≤ γ4, i = 1, N,
что может быть усилено, вследствие определения нормы |||uβ ||| и оценки (1.10),
неравенством
C(N,σ)t
k−Ndi
dik
∣∣∣∣∣∣uβ
0
∣∣∣∣∣∣p/k ≤ γ4, i = 1, N. (4.11)
Поскольку, в силу предположений о коэффициентах pi, степень (k−Ndi)/dik > 0,
при t ≤ t0 = t0(u0), где t0 мало настолько, чтобы удовлетворить (4.11), усло-
вие (4.7) выполнено для Ri ≥ R
(0)
i , а следовательно, выполнена оценка (4.8).
Покажем, что, в силу только что доказанного и условия (4.9), условие (4.7)
выполнено дляRi ≥ R
(1)
i , гдеR(1)
i меньше, чемR(0)
i . Действительно, дляRi ≤ R
(0)
i
условие (4.7), расширяя область интегрирования, можно усилить до условия
t
k−Ndi
dik R
−pi/di
i E
p/k
0,σ ≤ γ4, i = 1, N,
которое запишем в виде
(1 + σ)Np/kt
k−Ndi
dik R
−pi/di
i
N∏
j=1
R
(0)
j
p/k
sup
0≤τ≤t
∮
P0,σ
uβ(x, τ)dx
p/k
≤ γ4. (4.12)
Учитывая теперь, что для Ri ≥ R
(0)
i оценка (4.8) доказана, можем усилить (4.12)
до условия
C(N,σ)t
k−Ndi
dik (Ri)
−pi/di
N∏
j=1
R
(0)
j
p/k
sup
0≤τ≤t
∮
P̃0,σ
uβ
0 (x)dx
p/k
≤ γ4, (4.13)
где P̃0,σ =
{
x : |xi − x0i| ≤ R
(0)
i (1 + σ)2
}
. Используя условие (4.9) и лемму 4.1,
можем усилить (4.13) до условия
C(N,σ)γ5t
k−Ndi
dik (Ri)
−pi/di
N∏
j=1
R
(0)
j
p/k
t
β
β−λ
p
k ≤ γ4. (4.14)
Если γ5 выбрать достаточно малым, так что C(N,σ)γ5 ≤ γ4, то из (4.14) следует
условие на Ri, при котором удовлетворено (4.7): Ri ≥ R
(1)
i , где
R
(1)
i ≡ t
di
pi
[
β
β−λ
p
k +
k−Ndi
dik
]
N∏
j=1
R
(0)
j
p
k
di
pi
, i = 1, N. (4.15)
Таким образом, оценка (4.8) выполнена дляRi ≥ R
(1)
i , гдеR(1)
i определены в (4.15).
При этом можно проверить, что при условии r > 1, t < 1 выполнено R(1)
i < R
(0)
i
(см. (4.21), (4.23) ниже).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
638 С. П. ДЕГТЯРЕВ
Используя теперь то, что оценка (4.8) выполнена при Ri ≥ R
(1)
i , и дословно
повторяя предыдущие рассуждения, убеждаемся, что (4.8) выполнено для Ri ≥
≥ R
(2)
i , где R(2)
i определяется рекурсивно через R(1)
i формулой (4.15) с заменой
в правой части величин R
(0)
i на R(1)
i . Повторяя этот процесс по шагам, можем
построить рекуррентную последовательность величин R
(n)
i , n = 0, 1, . . . , таких,
что для Ri ≥ R
(n)
i выполнены (4.7), (4.8), причем
R
(n+1)
i ≡ t
di
pi
[
β
β−λ
p
k +
k−Ndi
dik
]
N∏
j=1
R
(n)
j
p
k
di
pi
, i = 1, N. (4.16)
Нетрудно видеть, что величины R
(n)
i имеют вид R(n)
i = tβ
(n)
i rγ
(n)
i , причем β(0)
i = 0,
γ
(0)
i = αi и равенство (4.16) определяет рекуррентное соотношение между β(n+1)
i ,
γ
(n+1)
i и β(n)
i , γ
(n)
i , а именно
β
(n+1)
i = ωi +
N∑
j=1
β
(n)
j
θi, i = 1, N, (4.17)
γ
(n+1)
i =
N∑
j=1
γ
(n)
j
θi, i = 1, N, (4.18)
где
θi =
p
k
di
pi
, ωi =
di
pi
[
β
β − λ
p
k
+
k −Ndi
dik
]
, i = 1, N. (4.19)
Непосредственные вычисления показывают, что
θ ≡
N∑
i=1
θi =
Nd
k
< 1, ω =
N∑
i=1
ωi =
β
β − λ
Nd
k
+
Nβ
k
. (4.20)
Поэтому, обозначая β(n) ≡
∑N
i=1
β
(n)
i , γ(n) ≡
∑N
i=1
γ
(n)
i и складывая соотноше-
ния (4.17), (4.18) по i = 1, N, видим, что
β(n+1) = ω + β(n)θ, γ(n+1) = γ(n)θ. (4.21)
Поскольку 0 < θ < 1, ω > 0, из (4.21) следует, что величины γ(n) монотонно
убывают, а величины β(n) монотонно возрастают, причем
γ(n) → 0, β(n) → ω
1− θ
, n→∞,
где, как показывают вычисления,
ω
1− θ
= N
dλ
p(β − λ)
= N
p− 1− λ
p(β − λ)
. (4.22)
Так как β(n) и γ(n) имеют указанные пределы, как следует из (4.17), (4.18), пределы
при n → ∞ имеют и величины γ
(n)
i , β
(n)
i , причем непосредственные вычисления
показывают, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
О МГНОВЕННОЙ КОМПАКТИФИКАЦИИ НОСИТЕЛЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ КОШИ . . . 639
γ
(n)
i → 0, β
(n)
i → diλ
p(β − λ)
=
pi − 1− λ
p(β − λ)
= κi, n→∞. (4.23)
Записывая теперь неравенства (4.8) для Ri = R
(n)
i , n = 0, 1, . . . , и переходя в нем
к пределу при n → ∞, видим, что (4.8) выполнено для Ri = tκi , т. е. выполнено
(4.10). Тем самым лемма 4.4 доказана.
