Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation
We present an efficient algorithm for the construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation. We obtain expressions in which all elements of this system are expressed via one of its elements and find a particular solution of an inhomogeneous equation.
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3058 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509083935703040 |
|---|---|
| author | Kruglov, V. E. Круглов, В. Е. Круглов, В. Е. |
| author_facet | Kruglov, V. E. Круглов, В. Е. Круглов, В. Е. |
| author_sort | Kruglov, V. E. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:24Z |
| description | We present an efficient algorithm for the construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation. We obtain expressions in which all elements of this system are expressed via one of its elements and find a particular solution of an inhomogeneous equation. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.929.2; 517.925.4
V. E. Kruhlov (Odes. nac. un-t)
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ
REÍENYJ LYNEJNOHO RAZNOSTNOHO URAVNENYQ
KONEÇNOHO PORQDKA
An effective algorithm for the construction of fundamental system of solutions of a finite-order
difference equation is given. Formulas, in which all elements of this system are expressed via its one
element, are found as well as a partial solution of a nonhomogeneous equation.
Navedeno efektyvnyj alhorytm pobudovy fundamental\no] systemy rozv’qzkiv linijnoho rizny-
cevoho rivnqnnq skinçennoho porqdku. Znajdeno formuly, v qkyx vsi elementy ci[] systemy po-
dano çerez ]] odyn element, a takoΩ çastkovyj rozv’qzok neodnoridnoho rivnqnnq.
1. Dlq lynejnoho raznostnoho uravnenyq pervoho porqdka
lk+1 = a l gk k k+ +1, k = 0, 1, … ,
formula obweho reßenyq ymeet vyd [1 – 3]
lk+1 = ϕ
ϕ
ϕ0 1 0
1
0 10
0 1,
,
,k
j
jj
k
kl
g
+
+
+=
++ ∑ ,
hde ϕ0 1, j+ = a a a j0 1, , ,… , j = 0, 1, … , k , l0 — proyzvol\naq postoqnnaq.
Zapyßem πtu formulu sledugwym obrazom:
lk+1 = ϕ
∂ϕ
∂
∂ ϕ
∂ ∂
∂
0 1 0
0 1
0
1
2
0 1
0 1
2,
, ,
k
k k
k
l
a
g
a a
g+
+ ++ + + … +
++
+
+…
1
0 1
0
1
ϕ
∂ ∂
, k
k
ka a
g
y pokaΩem, çto dlq lynejnoho raznostnoho uravnenyq porqdka n
ln k+ = a l a l a l gk n k k n k nk k k1 1 2 2 1+ − + − ++ + … + + , ank ≠ 0, k = 0, 1, … ,
(1)
spravedlyv analoh πtoj formul¥ [4]
ln k+ = ϕ ϕ ϕn n k n n n k n n kl l l− + − − + − ++ + … +1 1 2 2 0 0, , , +
+
∂ϕ
∂
∂ ϕ
∂ ∂
∂n n k n n k
k
a
g
a a
g− + − +
+
+ + … +1
10
1
2
1
10 11
2
1
, , ϕϕ
∂ ∂
n n k
k
ka a
g− +
+…
1
10 1
1
, ,
hde ϕi n k, + , i = 0, 1, … , n – 1, — fundamental\naq systema reßenyj (FSR) od-
norodnoho ( )gk+ ≡1 0 uravnenyq (1), l ln0 1, ,… − — proyzvol\n¥e postoqnn¥e.
Kak otmeçeno v [2, 3], net πffektyvn¥x alhorytmov postroenyq FSR urav-
nenyq (1). Yzvestn¥ [5] çastn¥e alhorytm¥ postroenyq FSR dlq konkretn¥x
lynejn¥x raznostn¥x uravnenyj. Pry reßenyy raznostn¥x kraev¥x zadaç [1]
zadaça postroenyq FSR ne stavytsq, a yzuçagtsq alhorytm¥, naprymer, „pro-
honky”, „metod strel\b¥”, kotor¥e pryvodqt ne tol\ko k reßenyg postavlen-
n¥x kraev¥x zadaç, no y k yssledovanyg voprosov xoroßej obuslovlennosty re-
ßenyj.
Obwaq teoryq postroenyq reßenyq uravnenyq (1) dostatoçno polno yzloΩe-
na vo mnohyx uçebnykax y monohrafyqx (sm., naprymer, [3, 5, 6]). ∏ta teoryq ba-
zyruetsq na matryçnom predstavlenyy πlementov FSR, kotoroe xoroßo demon-
stryruet obwye svojstva FSR.
© V. E. KRUHLOV, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6 777
778 V. E. KRUHLOV
V nastoqwej rabote predloΩen πffektyvn¥j alhorytm postroenyq FSR
uravnenyq (1), osnovann¥j na vvedennom ponqtyy cepej, kotor¥e sostavlen¥ po
opredelennomu pravylu yz koπffycyentov uravnenyq (1). Pry πtom okazalos\,
çto dostatoçno postroyt\ tol\ko funkcyg ϕn n k− +1, , a ostal\n¥e πlement¥
FSR v¥raΩagtsq çerez πtu funkcyg.
Yspol\zovanye πtoho alhorytma namnoho uprowaet postroenye reßenyq ly-
nejnoho dyfferencyal\noho uravnenyq, rassmotrennoho v rabote [7], y on leh-
ko prymenym pry postroenyy reßenyj v vyde obobwenn¥x stepenn¥x rqdov bo-
lee obwyx lynejn¥x dyfferencyal\n¥x uravnenyj.
2. Pry estestvennom poßahovom reßenyy uravnenyq (1), t. e. kohda na kaΩ-
dom oçerednom ßahe yspol\zovanyq uravnenyq (1) uçyt¥vagtsq reßenyq, naj-
denn¥e na pred¥duwyx ßahax, zapys\ koπffycyentov uravnenyq (1) v vyde a jk
ne pozvolqet ustanovyt\ zakonomernosty, kotor¥e suwestvugt meΩdu πtymy
koπffycyentamy.
Poπtomu pereoboznaçym v (1)
a jk = αn k j
j
+ −
( ) , j = 1, 2, … , n , k = 1, 2, … , (2)
y postroym snaçala reßenye odnorodnoho uravnenyq
ln k+ = α α αn k n k n k n k k
n
kl l l+ − + − + − + −+ + … +1
1
1 2
2
2
( ) ( ) ( ) , k = 0, 1, … . (3)
Koπffycyent¥ αm
j( )
, j = 1, 2, … , n , nazovem πlementamy j - ho ranha. Pry πtom
poloΩym αm
j( ) = 0 pry j ≥ n + 1. Poskol\ku
ln = α α αn n n n
nl l l− − − −+ + … +1
1
1 2
2
2 0 0
( ) ( ) ( ) , (4)
to l l ln0 1 1, , ,… − — proyzvol\n¥e parametr¥, a znaçyt,
ln k+ = φ φ φn n k n n n k n n kl l l− + − − + − ++ + … +1 1 2 2 0 0, , , , k = 0, 1, … . (5)
Najdem rekurrentn¥e sootnoßenyq, kotor¥m udovletvorqgt funkcyy
φi n k, + , i = 0, 1, … , n – 1, pry poßahovom yspol\zovanyy formul¥ (3).
Oboznaçym φi n, = αi
n( )−1 . Tohda (4) preobrazuetsq sledugwym obrazom:
ln = φ φ φn n n n n n nl l l− − − −+ + … +1 1 2 2 0 0, , , . (6)
Krome toho, poloΩym φi m, ≡ 0 pry m ≤ n – 1.
Lemma&1. Pry 1 ≤ k ≤ n – 1
φi n k, + = φ α φ α φ αi n k n k i n k n k i n,
( )
,
( )
,+ − + − + − + −+ + … +1 1
1
2 2
2
nn
k
i
n k i( ) ( )+ + −α , (7)
a pry k ≥ n
φi n k, + = φ α φ α φ αi n k n k i n k n k i k,
( )
,
( )
,+ − + − + − + −+ + … +1 1
1
2 2
2
kk
n( ) , i = 0, 1, … , n – 1 .
