On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets
We consider semigroups of endomorphisms of linearly ordered sets ℕ and ℤ and their subsemigroups of cofinite endomorphisms. We study the Green relations, groups of automorphisms, conjugacy, centralizers of elements, growth, and free subsemigroups in these subgroups.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3055 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509077878079488 |
|---|---|
| author | Doroshenko, V. V. Дорошенко, В. В. |
| author_facet | Doroshenko, V. V. Дорошенко, В. В. |
| author_sort | Doroshenko, V. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:24Z |
| description | We consider semigroups of endomorphisms of linearly ordered sets ℕ and ℤ and their subsemigroups of cofinite endomorphisms. We study the Green relations, groups of automorphisms, conjugacy, centralizers of elements, growth, and free subsemigroups in these subgroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:22Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512. 534
V. V. Doroßenko (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
PRO NAPIVHRUPY PERETVOREN| ZLIÇENNYX LINIJNO
UPORQDKOVANYX MNOÛYN, QKI ZBERIHAGT| PORQDOK
Semigroups of endomorphisms of linearly ordered sets N and Z and their subsemigroups of cofinite
endomorphisms are considered. The Green's relations, automorphism groups, conjugacy, centralizers of
elements, growth, and free subsemigroups in these semigroups are investigated.
Rassmatryvagtsq poluhrupp¥ πndomorfyzmov lynejno uporqdoçenn¥x mnoΩestv N y Z, a
takΩe yx podpoluhrupp¥ kokoneçn¥x πndomorfyzmov. Yssledugtsq otnoßenyq Hryna, hrupp¥
avtomorfyzmov, soprqΩennost\, centralyzator¥ πlementov, rost, svobodn¥e podpoluhrupp¥ v
πtyx poluhruppax.
1. Vstup.4 Napivhrupy peretvoren\, qki zberihagt\ porqdok, [ ob’[ktom doslid-
Ωen\ protqhom ostannix rokiv. Zokrema, v robotax [1 – 3] otrymano cikavi re-
zul\taty kombinatornoho xarakteru pro napivhrupy çastkovo vyznaçenyx vidob-
raΩen\, qki zberihagt\ porqdok na skinçennij linijno vporqdkovanij mnoΩyni.
Prote vypadok neskinçennyx linijno vporqdkovanyx mnoΩyn [ malodoslidΩe-
nym.
U danij roboti budemo rozhlqdaty napivhrupy vsix tyx peretvoren\ mnoΩyn
cilyx i natural\nyx çysel, qki zberihagt\ pryrodnyj porqdok na nyx, a takoΩ
]x pidnapivhrupy koskinçennyx peretvoren\ (tobto peretvoren\, pry qkyx dopov-
nennq do obrazu [ skinçennog mnoΩynog).
Opyßemo korotko budovu statti. U p.42 navedeno osnovni oznaçennq, vyzna-
çeno napivhrupy peretvoren\ O( )N i O( )Z , a takoΩ ]x pidnapivhrupy koskin-
çennyx funkcij Ofin ( )N i Ofin ( )Z . Krim toho, navedeno tverdΩennq z roboty
[4] pro zadannq cyx napivhrup u terminax tvirnyx ta vyznaçal\nyx spivvidno-
ßen\, wo budut\ vykorystovuvatys\ u nastupnyx punktax. U p.43 rozhlqnuto na-
pivhrupovi vlastyvosti cyx napivhrup: isnuvannq idempotentiv, rehulqrnist\,
skorotnist\, rezydual\nu skinçennist\. U p.44 opysano vidnoßennq Hrina.
Punkt 5 prysvqçeno hrupam avtomorfizmiv. Dovedeno, wo v Ofin ( )N i O( )N
hrupy avtomorfizmiv skladagt\sq lyße z totoΩnoho vidobraΩennq, a hrupy av-
tomorfizmiv Ofin ( )Z i O( )Z izomorfni napivhrupi cilyx çysel z operaci[g do-
davannq i skladagt\sq lyße z vnutrißnix avtomorfizmiv. Punkt 6 prysvqçeno
xarakteryzaci] sprqΩenosti u napivhrupi Ofin ( )N . U p.47 z toçnistg do izomor-
fizmu opysano centralizatory u napivhrupi Ofin ( )N . Dovedeno, wo centraliza-
tor dovil\noho elementa napivhrupy Ofin ( )N [ izomorfnym pidnapivhrupi ady-
tyvno] napivhrupy natural\nyx çysel. Pokazano, wo koΩna komutatyvna pidna-
pivhrupa napivhrupy Ofin ( )N izomorfna pidnapivhrupi adytyvno] napivhrupy na-
tural\nyx çysel. U p.48 dovedeno, wo vsi skinçennoporodΩeni pidnapivhrupy
Ofin ( )N magt\ polinomial\nyj rist, a tomu napivhrupy Ofin( )N ne mistqt\ vil\-
nyx nekomutatyvnyx pidnapivhrup.4Dovedeno, wo napivhrupa Ofin ( )Z ma[ ekspo-
nencial\nyj rist. TakoΩ navedeno pryklad vil\no] nekomutatyvno] pidnapivhru-
py v O( )N .
© V. V. DOROÍENKO, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6 723
724 V. V. DOROÍENKO
Vsi neobxidni oznaçennq z teori] napivhrup, qki ne navedeno u cij roboti, moΩ-
na znajty, napryklad, u [5].
2. Osnovni oznaçennq i dopomiΩni vidomosti. Nexaj (M, < ) — linijno
vporqdkovana mnoΩyna. Poznaçymo symvolom O M( ) mnoΩynu vsix peretvo-
ren\, qki zberihagt\ porqdok < , tobto takyx peretvoren\ f : M � M, wo dlq
dovil\nyx x, y M∈ z nerivnosti x < y vyplyva[ f x( ) < f y( ) . Todi O M( ) [ pid-
napivhrupog povno] napivhrupy peretvoren\ T M( ) mnoΩyny M, qka sklada[t\-
sq z usix stroho zrostagçyx funkcij. Nazvemo peretvorennq f ∈ O M( ) koskin-
çennym, qkwo mnoΩyna M \ f M( ) [ skinçennog. Poznaçymo çerez O Mfin( )
mnoΩynu vsix koskinçennyx peretvoren\ z O M( ). Lehko baçyty, wo O Mfin( ) [
pidnapivhrupog O M( ). TotoΩne vidobraΩennq id bude odynyceg obox cyx
napivhrup.
