Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation
We consider the equation $α_1 P_1 + α_2 P_2 + … α_n P_n = I$ over orthoprojectors $P_1, … ,P_n$ in a Hilbert space. We show that the set of real parameters $(α_1, … α_n)$ for which there exists a solution of this equation in orthoprojectors contains an open set from $ℝ^5$.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3052 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509075809239040 |
|---|---|
| author | Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. |
| author_facet | Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. |
| author_sort | Yusenko, A. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We consider the equation $α_1 P_1 + α_2 P_2 + … α_n P_n = I$ over orthoprojectors $P_1, … ,P_n$ in a Hilbert space. We show that the set of real parameters $(α_1, … α_n)$ for which there exists a solution of this equation in orthoprojectors contains an open set from $ℝ^5$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.98
A. A. Gsenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
P’QTIRKY ORTOPROEKTORIV
POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM
We consider the equation α α α1 1 2 2P P P In n+ + … + = , where P Pn1, ,… are orthoprojectors in a
Hilbert space. We prove that the set of real parameters ( α1 , … , αn ) , for which there exists a solution
of this equation in the orthoprojectors, contains an open set from R5
.
Rassmatryvaetsq uravnenye α α α1 1 2 2P P P In n+ + … + = nad ortoproektoramy P Pn1, ,… v
hyl\bertovom prostranstve. Pokazano, çto mnoΩestvo dejstvytel\n¥x parametrov ( α1 , … , αn ),
dlq kotor¥x suwestvuet reßenye πtoho uravnenyq v ortoproektorax, soderΩyt otkr¥toe mno-
Ωestvo yz R5
.
Vstup. Rqd nedavnix robit (dyv., napryklad, [1 – 5]) prysvqçeno doslidΩenng
naboriv proektoriv P1 , … , Pn u separabel\nomu hil\bertovomu prostori H , wo
zadovol\nqgt\ linijne spivvidnoßennq
α1 P1 + … + αn Pn = γ I, αi , γ ∈ R+ ,
zokrema opysu moΩlyvyx znaçen\ parametriv αi ta γ, pry qkyx isnugt\ taki
nabory proektoriv, a takoΩ, po moΩlyvosti, opysu vsix nezvidnyx naboriv proek-
toriv dlq dopustymyx znaçen\ parametriv. Tak, u roboti [2] otrymano opys mno-
Ωyny Σn moΩlyvyx znaçen\ γ u vypadku, koly α1 = … = αn = 1. Vidpovidna
mnoΩyna [ dyskretnog pry n < 5 ta mistyt\ neperervnyj promiΩok pry n ≥ 5.
U robotax [4, 5] doslidΩuvalasq zadaça opysu mnoΩyny parametriv dlq dovil\-
noho naboru α1 , … , α4 , γ, pry qkyx isnu[ çetvirka ortoproektoriv P1 , … , P4 ,
dlq qkyx vykonu[t\sq α1 P1 + … + α4 P4 = γ I. Vyqvylosq, wo ci mnoΩyny ne
mistqt\ vidkrytyx pidmnoΩyn.
U statti [3] vyvçalysq vlastyvosti mnoΩyny In ⊂ R+
n
naboriv
�
α = ( α1 , …
… , αn ), pry qkyx isnu[ nabir proektoriv, wo pov’qzani linijnym spivvidnoßennqm
α1 P1 + … + αn Pn = I.
Dlq doslidΩennq mnoΩyny In bulo vvedeno R-umovu ta pokazano, wo struktu-
ra mnoΩyny toçok
�
α ∈ In , dlq qkyx vykonu[t\sq R-umova, zaleΩyt\ vid toho,
qkog [ mnoΩyna Ik , k < n. TakoΩ bulo pokazano, wo struktura mnoΩyny toçok
�
α ∈ In , dlq qkyx R-umova ne vykonu[t\sq, vyznaça[t\sq strukturog pidmno-
Ωyny toçok, dlq qkyx A ∈ 1
1
3
2+
−
n
, , de A = αi∑ . Pry c\omu pytannq
pro strukturu mnoΩyny toçok
�
α ∈ In , αi∑ ∈ 1
1
3
2+
−
n
, , zalyßylos\ vid-
krytym.
Metog dano] statti [ doslidΩennq mnoΩyny I5 na promiΩku A ∈
3
2
2,
.
Otrymano dostatni umovy na nabir
�
α = ( α1 , … , α5 ), za qkyx
�
α ∈ I5 dlq vsix
A ∈
3
2
2,
, a takoΩ pokazano, wo taka mnoΩyna mistyt\ neporoΩng vidkrytu
pidmnoΩynu.