(8)
Dokazatel\stvo. Pust\ k = 1. Yz (3) ymeem
ln+1 = α α αn n n n
nl l l( ) ( ) ( )1
1
2
1 1 1+ + … +− − . (9)
Podstavlqq vmesto ln v¥raΩenye (6), naxodym
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 779
φn n− +1 1, = φ α αn n n n− −+1
1
1
2
,
( ) ( ) , φn n− +2 1, = φ α αn n n n− −+2
1
2
3
,
( ) ( ) , …
(10)
… , φ2 1, n+ = φ α α1
1
2
1
,
( ) ( )
n n
n+ − , φ1 1, n+ = φ α α1
1
1,
( ) ( )
n n
n+ , φ0 1, n+ = φ α0
1
,
( )
n n .
Yspol\zuq dalee (3) y yndukcyg, poluçaem formul¥ (7), (8).
Lemma dokazana.
V [3, 5, 6] vvedeno ponqtye fundamental\noj system¥ reßenyj uravne-
nyqP(3).
Teorema&1. Esly αm
n( ) ≠ 0, m = 0, 1, … , to funkcyy φ0, n k+ , φ1, n k+ , …
… , φn n k− +1, obrazugt fundamental\nug systemu reßenyj uravnenyq (3).
Dokazatel\stvo. Oboznaçym çerez Em vektor E l l lm m m m n= …+ + −( ), , ,1 1 ,
m = 0, 1, … , a çerez Am
n( ) , Φn k, matryc¥ porqdka n
Am
n( ) =
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1
1
2
2
…
…
… … … … …
…
+
−
+
−α α αm
n
m
n
m
n( ) ( ) ( ) ……
+ −αm n 1
1( )
,
(11)
Φn k, =
φ φ φ
φ φ φ
0 1 1
0 1 1 1 1
, , ,
, , ,
n k n k n n k
n k n k n
+ + − +
+ + + + −
…
… nn k
n k n k n n k
+ +
+ − + − − + −
… … … …
…
1
0 2 1 1 2 1 1 2 1φ φ φ, , ,
.
Tohda poßahovoe yspol\zovanye formul¥ (3) ravnosyl\no ravenstvam
E1 = A En
0 0
( ) , E2 = A A En n
1 0 0
( ) ( ) , … , Em = A A A Em
n
m
n n
− − …1 2 0 0
( ) ( ) ( ) .
S druhoj storon¥, En k+ = Φn k E, 0 , k = 0, 1, … . Sledovatel\no,
Φn k, = A A An k
n
n k
n n
+ − + − …1 2 0
( ) ( ) ( ) , k = 0, 1, … . (12)
Otsgda
det Φn k, = ( ) ( ) ( ) ( ) ( )− …+
+ − + −1 1
1 2 0
k n
n k
n
n k
n nα α α ≠ 0, (13)
çto qvlqetsq neobxodym¥m y dostatoçn¥m uslovyem suwestvovanyq fundamen-
tal\noj system¥ reßenyj.
Teorema dokazana.
Takym obrazom, funkcyy φ0, n k+ , φ1, n k+ , … , φn n k− +1, obrazugt bazys lynej-
noho prostranstva L reßenyj uravnenyq (3). Poskol\ku on poluçen poßaho-
v¥m yspol\zovanyem formul¥ (3), nazovem eho estestvenn¥m bazysom πtoho pro-
stranstva; formula (5) opredelqet obwee reßenye uravnenyq (3).
Zameçanye&1. Esly k uravnenyg (3) dobavyt\ naçal\n¥e uslovyq
l0 = u0 , l1 = u1 , … , ln – 1 = un – 1 , (14)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
780 V. E. KRUHLOV
hde u0 , … , un – 1 — yzvestn¥e çysla, to raznostnaq zadaça Koßy (3), (14) ymeet
edynstvennoe reßenye
ln k+ = φ φ φ0 0 1 1 1 1, , ,n k n k n n k nu u u+ + − + −+ + … + .
Esly T — nev¥roΩdennaq çyslovaq matryca porqdka n , πlement¥ kotoroj
ne zavysqt ot k , to matryca Φn k T, = Ψn k, opredelqet druhoj bazys ψ0,k ,
ψ1,k , … , ψn k−1, prostranstva L y obwee reßenye uravnenyq (3) zadaetsq for-
muloj
ψ k = C C Ck k n n k0 0 1 1 1 1ψ ψ ψ, , ,+ + … + − − , k = 0, 1, … ,
hde Ci — proyzvol\n¥e postoqnn¥e.
3. Yz formul (7), (8) sleduet, çto funkcyy φi n k, + — summ¥ proyzvedenyj
opredelenn¥x koπffycyentov uravnenyq (3). Oboznaçym çerez Mi n k, + nabor
πlementov (koπffycyentov uravnenyq (3)), yz kotor¥x budut postroen¥ funk-
cyy φi n k, + , i = 0, 1, … , n – 1 .
Yz (4) sleduet, çto Mi n, = αi
n i( )− . Yz ravenstv (9), (10) poluçaem
Mn n− +1 1, = ( )( ) ( ) ( ); ;α α αn n n− −1
1 1
1
2 , … , Mi n, +1 = ( )( ) ( ) ( ); ;α α αn i
n i
i
n i1 1− − + , …
… , M n0 1, + = ( )( ) ( );α αn
n1
0 .
Yz ravenstva (7) pry k = 2 ymeem
Mi n, +2 = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ), ; ; ;α α α α αn n i
n i
i
n i
i
n i1
1
1 1 2
+
− − + − + , i = 0, 1, … , n – 1,
a pry i, k = 0, 1, … , n – 1
Mi n k, + = ( ( ) ( ) ( ) ( ) (, , ; , , ; ;α α α α αn n k n n k n
k1
1
1 2
2
2… … …+ − + −
−−1) ,
α α α αn
k
n
k
i
n i
i
n i s
+
− − − +…1
1( ) ( ) ( ) ( ); ; ; ; ) , s = min ( , )k i . (15)
TakΩe yz ravenstv (7), (8) pry k ≥ n sleduet
Mi n k, + = ( ( ) ( ) ( ) ( ) (, , ; , , ; ;α α α α αn n k n n k n
n1
1
1 2
2
2… … …+ − + −
)) ( ) ( ) ( ), , ; ; ; )… …−α α αk
n
i
n i
i
n .
Obæedynqq poslednee ravenstvo s ravenstvom (15), dlq lgboho k = 0, 1, … po-
luçaem
Mi n k, + = ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ; ; ; ; ; ;α α α α αn n k n
p
q
p
i
n i1
1
1… … …+ −
− …… − +; ( ))αi
n i s ,
(16)
i = 0, 1, … , n – 1, p = min ( , )k n , q = max ( , )k n , s = min ( , )k i .
V nabore Mi n k, + v¥delym naçal\n¥e y koneçn¥e πlement¥. K naçal\n¥m
otnesem te πlement¥, kotor¥e ymegt naymen\ßyj nyΩnyj yndeks. Tak, dlq na-
bora Mn n k− +1, naçal\n¥my πlementamy budut αn−1
1( ) , αn−1
2( ) , … , αn
k
−
+
1
1( )
pry k ≤
≤ n – 1 y αn−1
1( ) , αn−1
2( ) , … , αn
n
−1
( )
pry k ≥ n; dlq nabora Mi n k, + — αi
n i( )− , …
… , αi
n i s( )− + , a dlq nabora M n k0, + naçal\n¥m budet πlement α0
( )n
.
Koneçn¥my πlementamy nabora Mi n k, + nazovem te πlement¥, u kotor¥x
summa ranha y nyΩneho yndeksa ravna n + k .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 781
VozmoΩn¥ sluçay, kohda naçal\n¥j y koneçn¥j πlement¥ sovpadagt.
Naprymer, v nabore Mn n k− +1, pry k ≤ n – 1 πlement αn
k
−
+
1
1( )
qvlqetsq y na-
çal\n¥m, y koneçn¥m.
Cep\g, sostavlennoj yz πlementov nabora Mi n k, + , k ≥ 0, i = 0, 1, … , n – 1,
nazovem proyzvedenye maksymal\no vozmoΩnoho çysla πlementov yz πtoho nabo-
ra. Pry πtom nyΩnye yndeks¥ πtyx πlementov razlyçn¥ y obrazugt vozrastag-
wug posledovatel\nost\, zadannug opredelenn¥m pravylom.