Poznaçymo çerez N i Z mnoΩyny vsix nevid’[mnyx cilyx çysel i cilyx çy-
sel vidpovidno, z pryrodno vyznaçenymy vidnoßennqmy linijnyx porqdkiv na
nyx. Dali pid symvolom M rozumi[mo N abo Z. KoΩne peretvorennq f ∈ O( )N
dovyznaçymo u toçci 0, poklavßy f ( )0 = 0.
Dlq f ∈ O M( ) ta n M∈ poznaçymo ∆ f n( ) = f (n + 1) – f n( ) – 1. Oskil\ky f
— stroho zrostagça funkciq, to ∆ f n( ) ≥ 0. Nazvemo çyslo ∆ f n( ) vysotog
strybka funkci] f u toçci n. Budemo hovoryty, wo f ma[ strybok v n, qkwo
∆ f n( ) > 0. ZauvaΩymo, wo koΩen element z O( )N odnoznaçno vyznaça[t\sq
toçkamy svo]x strybkiv ta ]x vysotamy. Lehko baçyty, wo dlq f ∈ O M( ) vyko-
nu[t\sq f ∈ O Mfin( ) todi i lyße todi, koly kil\kist\ strybkiv f [ skinçennog.
Nexaj f ∈ O M( ). Poznaçymo f = M \ f M( ) . ZauvaΩymo, wo f < ∞ todi
i lyße todi, koly f ∈ O Mfin( ). Dlq f ∈ O Mfin( ) vykonu[t\sq f =
=
n M
f n∈∑ ∆ ( ).
Dlq napivhrupy z odynyceg S symvolom S∗
budemo poznaçaty pidhrupu
oborotnyx elementiv napivhrupy S.
Nahada[mo neobxidni dlq podal\ßoho rezul\taty, dovedeni v [4].
TverdΩennq 1. Nexaj f, g ∈ O Mfin( ), todi f g = f + g .
Vyznaçymo vidnoßennq � na O( )N . Dlq f, g ∈ O( )N poklademo f g� ,
qkwo dlq vsix n ∈N vykonu[t\sq f n( ) ≤ g n( ) .
TverdΩennq 2. 1. Vidnoßennq � [ çastkovym porqdkom na O( )N .
2. Nexaj f, g ∈ O( )N . Todi f f g� i f g f� .
3. Nexaj f, g ∈ O M( ). Todi z toho, wo f g = f abo g f = f, vyplyva[ g = id .
Dlq koΩnoho ciloho k vyznaçymo peretvorennq
e nk ( ) =
n n k
n n k
, ,
, ,
≤
+ >
1
k ∈Z .
Todi ek ∈ Ofin ( )Z , k ∈Z . Dlq koΩnoho k ≥ 0 budemo tym samym symvolom ek
poznaçaty zvuΩennq ek na mnoΩynu cilyx nevid’[mnyx çysel. OtΩe, ek ∈
∈ Ofin ( )N pry k ≥ 0.
Teorema 1. MnoΩyna e kk ≥{ }0 ∪ id{ } [ [dynog nezvidnog systemog
tvirnyx u napivhrupi Ofin ( )N i
e e e e e e k lk l l k0 1 1, , ,… = ≤+
— kozobraΩennq napivhrupy Ofin ( )N . KoΩen element ek ∈ Ofin ( )N ma[ [dynu
kanoniçnu formu f = e en
t
n
t
1
1
2
2
4… en
t
k
k
, 0 ≤ n1 < … < nk , ti ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, k ≥ 1. Pry
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
PRO NAPIVHRUPY PERETVOREN| ZLIÇENNYX LINIJNO UPORQDKOVANYX … 725
c\omu f ma[ strybky u toçkax n 1 , … , nk z vysotamy t1 , … , tk vidpovidno
ta ne ma[ strybkiv u inßyx toçkax i f = t1 + … + tk .
Alhorytm zvedennq elementiv Ofin ( )N do kanoniçno] formy. Nexaj [
element w = e en n1 2
… enk
∈ Ofin ( )N . Budu[mo poslidovnist\ sliv w0
, w1, … .
1. Poklademo w0 = w.
2. Nexaj slovo wm = e el l1 2
… elk
vΩe pobudovano. Vybyra[mo najmenße 1 ≤
≤ i < k take, wo eli
> eli +1
. Qkwo take i ne isnu[, to perexodymo do p.45.
3. Poklademo wm +1 = el1
… e el li i+ −1 1 …4elk
. Iz vyznaçal\nyx spivvidnoßen\
vyplyva[, wo w m i w m + 1 zadagt\ odyn i toj samyj element napivhrupy
Ofin ( )N .
4. Perexodymo do p.42.
5. Otrymane slovo wm [ kanoniçnym.
Teorema 2. Alhorytmy zvedennq do kanoniçno] formy v Ofin ( )N zaverßu-
gt\sq za skinçennu kil\kist\ krokiv, i ostann[ slovo bude kanoniçnym.
Nexaj σk n( ) = n + k, k, n ∈Z . Hrupa O( )Z ∗ = σ k{ , k ∈ }Z izomorfna ady-
tyvnij hrupi cilyx çysel. Ma[mo ek = σk e k0σ− , k ∈Z .
Teorema 3. MnoΩyna σ1{ , σ−1, e0} [ nezvidnog systemog tvirnyx Ofin ( )Z
i
e e e e e k lk l l k0 1 1 1 1 1 1 11 1, , , , ,σ σ σ σ σ σ− + − −= ≤ = =
— kozobraΩennq Ofin ( )Z , de ek = σk e k0σ− . KoΩnyj element f ∈ Ofin ( )Z
ma[ [dynu kanoniçnu formu f = σh e en
t
n
t
1
1
2
2 … en
t
k
k
, n1 < … < nk , ti ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n,
do toho Ω qkwo f = σh e en
t
n
t
1
1
2
2 … en
t
k
k
, n1 < … < nk , ti ≥ 1, 1 ≤ i ≤ k, k ≥ 1, to f
ma[ strybky u toçkax n1 , … , nk z vysotamy t1 , … , tk vidpovidno i ne ma[
strybkiv u inßyx toçkax ta f = t1 + … + tk .
