Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions
We establish conditions for the existence of solutions of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions. We also substantiate the applicability of iterative and projection-iterative methods for the solution of these problems.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3049 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509072670851072 |
|---|---|
| author | Luchka, A. Y. Nesterenko, O. B. Лучка, А. Ю. Нестеренко, О. Б. |
| author_facet | Luchka, A. Y. Nesterenko, O. B. Лучка, А. Ю. Нестеренко, О. Б. |
| author_sort | Luchka, A. Y. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We establish conditions for the existence of solutions of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions. We also substantiate the applicability of iterative and projection-iterative methods for the solution of these problems. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.968.7
А. Ю. Лучка, О. Б. Нестеренко (Iн-т математики НАН України, Київ)
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ
ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ IНТЕГРО-ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ
РIВНЯНЬ З ПАРАМЕТРАМИ I ОБМЕЖЕННЯМИ
We establish conditions for the existence of solutions of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-
differential equations with parameters and restrictions. We also substantiate the applicability of iterative and
projection-iterative methods for the solution of these problems.
Установлены условия существования решений краевых задач для слабонелинейных интегро-дифферен-
циальных уравнений с параметрами и ограничениями, а также обосновано применение к ним итераци-
онных и проекционно-итеративных методов.
1. Постановка задачi. Розглянемо iнтегро-диференцiальне рiвняння
(Lx)(t) = f(t) + C(t)λ + ε
b∫
a
H(t, s)F
(
s, x(s), x′(s), . . . , x(m−1)(s)
)
ds (1)
i поставимо задачу знаходження функцiї x(t, ε), яка неперервна по ε на вiдрiзку
[0, ε0] i при кожному фiксованому ε ∈ [0, ε0] належить Wm
2 [a, b], та параметра
λ ∈ Rl, якi задовольняють рiвняння (1) майже скрiзь, крайовi умови
U(x) = γ (2)
та обмеження
b∫
a
S(t)x(t)dt = α. (3)
Якщо така пара (x(t), λ) iснує, то задачу (1) – (3) вважаємо сумiсною.
В зображеннях (1) – (3)
(Lx)(t) = x(m)(t) + p1(t)x(m−1)(t) + . . . + pm(t)x(t), (4)
t ∈ [a, b], ε — достатньо малий невiд’ємний параметр, f ∈ L2[a, b], {p1, . . . , pm} ⊂
⊂ L2[a, b], ядро H(t, s) є сумовним з квадратом за сукупнiстю змiнних, C(t) i S(t)
— вiдповiдно (1× l)- i (l× 1)-матрицi, елементи яких — лiнiйно незалежнi функцiї,
сумовнi з квадратом на вiдрiзку [a, b], U — стала (m × 1)-матриця, елементи якої
мають вигляд
Uν(x) =
m∑
i=1
(
ανix
(i−1)(a) + βνix
(i−1)(b)
)
,
γ ∈ Rm, α ∈ Rl є заданими.
Вважаємо також, що оператор
(Fx)(t) = F (t, x(t), x′(t), . . . , x(m−1)(t)), (5)
який визначається функцiєю F : [a, b] × Rm → R, вiдображає простiр Wm
2 [a, b] у
простiр L2[a, b].
c© А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО, 2009
672 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ . . . 673
При розв’язаннi питань дослiдження сумiсностi задачi та розробцi методiв по-
будови розв’язкiв скористаємось методикою, розробленою в [1 – 5].
2. Умови сумiсностi задачi. Для встановлення умов сумiсностi використаємо
допомiжну задачу
(Ax)(t) = C(t)λ + y(t), U(x) = γ, (6)
b∫
a
S(t)x(t)dt = α, (7)
де
(Ax)(t) = x(m)(t) + c1(t)x(m−1)(t) + . . . + cm(t)x(t), (8)
задана функцiя y ∈ L2[a, b] i коефiцiєнти c1(t),. . . , cm(t) є неперервними на вiдрiзку
[a, b]. У статтi [2] доведено, що у випадку, коли однорiдна задача
(Ax)(t) = C(t)λ, U(x) = 0,
b∫
a
S(t)x(t)dt = 0 (9)
має лише тривiальний розв’язок, iснують такi вектор σ ∈ Rl, функцiї h(t), G(t, s) та
(l×1)-матриця Γ(s), що єдиний розв’язок неоднорiдної задачi (6), (7) зображується
формулами
x(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)y(s)ds, (10)
λ = σ +
b∫
a
Γ(s)y(s)ds. (11)
За допомогою виразiв (10), (6), (8), враховуючи, що оператор
(Bx)(t) = (Ax)(t)− (Lx)(t), (12)
задачу (1) – (3) зводимо до рiвносильного [2] iнтегрального рiвняння
y(t) = g(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s)ds + ε
b∫
a
H(t, s)F
s, h(s) +
b∫
a
G(s, ξ)y(ξ)dξ, . . .
