On one modulus inequality for mappings with finite length distortion
The Väisälä inequality, which is well known in the theory of quasilinear mappings, is extended to the class of mappings with finite length distortion.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3050 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509072687628288 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | The Väisälä inequality, which is well known in the theory of quasilinear mappings, is extended to the class of mappings with finite length distortion. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:17Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
E. A. Sevost\qnov
(Yn-t prykl. matematyky y mexanyky NAN Ukrayn¥, Doneck)
OB ODNOM MODUL|NOM NERAVENSTVE
DLQ OTOBRAÛENYJ S KONEÇNÁM YSKAÛENYEM
DLYNÁ
The Väisälä-type inequality, which is well known in the theory of quasiregular mappings, is extended to
the class of open discrete mappings with finite length distortion.
Vidomu z teori] kvazirehulqrnyx vidobraΩen\ nerivnist\ typu Vqjsqlq poßyreno na klas vidob-
raΩen\ zi skinçennym vykryvlennqm dovΩyny.
1. Vvedenye. OtobraΩenyq s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥ obrazugt odyn yz
naybolee ßyrokyx sovremenn¥x klassov otobraΩenyj, vklgçagwyx v sebq, v
çastnosty, otobraΩenyq s ohranyçenn¥m yskaΩenyem po Reßetnqku, kotor¥e v
fynskoj ßkole poluçyly nazvanye kvazyrehulqrn¥x otobraΩenyj yly kvazy-
konformn¥x otobraΩenyj s vetvlenyqmy (sokrawenno BD, sm. [1] y teore-
mu34.7 v [2]). O. Martyo y G. Vqjsqlq rassmatryvaly takΩe otobraΩenyq ohra-
nyçennoho yskaΩenyq dlyn¥ (sokrawenno BLD ), pry kotor¥x dlyn¥ vsex
sprqmlqem¥x kryv¥x yskaΩagtsq v ohranyçennoe çyslo raz (sm., naprymer, [3]).
Nedavno b¥ly vveden¥ otobraΩenyq s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥ (sokrawen-
no FLD ), pry kotor¥x poçty vse sprqmlqem¥e kryv¥e perexodqt v sprqmlqe-
m¥e kryv¥e s uslovyem absolgtnoj neperer¥vnosty otnosytel\no mer¥ dlyn¥.
∏tot klass b¥l predloΩen V. Rqzanov¥m v 2002 hodu y yssledovalsq ym sov-
mestno s O. Martyo, U. Srebro y ∏. Qkubov¥m (sm., naprymer, [2]). ∏to odyn yz
naybolee ßyrokyx yzvestn¥x n¥ne klassov otobraΩenyj, tesno svqzann¥j s
klassom otobraΩenyj koneçnoho yskaΩenyq (sokrawenno FD, sm., naprymer,
[4], a takΩe teoremu34.6, sledstvyq34.9 y 4.16 v [2] ).
OtobraΩenye f : D → Rn
naz¥vaetsq otobraΩenyem koneçnoho metryçes-
koho yskaΩenyq, esly f ymeet ( )N -svojstvo Luzyna y poçty vsgdu yskaΩaet
rasstoqnye meΩdu toçkamy v koneçnoe çyslo raz. Odyn yz kryteryev sostoyt v
tom, çto f dyfferencyruemo poçty vsgdu y ymeet ( )N - y ( )N −1 -svojstva (sm.
sledstvye33.14 v [2]). OtobraΩenye f : D → Rn
naz¥vaetsq otobraΩenyem s ko-
neçn¥m yskaΩenyem dlyn¥, esly f — otobraΩenye koneçnoho metryçeskoho
yskaΩenyq s ( )L -svojstvom, t. e., vo-perv¥x, obraz¥ poçty vsex kryv¥x γ v D
lokal\no sprqmlqem¥ y f na γ ymeet ( )N -svojstvo otnosytel\no mer¥ dlyn¥,
y, vo-vtor¥x, ( )N -svojstvo ymeet mesto y v obratnug storonu dlq podnqtyj
kryv¥x. Svqz\ meΩdu upomqnut¥my klassamy uslovno moΩno oboznaçyt\
sledugwymy vklgçenyqmy: BLD ⊂ BD ⊂ FLD .
Opyßem kratko postanovku zadaçy y cel\ yssledovanyj, kotor¥m posvqwena
dannaq stat\q. Dlq otobraΩenyq f : D → Rn
, ymegweho v D çastn¥e proyz-
vodn¥e poçty vsgdu, pust\ ′f x( ) — qkobyeva matryca otobraΩenyq f v toçke
x , J x f( , ) — qkobyan otobraΩenyq f v toçke x , t. e. determynant ′f x( ). V
dal\nejßem
l f x( )( )′ =
min
( )
\{ }h n
f x h
h∈
′
R 0
.