3. Najprostißi vlastyvosti. Vsi elementy napivhrupy O M( ) [ in’[kciqmy,
a tomu O M( ) — napivhrupa z livymy skoroçennqmy. Lehko baçyty, wo O M( )
ne [ napivhrupog z pravymy skoroçennqmy. Napryklad, vyberemo f tak, wo
f n( ) = 2n dlq vsix n ∈N . Todi e f0 = e f1 .
U napivhrupi O( )N bi[kci[g [ til\ky totoΩne vidobraΩennq, tomu v cij na-
pivhrupi isnu[ [dynyj oborotnyj element. U napivhrupi O( )Z bi[kciqmy [ lyße
σk , k ∈Z , tomu hrupog oborotnyx elementiv [ σ k{ | k ∈ }Z .
Prypustymo, wo f ∈ O M( ) — idempotent, tobto f 2 = f. Qkwo isnu[ n M∈
take, wo f n( ) ≠ n, to z in’[ktyvnosti f vyplyva[, wo f f n( )( ) ≠ f n( ) . OtΩe,
f = id . Qk naslidok, napivhrupy O M( ) i O Mfin( ) ne [ rehulqrnymy.
Nahada[mo, wo napivhrupa S [ rezydual\no skinçennog, qkwo dlq dovil\nyx
a, b S∈ , a ≠ b, isnugt\ skinçenna napivhrupa T i homomorfizm napivhrup f :
S → T takyj, wo f a( ) ≠ f b( ) .
TverdΩennq 3. Napivhrupa O( )N [ rezydual\no skinçennog.
Dovedennq. Zafiksu[mo n ∈N . Vyznaçymo u povnij symetryçnij napiv-
hrupi peretvoren\ Tn pidnapivhrupu Wn . A same, element f Tn∈ naleΩyt\
Wn todi i lyße todi, koly dlq dovil\nyx k, l takyx, wo 1 ≤ k < l ≤ n, vyko-
nu[t\sq f k( ) ≤ f l( ), i qkwo f k( ) < n, to f k( ) < f l( ). Lehko pereviryty, wo
Wn [ pidnapivhrupog Tn .
Vyznaçymo vidobraΩennq ρn : O( )N � Wn . Dlq dovil\noho f ∈ O( )N po-
klademo ρn f( )(k) = min , ( )n f k( ) , 1 ≤ k ≤ n. Bezposeredn\o perevirq[t\sq, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
726 V. V. DOROÍENKO
ρn — homomorfizm napivhrup.
Nexaj f, g ∈ O( )N , f ≠ g. Todi isnu[ n ∈N take, wo f n( ) ≠ g n( ) . Poznaçy-
mo m = max ( )f n( , g n( )). Todi ρm f+1( )(n) = f n( ) ≠ g n( ) = ρm g+1( )(n). OtΩe,
ρm f+1( ) ≠ ρm g+1( ).
TverdΩennq dovedeno.
Oskil\ky pidnapivhrupa rezydual\no skinçenno] napivhrupy [ rezydual\no
skinçennog, to zvidsy vyplyva[ takyj naslidok.
Naslidok 1. Napivhrupa Ofin ( )N [ rezydual\no skinçennog.
Vidkryte pytannq 1. Çy budut\ napivhrupy O( )Z i Ofin ( )Z rezydual\no
skinçennymy ?
4. Vidnoßennq Hrina. Nahada[mo oznaçennq vidnoßen\ Hrina R , L, H , D ,
J. Nexaj S — napivhrupa z odynyceg. Dlq dovil\nyx a, b S∈ poklademo a bL
(vidpovidno a bR ), qkwo Sa = Sb (vidpovidno aS = bS), tobto holovni livi
(vidpovidno pravi) idealy zbihagt\sq. Vidnoßennq D vyznaça[t\sq qk
najmenße vidnoßennq, wo mistyt\ L i R . Vidomo, wo L i R komutugt\, tomu
D = L R� (tut symvol � poznaça[ dobutok vidnoßen\). Vidnoßennq H vyz-
naça[t\sq qk L R∩ . Nareßti, dlq a, b S∈ poklademo a bJ , qkwo SaS = SbS,
tobto holovni dvostoronni idealy zbihagt\sq.
Nexaj a, b S∈ . Lehko baçyty, wo a bL ( a bR ) todi i til\ky todi, koly
isnugt\ c, d S∈ taki, wo a = cb, b = da (a = bc, b = ad). Analohiçno a bJ todi
i til\ky todi, koly isnugt\ c, d, e, f S∈ taki, wo a = cbd, b = e a f.
Teorema 4. V O( )N i Ofin ( )N vsi vidnoßennq Hrina [ vidnoßennqmy riv-
nosti.
Dovedennq. Nexaj a, b ∈ O( )N taki, wo a bJ . Todi isnugt\ taki x1
, x2
,
y1, y2 ∈ O( )N , wo a = x1bx2
, b = y1ay2
. Za tverdΩennqm 2 a � y1 a � y1 a y2 = b
� � x1 b � x1 b x2 = a, otΩe, vsi nerivnosti [ rivnostqmy, wo za tverdΩennqm 2
moΩlyvo todi i til\ky todi, koly x1 = x2 = y1 = y2 = id , tomu a = b.
OtΩe, vidnoßennq J — rivnist\, a oskil\ky J mistyt\ vsi inßi vidnoßennq
Hrina, to v O( )N vsi vidnoßennq Hrina [ vidnoßennqmy rivnosti. U svog çerhu,
oskil\ky Ofin ( )N — pidhrupa O( )N , to vidnoßennq Hrina v Ofin ( )N takoΩ [
vidnoßennqmy rivnosti.
Teoremu dovedeno.
