Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems
We consider initial-value problems for a new class of systems of equations that combine the structures of Solonnikov parabolic systems and Eidel’man parabolic systems. We prove a theorem on the correct solvability of these problems in Hölder spaces of rapidly increasing functions and obtain an estim...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3048 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509072679239680 |
|---|---|
| author | Ivasyshen, S. D. Ivasyuk, H. P. Івасишен, С. Д. Івасюк, Г. П. |
| author_facet | Ivasyshen, S. D. Ivasyuk, H. P. Івасишен, С. Д. Івасюк, Г. П. |
| author_sort | Ivasyshen, S. D. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We consider initial-value problems for a new class of systems of equations that combine the structures of Solonnikov parabolic systems and Eidel’man parabolic systems. We prove a theorem on the correct solvability of these problems in Hölder spaces of rapidly increasing functions and obtain an estimate for the norms of solutions via the corresponding norms of the right-hand sides of the problem. For the correctness of this estimate, the condition of the parabolicity of the system is not only sufficient but also necessary. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956.4
С. Д. Iвасишен (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ),
Г. П. Iвасюк (Чернiв. нац. ун-т)
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ
ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ СОЛОННИКОВА – ЕЙДЕЛЬМАНА
Initial problems for a new class of systems of equations are considered, which unite the structures of
Solonnikov-parabolic and Eidelman-parabolic systems. The theorem on the correct solvability of these problems
in the Hölder spaces of rapidly growing functions is proved, and an estimate of the norms of solutions via
corresponding norms of right-hand sides of a problem is obtained. For the correctness of such an estimate, the
requirement of parabolicity of the system is not only sufficient, but also necessary.
Рассматриваются начальные задачи для нового класса систем уравнений, объединяющие в себе струк-
туры систем, параболических по Солонникову и Эйдельману. Доказана теорема о корректной разреши-
мости этих задач в пространствах Гельдера быстрорастущих функций и получена оценка норм решений
через соответствующие нормы правых частей задачи. Для правильности такой оценки условие парабо-
личности системы является не только достаточным, но и необходимым.
Класичне означення I. Г. Петровського [1] параболiчних систем рiвнянь iз частинни-
ми похiдними узагальнено С. Д. Ейдельманом [2] на випадок систем, в яких дифе-
ренцiювання за рiзними просторовими змiнними мають, взагалi кажучи, рiзну вагу
вiдносно диференцiювання за часовою змiнною, тобто системи мають векторну
параболiчну вагу
−→
2b := (2b1, . . . , 2bn) (такi системи називають
−→
2b-параболiчними
або параболiчними за Ейдельманом), та В. О. Солонниковим [3] на випадок, ко-
ли порядок оператора, який дiє на невiдому функцiю uj у рiвняннi з номером k,
може залежати як вiд j, так i вiд k (такi системи названо параболiчними за Со-
лонниковим). Дослiдженню задачi Кошi для
−→
2b-параболiчних систем присвячено
працi [2, 4 – 6], а дослiдженню початкових i крайових задач для параболiчних за
Солонниковим систем — [3, 7, 8].
У данiй статтi розглядаються системи, якi природно узагальнюють параболiч-
нi за Солонниковим системи i системи, параболiчнi у розумiннi Ейдельмана (такi
системи ми називаємо параболiчними за Солонниковим системами квазiоднорiдної
структури або параболiчними системами Солонникова – Ейдельмана). Вивчення та-
ких систем, переважно для модельного випадку, розпочато в [9, 10]. У статтi [11]
анонсовано результати їх подальшого дослiдження. Тут цi результати дещо уточ-
нюються i наводяться повнi (наскiльки дозволяє обсяг статтi) доведення теорем
про коректну розв’язнiсть початкових задач для розглядуваного класу систем у
просторах Гельдера швидкозростаючих функцiй та точнi оцiнки їх розв’язкiв. За-
уважимо, що цi результати є новими для загальних
−→
2b-параболiчних i параболiчних
за Солонниковим систем. Вони доповнюють вiдповiднi результати з [3 – 8].
1. Означення параболiчної початкової задачi Солонникова – Ейдельмана.
Нехай, як i в [10, 11], n, N, b1, . . . , bn — заданi натуральнi числа, b — найменше
спiльне кратне чисел b1, . . . , bn; m := (m1, . . . ,mn), m0 := 2b, mj := 2b/(2bj),
j ∈ {1, . . . , n}; ‖α‖ :=
∑n
j=0
mjαj , якщо α := (α0, α1, . . . , αn) ∈ Zn+1
+ ; ‖α‖ :=
:=
∑n
j=1
mjαj , якщо α := (α1, . . . , αn) ∈ Zn
+; i — уявна одиниця; A(t, x, ∂t, ∂x) :=
:=
(
Akj(t, x, ∂t, ∂x)
)N
k,j=1
; u := col(u1, . . . , uN ) i f := col(f1, . . . , fN ) — невiдома
та задана вектор-функцiї; ΠH :=
{
(t, x) ∈ Rn+1
∣∣∣ t ∈ H, x ∈ Rn
}
, якщо H ⊂ R; T
— задане додатне число.
c© С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК, 2009
650 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 651
Припустимо, що iснують такi числа sk i tj iз Z, що max
k∈{1,...,N}
sk = 0, степiнь
вiдносно λ многочлена Akj(t, x, pλm0 , iσλm), σλm := (σ1λ
m1 , . . . , σnλmn), не пе-
ревищує sk + tj (якщо sk + tj < 0, то Akj := 0) i
∑N
k=1
(sk + tk) = 2br, де r —
степiнь detA(t, x, p, iσ) як многочлена вiд p.
Нехай A0 := (A0
kj)
N
k,j=1 — головна частина A, тобто A0
kj(t, x, pλm0 , iσλm) =
= λsk+tj A0
kj(t, x, p, iσ).
Будемо розглядати систему рiвнянь
A(t, x, ∂t, ∂x)u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ], (1)
для якої виконується умова
A) система (1) є рiвномiрно параболiчною системою Солонникова – Ейдельмана
в Π[0,T ] [10, 11], тобто iснує така стала δ > 0, що для будь-яких (t, x) ∈ Π[0,T ] i
σ ∈ Rn p-коренi рiвняння detA0(t, x, p, iσ) = 0 задовольняють нерiвнiсть
Re p(t, x, σ) ≤ −δ
n∑
j=1
σ
2bj
j .
Частинними випадками таких систем є системи, рiвномiрно параболiчнi за Пет-
ровським (mk = 1, k ∈ {1, . . . , n}, sj = 0 i tj = 2bnj , nj ∈ N, j ∈ {1, . . . , N}),
рiвномiрно
−→
2b-параболiчнi за Ейдельманом (mk > 1 принаймнi для одного k ∈
∈ {1, . . . , n}, sj = 0 i tj = 2bnj , j ∈ {1, . . . , N}) i рiвномiрно параболiчнi за
Солонниковим однорiдної структури (mk = 1, k ∈ {1, . . . , n}).
Для системи (1), для якої виконується умова A, задавати початковi умови так,
як для систем Петровського, взагалi кажучи, не можна. Задаватимемо їх так само,
як для систем Солонникова з однорiдною структурою [7].
Нехай B(x, ∂t, ∂x) :=
(
Bkj(x, ∂t, ∂x)
) r, N
k=1,j=1
— матричний диференцiальний
вираз, ϕ := col(ϕ1, . . . , ϕr) — задана вектор-функцiя. Припустимо, що iснують такi
цiлi числа pk, що степiнь вiдносно λ многочлена Bkj(x, pλm0 , iσλm) не перевищує
pk+tj , а якщо pk+tj < 0, то Bkl := 0. Тут tj — тi самi, що й в системi (1). Головною
частиною виразу B назвемо вираз B0 := (B0
kj)
r, N
k=1,j=1 , де B0
kj(x, pλm0 , iσλm) =
= λpk+tj B0
kj(x, p, iσ).
Початковi умови для системи (1) задамо у виглядi
B(x, ∂t, ∂x)u(t, x)|t=0 = ϕ(x), x ∈ Rn. (2)
Для забезпечення коректностi задачi з умовою (2) матричний вираз B повинен за-
довольняти вiдповiдну умову доповняльностi, рiвномiрним варiантом якої є умова
B) iснує така стала δ1 > 0, що для всiх матриць H(ρ) (їх означення див. у [7,
10]) i точок x ∈ Rn справджується нерiвнiсть∣∣ detH(ρ)(x)
∣∣ ≥ δ1.