Napomnym, çto vnutrennqq dylatacyq otobraΩenyq f v toçke x est\ ve-
lyçyna
© E. A. SEVOST|QNOV, 2009
680 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
OB ODNOM MODUL|NOM NERAVENSTVE DLQ OTOBRAÛENYJ … 681
K x fI ( , ) =
J x f
l f x n
( , )
( )( )′
,
esly J x f( , ) ≠ 0, K x fI ( , ) = 1, esly ′f x( ) = 0, y K x fI ( , ) = ∞ v ostal\n¥x
toçkax. Analohyçno, vneßnqq dylatacyq otobraΩenyq f v toçke x est\ vely-
çyna
K x fO( , ) =
′f x
J x f
n( )
( , )
,
esly J x f( , ) ≠ 0, K x fO( , ) = 1, esly ′f x( ) = 0, y K x fO( , ) = ∞ v ostal\n¥x
toçkax.
Otmetym, çto otobraΩenyq koneçnoho metryçeskoho yskaΩenyq, a sledova-
tel\no, y otobraΩenyq s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥, dyfferencyruem¥ poç-
ty vsgdu, bolee toho, J x f( , ) ≠ 0 poçty vsgdu (sm. predloΩenye33.7 v [2]).
Napomnym, çto boreleva funkcyq ρ : Rn → [ 0, ∞ ] naz¥vaetsq dopustymoj
dlq semejstva Γ kryv¥x γ v Rn , esly ρ
γ
( )x ds∫ ≥ 1 dlq vsex putej γ ∈Γ . V
πtom sluçae pyßem ρ ∈ adm Γ . Modulem semejstva kryv¥x Γ naz¥vaetsq vely-
çyna
M( )Γ = inf ( ) ( )
ρ
ρ
∈ ∫
admΓ
D
n x dm x .
Sohlasno teoreme36.10 v [2], ymeet mesto sledugwaq lemma.
Lemma%1. Pust\ f : D → Rn
— otobraΩenye s koneçn¥m yskaΩenyem dly-
n¥. Tohda
M f( )Γ ≤
D
I
nK x f x dm x∫ ( , ) ( ) ( )ρ (1)
dlq lgboho semejstva Γ putej γ v D y dlq kaΩdoj ρ ∈ adm Γ .
Naßa cel\ — obobwyt\ neravenstvo (1) dlq otobraΩenyj s koneçn¥m yska-
Ωenyem dlyn¥ v svete yzvestnoho neravenstva Vqjsqlq, kotoroe b¥lo ustanov-
leno ranee dlq kvazyrehulqrn¥x otobraΩenyj (sm., naprymer, § 9 hl.3II v [5]). A
ymenno, v pravug çast\ neravenstva (1) moΩet b¥t\ vveden nekotor¥j mnoΩy-
tel\ men\ße31. Ponqtno, çto takye neravenstva qvlqgtsq znaçytel\no bolee
soderΩatel\n¥my, çem (1), tak kak pozvolqgt bolee toçno ocenyt\ emkost\
kondensatora pry otobraΩenyy (sm. poslednyj punkt stat\y). Krome toho, ne-
ravenstva typa (1) yhragt znaçytel\nug rol\ pry reßenyy zadaç o styranyy
osobennostej (sm. razdel32 hl. III v [5]). V rabote rassmatryvagtsq otobraΩe-
nyq s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥; otmetym, çto v [6] poluçen¥ analohyçn¥e
ocenky dlq klassov otobraΩenyj koneçnoho yskaΩenyq. Neprer¥vnoe otobra-
Ωenye f : D → Rn
naz¥vaetsq otobraΩenyem s koneçn¥m yskaΩenyem, esly
f W Dn∈ loc
,1 ( ) y poçty vsgdu
′f x n( ) ≤ K x J x f( ) ( , )
dlq nekotoroj funkcyy K ( x ) : D → [ 1, ∞ ) (sm., naprymer, [4]). Uslovyq, pry
kotor¥x poluçen¥ osnovn¥e rezul\tat¥ rabot¥ [6], qvlqgtsq dostatoçno
Ωestkymy, tak kak trebugt, v çastnosty, yntehryruemosty vnutrennej dylata-
cyy otobraΩenyq, a takΩe dostatoçno syl\noj summyruemosty proyzvodnoj.
Yz upomqnut¥x v¥ße uslovyj sleduet prynadleΩnost\ f k W n
loc
,1 , bolee toho,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
682 E. A. SEVOST|QNOV
avtor¥ predpolahagt, çto mera mnoΩestva Bf toçek vetvlenyq otobraΩenyq f
ravna nulg. Sohlasno zameçanyg34.10 v [2], otkr¥t¥e dyskretn¥e otobraΩenyq
s koneçn¥m yskaΩenyem, dlq kotor¥x K x W n( ) ∈ −
loc
1
y mera mnoΩestva toçek
vetvlenyq kotor¥x ravna nulg, vsehda prynadleΩat klassu otobraΩenyj s
koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥. Uslovyq, pry kotor¥x dokazan¥ rezul\tat¥
πtoj rabot¥, ne vklgçagt v sebq nykakyx apryorn¥x predpoloΩenyj otnosy-
tel\no dylatacyy K x fI ( , ), v çastnosty ne trebugt lokal\noj summyruemosty
KI . Bolee toho, m¥ ne predpolahaem, çto f W n∈ loc
,1 . V to Ωe vremq, kak b¥lo
otmeçeno v¥ße, rezul\tat¥ formulyrugtsq y dokaz¥vagtsq dlq bolee ßyro-
koho klassa otobraΩenyj (sm. zameçanye34.10 v [2]).
