Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation
Mixed problems for a nonlinear ultraparabolic equation are considered in domains bounded and unbounded with respect to the space variables. Conditions for the existence and uniqueness of solutions of these problems are established and some estimates for these solutions are obtained.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3059 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509083555069952 |
|---|---|
| author | Protsakh, N. P. Процах, Н. П. |
| author_facet | Protsakh, N. P. Процах, Н. П. |
| author_sort | Protsakh, N. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:24Z |
| description | Mixed problems for a nonlinear ultraparabolic equation are considered in domains bounded and unbounded with respect to the space variables. Conditions for the existence and uniqueness of solutions of these problems are established and some estimates for these solutions are obtained. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:28Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.95
N. P. Procax
(Nac. lisotexn. un-t Ukra]ny; In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI
DLQ NELINIJNOHO UL|TRAPARABOLIÇNOHO RIVNQNNQ*
The mixed problems for a nonlinear ultraparabolic equation are considered in a bounded domain and
domain unbounded in the spatial variables. Conditions for the existence and uniqueness of solutions of
these problems are obtained. Some estimates of these solutions are also established.
V ohranyçennoj y neohranyçennoj po prostranstvenn¥m peremenn¥m oblastqx rassmotren¥
smeßann¥e zadaçy dlq nelynejnoho ul\traparabolyçeskoho uravnenyq. Poluçen¥ uslovyq su-
westvovanyq y edynstvennosty reßenyj πtyx zadaç, a takΩe nekotor¥e yx ocenky.
Ul\traparaboliçni rivnqnnq uperße vynykly pry jmovirnisnomu modelgvanni
vypadkovyx ruxiv fizyçno] systemy z n stupenqmy vil\nosti [1]. Pizniße vony
znajßly ßyroke zastosuvannq u finansovij matematyci, ekonomici, biolohi] ta
fizyci [2, 3].
Zadaçu Koßi dlq vyrodΩenyx rivnqn\ typu Kolmohorova, qki [ uzahal\nen-
nqm rivnqnnq dyfuzi] z inerci[g A. M. Kolmohorova, rozhlqnuto u pracqx
S.:D.:Ivasyßena, V. S. Dronq, H. P. Malyc\ko] ta in. (dyv. [4 – 6] ta navedenu v
nyx bibliohrafig), de pobudovano fundamental\nyj rozv’qzok zadaçi Koßi,
otrymano joho vlastyvosti, na ]x pidstavi dovedeno teoremy pro isnuvannq ta
[dynist\ rozv’qzkiv zadaçi Koßi, vstanovleno ]x pevni ocinky ta vlastyvosti.
Isnuvannq ta [dynist\ rozv’qzku mißanyx zadaç dlq linijnyx ta nelinijnyx ul\t-
raparaboliçnyx rivnqn\ dovedeno u pracqx [7 – 13]. Zokrema, u pracqx [7, 10, 13]
rivnqnnq mistqt\ nelinijnosti stepenevoho vyhlqdu, a u praci [7] koefici[nty
rivnqnnq moΩut\ zrostaty.
Praci [2, 13 – 16] prysvqçeno vyvçenng pevnyx vlastyvostej kvazilinijnyx
ul\traparaboliçnyx rivnqn\. Zokrema, vstanovleno povedinku rozv’qzku pry
zrostanni çasovo] zminno], otrymano nerivnosti Harnaka ta ocinky rozv’qzku. U
praci [17] vstanovleno umovy kompaktnosti nosiq rozv’qzku mißano] zadaçi dlq
paraboliçnoho rivnqnnq u neobmeΩenij za prostorovymy zminnymy oblasti.
U cij statti rozhlqnuto mißanu zadaçu dlq nelinijnoho ul\traparaboliçno-
ho rivnqnnq. Otrymano umovy, za qkyx norma rozv’qzku vkazano] zadaçi spada[
pry zrostanni çasovo] zminno]. U vypadku, koly oblast\, v qkij rozhlqnuto zada-
çu, [ neobmeΩenog za prostorovymy zminnymy, pokazano, wo nosij rozv’qzku [
obmeΩenym.
Nexaj Ω ⊂ Rn
— oblast\ z meΩeg ∂Ω ∈C1
, D l⊂ R — obmeΩena oblast\
z meΩeg ∂D C∈ 1
, çysla n, l ⊂ N , T ∈ ( , )0 ∞ .
Vvedemo taki poznaçennq: τ — dovil\ne fiksovane çyslo z promiΩku 0, T( ],
G = Ω × D, Qτ = G × ( , )0 τ , Qs,τ = G × ( , )s τ , s( < τ, s ∈ 0, T[ )) , QT = G × ( , )0 T ,
Q = G × ( , )0 ∞ , ΣT = ∂Ω × D × ( , )0 T , ST = Ω × ∂D × ( , )0 T , ν — zovnißnq nor-
mal\ do poverxni ST , ∂G — meΩa oblasti G, x = x1{ , … , xn}, y = y1{ , … , yl},
x ∈Ω , y D∈ .