1. Postanovka zadaçi ta deqki vidomi rezul\taty. U robotax [1 – 5] bulo
rozhlqnuto taki zadaçi:
© A. A. GSENKO, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5 701
702 A. A. GSENKO
Dlq fiksovanoho naboru α = ( α1 , … , αn ) ∈ R+
n
opysaty mnoΩynu
∑ ( … )α α1, , n
tyx γ ∈ R+ , dlq qkyx isnu[ nabir proektoriv P1 , … , Pn u separa-
bel\nomu hil\bertovomu prostori H, wo zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
α1 P1 + … + αn Pn = γ I. (1)
Dlq fiksovanoho n ∈ N opysaty mnoΩynu In vektoriv ( α1 , … , αn ) ∈ R+
n
,
dlq qkyx isnu[ nabir proektoriv P1 , … , Pn u deqkomu prostori H, wo zado-
vol\nqgt\ spivvidnoßennq
α1 P1 + … + αn Pn = I.
U danij statti my budemo vykorystovuvaty mnoΩynu In ( A ) = { ∈
� �
α α In ,
αii
n
A= }=∑ 1
.
Nahada[mo opys mnoΩyny ∑ ( … )α α1, , n
pry n = 1, … , 4. Nasampered zaznaçy-
mo, wo dlq n ≤ 3 opys mnoΩyny ∑ ( … )α α1, , n
moΩna otrymaty z opysu mnoΩyny
In i navpaky. Tak, pry n = 1 ∑ ( )α1
= { 0 , α1 }.
MnoΩyna ∑ ( )α α1 2,
ma[ vyhlqd ∑ ( )α α1 2,
= { 0 , α1 , α2 , α1 + α2 }.
Pry n = 3 odyn iz proektoriv zapysugt\ qk linijnu kombinacig dvox inßyx,
tomu
∑ ( )α α α1 2 3, ,
= α α α α
i
i J
J, , ,
∈
∑ ⊂ { }
+ +{ }1 2 3
2
1 2 3∪ .
Opysy mnoΩyn ∑ ( … )α α1 4, ,
ta I4 dewo vidriznqgt\sq. V roboti [4] opysano
mnoΩynu I4 , a v roboti [5] — mnoΩynu ∑ ( … )α α1 4, ,
.
Poçynagçy z n ≥ 5 opys mnoΩyn ∑ ( … )α α1, , n
ta In u zahal\nomu vypadku [
nevidomym. U statti [2] opysano mnoΩynu ∑ ( … )α α1, , n
u vypadku, koly α1 =
= α2 = … = αn = 1. Cq mnoΩyna mistyt\ ne lyße dyskretnu çastynu, a j nepe-
rervnyj promiΩok, koly n ≥ 5. Nahada[mo ]] opys (dyv. [2]):
1 1
1 2
2 2
1 24
2
4
2, ,
, , , , ,…∑ = − − + −
− −
Λ Λ Λ Λn n n n
n n n n n n
n n ,
de
Λn
n n
n
n
n
1 0 1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
2
1
2
1
1
= +
−
+
− −
−
… +
− −
− −
−
, , , ,
�
nn −
…
1
, ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
P’QTIRKY ORTOPROEKTORIV POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 703
Λn
n n
n
n
n
2 1 1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
= +
−
+
− −
−
… +
− −
− −
−
, , , ,
�
nn −
…
2
, .
Pry vyvçenni dano] mnoΩyny vykorystovuvalas\ texnika funktoriv Kokste-
ra, wo opysana v [2, 3]. Zokrema, bulo dovedeno, wo qkwo [ 3 / 2, 2 ] ⊂ ∑ 5
, to
n n n n n n− − + +
2 24
2
4
2
, ⊂ ∑ n
, ta pokazano, wo isnugt\ nabory proek-
toriv P1 , … , Pn , qki zadovol\nqgt\ umovu
P1 + … + Pn = γ I
dlq vsix γ ∈ [ 3 / 2, 2 ].
Takym çynom, za umovy α1 = … = αn zadaça opysu neperervno] çastyny ∑ n
zvodyt\sq do vypadku p’qty proektoriv. Tomu vyvçennq zahal\noho vypadku
pryrodno poçaty z vyvçennq p’qtirky linijno pov’qzanyx proektoriv.
2. Zahal\ni fakty pro n proektoriv, wo pov’qzani linijnym spivvidno-
ßennqm. U statti [3] bulo rozhlqnuto nabir proektoriv P1 , … , Pn , wo zado-
vol\nqgt\ spivvidnoßennq αi iP∑ = I. Z vykorystannqm funktoriv Kokstera S
ta T bulo pobudovano novyj nabir proektoriv
˜ , , ˜P Pn1 … ( vzahali kaΩuçy, v
inßomu hil\bertovomu prostori H ), qkyj zadovol\nq[ spivvidnoßennq
˜ ˜αi iP∑ = I z deqkymy α̃ = ( … )˜ , , ˜α α1 n ∈ In . Takyj pidxid dozvolyv opysaty
deqki vlastyvosti mnoΩyny In = {
�
α = ( α1 , α2 , … , αn ) }.
