Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials
For a Gibbs system of one-dimensional quantum oscillators on a d-dimensional hypercubic lattice interacting via superstable pair and many-particle potentials of finite range, we prove the existence of a solution of the (lattice) Kirkwood–Salsburg equation for correlation functions depending on the W...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3051 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509075535560704 |
|---|---|
| author | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_facet | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. |
| author_sort | Skrypnik, W. I. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | For a Gibbs system of one-dimensional quantum oscillators on a d-dimensional hypercubic lattice interacting via superstable pair and many-particle potentials of finite range, we prove the existence of a solution of the (lattice) Kirkwood–Salsburg equation for correlation functions depending on the Wiener paths. Some many-particle potentials may be nonpositive. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
В. I. Скрипник (Iн-т математики НАН України, Київ)
РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА
ДЛЯ ҐРАТКОВОЇ КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ ОСЦИЛЯТОРIВ
З БАГАТОЧАСТИНКОВИМИ ПОТЕНЦIАЛАМИ ВЗАЄМОДIЇ
For a Gibbsian system of quantum one-dimensional oscillators on the d-dimensional hyper-cubic lattice,
interacting via superstable pair and manybody finite-range potentials, the existence of a solution of the (lattice)
Kirkwood – Salsburg equation for correlation functions, depending on Wiener paths, is proved. Some of the
manybody potentials may be nonpositive.
Для гиббсовской системы квантовых одномерных осцилляторов на d-мерной гиперкубической решетке,
взаимодействующих благодаря суперустойчивому четному и многочастичным потенциалам финитного
действия, доказано существование решения (решеточного) уравнения Кирквуда – Зальцбурга для корре-
ляционных функций, зависящих от винеровских траекторий. Некоторые многочастичные потенциалы
могут быть неположительными.
1. Вступ. Будемо розглядати у термiнах великого канонiчного ансамблю рiвноваж-
ну (гiббсiвську) систему квантових одновимiрних осциляторiв, координати яких
qx ∈ R iндексуються вузлами ґратки Zd з гамiльтонiаном
HΛ = −1
2
∑
x∈Λ
∂2
x + Uc(qΛ), ∂x =
∂
∂qx
,
та потенцiальною енергiєю
Uc(qΛ) =
∑
x∈Λ
u(qx) + U(qΛ),
U(qΛ) =
∑
S⊆Λ
u0;S(qS) +
∑
x∈Λ
( ∑
Z⊆Λ\x
u′x;Z(qx, qZ)
)2
= U0(qΛ) + U ′(qΛ), (1.1)
де пiдсумовування проводиться за пiдмножинами Λ зi скiнченним число вузлiв |Λ|,
ux;Z = 0, |Z| > n̄ > 1, u0,S = 0, |S| = 1, u0;S є |S|-нарним (бiнарним або парним,
тернарним, . . . ) чи |S|-частинковим додатним потенцiалом,
3
4
q2n ≤ u(q) ≤ q2n,
1 < n ∈ Z+, U визначає енергiю взаємодiї. Якщо X = x(l) = (x1, . . . , xl), то
uX(qX) =
1
l !
ux(l)(qx1 , . . . , qxl
). У простих випадках цi функцiї є симетричними
окремо по x1, . . . , xl та qx1 , . . . , qxl
. Для обчислення суми по X слiд врахувати,
що спочатку пiдсумовування проводиться по x1 6=, . . . , 6= xl, xj ∈ Λ, а потiм по l
вiд 2 до max |X|. Ми припускаємо, що всi потенцiали ux,Z , за винятком парного,
мають скiнченну дiю, а також деякi з них не є додатними (якщо всi вони додатнi, то
вираз для U можна подати так, що у ньому будуть фiгурувати новi u0,S та нульова
U ′). Функцiї u′x;x1,...,xl
(qx, qx1 , . . . , qxl
) можуть бути не симетричними по qx, qxj
.
Наприклад, u′x;x1,...xl
(qx, qx1 , . . . , qxl
) =
g√
2
J ′x,x1,...xl
∂xu0(qx, qx1 , . . . , qxl
), де J, u0
— симетричнi функцiї. Цей вибiр вiдповiдає U ′(qΛ) = 2−1g2
∑
x∈Λ
(∂xU0(qX))2,
U0(qΛ) =
∑
S⊆Λ
u0
S(qS), u0
S = 0, |S| = 1. Зазначимо, що штрихи не означають
диференцiювання.
c© В. I. СКРИПНИК, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5 689
690 В. I. СКРИПНИК
Мотивацiєю до розгляду таких систем є той факт, що серед них є (квазi-
iнтегровнi) системи з повною потенцiальною енергiєю
Uc(qΛ) = 2−1
∑
x∈Λ
[
g2(∂xU0
c (qX))2 − g∂2
xU0
c (qX)
]
,
у яких основний стан пропорцiйний exp
{
−gU0
c (qΛ)
}
, U0
c (qΛ) =
∑
x∈Λ
u0(qx) +
+ U0(qΛ). Легко перевiрити, що вiдповiдний гамiльтонiан визначається як HΛ =
= 2−1
∑
x∈Λ
Q∗
xQx, Qx = ∂x + g∂xU0
c (qX).