. . . , h(m−1)(s) +
b∫
a
∂m−1
∂sm−1
G(s, ξ)y(ξ)dξ
ds, (13)
де
K(t, s) = (BG)(t, s), g(t) = (Bh)(t). (14)
Таким чином, дослiдження задачi (1) – (3) звелось до дослiдження iнтегрального
рiвняння (13) i правильною є наступна теорема.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
674 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
Теорема 1. Якщо допомiжна задача (6), (7) має єдиний розв’язок, то задача
(1) – (3) сумiсна тодi i тiльки тодi, коли iснує розв’язок рiвняння (13).
Питання iснування та єдиностi розв’язку рiвняння (13) достатньо вивченi.
Зокрема, якщо оператор
(My)(t) = g(t) +
b∫
a
K(t, s)y(s)ds + ε
b∫
a
H(t, s)F
s, h(s) +
b∫
a
G(s, ξ)y(ξ)dξ, . . .
. . . , h(m−1)(s) +
b∫
a
∂m−1
∂sm−1
G(s, ξ)y(ξ)dξ
ds (15)
є оператором стиску в L2[a, b], то iснує єдиний розв’язок задачi (1) – (3).
Встановимо достатнi умови, за яких оператор (15) є оператором стиску у прос-
торi L2[a, b].
Для цього зазначимо, що за умов, накладених на ядро H(t, s) i коефiцiєнти
диференцiальних операторiв (4), (8), можна встановити, з урахуванням формул
(14), (12) i структури функцiї Грiна G(t, s) [2], iснування додатних мiнiмальних
констант η, æ, νi, i = 0,m− 1, таких, що для будь-яких функцiй y ∈ L2[a, b]
виконуються нерiвностi
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
K(t, s)y(s)ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ η2
b∫
a
|y(t)|2dt, (16)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
H(t, s)y(s)ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ æ2
b∫
a
|y(t)|2dt, (17)
b∫
a
∣∣∣∣∣∣
b∫
a
∂i
∂ti
G(t, s)y(s)ds
∣∣∣∣∣∣
2
dt ≤ ν2
i
b∫
a
|y(t)|2dt, i = 0,m− 1. (18)
Нехай, крiм того, справджується умова
∣∣∣F (t, u0, . . . , um−1)−F (t, w0, . . . , wm−1)
∣∣∣ ≤ m−1∑
i=0
τi|ui−wi| ∀{ui, wi} ⊂ R, (19)
де τi ∈ R+, i = 0,m− 1. Тодi, очевидно, оператор (5) задовольняє умову
‖Fx− Fv‖ ≤
m−1∑
i=0
τi‖x(i) − v(i)‖ ∀{x, v} ∈ Wm
2 [a, b]. (20)
Iз нерiвностей (16) – (20) очевидним чином випливає нерiвнiсть
‖My −Mz‖ ≤ ρ‖y − z‖ ∀y, z ∈ L2[a, b], (21)
в якiй
ρ = η + εæ(τ0ν0 + . . . + τm−1νm−1). (22)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ . . . 675
Таким чином, якщо в нерiвностi (21) виконується умова ρ < 1, де ρ має вигляд
(22), то оператор M, який визначається формулою (15), є оператором стиску у
просторi L2[a, b].
Оскiльки точний розв’язок задачi (1) – (3) можна зобразити в явному виглядi у
виключних випадках, виникає потреба побудови наближених розв’язкiв даної зада-
чi. Для цього можна використати iснуючi наближенi методи, зокрема проекцiйно-
iтеративнi.
3. Проекцiйно-iтеративний метод. Суть вказаного методу полягає в тому, що
для побудови наближених розв’язкiв використовуються iдеї як проекцiйних, так i
iтерацiйних методiв.
Нехай наближення (xk−1(t), λk−1) до шуканого розв’язку вже побудовано i
функцiя yk−1(t) також вiдома.
З певних мiркувань вибираємо номер n, задаємо (m × n)-матрицю Φ(t) та
(n × m)-матрицю Ψ(t) iз сумовними з квадратом елементами на вiдрiзку [a, b],
причому стовпцi матрицi Φ(t) i рядки матрицi Ψ(t) є лiнiйно незалежними.