Зауважимо (див. [7]), що з умови B випливає вiд’ємнiсть чисел pk, k ∈ {1, . . . ,
. . . , r}.
Задачу (1), (2), для якої виконуються умови A i B, називатимемо параболiчною
початковою задачею Солонникова – Ейдельмана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
652 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
2. Простори функцiй. Наведемо означення потрiбних просторiв Гельдера
обмежених i зростаючих функцiй. Як i в [10, 11], функцiї з цих просторiв можуть
зростати при |x| → ∞ не швидше, нiж функцiя
Ψ(t, x) := exp
{
n∑
j=1
kj(t, aj)|xj |qj
}
, (t, x) ∈ Π[0,T ],
в якiй qj := 2bj/(2bj − 1), kj(t, aj) := c0aj(c
2bj−1
0 − a
2bj−1
j t)1−qj , j ∈ {1, . . . , n},
де c0, a1, . . . , an — заданi числа такi, що 0 < c0 < c (c — стала з оцiнок (12) iз
[10] для фундаментального розв’язку рiвняння detA0(β, y, ∂t, ∂x)u = 0), aj ≥ 0,
j ∈ {1, . . . , n}, T < min
j
(c0/aj)2bj−1.
Крiм вищевведених позначень, будемо використовувати ще такi:
−→a := (a1, . . . , an),
−→
k (t,−→a ) :=
(
k1(t, a1), . . . , kn(t, an)
)
;
∆τ
t f(t, ·) := f(t, ·)− f(τ, ·), ∆yj
xj f(·, x) := f
(
·, x)− f(·, x(yj)
)
,
x(yj) := (x1, . . . , xj−1, yj , xj+1, . . . , xn), j ∈ {1, . . . , n};
∂α
t,x := ∂α0
t ∂α
x , ∂α
x := ∂α1
x1
. . . ∂αn
xn
, α := (α0, α) ∈ Zn+1
+ , α := (α1, . . . , αn) ∈ Zn
+.
Нехай l i λ — заданi числа вiдповiдно з множин Z+ i (0, 1). Будемо користуватися
такими просторами:
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] — простiр функцiй u : Π[0,T ] → C, якi мають неперервнi похiднi ∂α
t,xu,
‖α‖ ≤ l, i скiнченну норму
‖u‖
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] := 〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] +
l∑
j=0
〈u〉
−→
k (·,−→a )
j,[0,T ] ,
де
〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] :=
n∑
j=1
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/mj ,xj ,[0,T ] + 〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[0,T ],
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/mj ,xj ,[0,T ] :=
∑
0≤l−‖α‖<mj
〈
∂α
t,xu
〉−→k (·,−→a )
(l−‖α‖+λ)/mj , xj ,[0,T ]
,
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[0,T ] :=
∑
0≤l−‖α‖<2b
〈
∂α
t,xu
〉−→k (·,−→a )
(l−‖α‖+λ)/(2b),t,[0,T ]
,
〈u〉
−→
k (·,−→a )
λ,xj ,[0,T ] := sup
(t,x)∈Π[0,T ]
yj∈R, xj 6=yj
(∣∣∆yj
xj
u(t, x)
∣∣|xj − yj |−λ
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(yj))
)−1
)
,
〈u〉
−→
k (·,−→a )
λ,t,[0,T ] := sup
{t,β}⊂[0,T ], t6=β
x∈Rn
(∣∣∆β
t u(t, x)
∣∣ |t− β|−λ
(
Ψ(t, x) + Ψ(β, x)
)−1
)
,
〈u〉
−→
k (·,−→a )
j,[0,T ] :=
∑
‖α‖=j
sup
(t,x)∈Π[0,T ]
(∣∣∂α
t,xu(t, x)
∣∣(Ψ(t, x)
)−1
)
;
C
−→a
l+λ — простiр функцiй v : Rn → C, для яких iснують неперервнi похiднi ∂α
x v,
‖α‖ ≤ l, i є скiнченною норма
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 653
|v|
−→a
l+λ := [v]
−→a
l+λ +
l∑
j=0
〈v〉
−→a
j ,
де
[v]
−→a
l+λ :=
n∑
j=1
∑
0≤l−‖α‖<mj
〈∂α
x v〉
−→a
(l−‖α‖+λ)/mj , xj
,
〈v〉
−→a
λ,xj
:= sup
x∈ Rn
yj∈R, xj 6=yj
(∣∣∆yj
xj
v(x)
∣∣|xj − yj |−λ
(
Ψ(0, x) + Ψ(0, x(yj))
)−1
)
,
〈v〉
−→a
j :=
∑
‖α‖=j
sup
x∈Rn
(∣∣∂α
x v(x)
∣∣(Ψ(0, x))−1
)
;
Hl+λ,[0,T ] := H
−→
k (·,−→0 )
l+λ,[0,T ], Cl+λ := C
−→
0
l+λ, де
−→
0 := (0, . . . , 0);
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ] — пiдпростiр простору H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,T ], елементи якого разом з усiма сво-
їми похiдними дорiвнюють нулевi при t = 0;∏N
j=1
H
−→
k (·,−→a )
rj+λ,[0,T ],
∏N
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
rj+λ,[0,T ] i
∏r
j=1
C
−→a
rj+λ — декартовi добутки вiдпо-
вiдних просторiв з iндексами rj ∈ Z+.
Зауважимо, що всi вищеозначенi простори є банаховими. Вони, взагалi кажучи,
є вужчими за вiдповiднi простори, якi означено в [10]. Для цих просторiв мають
мiсце всi наведенi в [10] результати, на якi далi будемо посилатись без жодних
застережень.
3. Основнi результати. Сформулюємо основнi результати цiєї статтi, що сто-
суються параболiчної початкової задачi Солонникова – Ейдельмана (1), (2). Крiм
умов A i B припускатимемо виконання умови
C) коефiцiєнти диференцiальних виразiв Akj i Bsj належать вiдповiдно до про-
сторiв Hl−sk+λ,[0,T ] i Cl−ps+λ, {k, j} ⊂ {1, . . . , N}, s ∈ {1, . . . , r}.
Теорема 1. Нехай l i λ — заданi числа iз множин Z+ i (0, 1). Якщо ви-
конуються умови A, B та C, то для будь-яких f ∈
∏N
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,T ] i ϕ ∈
∈
∏r
s=1
C
−→a
l−ps+λ iснує єдиний розв’язок u ∈
∏N
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] задачi (1), (2), для
якого справджується оцiнка
N∑
j=1
‖uj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] ≤ C
N∑
j=1
‖fj‖
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,T ] +
r∑
s=1
|ϕs|
−→a
l−ps+λ
, (3)
в якiй стала C залежить тiльки вiд вiдповiдних норм коефiцiєнтiв задачi, сталих
δ i δ1 з умов А i B та чисел n, N, bj , tk, sk, ps, l, λ i T.
З теореми 1 випливає, що умова параболiчностi системи (1) є достатньою,
щоб справджувалась оцiнка (3) для будь-якого розв’язку u ∈
∏N
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ]
задачi (1), (2). Виявляється, що ця умова є i необхiдною, так що правильною є така
теорема.
Теорема 2. Нехай система (1) має структуру параболiчної системи Солон-
никова – Ейдельмана з параметрами bj , tk, sk, ps i r, число початкових умов (2)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
654 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
дорiвнює r i диференцiальний вираз B(x, ∂t, ∂x) задовольняє умову B, коефiцiєн-
ти диференцiальних виразiв A i B задовольняють умову C з деякими числами
l ∈ Z+ i λ ∈ (0, 1). Для того щоб система (1) задовольняла умову A, необхiд-
но i достатньо, щоб iснувала така стала C > 0, що для всiх вектор-функцiй
u ∈
∏N
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] справджується нерiвнiсть
N∑
j=1
‖uj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ] ≤
≤ C
N∑
k,j=1
‖Akjuj‖
−→
k (·,−→a )
l−sk+λ,[0,T ] +
r∑
k=1
N∑
j=1
|Bkjuj |t=0|
−→a
l−pk+λ
. (4)
Зауважимо, що для модельної параболiчної початкової задачi Солонникова –
Ейдельмана теорему 1 доведено в [10], а теорему 2 — в [11].
Доведення теореми 1 у загальному випадку проводиться за схемою доведення
в [7] вiдповiдної теореми для крайових задач для параболiчних за Солонниковим
систем. Центральним пунктом доведення є вивчення такої задачi з нульовими по-
чатковими даними в шарi Π[t0,t0+τ ], 0 ≤ t0 < t0 + τ ≤ T :
A(t, x, ∂t, ∂x)w(t, x) = g(t, x), (t, x) ∈ Π[t0,t0+τ ], w ∈
N∏
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[t0,t0+τ ],
(5)
де g ∈
∏N
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[t0,t0+τ ]. Для цiєї задачi є правильною наступна теорема.