У роботi [1] було розглянуто системи (1.1) у випадку тiльки ненульового пар-
ного потенцiалу u′x,y(qx, qy) = J ′x−yu′(qx, qy) (парна та тернарна взаємодiя) та
обчислено кореляцiйнi функцiї канонiчного ансамблю у термодинамiчнiй грани-
цi у термiнах полiмерних кластерних розкладiв. Для доведення їх збiжностi було
використано рекурентне спiввiдношення Кiрквуда – Зальцбурга (КЗ) на просторi
вiнерiвських траєкторiй iз комплексним парним потенцiалом. До цiєї роботи ко-
реляцiйнi функцiї канонiчного ансамблю подiбних рiвноважних квантових систем
розглядались у випадку найпростiших ненульових парних потенцiалiв φ0;x,y(qx, qy)
у роботах [2 – 4]. У цiй статтi ми дослiджуємо рiвняння КЗ для редукованих мат-
риць щiльностi великого канонiчного ансамблю.
Рiвноважнi середнi оператора множення FX на функцiю FX(qX) задано таким
чином:
〈FX〉Λ = Ξ−1
Λ
∑
Y⊆Λ\X
z|X|+|Y |Tr(FXe−βHX∪Y ) =
∫
FX(qX)ρΛ(qX |qX)dqX ,
ρΛ(qX |q′X) = Ξ−1
Λ
∑
Y⊆Λ\X
z|Y |+|X|
∫
(e−βHX∪Y )(qX , qY ; q′X , qY )dqY ,
ΞΛ =
∑
Y⊆Λ
z|Y |Tr(e−βHY ),
де iнтегрування проводиться за мiрою Лебега по просторах вiдповiдно R|X|, R|Y |,
z — активнiсть (термодинамiчний параметр), β — обернена температура, a
ρΛ(qX |q′X) — редукованi матрицi щiльностi (РМЩ) великого канонiчного ансамб-
лю. Головна мета теорiї – знайти редукованi матрицi щiльностi у термодинамiчнiй
границi Λ = Zd. Це є нетривiальною задачею у випадку, коли потенцiали u0;S , u′x;Z
є трансляцiйно-iнварiантними на ґратцi, оскiльки i знаменник, i чисельник у виразi
для РМЩ розбiгаються у цiй границi. Саме з такими потенцiалами ми будемо мати
справу.
Матрицi ρΛ(qX |q′X) є iнтегралами за умовною мiрою Вiнера гiббсiвcьких коре-
ляцiйних функцiй ρ =
{
ρΛ(wX), X ⊂ Zd
}
на вiнерiвських траєкторiях iз траєктор-
ною потенцiальною енергiєю Uc(wΛ) = β−1
∫ β
0
Uc(wΛ(τ))dτ, де ωX = (wx, x ∈
∈ X) — набiр вiнерiвських траєкторiй, якi належать iмовiрнiсному простору Ω0
вiнерiвського процесу та з iмовiрнiстю одиниця є неперервними функцiями на R+.
Далi ми будемо використовувати умовну мiру Вiнера P β
q,q(dw), яка зосереджена
на траєкторiях, що виходять у початковий момент з точки q та повертаються до
неї у момент β, та мiру Вiнера Pq(dw), яка зосереджена на траєкторiях, що вихо-
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ҐРАТКОВОЇ КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ . . . 691
дять у початковий момент з точки q. Нагадаємо, що мiра Вiнера визначає гауссiв-
ський марковський процес, який породжується щiльнiстю iмовiрностi переходу
P t
0(q − q′) = (2πt)−1/2e−((q−q′)2)/2t, що збiгається з ядром напiвгрупи, генератор
якої —
1
2
∂2.
Можна лiнеаризувати вираз для U ′ з допомогою введення нових вiнерiвських
траєкторiй w∗
x та стохастичного iнтеграла, що породжує багаточастинковий потен-
цiал
u∗(Z)(ωZ) = (β|Z|)−1
√
2
∑
x∈Z
β∫
0
u′x;Z\x(wx(τ), wZ\x(τ))dw∗
x(τ).
Це буде зроблено так само, як i в [1] (див. додаток), з допомогою перетворення
типу Фур’є. Нова гiббсiвська система характеризується комплексною потенцiаль-
ною енергiєю U(ωX) = U0(wX) + iU∗(ωX), де ωX = (ωx = (wx, w∗
x), x ∈ X),
U0(wΛ) = β−1
∫ β
0
U0(wΛ(τ))dτ, U∗(ωΛ) =
∑
Z⊆Λ
u∗(Z)(ωZ), β ≥ 0. У випадку
ненульового тiльки парного потенцiалу u′x,y ми зводимо таким чином гiббсiвську
систему з парною та простою тернарною взаємодiєю до гiббсiвської системи з
парним, але комплексним потенцiалом взаємодiї. Цей прийом дає змогу у деяких
випадках розв’язувати комплексне рiвняння КЗ для не додатних потенцiалiв u′x;Z
фiнiтної дiї. Дiйснi рiвняння КЗ зi змiнними wx для таких потенцiалiв не розв’язанi.