Oçevydn¥ sledugwye utverΩdenyq, kotor¥e lehko proverqgtsq yndukcyej
s yspol\zovanyem formul (7), (8).
Lemma&2. Yerarxyq raspoloΩenyq πlementov (mnoΩytelej) v kaΩdoj ce-
py, sostavlennoj yz πlementov nabora Mi n k, + , takova, çto dlq lgb¥x dvux po-
sledovatel\n¥x mnoΩytelej spravedlyvo pravylo umnoΩenyq … …+α αi
j
i j
j( ) ( )1
1
2 ,
j1, j2 = 1, 2, … , n .
V dal\nejßem, kohda reç\ ydet o cepy, budem podrazumevat\, çto v nej so-
blgdaetsq ukazannaq yerarxyq raspoloΩenyq πlementov.
Lemma&3. Lgbaq cep\, sostavlennaq yz πlementov nabora Mi n k, + , k ≥ 0,
naçynaetsq s lgboho yz naçal\n¥x πlementov πtoho nabora y zakançyvaetsq od-
nym yz koneçn¥x πlementov πtoho nabora.
Porqdkom cepy nazovem summu ranhov vsex πlementov, sostavlqgwyx πtu
cep\.
Lemma&4. Porqdok kaΩdoj cepy, sostavlennoj yz πlementov nabora Mi n k, + ,
raven n k i+ − , k ≥ 0, i = 0, 1, … , n – 1 .
Dokazatel\stvo. Pust\ αi
j( )1
— naçal\n¥j πlement cepy. Tohda sohlasno
lemmamP2 y 3 struktura cepy takova:
α α α αi
j
i j
j
i j j
j
i j j
j
m
m( ) ( ) ( ) (1
1
2
1 2
3
1 1+ + + + +…+…
−
)) ,
hde α
i j j
j
m
m
+ +…+ −1 1
( )
— koneçn¥j πlement cepy. No, sohlasno opredelenyg koneç-
noho πlementa, i j j jm m+ + … + +−1 1 = n + k . Otsgda j jm1 + … + = n + k – i .
Lemma dokazana.
Takym obrazom, funkcyq φi n k, + — summa vsex cepej porqdka n k i+ − , so-
stavlenn¥x yz πlementov nabora Mi n k, + .
Prymer&1. Pust\ n = 4, k = 3. Tohda
M3 7, = ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (, , ; , , ; ,α α α α α α α3
1
6
1
3
2
4
2
5
2
3
3
4
3… )) ( ); )α3
4 ,
M2 7, = ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ; , , ; ,α α α α α α α4
1
5
1
6
1
2
2
4
2
5
2
2
3 αα α4
3
2
4( ) ( ); ) ,
M1 7, = ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ; , ; ; ;α α α α α α α4
1
5
1
6
1
4
2
5
2
4
3
1
3 αα1
4( )) ,
M0 7, = ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), , ; , ; ;α α α α α α α4
1
5
1
6
1
4
2
5
2
4
3
0
4 ,
φ0 7, = α α α α α α α α0
4
4
1
5
1
6
1
4
2
6
1
4
1
5
2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + + ++ α4
3( )) ,
φ1 7, = α α α α α α α α1
3
4
1
5
1
6
1
4
1
5
2
4
2
6
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + + ++ + +α α α α α4
3
1
4
5
1
6
1
5
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
782 V. E. KRUHLOV
φ2 7, = α α α α α α α α2
2
4
1
5
1
6
1
4
1
5
2
4
2
6
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + + ++ + +α α α α α4
3
2
3
5
1
6
1
5
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) +
+ α α2
4
6
1( ) ( ) ,
φ3 7, = α α α α α α α α3
1
4
1
5
1
6
1
4
1
5
2
4
2
6
1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( + + ++ + +α α α α α4
3
3
2
5
1
6
1
5
2( ) ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) +
+ α α α3
3
6
1
3
4( ) ( ) ( )+ .
Dlq n = 4, k = 4
φ0 8, = α0
4
4 8
( )
,f , φ1 8, = α α1
3
4 8 1
4
3 8
( )
,
( )
,f f+ ,
φ2 8, = α α α2
2
4 8 2
3
3 8 2
4
2 8
( )
,
( )
,
( )
,f f f+ + ,
φ3 8, = α α α α3
1
4 8 3
2
3 8 3
3
2 8 3
4
1 8
( )
,
( )
,
( )
,
( )
,f f f f+ + + ,
hde f1 8, = α7
1( ) , f2 8, = α α α6
1
7
1
6
2( ) ( ) ( )+ ,
f3 8, = α α α α α α α α5
1
6
1
7
1
5
1
6
2
5
2
7
1
5
3( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ + + ,
f4 8, = α α α α4
1
3 8 4
2
2 8 4
3
1 8 4
4( )
,
( )
,
( )
,
( )f f f+ + + .
Zameçanye&2. Pryvedenn¥j alhorytm postroenyq cepej pozvolqet najty
reßenye uravnenyq (3), svobodnoe ot uslovyq αm
n( ) ≠ 0. Dostatoçno soxranyt\
uslovye α0
( )n ≠ 0. Reßenye uravnenyq (3) opredelqetsq formuloj (5).
4. Yz pryvedennoho prymera qsno, çto dlq postroenyq funkcyj φi n k, + ne-
obxodymo podrobnee yzuçyt\ strukturu funkcyj fm n k, + , m = 0, 1, … , k .
Obwej çast\g naborov Mi n k, + qvlqetsq nabor
Mn n k, + = ( ( ) ( ) ( ) ( ) (, , ; , , ; ;α α α α αn n k n n k n
p1
1
1 2
2
2… … …+ − + −
)) ( ), , )… αq
p , (17)
hde p = min ( , )k n , q = max ( , )k n , kotor¥j poluçen yz naborov Mi n k, + otbra-
s¥vanyem vsex yx naçal\n¥x πlementov. Naçal\n¥my πlementamy v nabore
Mn n k, + qvlqgtsq πlement¥ α α αn n n
p( ) ( ) ( ), , ,1 2 … (πlement αn
p( )
moΩet b¥t\
kak naçal\n¥m, tak y koneçn¥m). Vse cepy, kotor¥e moΩno sostavyt\ yz πle-
mentov πtoho nabora, ymegt porqdok k . Dejstvytel\no, lgbaq cep\, sostavlen-
naq yz πlementov nabora Mn n k, + , ymeet strukturu α α αn
j
n j
j
n j j
j
m
m( ) ( ) ( )1
1
2
1 1+ + +…+…
−
.
Dlq koneçnoho πlementa poluçaem n j jm+ +…+1 = n k+ , otkuda
j jm1 +…+ = k . Summu vsex cepej, sostavlenn¥x yz πlementov nabora Mn n k, + ,
oboznaçym çerez fk n k, + .
Esly v nabore Mn n k, + opustyt\ naçal\n¥e πlement¥ α αn n
p( ) ( ), ,1 … , to
poluçym nabor Mn n k+ +1, , naçal\n¥my πlementamy kotoroho qvlqgtsq πlemen-
t¥ α α αn n n
p
+ + +
−…1
1
1
2
1
1( ) ( ) ( ), , , . Kak y v¥ße, lehko ubedyt\sq, çto lgbaq cep\, so-
stavlennaq yz πlementov nabora Mn n k+ +1, , ymeet porqdok k – 1 . Summu vsex
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 783
πtyx cepej oboznaçym fk n k− +1, . ProdolΩaq πtot process, çerez fk m n k− +,
oboznaçym summu vsex cepej porqdka k – m , sostavlenn¥x yz πlementov nabora,
u kotor¥x naçal\n¥my πlementamy qvlqgtsq πlement¥ α αn m n m
p m
+ +
−…( ) ( ), ,1 , m =
= 0, 1, … , k . Krome toho, poloΩym f n k0, + ≡ 1.
Teorema&2. Dlq funkcyy fk n k, + spravedlyvo razloΩenye
fk n k, + = α α αn k n k n k n k n
p
k p n kf f f( )
,
( )
,
( )
,
1
1
2
2− + − + − ++ + … + ,
p = min ( , )n k . (18)
Dokazatel\stvo. Oçevydno, çto summ¥ αn
m
k m n kf( )
,− + , m = 1, … , p , so-
stoqt yz cepej porqdka k s naçal\n¥my πlementamy αn
m( ) , y za sçet πtoho πty
summ¥ ne mohut ymet\ odynakov¥x slahaem¥x. Sledovatel\no, v¥raΩenye
α α αn k n k n k n k n
p
k p n kf f f( )
,
( )
,
( )
,
1
1
2
2− + − + − ++ + … +
ysçerp¥vaet vse cepy porqdka k s naçal\n¥my πlementamy α αn n
p( ) ( ), ,1 … , t. e.
