Asymptotic periodicity of trajectories of an interval
We consider dynamical systems generated by continuous mappings of an interval I into itself. We prove that the trajectory of an interval J ⊂ I is asymptotically periodic if and only if J contains an asymptotically periodic point.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3054 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509078699114496 |
|---|---|
| author | Fedorenko, V. V. Федоренко, В. В. Федоренко, В. В. |
| author_facet | Fedorenko, V. V. Федоренко, В. В. Федоренко, В. В. |
| author_sort | Fedorenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:07Z |
| description | We consider dynamical systems generated by continuous mappings of an interval I into itself. We prove that the trajectory of an interval J ⊂ I is asymptotically periodic if and only if J contains an asymptotically periodic point. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:23Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9
V. V. Fedorenko (Yn-t matematyky NAN Ukrayn¥, Kyev)
ASYMPTOTYÇESKAQ PERYODYÇNOST|
TRAEKTORYJ YNTERVALA
∗∗∗∗
We consider the dynamical systems generated by continuous maps of the interval I to itself. We prove
that the trajectory of the interval J ⊂ I is asymptotically periodic if and only if J contains an
asymptotically periodic point.
Rozhlqdagt\sq dynamiçni systemy, wo porodΩeni neperervnymy vidobraΩennqmy intervalu I v
sebe. Dovedeno, wo tra[ktoriq intervalu J ⊂ I [ asymptotyçno periodyçnog todi i til\ky todi,
koly J mistyt\ asymptotyçno periodyçnu toçku.
V rabote, v otlyçye ot klassyçeskoj topolohyçeskoj dynamyky, yssleduetsq
asymptotyçeskoe povedenye traektoryj ne otdel\n¥x toçek, a traektoryj pod-
mnoΩestv fazovoho prostranstva dynamyçeskoj system¥. Povedenye traekto-
ryj mnoΩestv moΩet suwestvenno otlyçat\sq ot povedenyq traektoryj toçek y
dlq mnohyx klassov dynamyçeskyx system qvlqetsq bolee prost¥m, çem povede-
nye traektoryj toçek. Naprymer, traektoryy toçek odnostoronneho sdvyha
Bernully ymegt ßyrokyj spektr asymptotyçeskoho povedenyq — πto peryody-
çeskye traektoryy skol\ uhodno bol\ßoho peryoda, homoklynyçeskye traekto-
ryy, vsgdu plotn¥e v fazovom prostranstve traektoryy y t. d., v to vremq kak
vse πlement¥, naçynaq s nekotoroho, traektoryy lgboj okrestnosty kaΩdoj
toçky fazovoho prostranstva sovpadagt so vsem fazov¥m prostranstvom. Ne-
obxodymost\ yssledovanyq traektoryj mnoΩestv estestvenno voznykaet v raz-
lyçn¥x zadaçax, v çastnosty, pry yssledovanyy asymptotyçeskoho povedenyq
reßenyj raznostn¥x uravnenyj s neprer¥vn¥m vremenem y nekotor¥x klassov
kraev¥x zadaç dlq uravnenyj v çastn¥x proyzvodn¥x [1, 2].
Pust\ I = [ , ]0 1 y f C I I∈ 0( , ) . Pust\ takΩe f n = f f n� −1, n = 1, 2, … ,
f 0
— toΩdestvennoe otobraΩenye. Posledovatel\nost\ f xn( ), n = 0, 1, 2, … ,
— traektoryq toçky x I∈ . Analohyçno, traektoryej zamknutoho yntervala
J ⊂ I budem naz¥vat\ posledovatel\nost\ mnoΩestv f Jn( ), n = 0, 1, 2, … . V
rabote yssleduetsq asymptotyçeskoe povedenye traektoryy f Jn( ), n = 0, 1,
2, … . V sylu neprer¥vnosty f πlement¥ traektoryy f Jn( ), n = 0, 1, 2, … , —
zamknut¥e ynterval¥ (vozmoΩno, v¥roΩdenn¥e, t. e. toçky), kotor¥e oboznaçym
f Jn( ) = [ ],a bn n , n = 0, 1, 2, … . Yssledovanye asymptotyçeskoho povedenyq
traektoryy yntervala J svodytsq k yzuçenyg predel\noho povedenyq posledo-
vatel\nostej an, n = 0, 1, 2, … , y bn , n = 0, 1, 2, … , pry n → ∞ .