Diq funktoriv Kokstera S ta T na vektorax
�
α zada[t\sq takym çynom:
S( )
�
α = ( 1 – α1 , 1 – α2 , … , 1 – αn ),
pryçomu funktor zastosovnyj lyße dlq takyx vektoriv
�
α = ( α1 , … , αn ), wo
0 < αi < 1, i = 1, … , n,
T
A A A
n( ) =
− −
…
−
�
α α α α1 2
1 1 1
, , , ,
funktor zastosovnyj dlq A > 1, A = αii
n
=∑ 1
,
Φ+( ) = ( ) = −
−
−
−
… −
−
� �
α α α α α
ST
A A A
n1
1
1
1
1
1
1 2, , , ,
funktor zastosovnyj dlq 0 < αi < A – 1, i = 1, … , n,
Φ−( ) = ( ) = −
− −
−
− −
… −
− −
� �
α α α α α
TS
n A n A n A
n1
1
1
1
1
1
1 2, , , ,
funktor zastosovnyj dlq 0 < αi < 1, i = 1, … , n, A < n – 1, de A = αii
n
=∑ 1
.
U statti [3] vvedeno R-umovu. Vektor
�
α = ( α1 , … , αn ) zadovol\nq[ R-umo-
vu, qkwo:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
704 A. A. GSENKO
1) vektor
�
α mistyt\ koordynatu αi0
≥ 1, abo
2) vektor
�
α mistyt\ koordynatu αi0
taku, wo αi0
+ 1 ≥ A.
TakoΩ pokazano, wo, vykorystovugçy funktory Kokstera dlq vektoriv
�
α ∈ In
takyx, wo A ∈ 1
4
2
2
,
n n n− −
, zavΩdy oderΩu[mo deqkyj vektor
�
β =
= Φ− ( )k �
α , k ≥ 1, dlq qkoho vykonu[t\sq R-umova. Z dopomohog funktoriv
Kokstera pokazano, wo dlq opysu mnoΩyny vektoriv
�
α ∈ In pry A ∈
∈
n n n+ −
2 4
2
2, neobxidno doslidyty vektory
�
α ∈ In pry A ∈
∈ 1
1
3
2+
−
n
, .
U danij statti rozhlqda[t\sq mnoΩyna I5 dlq A ∈
3
2
2,
.
Oskil\ky funktory Kokstera Φ +
, Φ –
vstanovlggt\ vza[mno odnoznaçnu
vidpovidnist\ miΩ mnoΩynamy
I A
A 53 2
2 ( )= /∪ i
I A
A 52
3 ( )=∪ , a funktor S vsta-
novlg[ vza[mno odnoznaçnu vidpovidnist\ miΩ mnoΩynamy
I A
A 52
5 2 ( )=
/∪ ta
I A
A 55 2
3 ( )= /∪ , dostatn\o doslidyty xoça b odnu z cyx mnoΩyn.
TverdΩennq 1. Qkwo nezvidnyj nabir proektoriv P1 , P2 , … , Pn zadovol\-
nq[ spivvidnoßennq α1 P1 + α2 P2 + … + αn Pn = γ I i αn ≥ αii
n
=
−∑ 1
1
, to P n = 0
abo Pn = 1.
Dovedennq. Spoçatku rozhlqnemo vypadok, koly γ <
A
2
, de A = αii
n
=∑ 1
,
todi z rivnosti (1) otryma[mo
α1 P1 + α2 P2 + … + αn – 1 Pn = γ I – αn Pn .
Oskil\ky zliva zavΩdy dodatno vyznaçenyj operator i za umovog γ <
A
2
ta αn ≥
≥ αii
n
=
−∑ 1
1
, to sprava operator bude dodatno vyznaçenym lyße pry Pn = 0.
U vypadku γ ≥
A
2
vvedemo zaminu Pi = I – P̃i . Todi z rivnosti (1) otryma[mo
α α α γ α1 1 2 2 1 1( − ) + ( − ) + … + ( − ) = − ( − )− −I P I P I P I I Pn n n n
˜ ˜ ˜ ˜
,
α α α α γ α1 1 2 2 1 1
1
˜ ˜ ˜ ˜P P P I Pn n i
i
n
n n+ + … + = −
−− −
=
∑ .
Analohiçno, vraxovugçy vsi umovy, oderΩu[mo P̃n = 0, a otΩe, Pn = I.