5. Доказательство теоремы 1.1. Установим оценку (1.17). Зафиксируем какое-
либо одно σ ∈ (0, 1) во всех оценках из пунктов 2 – 4. Тем самым оказыва-
ются зафиксированными все малые константы γi в леммах 2.1, 3.3 и 4.4. Пусть
выполнено условие (1.16) и γ0 достаточно мало. Пусть, далее, x0 ∈ RN , |x0| ≥
≥ ϕ−1
t (γ0t
β
β−λ ) + 2(1 + σ)2 max rαi . Тогда, в силу определения функции ϕ−1
t ,
для такого x0 выполнены условия леммы 4.4, если γ0 достаточно мало, γ0 ≤
γ5. В свою очередь, в силу лемм 4.4 и 4.1, для такого x0 выполнены условия
леммы 3.3 с ρi = tκi(1 + σ), если γ0 достаточно мало. Но тогда выполнены
условия леммы 2.1, и из этой леммы следует, что u(x, τ) ≡ 0 на множестве{
x : |xi − x0i| ≤ tκi(1 − σ), i = 1, N
}
× [3t/4, t]. Таким образом, u(x, τ) ≡ 0
на множестве
{
x : |x0| ≥ ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)) + 2(1 + σ)2 max rαi
}
, откуда следует
оценка (1.17), так как, в силу (1.16), ϕ−1
t (γ0t
β/(β−λ)) →∞ при t→ 0.
Что же касается оценки (1.18) размеров носителя решения снизу, то ее дока-
зательство полностью аналогично доказательству соответствующей оценки снизу
для изотропного уравнения в работе [10] с использованием параллелепипеда Ptκ
вместо шара, поэтому мы отсылаем читателя к этой работе.
Теорема 1.1 доказана.
В заключение автор выражает искреннюю благодарность А. Ф. Тедееву за цен-
ные обсуждения в ходе выполнения работы.
1. Kersner R., Shishkov A. Instantaneous shrinking of the support of energy solutions // J. Math. Anal. and
Appl. – 1996. – 198. – P. 729 – 750.
2. Шишков А. Е. Мертвые зоны и мгновенная компактификация носителей энергетических решений
квазилинейных параболических уравнений произвольного порядка // Мат. сб. – 1999. – 190, № 12.
– С. 129 – 156.
3. Antontsev S. N., Diaz J. I., Shmarev S. I. The support shrinking properties for solutions of quasilinear
parabolic equations with strong absorption terms // Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. – 1995. – 6, № 4. –
P. 5 – 30.
4. Antontsev S. N., Diaz J. I., Shmarev S. I. Energy methods for the free boundary problems. Applications
to nonlinear PDEs and fluid mechanics. – Birkhäuser, 2002. – 334 p.
5. Абдуллаев У. Г. О мгновенном сжатии носителя решения нелинейного вырождающегося парабо-
лического уравнения // Мат. заметки. – 1998. – 63, № 3. – С. 323 – 331.
6. Abdullaev U. G. Exact local estimates for the supports of solutions in problems for nonlinear parabolic
equations // Mat. Sb. – 1995. – 186, № 8. – P. 3 – 24.
7. Ughi M. Initial behavior of the free boundary for a porous media equation with strong absorption // Adv.
Math. Sci. and Appl. – 2001. – 11, № 1. – P. 333 – 345.
8. Kalashnikov A. S. On the dependence of properties of solutions of parabolic equations in unbounded
domains on the behavior of the coefficients at infinity // Math. USSR Sb. – 1986. – 53. – P. 399 – 410.