2. Opredelenyq y predvarytel\n¥e zameçanyq. Pryvedem nekotor¥e op-
redelenyq. Vsgdu dalee D — oblast\ v Rn , n ≥ 2. OtobraΩenye f : D → Rn
naz¥vaetsq dyskretn¥m, esly proobraz f y−1( ) kaΩdoj toçky y ∈ Rn
sostoyt
yz yzolyrovann¥x toçek, y otkr¥t¥m, esly obraz lgboho otkr¥toho mnoΩest-
va U ⊆ D qvlqetsq otkr¥t¥m mnoΩestvom v Rn . Vezde dalee zapys\ f : D →
→ Rn
predpolahaet, çto otobraΩenye f neprer¥vno v oblasty zadanyq. Za-
pys\ G � D oznaçaet, çto G — kompaktnoe podmnoΩestvo oblasty D. Hovo-
rqt, çto otobraΩenye f soxranqet oryentacyg, esly topolohyçeskyj yndeks
µ( , , )y f G > 0 dlq proyzvol\noj oblasty G � D y proyzvol\noho y ∈
∈ f G f G( ) ( )\ ∂ (sm., naprymer, [1]). Vezde nyΩe m¥ podrazumevaem, çto otobra-
Ωenye f soxranqet oryentacyg, esly ne ohovoreno protyvnoe. Pust\ f : D →
→ Rn
— proyzvol\noe otobraΩenye y suwestvuet oblast\ G � D takaq, çto
G f f x∩ −1( ( )) = { x }
. Tohda velyçyna µ( ( ), , )f x f G naz¥vaemaq lokal\n¥m
topolohyçeskym yndeksom, ne zavysyt ot v¥bora oblasty G y oboznaçaetsq
symvolom i x f( , ). V dal\nejßem B x r( , )0 = x x x rn∈ − <{ }R : 0 . Dlq otob-
raΩenyq f : D → Rn , mnoΩestva E ⊂ D y y ∈ Rn
opredelym funkcyg krat-
nosty N y f E( , , ) kak çyslo proobrazov toçky y vo mnoΩestve E , t. e.
N y f E( , , ) = card x E f x y∈ ={ }: ( ) , N f E( , ) =
sup ( , , )
y n
N y f E
∈R
.
Oblast\ G � D naz¥vaetsq normal\noj, esly ∂ f G ⊂ f ( ∂ G ) . Dlq normal\-
n¥x oblastej G velyçyna µ( , , )y f G ne zavysyt ot y y oboznaçaetsq µ( , )f G .
Pust\ f : D → Rn
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye, tohda µ( , )f G =
= N f G( , ) dlq lgboj normal\noj oblasty G � D (sm. predloΩenye34.10 hl. I
v [5]).
Pust\ x ∈ E ⊂ Rn , ϕ : E → Rn . PoloΩym
L x( , )ϕ = lim sup
( ) ( )
,y x y E
x y
y x→ ∈
−
−
ϕ ϕ
,
l x( , )ϕ = lim inf
( ) ( )
,y x y E
x y
y x→ ∈
−
−
ϕ ϕ
.
Neprer¥vnoe otobraΩenye f : D → Rn
naz¥vaetsq otobraΩenyem s koneçn¥m
metryçeskym yskaΩenyem ( pyßut f ∈ FMD ), esly f ymeet ( )N -svojstvo Lu-
zyna y dlq poçty vsex x ∈ D
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
OB ODNOM MODUL|NOM NERAVENSTVE DLQ OTOBRAÛENYJ … 683
0 < l x f( , ) ≤ L x f( , ) < ∞ .
Hovorqt, çto otobraΩenye f : X → Y meΩdu prostranstvamy s meroj ( , , )X Σ µ
y ( ), ,′ ′ ′X Σ µ ymeet ( )N -svojstvo, esly ′µ ( ( ))f S = 0 kak tol\ko µ( )S = 0.
Analohyçno, f ymeet ( )N −1 -svojstvo, esly µ( )S = 0 kak tol\ko ′µ ( ( ))f S = 0.