πto funkcyq fk n k, + .
Teorema dokazana.
Teorema&3. Dlq funkcyj fk m n k− +, spravedlyv¥ sootnoßenyq
fk m n k− +, =
∂
∂
+fk n k
n
m
,
( )α
=
∂
∂ ∂ …∂
+
+ + −
m
k n k
n n n m
f ,
( ) ( ) ( )α α α1
1
1
1
1
, m = 1, … , min ( , )k n . (19)
Dokazatel\stvo. Poskol\ku naçal\n¥j πlement αn
j( )
ne soderΩytsq v
slahaem¥x αn
m
k m n kf( )
,− + pry j ≠ m, yz formul¥ (18) sleduet pervaq çast\ ra-
venstva (19). V çastnosty,
fk n k− +1, =
∂
∂
+fk n k
n
,
( )α 1
. (20)
Naçal\n¥my πlementamy v cepqx summ¥ fk n k− +1, qvlqgtsq α αn n
p
+ +
−…1
1
1
1( ) ( ), , .
Sostavym dlq funkcyy fk n k− +1, predstavlenye typa (18). Funkcyq fk n k− +1,
— summa cepej porqdka k – 1 . Poπtomu naçal\n¥e πlement¥ α αn n
p
+ +
−…1
1
1
1( ) ( ), ,
razbyvagt πty cepy na p – 1 hruppu slahaem¥x, a ymenno, πlement αn+1
1( )
moΩno
umnoΩyt\ tol\ko na cepy porqdka k − 2 s naçal\n¥my πlementamy αn
j
+2
( ) , j =
= 1, … , p − 2 (çtob¥ poluçyt\ cepy porqdka k − 1 ). ∏to oznaçaet, çto
fk n k− +1, = αn k n kf+ − + + …1
1
2
( )
, , y tak kak sledugwye cepy porqdka k – 1 naçy-
nagtsq s πlementov α αn n
p
+ +
−…1
2
1
1( ) ( ), , , πlement αn+1
1( )
soderΩytsq tol\ko v v¥ra-
Ωenyy αn k n kf+ − +1
1
2
( )
, . Poπtomu s uçetom (20)
fk n k− +2, =
∂
∂
− +
+
fk n k
n
1
1
1
,
( )α
=
∂
∂ ∂
+
+
2
1
1
1
fk n k
n n
,
( ) ( )α α
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
784 V. E. KRUHLOV
Dalee, funkcyq fk n k− +2, — summa cepej porqdka k − 2 , sredy naçal\n¥x
πlementov kotor¥x est\ πlement αn+2
1( ) . Çtob¥ poluçyt\ s pomow\g πtoho πle-
menta cepy porqdka k − 2 , eho neobxodymo umnoΩyt\ na vse cepy porqdka
k − 3 , t. e. na funkcyg fk n k− +3, , y πlement αn+2
1( )
soderΩytsq tol\ko v sla-
haem¥x summ¥ αn k n kf+ − +2
1
3
( )
, . Tohda fk n k− +2, = αn k n kf+ − + + …2
1
3
( )
, . Otsgda
fk n k− +3, =
∂
∂
− +
+
fk n k
n
2
2
1
,
( )α
=
∂
∂ ∂ ∂
+
+ +
3
1
1
1
2
1
fk n k
n n n
,
( ) ( ) ( )α α α
.
ProdolΩaq po yndukcyy πtot process, poluçaem formulu (19).
Teorema dokazana.
Teorema&4. Dlq funkcyj φi n k, + spravedlyv¥ razloΩenyq
φi n k, + = α α αi
n i
k n k i
n i
k n k i
n i sf f( )
,
( )
,
( )−
+
− +
− +
− ++ + … +1
1 ffk s n k− +, , (21)
hde s = min ( , )k i , k ≥ 0, i = 0, 1, … , n – 1, f n k0, + ≡ 1.
Krome toho,
fk m n k− +, =
∂
∂
− +
−
+
φ
α
n n k
n
m
1
1
1
,
( )
=
∂
∂ ∂ …∂
+
− +
− + −
m
k n k
n n n m
1
1
1
1 1
1
1
φ
α α α
,
( ) ( ) ( )
, (22)
hde m = 0, 1, … , s .
Dokazatel\stvo. Prymenym te Ωe rassuΩdenyq, çto y pry dokazatel\stvax
teoremP2 y 3, k naboru Mn n k− +1, , kotor¥j moΩno vosstanovyt\ po naboru
Mn n k, + , dobavyv k nemu naçal\n¥e πlement¥ α αn n
s
− −
+…1
1
1
1( ) ( ), , . Poluçym summu
φn n k− +1, vsex cepej porqdka k + 1 y, sledovatel\no,
φn n k− +1, = α α αn k n k n k n k n
s
kf f f− + − − + −
++ + … +1
1
1
2
1 1
1( )
,
( )
,
( )
−− +s n k, , (23)
hde funkcyy f f fk n k k n k k s n k, , ,, , ,+ − + − +…1 stroqtsq yz πlementov nabora
Mn n k, + , s = min ( , )k n − 1 .
Poskol\ku funkcyy φi n k, + — summa vsex cepej porqdka n + k – i , summ¥
αi
n i m
k m n kf( )
,
− +
− + , m = 0, 1, … , s = min ( , )k i , ysçerp¥vagt vse cepy porqdka
n + k – i , postroenn¥e yz πlementov nabora Mi n k, + , kotor¥j vosstanovlen po
naboru Mn n k, + dobavlenyem k nemu naçal\n¥x πlementov α αi
n i
i
n i( ) ( ), ,− − + …1
… − +, ( )αi
n i s , a znaçyt, summa
α α αi
n i
k n k i
n i
k n k i
n i sf f( )
,
( )
,
( )−
+
− +
− +
− ++ + … +1
1 ffk s n k− +,
ysçerp¥vaet vse cepy porqdka n + k – i , postroenn¥e yz πlementov nabora
Mi n k, + , t. e. πto funkcyq φi n k, + .
Ravenstva (22) poluçagtsq yz ravenstva (23), kak y pry dokazatel\stve teo-
rem¥P3.
Teorema dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 785
Zameçanye&3. Formulu (21) moΩno zapysat\ v sledugwem vyde:
φi n k, + = α
φ
α
α
φ
i
n i n n k
n
i
n i n n k( ) ,
( )
( ) ,− − +
−
− + − +∂
∂
+
∂1
1
1
1 1
∂∂
+ … +
∂
∂−
− + − +
−
+α
α
φ
αn
i
n i s n n k
n
s
1
2
1
1
1( )
( ) ,
( )
, (24)
k ≥ 0, i = 0, 1, … , n – 1 , s = min ( , )k i .
5. Zapyßem podrobnee formul¥ (21):
φ0, n k+ = α0
( )
,
n
k n kf + ,
φ1, n k+ = α α1
1
1 1
( )
,
( )
,
n
k n k
n
k n kf f−
+ − ++ ,
φ2, n k+ = α α α2
2
2
1
1 2 2
( )
,
( )
,
( )
,
n
k n k
n
k n k
n
k n kf f f−
+
−
− + − ++ + ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (25)
φi n k, + = α α αi
n i
k n k i
n i
k n k i
n
k if f f( )
,
( )
,
( )−
+
− +
− + −+ + … +1
1 ,, n k+ ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
φn n k− +1, = α α αn k n k n k n k n
n
k nf f f− + − − + − −+ + … +1
1
1
2
1 1
( )
,
( )
,
( )
++ +1, n k .
Pry k ≥ n v πtyx formulax net takyx funkcyj fm n k, + , u kotor¥x m < 0.
Pry 0 ≤ k ≤ n – 2 takye funkcyy est\. Poskol\ku fm n k, + — summa cepej
porqdka m > 0, polahaem fm n k, + ≡ 0 pry m < 0 y f n k0, + ≡ 1.