9. Kalashnikov A. S. On the behavior of solutions of the Cauchy problem for parabolic systems with
nonlinear dissipation near the initial hyperplane // Trudy Sem. Petrovskogo. – 1992. – 16. – P. 106 – 117.
10. Дегтярев С. П. Об условиях мгновенной компактификации носителя решения и о точных оценках
носителя в задаче Коши для параболического уравнения с двойной нелинейностью и абсорбцией
// Мат. сб. – 2008. – 199, № 4. – С. 37 – 64.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
640 С. П. ДЕГТЯРЕВ
11. Дегтярев С. П., Тедеев А. Ф. L1−L∞ оценки решения задачи Коши для анизотропного вырождаю-
щегося параболического уравнения с двойной нелинейностью и растущими начальными данными
// Там же. – 2007. – 198, № 5. – С. 45 – 66.
12. Дегтярев С. П., Тедеев А. Ф. Оценки решения задачи Коши с растущими начальными данными
для параболического уравнения с анизотропным вырождением и двойной нелинейностью // Докл.
АН. – 2007. – 417, № 2. – С. 156 – 159.
13. Andreucci D., Tedeev A. F. Universal bounds at the blow-up time for nonlinear parabolic equations //
Adv. Different. Equat. – 2005. – 10, № 1. – P. 89 – 120.
14. Andreucci D., Tedeev A. F. Finite speed of propagation for the thin film equation and other higher order
parabolic equations with general nonlinearity // Interfaces and Free Boundaries. – 2001. – 3, № 3. –
P. 233 – 264.
15. Andreucci D., Tedeev A. F. A Fujita type result for a degenerate Neumann problem in domains with non
compact boundary // J. Math. Anal. and Appl. – 1999. – 231. – P. 543 – 567.
16. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
17. Королев А. Г. Теоремы вложения анизотропных пространств Соболева – Орлича // Вестн. Моск.
ун-та. Сер. 1. Математика, механика. – 1983. – № 1. – С. 32 – 37.
18. Di Benedetto E., Herrero M. A. On the Cauchy problem and initial traces for a degenerate parabolic
equation // Trans. Amer. Math. Soc. – 1989. – 314, № 1. – P. 187 – 224.
Получено 01.07.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-3046 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:15Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d3/e8e04c1cafc2797c210261a6405ba6d3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30462020-03-18T19:44:07Z On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation О мгновенной компактификации носителя решения в задаче Коши для анизотропного параболического уравнения Degtyarev, S. P. Дегтярев, С. П. Дегтярев, С. П. We study the phenomenon of instantaneous shrinking of the support of solution to the Cauchy problem for the parabolic equation with anisotropic degeneration, double nonlinearity, and strong absorption. In terms of the behavior of locally integrable initial data, we formulate necessary and sufficient conditions for the realization of instantaneous shrinking and establish the exact (in order) bilateral estimates for the size of the support of solution. Розглянуто явище миттєвої компактифікації носія розв'язку в задачi Коші для параболiчного рівняння з анізотропним виродженням, подвійною нелінійністю та сильною абсорбцією. У термінах поведінки локально інтегровних початкових даних сформульовано необхідну та достатню умову наявності миттєвої компактифікації та встановлено точні за порядком двосторонні оцінки розмірів носія розв'язку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3046 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 625-640 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 625-640 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3046/2841 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3046/2842 Copyright (c) 2009 Degtyarev S. P. |
| spellingShingle | Degtyarev, S. P. Дегтярев, С. П. Дегтярев, С. П. On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| title | On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| title_alt | О мгновенной компактификации носителя решения в задаче Коши для анизотропного параболического уравнения |
| title_full | On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| title_fullStr | On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| title_full_unstemmed | On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| title_short | On the instantaneous shrinking of the support of a solution to the Cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| title_sort | on the instantaneous shrinking of the support of a solution to the cauchy problem for an anisotropic parabolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3046 |
| work_keys_str_mv | AT degtyarevsp ontheinstantaneousshrinkingofthesupportofasolutiontothecauchyproblemforananisotropicparabolicequation AT degtârevsp ontheinstantaneousshrinkingofthesupportofasolutiontothecauchyproblemforananisotropicparabolicequation AT degtârevsp ontheinstantaneousshrinkingofthesupportofasolutiontothecauchyproblemforananisotropicparabolicequation AT degtyarevsp omgnovennojkompaktifikaciinositelârešeniâvzadačekošidlâanizotropnogoparaboličeskogouravneniâ AT degtârevsp omgnovennojkompaktifikaciinositelârešeniâvzadačekošidlâanizotropnogoparaboličeskogouravneniâ AT degtârevsp omgnovennojkompaktifikaciinositelârešeniâvzadačekošidlâanizotropnogoparaboličeskogouravneniâ |