РМЩ ґраткової квантової системи осциляторiв iз потенцiальною енергiєю (1.1)
мають вигляд
ρΛ(qX | q′X) = z̄−|X|
∫
e−β
∑
x∈X u(wx)ρΛ(wX , w∗
X | zc)P0(dw∗
X)P β
qX ,q′X
(dwX),
(1.2)
де
ρΛ(ωX | z) = Ξ−1
Λ
∑
Y⊆Λ\X
z|X|+|Y |
∫
e−βU(ωX∪Y )P (dωY ), (1.2′)
iнтегрування проводиться вiдповiдно по Ω2|X|
0 та (R× Ω2
0)
|Y |, всi мiри є добутком
одновузлових мiр, як P (dωY ) =
∏
y∈Y
P (dωy), zc = zz̄, z̄ =
∫
e−βu(w)dqP β
q,q(dw),
u(w) = β−1
β∫
0
u(w(τ))dτ, P (dω) = P0(dw∗)P ′(dw),
P ′(dw) = z̄−1e−βu(w)dqP β
q,q(dw).
(Кореляцiйнi функцiї при X 6⊂ Λ можна покласти рiвними нулю.) Визначен-
ня мiри P ′ спрощується тому, що умовна мiра Вiнера P β
q,q(dw) є трансляцiйно-
iнварiантною:
∫
P β
q,q(dw)f(w) =
∫
P β
0,0(dw)f(w + q). Для простоти позначень
будемо нехтувати залежнiстю кореляцiйних функцiй вiд z.
Тепер для визначення РМЩ у термодинамiчнiй границi достатньо визначити
цю границю для ρΛ(ωX) та довести, що iнтеграл в (1.2) збiгається для граничних
функцiй. Ми це зробимо з допомогою ґраткового квантового рiвняння КЗ
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
692 В. I. СКРИПНИК
ρ(ωX) = z
∑
Z⊆Xc
∫
K(ωx | ωX\x;ωZ)×
×
[
ρ(ωX\x∪Z)−
∫
P (dωx)ρ(ωX∪Z)
]
P (dωZ), |X| ≥ 2, (1.3)
де для X = x перший доданок з |Z| = ∅ збiгається з одиницею, iнтегрування
проводиться по простoрах R× Ω2
0, (R× Ω2
0)
|Z|, Xc = Zd\X,
K(ωx|ωX\x;ωY ) =
∑
S⊆Y
(−1)|Y \S|e−βW (ωx|ωX\x,ωS),
W (ωx|ωY ) = U(ωx, ωY )− U(ωY ).
(1.4)
Ґраткове рiвняння КЗ виводиться так само, як i подiбне рiвняння для класичного
ґраткового газу [5]. Воно є рiвнянням резольвентного типу та має абстрактний
вигляд
ρ = zKρ + zα, (1.5)
де K задається правою частиною (1.3), у який для X = x перший доданок з |Z| = ∅
дорiвнює нулю, α(ωX) = δ|X|,1 = 0, |X| 6= 1, δ|X|,1 = 1, |X| = 1.
Будемо шукати розв’язок рiвняння КЗ в Eξ,f — банаховому просторi вимiрних
функцiй iз нормою
‖F‖ξ,f = max
|X|
ξ−|X| ess sup
wX
exp
{
−
∑
x∈X
f(ωx)
}∣∣FX(ωX)
∣∣.
Ця норма буде гарантувати iснування граничних РМЩ. Ми встановимо, що для
певного класу короткодiйових потенцiалiв в (1.1) iснують функцiї f та G(ξ, β) такi,
що для норми оператора КЗ у цьому просторi справджується оцiнка
‖K‖ξ,f ≤ (ξ−1 + ‖ef‖1)eG(ξ,β), (1.6)
де
G(ξ, β) = ξg1 + θζ
(
g0ξ
1 + ζ
)1+ζ
ζ
, ‖ef‖l
l =
∫
elf(ω)P (dω), ζ > 0, θ ≥ 0,
ζ фiгурує у виразi для f, а g0, g1 є лiнiйними за нормами Nl = ‖ef‖l, l = 1, 2,
N ′ = ‖v1e
f‖1.
Нашi результати можна застосувати до вищезгаданої системи з основним ста-
ном exp
{
−gU0
c (qΛ)
}
тiльки у тому випадку, коли U0
c (qΛ) =
∑
x∈Λ
u0(qx) −
−
∑
x6=y∈Λ
J0
x−yqxqy, де u0(q) — додатний полiном та J0
x−y ≥ 0. При цьому слiд
скористатись рiвнiстю qq′k + q′qk = (q2n′ + q′2n′) − Q(q, q′)(q − q′)2, де Q ≥ 0,
k + 1 = 2n′, k, n′ ∈ Z+ (див. додаток С у [9]).
У наступному пунктi ми сформулюємо основний результат — двi теореми та
лему, якi будуть доведенi у третьому пунктi. У додатку ми доведемо (1.2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ҐРАТКОВОЇ КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ . . . 693
2. Основний результат. Досить просто довести наступну теорему.