3. Konstrukciq linijno pov’qzanyx p’qtirok proektoriv. Perß niΩ bu-
duvaty ortoproektory v neskinçennovymirnomu hil\bertovomu prostori H, vve-
demo poznaçennq matryc\ A ( α, x ), B ( α, x ) ∈ M2 ( C ):
A ( α, x ) =
x x x
x x x
( − )
( − ) −
α
α α
,
B ( α, x ) =
x x x
x x x
− ( − )
− ( − ) −
α
α α
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
P’QTIRKY ORTOPROEKTORIV POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 705
dlq dovil\nyx x, α ∈ R takyx, wo x ≤ α. Zrozumilo, wo
1
α
A ( α, x ) i 1
α
B ( α, x )
— ortoproektory. Dlq vyvçennq mnoΩyny I5 pobudu[mo vidpovidni nabory li-
nijno pov’qzanyx ortoproektoriv. Nexaj P1 , P2 — bloçno-diahonal\ni operato-
ry u prostori H = C2 � C2 � … , qki zadagt\sq rivnqnnqmy
P1 =
1
1α
( A ( α1 , γ1 ) � A ( α1 , γ2 ) � … ), (2)
P2 =
1
2α
( B ( α2 , β1 ) � B ( α2 , β1 ) � … ), (3)
de 0 < γn < α1 , 0 < βn < α2 , n = 1, 2, … . Elementy P3
, P4 — bloçno-diahonal\-
ni operatory u prostori H = C � C2 � C2 � … , qki zadagt\sq rivnqnnqmy
P3 =
1
3
1
3 1 3 2α
α τ α τ( )( ) ( ) …x A A( ) , ,� � � , (4)
P4 =
1
4
2
4 1 4 2α
α θ α θ( )( ) ( ) …x B B( ) , ,� � � , (5)
de 0 < τn < α3 , 0 < θn < α4 , x( )1 ∈ { 0, α3 }, x( )2 ∈ { 0, α4 }, n = 1, 2, … . Element
P5 — diahonal\nyj operator u prostori H = C � C � … , qkyj zada[t\sq riv-
nqnnqm
P5 =
1
5
1
3
2
3
α
( )…x x( ) ( )� � , (6)
de xn
( )3 ∈ { 0, α5 }, n = 1, 2, … .
Neskladno perekonatysq, wo P1 , … , P5 — ortoproektory v H.
Znajdemo neobxidni umovy, za qkyx pobudovanyj nabir proektoriv P1 , … , P5
zadovol\nq[ spivvidnoßennq
α1 P1 + … + α5 P5 = I. (7)
TverdΩennq 2. Proektory P1 , … , P5
, qki zadagt\sq formulamy (2) – (6),
zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq (7) pry pevnyx znaçennqx parametriv todi i
til\ky todi, koly isnugt\ x ∈
− + + ±
α α α α α α3 4 3 4 4 3
2 2 2
, ,
∓
ta poslidov-
nist\ çysel εi ∈ { –1, 1 }, i = 1, 2, … , dlq qkyx
tn = ( − ) −
−2 1 1
2
n
A
x –
–
α ε α α α α α α α α5
1
2 1
1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2 2i
i
n
=
−
∑ ∈ − + − −
− +
, ,∪ ,
sn = 2 1
2
n
A
x−
− –
–
α ε α α α α α α α α5
1
2
3 4 3 4 4 3 3 4
2 2 2 2 2i
i
n
=
∑ ∈ − + − −
− +
, ,∪ ,
de A = αii
n
=∑ 1
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
706 A. A. GSENKO
Dovedennq. Z umovy (7) dlq proektoriv takoho vyhlqdu vyplyva[, wo mat-
ryci α1 P1 + α2 P2 ta α3 P3 + α4 P4 [ diahonal\nymy.
Z rivnosti
α1 P1 + α2 P2 = diag ( γ1 + β1
, α1 + α2 – ( γ1 + β1 ), … ) (8)
vyplyva[, wo γn ( α1 – γn ) = βn ( α2 – βn ) pry n = 1, 2, … . Nexaj t̃n = γn ( α1 –
– γn ) = βn ( α2 – βn ), todi γn =
α α1 1
2 4
2
± − t̃n
, βn =
α α2 2
2 4
2
± − t̃n
. Nexaj ta-
koΩ tn =
± − ± −α α1
2
2
24 4
2
˜ ˜t tn n
. Todi rivnist\ (8) nabere vyhlqdu
α1 P1 + α2 P2 =
α α1 2
1 1 2 22
+ + ( − − …)I t t t tdiag , , , , .
Analohiçno
α3 P3 + α4 P4 = diag ˜, , ,( )+ + − ( + ) …x τ θ α α τ θ1 1 3 4 1 1 , (9)
de x̃ ∈ { 0, α3 , α4 , α3 + α4 }. Z rivnosti (9) vyplyva[, wo τn ( α3 – τn ) = θn ( α4 –
– θn ) pry n = 1, 2, … . Nexaj s̃n = τn ( α3 – τn ) = θn ( α4 – θ n ), todi τ n =
=
α α3 3
2 4
2
± − s̃n
, θn =
α α4 4
2 4
2
± − s̃n
. Nexaj takoΩ sn =
=
± − ± −α α3
2
4
24 4
2
˜ ˜s sn n
. Vraxovugçy vsi zaminy, perepyßemo (8) u vyhlqdi
α3 P3 + α4 P4 =
α α3 4
1 1 2 22
+ + ( − − …)I x s s s sdiag , , , , , ,
de x ∈ − + + ±
α α α α α α3 4 3 4 4 3
2 2 2
, ,
∓
. Vraxovugçy ci peretvorennq, zapyße-
mo (7) u vyhlqdi
α1 P1 + α2 P2 + α3 P3 + α4 P4 + α5 P5 =
A
I t t
2 1 1+ ( − …)diag , , +
+ diag , , , diag ˜ , ,( − …) + ( …)x s s1 1 1 2ε ε = I. (10)
Tut A = αii
n
=∑ 1
, ε̃n ∈ −
α α5 5
2 2
, . Z (10) vypyßemo spivvidnoßennq dlq tn , sn
:
t x
A
1 1 1
2
+ + = −ε̃ ,
− + + = −t s
A
1 1 2 1
2
ε̃ ,
…………………………
t s
A
i i i− + = −−1 1
2
ε̃ ,
− − + = −t s
A
i i iε̃ 1
2
.