Teorema 5. Nexaj a, b ∈ O( )Z abo a, b ∈ Ofin ( )Z . Todi:
1) a bL todi i til\ky todi, koly isnu[ k ∈Z take,wo a(n) = b(n) + k dlq
vsix n ∈Z ;
2) a bR todi i til\ky todi, koly isnu[ k ∈Z take,wo a (n) = b(n + k)
dlq vsix n ∈Z .
Dovedennq. Dovedemo tverdΩennq dlq O( )Z (dlq Ofin ( )Z dovedennq
provodyt\sq analohiçno).
1. a bL todi i til\ky todi, koly isnugt\ x, y ∈ O( )Z taki, wo a = x b, b = y a.
Ma[mo a = x y a, i za tverdΩennqm 2 x y = id . Tomu x ∈ O( )Z ∗
. OtΩe, isnu[
k ∈Z take, wo x = σk . Dlq vsix n ∈Z ma[mo a(n) = σk b n( )( ) = b(n) + k.
2. Dovedennq analohiçne dovedenng p.1.
Teorema 6. 1. Nexaj a, b ∈ Ofin ( )Z . a bH todi i til\ky todi koly, a = b
abo a, b ∈ O( )Z ∗
.
2. V Ofin ( )Z vidnoßennq D i J zbihagt\sq i a bD todi i til\ky todi,
koly isnugt\ x, y ∈ O( )Z ∗
taki, wo a = x by.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
PRO NAPIVHRUPY PERETVOREN| ZLIÇENNYX LINIJNO UPORQDKOVANYX … 727
Dovedennq. 1. Nexaj a, b ∈ Ofin ( )Z , a bH . Za poperedn\og teoremog is-
nugt\ taki k1 , k2 ∈Z , wo dlq vsix n ∈Z vykonu[t\sq a(n) = b(n) + k1
, a(n) =
= b(n + k2). Todi dlq vsix n ∈Z b(n + k2) – b(n) = k1. Zvidsy b ma[ strybok u n
todi i til\ky todi, koly b ma[ strybok u n + k2 . Oskil\ky mnoΩyna strybkiv b
[ obmeΩenog, to moΩlyvi dva varianty:
a) k2 = 0, todi k1 = 0 i a = b;
b) b ne ma[ strybkiv, tobto b ∈ O( )Z ∗
, todi a ∈ O( )Z ∗
.
V inßyj bik. Qkwo a = b, to a bH . Qkwo a, b ∈ O( )Z ∗
, to isnugt\ s,
t ∈Z taki, wo a = σs , b = σt . Todi σs = σ σt s t− = σ σs t t− . Tomu za popered-
n\og teoremog σ σs tL i σ σs tR , zvidky σ σs tH .
2. Nexaj a, b ∈ Ofin ( )Z .
Dovedemo, wo a bJ todi i til\ky todi, koly isnugt\ x, y ∈ O( )Z ∗
taki, wo
a = x by.
Nexaj a bJ . Todi isnugt\ x1, x2 , y1, y2 ∈ Ofin ( )Z taki, wo a = x1
by1 , b =
= x2 ay2 . Zvidsy a = x1x2
a y2
y1. Za tverdΩennqm 1 a = x1 + x2 + a + y2 +
+ y1 . OtΩe, x1, y1, x2 , y2 ∈ O( )Z ∗
.
V inßyj bik. Nexaj a = x
by, x, y ∈ O( )Z ∗
. Todi b = x−1 ay−1
. OtΩe, a bJ .
Za vyznaçennqm vidnoßen\ Hrina D J⊂ .
Dovedemo, wo J D⊂ . Nexaj a bJ . Todi isnugt\ x, y ∈ O( )Z ∗
taki, wo a =
= x
by. Ma[mo bLx b, x bRx by, zvidky bDx by, bDa, bo D = L R� .
Teorema 7. Nexaj a, b ∈ O( )Z . Todi:
1) a bH todi i til\ky todi, koly isnugt\ x, y ∈ O( )Z ∗
taki, wo a = x
b,
a = by;
2) aDb todi i til\ky todi, koly isnugt\ x, y ∈ O( )Z ∗
taki, wo a = x
by.
Dovedennq. 1. Vyplyva[ z opysu L i R i oznaçennq H.
2. Vyplyva[ z teoremy45 i toho, wo D = L R� .
5. Hrupy avtomorfizmiv. Poznaçymo çerez Aut ( )S hrupu avtomorfizmiv
napivhrupy S. Nexaj a , b S∈ . Budemo hovoryty, wo a — pravyj (livyj) dil\-
nyk b, qkwo isnu[ c S∈ take, wo b = ca (b = ac).
Lema 1. Nexaj f ∈ O M( ), n M∈ , k ∈N . ∆ f n( ) ≥ k todi i til\ky todi,
koly en
k
[ pravym dil\nykom f.
Dovedennq. Qkwo en
k
— pravyj dil\nyk f, to isnu[ g ∈ O( )N take, wo f =
= gen
k
. Todi ∆ f n( ) = f (n + 1) – f (n) – 1 = g(n + k + 1) – g(n) – 1 ≥ k . V inßyj bik.
Qkwo ∆ f n( ) ≥ k, to vyznaçymo g za pravylom
g m( ) =
f m m n
f n m n n m n k
f m k m n k
( ), ,
( ) – , ,
( ), .
≤
+ < ≤ +
− > +
Todi f = gen
k
i, oskil\ky ∆ f n( ) ≥ k , g ∈ O( )N .
Lemu dovedeno.
Teorema 8. Hrupy avtomorfizmiv napivhrup Ofin ( )N i O( )N [ tryvial\-
nymy.
Dovedennq. 1. Nexaj F ∈ Aut finO ( )N( ) . {dynymy nerozkladnymy neody-
nyçnymy elementamy Ofin ( )N [ ek , k ≥ 0. Tomu F [ pidstanovkog na mnoΩyni
ek{ , k ≥ 0} . Iz vyznaçal\nyx spivvidnoßen\ dlq Ofin ( )N vyplyva[, wo ek
2 =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
728 V. V. DOROÍENKO
= ek +1 ek . PeremnoΩagçy funkci], ma[mo ek
2 ≠ e el k pry l ≠ k, l ≠ k + 1. Tomu
qkwo F ek( ) = em , F ek( )+1 = en, to n = m + 1. OtΩe, isnu[ n take, wo dlq vsix
k ≥ 0 ma[mo F ek( ) = en k+ . A oskil\ky F — bi[kciq na mnoΩyni ek{ , k ≥ 0} , to
n = 0. OtΩe, F di[ totoΩno na tvirnyx, tobto F — totoΩnyj avtomorfizm.