Теорема 2.1. Нехай φ0;S ≥ 0 i всi потенцiали мають скiнченну дiю. Тодi
оператор K є обмеженим у просторi Eξ,0 = Eξ, а єдиний розв’язок рiвняння (1.5)
у ньому зображується рядом iз комплексним z
ρ = z
∑
n≥0
(zK)nα, (2.1)
збiжним при |z| ≤ ‖K‖−1
ξ . Оцiнка (1.6) також виконується з θ = 0, g1 = 2|B0(R)|,
де B0(R) — гiперкуля радiуса R з центром у початку координат.
Ми припускаємо, що для парних потенцiалiв, коли всi iншi багаточастинковi
потенцiали u0, u
′ дорiвнюють нулю, виконуються умови∣∣u0;x,y(qx, qy)
∣∣ ≤ Jx−y
2
(q2n0
x + q2n0
y ), Jx = J−x, (2.2)
u′x,y(qx, qy) = J ′x−yu′(qx, qy), J ′x = J ′−x, (2.3)
u′2(qx, qy) ≤ 1
2
(q2n1
x + q2n1
y ). (2.4)
Дiя потенцiалiв буде визначатись з допомогою норми ‖J‖1 =
∑
y
Jy, де пiдсумо-
вування проводиться по Zd, та норми ‖
√
J ′‖1. Функцiя f, що визначає норму в
(1.6), має вигляд
f(ω) = γ0β
rv∗(ω) + γv1+ζ(w), 1 < 1 + ζ ≤ n
n0
, γ0, γ > 0,
де
v1+ζ(w) =
β∫
0
v1+ζ(w(τ))dτ, v2
∗(ω) =
∫
|u∗(ω, ω′)|2P (dω′),
u∗(ωx, ωy) =
1√
2
(
f∗(wx, wy | w∗
x) + f∗(wy, wx | w∗
y)
)
,
f∗(wx, wy|w∗
x) = β−1
β∫
0
dw∗
x(τ)u′
(
wx(τ), wy(τ)
)
,
v(q) = q2n0 , n0 < n, а числа γ0, γ будуть визначенi бiльш точно у другiй теоремi.
Неважко показати, що v∗, f∗ — вимiрнi функцiї (див. додаток). З (3.5), (3.6) при
m = 1 та зворотного твердження до теореми Фубiнi (див. зауваження 1 в [6,
с. 45]) випливає, що функцiя
∣∣u∗(ω, ω′)
∣∣2 є iнтегровною за мiрою P (dω)P (dω′).
З теореми Фубiнi [6] випливає, що v2
∗(ω) — функцiя, iнтегровна по P (dω). Ми
будемо використовувати також зворотне твердження до теореми Фубiнi в доведеннi
леми 2.1 без посилання на нього.
Лема 2.1. Нехай n1/n < 1. Тодi для довiльного додатного числа γ0
∫
eγ0βrv∗(w,w∗)P0(dw∗) ≤ κγ0
√IP + exp
1
4
β∫
0
w2n(τ)dτ
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
694 В. I. СКРИПНИК
IP =
∫
P ′(dw) exp
1
2
β∫
0
w2n(τ)dτ
,
де κγ0 не залежить вiд w та є цiлою функцiєю β2r−1−n1/n.
Зазначимо також, що iнтеграл в останнiй формулi є скiнченним завдяки умовi
3
4
q2n ≤ u(q).
Теорема 2.2. Нехай виконуються умови (2.2) – (2.4), умови леми 2.1 та
u0;x,y ≥ 0, u0;S = 0, |S| ≥ 3, u′x;Z = 0, |Z| ≥ 2. Нехай також γ <
1
8
тiль-
ки при ζ =
n− n0
n0
, ‖J‖1 < ∞ та γ0 ≥
∥∥√|J ′|∥∥
1
. Тодi оператор K є обме-
женим у просторi Eξ,f , єдиний розв’язок рiвняння (1.5) у ньому зображується
рядом (2.1), збiжним при |z| ≤ ‖K‖−1
ξ,f , та виконується оцiнка (1.6) з θ = 1,
g0 = 2−1‖J‖1N1(γ−1βζ)1/(1+ζ), g1 = 2−1‖J‖1N ′ + 2β1−rN2
∥∥√|J ′|∥∥
1
.
Має мiсце також наступний результат, який легко випливає з леми 2.1 та теоре-
ми 2.2.
Наслiдок . Нехай ρ є розв’язком рiвняння КЗ, в якому zc фiгурує замiсть z, у
просторi Eξ,f та виконуються умови теореми 2.2. Тодi для граничних РМЩ, що
визначаються формулою (1.2) при Λ = Zd, справджується нерiвнiсть
ρ(qX |q′X) ≤
(
ξz̄−1κγ0κ
′
γ
[
1 +
√
IP
])|X|
‖ρ‖ξ,f
∏
x∈X
P t
0(qx − q′x), (2.5)
де κ′γ = max
a≥0
exp
{
−a
8
+ γβ1−n0(1+ζ)/nan0(1+ζ)/n
}
.