Opredelenye�1. Traektoryg f Jn( ) = [ ],a bn n , n = 0, 1, 2, … , yntervala
J budem naz¥vat\ sxodqwejsq, esly kaΩdaq yz posledovatel\nostej an, n =
= 0, 1, 2, … , y bn , n = 0, 1, 2, … , pry n → ∞ qvlqetsq sxodqwejsq. Prede-
lom sxodqwejsq traektoryy yntervala J budem naz¥vat\ ynterval [ ],a b∞ ∞ ,
hde a∞ = limn na→∞ y b∞ = limn nb→∞ .
∏to opredelenye sxodymosty traektoryy yntervala πkvyvalentno opredele-
nyg sxodymosty posledovatel\nosty mnoΩestv, t. e. suwestvovanyg ee topolo-
hyçeskoho predela, opredelenye kotoroho pryvedeno, naprymer, v [3, 4].
NyΩe yspol\zugtsq sledugwye ponqtyq y oboznaçenyq:
∗
PodderΩana Nauçnoj prohrammoj Nacyonal\noj akademyy nauk Ukrayn¥ (proekt
#:0107U002333).
© V. V. FEDORENKO, 2009
716 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
ASYMPTOTYÇESKAQ PERYODYÇNOST| TRAEKTORYJ YNTERVALA 717
Fix f = x I f x x∈ ={ }( ) — mnoΩestvo nepodvyΩn¥x toçek;
Per f =
Fix f n
n≥0∪ — mnoΩestvo peryodyçeskyx toçek.
Peryodom toçky x ∈ Per f naz¥vaetsq naymen\ßee natural\noe p takoe, çto
x ∈ Fix f p ; ω ( x ) =
n
k
k n
f x≥ ≥0∩ ∪ ( ) — ω -predel\noe mnoΩestvo toçky x I∈ .
Yz sxodymosty traektoryy lgboj toçky yz I (t. e. yz toho, çto lgboe ω -
predel\noe mnoΩestvo — nepodvyΩnaq toçka) sleduet sxodymost\ traektoryy
lgboho (otkr¥toho, poluotkr¥toho, zamknutoho, v¥roΩdennoho) yntervala yz I
[5, 6]. Otmetym takΩe, çto klass neprer¥vn¥x otobraΩenyj, traektoryq kaΩ-
doj toçky kotoroho sxodytsq, dostatoçno polno yssledovan; yzvestno mnoho
kryteryev prynadleΩnosty otobraΩenyq πtomu klassu, yspol\zugwyx razlyç-
n¥e ponqtyq topolohyçeskoj dynamyky [7, 8].
S druhoj storon¥, esly traektoryq lgboho nev¥roΩdennoho yntervala sxo-
dytsq, to otsgda ne sleduet sxodymost\ traektoryy lgboj toçky (prymerom ta-
koho otobraΩenyq moΩet sluΩyt\ odnostoronnyj sdvyh Bernully). Esly oto-
braΩenye ymeet traektoryy yntervala, kotor¥e ne qvlqgtsq sxodqwymysq, to
estestvenno v¥qsnyt\ uslovyq na ynterval, harantyrugwye sxodymost\ eho tra-
ektoryy. Odno yz takyx uslovyj svqzano s nalyçyem na yntervale proobraza
peryodyçeskoj toçky [9]. Toçn¥e formulyrovky svojstv upomqnut¥x v¥ße
utverΩdenyj pryveden¥ nyΩe.
Teorema�A [5, 6]. Pust\ f C I I∈ 0( , ) . Esly traektoryq lgboj toçky sxo-
dytsq (t. e. ω -predel\noe mnoΩestvo lgboj toçky est\ nepodvyΩnaq toçka),
to traektoryq lgboho pod¥ntervala sxodytsq.