2. Nexaj F ∈ Aut finO ( )N( ) . Qk i v p.1, pokazu[mo, wo F [ totoΩnym na
Ofin ( )N . Nexaj f ∈ O( )N . Dovedemo, wo vysoty strybkiv u koΩnij toçci funk-
cij f i F f( ) odnakovi. Nexaj ∆ f n( ) = k. Todi za lemog41 en
k
[ pravym dil\ny-
kom f. Oskil\ky F di[ totoΩno na en, n ≥ 0 , to en
k
— pravyj dil\nyk F f( ) .
Za lemog41 ma[mo nerivnist\ ∆ f n( ) ≤ ∆ F f( )(n). Oskil\ky F — izomorfizm, to
∆ F f( )(n) ≤ ∆ f n( ). Ma[mo ∆ f n( ) = ∆ F f( )(n), tomu F f( ) = f.
Teoremu dovedeno.
Nazvemo avtomorfizm F napivhrupy S vnutrißnim, qkwo isnu[ a S∈ ∗
take,
wo dlq dovil\noho s S∈ F s( ) = a sa−1
.
Teorema 9. Hrupy avtomorfizmiv napivhrup Ofin ( )Z i O( )Z izomorfni
neskinçennij cykliçnij hrupi. Pry c\omu dovil\nyj avtomorfizm odni[] z cyx na-
pivhrup [ vnutrißnim.
Dovedennq. 1. Nexaj F ∈ Aut finO ( )Z( ) . Analohiçno dovedenng p.41 teore-
my 8 otrymu[mo, wo isnu[ n ∈Z take, wo F ek( ) = en k+ . Avtomorfizm F [ av-
tomorfizmom na hrupi oborotnyx elementiv, a oskil\ky O( )Z ∗
izomorfna
( , )Z + , to F k( )σ = σk , k ∈ Z , abo F k( )σ = σ−k , k ∈ Z . Qkwo vykonu[t\sq
druhe, to F ek( ) = F k(σ e0 σ−k ) = F F e Fk k( ) ( ) ( )σ σ0 − = σ−k en σk = en k− ≠ en k+ ,
k ≠ 0, wo nemoΩlyvo. OtΩe, F k( )σ = σk , k ∈ Z . Takym çynom, avtomorfizm F
di[ na tvirnyx, qk vnutrißnij avtomorfizm f → σn fσ−n , tomu F [ vnutrißnim
avtomorfizmom f → σnfσ−n .
2. Nexaj F ∈ Aut O( )Z( ) . Analohiçno p.1 otrymu[mo, wo isnu[ n ∈ Z take,
wo f → σn fσ−n dlq f ∈ Ofin ( )Z . Nexaj f ∈ O( )Z . Analohiçno dovedenng p.42
teoremy48 ma[mo ∆ f k( ) = ∆ F f( )(k + n), k ∈ Z . Tobto isnu[ m ∈ Z take, wo
F f( )(k ) = f (k – n) + m. Dovedemo, wo m = n. Nexaj m > n, l = f (1) + m – n – 1 ≥
≥ f (1), todi l + n = f (1) – m – 1. Ma[mo
∆ F e f nl( )( ) = ∆ e F f nl n+( )( ) ( ) = e F f nl n+ +( )( )( )1 – e F f nl n+ ( )( )( ) =
= e f ml n+ +( )( )1 – e f ml n+ +( )( )0 = f (1) + m + 1 – f m( )0 +( ) = ∆ e fl( )( )0 + 1.
(1)
OtΩe, ∆ F e fl( ) ( )n ≠ ∆ e fl( )( )0 . Otrymaly supereçnist\. Takym çynom, m ≤ n.
Analohiçno m ≥ n. Todi F f( ) = σn fσ−n dlq dovil\noho f ∈ O( )Z .
Teoremu dovedeno.
6. SprqΩenist\. Nexaj S — deqka napivhrupa. Elementy a, b S∈ nazyva-
gt\sq elementarno sprqΩenymy, qkwo isnugt\ u, v ∈S taki, wo a = uv, b =
= vu . Elementy a, b S∈ nazyvagt\sq sprqΩenymy, qkwo isnugt\ elementy na-
pivhrupy S a1 = a, a2, … , an = b, n ∈ N , taki, wo dlq vsix 1 ≤ i ≤ n – 1 ai ta
ai +1 [ elementarno sprqΩenymy. Qkwo f, g sprqΩeni, to budemo pysaty f ~ g.
Dlq f ∈ O( )N poznaçymo çerez l f( ) minimal\ne n take, wo ∆ f n( ) > 0,
tobto l f( ) [ miscem perßoho strybka.
Teorema 10. Nexaj f, g ∈ Ofin ( )N . f ~ g todi i til\ky todi, koly f = g
i l f( ) = l g( ).
Dovedennq. Neobxidnist\ dostatn\o dovesty dlq elementarno] sprqΩenos-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
PRO NAPIVHRUPY PERETVOREN| ZLIÇENNYX LINIJNO UPORQDKOVANYX … 729
ti. Nexaj f = uv, g = vu dlq deqkyx u, v ∈ Ofin ( )N . Todi f = uv = u +
+ v = vu = g . ZauvaΩymo, wo n ≤ l f( ) todi i lyße todi, koly f n( ) = n. Ne-
xaj n ≤ l f( ) . Todi n = f n( ) = u nv( )( ) ≥ v( )n ≥ n, oskil\ky u n( ) ≥ n, v( )n ≥ n,
n ∈N . Tomu u n( ) = v( )n = n. OtΩe, g n( ) = v u n( )( ) = v( )n = n. Takym çynom,
n ≤ l g( ). Tomu l f( ) = l g( ).
Dostatnist\. Nexaj f ∈ Ofin ( )N . Rozhlqnemo zapys f u kanoniçnij formi:
f = e en
t
n
t
1
1
2
2 … en
t
k
k
, n1 < … < nk , ti ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n.