Теорема 3. Нехай виконуються умови A, B i C. Тодi iснує таке число τ0,
що для будь-якого числа τ ≤ τ0 задача (5) однозначно розв’язна i для її розв’язку
справджується нерiвнiсть
N∑
j=1
‖wj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[t0,t0+τ ] ≤ C
N∑
j=1
‖gj‖
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[t0,t0+τ ], (6)
в якiй стала C залишається обмеженою при τ → 0.
За допомогою цiєї теореми та теореми 1 iз [10] про зведення задачi (1), (2) до
задачi з нульовими початковими даними легко доводиться теорема 1.
Доведення теореми 3 ґрунтується на побудовi та детальному дослiдженнi влас-
тивостей регуляризатора задачi (5). Цьому присвячено наступнi пункти.
4. Деякi допомiжнi твердження. Нехай ρ — довiльне мале додатне число.
Побудуємо у просторi Rn двi системи розбиттiв {ω(j), j ∈ N}(ρ) i {Ω(j), j ∈ N}(ρ).
Вiзьмемо
ω(j) :=
{
x := (x1, . . . , xn) ∈ Rn
∣∣∣ |xs − ξ(j)
s | ≤ ρms/2, s ∈ {1, . . . , n}
}
,
Ω(j) :=
{
x := (x1, . . . , xn) ∈ Rn
∣∣∣ |xs − ξ(j)
s | ≤ ρms , s ∈ {1, . . . , n}
}
, j ∈ N,
точка ξ(j) := (ξ(j)
1 , . . . , ξ
(j)
n ) ∈ Rn є спiльним центром n-вимiрних паралелепiпедiв
ω(j) i Ω(j), ребра яких паралельнi координатним осям. Системи множин ω(j) i Ω(j)
повиннi мати такi властивостi:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 655
1◦)
⋃
j∈N ω(j) =
⋃
j∈N Ω(j) = Rn;
2◦) кожна множина Ω(j) може мати спiльнi точки не бiльше нiж з K − 1 мно-
жинами з {Ω(j), j ∈ N}(ρ) при будь-якому ρ > 0 (тобто кратнiсть покриття Rn
множинами Ω(j) не перевищує K); число K вiд ρ не залежить;
3◦) для будь-якої точки x ∈ Rn iснує таке j0, що x ∈ ω(j0) i
|xs − x(j0s)
s | > (aρ)ms , s ∈ {1, . . . , n},
де x(jk) — проекцiя точки x на k-ту грань паралелепiпеда ω(j), a — деяка фiксована
додатна стала.
Зауваження 1. З означення множин ω(j) та властивостi 3◦ випливає, що якщо
для точок x та y iз Rn справджуються нерiвностi
|xs − ys| < (aρ)ms , s ∈ {1, . . . , n},
то iснує таке j0, що {x, y} ⊂ ω(j0).
Нехай ζ(j)(x), x ∈ Rn, j ∈ N, — нескiнченно диференцiйовнi функцiї, якi мають
такi властивостi:
0 ≤ ζ(j) ≤ 1, ζ(j)(x) =
1, x ∈ ω(j),
0, x ∈ Rn \ Ω(j),
∣∣∂α
x ζ(j)
∣∣ ≤ Cρ−‖α‖.
Тодi, враховуючи властивостi 1◦ – 3◦, маємо
1 ≤
∑
j∈N
(ζ(j)(x))2 ≤ K, x ∈ Rn.
Покладемо η(j)(x) := ζ(j)(x)
/∑
s∈N
(ζ(s)(x))2, x ∈ Rn, j ∈ N, тодi η(j) = 0 в
Rn \ Ω(j),
∑
j∈N
η(j)(x)ζ(j)(x) = 1 i
∣∣∂α
x η(j)(x)
∣∣ ≤ Cρ−‖α‖ для будь-якої точки
x ∈ Rn.
Нехай Π(j)
[0,τ ] :=
{
(t, x) ∈ Rn+1
∣∣ t ∈ [0, τ ], x ∈ Ω(j)
}
, j ∈ N, τ — мале
додатне число;
〈〈
u; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
,
〈
u; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs
,
〈
u; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t
i〈
u; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
r
— напiвнорми, означення яких одержуються, якщо у вiдповiдних
означеннях напiвнорм 〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,τ ], 〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs,[0,τ ], 〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[0,τ ] i 〈u〉
−→
k (·,−→a )
r,[0,τ ]
з п. 2 замiсть областi Π[0,τ ] взяти Π(j)
[0,τ ]. Очевидно, що для будь-якої функцiї
u ∈
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,τ ] напiвнорма
〈〈
u; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
обмежена однiєю i тiєю ж сталою
для будь-якого j ∈ N, тому скiнченною є напiвнорма
{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[0,τ ] := sup
j∈N
〈〈
u; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
.
Лема 1. Для будь-якої функцiї u ∈
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] справджується нерiвнiсть
〈u〉
−→
k (·,−→a )
j,[t0,t0+τ ] ≤ Cτ (l−j+λ)/(2b)〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ],
де j ∈ Z+, j ≤ l, C — стала, що не залежить вiд τ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
656 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
Доведення. Оскiльки u ∈
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ], то ∂α
t,xu(0, x) = 0, ‖α‖ ≤ l. Тому:
якщо l − 2b < j ≤ l, то
〈u〉
−→
k (·,−→a )
j,[t0,t0+τ ] =
=
∑
‖α‖=j
sup
(t,x)∈Π[t0,t0+τ]
(
|∂α
t,xu(t, x)− ∂α
t,xu(0, x)|t(l−‖α‖+λ)/(2b)
|t|(l−‖α‖+λ)/(2b)(Ψ(t, x) + Ψ(0, x))
×
× (Ψ(t, x) + Ψ(0, x))
Ψ(t, x)
)
≤
≤ Cτ (l−j+λ)/(2b)
∑
0≤l−‖α‖<2b
〈
∂α
t,xu
〉−→k (·,−→a )
(l−‖α‖+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ]
2Ψ(t, x)
Ψ(t, x)
=
= Cτ (l−j+λ)/(2b)〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ];
якщо j ≤ l − 2b, то, використавши формулу Лагранжа j0 разiв, одержимо∣∣∂α
t,xu(t, x)
∣∣ ≤ |t̃|j0
∣∣∂α
t̃,x
∂j0
t̃
u(t̃, x)
∣∣,
де t̃ ∈ [t0, t0 + τ ], ‖α‖+ 2bj0 > l− 2b, далi так само, як i у попередньому випадку,
будемо мати
〈u〉
−→
k (·,−→a )
j,[t0,t0+τ ] ≤
∑
‖α‖=j
sup
(t̃,x)∈Π[t0,t0+τ]
t̃j0 |∂α
t̃,x
∂j0
t̃
u(t̃, x)|
Ψ(t̃, x)
=
=
∑
‖α‖=j
sup
(t̃,x)∈Π[t0,t0+τ]
(
|∆0
t̃
∂α
t̃,x
∂j0
t̃
u(t̃, x)| t̃j0+(l−(2bj0+‖α‖)+λ)/(2b)
t̃(l−(2bj0+‖α‖)+λ)/(2b)(Ψ(t̃, x) + Ψ(0, x))
×
× (Ψ(t̃, x) + Ψ(0, x))
Ψ(t̃, x)
)
≤
≤ Cτ (l−j+λ)/(2b)〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ].
Лема 2. Нехай τ = χρ2b, де χ < 1, χρ2b ≤ T. Тодi у просторi
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ],
0 ≤ t0 < t0 + τ ≤ T, напiвнорми 〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] i {u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] еквiвалентнi,
тобто
{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] ≤ 〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] ≤ C{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ],
де стала C не залежить вiд χ i ρ.
Доведення. Оскiльки {u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] := sup
j∈N
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
, то нерiв-
нiсть
{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] ≤ 〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ]
є очевидною, бо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 657
sup
j∈N
(
sup
Π
(j)
[t0,t0+τ]
|u|
)
≤ sup
⋃
j∈N
Π
(j)
[t0,t0+τ]
|u|.
Доведемо нерiвнiсть
〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] ≤ C{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ].
Для цього покажемо, що
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs,[t0,t0+τ ] ≤ C{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ], s ∈ {1, . . . , n},
i
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ] ≤ C{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ].