Teorema�B [9]. Pust\ f C I I∈ 0( , ) . Esly ynterval J soderΩyt proobraz
peryodyçeskoj toçky peryoda p otobraΩenyq f, to pry otobraΩenyy f p2
traektoryq yntervala J sxodytsq.
Zametym, çto v [10] pryvedeno druhoe (ne yspol\zugwee qvno peryodyçeskye
toçky) dostatoçnoe uslovye sxodymosty traektoryy yntervala, a ymenno, naly-
çye na yntervale neustojçyvoj po Lqpunovu toçky.
Cel\g dannoj rabot¥ qvlqetsq dokazatel\stvo sledugwej teorem¥, obob-
wagwej teorem¥:A y B. Dlq formulyrovky neobxodymo ewe odno oprede-
lenye.
Opredelenye�2. Traektoryg yntervala J (vozmoΩno, v¥roΩdennoho) na-
zovem asymptotyçesky peryodyçeskoj, esly suwestvuet natural\noe p ta-
koe, çto pry otobraΩenyy f p
traektoryq f Jpi( ), i = 0, 1, 2, … , sxodytsq,
a naymen\ßee p , pry kotorom πto svojstvo v¥polnqetsq, nazovem peryodom
asymptotyçesky peryodyçeskoj traektoryy.
Teorema. Pust\ f C I I∈ 0( , ) . Traektoryq yntervala J yz I qvlqetsq
asymptotyçesky peryodyçeskoj tohda y tol\ko tohda, kohda J soderΩyt
asymptotyçesky peryodyçeskug toçku. Pry πtom esly peryod asymptotyçesky
peryodyçeskoj toçky, prynadleΩawej J, raven p, to peryod asymptotyçes-
ky peryodyçeskoj traektoryy yntervala qvlqetsq delytelem çysla 2p .
Dlq dokazatel\stva teorem¥ neobxodym¥ sledugwye oçevydn¥e svojstva
asymptotyçesky peryodyçeskyx traektoryj.
Svojstvo:1. Esly traektoryq yntervala pry otobraΩenyy g = f k
qvlq-
etsq asymptotyçesky peryodyçeskoj pry nekotorom natural\nom k , to traek-
toryq πtoho yntervala pry otobraΩenyy h = f l
asymptotyçesky peryodyçes-
kaq pry kaΩdom natural\nom l .
Svojstvo:2. Esly posledovatel\nost\ f Jpi( ), i = 0, 1, 2, … , sxodytsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
718 V. V. FEDORENKO
pry nekotorom p > 1, to posledovatel\nost\ f Jpi m+ ( ), i = 0, 1, 2, … , sxodyt-
sq pry lgbom m p∈ … −{ , , , }1 2 1 .
∏to svojstvo qvlqetsq sledstvyem neprer¥vnosty otobraΩenyq f .
Svojstvo:3. Esly traektoryq f Jn( ) = [ ],a bn n , i = 0, 1, 2, … , yntervala
J qvlqetsq sxodqwejsq, to ee predel [ ],a b∞ ∞ qvlqetsq ynvaryantn¥m ynter-
valom, t. e. f a b([ ]),∞ ∞ = [ ],a b∞ ∞ .
NyΩe dokaz¥vagtsq çet¥re lemm¥, yz kotor¥x sleduet teorema.
Lemma�1. Esly traektoryq yntervala sxodytsq k nev¥roΩdennomu ynter-
valu, to suwestvuet πlement πtoj traektoryy, soderΩawyj nepodvyΩnug
toçku.
Dokazatel\stvo. Pust\ traektoryq f Jn( ), n = 0, 1, 2, … , yntervala J
sxodytsq k yntervalu J a b∞ ∞ ∞= [ ], y pry πtom a b∞ ∞≠ . Poskol\ku J∞ —
ynvaryantn¥j ynterval, to on soderΩyt nepodvyΩnug toçku otobraΩenyq f .