Dostatn\o dovesty, wo f ∼ en
f
1
.
Perexodqçy do elementarnyx sprqΩenyx i vykorystovugçy vyznaçal\ni spiv-
vidnoßennq, otrymu[mo
e en
t
n
t
1
1
2
2 … en
t
k
k = e e en n
t
n
t
1 1
1
2
21−
… en
t
k
k ∼ e en
t
n
t
1
1
2
21−
… e en
t
nk
k
1
=
= e en
t
n
t
1
1
2
21−
… e en n
t
k
k
1 1− = e en
t
n
t
1
1
2
2
1− … en
t
k
k
−1.
ProdovΩugçy analohiçno, ma[mo
e en
t
n
t
1
1
2
2
1− … en
t
k
k
−1 ∼ e e en
t
n n
t
n
t
1
1
2 1
2
3
3
2 2max( , )− − … en
t
k
k
−2 ∼ … ∼ en
f
1
.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩymo, wo vidnoßennq elementarno] sprqΩenosti ne zbiha[t\sq z vidno-
ßennqm sprqΩenosti. Napryklad, f = e0
e2 ∼ e0
2
. Ale f = e0
e2 = e3e0 — [dyni ne-
tryvial\ni rozklady na mnoΩnyky, tomu f [ elementarno sprqΩenym til\ky do
e2
e0 = e1e0 ≠ e0
2 i e0
e3 ≠ e0
2
.
Vidkryte pytannq 2. Qk opysugt\sq vidnoßennq sprqΩenosti u napivhru-
pax O( )N , O( )Z , Ofin ( )Z ?
7. Centralizatory. Centralizatorom elementa a napivhrupy S nazyva[t\-
sq mnoΩyna vsix elementiv S, qki komutugt\ z nym. ZauvaΩymo, wo centrali-
zator elementa a S∈ zavΩdy [ pidnapivhrupog S. Poznaçymo cg pidnapivhrupu
çerez C a( ) . Metog danoho punktu [ opys centralizatoriv elementiv pidnapiv-
hrupy Ofin ( )N z toçnistg do izomorfizmu.
Dlq f ∈ Ofin ( )N , f ≠ id , poznaçymo l f( ) = min ( )n f n∆{ > 0} i r f( ) =
= max n{ ∆ f n( ) > 0} , tobto miscq perßoho i ostann\oho strybkiv funkci] f
vidpovidno.
Spoçatku znajdemo umovy, pry qkyx elementy napivhrupy Ofin ( )N komutu-
gt\. Nexaj f, g ∈ Ofin ( )N . Do teoremy411 budemo vvaΩaty f ta g fiksova-
nymy.
Lema 2. Qkwo f g = g f i f ≠ id , g ≠ id , to l f( ) = l g( ) i r f( ) = r g( ) .
Dovedennq. Dovedemo, wo l f( ) = l g( ). Nexaj l f( ) < l g( ). Todi f l g( )( ) >
> l g( ), tomu f g l g( )( ) = f l g( )( ) < g f l g( ( )( ) = g f l g( )( ) . OtΩe, f g ≠ g f. Analohiç-
no rozhlqda[t\sq vypadok l f( ) > l g( ).
Dovedemo, wo r f( ) = r g( ) . Nexaj r f( ) < r g( ) . Todi f r g( )( ) = f + r g( ),
g r g( )( ) = g – ∆ g r g( )( ) + r g( ) . Ma[mo g f r g( )( ) = g f( + r g( )) = f + g +
+ r g( ) , f g r g( )( ) = f g( – ∆ g r g( )( ) + r g( )) = f + g – ∆ g r g( )( ) + r g( ) . OtΩe,
f g ≠ g f. Analohiçno rozhlqda[t\sq vypadok l f( ) > l g( ).
Lemu dovedeno.
OtΩe, dlq opysu centralizatora elementa z toçnistg do izomorfizmu moΩna
vvaΩaty, wo ∆ f ( )0 > 0. Todi f = e0
0α
… en
nα
i g = e0
0β
… en
nβ
, do toho Ω
α α0 n β β0 n ≠ 0. Dlq zruçnosti budemo vvaΩaty, wo αk = βk = 0, k > n.
Dlq k ≥ 0 poznaçymo sk = α0 + … + αk i tk = β0 + … + βk .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
730 V. V. DOROÍENKO
Lema 3. Elementy f i g komutugt\ todi i lyße todi, koly
β0 +
i
t
i
=
∑
0
0
α = α0 +
i
s
i
=
∑
0
0
β ,
β1 +
i t
t
i
= +
+
∑
0
1
1
1
α = α1 +
i s
s
i
= +
+
∑
0
1
1
1
β , (2)
…………………………………
βn +
i t n
t n
i
n
n
= +
+
−
∑
1
α = αn +
i s n
s n
i
n
n
= +
+
−
∑
1
β .
Dovedennq. Systemu rivnqn\ (2) otrymu[mo, pryrivnggçy stepeni ek u
kanoniçnomu zapysi sliv f g i g f. Pravi çastyny rivnqn\ — ce stepeni tvirnyx v
f g, a livi — v g f.
Lema 4. Nexaj f g = g f. Todi dlq 0 < i ≤ n vykonu[t\sq βi ≤ i f .
Dovedennq. Z perßoho rivnqnnq (2) otrymu[mo nerivnist\
i
s
i
=
∑
1
0
β ≤ f , (3)
a z inßyx — nerivnist\
βk + f ≥
i s k
s k
i
k
k
= +
+
−
∑
1
β , 1 ≤ k ≤ n. (4)
Dovedemo lemu indukci[g po i. Dlq i = 1 tverdΩennq vyplyva[ z nerivnosti
(3). Nexaj dlq i < m lemu dovedeno, dovedemo ]] dlq m. Todi abo m ≤ s0 , i z
nerivnosti (3) ma[mo βm ≤
i
s
i=∑ 1
0 β ≤ f < m f , abo isnu[ [dyne l take, wo
sl −1 + l ≤ m ≤ sl + l, do toho Ω l < m. Todi z nerivnostej (4) otrymu[mo βm ≤
≤
i s l
s l
i
l
l
= +
+
−
∑
1
β ≤ βl + f ≤ l f + f ≤ m f .