Pust\ ∆ ⊆ R — otkr¥t¥j ynterval çyslovoj prqmoj, γ : ∆ → Rn
— lokal\-
naq sprqmlqemaq kryvaq. Tohda suwestvuet edynstvennaq neub¥vagwaq funk-
cyq dlyn¥ lγ : ∆ → ∆γ ⊆ R s uslovyem l tγ ( )0 = 0, t0 ∈∆ , takaq, çto l tγ ( )
ravno dlyne podkryvoj γ [ , ]t t0
kryvoj γ , esly t t> 0 , y – l t t( )[ , ]γ
0
, esly
t t< 0 , t ∈∆ . Pust\ g
n: γ → R — neprer¥vnoe otobraΩenye, hde γ =
= γ ( )∆ ⊆ Rn . PredpoloΩym, çto kryvaq γ̃ = g � γ takΩe lokal\no sprqm-
lqema. Tohda suwestvuet edynstvennaq neub¥vagwaq funkcyq L gγ γ γ, ˜: ∆ ∆→
takaq, çto L l tgγ γ, ( ( )) = l t˜ ( )γ ∀ ∈t ∆ . Hovorqt, çto otobraΩenye f : D → Rn
ymeet ( )L -svojstvo, esly v¥polnen¥ sledugwye uslovyq: ( )L1 dlq poçty
vsex kryv¥x γ ∈D kryvaq γ̃ = f � γ lokal\na sprqmlqema y funkcyq L fγ ,
ymeet ( )N -svojstvo; ( )L2 dlq poçty vsex kryv¥x ˜ ( )γ ∈ f D kaΩdoe (polnoe)
podnqtye γ kryvoj γ̃ lokal\no sprqmlqemo y funkcyq L fγ , ymeet ( )N −1 -
svojstvo. Kryvaq γ ∈D naz¥vaetsq poln¥m podnqtyem kryvoj γ̃ ∈Rn
pry
otobraΩenyy f : D → Rn
, esly γ̃ = f � γ ; hovorqt, çto nekotoroe svojstvo
v¥polneno dlq poçty vsex kryv¥x oblasty D, esly ono ymeet mesto dlq vsex
kryv¥x, leΩawyx v D, krome, moΩet b¥t\, nekotoroho yx podsemejstva, mo-
dul\ kotoroho raven nulg. Hovorqt, çto otobraΩenye f : D → Rn , n ≥ 2, qv-
lqetsq otobraΩenyem s koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥ (pyßut f ∈ FLD ), esly
f3∈ FMD y ymeet ( )L -svojstvo.
Napomnym, çto otobraΩenye ϕ : X → Y meΩdu metryçeskymy prostranstva-
my X y Y naz¥vaetsq lypßycev¥m, esly
dist ( )( ), ( )ϕ ϕx x1 2 ≤ M x xdist ( , )1 2
dlq nekotoroj postoqnnoj M < ∞ y vsex x1, x2 ∈ X . Hovorqt, çto otobraΩe-
nye ϕ : X → Y bylypßycevo, esly, ono, vo-perv¥x, lypßycevo, a vo-vtor¥x,
M x x* ( , )dist 1 2 ≤ dist ( )( ), ( )ϕ ϕx x1 2
dlq nekotoroj postoqnnoj M∗ > 0 y vsex x1, x2 ∈ X .
Sledugwyj rezul\tat poluçen v rabote [2] (sm. lemmu33.20).
Lemma%2. Pust\ f : D → Rn
— otobraΩenye s koneçn¥m metryçeskym ys-
kaΩenyem. Tohda suwestvuet sçetnaq posledovatel\nost\ kompaktn¥x mno-
Ωestv C Dk
∗ ⊂ takaq, çto B = 0, hde B = D Ckk\ ∗
=
∞
1∪ y f Ck
∗ vzaymno
odnoznaçno y bylypßycevo dlq kaΩdoho k = 1, 2, … . Bolee toho, f dyfferen-
cyruemo dlq vsex x Ck∈ ∗
y J x f( , ) ≠ 0.
Napomnym, çto otobraΩenye f : D → Rn
naz¥vaetsq absolgtno neprer¥v-
n¥m na lynyqx (pyßut f ∈ ACL ), esly v lgbom n -mernom parallelepypede P s
rebramy, parallel\n¥my osqm koordynat, y takom, çto P D⊂ , vse koordynat-
n¥e funkcyy f = ( f1 , … , fn ) absolgtno neprer¥vn¥ na poçty vsex prqm¥x, pa-
rallel\n¥x osqm koordynat. Sleduq [5], kondensatorom v Rn
, n ≥ 2, naz¥-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
684 E. A. SEVOST|QNOV
vaem paru E = ( A , C ) , hde A — otkr¥toe mnoΩestvo v Rn
, a C — kompaktnoe
podmnoΩestvo A . Emkost\g kondensatora E naz¥vaetsq velyçyna
cap E = cap ( A , C ) = inf ( )
( )u W E
A
nu dm x
∈ ∫ ∇
0
, (2)
hde W E0( ) = W A C0( , ) — semejstvo neotrycatel\n¥x neprer¥vn¥x funkcyj u :
A → R s kompaktn¥m nosytelem v A takyx, çto u x( ) ≥ 1 pry x ∈ C y u ∈
∈ ACL . V formule (2), kak ob¥çno, ∇u = ( )
/
∂ii
n
u 2
1
1 2
=∑( ) .