VozmoΩn¥ tol\ko dva sluçaq:
1) Fix( ) ,( )f a b∩ ∞ ∞ ≠ ∅, 2) Fix( ) ,( )f a b∩ ∞ ∞ = ∅.
Rasssmotrym kaΩd¥j yz nyx.
V pervom sluçae nepodvyΩnug toçku mnoΩestva Fix( ) ,( )f a b∩ ∞ ∞ obozna-
çym çerez α . Poskol\ku a b∞ ∞< <α , suwestvugt otkr¥t¥e neperesekagwye-
sq okrestnosty πtyx toçek, kotor¥e oboznaçym U a( )∞ , U( )α y U b( )∞ sootvet-
stvenno. Poskol\ku traektoryq f J a bn
n n( ) ,[ ]= , n = 0, 1, 2, … , sxodytsq k
yntervalu J a b∞ ∞ ∞= [ ], , t. e. a an → ∞ y b bn → ∞ pry n → ∞ , suwestvugt
n1 y n2 takye, çto a U an ∈ ∞( ) pry n > n1 y b U bn ∈ ∞( ) pry n > n2 . Otsgda
sleduet, çto α ∈ f Jn( ) pry lgbom n n n> max ,{ }1 2 .
Pust\ teper\ Fix( ) ,( )f a b∩ ∞ ∞ = ∅. V πtom sluçae a∞ y b∞ — nepodvyΩ-
n¥e toçky otobraΩenyq f . VozmoΩn¥ tol\ko dva sluçaq: 1) f ( x ) > x pry
x a b∈ ∞ ∞( ), , 2) f ( x ) < x pry x a b∈ ∞ ∞( ), . Rassmotrym tol\ko perv¥j yz nyx,
tak kak dokazatel\stvo lemm¥ vo vtorom analohyçno.
Poskol\ku a an → ∞ pry n → ∞ , suwestvuet n3 takoe, çto a bn < ∞ pry
lgbom n ≥ n3 . Esly suwestvuet n4 ≥ n3 takoe, çto a an4
= ∞ , to f Jn4 ( ) so-
derΩyt nepodvyΩnug toçku a∞ .
Esly suwestvuet n5 ≥ n3 takoe, çto an5
> a∞ , to bn5
> b∞ y f Jn5 ( ) so-
derΩyt nepodvyΩnug toçku b∞ . Dejstvytel\no, esly predpoloΩyt\, çto
bn5
< b∞ , to, tak kak f ( x ) > x pry x a b∈ ∞ ∞( ), , rasssmatryvaemaq traektoryq
sxodytsq k toçke b∞ , çto nevozmoΩno v sylu nev¥roΩdennosty predel\noho
yntervala.
Ostaetsq poslednqq vozmoΩnost\ vzaymnoho raspoloΩenyq toçek an, n ≥
≥ n3
, y a∞ : a an < ∞ pry lgbom n ≥ n3 . V πtom sluçae, poskol\ku b bn → ∞
pry n → ∞ , suwestvuet n6 ≥ n3 takoe, çto b an6
> ∞ y, sledovatel\no,
f Jn6 ( ) soderΩyt nepodvyΩnug toçku a∞ .
Lemma�2. Esly traektoryq yntervala sxodytsq, to πtot ynterval soder-
Ωyt asymptotyçesky nepodvyΩnug toçku.
Dokazatel\stvo. Pust\ traektoryq f Jn( ), n = 0, 1, 2, … , yntervala J
sxodytsq k yntervalu [ ],a b∞ ∞ . Esly a b∞ ∞≠ , to yz lemm¥:1 sleduet, çto
suwestvuet n0 takoe, çto f Jn0 ( ) soderΩyt nepodvyΩnug toçku α . Poπtomu
J soderΩyt asymptotyçesky nepodvyΩnug toçku β takug, çto f n0 ( )β α= .