…………………………
Iz cyx spivvidnoßen\ otryma[mo zahal\ni formuly
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
P’QTIRKY ORTOPROEKTORIV POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 707
tn = ( − ) −
− −
=
−
∑2 1 1
2 2
5
1
2 1
n
A
x i
i
nα ε , (11)
sn = 2 1
2 2
5
1
2
n
A
x i
i
n
−
− −
=
∑α ε , (12)
de εi ∈ { –1, 1 }. Vraxovugçy znaçennq, qkyx moΩut\ nabuvaty γn
, βn
, τn
, θn
,
otrymu[mo
tn ∈ − + − −
− +
α α α α α α α α1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
, ,∪ , (13)
sn ∈ − + − −
− +
α α α α α α α α3 4 3 4 4 3 3 4
2 2 2 2
, ,∪ . (14)
OtΩe, qkwo isnu[ poslidovnist\ εi ∈ { –1, 1 }, qka zadovol\nq[ umovy (13),
(14), to zavΩdy moΩna pobuduvaty ortoproektory vyhlqdu (2) – (6), wo zado-
vol\nqtymut\ spivvidnoßennq (7).
Spravedlyvym [ takoΩ zvorotne tverdΩennq. Qkwo isnugt\ x ∈
∈
− + + ±
α α α α α α3 4 3 4 4 3
2 2 2
, ,
∓
ta poslidovnist\ εi ∈ { –1, 1 }, qka zadovol\-
nq[ umovy (13), (14), to parametry, wo zadagt\ ortoproektory P1 , … , P5
, moΩ-
na obçyslyty za formulamy dlq γn
, βn
, τn
, θn z perßo] çastyny dovedennq ta
spivvidnoßennqmy
x =
− + = =
− = =
− = =
+ = =
α α
α α α
α α α
α α α α
3 4 1 2
3 4 1
3
2
4 3 1 2
4
3 4 1
3
2
4
2
0
2
0
2
0
2
, ,
, , ,
, , ,
, , ,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
x x
x x
x x
x x
ta εi =
1
1 0
3
5
3
, ,
, .
( )
( )
x
x
i
i
=
− =
α
Vykorystovugçy navedenu konstrukcig, dovedemo nastupni teoremy.
Teorema 1. Nexaj α1 = … = α4
, 2α1 ≥ α5
, A – α5 ≤ 2, todi dlq vsix A ∈
∈ [ 2; 5 / 2 ] isnu[ nabir proektoriv, wo zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
α1 P1 + α1 P2 + α1 P3 + α1 P4 + α5 P5 = I.
Dovedennq. U danomu vypadku vyrazy (13) ta (14) magt\ vyhlqd
tn ∈ [ – α1
, α1 ], sn ∈ [ – α1
, α1 ]. (15)
Vykorystovugçy formuly (11), (12) dlq tn ta sn
, otrymu[mo
– α1 ≤ ( − ) −
− −
=
−
∑2 1 1
2 2
5
1
2 1
n
A
x i
i
nα ε ≤ α1 , (16)
– α1 ≤ 2 1
2 2
5
1
2
n
A
x i
i
n
−
− −
=
∑α ε ≤ α1 , (17)
de x ∈ { – α1 , 0, α1 }.
Nexaj ηn = [ n ( 2 – A ) – 2x – 2α1 , n ( 2 – A ) – 2x + 2α1 ] ⊂ R. Todi z (16) ta (17)
matymemo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
708 A. A. GSENKO
α ε5
1
2 1
i
i
n
=
−
∑ ∈ η2n – 1
, α ε5
1
2
i
i
n
=
∑ ∈ η2n
. (18)
Teoremu bude vstanovleno, qkwo my pokaΩemo, wo isnu[ poslidovnist\ çysel
εi ∈ { –1, 1 } taka, wo vykonugt\sq umovy (18).
Dovedemo teoremu metodom matematyçno] indukci]. Lehko perekonatysq, wo
pry n = 1 zavΩdy moΩna vybraty ε1 ta ε2 dlq riznyx znaçen\ x ∈ { – α1 , 0, α1 }
taki, wo zadovol\nqgt\ (18). Nexaj isnugt\ εi dlq i = 1, … , 2n – 1 taki, wo
vykonugt\sq (18). PokaΩemo, wo dlq koΩno] toçky z ∈ η2 n – 1 isnu[ ε2 n ∈ { –1,
1 } take, wo z + α5 ε2 n ∈ η2 n
, ta dlq koΩno] toçky y ∈ η2 n isnu[ ε2 n + 1 ∈ { –1,
1 } take, wo y + α5 ε2 n + 1 ∈ η2 n + 1
.