Sledugwye opredelenyq vzqt¥ yz [5], hl.3II, p.33. Pust\ f : D → Rn
, n ≥ 2,
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye, β : [ a, b ) → Rn
— nekotoraq kryvaq y
x f a∈ −1( ( ))β . Kryvaq α : [ a, c ) → D naz¥vaetsq maksymal\n¥m podnqtyem
kryvoj β pry otobraΩenyy f s naçalom v toçke x , esly 1) α ( a ) = x ; 2) f � α =
= β [ , )a c ; 3) esly c < c′ ≤ b, to ne suwestvuet kryvoj α′ : [ a, c′ ) → D takoj,
çto α = ′α [ , )a c y f � α = β [ , )a c′ . Pust\ f — otkr¥toe dyskretnoe otobraΩe-
nye y x ∈ f a−1( ( ))β . Tohda kryvaq β ymeet maksymal\noe podnqtye pry oto-
braΩenyy f s naçalom v toçke x (sm. sledstvye33.3 hl.3II v [5]). Nam ponado-
bytsq sledugwee utverΩdenye (sm. predloΩenye310.2 hl.3II v [5]).
Lemma%3. Pust\ E = ( A , C ) — proyzvol\n¥j kondensator v Rn
y ΓE —
semejstvo vsex kryv¥x vyda γ : [ a, b ) → A s γ ( a ) ∈ C y γ ∩ ( \ )A F ≠ ∅
dlq proyzvol\noho kompakta F A⊂ . Tohda cap E = M E( )Γ .
Pust\ x1 , … , xk — razlyçn¥e toçky mnoΩestva f a−1( ( ))β y
m = i x fi
i
k
( , )
=
∑
1
.
Hovorqt, çto posledovatel\nost\ kryv¥x α1 , … , αm est\ maksymal\naq po-
sledovatel\nost\ podnqtyj kryvoj β pry otobraΩenyy f s naçalom v toç-
kax x1 , … , xk
, esly:
a) kaΩdaq kryvaq αj est\ maksymal\noe podnqtye kryvoj β pry otobraΩe-
nyy f,
b) card { }: ( )j a a xj i= = i x fi( , ) , 1 ≤ i ≤ k ,
v) card { }: ( )j a t xj = ≤ i x f( , ) dlq vsex x ∈ D pry vsex t .
Pust\ f — otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye y x1 , … , xk ∈ f a−1( ( ))β . Tohda
kryvaq β ymeet maksymal\nug posledovatel\nost\ podnqtyj pry otobraΩenyy
f s naçalom v toçkax x1 , … , xk (sm. teoremu33.2 hl.3II v [5]).
Sohlasno sledstvyg33.4 hl.3II v [5], spravedlyvo sledugwee utverΩdenye.
Lemma%4. Pust\ f : G → Rn
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye, G —
normal\naq oblast\ otobraΩenyq f, m = N f G( , ), β : [ a, b ) → f G — neko-
toraq kryvaq. Tohda suwestvugt kryv¥e α j : [ a, b ) → G, 1 ≤ j ≤ m , ymeg-
wye sledugwye svojstva:
1) f j� α = β,
2) card { }: ( )j a t xj = = i x f( , ) dlq vsex x ∈ G f t∩ −1β( ),
3) α α1 ∪ ∪… m = G f∩ −1 β .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
OB ODNOM MODUL|NOM NERAVENSTVE DLQ OTOBRAÛENYJ … 685
Pust\ E — mnoΩestvo v Rn
y γ : ∆ → Rn
— nekotoraq kryvaq. Obozna-
çym γ ∩ E = γ ( )∆ ∩ E . Pust\ γ lokal\no sprqmlqema. Tohda
l E( )γ ∩ = Eγ ,
hde
Eγ = l Eγ γ( )( )−1 .
V¥ße A oboznaçaet dlynu mnoΩestva A ⊂ R , a funkcyq lγ : ∆ → ∆γ opre-
delena v p.32 dannoj stat\y. Zametym, çto
Eγ = γ 0
1− ( )E ,
hde γ0 : ∆γ → Rn
— natural\naq parametryzacyq kryvoj γ , y
l E( )γ ∩ = χ γE t ds( )( )
∆
∫ = χ
γ
γ
E s ds( )
∆
∫ .