Esly Ωe a b∞ ∞= , to yz opredelenyq sxodymosty traektoryy yntervala sledu-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
ASYMPTOTYÇESKAQ PERYODYÇNOST| TRAEKTORYJ YNTERVALA 719
et, çto lgbaq toçka yntervala J qvlqetsq asymptotyçesky nepodvyΩnoj.
Lemma�3. Esly f J f Jk k l( ) ( )∩ + ≠ ∅ pry nekotor¥x k ≥ 0 y l > 0, to
traektoryq yntervala J asymptotyçesky peryodyçeskaq.
Dokazatel\stvo. Rassmotrym otobraΩenye g = f l . V sylu svojstva:1
asymptotyçesky peryodyçeskyx traektoryj dlq dokazatel\stva lemm¥:3 dosta-
toçno dokazat\, çto traektoryq yntervala J pry otobraΩenyy g asymptoty-
çesky peryodyçeskaq. Krome toho, asymptotyçeskaq peryodyçnost\ traektoryy
yntervala J pry otobraΩenyy g πkvyvalentna asymptotyçeskoj peryodyçnos-
ty traektoryy yntervala g Jk ( ) pry otobraΩenyy g pry lgbom k ≥ 0. Poπto-
mu dostatoçno dokazat\ utverΩdenye: esly J g J∩ ( ) ≠ ∅ , to traektoryq yn-
tervala J asymptotyçesky peryodyçeskaq.
Dejstvytel\no, esly J soderΩyt nepodvyΩnug toçku, to yz teorem¥:B sle-
duet, çto traektoryq yntervala J pry otobraΩenyy g2
sxodytsq, t. e. qvlqet-
sq asymptotyçesky peryodyçeskoj.
Pust\ teper\ J ne soderΩyt nepodvyΩn¥x toçek. Otsgda sleduet, çto
1):g ( x ) > x pry x ∈ J lybo 2):g ( x ) < x pry x ∈ J . Rassmotrym tol\ko perv¥j
sluçaj (dokazatel\stvo lemm¥ vo vtorom sluçae analohyçno). Esly ynterval
g ( J ) soderΩyt nepodvyΩnug toçku, to po teoreme:B traektoryq yntervala J
asymptotyçesky peryodyçeskaq.
Pust\ g ( J ) ne soderΩyt nepodvyΩn¥x toçek. V πtom sluçae, poskol\ku
J g J∩ ( ) ≠ ∅ , mnoΩestvo J g J∪ ( ) qvlqetsq zamknut¥m yntervalom y pry
πtom ( x ) > x dlq x J g J∈ ∪ ( ).
ProdolΩaq πty rassuΩdenyq, poluçaem tol\ko dve vozmoΩnosty: 1) suwest-
vuet n0 takoe, çto g Jn0 ( ) soderΩyt nepodvyΩnug toçku, 2) g Ji
i
( )≥0∪ — yn-
terval y g ( x ) > x dlq
x g Ji
i
∈ ≥ ( )
0∪ . V pervom sluçae asymptotyçeskaq pe-
ryodyçnost\ traektoryy yntervala J sleduet yz teorem¥:B, vo vtorom sluçae
traektoryq yntervala J sxodytsq k pravomu koncu yntervala::
g Ji
i
( )≥0∪ .
Lemma�4. Esly ynterval soderΩyt asymptotyçesky nepodvyΩnug toçku, a
vse πlement¥ traektoryy πtoho yntervala poparno ne peresekagtsq, to tra-
ektoryq yntervala sxodytsq k πtoj nepodvyΩnoj toçke.
Dokazatel\stvo. Pust\ ynterval J soderΩyt toçku x , traektoryq koto-
roj sxodytsq k nepodvyΩnoj toçke α . ∏to oznaçaet, çto dlq lgboj otkr¥toj
okrestnosty U toçky x suwestvuet N takoe, çto f x Un( ) ∈ pry vsex n > N .