Nexaj η2 n – 1 = η2
n – 1, 1 ∪ η2 n – 1, 2
, de
η2 n – 1, 1 = [ ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x – 2α1 , 2n ( 2 – A ) – 2x + 2α1 – α5 ],
η2 n – 1, 2 = [ 2n ( 2 – A ) – 2x + 2α1 – α5 , 2n ( 2 – A ) – 2x + 2α1 ].
MoΩna pereviryty, wo dlq vsix A ∈ [ 2; 5 / 2 ] za umov α5 ≤ 2α1 ta A – α5 ≤ 2:
ε2 n = 1 dlq vsix toçok z ∈ η2 n – 1, 1
, tobto z + α5 ∈ η2 n
, i ε2 n = – 1 dlq toçok
z ∈ η2 n – 1, 2
, tobto z – α5 ∈ η2 n
. Zvidsy vyplyva[, wo dlq koΩno] toçky z ∈
∈ η2 n – 1 za umov α5 ≤ 2α1 ta A – α 5 ≤ 2 isnu[ ε2 n take, wo z + α5 ε2 n ∈ η2 n
.
Analohiçno dovodyt\sq isnuvannq ε2 n + 1
.
OtΩe, dlq bud\-qkoho A ∈ [ 2, 5 / 2 ] za umov, wo α5 ≤ 2α1 ta A – α 5 ≤ 2,
moΩna pidibraty taku poslidovnist\ çysel εi , wob vykonuvalys\ umovy (18),
tobto isnuvatyme rozv’qzok systemy (11), (12).
Teoremu dovedeno.
Teorema 2. Nexaj α1 = α2
, α3 = α4
, 2α1 ≥ α5
, 2α3 ≥ α5
, α1 ≤
1
2
, α 3 ≤
1
2
,
todi dlq vsix A ∈ [ 2; 5 / 2 ] isnu[ nabir proektoriv, wo zadovol\nqgt\ spivvid-
noßennq
α1 P1 + α1 P2 + α3 P3 + α3 P4 + α5 P5 = I.
Dovedennq. U danomu vypadku vyrazy (13) ta (14) magt\ vyhlqd
tn ∈ [ – α1
, α1 ], sn ∈ [ – α3
, α3 ]. (19)
Vykorystovugçy formuly (11), (12) dlq tn ta sn
, otrymu[mo
– α1 ≤ ( − ) −
− −
=
−
∑2 1 1
2 2
5
1
2 1
n
A
x i
i
nα ε ≤ α1 , (20)
– α3 ≤ 2 1
2 2
5
1
2
n
A
x i
i
n
−
− −
=
∑α ε ≤ α3 , (21)
de x ∈ { – α3 , 0, α3 }.
Dovedennq provedemo analohiçno dovedenng teoremy 1; vidminnist\ polqha[
lyße u mnoΩynax η2 n – 1
, η2 n
:
η2 n – 1 = [ ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x – 2α1 , ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x + 2α1 ] ⊂ R,
η2 n = [ 2n ( 2 – A ) – 2x – 2α3 , 2n ( 2 – A ) – 2x + 2α3 ] ⊂ R.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
P’QTIRKY ORTOPROEKTORIV POV’QZANI LINIJNYM SPIVVIDNOÍENNQM 709
OtΩe, dlq bud\-qkoho A ∈ [ 2, 5 / 2 ] za umov α5 ≤ 2α1
, α5 ≤ 2α3
, α1 ≤
1
2
,
α3 ≤
1
2
moΩna pidibraty taku poslidovnist\ çysel εi , wob vykonuvalys\ umovy
(20), (21), tobto isnuvatyme rozv’qzok systemy (11), (12).
Teoremu dovedeno.
Nastupna teorema pokazu[, wo za pevnyx umov na αi mnoΩyna I5 mistyt\
neporoΩng vidkrytu pidmnoΩynu.
Teorema 3. Nexaj α5 ≥ | α2 – α1 |, α5 ≥ | α4 – α3 |, α 1 + α2 ≤ 1, α 3 + α4 ≤ 1
ta α5 ≤ αj
, j = 1, … , 4, todi dlq vsix A ∈ [ 2, 5 / 2 ] isnu[ nabir proektoriv, wo
zadovol\nqgt\ spivvidnoßennq
α1 P1 + α2 P2 + α3 P3 + α4 P4 + α5 P5 = I.
Dovedennq. Nexaj
Gn = ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x – ( α1 + α2 ), Bn = ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x – | α2 – α1 |,
Cn = ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x + | α1 – α2 |, Dn = ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x + ( α1 + α2 ),
En = 2n ( 2 – A ) – 2x – ( α3 + α4 ), Fn = 2n ( 2 – A ) – 2x – | α4 – α3 |,
Kn = 2n ( 2 – A ) – 2x + | α3 – α4 |, Ln = 2n ( 2 – A ) – 2x + ( α3 + α4 ).
Todi η2n – 1 = [ Gn
, Bn ] ∪ [ Cn
, Dn ] ⊂ R ta η2 n = [ En
, Fn ] ∪ [ Kn
, Ln ] ⊂ R.