3. Analoh neravenstva Vqjsqlq. Pust\ α , β — kryv¥e v Rn , tohda za-
pys\ α ⊂ β oznaçaet, çto α qvlqetsq podkryvoj kryvoj β . Hovorym, çto
semejstvo kryv¥x Γ1 mynoryruetsq semejstvom Γ2 (pyßem Γ1 > Γ2
), esly
dlq kaΩdoj kryvoj γ ∈ Γ1 suwestvuet podkryvaq, kotoraq prynadleΩyt se-
mejstvu Γ2
. Pust\ Γ1
, Γ2 — proyzvol\n¥e semejstva kryv¥x s Γ1 > Γ2
. Tohda
M ( Γ1 ) ≤ M ( Γ2 ) (sm. teoremu36.4 v [7]).
Teorema%1. Pust\ f : D → Rn
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye s
koneçn¥m yskaΩenyem dlyn¥, Γ — semejstvo kryv¥x v D , Γ′ — semejstvo
kryv¥x v Rn
y m — natural\noe çyslo takoe, çto v¥polneno sledugwee us-
lovye. Dlq kaΩdoj kryvoj β ∈ Γ′ najdutsq kryv¥e α 1 , … , αm semejstva Γ
takye, çto f j� α ⊂ β dlq vsex j y ravenstvo α j t( ) = x ymeet mesto pry
vsex x ∈ G , vsex t y ne bolee çem i x f( , ) indeksax j . Tohda
M ( Γ′ ) ≤
1
m
K x f x dm xI
n
D
( , ) ( ) ( )ρ∫
dlq lgboho semejstva Γ putej γ v D y dlq kaΩdoj ρ ∈adm Γ .
Dokazatel\stvo. Pust\ mnoΩestva B y Ck
∗
takye, kak v lemme32, y Bf —
mnoΩestvo toçek vetvlenyq otobraΩenyq f v D. Otmetym, çto Bf = 0
(sm.3predloΩenye33.16 v [2]). Polahaq B0 = B ∪ B f , B 1 = C Bf1
∗ \ , B 2 =
= C B Bf2 1
∗ \ ( )∪ , … ,
Bk = C B Bk l f
l
k
∗
=
−
\ ∪∪
1
1
,
poluçaem sçetnoe pokr¥tye oblasty D borelevskymy mnoΩestvamy Bk , k = 1,
2, … , pryçem B0 = 0. Poskol\ku otobraΩenye f ymeet ( )N -svojstvo,
f B( )0 = 0. Po lemme32.13 v [2] l f B( )( )γ ∩ 0 = 0 dlq poçty vsex kryv¥x γ v
oblasty f D( ). Sledovatel\no, sohlasno ( )L -svojstvu takΩe
l B( )γ ∩ 0 = 0 (3)
dlq poçty vsex kryv¥x γ v f D( ) y vsex γ takyx, çto f � γ = γ . Dalee poka-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
686 E. A. SEVOST|QNOV
Ωem spravedlyvost\ sootnoßenyq (3) dlq poçty vsex γ̃ ∈ ′Γ y vsex γ takyx,
çto f � γ ⊂ γ̃ .
PredpoloΩym protyvnoe. Pust\ Γ1 — semejstvo vsex kryv¥x ′ ∈ ′γ Γ , dlq
kotor¥x
l B( )γ ∩ 0 > 0, (4)
takyx, çto f � γ ⊂ ′γ dlq nekotoroj kryvoj γ . Po predpoloΩenyg M ( Γ1 ) >
> 0. Pust\ Γ2 — semejstvo vsex podkryv¥x ′′γ semejstva Γ1
, ymegwyx pol-
noe podnqtye γ , takoe, çto v¥polneno svojstvo (4). Zametym, çto Γ2 < Γ1
,
sledovatel\no, M ( Γ2 ) ≥ M ( Γ1 ) > 0. Poluçennoe protyvoreçye oproverhaet
sdelannoe predpoloΩenye.
Pust\ ρ ∈adm Γ . PoloΩym
ρ∗( )x =
ρ( ) ( ) , ,
, .
/ ( ) \x l f x x D B
x B
′ ∈
∈
0
00
Rassmotrym funkcyg
˜ ( )ρ y =
1
0m
y xf D B
C x C
χ ρ( \ )( ) sup ( )∗
∈
∑ ,
hde C probehaet vse podmnoΩestva f y−1( ) v D B\ 0 mownosty ne bol\ße m .
Zametym, çto
˜ ( )ρ y =
1
1m
yk
i
s
i
sup ( )ρ
=
∑ , (5)
hde toçnaq verxnqq hran\ beretsq po vsem vozmoΩn¥m naboram { }, ,k ki is1
… ta-
kym, çto ki ∈N , k ki j≠ pry i j≠ , y vsem s ≤ m, a
ρk y( ) =
ρ∗ − ∈
∉
( )( ) , ( ),
, ( ).
f y y f B
y f B
k k
k
1
0
Zdes\ fk = f Bk
, k = 1, 2, … , ynæektyvno. Yz (5) sleduet, çto funkcyq ˜ ( )ρ y
borelevskaq, tak kak mnoΩestva f Bk( ) borelevskye (sm. razdel32.3.2 v [8]).