Нехай 0 ≤ l − ‖α‖ < ms, розглянемо функцiю∣∣∆ys
xs
∂α
t,xu(t, x)
∣∣ |xs − ys|−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
, s ∈ {1, . . . , n}.
Виберемо x′, y′s, t′ так, щоб∣∣∆y′s
x′s
∂α
t′,x′u(t′, x′)
∣∣ |x′s − y′s|−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t′, x′) + Ψ(t′, x′(y′s))
)−1 ≥
≥ 1
2
sup
(t,x)∈Π[t0,t0+τ]
ys∈R, xs 6=ys
∣∣∆ys
xs
∂α
t,xu(t, x)
∣∣ |xs − ys|−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
.
Тодi якщо |x′s − y′s| ≥ (aρ)ms , то∣∣∆y′s
x′s
∂α
t′,x′u(t′, x′)
∣∣ |x′s − y′s|−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t′, x′) + Ψ(t′, x(ys)′)
)−1 ≤
≤ (aρ)−(l−‖α‖+λ)
(∣∣∂α
t′,x′u(t′, x′)|+ |∂α
t′,x′(y′s)u(t′, x′(y′s))
∣∣)×
×
(
Ψ(t′, x′) + Ψ(t′, x′(y′s))
)−1 ≤
≤ 2(aρ)−(l−‖α‖+λ) sup
(t,x)∈Π[t0,t0+τ]
(∣∣∂α
t,xu(t, x)
∣∣(Ψ(t, x))−1
)
=
= 2(aρ)−(l−‖α‖+λ) sup
j∈N
sup
(t,x)∈Π
(j)
[t0,t0+τ]
(∣∣∂α
t,xu(t, x)
∣∣(Ψ(t, x))−1
),
а на пiдставi леми 1
sup
(t,x)∈Π
(j)
[t0,t0+τ]
(∣∣∂α
t,xu(t, x)
∣∣(Ψ(t, x)
)−1
)
≤
≤ Cτ (l−‖α‖+λ)/(2b)〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ] =
= C(χρ2b)(l−‖α‖+λ)/(2b)〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ],
тобто
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
658 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs,[t0,t0+τ ] ≤ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
(χ1/(2b)a−1)l−‖α‖+λ{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ];
якщо |x′s− y′s| < (aρ)ms , то, враховуючи зауваження 1, бачимо, що точки x′, x′(y′s)
належать до деякої множини Ω(j0), тому
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs,[t0,t0+τ ] ≤ 2
〈
u; Π(j0)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs
≤
≤ 2 sup
j∈N
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs
≤ 2{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ].
Нерiвнiсть
〈u〉
−→
k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t,[t0,t0+τ ] ≤ 2 sup
j∈N
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t
≤ 2{u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ]
є очевидною.
Як наслiдок, з леми 1 випливає, що для функцiй u ∈
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] напiвнорма
〈〈u〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] еквiвалентна нормi ‖u‖
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ], а згiдно з лемою 2 вона еквi-
валентна напiвнормi {u}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ]. Отже, у просторi
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] напiвнорми
〈〈·〉〉
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] i {·}
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] є нормами, якi еквiвалентнi нормi ‖ · ‖
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ]
простору H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] .
Лема 3. Нехай ξ(j)(x) , x ∈ Ω(j), — нескiнченно диференцiйовна функцiя, яка
задовольняє нерiвностi
∣∣∂α
x ξ(j)(x)
∣∣ ≤ Cρ−‖α‖, x ∈ Ω(j). Тодi якщо τ = χρ2b, то
для будь-якої функцiї u ∈
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+λ,[t0,t0+τ ] є правильною оцiнка
〈〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
≤ C
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
.
Доведення. Розглянемо напiвнорму
〈〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
=
=
n∑
s=1
〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs
+
〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t
.
Оцiнимо s-й доданок суми у правiй частинi, використавши формулу Лагранжа:
〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs
=
=
∑
0≤l−‖α‖<ms
sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
xs 6=ys
(∣∣∆ys
xs
(∂α
t,x(ξ(j)u))
∣∣×
×|xs − ys|−(l−‖α‖+λ)/ms(Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys)))−1
)
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 659
≤ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
‖α‖∑
r=0
sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
xs 6=ys
(∣∣∣∣∣∆ys
xs
∑
‖β‖=r
∂β
x ξ(j)∂α−β
t,x u
∣∣∣∣∣×
×|xs − ys|−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
)
≤
≤ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
‖α‖∑
r=0
sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
xs 6=ys
×
×
∑
‖β‖=r
(
|∂β
x ξ(j)||∆ys
xs
∂α−β
t,x u| +
+ |∆ys
xs
∂β
x ξ(j)|
∣∣∂α−β
t,x u
∣∣)|xs − ys|−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
≤
≤ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
‖α‖−l+ms−1∑
r=0
sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
xs 6=ys
∑
‖β‖=r
(∣∣∂β
x ξ(j)
∣∣ ∣∣∆ys
xs
∂α−β
t,x u
∣∣×
×|xs − ys|−(l−‖α‖+r+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1|xs − ys|r/ms
)
+
+ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
‖α‖∑
r=‖α‖−l+ms
∑
‖β‖=r
sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
xs 6=ys
×
×
(∣∣∂β
x ξ(j)
∣∣ ∣∣∂x̃s∂
α−β
t,x̃ u
∣∣|xs − ys|1−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x̃)
)−1
)
+
+ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
‖α‖∑
r=0
∑
‖β‖=r
sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
xs 6=ys
×
×
(∣∣∂x̃s
∂β
x̃ ξ(j)
∣∣|∂α−β
t,x u||xs − ys|1−(l−‖α‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x)
)−1
)
≤
≤ C
∑
0≤l−‖α‖<ms
‖α‖−l+ms−1∑
r=0
∑
‖β‖=r
ρ−‖β‖+r
〈
∂α−β
t,x u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−‖α‖+‖β‖+λ)/ms,xs
+
+
‖α‖∑
r=‖α‖−l+ms
∑
‖β‖=r
ρ−‖β‖+‖α‖−l+ms−λ
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
‖α‖−‖β‖+ms
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
660 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
+
‖α‖∑
r=0
∑
‖β‖=r
ρ−‖β‖+‖α‖−l+ms−λ
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
‖α‖−‖β‖
,
де враховано, що |xs − ys| ≤ 2ρms , {x, y} ⊂ Ω(j).
Згiдно з лемою 1〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
‖α‖−r+ms
≤ Cτ (l−‖α‖+r−ms+λ)/(2b)
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
,
‖α‖ − l + ms ≤ r ≤ ‖α‖;
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
‖α‖−r
≤ Cτ (l−‖α‖+r+λ)/(2b)
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
, 0 ≤ r ≤ ‖α‖.
З огляду на те, що τ = χρ2b, одержимо〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/ms,xs
≤ C
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
.
За допомогою аналогiчних мiркувань будемо мати〈
ξ(j)u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+λ)/(2b),t
=
=
∑
0≤l−‖α‖<2b
sup
{(t,x),(t′,x)}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
t6=t′
×
×
(∣∣∣∆t′
t
(
∂α
t,x(ξ(j)u)
)∣∣∣ |t− t′|−(l−‖α‖+λ)/(2b)
(
Ψ(t, x) + Ψ(t′, x)
)−1
)
≤
≤ C
∑
0≤l−‖α‖<2b
‖α‖−l+2b−1∑
r=0
sup
{(t,x),(t′,x)}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
t6=t′
∣∣∣∣∣∣
∑
‖β‖=r
∂β
x ξ(j)
(
∆t′
t ∂α−β
t,x u
)∣∣∣∣∣∣ ×
× |t− t′|−(l−‖α‖+r+λ)/(2b)|t− t′|r/(2b)
(
Ψ(t, x) + Ψ(t′, x)
)−1
+
+ C
∑
0≤l−‖α‖<2b
‖α‖∑
r=‖α‖−l+2b
sup
{(t,x),(t′,x)}⊂Π(j)
[t0,t0+τ]
t6=t′
∣∣∣∣∣∣
∑
‖β‖=r
∂β
x ξ(j)∂t̃∂
α−β
t̃,x
u
∣∣∣∣∣∣ ×
× |t− t′|1−(l−‖α‖+λ)/(2b)
(
Ψ(t̃, x)
)−1
≤
≤ C
∑
0≤l−‖α‖<2b
‖α‖−l+2b−1∑
r=0
ρ−rτ r/(2b) ×
×
∑
‖β‖=r
〈
∂α−β
t,x u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−‖α‖+r+λ)/(2b),t
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 661
+
‖α‖∑
r=‖α‖−l+2b
ρ−r
∑
‖β‖=r
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
‖α‖−‖β‖+2b
τ1−(l−‖α‖+λ)/(2b)
≤
≤ C
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
+
+ C
∑
0≤l−‖α‖<2b
‖α‖∑
r=‖α‖−l+2b
ρ−rτ1−(l−‖α‖+λ)/(2b)
〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉−→k (·,−→a )
‖α‖−r+2b
≤
≤ C
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
+ C
∑
0≤l−‖α‖<2b
‖α‖∑
r=‖α‖−l+2b
ρ−r×
×τ1−(l−‖α‖+λ)/(2b)+(l−‖α‖+r−2b+λ)/(2b)
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
=
= C
1 +
∑
0≤l−‖α‖<2b
‖α‖∑
r=‖α‖−l+2b
ρ−r(χρ2b)r/(2b)
〈〈u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
≤
≤ C
〈〈
u; Π(j)
[t0,t0+τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+λ
.