Pidstavyvßy (11) ta (12) v (13) ta (14), otryma[mo
α ε5
1
2 1
i
i
n
=
−
∑ ∈ η2 n – 1
, α ε5
1
2
i
i
n
=
∑ ∈ η2n
. (22)
Teoremu bude dovedeno, qkwo my pokaΩemo, wo isnu[ poslidovnist\ çysel
εi ∈ {–1, 1} taka, wo vykonugt\sq umovy (22).
Pry n = 1 nevaΩko perekonatysq, wo dlq bud\-qkyx x ∈
∈
− + + ±
α α α α α α3 4 3 4 4 3
2 2 2
, ,
∓
zavΩdy moΩna pidibraty ε1 ta ε2 . Nexaj
isnugt\ εi dlq i = 1, … , 2n – 1 taki, wo vykonugt\sq (22). PokaΩemo, wo dlq
koΩno] toçky z ∈ η2 n – 1 isnu[ ε2 n ∈ { –1, 1 } take, wo z + α5 ε2 n ∈ η2 n
, ta dlq
koΩno] toçky y ∈ η2 n isnu[ ε2 n + 1 ∈ { –1, 1 } take, wo y + α5 ε2 n + 1 ∈ η2 n + 1
.
Rozhlqnemo spoçatku mnoΩynu toçok η2 n – 1
, a same, mnoΩynu [ Gn
, Bn ].
Lehko baçyty, wo dlq bud\-qko] toçky x ∈ [ Gn
, Bn ] pry ε2 n = 1 x + α5 ∈ [ En ,
Ln ] za umovy, wo α1 + α2 ≤ 1. Dlq toçok x ∈ [ Gn
, Bn ], qki pry ε2 n = 1 perexo-
dqt\ u toçky x + α5 ∈ [ Fn
, Kn ], neobxidno, wob ε2 n = – 1, todi za umovy α5 ≤ αj
,
j = 1, … , 4, toçky x – α5 ∈ [ En
, Fn ]. Rozhlqnemo teper mnoΩynu [ Cn
, Dn ].
Nexaj [ Cn
, Dn ] = η2 n – 1, 1 ∪ η2 n – 1, 2
, de
η2 n – 1, 1 = [ ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x + | α1 – α2 |, 2n ( 2 – A ) – 2x + ( α4 + α3 ) – α5 ],
η2 n – 1, 2 = [ 2n ( 2 – A ) – 2x + ( α4 + α3 ) – α5 , ( 2n – 1 ) ( 2 – A ) – 2x + ( α1 + α2 ) ],
ε2 n = 1 dlq vsix toçok z ∈ η2 n – 1, 1
, tobto z + α5 ∈ [ Kn
, Ln ]. Za umovy α5 ≤ αj
,
j = 1, … , 4, ε2 n = – 1 dlq vsix toçok z ∈ η2 n – 1, 2
, tobto z – α5 ∈ [ Kn
, Ln ].
Rozhlqnemo teper η2 n
, a same, mnoΩynu [ En , Fn ]
. Lehko baçyty, wo dlq
bud\-qko] toçky x ∈ [ En
, Fnª] pry ε2 n + 1 = 1 x + α5 ∈ [ Cn + 1
, Dn + 1 ] za umovy,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
710 A. A. GSENKO
wo α3 + α4 ≤ 1. Dlq toçok x ∈ [ En
, Fn ], qki pry ε2 n + 1 = 1 perexodqt\ u toçky
x + α5 ∈ [ Bn + 1
, Cn + 1 ], neobxidno, wob ε2 n + 1 = – 1, todi za umovy α5 ≤ αj
, j =
= 1, … , 4, toçky x – α5 ∈ [ Gn + 1
, Bn + 1 ]. Rozhlqnemo teper mnoΩynu [ Kn
, Ln ].
Nexaj [ Kn
, Ln ] = η2 n, 1 ∪ η2 n, 2
, de
η2 n, 1 = [ 2n ( 2 – A ) – 2x + | α3 – α4 |, ( 2n + 1 ) ( 2 – A ) – 2x + ( α2 + α1 ) – α5 ],
η2 n, 2 = [ ( 2n + 1 ) ( 2 – A ) – 2x + ( α1 + α2 ) – α5 , 2n ( 2 – A ) – 2x + ( α3 + α4 ) ].
MoΩna pereviryty, wo dlq vsix toçok y ∈ η2 n, 1 vykonu[t\sq rivnist\
ε2 n + 1 = = 1, tobto y + α5 ∈ [ Cn + 1
, Dn + 1 ]. Krim toho, dlq vsix toçok y ∈ η2 n, 2
za umovy α5 ≤ αj
, j = 1, … , 4 çyslo ε2 n + 1 = – 1, tobto y – α5 ∈ [ Cn + 1
, Dn + 1 ].
OtΩe, dlq bud\-qkoho A ∈ [ 2, 5 / 2 ] za umov α5 ≥ | α2 – α1 |, α 5 ≥ | α4 – α3 |,
α1 + α2 ≤ 1, α3 + α4 ≤ 1 ta α5 ≤ αj
, j = 1, … , 4, moΩna pidibraty taku posli-
dovnist\ çysel εi
, wo vykonugt\sq umovy (22), tobto isnuvatyme rozv’qzok sys-
temy (11), (12).