Pust\ β — proyzvol\naq kryvaq semejstva Γ′. Po uslovyg najdutsq kryv¥e
α1 , … , αm semejstva Γ takye, çto f j� α ⊂ β dlq vsex j y ravenstvo α j t( ) =
= x ymeet mesto pry vsex x ∈ G, vsex t y ne bolee çem pry i x f( , ) yndeksax j .
Poslednee uslovye oznaçaet, çto na Bk kryv¥e αj ne peresekagtsq, poskol\ku
v kaΩdoj toçke Bk otobraΩenye f qvlqetsq lokal\n¥m homeomorfyzmom y,
znaçyt, i x f( , ) = 1. Sohlasno rezul\tatam razdela33.2.5 dlq m = 1 v [8], na
kaΩdom Bk po addytyvnosty yntehrala budem ymet\
β
ρ∫ ˜ ds ≥
j
m
f j
ds
=
∑ ∫
1 �α
ρ̃ =
j
m
k f f Bj k
ds
= =
∞
∑ ∑ ∫
1 1 ( ) ( )
˜
� ∩α
ρ ≥
≥
1
1 1m
x ds
j
m
k Bj k= =
∞
∑ ∑ ∫
α
ρ
∩
( ) =
1
1m
x ds
j
m
j=
∑ ∫
α
ρ( ) ≥
1
m
m = 1
dlq poçty vsex kryv¥x β ∈ Γ ′ . Sledovatel\no, funkcyq ˜ \ρ ∈ ′adm Γ Γ0, hde
M( )Γ0 = 0 y potomu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
OB ODNOM MODUL|NOM NERAVENSTVE DLQ OTOBRAÛENYJ … 687
M( )′Γ ≤ ˜ ( ) ( )
( )
ρn
f D
y dm y∫ . (6)
Sohlasno rezul\tatam razdela32.3.5 dlq m = n v [8], ymeem
K x f x dm xI
n
Bk
( , ) ( ) ( )ρ∫ = ρk
n
f D
y dm y( ) ( )
( )
∫ . (7)
Otmetym takΩe, çto po neravenstvu Hel\dera dlq summ
1
1m
yk
i
s n
i
ρ ( )
=
∑
≤
1
1m
y
k
n
i
s
i
ρ ( )
=
∑ (8)
dlq proyzvol\noho 1 ≤ s ≤ m y proyzvol\noho nabora { k1 , … , ks } dlyn¥ s,
ki ∈ N , ki ≠ kj
, esly i ≠ j
.
Sledovatel\no, po teoreme Lebeha yz (6) – (8) poluçaem
1
m
K x f x dm xI
n
D
( , ) ( ) ( )ρ∫ =
1
1m
y dm yk
n
kf D
ρ ( ) ( )
( ) =
∞
∑∫ ≥
≥
1
1 1m
y dm y
k k k
k k i j
k
n
i
s
f D s i
i j
i
sup ( ) ( )
{ , , }, ,
,
( ) … ∈
≠ ≠
=
∑∫
N
ρ ≥ ˜ ( ) ( )
( )
ρn
f D
y dm y∫ ≥ M( )′Γ .
Teorema dokazana.
4. PryloΩenyq. Dlq dannoho semejstva Γ kryv¥x v Rn
oboznaçym
MK fI ( , )( )⋅ Γ = inf ( ) ( , ) ( )
ρ
ρ
∈ ∫
admΓ
Rn
n
Ix K x f dm x .
Pust\ E = ( A , C ) — proyzvol\n¥j kondensator y ω — neotrycatel\naq yzme-
rymaq funkcyq. Tohda vesovaq ω -emkost\ kondensatora E opredelqetsq sle-
dugwym obrazom:
capω E = capω ( , )A C = inf ( ) ( ) ( )∇∫ u x x dm xn
A
ω , (9)
hde toçnaq nyΩnqq hran\ beretsq po vsem funkcyqm u C A∈ ∞
0 ( ) s u ≥ 1 na C.
Zametym, çto esly ω ≡ 1, to capω E sovpadaet s cap E v sm¥sle opredelenyq,
dannoho sootnoßenyem (2).
Sledugwye utverΩdenyq obobwagt yzvestn¥e modul\n¥e y emkostn¥e ne-
ravenstva dlq kvazyrehulqrn¥x otobraΩenyj (sm. razdel¥39 y 10 v [5]).
Teorema%2. Pust\ f : D → Rn
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye s ko-
neçn¥m yskaΩenyem dlyn¥, G — normal\naq oblast\ f, ′Γ — semejstvo
kryv¥x v ′G = f G( ) y Γ — semejstvo α kryv¥x v G takyx, çto
f � α ⊂ ′Γ . Tohda
M( )′Γ ≤
1
N f G
K x f x dm xI
n
D
( , )
( , ) ( ) ( )ρ∫
dlq kaΩdoj ρ ∈ adm Γ . V çastnosty,
M( )′Γ ≤
1
N f G
MK fI( , )
( )( , )⋅ Γ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
688 E. A. SEVOST|QNOV
Dokazatel\stvo neposredstvenno sleduet yz teorem¥31 y lemm¥34.