Tak kak nalyçye nulev¥x slahaem¥x v (25) na dal\nejßye preobrazovanyq ne
vlyqet, φi n k, + budem yspol\zovat\ v vyde (25), i = 0, 1, … , n – 1 .
Oboznaçym
Wn k, =
f f f
f f
k n k k i n k k n n k
k n k k i
, , ,
,
+ − + − + +
+ + + − +
… …
…
1
1 1 1,, ,
,
n k k n n k
n k n k n k
f
f f
+ + − + + +
+ − + − +
…
… … … … …
…
1 2 1
1 2 1 −− − + − + −…
i n k k n kf1 2 1 2 1, ,
.
Pry k = 0 πta matryca ymeet treuhol\n¥j vyd: hlavnaq dyahonal\ sostoyt yz
edynyc, a nad nej vse πlement¥ qvlqgtsq nulev¥my. Pry 1 ≤ k ≤ n – 2 verx-
nqq ( )k + 1 -q dyahonal\ sostoyt yz edynyc, a nad nej vse πlement¥ nulev¥e.
Pry k = n – 1 πta matryca ne ymeet nulev¥x πlementov, a v verxnem pravom uh-
lu naxodytsq edynyca.
Vvedem preobrazovanye Tj n, . ∏to matryca porqdka n sledugwej struktu-
r¥: v p -j stroke p ≠ j ; j , p = 1, … , n , na p -m meste naxodytsq edynyca, a vse
ostal\n¥e πlement¥ — nuly; v j -j stroke na j -m meste naxodytsq edynyca,
sleva ot nee nuly, a sprava — πlement¥ – α αj
n
j
n( ) ( )/−
−
1
1 , … , – α αn
j
j
n
− −1 1
( ) ( )/ , t. e.
πto matryc¥ treuhol\noho typa, na hlavnoj dyahonaly kotor¥x naxodqtsq edy-
nyc¥, a pod nej vse πlement¥ qvlqgtsq nulev¥my, det Tj n, = 1.
Teorema&5. Dlq matryc¥ Φn k, yz (11) spravedlyvo ravenstvo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
786 V. E. KRUHLOV
Φn k n n n nT T T, , , ,1 2 1… − = Wn k
n n
n
n
,
( ) ( ) ( )( ), , ,diag α α α0 1 1… − , k ≥ 0. (26)
Pry πtom
det ,Wn k = ( ) ( ) ( ) ( )− …+
+ −1 1
1
k n
n
n
n k
nα α , (27)
a det ,Wn 0 = 1 pry k = 0.
Dokazatel\stvo. Zapyßem πlement¥ matryc¥ Φn k, , yspol\zovav formu-
l¥ (25). Netrudno zametyt\, çto kaΩdoe oçerednoe preobrazovanye Tj n, osu-
westvlqet πlementarn¥e dejstvyq nad stolbcamy matryc¥ Φn k n j nT T, , ,1 1… − , a
ymenno, ee j -j stolbec umnoΩaetsq posledovatel\no na çysla – α αj
n
j
n( ) ( )/−
−
1
1 , …
… , – α αn
j
j
n
− −1 1
( ) ( )/ y sklad¥vaetsq s sootvetstvugwym ( )j + 1 -, … , n -m stolbcamy
πtoj matryc¥. V rezul\tate ymeem
Φn k n n nT T, , ,1 1… − =
α α
α
0 1 1
0 1
( )
,
( )
,
( )
n
k n k n
n
k n n k
n
n k
f f
f
+ − − + +
+ −
…
… … …
,,
( )
,2 1 1 2 1n k n
n
k n kf+ − − + −…
α
,
çto y dokaz¥vaet ravenstvo (26).
Ravenstvo (27) sleduet yz (13), tak kak det Tj n, = 1.
Teorema dokazana.
Poskol\ku matryca Wn k, poluçena yz matryc¥ Φn k, nev¥roΩdenn¥my pre-
obrazovanyqmy, Fj k, = fk j n k− + +1, , j = 1, 2, … , n , takΩe obrazugt fundamen-
tal\n¥j bazys prostranstva L . ∏tot bazys otlyçaetsq ot druhyx fundamen-
tal\n¥x bazysov tem, çto yz formul¥ obweho reßenyq uravnenyq (3) ωk =
= C F C F C Fk k n n k1 1 2 2, , ,+ + … + sleduet ω i i n k i n kf C f C= + ++ − +, ,1 1 2 …
… + ++ +f C Cn k i i1 1, , i = 0, 1, … , n – 1 .
Nazovem πtot fundamental\n¥j bazys normal\n¥m.
Zameçanye&4. Esly vospol\zovat\sq ravenstvamy (19) y (22), to poluçym
Wn k, =
f
f f
k n k
k n k
n
n
k n k
n n
,
,
( )
,
( ) (+
+
−
+
+
∂
∂
…
∂
∂ ∂α α α1
1
1
1
1)) ( )
,
,
∂
… … … …
∂
∂
−
+ − + −
+ − + −
α2 2
1
1 2 1
1 2 1
n
n k n k
n k n kf
f
αα α α αn
n
n k n k
n n n
f
( )
,
( ) ( )1
1
1 2 1
1
1
1
2
…
∂
∂ ∂ ∂
−
+ − + −
+ −22
1( )
=
=
∂
∂
…
∂
∂
… … …
∂
− +
−
− +
−
−
φ
α
φ
α
φ
n n k
n
n n k
n
n
n
1
1
1
1
1
1
,
( )
,
( )
,,
( )
,
( )
2 1
1
1
1 2 1
1
n k
n
n n k
n
n
+ −
−
− + −
−∂
…
∂
∂
α
φ
α
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 787
y det ,Wn k moΩno nazvat\ raznostn¥m analohom vronskyana, a takΩe πto qko-
byan funkcyj φn n k− +1, , … , φn n k− + −1 2 1, , k ≥ 0.
6. Opredelym teper\ kolyçestvo cepej porqdka m . Pust\ v cepy porqdka
m soderΩytsq x m1, πlementov 1-ho ranha, x m2, πlementov 2-ho ranha, …
… , xn m, πlementov n -ho ranha. Tohda, oçevydno,
xn m, = 0, 1, … , [ ]/m n = γ n m, , xn m−1, = 0, 1, … ,
m nx
n
n m−
−
,
1
= γ n m−1, , …
… , x m2, = 0, 1, … ,
m nx n x xn m n m n− − − − … −
−, , ,( )1 3
2
1 3 = γ n m−1, ,
x m1, = 0, 1, … , m nx xn m m− − … −, ,2 2 = γ1,m .
Poskol\ku porqdok cepy — summa ranhov vsex vxodqwyx v nee πlementov, to
m = x x nxm m n m1 22, , ,+ + … + .
Pust\ s = x x xm m n m1 2, , ,+ + … + . ∏to oznaçaet, çto s πlementov (bukv) raz-
byt¥ na n neperesekagwyxsq podmnoΩestv, soderΩawyx x j m, razlyçn¥x πle-
mentov (bukv). Kolyçestvo razlyçn¥x slov, kotor¥e moΩno sostavyt\ yz πtyx
bukv (πlementov), opredelqetsq formuloj [8]
r x xm n m( , , ), ,2 … =
( )!
! !
, ,
, ,
x x
x x
m n m
m n m
1
1
+ … +
…
=
( ( ) )!
! ! (
, , ,
, ,
m x x n x
x x m x
m m n m
m n m
− − − … − −
… −
2 3
2
2 1
2 22, , )!m n mnx− … −
.
Poπtomu çyslo vsex cepej porqdka m opredelqetsq formuloj
Nm =
x x
m n m
xn m
n m
n m
n m
r x x
,
,
,
,
( , , ), ,
= =
∑ ∑
−
−
… …
0 0
2
1
1
2
γ γ
,,
,
m
m
=
∑
0
2γ
, nx x xn m m m, , ,+ +2 2 1 = m .