При виведеннi (2.5) ми скористались нерiвнiстю
3
4
q2n ≤ u(q) та нерiвнiстю
Гельдера
v1+ζ ≤ β1−n0(1+ζ)
n
β∫
0
w2n(τ)dτ
n0(1+ζ)
n
. (2.6)
Неважко отримати аналог нерiвностi (2.5) i у випадку, розглянутому в теоремi 2.1,
в якому права частина не мiстить κγ0 , κ′γ та вiнерiвський iнтеграл.
Залежнiсть g0, g1 вiд β визначає залежнiсть Nl, N ′ вiд β, яка встановлюється
наступною лемою.
Лема 2.2. Нехай виконуються умови теореми 2.2. Тодi N ′ ≤ N̄β1−n0/n,
0 ≤ β < ∞, та N̄ , Nl — обмеженi функцiї β при r ≥ 1
2
(
1 +
n1
n
)
на обмеженому
iнтервалi.
3. Доведення. Неважко показати, що для норми оператора КЗ має мiсце нерiв-
нiсть
‖K‖ξ,f ≤ (ξ−1 + ‖ef‖1) ess sup
X,ωX
e−f(ωx)×
×
∑
Y⊆Xc
ξ|Y |
∫
|K(ωx|ωX\x, ωY )|e
∑
y∈Y f(ωy)P (dωY ). (3.1)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ҐРАТКОВОЇ КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ . . . 695
Досить просто помiтити, що у випадку додатних потенцiалiв u0,S справджується
нерiвнiсть ∣∣K(ωx | ωX\x;ωY )
∣∣ ≤ 2|Y |.
Проте цiєї нерiвностi недостатньо для доведення обмеженостi оператора KЗ. При-
пустимо, що потенцiали мають скiнченну дiю радiуса R, тобто для будь-якого
x ∈ X має мiсце u′X(ωX) = u0;X(ωX) = 0, |x − x′| ≥ R, x′ ∈ X\x, |x − x′| — ев-
клiдова вiдстань мiж двома вузлами. Це означає, що W (ωx | ωX\x, ωS) = W (ωx |
ωX\x, ωS\y), |y − x| ≥ R, y ∈ S. Звiдси, використовуючи наявнiсть множника
(−1)|Y \S| у виразi для ядра K, отримуємо∣∣K(ωx | ωX\x;ωY )
∣∣ ≤ 2|Y |χBx(R)(Y ),
де χA(Y ) =
∏
y∈Y
χA(y), χA(y) — характеристична функцiя множини A ⊂ Zd, a
Bx(R) — гiперкуля радiуса R з центром у вузлi x. Нехай ‖K‖ξ = ‖K‖ξ,0. Пiдста-
вимо цю нерiвнiсть у праву частину нерiвностi (3.1). Тодi
‖K‖ξ ≤ (1 + ξ−1)e2|B0(R)|ξ.
Теорему 2.1 доведено.
Доведення теореми 2.2. Будемо розглядати парну комплексну взаємодiю, що
визначається парним комплексним потенцiалом u(x,y) :
u(x,y)(ω, ω′) = u0(x,y)(w,w′) + iu∗(x,y)(ω, ω′),
де
u0(x,y)(w,w′) = β−1
β∫
0
u0;x,y(w(τ), w′(τ))dτ,
u∗(x,y)(ωx, ωy) = J ′x−yu∗(ωx, ωy).
Ядра КЗ мають вигляд
K(ωx | ωX\x, ωY ) = exp
{
−β
∑
x′∈X\x
u(x,x′)(ωx, ωx′)
} ∏
y∈Y
(
e−βu(x,y)(ωx,ωy) − 1
)
.
З додатностi дiйсної частини парного потенцiалу випливає важлива нерiвнiсть∑
Y⊆Xc
ξ|Y |
∫
|K(ωx|ωX\x, ωY )e
∑
y∈Y f(ωy)
∣∣P (dωY ) ≤
≤
∏
y 6=x
(
1 + ξ
∫
|e−βu(x,y)(ωx,ωy) − 1|ef(ωy)P (dωy)
)
, (3.2)
а також∣∣e−βu(x,y)(ωx,ωy) − 1
∣∣ ≤ ∣∣e−βu0(x,y)(ωx,ωy) − 1
∣∣+ ∣∣e−iβu∗(x,y)(ω,ω′) − 1
∣∣ ≤
≤
∣∣e−βu0(x,y)(ωx,ωy) − 1
∣∣+ 2β
∣∣u∗(x,y)(ωx, ωy)
∣∣ ≤
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
696 В. I. СКРИПНИК
≤ β
(∣∣u0(x,y)(ωx, ωy)
∣∣+ 2
∣∣u∗(x,y)(ωx, ωy)
∣∣).
Маємо
β
∣∣u0(x,y)(w,w′)
∣∣ ≤ 2−1Jx−y(v1(w) + v1(w′)).
Враховуючи, що u0(x,y), vs залежaть тiльки вiд w, w′, отримуємо∫
β
∣∣u0(x,y)(ω, ω′)ef(ω′)
∣∣P (dω′) ≤ 2−1Jx−y(N1v1(w) + N ′).