5. Регуляризатор параболiчної початкової задачi Солонникова – Ейдельмана
та його властивостi. Нехай τ — мале додатне число. Розглянемо спочатку зада-
чу (5) у випадку t0 = 0, тобто задачу
A(t, x, ∂t, ∂x)w = g, w ∈
N∏
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,τ ], g ∈
N∏
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,τ ]. (7)
Побудуємо спецiальний оператор, який вектор-функцiї g ∈
∏N
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,τ ]
буде ставити у вiдповiднiсть вектор-функцiю v ∈
∏N
j=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,τ ], яка вiдрiзня-
ється вiд розв’язку задачi (7) на малу, за деякою нормою при досить малому τ,
складову.
Зафiксуємо деяке мале число ρ > 0, i нехай товщина шару Π[0,τ ] пов’язана з ρ
рiвнiстю
τ = χρ2b, (8)
де χ < 1, χρ2b ≤ T, T — задане додатне число.
Розглянемо системи розбиттiв {ω(j), j ∈ N}(ρ) i {Ω(j), j ∈ N}(ρ) та функцiї ζ(j),
якi означено в п. 4.
Для кожного j ∈ N побудуємо вектор-функцiю v(j) як розв’язок модельної
задачi з нульoвими початковими даними такого вигляду:
A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)v(j)(t, x) = g(j)(t, x), (t, x) ∈ Π[0,τ ],
v(j) ∈
N∏
m=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ], g(j) ∈
N∏
m=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ], (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
662 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
де ξ(j) — спiльний центр множин ω(j) i Ω(j); A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x) — головна час-
тина A(t, x, ∂t, ∂x) iз „замороженими” коефiцiєнтами у точцi (0, ξ(j)); g(j) :=
:= col(g(j)
1 , . . . , g
(j)
N ),
g
(j)
k (t, x) :=
ζ(j)(x)gk(t, x), x ∈ Ω(j),
0, x ∈ Rn \ Ω(j),
k ∈ {1, . . . , N}. (10)
Оскiльки коефiцiєнти системи є сталими, a вектор-функцiї g(j) ∈
∈
∏N
m=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ], то за теоремою 2 з [10] задача (9) має єдиний розв’язок.
Лiнiйний оператор, який кожнiй вектор-функцiї g∈Gl+λ :=
∏N
m=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ]
ставить у вiдповiднiсть вектор-функцiю v ∈ Vl+λ :=
∏N
m=1
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ], компо-
ненти якої визначаються формулою
vm(t, x) :=
∑
j∈N
η(j)(x)v(j)
m (t, x), (t, x) ∈ Π[0,τ ], m ∈ {1, . . . , N}, (11)
де η(j) — тi самi функцiї, що й в п. 4; v
(j)
m — компоненти розв’язку v(j) модельної за-
дачi (9), позначатимемо через R i називатимемо регуляризатором задачi (7) або ре-
гуляризатором параболiчної початкової задачi Солонникова – Ейдельмана (1), (2).
З огляду на наслiдок iз лем 1 i 2, норми у просторах Gl+λ i Vl+λ означимо
вiдповiдно за допомогою таких рiвностей:
‖g‖Gl+λ
:=
N∑
m=1
{gm}
−→
k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ], ‖v‖Vl+λ
:=
N∑
m=1
{vm}
−→
k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ].
Опишемо властивостi оператора R.
Лема 4. Оператор R : Gl+λ → Vl+λ є обмеженим, тобто для будь-якого
g ∈ Gl+λ справджується нерiвнiсть
‖Rg‖Vl+λ
≤ C‖g‖Gl+λ
,
де C — стала, яка не залежить вiд χ i ρ.
Доведення. Розглянемо норму вектор-функцiї Rg
‖Rg‖Vl+λ
=
N∑
m=1
{
(Rg)m
}−→k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ]
=
N∑
m=1
sup
r∈N
〈〈∑
j∈N
η(j)v(j)
m ; Π(r)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
.
На пiдставi властивостi 2◦ множин Ω(j) маємо〈〈∑
j∈N
η(j)v(j)
m ; Π(r)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
≤
K∑
s=1
〈〈
η(js)v(js)
m ; Π(js)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
≤
≤ K sup
j∈N
〈〈
η(j)v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
,
тодi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 663
‖Rg‖Vl+λ
≤ K
N∑
m=1
sup
j∈N
〈〈
η(j)v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
, (12)
де K — кратнiсть покриття Rn системою множин {Ω(j), j ∈ N}(ρ). Оскiльки v
(j)
m ∈
∈
◦
H
−→
k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ] i |∂α
x η(j)| ≤ Cρ−‖α‖, то за лемою 3
〈〈
η(j)v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
≤ C
〈〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
, m ∈ {1, . . . , N}. (13)
Враховуючи те, що функцiї v
(j)
m є компонентами розв’язку задачi (9), на пiдставi
теореми 2 з [10] та наслiдку з лем 1 i 2 одержуємо оцiнку
N∑
m=1
〈〈
v(j)
m
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ]
≤ C
N∑
m=1
〈〈
g(j)
m
〉〉−→k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ]
. (14)
Сталу C в (14) на пiдставi умов A i C можна вибрати однаковою для всiх j ∈ N.
Використовуючи означення норм, лему 3, рiвнiсть (10) i нерiвнiсть (14), маємо
N∑
m=1
sup
j∈N
〈〈
v(j)
m
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ]
≤ C
N∑
m=1
sup
j∈N
〈〈
g(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sm+λ
≤
≤ C
N∑
m=1
sup
j∈N
〈〈
gm; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sm+λ
= C
N∑
m=1
{gm}
−→
k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ], (15)
а звiдси, враховуючи (12) i (13), одержуємо
‖Rg‖Vl+λ
≤ C‖g‖Gl+λ
.
Лему доведено.
Запишемо (7) у виглядi
Aw = g, (16)
де w ∈ Vl+λ, g ∈ Gl+λ, A — оператор, який кожному елементу w ∈ Vl+λ ставить у
вiдповiднiсть елемент Aw := A(t, x, ∂t, ∂x)w ∈ Gl+λ.
Зауважимо, що A є обмеженим оператором, оскiльки
‖Aw‖Gl+λ
=
N∑
j=1
{
N∑
m=1
Ajm(t, x, ∂t, ∂x)wm
}−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,τ ]
≤
≤ C
N∑
m=1
{wm}
−→
k (·,−→a )
l+tm+λ,[0,τ ] = C‖w‖Vl+λ
.
Тут використано те, що коефiцiєнти диференцiальних виразiв Ajm(t, x, ∂t, ∂x) сис-
теми (7) задовольняють умову C.
Лема 5. Для будь-якої вектор-функцiї g ∈ Gl+λ є правильною рiвнiсть
ARg = g + T g, (17)
де T — обмежений оператор у просторi Gl+λ, норма якого мала, якщо малi χ i ρ
у (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
664 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
Доведення. Враховуючи (11) i властивостi функцiй η(j) i ζ(j), маємо
ARg = A0(t, x, ∂t, ∂x)Rg + A1(t, x, ∂t, ∂x)Rg =
= A0(t, x, ∂t, ∂x)
∑
j∈N
η(j)v(j)
+ A1(t, x, ∂t, ∂x)Rg =
=
∑
j∈N
η(j)A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)v(j) −
∑
j∈N
η(j)A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)v(j)+
+
∑
j∈N
η(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v(j) −
∑
j∈N
η(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v(j)+
+
∑
j∈N
A0(t, x, ∂t, ∂x)(η(j)v(j)) + A1(t, x, ∂t, ∂x)Rg =
=
∑
j∈N
η(j)ζ(j)g +
∑
j∈N
η(j)
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)−A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)+
+
∑
j∈N
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)(η(j)v(j))− η(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v(j)
)
+ A1(t, x, ∂t, ∂x)Rg =
= g +
∑
j∈N
η(j)
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)−A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)+
+
∑
j∈N
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)(η(j)v(j))− η(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v(j)
)
+ A1(t, x, ∂t, ∂x)Rg =
= g + T g,
де A1(t, x, ∂t, ∂x) := A(t, x, ∂t, ∂x)−A0(t, x, ∂t, ∂x), а
T g =
∑
j∈N
η(j)
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)−A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)+
+
∑
j∈N
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)(η(j)v(j))− η(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v(j)
)
+ A1(t, x, ∂t, ∂x)Rg.