Tohda, sohlasno (18), kolyçestvo cepej porqdka k , yz kotor¥x sostoyt funk-
cyq fk n k, + , opredelqetsq formuloj
Nk = N j
j k p
k
= −
−
∑
1
, k ≥ 1, p = min ( , )k n . (28)
Osobenno prostoj vyd πta formula ymeet pry n = 2. Poskol\ku fk k, 2+ =
= α α2
1
1 2 2
2
2 2
( )
,
( )
,f fk k k k− + − ++ , to Nk = N Nk k− −+1 2 , k ≥ 1, çto takΩe sledu-
et yz (28) pry k ≥ 2. Pry k = 1 poluçaem N1 = N0 . No f1 3, = α0
2
0 3
( )
,f , y
tak kak f0 3, = 1, f1 3, sostoyt yz odnoj cepy porqdkaP2, t. e. N1 = 1. Ytak,
N0 = N1 = 1 y, sledovatel\no, posledovatel\nost\ Nk , k ≥ 0, qvlqetsq po-
sledovatel\nost\g Fybonaççy.
Sohlasno formulam (25), φ1 2, +k — summa cepej porqdka k + 1, φ1 2, +k =
= α α1
1
2 1
2
1 2
( )
,
( )
,f fk k k k+ − ++ . Soxranym oboznaçenye Nk+1 za kolyçestvom sla-
haem¥x v summe φ1 2, +k .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
788 V. E. KRUHLOV
Pry k = 0 funkcyq φ1 2, = α1
1
0 2
( )
,f , znaçyt, N1 = 1.
Pry k = 1 funkcyq φ1 3, = α α1
1
1 3 1
2
0 3
( )
,
( )
,f f+ , y tak kak f1 3, = α2
1( ) , f0 3, ≡
≡ 1, to N2 = 2.
Pry k = 2 funkcyq φ1 4, = α α1
1
2 4 1
2
1 4
( )
,
( )
,f f+ , y tohda N3 = N N2 1+ = 3.
Takym obrazom, posledovatel\nost\ N1 = 1, N2 = 2, Nk+1 = N Nk k+ −1,
k ≥ 2, takΩe qvlqetsq posledovatel\nost\g Fybonaççy.
Najdem çyslo Nm . Poskol\ku x xm m1 22, ,+ = m , to
r x m( ),2 =
( )!
! ( )!
,
, ,
m x
x m x
m
m m
−
−
2
2 22
= C
m x
x
m
m
− 2
2
,
,
y
Nm = C
m x
x
x
m
m
m
m
−
=
∑
2
2
2 0
2
,
,
,
[ / ]
.
No πto yzvestnoe [9] predstavlenye dlq m -ho çlena posledovatel\nosty Fybo-
naççy. Esly uçest\, çto C Ck
k
k
k−
−
−+1
1
1 = Ck+1
1 = Ck
k
+1 , to dejstvytel\no Nk+1 =
= N Nk k+ −1.
7. Postroym çastnoe reßenye neodnorodnoho uravnenyq
ln k+ = α αn k n k k
n
k kl l g+ − + − ++ … + +1
1
1 1
( ) ( ) , k = 0, 1, … . (29)
Teorema&6. Çastnoe reßenye uravnenyq (29) opredelqetsq formuloj
f g f g f g fk n k k n k k j n k j n k, , , ,+ − + − + + ++ + … + + … +1 1 2 1 0 ggk+1 . (30)
Dokazatel\stvo. Alhorytm naxoΩdenyq koπffycyentov pry g j sostoyt
v poßahovom yspol\zovanyy formul¥ (29). V¥qsnym snaçala, kakym obrazom
konstruyruetsq koπffycyent pry g1. Dlq k = 0 koπffycyent raven edyny-
ce, dlq k = 1 pry yspol\zovanyy znaçenyq ln πtot koπffycyent raven αn
( )1 ,
dlq k = 2 — α α αn n n
( ) ( ) ( )1
1
1 2
+ + = f n2 2, + , t. e. sostavlqetsq summa cepej porqd-
kaP2, obrazovann¥x yz πlementov nabora ( )( ) ( ) ( ), ;α α αn n n
1
1
1 2
+ , y t. d. Po yndukcyy
dlq proyzvol\noho k, ysxodq yz (29), dlq postroenyq koπffycyenta pry g1
yspol\zuem πlement¥ nabora Mn n k, + yz (17), y summa fk n k, + vsex cepej po-
rqdka k , sostavlenn¥x yz πlementov πtoho nabora, qvlqetsq koπffycyentom
pry g1 .
Poskol\ku çyslo g2 vperv¥e poqvlqetsq v alhorytme postroenyq koπffy-
cyentov pry g j , naçynaq so znaçenyq k = 1, t. e. pry naxoΩdenyy ln+1 , na k -m
ßahe alhorytma, kak lehko zametyt\, dlq konstruyrovanyq koπffycyenta pry
g2 yspol\zugtsq vse cepy porqdka k = 1, sostavlenn¥e yz πlementov nabora
Mn n k+ +1, (ynformacyg ob πtom nabore sm. pered teoremojP2), y summa fk n k− +1,
πtyx cepej qvlqetsq koπffycyentom pry g2 .
ProdolΩaq πtot process, poluçaem formulu (30).
Teorema dokazana.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 789
Uçyt¥vaq ravenstvo (22), reßenye uravnenyq (29) opredelqem formuloj
ln k+ = φ φ
φ
α
0 0 1 1
1
1
1 1, ,
,
( )n k n n k n
n n k
n
l l g+ − + −
− +
−
+ … + +
∂
∂
++
∂
∂ ∂
− +
−
2
1
1
1 1 2
φ
α α
n n k
n n
g
,
( ) ( )
+ …
… +
∂
∂ ∂ …∂
+ … +
∂− +
− + −
+m
n n k
n n n m
m
k
g
φ
α α α
1
1
1 1
2
1
,
( ) ( ) ( )
11
1
1
1
1
1 1
φ
α α
n n k
n n k
kg
− +
− + −
+
∂ …∂
,
( ) ( )
, (31)
hde
φi n k, + = α
φ
α
i
n i n n k
n
( ) ,
( )
− − +
−
∂
∂
1
1
1
+
+ α
φ
α α
αi
n i n n k
n n
i
n i( ) ,
( ) ( )
(− + − +
−
− +∂
∂ ∂
+ … +1
2
1
1
1 1
ss
s
n n k
n n s
) ,
( ) ( )
∂
∂ …∂
+
− +
− + −
1
1
1
1
1
1
φ
α α
,
s = min ( , )k i , i = 0, 1, … , n – 1; k ≥ 0.
8. Prymer&2. Sluçaj n = 2.
Raznostnoe uravnenye vtoroho porqdka
l k2+ = α α1
1
1
2
1+ + ++ +k k k k kl l g( ) ( ) , k ≥ 0, (32)
ymeet reßenye
l k2+ = φ φ0 2 0 1 2 1 2 1, , ,+ + ++ +k k k kl l f g + …
… + f g f gk m k m k k− + + + ++ … +, ,2 1 0 2 1 .
Poskol\ku φ0 2, +k = α0
2
2
( )
,fk k+ , φ1 2, +k = α α1
1
2 1
2
1 2
( )
,
( )
,f fk k k k+ − ++ , obwee re-
ßenye uravnenyq (32) opredelqetsq formuloj
l k2+ = ( )( ) ( )
,
( )
, ,α α α1
1
1 0
2
0 2 1
2
1 2 1l l f f l fk k k k k+ + ++ − + 22 1+k g + …
… + f g f gk m k m k k− + + + ++ … +, ,2 1 0 2 1 . (33)
Kraevaq zadaça
α α1
1
1 0
2
0
( ) ( )l l+ = g1,
l k2+ = α α1
1
1
2
1+ + ++ +k k k k kl l g( ) ( ) , k = 1, 2, … , N – 2,
α αN N N Nl l( ) ( )1
1
2
1+ − − = gN ,
lehko reßaetsq s yspol\zovanyem (33). Pry πtom vopros, svqzann¥j s yssledo-
vanyem xoroßej obuslovlennosty reßenyq πtoj kraevoj zadaçy, zdes\ ne zatra-
hyvaetsq. Po formulam (33) naxodym lN y lN −1 . V rezul\tate vtoroe kraevoe
uslovye sxematyçesky zapyßetsq tak:
ω ω0 0 1 1l l+ = G,
hde
ω0 = α α α0
2 1
2 1
2
3 1
( ) ( )
,
( )
,( )N N N N N Nf f− − − −+ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
790 V. E. KRUHLOV
ω1 = α α α α αN N N N N Nf f( ) ( )
,
( )
,
( ) (( ) (1
1
1
2 1
2
3 1
2
1
1
− − −+ + ))
,
( )
, )f fN N N N− − − −+3 1 1
2
4 1α .