Rozhlqnemo funkci], qki dlq dovil\noho T > 0 zadovol\nqgt\ umovy:
A) ai ∈ C Q( ) ∩ L Q∞( ) , a xi( , y, t) ≥ a0 dlq majΩe vsix (x, y, t) ∈ Q ta vsix
i ∈ 1{ , … , n} , a0 — dodatna stala;
P) çysla p ta q taki, wo q ∈ ( , )1 ∞ , p ∈ ( , )2 ∞ ;
*
Çastkovo pidtrymano hrantom Prezydenta Ukra]ny dlq pidtrymky naukovyx doslidΩen\ molo-
dyx uçenyx.
© N. P. PROCAX, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6 795
796 N. P. PROCAX
C) c cyi
,{ } � L T∞(( , )0 ; L G∞ )( ) , c(x, y, t) ≥ c0 dlq majΩe vsix (x, y, t) ∈ QT ta
vsix i ∈ 1{ , … , l}, c0 — dodatna stala;
G) funkciq g(x, y, t, ξ) vymirna za zminnymy (x, y, t) v oblasti QT dlq vsix
ξ ∈R1
, neperervna po ξ dlq majΩe vsix (x, y, t) ∈ QT ; g x( , y, t, ξ) ≤ g q0 1ξ − ,
g x(( , y, t, ξ) – g(x, y, t, η)) (ξ – η) ≥ g q
0 ξ η− dlq majΩe vsix (x, y, t) ∈ QT ta
vsix ξ, η ∈R1
, de g0
, g0
— taki stali, wo g0 > 0 pry q ≥ 2, g0 = 0 pry 1 <
q< < 2, g0 > 0;
L) λi ∈ C 0( , ∞; C D( )) , λiyi
∈ L QT
∞( ) dlq majΩe vsix (x, y, t) ∈ QT ta vsix
i ∈ 1{ , … , l};
F) f ∈ L QT
2( );
U) u L G0
2∈ ( ) .
Poznaçymo çerez ST
1
çastynu poverxni ST , na qkij
i
l
i x=∑ 1
λ ( , y, t) cos(ν,
yi ) < 0, a çerez ST
2
çastynu poverxni ST , na qkij
i
l
i x=∑ 1
λ ( , y, t) cos( , )ν yi ≥ 0.
Prypuskatymemo, wo dlq funkcij λi , i ∈ 1, ,…{ }l , vykonu[t\sq umova
S) isnu[ Γ1
1∈ −Rl
take, wo mesΓ1 > 0 i poverxng ST
1
moΩna zobrazyty u
vyhlqdi ST
1 = Ω × Γ1 × (0, T).
V oblasti QT rozhlqnemo mißanu zadaçu dlq rivnqnnq
ut +
i
l
i yx y t u
i
=
∑
1
λ ( , , ) –
i
n
i x
p
x
x
a x y t u u
i i
i=
−∑ ( )
1
2
( , , ) +
+ c x y t u( , , ) + g x y t u( , , , ) = f x y t( , , ) (1)
z krajovymy
u ST
1 = 0, (2)
u
TΣ
= 0 (3)
ta poçatkovog
u x y( , , )0 = u x y0( , ), ( , )x y G∈ , (4)
umovamy.
Vvedemo prostory
V QT1( ) = v v v v: ( ) ( ), ( ), ( ),∈ ∈{ ∈L Q L Q L Q L Qq
T T x
p
T y Ti j
∩ 2 2
i n j l ST T
∈ …{ } ∈ …{ } = = }1 1 0 01, , , , , , ,v v Σ
z normog v; ( )V QT1 = v; ( )L Qq
T + v; ( )L QT
2 +
i
l
y Ti L Q
=∑ 1
2v ; ( ) +
+
i
n
xi=∑ 1
v ; L Qp
T( ) ;
V QT2( ) = v v v v: ( ) ( ), ( ), , , ,∈ ∈ ∈ …{ } ={ }L Q L Q L Q i nq
T T x
p
Ti T
∩ 2 1 0Σ
z normog v; ( )V QT2 =
v; ( )L Qq
T +
v; ( )L QT
2 +
i
n
xi=∑ 1
v ; L Qp
T( ) ;
V G3( ) = L D Wp p; ( ),
0
1 Ω( )
z normog v; ( )V G3 =
G
p
i
n
x
p
i
dx dy∫ ∑+
=
v v
1
;
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 797
V G4( ) =
v v v v: ( ), ( ), , , ,∈ ∈ ∈ …{ } ={ }×L G L G i lyi
2 2 1 0
1Ω Γ
z normog v; ( )V G4 =
v; ( )L G2 +
i
l
yi=∑ 1
v ; L G2( ) .