Знаходимо функцiю
zk(t) = xk−1(t) + δk(t). (23)
Поправка δk(t) — це розв’язок задачi
(Aδk)(t) = C(t)βk + Φ(t)µk, U(δk) = 0, (24)
в якiй невiдомi вектори βk ∈ Rl та µk ∈ Rn визначаємо так, щоб справджувались
умови
b∫
a
S(t)δk(t)dt = 0, (25)
b∫
a
Ψ(t)(yk(t)− yk−1(t)− Φ(t)µk)dt = 0, (26)
де
yk(t) = f(t) + (Bzk)(t) + ε
b∫
a
H(t, s)F
(
s, zk(s), z′k(s), . . . , z(m−1)
k (s)
)
ds. (27)
Наступне наближення визначаємо iз задачi
(Axk)(t) = C(t)λk + yk(t), U(xk) = γ,
b∫
a
S(t)xk(t)dt = α. (28)
Початкове наближення (x0(t), λ0) знаходимо iз задачi (28) при k = 0 i заданiй
функцiї y0(t).
Припускаємо, що однорiдна задача (9) має лише тривiальний розв’язок. Згiдно
з лемою 1 [2] задача (24), (25) та задача (28) мають єдинi розв’язки
δk(t) =
b∫
a
G(t, s)Φ(s)µkds, (29)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
676 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
xk(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)yk(s)ds, (30)
λk = σ +
b∫
a
Γ(s)yk(s)ds. (31)
Нехай
Y (t) =
b∫
a
G(t, s)Φ(s)ds, (32)
тодi на основi формул (23), (32), (29), (27) та (26) отримаємо систему нелiнiйних
алгебраїчних рiвнянь для визначення параметра µk:
Λµk = dk + ε∆k, (33)
в якiй
Λ =
b∫
a
Ψ(t) (Φ(t)− Z(t)) dt, Z(t) = (BY )(t), (34)
dk =
b∫
a
Ψ(t) (vk(t)− yk−1(t)) dt, (35)
vk(t) = f(t) + (Bxk−1)(t) + ε
b∫
a
H(t, s)F
(
s, xk−1(s), . . . , x
(m−1)
k−1 (s)
)
ds, (36)
∆k =
b∫
a
Ψ(t)wk(t)dt, (37)
wk(t) =
b∫
a
H(t, s)
[
F
(
s, xk−1(s) + Y (s)µk, . . . ,
dm−1
dsm−1
(xk−1(s) + Y (s)µk)
)
−
−F
(
s, xk−1(s), . . . , x
(m−1)
k−1 (s)
)]
ds. (38)
Зауважимо, що у випадку, коли матриця Λ є невиродженою, при достатньо малому
ε система (33) має єдиний розв’язок.
Знайшовши розв’язок системи (33), точний чи наближений, i розв’язавши зада-
чу (28), отримаємо шукане наближення.
Для запобiгання певним обчислювальним труднощам при розв’язуваннi систе-
ми нелiнiйних алгебраїчних рiвнянь (33) пропонуємо застосувати до задачi (1) – (3)
модифiкований варiант проекцiйно-iтеративного методу.
4. Модифiкований проекцiйно-iтеративний метод. Суть цього методу поля-
гає в тому, що в описаному в п. 3 алгоритмi (23) – (28) функцiю yk(t) пропонуємо
шукати у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ . . . 677
yk(t) = f(t) + (Bzk)(t) + ε
b∫
a
H(t, s)F
(
s, xk−1(s), . . . , x
(m−1)
k−1 (s)
)
ds. (39)
У цьому випадку, врахувавши формули (37) – (39), для визначення параметра
µk ∈ Rn отримаємо систему лiнiйних алгебраїчних рiвнянь
Λµk = dk, (40)
в якiй матриця Λ та вектор dk визначаються за формулами (34) – (36).
Якщо матриця Λ системи (40) є невиродженою, то, очевидно, наближенi розв’яз-
ки будуються однозначно.
Алгоритм (23) – (26), (39), (28) щодо задачi (1) – (3) можна звести до алгоритму
модифiкованого проекцiйно-iтеративного методу щодо iнтегрального рiвняння (13).