Sostavlqq systemu uravnenyj
α α0
2
0 1
1
1
( ) ( )l l+ = g1,
ω ω0 0 1 1l l+ = G,
ubeΩdaemsq, çto rassmatryvaemaq kraevaq zadaça ymeet reßenye tohda y tol\ko
tohda, kohda opredelytel\ πtoj system¥
α α α α0
2
1
2 1
3 1
2
4 1
( ) ( ) ( )
,
( )
,( )N N N N N Nf f− − − −+ ≠ 0.
Dlq postroenyq funkcyy fk k, 2+ yspol\zuetsq nabor ( ( ) ( ), , ;α α2
1
1
1… +k
α α2
2 2( ) ( ), , )… k , a funkcyy fk k− +1 2, — nabor ( )( ) ( ) ( ) ( ), , ; , ,α α α α3
1
1
1
3
2 2… …+k k .
Funkcyy fk k, 2+ y fk k− +1 2, opredelqgtsq formulamy
fk k, 2+ = α α α α2
1
1
1 2
2 2
2
1
1 1
( ) ( ) ( )( ) (… + … … + …+
= =
−
∑ ∑k i
i
k
i
k
i11 2
2 1
2 2
2
( ) ( ) )… …
= +
∑ α
i
i i
k
+ …
… +
i
k m
i i
k m
i i
1 2 1
1 2
2
2 2
2
2 4
2 2
=
− +
= +
− +
∑ ∑ … … … …( ( ) ( )α α α
ii
i i
k
m
m m
( ) )2
21
…
= +−
∑ , (34)
fk k− +1 2, = α α α α3
1
1
1 2
3 3
2
1
1 1
( ) ( ) ( )( ) (… + … … + …+
= =
−
∑ ∑k i
i
k
i
k
i11 2
2 1
2 2
2
( ) ( ) )… …
= +
∑ α
i
i i
k
+ …
… +
i
k m
i i
k m
i im
1 2 1
1
3
2 2
2
2 4
2 2
=
− +
= +
− +
∑ ∑ … … … …( )( ) ( )α α
ii i
k
m m= +−
∑
1 2
, (35)
hde m = 1, 2, … , [ ]/k 2 , i0 = 0, a vmesto toçek v kruhl¥x skobkax neobxodymo
zapysat\ podxodqwye πlement¥ 1-ho ranha yz mnoΩestva α α2
1
1
1( ) ( ), ,… +k , koto-
r¥e sformyrugt vse cepy porqdka k dlq funkcyy fk k, 2+ , y yz mnoΩestva
α α3
1
1
1( ) ( ), ,… +k , kotor¥e sformyrugt vse cepy porqdka k – 1 dlq funkcyy
fk k− +1 2, .
9. Prymer&3. Poluçenye kombynatorn¥x formul.
Yzvestno [1] reßenye uravnenyq
l k2+ = al blk k1+ + , k ≥ 0, (36)
hde a y b — çysla. Ono svqzano s reßenyem xarakterystyçeskoho uravnenyq
λ λ2 − −a b = 0. Pust\ λ1 y λ2 — korny πtoho uravnenyq. V zavysymosty ot
znaçenyj a y b reßenyqmy uravnenyq (36) qvlqgtsq: 1) λ1
k
y λ2
k
, esly λ1 ≠
≠ λ2 ; 2) λ1
k
y k kλ1 , esly λ1 = λ2 = a/2 .
Yz uravnenyq (36) sleduet, çto α1
1( ) = α2
1( ) = … = αk
( )1 = a ; α0
2( ) =
= α1
2( ) = … = αk
( )2 = b ; k ≥ 0. Tohda funkcyy fk k, 2+ y fk k− +1 2, yz (34), (35)
opredelqgtsq formulamy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 791
fk k, 2+ = C a bk m
m k m m
m
k
−
−
=
∑ 2
0
2[ / ]
, fk k− +1 2, = C a bk m
m k m m
m
k
− −
− −
=
−
∑ 1
2 1
0
1 2[( )/ ]
. (37)
PokaΩem, çto yz vsex reßenyj l k2+ = ( ) , ,al bl f b f lk k k k1 0 2 1 2 1+ ++ − + pry opre-
delennom v¥bore parametrov l0 y l1 moΩno poluçyt\ pryvedenn¥e v¥ße
reßenyq uravnenyq (36).
Lemma&5. Pust\ λ2 = a bλ + . Tohda
ψ( )k = λ f b fk k k k, ,2 1 2+ − ++ = λk+1 . (38)
Dokazatel\stvo provedem yndukcyej po k . Pry k = 1 poluçaem
ψ( )1 = λ f b f1 3 0 3, ,+ = λa b+ = λ2 .
PokaΩem, çto
ψ ψ( ) ( )k a k+ −1 = b kλ ,
(39)
ψ( )2 = λ f b f2 4 1 4, ,+ = λ( )a b ab2 + + = a a b b( )λ λ+ + = a bλ λ2 + = λ3 .
Ytak, pry k = 1 ymeem ψ ψ( ) ( )2 1− a = λ λ( )a b ab a ab2 2+ + − − = λb .
Pust\ ravenstva (38), (39) spravedlyv¥ pry k = 2 2s − , t. e.
ψ ψ( ) ( )2 1 2 2s a s− − − = b sλ2 2− , ψ( )2 2s − = λ2 1s− . (40)
Tohda
ψ( )2 1s − = b a ssλ ψ2 2 2 2− + −( ) = b as sλ λ2 2 2 1− −+ = λ2s .
PokaΩem, çto ravenstva (38), (39) spravedlyv¥ pry k = 2 1s − , t. e.
ψ ψ( ) ( )2 2 1s a s− − = b sλ2 1− . (41)
Esly πto ravenstvo budet dokazano, to yz neho poluçym ψ( )2s = b sλ2 1− +
+ a sψ( )2 1− = λ2 1s+ .
DokaΩem (41). Yz ravenstv (37), (40), levoj çasty (38) y C Cn
m
n
m− −1 = Cn
m
−
−
1
1
sleduet
ψ ψ( ) ( )2 1 2 2s a s− − − =
= λ C a b b C as m
m s m m
m
s
s m
m s
2 2
1 2 2 1
1
1
2 3
1 2
− −
− − −
=
−
− −
−∑ + −− −
=
−
∑ 2 2
1
1
m m
m
s
b = b sλ2 2− . (42)
Esly uçest\, çto λ2 = a bλ + , y ravenstva (37) y (38), to
ψ ψ( ) ( )2 2 1s a s− − =
= λ( ) (, , ,f a f b f a fs s s s s s s2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2+ − + − + −− + − ,, )2 1s+ =
= λ λ2
2 2
1 2 2 1
1
1
2 3
1C a b b C as m
m s m m
m
s
s m
m
− −
− − −
=
−
− −
−∑ + 22 2 2
1
1
s m m
m
s
b− −
=
−
∑ .
Uçyt¥vaq (42), poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
792 V. E. KRUHLOV
ψ ψ( ) ( )2 2 1s a s− − = λ ψ ψ[ ]( ) ( )2 1 2 2s a s− − − = b sλ2 1− .
Lemma dokazana.
Lemma&6. Spravedlyvo ravenstvo
δ( )k =
( )[ / ] − −
=
∑
1
40
2 m
k m
m
m
m
k C
=
k
k
+ 1
2
, k = 0, 1, … . (43)
Dokazatel\stvo provedem yndukcyej po k . Ymeem δ( )0 = δ( )1 = 1.
PokaΩem, çto
δ δ( ) ( )k k+ −1 = –
1
4
1δ( )k − . (44)
Pry k = 1 poluçaem
δ δ( ) ( )2 1− = 1
1
4
1− − = –
1
4
= –
1
4
0δ( ) .
Pust\ ravenstva (43), (44) spravedlyv¥ pry k = 2 1s − , t. e.
δ δ( ) ( )2 2 1s s− − = –
1
4
2 2δ( )s − ,
δ( )2 1s − =
2
22 2
s
s−
, δ( )2 2s − =
2 1
22 2
s
s
−
−
.