Esly f J Un ( ) ∈ pry vsex n > N , to toçky an y bn , kotor¥e qvlqgtsq
koncamy yntervala f Jn( ), prynadleΩat okrestnosty U pry vsex n > N . ∏to
svojstvo oznaçaet, çto posledovatel\nosty an, n = 0, 1, 2, … , y bn , n = 0, 1,
2, … , sxodqtsq k toçke α pry n → ∞ . Poπtomu v πtom sluçae lemma:4 spra-
vedlyva.
Esly f J Un ( ) ∈ pry vsex n > N , krome koneçnoho çysla πlementov mno-
Ωestva n + 1, n + 2, … , to suwestvuet n1 > n takoe, çto f J Un ( ) ∈ pry vsex
n > n1 , y dokazatel\stvo svodytsq k pred¥duwemu sluçag.
Dlq zaverßenyq dokazatel\stva lemm¥:4 dokaΩem nevozmoΩnost\ suwestvo-
vanyq beskoneçnoj vozrastagwej posledovatel\nosty çysel ni , i = 2, 3, … ,
takoj, çto n2 > N y f J Uni ( ) ∉ pry vsex i ≥ 2. PredpoloΩym, çto πto voz-
moΩno, t. e. suwestvuet lybo beskoneçnaq posledovatel\nost\ a Uni
∉ , i ≥ 2,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
720 V. V. FEDORENKO
lybo beskoneçnaq posledovatel\nost\ b Uni
∉ , i ≥ 2. Oboznaçym U = [ ],a bU U .
Ne umalqq obwnosty, moΩno sçytat\, çto a an U2
< y a an U3
< . Pry πtom, v
sylu v¥bora okrestnosty U, ymeem f x Un2 ( ) ∈ y f x Un3 ( ) ∈ . Sledovatel\no,
an2
< aU < f xn2 ( ) y an3
< aU < f xn3 ( ). ∏ty neravenstva oznaçagt, çto aU ∈
∈ f J f Jn n2 3( ) ( )∩ , t. e. suwestvugt peresekagwyesq πlement¥ traektoryy yn-
tervala J . Pryßly k protyvoreçyg.
Dokazatel\stvo teorem¥. Pust\ traektoryq yntervala J qvlqetsq
asymptotyçesky peryodyçeskoj peryoda p pry otobraΩenyy f . Tohda pry oto-
braΩenyy g = f p
traektoryq yntervala J qvlqetsq sxodqwejsq. Yz lemm¥:2
sleduet, çto J soderΩyt asymptotyçesky nepodvyΩnug toçku pry otobraΩe-
nyy g, kotoraq, v svog oçered\, qvlqetsq asymptotyçesky peryodyçeskoj pry
otobraΩenyy f .
Obratnoe utverΩdenye. Pust\ ynterval J soderΩyt asymptotyçesky pery-
odyçeskug toçku peryoda p pry otobraΩenyy f . Esly suwestvugt peresekag-
wyesq πlement¥ πtoj traektoryy, to yz lemm¥:3 sleduet, çto traektoryq πtoho
yntervala asymptotyçesky peryodyçeskaq. Pust\ teper\ πlement¥ traektoryy
yntervala J poparno ne peresekagtsq. Pry otobraΩenyy g = f p
ynterval J
soderΩyt asymptotyçesky nepodvyΩnug toçku. V πtom sluçae yz lemm¥:4 sle-
duet, çto traektoryq yntervala sxodytsq k πtoj nepodvyΩnoj toçke. Poπtomu
yz svojstva:1 sleduet, çto traektoryq yntervala J qvlqetsq asymptotyçesky
peryodyçeskoj pry otobraΩenyy f .
Yz teorem¥:B v¥tekaet, çto peryod asymptotyçesky peryodyçeskoj traekto-
ryy yntervala J raven delytelg çysla 2p .
Teorema dokazana.
1. Íarkovskyj A. N., Majstrenko G. L., Romanenko E. G. Raznostn¥e uravnenyq y yx prylo-
Ωenyq. – Kyev : Nauk. dumka, 1986. – 280 s. (Perevod: Sharkovsky A. N., Maistrenko Yu. L.,
Romanenko E. Yu. Difference equations and their applications. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad.