Lemu dovedeno.
Lema 5. Isnu[ L ∈N take, wo dlq dovil\noho l ≥ n isnu[ [dynyj h ∈
∈ C f( ) , dlq qkoho ∆ h( )0 = l, do toho Ω h = L + l.
Dovedennq. Nexaj g = e0
0γ
… en
nγ
, de γ0 = l. Oskil\ky γ0 ≥ n, to rivnqnnq
(2) nabyragt\ vyhlqdu
f = α0 +
i
s
i
=
∑
1
0
γ ,
γ1 = α1 +
i s
s
i
= +
+
∑
0
1
1
1
γ , (5)
…………………………………
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
PRO NAPIVHRUPY PERETVOREN| ZLIÇENNYX LINIJNO UPORQDKOVANYX … 731
γ n = αn +
i s n
s n
i
n
n
= +
+
−
∑
1
γ .
Vidomo, wo γ k = 0, k > n. Poslidovno vyznaça[mo γ n , γ n−1, … , γ1. A same,
γ k vyznaça[mo z rivnqnnq γ k = αk +
i s k
s k
i
k
k
= +
+
−
∑
1
γ . Oskil\ky v sumi u livij ças-
tyni zustriçagt\sq γ z bil\ßymy nomeramy, niΩ k, to γ k vyznaça[t\sq od-
noznaçno. OtΩe, γ1, … , γ n vyznaçagt\sq odnoznaçno. Dlq sumisnosti systemy
zalyßylos\ dovesty, wo vykonu[t\sq perße rivnqnnq, a ce vyplyva[ z toho, wo
vsi inßi vykonugt\sq, a qkwo dodaty vsi rivnqnnq, to v livij i pravij çastynax
bude f + h – γ0. Oskil\ky γ0 ne vxodyt\ do systemy, to γ0 moΩe nabuvaty
dovil\noho znaçennq, bil\ßoho za n. Zvidsy pry fiksovanomu perßomu strybku
isnu[ lyße odyn element centralizatora. Pokladagçy L = γ1 + … + γ n , ma[mo
h = L + l.
Lemu dovedeno.
Teper moΩemo dovesty osnovnu teoremu c\oho punktu.
Teorema 11. Nexaj f ∈ Ofin ( )N . Todi centralizator C f( ) izomorfnyj
pidnapivhrupi ( , )N + , qka mistyt\ vsi natural\ni çysla, poçynagçy z deqkoho,
do toho Ω vidobraΩennq f � f [ zanurennqm C f( ) u ( , )N + .
Dovedennq. Homomorfnist\ vidobraΩennq f � f vyplyva[ z tverdΩen-
nq41.
Poznaçymo N = n +
n n( )− 1
2
f . Qkwo g ∈ C f( ) i g > N, to za lemog44
∆ g( )0 ≥ n. Nexaj L vzqto z lemy45. Poklademo K = max N{ , L + n} . Todi za
lemog45 dlq dovil\noho n ≥ K isnu[ [dyne g ∈ C f( ) take, wo g = n. Nexaj
h ∈ C f( ) take, wo h = K.
Dovedemo in’[ktyvnist\. Nexaj g1, g2 ∈ C f( ) , g1 = g2 . Todi hg1 =
= hg2 > K, otΩe, hg1 = hg2. Oskil\ky Ofin ( )N — napivhrupa z livym skoro-
çennqm, to g1 = g2.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 2. Vsi komutatyvni pidnapivhrupy napivhrupy Ofin ( )N izomorfni
pidnapivhrupam napivhrupy natural\nyx çysel z operaci[g dodavannq.
Naslidok 3. Vidnoßennq buty perestanovoçnymy [ vidnoßennqm ekviva-
lentnosti na Ofin ( )N .
Oskil\ky e kk
0{ ≥ 0} utvorg[ pidnapivhrupu, izomorfnu ( , )N + , to dlq do-
vil\no] pidnapivhrupy adytyvno] napivhrupy natural\nyx çysel isnu[ pidnapiv-
hrupa Ofin ( )N , qka ]j izomorfna.
8. Rist i vil\ni pidnapivhrupy. Vyznaçennq ponqttq rostu napivhrupy
moΩna znajty, napryklad, u [6].
Teorema 12. Vsi skinçennoporodΩeni pidnapivhrupy napivhrupy Ofin ( )N ma-
gt\ polinomial\nyj rist.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
732 V. V. DOROÍENKO
Dovedennq. Nexaj S = a1 , … , an — pidnapivhrupa Ofin ( )N . Poznaçymo
çerez m maksymal\nyj nomer tvirnyx e kk{ ≥ 0} , qki zustriçagt\sq u kano-
niçnyx rozkladax a1, … , an. Todi S [ pidnapivhrupog e0 , … , em . Oskil\ky
pry zvedenni do kanoniçno] formy nomery tvirnyx zbihagt\sq, to vsi elementy,
wo zobraΩugt\sq çerez dobutok k tvirnyx, magt\ vyhlqd e0
0α
… ek
kα
, de
α0 + … + αm = k. Poznaçymo çerez δ( )k ]x kil\kist\. Todi δ( )k = Cm k
m
+ (kil\-
kist\ sposobiv rozklasty k predmetiv po m + 1 korzyni). Dali, γ( )l =
=
k
l
k
=∑ 0
δ( ) — funkciq rostu e0 , … , em . Dovedemo indukci[g po l, wo γ( )l =
= Cm l
m
+ +
+
1
1
. Pry l = 0 γ( )0 = 1 = Cm
m
+
+
1
1
. Ma[mo γ( )l = γ (l – 1) + δ( )l = Cm l
m
+
+1 +
+ Cm l
m
+ = Cm l
m
+ +
+
1
1
.
Lehko baçyty, wo γ( )l = Cm l
m
+ +
+
1
1
[ polinomom (m + 1)-ho stepenq vid l.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 4. U napivhrupi Ofin ( )N ne isnu[ vil\nyx neabelevyx pidnapivhrup.