Otsgda δ( )2s =
2 1
22
s
s
+
.
PokaΩem, çto dlq k = 2s
δ δ( ) ( )2 1 2s s+ − = –
1
4
2 1δ( )s − .
Yspol\zuq (43), zapys¥vaem δ( )2 1s + y δ( )2s . Tohda
δ δ( ) ( )2 1 2s s+ − = –
C C Cs s s s
s
2 1
0
2 2
1 1
4 4
1
4
− −
−
− − … − −( ) = –
1
4
2 1δ( )s − ,
otkuda
δ( )2 1s + = –
1
4
2 1 2δ δ( ) ( )s s− + =
= –
s s
s s2
2 1
22 2
+
+
=
s
s
+ 1
22
=
2 2
22 1
s
s
+
+
.
Lemma dokazana.
Obwee reßenye uravnenyq (36), sohlasno (33), pry gj = 0 opredelqetsq
formuloj
l k2+ = ( ) , ,al bl f bl fk k k k1 0 2 1 1 2+ ++ − + .
Teorema&7. Pust\ λ1 y λ2 — korny uravnenyq λ2 = a bλ + .
Tohda:
1) esly λ1 ≠ λ2 , to pry l1 = λi , l0 = 1 l k2+ = λi
k2+ ;
2) esly λ1 = λ2 = a/2 , to pry l1 = λ1 =
a
2
, l0 = 1
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
POSTROENYE FUNDAMENTAL|NOJ SYSTEMÁ REÍENYJ … 793
l k2+ =
a
k
2
2
+
= λ1
2+k ,
a pry l1 = λ1, l0 = 0
l k2+ = ( )2
2
2
+
+
k
a
k
= ( )2 1
2+ +k kλ .
Dokazatel\stvo. 1. Sohlasno (38) ymeem
l k2+ = ( ) , ,a b f b fi k k i k kλ λ+ ++ − +2 1 2 =
= λ λi k k i k kf b f2
2 1 2, ,+ − ++ = λ ψi k( ) = λi
k2+ .
2. Dlq λ1 = a/2 pry l1 = λ1, l0 = 1 vospol\zuemsq sluçaem 1 y l k2+ =
= λ1
2+k = ( / )a k2 2+ .
Poskol\ku b = – a2 4/ , pry l1 = λ1 = a/2 , l0 = 0 poluçaem
l k2+ = l a f
a
fk k k k1 2
2
1 24, ,+ − +−
=
a
f a fk k k k
2
2 1 28
4 , ,+ − +−( ) .
Oboznaçym
φ( )k = 4 2 1 2f a fk k k k, ,+ − +− .
Yspol\zuq formulu (38) pry λ = a/2 y b = – a2 4/ , naxodym
a
f a fk k k k4
2 2 1 2( ), ,+ − +− =
a
k
2
1
+
,
a znaçyt,
φ( )k = 2
2
2 1
f
a
k k
k
k, + −
+ .
No sohlasno (43)
fk k, 2+ = a
Ck
m
k m
m
m
m
k ( )[ / ] − −
=
∑
1
40
2
= a kk δ( ) = a
kk
k
+ 1
2
.
Sledovatel\no,
φ( )k = a
kk
k
+
−
2
2 1
,
a znaçyt,
l k2+ = ( )k
a
k
+
+
2
2
2
.
Teorema dokazana.
Yz formul¥ (38) pry λ1 ≠ λ2 , uçyt¥vaq, çto λ1 + λ2 = a, λ1 λ2 = – b,
poluçaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
794 V. E. KRUHLOV
f a bk k, ( , )2+ =
λ λ
λ λ
1
1
2
1
1 2
k k+ +−
−
, f a bk k− +1 2, ( , ) =
λ λ
λ λ
1 2
1 2
k k−
−
.
Otsgda pry b → – a2 4/ (πto ravnosyl\no tomu, çto λ1 → λ2 ) poluçaem
f a
a
k k, ,2
2
2+ −
= ( )k
a
k
+
1
2
= ( )k k+ 1 2λ .
Zameçanye&5. Korny λ1 y λ2 mohut b¥t\ kompleksno-soprqΩenn¥my çys-
lamy. Pust\ λ1 = λ φ
1 ei . Tohda, esly a y b — dejstvytel\n¥e çysla, yz
(38) poluçaem
λ φ1 2 1 2f b fk k k k, ,cos+ − ++ = λ φ1
1
1
k
k
+ +cos ( ) ,
fk k, sin2+ φ = λ φ1 1
k
ksin ( )+ .
V sluçae raznostn¥x uravnenyj porqdka bol\ßeho dvux s postoqnn¥my koπf-
fycyentamy pry yspol\zovanyy formul (5), (25) obweho reßenyq takoho urav-
nenyq poluçym nov¥e bolee sloΩn¥e kombynatorn¥e formul¥.
1. Hodunov S. K., Rqben\kyj V. S. Raznostn¥e sxem¥. – M.: Nauka, 1977. – 439 s.
2. Mart¥ngk D. Y. Lekcyy po kaçestvennoj teoryy raznostn¥x uravnenyj. – Kyev: Nauk.
dumka, 1972. – 246 s.
3. Romanenko V. K. Raznostn¥e uravnenyq. – M.: Bynom, 2006. – 112 s.
4. Kruhlov V. E. Postroenye fundamental\noj system¥ reßenyj lynejnoho raznostnoho
uravnenyq porqdka n // Suçasni problemy mexaniky ta matematyky: Tezy dop. konf. (L\viv,
25 – 29 travnq 2008 r.). – L\viv, 2008. – 3. – S.P69 – 71.
5. Wimp J. Computation with recurrence relations. – Boston etc.: Pitman, 1984. – 309 p.
6. Hel\fond A. O. Ysçyslenye koneçn¥x raznostej. – M.: Nauka, 1967. – 375 s.
7. Kruhlov V. E. Reßenye uravnenyq typa Puankare – Perrona vtoroho porqdka y svodqwyxsq
k nemu dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60, # 7. – S.P900 – 917.
8. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V., Qdrenko M. Y. Teoryq veroqtnostej y matematyçeskaq
statystyka. – Kyev: Vywa ßk., 1988. – 439 s.
9. Vorob\ev N. N. Çysla Fybonaççy. – M.: Nauka, 1983. – 70 s.
Poluçeno 09.12.08,
posle dorabotky — 16.03.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3058 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:28Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2d/091069cabfc4ddee814afcf1a434c82d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30582020-03-18T19:44:24Z Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения конечного порядка Kruglov, V. E. Круглов, В. Е. Круглов, В. Е. We present an efficient algorithm for the construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation. We obtain expressions in which all elements of this system are expressed via one of its elements and find a particular solution of an inhomogeneous equation. Наведено ефективний алгоритм побудови фундаментальної системи розв'язків лінійного різницевого рівняння скінченного порядку. Знайдено формули, в яких всі елементи цієї системи подано через її один елемент, а також частковий розв'язок неоднорідного рівняння. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3058 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 6 (2009); 777-794 Український математичний журнал; Том 61 № 6 (2009); 777-794 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3058/2865 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3058/2866 Copyright (c) 2009 Kruglov V. E. |
| spellingShingle | Kruglov, V. E. Круглов, В. Е. Круглов, В. Е. Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| title | Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| title_alt | Построение фундаментальной системы решений линейного разностного уравнения конечного порядка |
| title_full | Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| title_fullStr | Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| title_full_unstemmed | Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| title_short | Construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| title_sort | construction of a fundamental system of solutions of a linear finite-order difference equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3058 |
| work_keys_str_mv | AT kruglovve constructionofafundamentalsystemofsolutionsofalinearfiniteorderdifferenceequation AT kruglovve constructionofafundamentalsystemofsolutionsofalinearfiniteorderdifferenceequation AT kruglovve constructionofafundamentalsystemofsolutionsofalinearfiniteorderdifferenceequation AT kruglovve postroeniefundamentalʹnojsistemyrešenijlinejnogoraznostnogouravneniâkonečnogoporâdka AT kruglovve postroeniefundamentalʹnojsistemyrešenijlinejnogoraznostnogouravneniâkonečnogoporâdka AT kruglovve postroeniefundamentalʹnojsistemyrešenijlinejnogoraznostnogouravneniâkonečnogoporâdka |