Publ., 1993. – 358 p.)
2. Sharkovsky A. N., Romanenko E. Yu. Difference equations and dynamical systems generated by
some classes of boundary value problems // Proc. Steklov Inst. Math. – 2004. – 244. – P. 264 – 279.
3. Xausdorf F. Teoryq mnoΩestv. – M.; L.: ONTY NKTY SSSR, 1937. – 304 s.
4. Kuratovskyj K. Topolohyq: V 2 t. – M.: Myr, 1966. – T. 1. – 594 s.
5. Fedorenko V. V. Topolohyçeskyj predel traektoryj yntervala prostejßyx odnomern¥x
dynamyçeskyx system // Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 3. – S.:425 – 430.
6. Fedorenko V. V. Topological limit of trajectories of intervals of one-dimensional dynamical
systems // Iteration Theory (ECIT’02) / Eds J. Sousa Ramos, D. Gronau, C. Mira, L. Reich,
A. N. Sharkovsky (Grazer Math. Ber., Bericht Nr.). – 2004. – 346. – P. 107 – 111.
7. Íarkovskyj A. N., Kolqda S. F., Syvak A. H., Fedorenko V. V. Dynamyka odnomern¥x oto-
braΩenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1989. – 216 s. (Perevod: Sharkovsky A. N., Kolyada S. F., Si-
vak A. G., Vedorenko V. V. Dynamics of one-dimensional maps. – Dordrecht etc.: Kluwer Acad.
Publ., 1997. – 272 p.)
8. Block L. S., Coppel W. A. Dynamics in one dimension. – Berlin; Heidelberg: Springer, 1992. –
249 p.
9. Fedorenko V. V. Asymptotyka traektoryy yntervala soderΩaweho proobraz peryodyçeskoj
toçky // Nelinijni kolyvannq. – 2009. – 12, # 1. – S.:130 – 133.
10. Romanenko E. G. Dynamyka okrestnostej toçek pry neprer¥vnom otobraΩenyy yntervala
// Ukr. mat. Ωurn. – 2005. – 57, # 11. – S.:534 – 547.
Poluçeno 05.03.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 5
|
| id | umjimathkievua-article-3054 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:23Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/43/31f308b51f01fcc12e01fea948848a43.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30542020-03-18T19:44:07Z Asymptotic periodicity of trajectories of an interval Асимптотическая периодичность траекторий интервала Fedorenko, V. V. Федоренко, В. В. Федоренко, В. В. We consider dynamical systems generated by continuous mappings of an interval I into itself. We prove that the trajectory of an interval J ⊂ I is asymptotically periodic if and only if J contains an asymptotically periodic point. Розглядаються динамічні системи, що породжені неперервними відображеннями інтервалу I в себе. Доведено, що траєкторія інтервалу J ⊂ I є асимптотично періодичною тоді і тільки тоді, коли J містить асимптотично періодичну точку. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-05-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3054 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 5 (2009); 716-720 Український математичний журнал; Том 61 № 5 (2009); 716-720 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3054/2857 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3054/2858 Copyright (c) 2009 Fedorenko V. V. |
| spellingShingle | Fedorenko, V. V. Федоренко, В. В. Федоренко, В. В. Asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| title | Asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| title_alt | Асимптотическая периодичность траекторий интервала |
| title_full | Asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| title_fullStr | Asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| title_full_unstemmed | Asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| title_short | Asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| title_sort | asymptotic periodicity of trajectories of an interval |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3054 |
| work_keys_str_mv | AT fedorenkovv asymptoticperiodicityoftrajectoriesofaninterval AT fedorenkovv asymptoticperiodicityoftrajectoriesofaninterval AT fedorenkovv asymptoticperiodicityoftrajectoriesofaninterval AT fedorenkovv asimptotičeskaâperiodičnostʹtraektorijintervala AT fedorenkovv asimptotičeskaâperiodičnostʹtraektorijintervala AT fedorenkovv asimptotičeskaâperiodičnostʹtraektorijintervala |