З нерiвностi Шварца випливає, що∫ ∣∣u∗(x,y)(ωx, ωy)
∣∣ef(ωy)P (dωy) ≤
≤
[∫
|u∗(x,y)(ωx, ωy)|2P (dωy)
]1
2
N2 ≤ |J ′x−y|v∗(ωx)N2.
Отже, вираз пiд знаком добутку у правiй частинi (3.2) менший, нiж
1 + ξ
[
2−1Jx−y(N1v1(ω) + N ′) + 2β|J ′x−y|N2v∗(ωx)
]
.
Останнiй вираз є меншим за
exp
{
ξ
[
2−1Jx−y(N1v1(w) + N ′) + 2β1−rξN2
√
|J ′x−y|+ βr
√
|J ′x−y|v∗(ωx)
]}
.
Тут ми використали нерiвностi 1 + a + bec ≤ ea+b+c, a, b, c ≥ 0, a ≤ ea, a ≥ 0.
З (3.1), (3.2) та цих нерiвностей випливає, що
‖K‖ξ,f ≤
(
ξ−1 + ‖ef‖1
)
eξg1 max
v1≥0
exp
{
−γβ−ζv1+ζ
1 − ξ2−1‖J‖1N1v1
}
. (3.3)
При цьому необхiдно використати нерiвнiсть Гельдера v1+ζ
1 (w) ≤ βζv1+ζ .
Максимум в (3.3) пiсля замiни масштабу v1 множником (γ−1βζ)1/(1+ζ) збiгається
з max
v≥0
e−v1+ζ+g0ξv. Цей максимум легко обчислюється та дорiвнює
exp
{
ζ
(
g0ξ
1 + ζ
)(1+ζ)/ζ}
.
Теорему доведено.
Доведення леми 2.1. З нерiвностей Шварца та Гельдера випливає∫
vm
∗ (ω)P0(dw∗) ≤
[∫
v2m
∗ (ω)P0(dw∗)
]1/2
≤
≤
[∫
u2m
∗ (ω, ω′)P0(dw∗)P (dω′)
]1/2
, ω = (w,w∗).
З останньої нерiвностi отримуємо∫
eγ0βrv∗(ω)P0(dw∗) ≤ 1+
∑
m≥1
(βr−1γ0)m
m!
[
β2m
∫
u2m
∗ (ω, ω′)P0(dw∗)P (dω′)
]1/2
.
(3.4)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ҐРАТКОВОЇ КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ . . . 697
Беручи до уваги спiввiдношення
u2m
∗ (ω, ω′) ≤ 22m
[
f2m
∗ (w′, w|w′∗) + f2m
∗ (w,w′ | w∗)
]
,
∫ β∫
0
f(τ)dw∗(τ)
2m
P0(dw∗) = 2−m (2m)!
m!
β∫
0
f2(τ)dτ
m
,
де f(τ) = u′(w(τ), w′(τ)) та f(τ) = u′(w′(τ), w(τ)), виводимо нерiвностi
β2m
∫
u2m
∗ (ω, ω′)P0(dw∗)P0(dw′∗) ≤ 2m (2m)!
m!
[
fm
0 (w,w′) + fm
0 (w′, w)
]
, (3.5)
в яких
f0(w,w′) =
β∫
0
u′2(w(τ), w′(τ))dτ.
З (2.4) та нерiвностей
fm
0 (w,w′) ≤ v′m(w) + v′m(w′),
v′(w) =
β∫
0
w2n1(τ)dτ ≤ β
n−n1
n
β∫
0
w2n(τ)dτ
n1/n
випливає (останню нерiвнiсть отримано з нерiвностi Гельдера), що∫
fm
0 (w,w′)P ′(dw′) ≤
≤ β(1−n1/n)m
(n1m
en
)n1m/n
[∫
P ′(dw′)e
1
2
∫ β
0 w′2n(τ)dτ + e
1
2
∫ β
0 w2n(τ)dτ
]
. (3.6)
При цьому ми скористались нерiвнiстю max
a≥0
ame−a ≤ mme−m. З (3.4) – (3.6) ви-
пливає, що
κγ0 = 1 + 2
∑
m≥1
γm
0
m!
(
β(2r−1−n1/n)m2m (2m)!
m!
(
2n1m
en
)n1m/n
)1/2
.
Неважко зробити висновок, що ряд у правiй частинi збiгається, якщо
(
1+
n1
n
)
1
2
<
< 1. При цьому необхiдно врахувати, що e−mmm ≤ m! ≤ mm.
Лему доведено.
Доведення леми 2.2. З леми 2.1 та (2.6) випливає, що
(
κ0
j = max
a≥0
aje−a
)
N l
l ≤ κlγ0κ
′
lγ(
√
IP + IP ), N ′ ≤ β1−n0
n κγ0κ
′
γ
(√
IP + 4n0/nκ0
n0/nIP
)
.