Teorema 13. Elementy f0, f1 napivhrupy O M( ) taki, wo f n0( ) = 2n ,
f n1( ) = 2n + 1, n ∈ N , porodΩugt\ vil\nu pidnapivhrupu ranhu 2.
Dovedennq. Rozhlqnemo g = fα1
… f
mα ∈ O( )N , de αi ∈ 0 1,{ } , 1 ≤ i ≤ n.
Lehko pereviryty, wo g n( ) = l + 2mn , n ∈N , de l = 2 1m
m
− α + … + 20
1α .
Poznaçymo symvolom F2 vil\nu napivhrupu ranhu 2 z bazysom x0 , x1 . Nexaj
w1 , w F2 2∈ taki, wo w1 = xα1
… x
sα , w2 = xβ1
… x
tβ . Iz vykladenoho vywe
vyplyva[, wo w f f n1 0 1( , ) ( ) = 2 1s
s
− α + … + 20
1α + 2sn i w f f n2 0 1( , ) ( ) =
= 2 1t
t
− β + … + 20
1β + 2t n , n ∈N . Prypustymo, wo w f f1 0 1( , ) = w f f2 0 1( , ) . To-
di s = t i αi = βi , 1 ≤ i ≤ s, zvidky w1 = w2 . OtΩe, v napivhrupi, porodΩenij
f0 , f1, vykonugt\sq til\ky tryvial\ni spivvidnoßennq, tomu vona [ vil\nog.
Teoremu dovedeno.
Teorema 14. Napivhrupa Ofin ( )Z ma[ eksponencial\nyj rist.
Dovedennq. Nexaj γ : N → N — funkciq zrostannq Ofin ( )Z , wo vidpovida[
systemi tvirnyx σ1{ , σ−1, e0}. Rozhlqnemo dlq n ∈N mnoΩynu sliv
An = e en n
n
1 1
1 1 2α α α α… … ∈{ }{ }, , , .
Za teoremog 3 vsi slova z An [ kanoniçnymy formamy deqkyx elementiv
Ofin ( )Z , tomu vony zadagt\ rizni elementy Ofin ( )Z .
Ocinymo dovΩynu elementiv Ofin ( )Z , qki zadagt\sq slovamy z An u bazysi
σ1{ , σ−1, e0}:
e1
1α
… en
nα = σ σ σ σα α
1 0 1 2 0 2
1 2e e− − … σ σα
n ne n
0 − = σ σα α
1 0 1 0
1 2e e … σ σα
1 0e n
n− .
OtΩe, dovΩyna e1
1α
… en
nα
u bazysi σ1{ , σ−1, e0} ne perevywu[ 2n +
i
n
i=∑ 1
α ≤
≤ 4n.
Takym çynom, γ ( )4n ≥ An = 2n
.
Teoremu dovedeno.
1. Xiuliang Y. A classification of maximal subsemigroups of finite order-preserving transformation
semigroups // Communs Algedra. – 2000.– 28 (3) . – P. 1503 – 1513.
2. Ganyushkin O., Mazorchuk V. On the structure of IOn // Semigroup Forum. – 2003. – 66 (3). –
P. 455 – 483.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
PRO NAPIVHRUPY PERETVOREN| ZLIÇENNYX LINIJNO UPORQDKOVANYX … 733
3. Laradji A., Umar A. Combinatorial results for semigroups of order-preserving partial transforma-
tions // J. Algebra. – 2004. – 278 (1). – P. 342 – 359.
4. Doroshenko V. Generators and relations for the semigroups of increasing on N and Z // Algebra
and Discrete Math. – 2005. – 4. – P. 1 – 15.
5. Lalleman Û. Poluhrupp¥ y kombynatorn¥e pryloΩenyq. – M.: Myr, 1985. – 439 s.
6. Olyjn¥k A. S., Reznykov Y. Y., Suwanskyj V. Y. Poluhrupp¥ preobrazovanyj, zadavaem¥x
avtomatamy Myly nad koneçn¥m alfavytom // Pr. III miΩnar. alhebr. konf. v Ukra]ni (Sumy,
2001). – Sumy, 2003. – S. 80 – 99.
OderΩano 08.02.08,
pislq doopracgvannq — 16.03.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3055 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:22Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/25/0418044bfc55ddaf8790a4e581f52425.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30552020-03-18T19:44:24Z On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets Про напівгрупи перетворень зліченних лінійно упорядкованих множин, які зберігають порядок Doroshenko, V. V. Дорошенко, В. В. We consider semigroups of endomorphisms of linearly ordered sets ℕ and ℤ and their subsemigroups of cofinite endomorphisms. We study the Green relations, groups of automorphisms, conjugacy, centralizers of elements, growth, and free subsemigroups in these subgroups. Рассматриваются полугруппы эндоморфизмов линейно упорядоченных множеств ℕ и ℤ, а также их подполугруппы коконечных эндоморфизмов. Исследуются отношения Грина, группы автоморфизмов, сопряженность, централизаторы элементов, рост, свободные подполугруппы в этих полугруппах. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3055 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 6 (2009); 723-732 Український математичний журнал; Том 61 № 6 (2009); 723-732 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3055/2859 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3055/2860 Copyright (c) 2009 Doroshenko V. V. |
| spellingShingle | Doroshenko, V. V. Дорошенко, В. В. On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| title | On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| title_alt | Про напівгрупи перетворень зліченних лінійно упорядкованих множин, які зберігають порядок |
| title_full | On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| title_fullStr | On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| title_full_unstemmed | On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| title_short | On semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| title_sort | on semigroups of order-preserving transformations of countable linearly ordered sets |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3055 |
| work_keys_str_mv | AT doroshenkovv onsemigroupsoforderpreservingtransformationsofcountablelinearlyorderedsets AT dorošenkovv onsemigroupsoforderpreservingtransformationsofcountablelinearlyorderedsets AT doroshenkovv pronapívgrupiperetvorenʹzlíčennihlíníjnouporâdkovanihmnožinâkízberígaûtʹporâdok AT dorošenkovv pronapívgrupiperetvorenʹzlíčennihlíníjnouporâdkovanihmnožinâkízberígaûtʹporâdok |