(18)
Оцiнимо норму у просторi Gl+λ першого доданка правої частини (18). Як i при
доведеннi леми 4, маємо
N∑
r=1
∑
j∈N
η(j)
N∑
m=1
(
A0
rm(t, x, ∂t, ∂x)−A0
rm(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)
m
−→
k (·,−→a )
l−sr+λ,[0,τ ]
=
=
N∑
r=1
sup
s∈N
〈〈∑
j∈N
η(j)
N∑
m=1
(
A0
rm(t, x, ∂t, ∂x)−A0
rm(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)
m ; Π(s)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sr+λ
≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 665
≤ C
N∑
r,m=1
sup
j∈N
〈〈
η(j)
(
A0
rm(t, x, ∂t, ∂x)−A0
rm(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sr+λ
≤
≤ C
N∑
r,m=1
sup
j∈N
〈〈
(A0
rm(t, x, ∂t, ∂x)−A0
rm(0, ξ(j), ∂t, ∂x))v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sr+λ
, (19)
звiдки видно, що досить оцiнити норму〈〈
∆0,ξ(j)
t,x a ∂α
t,xv(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sr+λ
=
=
n∑
s=1
∑
0≤l−sr−‖β‖<ms
〈
∂β
t,x
(
∆0,ξ(j)
t,x a ∂α
t,xv(j)
m
)
; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/ms,xs
+
+
∑
0≤l−sr−‖β‖<2b
〈
∂β
t,x
(
∆0,ξ(j)
t,x a ∂α
t,xv(j)
m
)
; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/(2b),t
, ‖α‖ = sr + tm,
де ∆0,ξ(j)
t,x a := a(t, x) − a(0, ξ(j)), a — будь-який iз коефiцiєнтiв диференцiального
виразу A0
rm(t, x, ∂t, ∂x), якi за припущенням належать простору Hl−sr+λ,[0,τ ]. На
пiдставi цього припущення одержуємо такi оцiнки:
∣∣∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a
∣∣ ≤ C
ρκ, ‖γ‖ = 0,
1, ‖γ‖ > 0,
∣∣∆ys
xs
∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a
∣∣ ≤ C
|xs − ys|(l−sr−‖γ‖+λ)/ms , 0 ≤ l − sr − ‖γ‖ < ms,
|xs − ys|, l − sr − ‖γ‖ ≥ ms,
∣∣∆t′
t ∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a
∣∣ ≤ C
|t− t′|(l−sr−‖γ‖+λ)/(2b), 0 ≤ l − sr − ‖γ‖ < 2b,
|t− t′|, l − sr − ‖γ‖ ≥ 2b,{
(t, x), (t, x(ys)), (t′, x)
}
⊂ Π(j)
[0,τ ], ‖γ‖ ≤ l − sr.
Тут κ = l − sr + λ при l − sr < m̂ := min
s∈{1,...,n}
ms i κ = m̂ при l − sr ≥ m̂.
Використовуючи цi оцiнки та лему 1, для мультиiндексiв α, β i γ таких, що
‖α‖ = sr + tm , 0 ≤ l − sr − ‖β‖ < ms, γ ≤ β, маємо〈
∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a ∂α+β−γ
t,x v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/ms,xs
≤
≤ sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[0,τ]
xs 6=ys
(∣∣∆ys
xs
∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a
∣∣ ∣∣∂α+β−γ
t,x v(j)
m
∣∣ |xs − ys|−(l−sr−‖β‖+λ)/ms×
×
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
)
+ sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[0,τ]
xs 6=ys
(∣∣∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a
∣∣ ∣∣∆ys
xs
∂α+β−γ
t,x v(j)
m
∣∣×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
666 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
×|xs − ys|−(l−sr−‖β‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
)
≤
≤ C
〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+tm+λ)/ms,xs
ρl−sr+λ, 0 ≤ l − sr − ‖γ‖ < ms
ρ‖γ‖+ms , l − sr − ‖γ‖ ≥ ms
+
+C
〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+tm+λ)/ms,xs
ρκ, ‖γ‖ = 0
ρ‖γ‖, 0 < ‖γ‖ < ‖β‖ − l + sr + ms
ρ‖γ‖+λ, ‖β‖ − l + sr + ms ≤ ‖γ‖ ≤ ‖β‖
≤
≤ Cρλ
〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+tm+λ)/ms,xs
, r ∈ {1, . . . , N}, (20)
де враховано, що ρ — мале число i m̂ ≥ 1.
Аналогiчно одержуємо〈
∂γ
t,x∆0,ξ(j)
t,x a ∂α+β−γ
t,x v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/(2b),t
≤
≤ Cρλ
〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+tm+λ)/(2b),t
, r ∈ {1, . . . , N}. (21)
За допомогою оцiнок (15) та означення норм з нерiвностей (19) – (21) випливає,
що
N∑
r=1
∑
j∈N
η(j)
N∑
m=1
(
A0
rm(t, x, ∂t, ∂x)−A0
rm(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
v(j)
m
−→
k (·,−→a )
l−sr+λ,[0,τ ]
≤
≤ Cρλ
N∑
m=1
sup
j∈N
〈〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l+tm+λ
≤ Cρλ
N∑
m=1
{gm}
−→
k (·,−→a )
l−sm+λ,[0,τ ] = Cρλ‖g‖Gl+λ
.
(22)
Розглянемо норму у просторi Gl+λ третього доданка правої частини (18). Як i
для першого доданка, маємо
N∑
r=1
N∑
m=1
A1
rm(t, x, ∂t, ∂x)
∑
j∈N
η(j)v(j)
m
−→
k (·,−→a )
l−sr+λ,[0,τ ]
=
=
N∑
r=1
sup
s∈N
〈〈
N∑
m=1
A1
rm(t, x, ∂t, ∂x)
∑
j∈N
η(j)v(j)
m
; Π(s)
[0,τ ]
〉〉−→
k (·,−→a )
l−sr+λ
≤
≤ C
N∑
r,m=1
sup
j∈N
〈〈
A1
rm(t, x, ∂t, ∂x)
(
η(j)v(j)
m
)
; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sr+λ
, (23)
звiдки видно, що досить оцiнити норму
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 667
〈〈
a ∂δ
t,xη(j)∂α−δ
t,x v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉〉−→k (·,−→a )
l−sr+λ
=
=
n∑
s=1
∑
0≤l−sr−‖β‖<ms
〈
∂β
t,x(a ∂δ
t,xη(j)∂α−δ
t,x v(j)
m ); Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/ms,xs
+
+
∑
0≤l−sr−‖β‖<2b
〈
∂β
t,x(a ∂δ
t,xη(j)∂α−δ
t,x v(j)
m ); Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/(2b),t
, (24)
0 ≤ ‖α‖ < sr + tm, 0̄ ≤ δ ≤ α, a — будь-який iз коефiцiєнтiв диференцiального
виразу A1
rm(t, x, ∂t, ∂x), якi за припущенням належать простору Hl−sr+λ,[0,τ ].