З
3
4
q2n ≤ u(q) ≤ q2n виводимо
IP ≤ I
(
1
4
)
I−1(1), I(s) =
∫
dqP β
q.q(dw) exp
−s
β∫
0
w2n(τ)dτ
. (3.7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
698 В. I. СКРИПНИК
Далi, з нерiвностi Голдена – Томпсона Tr (eA+B) ≤ Tr (eAeB) маємо
I(s) ≤ (2πβ)−1/2
∫
e−sβq2n
dq = β−
1
2−
1
2n (2π)−
1
2
∫
e−sq2n
dq, (3.8)
а з нерiвностi Йенсена —
I(s) ≥ (2πβ)−1/2
∫
dq exp
−s
√
2πβ
∫
P β
q.q(dw)
β∫
0
w2n(τ)dτ
.
При цьому ми взяли до уваги, що P β
0 (0) =
∫
P β
q,q(dw) = (2πβ)−1/2. Далi, для
iнтеграла в останнiй формулi отримуємо нерiвнiсть
∫
P β
q.q(dw)
β∫
0
w2n(τ)dτ =
β∫
0
∫
P τ
0 (q − q′)q′2nP β−τ
0 (q′ − q)dq′dτ ≤
≤ 22n
β∫
0
∫
P τ
0 (q′)(q′2n + q2n)P β−τ
0 (q′)dq′dτ = (2π)−1/2
√
β(2q)2n + c0
n.
При цьому ми скористались нерiвнiстю (q′ − q + q)2n ≤ 22n(q2n + (q − q′)2n) та
напiвгруповою властивiстю P t
0(q). Величина c0
n не залежить вiд q та є скiнченною
величиною при обмеженiй β, оскiльки
c0
n = 22n
β∫
0
∫
P τ
0 (q′)q′2nP β−τ
0 (q′)dq′dτ ≤
≤ 22n
β∫
0
(∫
(P τ
0 (q′))2q′2ndq′
)1/2(∫
(P β−τ
0 (q′))2q′2ndq′
)1/2
dτ =
= π−122n−1
(∫
e−q2
q2ndq
) β∫
0
τn(β − τ)ndτ.
Тут ми використали нерiвнiсть Шварца. Таким чином,
I−1(s) ≤
√
2πβe
√
2πβc0
n
(∫
dqe−sβ(2q)2n
)−1
=
=
√
2πβ
1
2+ 1
2n e
√
2πβc0
n
(∫
dqe−s(2q)2n
)−1
. (3.9)
Спiввiдношення (3.7) – (3.9) доводять лему.
Додаток. Виведення (1.2). Для введення траєкторних кореляцiйних функцiй
необхiдно використати формулу Фейнмана – Каца (ФК), вивiд якої ґрунтується на
застосуваннi формули Троттера [7] (теорема X.51)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
РIВНЯННЯ КIРКВУДА – ЗАЛЬЦБУРГА ДЛЯ ҐРАТКОВОЇ КВАНТОВОЇ СИСТЕМИ . . . 699
(e−βHX )(qX ; q′X) =
∫
P β
qX ,q′X
(dwX)e−βUc(wΛ), Uc(wΛ) =
∑
x∈Λ
u(wx) + U(wΛ),
де iнтегрування проводиться за |X|-кратним декартiвським добутком Ω|X|
0 iмовiр-
нiсного простору Ω0 вiнерiвських траєкторiй та P β
qX ,q′X
(dwX) =
∏
x∈X
P β
qx,q′x
(dwx).
Виведення формули ФК для необмежених збурень лапласiана є складнiшим, нiж
для випадку обмежених збурень, для яких її доведено в теоремi X.68 в [7]. Для
застосування формули Троттера необхiдно, щоб гамiльтонiан був суттєво само-
спряженим на перетинi областей визначення лапласiана та його збурення. А це
забезпечується твердженням у прикладi X.9.3 з [7], оскiльки всi розглядуванi по-
тенцiали є полiномiально обмеженими та U ≥ 0.
Пiдставляючи формулу ФК у вираз для РМЩ, отримуємо
ρΛ(qX |q′X) = z̄−|X|
∫
e−β
∑
x∈X u(wx)ρΛ(wX | zc)P
β
qX ,q′X
(dwX),
де
ρΛ(wX | z) = Ξ−1
Λ
∑
Y⊆Λ\X
z|X|+|Y |
∫
e−βU(wX∪Y )P ′(dwY ),
та iнтегрування пiд знаком суми по Y проводиться по (R×Ω0)|Y |. Нехай U ′2(qx|qΛ\x)
— вираз пiд знаком суми по x у виразi для U1, тодi
exp
−
β∫
0
U ′2(wx(τ) | wΛ\x(τ)
)
dτ
=
=
∫
exp
−i
√
2
β∫
0
∑
Z⊆Λ\x
u′x;Z(wx(τ), wZ(τ))dw∗
x(τ)
P0(dw∗
x).
В результатi
exp
−
β∫
0
U ′(wΛ(τ))dτ
=
=
∫
exp
−i
√
2
∑
x∈Λ
β∫
0
∑
Z⊆Λ\x
u′x;Z(wx(τ), wZ(τ))dw∗
x(τ)
P0(dw∗
Λ).
Остання формула доводить (1.2). При цьому ми скористались формулою
exp
−1
2
β∫
0
f2(τ)dτ
=
∫
exp
−i
β∫
0
f(τ)dw∗(τ)
P0(dw∗).