Справдi, як було показано в п. 2, задача (1) – (3) рiвносильна iнтегральному
рiвнянню (13). Iз формул (23), (29), (30) випливає правильнiсть спiввiдношення
zk(t) = h(t) +
b∫
a
G(t, s)(yk−1(s) + Φ(s)µk)ds. (41)
Пiдставивши вираз (41) в формулу (39), врахувавши (30) i позначення (14), отри-
маємо
yk(t) = g(t) +
b∫
a
K(t, s)(yk−1(s) + Φ(s)µk)ds+
+ε
b∫
a
H(t, s)F (s, h(s) +
b∫
a
G(s, ξ)yk−1(ξ)dξ, . . .
. . . , h(m−1)(s) +
b∫
a
∂m−1
∂sm−1
G(s, ξ)yk−1(ξ)dξ)ds. (42)
Рiвностi (42), (26) — суть модифiкованого проекцiйно-iтеративного методу щодо
iнтегрального рiвняння (13).
Таким чином, встановлення умов збiжностi модифiкованого проекцiйно-iтера-
тивного методу (23) – (26), (39), (28) звелось до встановлення умов збiжностi ме-
тоду (42), (26) щодо iнтегрального рiвняння (13), умови збiжностi якого наведено,
зокрема, у статтi [4].
5. Iтерацiйний метод. Частинним випадком проекцiйно-iтеративного методу є
iтерацiйний метод, згiдно з яким наближенi розв’язки задачi (1) – (3) визначаються
iз задачi (28), в якiй
yk(t) = f(t) + (Bxk−1)(t) + ε
b∫
a
H(t, s)F
(
s, xk−1(s), . . . , x
(m−1)
k−1 (s)
)
ds. (43)
Як вiдомо [2], цей метод зводиться до методу послiдовних наближень для iн-
тегрального рiвняння (13), умови збiжностi i оцiнки похибки якого є вiдомими.
Використавши їх, можна встановити таке твердження.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
678 А. Ю. ЛУЧКА, О. Б. НЕСТЕРЕНКО
Теорема 2. Якщо допомiжна задача (6), (7) має єдиний розв’язок i в нерiвнос-
тi (21) виконується умова ρ < 1, де ρ має вигляд (22), то iснує єдиний розв’язок
(x∗ ∈ Wm
2 [a, b], λ∗ ∈ Rl) задачi (1) – (3) i послiдовнiсть {xk(t), λk, k ≥ 0}, по-
будована за iтерацiйним методом (28), (43), збiгається до цього розв’язку та
справджуються оцiнки ∥∥∥∥ di
dti
(x∗ − xk)
∥∥∥∥ ≤ νiρ
k‖y∗ − y0‖, (44)
∥∥∥∥ di
dti
(x∗ − xk)
∥∥∥∥ ≤ νiρ
1− ρ
‖yk − yk−1‖, (45)
∥∥∥∥ di
dti
(x∗ − xk)
∥∥∥∥ ≤ νiρ
k
1− ρ
‖y1 − y0‖, i = 0,m− 1, (46)
‖λ∗ − λk‖0 ≤ χ‖y∗ − yk‖, (47)
де ‖ · ‖0 — евклiдова норма вектора, y∗ ∈ L2[a, b] — розв’язок рiвняння (13) i
χ2 =
b∫
a
Γ∗(s)Γ(s)ds,
а Γ∗(s) — матриця, спряжена до Γ(s).
Справдi, iснування розв’язку y∗(t) рiвняння (13) i збiжнiсть послiдовностi (43)
до нього за умови ρ < 1 гарантує теорема Банаха. Оцiнки (44) – (47) безпосередньо
випливають iз вiдомих оцiнок методу послiдовних наближень для рiвняння (13) i
спiввiдношень
x∗(t)− xk(t) =
b∫
a
G(t, s)(y∗(s)− yk(s))ds,
λ∗ − λk =
b∫
a
Γ(s)(y∗(s)− yk(s))ds,
якi, в свою чергу, випливають iз формул (10), (11), (30) та (31), а також нерiвнос-
тей (18).
Аналогiчна теорема є правильною i для модифiкованого проекцiйно-iтеративно-
го методу щодо задачi (1) – (3). Вiдмiннiсть полягає лише в тому, що при її доведеннi
використовуються умови збiжностi та оцiнки похибки модифiкованого проекцiйно-
iтеративного методу для iнтегрального рiвняння (13), наведенi в [4].