Teoremu dovedeno.
Z dovedeno] teoremy vyplyvagt\ dva naslidky.
Naslidok 1. MnoΩyna parametriv ( α1 , … , α5 ) ∈ R5
, pry qkyx isnugt\
p’qt\ ortoproektoriv P1 , … , P5 u deqkomu hil\bertovomu prostori, wo za-
dovol\nqgt\ spivvidnoßennq α1 P1 + … + α5 P5 = I, mistyt\ vidkrytu pidmno-
Ωynu z R5
.
Napryklad, hiperkub (0, 45; 0, 5)
4 × (0, 2; 0, 45).
Naslidok 2. MnoΩyna parametriv ( α1 , … , αn ) ∈ Rn
, pry qkyx isnu[ nabir
ortoproektoriv P1 , … , Pn u deqkomu hil\bertovomu prostori, wo zadovol\nq-
gt\ spivvidnoßennq α1 P1 + … + αn Pn = I, mistyt\ vidkrytu pidmnoΩynu zNRn
.
Dovedennq. MnoΩyna parametriv ( α1 , … , α5 ) ∈ R5
mistyt\ vidkrytu pid-
mnoΩynu z R
5
(naslidok 1). PokaΩemo, wo mnoΩyna ( α1 , … , αn ) ∈ Rn
, n > 5,
takoΩ mistyt\ vidkrytu pidmnoΩynu z Rn
. Spravdi, dlq mnoΩyny parametriv
( α1 , … , α5 ) ∈ R5
isnu[ nabir proektoriv P1 , … , Pn , de dlq vsix k > 5 Pk = 0,
qkyj zadovol\nq[ spivvidnoßennq α1 P1 + … + α5 P5 + α6 0 + … + αn 0 = I. Ot-
Ωe, mnoΩyna parametriv ( α1 , … , αn ) ∈ In mistyt\ vidkrytu pidmnoΩynu z Rn
.
Naslidok dovedeno.
1. Ostrovskyi V., Samoilenko Yu. Introduction to the theory of representation of finitely presented *-
algebras. 1. Representation by bounded operators // Revs Math. and Math. Phys. – 1999. – 11. –
P. 1 – 261.
2. Kruhlqk S. A., Rabanovyç V. Y., Samojlenko G. S. O summax proektorov // Funkcyon. ana-
lyz y eho pryl. – 2002. – 36, # 3. – S. 20 – 35.
3. Kruglyak S. A. Coxeter functor for a sertein class of *-quivers and *-algebras // Meth. Funct.
Anal. and Top. – 2002. – 8, # 4. – P. 49 – 57.
4. Kyryçenko A. A. , Kruhlqk S. A. Pro spektr sumy proektoriv // Visn. Ky]v. un-tu. Ser. fiz.-
mat. nauky. – 2003. – # 1. – S. 24 – 31.
5. Gsenko K. A. Pro çetvirky proektoriv, pov’qzanyx linijnym spivvidnoßennqm // Ukr. mat.
Ωurn. – 2006. – 58, # 9. – S. 1289 – 1295.
OderΩano 08.04.08,
pislq doopracgvannq — 23.09.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3052 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:20Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1c/42e99ea9a6a563d253d01f960c73e31c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30522020-03-18T19:44:07Z Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation П'ятірки ортопроекторів пов'язані лінійним співвідношенням Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. We consider the equation $α_1 P_1 + α_2 P_2 + … α_n P_n = I$ over orthoprojectors $P_1, … ,P_n$ in a Hilbert space. We show that the set of real parameters $(α_1, … α_n)$ for which there exists a solution of this equation in orthoprojectors contains an open set from $ℝ^5$. Рассматривается уравнение $α_1 P_1 + α_2 P_2 + … α_n P_n = I$ над ортопроекторами $P_1, … ,P_n$ в гильбертовом пространстве. Показано, что множество действительных параметров $(α_1, … α_n)$, для которых существует решение этого уравнения в ортопроекторах, содержит открытое множество из $ℝ^5$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3052 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 701-710 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 701-710 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3052/2853 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3052/2854 Copyright (c) 2009 Yusenko A. A. |
| spellingShingle | Yusenko, A. A. Юсенко, А. А. Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| title | Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| title_alt | П'ятірки ортопроекторів пов'язані лінійним співвідношенням |
| title_full | Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| title_fullStr | Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| title_full_unstemmed | Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| title_short | Quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| title_sort | quintuplets of orthoprojectors associated by a linear relation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3052 |
| work_keys_str_mv | AT yusenkoaa quintupletsoforthoprojectorsassociatedbyalinearrelation AT ûsenkoaa quintupletsoforthoprojectorsassociatedbyalinearrelation AT yusenkoaa p039âtírkiortoproektorívpov039âzanílíníjnimspívvídnošennâm AT ûsenkoaa p039âtírkiortoproektorívpov039âzanílíníjnimspívvídnošennâm |