Pust\ f : D → Rn
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye y E = ( A , C ) —
kondensator v D. Nazovem velyçynu
M ( f , C ) =
inf ( , )
( )
( )
y f C
x f y C
i x f
∈ ∈ −
∑
1 ∩
mynymal\noj kratnost\g otobraΩenyq f v C.
Teorema%3. Pust\ f : D → Rn
— otkr¥toe dyskretnoe otobraΩenye s ko-
neçn¥m yskaΩenyem dlyn¥, E = ( A , C ) — kondensator v D. Tohda
cap f E ≤
1
M f C
EK fI( , ) ( , )cap ⋅ . (10)
Dokazatel\stvo. Pust\ E = ( A , C ) — kondensator v D, tohda f E = ( f A ,
f C ) qvlqetsq kondensatorom v f D( ). Pust\ ΓE y Γ f E — semejstva kryv¥x v
sm¥sle oboznaçenyj lemm¥33. PoloΩym m = M ( f , C ) . Pust\ β : [ a, b ) → f ( A )
— proyzvol\naq kryvaq semejstva Γ f E . Tohda C f a∩ −1( ( ))β soderΩyt toçky
x1 , … , xk takye, çto
′m = i x fl
l
k
( , )
=
∑
1
≥ m .
Sohlasno teoreme33.2 hl.3II v [5], suwestvuet maksymal\naq posledovatel\nost\
podnqtyj αj : [ a, cj ) → D kryvoj β, 1 ≤ j ≤ m ′ , pry otobraΩenyy f s naça-
lom v toçkax x1 , … , xk
. Tohda kaΩdaq kryvaq α j prynadleΩyt semejstvu ΓE .
Otsgda sleduet, çto semejstva Γ = ΓE y ′Γ = Γ f E udovletvorqgt uslovyqm
teorem¥31. Sledovatel\no, po lemme33
cap f E ≤
1
M f C
MK f EI( , )
( )( , )⋅ Γ .
Okonçatel\no, (10) sleduet yz sootnoßenyq
MK f EI ( , )( )⋅ Γ ≤ capK fI
E( , )⋅ ,
poskol\ku funkcyq ρ( )x = ∇u x( ) qvlqetsq dopustymoj dlq ΓE pry kaΩ-
dom znaçenyy u, soderΩawemsq v opredelenyy capK fI
E( , )⋅ .
1. Reßetnqk G. H. Prostranstvenn¥e otobraΩenyq s ohranyçenn¥m yskaΩenyem. – Novosy-
byrsk: Nauka, 1982.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. Anal.
Math. – 2004. – 93. – P. 215 – 236.
3. Martio O., Väisälä J. Elliptic equations and maps of bounded length distortion // Math. Ann. –
1988. – 282. – P. 423 – 443.
4. Iwaniec T., Martin G. Geometrical function theory and non-linear analysis. – Oxford: Clarendon
Press, 2001.
5. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, # 3.
6. Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: capacity and modulus inequalities // J. reine
und angew. Math. – 2006. – 599. – S. 1 – 26.
7. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – 1971. –
229.
8. Federer H. Heometryçeskaq teoryq mer¥. – M.: Nauka, 1987.
Poluçeno 21.07.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3050 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:17Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ba/a2261d1403d437f8799d5641a3739fba.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30502020-03-18T19:44:07Z On one modulus inequality for mappings with finite length distortion Об одном модульном неравенстве для отображений с конечным искажением длины Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. The Väisälä inequality, which is well known in the theory of quasilinear mappings, is extended to the class of mappings with finite length distortion. Відому з теорії квазірегулярних відображень нерівність типу Вяйсяля поширено на клас відображень зі скінченним викривленням довжини. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3050 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 680-688 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 680-688 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3050/2849 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3050/2850 Copyright (c) 2009 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. On one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| title | On one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| title_alt | Об одном модульном неравенстве для отображений с конечным искажением длины |
| title_full | On one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| title_fullStr | On one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| title_full_unstemmed | On one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| title_short | On one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| title_sort | on one modulus inequality for mappings with finite length distortion |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3050 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea ononemodulusinequalityformappingswithfinitelengthdistortion AT sevostʹânovea ononemodulusinequalityformappingswithfinitelengthdistortion AT sevostʹânovea ononemodulusinequalityformappingswithfinitelengthdistortion AT sevost039yanovea obodnommodulʹnomneravenstvedlâotobraženijskonečnymiskaženiemdliny AT sevostʹânovea obodnommodulʹnomneravenstvedlâotobraženijskonečnymiskaženiemdliny AT sevostʹânovea obodnommodulʹnomneravenstvedlâotobraženijskonečnymiskaženiemdliny |