Зауважимо, що iтерацiйний метод до задачi (1) – (3) доцiльно застосовувати у
випадку, коли величина ρ є досить малою. У випадку, коли ε — достатньо малий
параметр, а величина η є досить великою, зокрема, коли η > 1, доцiльно набли-
женi розв’язки будувати згiдно з модифiкованим проекцiйно-iтеративним методом,
оскiльки в цьому випадку вдалим вибором матриць Φ(t), Ψ(t) та їх розмiрностi
можна зробити величину η як завгодно малою. Так, як це встановлено в [4], пра-
вильним є твердження: якщо елементами матрицi Φ(t) є першi n функцiй повної в
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ СЛАБКОНЕЛIНIЙНИХ . . . 679
L2[a, b] системи {ϕi(t), 1 ≤ i ≤ ∞} i Ψ(t) = Φ∗(t), де Φ∗(t) — матриця, спряжена
до матрицi Φ(t), а одиниця не є власним значенням iнтегрального оператора, ядро
якого визначається формулою (14), то η → 0 при n → ∞. Отже, при достатньо
малому ε iснує такий номер n, що модифiкований проекцiйно-iтеративний метод є
збiжним.
1. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы в теории краевых задач обыкно-
венных дифференциальных уравнений. – Киев: Наук. думка, 1992. – 279 с.
2. Нестеренко О. Б. Iтерацiйний метод розв’язування iнтегро-диференцiальних рiвнянь з обмежен-
нями // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10, № 3. – С. 336 – 347.
3. Лучка А. Ю., Нестеренко О. Б. Побудова розв’язкiв iнтегро-диференцiальних рiвнянь з обмежен-
нями i керуванням проекцiйно-iтеративним методом // Там же. – 2009. – 12, № 1. – С. 83 – 91.
4. Лучка А. Ю. Интегральные уравнения с ограничениями и методы их решения // Кибернетика и
систем. анализ. – 1996. – № 3. – С. 82 – 96.
5. Лучка А. Ю. Проекционно-итеративные методы. – Киев: Наук. думка, 1993. – 288 с.
Одержано 16.02.09,
пiсля доопрацювання — 30.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-3049 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:17Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e2/0eb599b3f7ddf450a87b6f831b3cc6e2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30492020-03-18T19:44:07Z Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions Методи розв'язування крайових задач для слабко- нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями Luchka, A. Y. Nesterenko, O. B. Лучка, А. Ю. Нестеренко, О. Б. We establish conditions for the existence of solutions of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions. We also substantiate the applicability of iterative and projection-iterative methods for the solution of these problems. Установлены условия существования решений краевых задач для слабонелинейных интегро-дифферен-циальных уравнений с параметрами и ограничениями, а также обосновано применение к ним итерационных и проекционно-итеративных методов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3049 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 672-679 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 672-679 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3049/2847 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3049/2848 Copyright (c) 2009 Luchka A. Y.; Nesterenko O. B. |
| spellingShingle | Luchka, A. Y. Nesterenko, O. B. Лучка, А. Ю. Нестеренко, О. Б. Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| title | Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| title_alt | Методи розв'язування крайових задач для слабко-
нелінійних інтегро-диференціальних рівнянь з параметрами і обмеженнями |
| title_full | Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| title_fullStr | Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| title_full_unstemmed | Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| title_short | Methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| title_sort | methods for the solution of boundary-value problems for weakly nonlinear integro-differential equations with parameters and restrictions |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3049 |
| work_keys_str_mv | AT luchkaay methodsforthesolutionofboundaryvalueproblemsforweaklynonlinearintegrodifferentialequationswithparametersandrestrictions AT nesterenkoob methodsforthesolutionofboundaryvalueproblemsforweaklynonlinearintegrodifferentialequationswithparametersandrestrictions AT lučkaaû methodsforthesolutionofboundaryvalueproblemsforweaklynonlinearintegrodifferentialequationswithparametersandrestrictions AT nesterenkoob methodsforthesolutionofboundaryvalueproblemsforweaklynonlinearintegrodifferentialequationswithparametersandrestrictions AT luchkaay metodirozv039âzuvannâkrajovihzadačdlâslabkonelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzparametramiíobmežennâmi AT nesterenkoob metodirozv039âzuvannâkrajovihzadačdlâslabkonelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzparametramiíobmežennâmi AT lučkaaû metodirozv039âzuvannâkrajovihzadačdlâslabkonelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzparametramiíobmežennâmi AT nesterenkoob metodirozv039âzuvannâkrajovihzadačdlâslabkonelíníjnihíntegrodiferencíalʹnihrívnânʹzparametramiíobmežennâmi |