Аналогiчно до (20) для ‖α‖ = sr + tm − p, p ≥ m̂, γ ≤ β, δ ≤ α, одержуємо
〈
∂γ
t,x
(
a ∂δ
t,xη(j)
)
∂α−δ+β−γ
t,x v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/ms,xs
≤
≤ sup
{(t,x),(t,x(ys))}⊂Π(j)
[0,τ]
xs 6=ys
((∣∣∂γ
t,x(a ∂δ
t,xη(j))
∣∣ ∣∣∆ys
xs
∂α−δ+β−γ
t,x v(j)
m
∣∣+ ∣∣∆ys
xs
∂γ
t,x(a ∂δ
t,xη(j))
∣∣×
×
∣∣∂α−δ+β−γ
t,x v(j)
m
∣∣)|xs − ys|−(l−sr−‖β‖+λ)/ms
(
Ψ(t, x) + Ψ(t, x(ys))
)−1
)
≤
≤ Cρp(1 + χ(p+λ)/(2b)ρκ)
〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+tm+λ)/ms,xs
, 0 ≤ l − sr − ‖β‖ < ms;
〈
∂γ
t,x(a ∂δ
t,xη(j))∂α−δ+β−γ
t,x v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l−sr−‖β‖+λ)/(2b),t
≤
≤ sup
{(t,x),(t′,x)}⊂Π(j)
[0,τ]
t6=t′
((∣∣∂γ
t,x(a ∂δ
t,xη(j))
∣∣ ∣∣∆t′
t ∂α−δ+β−γ
t,x v(j)
m
∣∣+ ∣∣∆t′
t ∂γ
t,x(a ∂δ
t,xη(j))
∣∣×
×
∣∣∂α−δ+β−γ
t,x v(j)
m
∣∣)|t− t′|−(l−sr−‖β‖+λ)/(2b)
(
Ψ(t, x) + Ψ(t′, x)
)−1
)
≤
≤ Cρp(1 + χ(p+λ)/(2b)ρκ)
〈
v(j)
m ; Π(j)
[0,τ ]
〉−→k (·,−→a )
(l+tm+λ)/(2b),t
, 0 ≤ l − sr − ‖β‖ < 2b,
де κ ≤ 0.
З цих нерiвностей, а також нерiвностей (23) i (24) випливає оцiнка
N∑
r=1
N∑
m=1
A1
rm(t, x, ∂t, ∂x)
∑
j∈N
η(j)v(j)
m
−→
k (·,−→a )
l−sr+λ,[0,τ ]
≤
≤ Cρp(1 + χ(p+λ)/(2b)ρκ)‖g‖Gl+λ
. (25)
Аналогiчну оцiнку таким же способом одержуємо i для другого доданка пра-
вої частини (18). З цiєї оцiнки та оцiнок (22) i (25) випливає, що оператор T є
обмеженим i при досить малих χ i ρ його норма менше за 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
668 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
Лема 6. Для будь-якої вектор-функцiї v ∈ Vl+λ справджується рiвнiсть
RAv = v +Wv,
де W — обмежений оператор у просторi Vl+λ, норма якого мала, якщо малi χ i ρ
у (8).
Доведення. Позначимо через R(j) оператор, який правiй частинi g(j) зада-
чi (9) ставить у вiдповiднiсть розв’язок цiєї задачi v(j). Зауважимо, що з єдиностi
розв’язку задачi (9) випливає, що для будь-якої вектор-функцiї v ∈ Vl+λ
R(j)A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)ζ(j)v = ζ(j)v. (26)
За допомогою (11) i (26) для будь-якої вектор-функцiї v ∈ Vl+λ маємо
RAv = RA0(t, x, ∂t, ∂x)v +RA1(t, x, ∂t, ∂x)v =
=
∑
j∈N
η(j)R(j)A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)ζ(j)v −
∑
j∈N
η(j)R(j)A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)ζ(j)v +
+
∑
j∈N
η(j)R(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)ζ(j)v −
∑
j∈N
η(j)R(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)ζ(j)v +
+
∑
j∈N
η(j)R(j)(ζ(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v) +RA1(t, x, ∂t, ∂x)v =
=
∑
j∈N
η(j)ζ(j)v +
∑
j∈N
η(j)R(j)
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)−A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
ζ(j)v +
+
∑
j∈N
η(j)R(j)
(
ζ(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v −A0(t, x, ∂t, ∂x)ζ(j)v
)
+
+RA1(t, x, ∂t, ∂x)v = v +Wv,
де
Wv :=
∑
j∈N
η(j)R(j)
(
A0(t, x, ∂t, ∂x)−A0(0, ξ(j), ∂t, ∂x)
)
ζ(j)v+
+
∑
j∈N
η(j)R(j)
(
ζ(j)A0(t, x, ∂t, ∂x)v −A0(t, x, ∂t, ∂x)ζ(j)v
)
+RA1(t, x, ∂t, ∂x)v.
(27)
Оцiнка норми ‖Wv‖Vl+λ
доводиться аналогiчно до оцiнки ‖T g‖Gl+λ
з леми 5.
Зауваження 2. Аналогiчно будується i дослiджується регуляризатор задачi (5)
в областi Π[t0,t0+τ ] з нульовими початковими даними при t = t0, де 0 ≤ t0 <
< t0 + τ ≤ T. Iстотно, що величини χ i ρ можуть бути однаковими для будь-якого
t0. Це випливає з умов A, B i C.
6. Доведення теореми 3. Нехай спочатку t0 = 0. Твердження теореми 3 у
цьому випадку рiвносильне iснуванню обмеженого оператора A−1, оберненого до
оператора A iз (16).
Нехай R — регуляризатор задачi (7). Згiдно з лемами 5 i 6 маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 669
AR = I1 + T , RA = I2 +W, (28)
де T i W — обмеженi оператори, якi означено формулами (18) i (27), а I1, I2 —
тотожнi оператори вiдповiдно у просторах Gl+λ, Vl+λ. Зафiксуємо числа χ i ρ , якi
пов’язанi з τ рiвнiстю (8), так, щоб
‖T ‖ ≤ 1
2
, ‖W‖ ≤ 1
2
.
Тодi, як вiдомо, iснують обмеженi оберненi оператори (I1 + T )−1 i (I2 +W)−1, до
того ж
‖(I1 + T )−1‖ ≤ 2, ‖(I2 +W)−1‖ ≤ 2.
Звiдси i з рiвностей (28) випливає, що R(I1 + T )−1 — правий обернений, а (I2 +
+W)−1R — лiвий обернений оператор до A.
На пiдставi леми 2 з [12, с. 139] iснує обернений операторA−1 = R(I1+T )−1 =
= (I2 +W)−1R, який визначено у просторi Gl+λ зi значеннями у просторi Vl+λ.
Оператор A−1 є обмеженим, оскiльки
‖A−1‖ ≤ ‖R‖ ‖(I1 + T )−1‖ ≤ 2C,
де C — така сама стала, що й в лемi 4.
Отже, задача (7) є однозначно розв’язною для будь-яких g ∈ Gl+λ, а її розв’язок
задовольняє нерiвнiсть
‖w‖Vl+λ
≤ ‖A−1‖ ‖g‖Gl+λ
≤ 2C‖g‖Gl+λ
,
яка згiдно з наслiдком iз лем 1 i 2 рiвносильна нерiвностi (6) при t0 = 0.
Правильнiсть твердження теореми 3 з довiльним t0 доводиться так само, якщо
врахувати зауваження 2. При цьому величину τ0 можна брати не залежною вiд t0.
7. Доведення теореми 1. Згiдно з теоремою 1 iз [10] досить довести iснування
єдиного розв’язку задачi (7) у випадку τ = T, який задовольняє нерiвнiсть (6) при
t0 = 0, τ = T.
За теоремою 3 задача (7) має єдиний розв’язок w, для якого виконується оцiн-
ка (6) з t0 = 0, τ = τ0. Знайдемо значення похiдних за змiнною t вiд компонент
цього розв’язку до порядку l̂j :=
[
(l + tj)/(2b)
]
([a] — цiла частина числа a) при
t = τ0/2 i позначимо їх через ϕ′
(α0)
j (x), α0 ∈ {0, . . . , l̂j}.
Розглянемо в Π[τ0/2,T ] функцiї v′j такi, що
∂α0
t v′j
∣∣
t=τ0/2
= ϕ′
(α0)
j , α0 ∈ {0, . . . , l̂j}, (29)
i справджуються нерiвностi
N∑
j=1
‖v′j‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[τ0/2,T ] ≤ C
N∑
j=1
l̂j∑
α0=0
|ϕ′(α0)
j |
−→a
l+tj−2br+λ ≤ C
N∑
j=1
‖wj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,τ ].
(30)
Друга нерiвнiсть є очевидною, оскiльки ∂α0
t wj |t=τ0/2= ϕ′
(α0)
j , α0 ∈ {0, . . . , l̂j},
j ∈ {1, . . . , N}.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
670 С. Д. IВАСИШЕН, Г. П. IВАСЮК
Функцiї v′j , враховуючи (29), можна побудувати так само, як в лемi 2 iз [10].