Останню формулу, в якiй мiнус та уявну одиницю пропущено вiдповiдно у лiвiй
та правiй частинах, доведено у [8]. Iншими словами, стохастичний iнтеграл по
w∗ — це iнтеграл функцiї f з узагальненим гауссiвським процесом бiлого шуму.
Вiн визначається як сильна границя збiжної послiдовностi рiманових сум цилiн-
дричних функцiй у просторi квадратично iнтегровних функцiй. Сильна границя
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
700 В. I. СКРИПНИК
послiдовностi, збiжної у просторi квадратично iнтегровних функцiй, мiстить пiд-
послiдовнiсть, збiжну майже скрiзь до вимiрної функцiї. Стохастичний iнтеграл
залежить ще вiд додаткових вiнерiвських траєкторiй. Послiдовнiсть рiманових сум
цилiндричних функцiй залежить також i вiд них. Отже, i гранична функцiя буде
вимiрною, оскiльки мiра Вiнера зосереджена на множинi неперервних траєкторiй
та ця послiдовнiсть збiгається майже скрiзь за всiма вiнерiвськими траєкторiями.
Зауваження . Результати [1] можна узагальнити на випадок ṽ(ω) = f(ω) (див.
(1.4) в [1]).
1. Скрипник В. I. Про полiмернi розклади для рiвноважних систем осциляторiв з тернарною взаємо-
дiєю // Укр. мат. журн. – 2001. – 53, № 11. – С. 1532 – 1544.
2. Albeverio S., Kondratiev Yu. G., Minlos R. A., Rebenko O. L. Small mass behaviour of quantum Gibbs
states for lattice models with unbounded spins. – Uni. da Madeira, 1997. – (Preprint / UMa-CCM 22/97).
3. Minlos R. A., Verbeure A., Zagrebnov V. A. A quantum crystal model in the light-mass limit: Gibbs
states. – Preprint KUL-TP-97/16.
4. Park Y. M., Yoo H. J. Uniqueness and clustering properties of Gibbs states for classical and quantum
unbounded spin systems // J. Stat. Phys. – 1995. – 80, № 1/2. – P. 223 – 271.
5. Рюэль Д. Статистичeская механика. Строгие результаты. – М.: Мир, 1971. – 367 c.
6. Шилов Г. Е., Гуревич Б. А. Интеграл, мера и производная. – М.: Наука, 1967. – 219 с.
7. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. – М.: Мир, 1978. – 395 с.
8. Го Х.-С. Гауссовские меры в банаховых пространствах. – М.: Мир, 1979. – 176 с.
9. Skrypnik W. I. Long-range order in Gibbs classical linear oscillator systems // Ukr. Math. J. – 2006. –
58, № 3. – P. 388 – 405.
Одержано 04.11.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 5
|
| id | umjimathkievua-article-3051 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:20Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/f0/c809a1584e1c07c078e93ab43ab6b2f0.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30512020-03-18T19:44:07Z Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials Рівняння Кірквуда - Зальцбурга для ґраткової квантової системи осциляторів з багаточастинковими потенціалами взаємодії Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. For a Gibbs system of one-dimensional quantum oscillators on a d-dimensional hypercubic lattice interacting via superstable pair and many-particle potentials of finite range, we prove the existence of a solution of the (lattice) Kirkwood–Salsburg equation for correlation functions depending on the Wiener paths. Some many-particle potentials may be nonpositive. Для гиббсовской системы квантовых одномерных осцилляторов на d-мерной гиперкубической решетке, взаимодействующих благодаря суперустойчивому четному и многочастичным потенциалам финитного действия, доказано существование решения (решеточного) уравнения Кирквуда - Зальцбурга для корреляционных функций, зависящих от винеровских траекторий. Некоторые многочастичные потенциалы могут быть неположительными. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3051 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 689-700 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 689-700 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3051/2851 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3051/2852 Copyright (c) 2009 Skrypnik W. I. |
| spellingShingle | Skrypnik, W. I. Скрипник, В. І. Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| title | Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| title_alt | Рівняння Кірквуда - Зальцбурга для ґраткової квантової системи осциляторів з багаточастинковими потенціалами взаємодії |
| title_full | Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| title_fullStr | Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| title_full_unstemmed | Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| title_short | Kirkwood–Salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| title_sort | kirkwood–salsburg equation for a quantum lattice system of oscillators with many-particle interaction potentials |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3051 |
| work_keys_str_mv | AT skrypnikwi kirkwoodsalsburgequationforaquantumlatticesystemofoscillatorswithmanyparticleinteractionpotentials AT skripnikví kirkwoodsalsburgequationforaquantumlatticesystemofoscillatorswithmanyparticleinteractionpotentials AT skrypnikwi rívnânnâkírkvudazalʹcburgadlâgratkovoíkvantovoísistemioscilâtorívzbagatočastinkovimipotencíalamivzaêmodíí AT skripnikví rívnânnâkírkvudazalʹcburgadlâgratkovoíkvantovoísistemioscilâtorívzbagatočastinkovimipotencíalamivzaêmodíí |