Тодi iснування єдиного розв’язку задачi (5) з t0 = τ0/2 i τ = 3τ0/2 рiвносильне
iснуванню єдиного розв’язку w′ := w − v′ задачi
A(t, x, ∂t, ∂x)w′(t, x) = g′(t, x), (t, x) ∈ Π[τ0/2,3τ0/2],
∂α0
t w′
j(t, x) |t=τ0/2 = 0, α0 ∈ {0, . . . , l̂j}, j ∈ {1, . . . , N}, (31)
де g′ := g − Av′, до того ж ∂α0
t g′j |t=τ0/2= 0, α0 ∈ {0, . . . , [(l − sj)/(2b)]}, j ∈
∈ {1, . . . , N}, для якого правильною є оцiнка
N∑
j=1
‖w′
j‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[τ0/2,3τ0/2] ≤ C
N∑
j=1
‖g′j‖
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[τ0/2,3τ0/2]. (32)
Iснування єдиного розв’язку задачi (31) i виконання оцiнок (32) випливає iз тео-
реми 3. Отже, задача (7) має єдиний розв’язок в Π[0,3τ0/2], для якого з урахуванням
(30), (32) правильною є оцiнка
N∑
j=1
‖wj‖
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,3τ0/2] ≤ C
N∑
j=1
‖gj‖
−→
k (·,−→a )
l−sj+λ,[0,3τ0/2].
Продовжуючи мiркувати так само, ми крок за кроком вичерпаємо весь промiжок
[0, T ]. При цьому кiлькiсть крокiв є скiнченною, а величина кроку дорiвнює τ0.
8. Доведення теореми 2. Досить довести лише необхiднiсть умови A для пра-
вильностi оцiнок (4). Нехай цi оцiнки справджуються для будь-якої вектор-функцiї
u ∈
∏N
j=1
H
−→
k (·,−→a )
l+tj+λ,[0,T ]. Доведемо, що система (1) є параболiчною системою Со-
лонникова – Ейдельмана в Π[0,T ]. Припустимо протилежне. Тодi iснують такi точки
(t0, x0) ∈ Π[0,T ] i σ0 := (σ0
1 , . . . , σ0
n) ∈ Rn, а також число p0 ∈ C, що |p0|+ |σ0| 6= 0,
Re p0 ≥ 0 i
detA0(t0, x0, p0, σ0) = 0. (33)
При довiльному фiксованому ν > 0 розглянемо матрицю-стовпець висоти N
vν(t, x), всi елементи якої дорiвнюють exp
{
νm0p0t + i
∑n
j=1
νmj σ0
j xj
}
. Нехай
ζ — нескiнченно диференцiйовна й фiнiтна в Π[0,T ] функцiя. Вiзьмемо матрицю-
стовпець
uν(t, x) := (Â0(t0, x0, ∂t, ∂x)vν(t, x))ζ(t, x), (t, x) ∈ Π[0,T ],
де Â0 := detA0(A0)−1 — матриця, взаємна для A0. Оскiльки елементи uνj , j ∈
∈ {1, . . . , N}, матрицi uν є фiнiтними в Π[0,T ], то оцiнка (4) для них має вигляд
N∑
j=1
‖uνj‖l+tj+λ,[0,T ] ≤ C
N∑
k,j=1
‖A0
kjuνj‖l−sk+λ,[0,T ]. (34)
Але ця нерiвнiсть не може виконуватися для досить великих ν > 0. Справдi,
найшвидше зростаючий при ν →∞ член у лiвiй частинi нерiвностi (34) дорiвнює
Cν2br−s0+l+λ exp{νm0τ Re p0}, τ ∈ (0, T ],
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
КОРЕКТНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ПАРАБОЛIЧНИХ ПОЧАТКОВИХ ЗАДАЧ . . . 671
де s0 := min
j∈{1,...,N}
sj . Але оскiльки на пiдставi (33)
A0(t0, x0, ∂t, ∂x)(Â0(t0, x0, ∂t, ∂x)vν) = ν2br detA0(t0, x0, p0, iσ0)vν = 0,
то аналогiчний член у правiй частинi зазначеної нерiвностi дорiвнює
Cν2br−s0+l+λ−1 exp{νm0τ Re p0}.
Отже, нерiвнiсть (34) не виконується при великих ν.
1. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем линейных уравнений с частными производными
в области неаналитических функций // Бюл. Моск. ун-та. Математика и механика. – 1938. – 1, № 7.
– С. 1 – 72.
2. Эйдельман С. Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133, № 1.
– С. 40 – 43.
3. Солонников В. А. О краевых задачах для общих параболических систем // Там же. – 1964. – 157,
№ 1. – С. 56 – 59.
4. Ивасишен С. Д., Эйдельман С. Д.
−→
2b-Параболические системы // Тр. сем. по функцион. анализу. –
Киев: Ин-т математики АН УССР, 1968. – Вып. 1. – С. 3 – 175, 271 – 273.
5. Iвасишен С. Д., Кондур О. С. Про матрицю Грiна задачi Кошi та характеризацiю деяких класiв
розв’язкiв для
−→
2b-параболiчних систем довiльного порядку // Мат. студ. – 2000. – 14, № 1. –
С. 73 – 84.
6. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. –
390 p.
7. Солонников В. А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных
уравнений общего вида // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1965. – 83. – С. 3 – 163.
8. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – М.: Наука, 1967. – 736 с.
9. Iвасюк Г. П. Початкова задача для модельних параболiчних за Солонниковим систем неоднорiдної
структури // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. – 2005. – Вип. 269. – С. 49 – 52.
10. Iвасишен С. Д., Iвасюк Г. П. Параболiчнi за Солонниковим системи квазiоднорiдної структури //
Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – С. 1501 – 1510.
11. Iвасишен С. Д., Iвасюк Г. П. Початковi задачi для параболiчних систем Солонникова – Ейдельмана
// Доп. НАН України. – 2007. – № 9. – С. 7 – 11.
12. Треногин В. А. Функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 495 с.
Одержано 15.08.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-3048 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:17Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/26/7a82f60962e28b80ef7c2257efc38726.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30482020-03-18T19:44:07Z Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems Коректна розв'язність параболічних початкових задач Солонникова - Ейдельмана Ivasyshen, S. D. Ivasyuk, H. P. Івасишен, С. Д. Івасюк, Г. П. We consider initial-value problems for a new class of systems of equations that combine the structures of Solonnikov parabolic systems and Eidel’man parabolic systems. We prove a theorem on the correct solvability of these problems in Hölder spaces of rapidly increasing functions and obtain an estimate for the norms of solutions via the corresponding norms of the right-hand sides of the problem. For the correctness of this estimate, the condition of the parabolicity of the system is not only sufficient but also necessary. Рассматриваются начальные задачи для нового класса систем уравнений, объединяющие в себе структуры систем, параболических по Солонникову и Эйдельману. Доказана теорема о корректной разрешимости этих задач в пространствах Гельдера быстрорастущих функций и получена оценка норм решений через соответствующие нормы правых частей задачи. Для правильности такой оценки условие парабо-личности системы является не только достаточным, но и необходимым. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3048 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 650-671 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 650-671 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3048/2845 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3048/2846 Copyright (c) 2009 Ivasyshen S. D.; Ivasyuk H. P. |
| spellingShingle | Ivasyshen, S. D. Ivasyuk, H. P. Івасишен, С. Д. Івасюк, Г. П. Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems |
| title | Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems |
| title_alt | Коректна розв'язність параболічних початкових задач
Солонникова - Ейдельмана |
| title_full | Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems |
| title_fullStr | Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems |
| title_full_unstemmed | Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems |
| title_short | Correct solvability of Solonnikov–Eidel’man parabolic initial-value problems |
| title_sort | correct solvability of solonnikov–eidel’man parabolic initial-value problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3048 |
| work_keys_str_mv | AT ivasyshensd correctsolvabilityofsolonnikoveidelmanparabolicinitialvalueproblems AT ivasyukhp correctsolvabilityofsolonnikoveidelmanparabolicinitialvalueproblems AT ívasišensd correctsolvabilityofsolonnikoveidelmanparabolicinitialvalueproblems AT ívasûkgp correctsolvabilityofsolonnikoveidelmanparabolicinitialvalueproblems AT ivasyshensd korektnarozv039âznístʹparabolíčnihpočatkovihzadačsolonnikovaejdelʹmana AT ivasyukhp korektnarozv039âznístʹparabolíčnihpočatkovihzadačsolonnikovaejdelʹmana AT ívasišensd korektnarozv039âznístʹparabolíčnihpočatkovihzadačsolonnikovaejdelʹmana AT ívasûkgp korektnarozv039âznístʹparabolíčnihpočatkovihzadačsolonnikovaejdelʹmana |