Poznaçymo çerez V G3
∗( ) prostir linijnyx neperervnyx funkcionaliv na
V G3( ) (sprqΩenyj prostir do V G3( )), ⋅ ⋅, — znaçennq funkcionala z prosto-
ru V G3
∗( ) na funkciqx z V G3( ), çysla ′p ta ′q taki, wo vykonugt\sq spiv-
vidnoßennq 1/ ′p + 1 / p = 1, 1/ ′q + 1 / q = 1.
Çerez Lr(0, T; X) ta C T X0, ;[ ]( ) , de r ∈ 2{ , p, q, ′p , ′q , ∞}, X — banaxiv
prostir, poznaçymo prostory funkcij u, zadanyx na 0, T[ ], zi znaçennqmy v X i
takyx, wo u ; Lr(0, T; X) =
0
T
u t∫( ⋅ ⋅( , , ) ; X dtr
r)1/
ta u ; C T0,[ ]( ; X ) =
= max ,0 T u[ ] ( , , )⋅ ⋅ t ; X [ skinçennym; çerez X + Y, de X i Y — banaxovi pros-
tory, — prostir {z : z = x + y , x X∈ , y Y∈ } z normog z ; X + Y =
= inf max ;
, ,x X y Y x y z
x X
∈ ∈ + =
{ ; y Y; } .
1. Nexaj oblast\ Ω [ obmeΩenog.
Oznaçennq 1. Funkcig u z prostoru V QT1( ) ∩ C T0,[ ]( ; L G2( )) , ut ∈
∈ L Tp′(( , )0 ; V G3
∗ )( ) + L Qr
T
0 ( ) nazvemo rozv’qzkom mißano] zadaçi (1) – (4), qk-
wo vona zadovol\nq[ umovu (4) ta rivnist\
L u f( , , )v ≡
0
T
tu dt∫ , v +
Q i
l
i y
T
i
x y t u∫ ∑
=
1
λ ( , , ) v +
i
n
i x
p
x xa x y t u u
i i i
=
−∑
1
2
( , , ) v +
+ c x y t u( , , ) v + g x y t u f x y t dx dy dt( , , , ) ( , , )v v−
= 0 (5)
dlq vsix funkcij v ∈ V QT2( ). Tut r0 = min ,2 ′{ }q .
ZauvaΩennq 1. U praci [8] rozhlqnuto zadaçu (1) – (4) u vypadku, koly ob-
last\ QT [ obmeΩenog (Ω teΩ obmeΩena) ta p ∈ 1 2,( ]. Otrymano umovy isnu-
vannq ta [dynosti rozv’qzku ci[] zadaçi.
Qkwo Ω p > 2, to analohiçno [8] dovodyt\sq nastupna teorema.
Teorema 1. Nexaj koefici[nty rivnqnnq (1) zadovol\nqgt\ umovy A, C , G ,
L, F, U, S i, krim toho, umovy
1) aiy j
, aixi
, cy j
� L QT
∞( ) , fy j
∈ L QT
2( ) , u0 ∈ V G4( ) , i ∈ 1{ , … , n} , j ∈
∈ 1{ , … , l}; qkwo q > 2, to gy j
≡ 0 dlq vsix j ∈ 1{ , … , l};
2) f ST
1 = 0;
3) qkwo n + l > 2, to 2 < p <
2
2
( )n l
n l
+
+ −
, 1 < q <
2
2
( )n l
n l
+
+ −
, a qkwo n = l = 1,
to 2 < p < + ∞, 1 < q < + ∞.
Todi isnu[ rozv’qzok mißano] zadaçi (1) – (4).
ZauvaΩennq 2. U teoremi:1 otrymano umovy rozv’qznosti mißano] zadaçi
(1):– (4) v oblasti QT dlq dovil\noho skinçennoho çysla T > 0. Oskil\ky T —
dovil\ne skinçenne dodatne çyslo, to u ∈ V Q1, ( )loc ∩ C 0( , ∞ ; L G2( )) , de
V Q1, ( )loc = {u : u ∈ V QT1( ) dlq dovil\noho T > 0}.
Otryma[mo ocinku rozv’qzku zadaçi (1) – (4) v oblasti Q u vypadku, koly
funkciq f dorivng[ nulg.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
798 N. P. PROCAX
Dlq funkci] u vykonu[t\sq nerivnist\ Puankare – Fridrixsa
Ω
∫ ∫
D
u dxdy2 ≤ C u dxdy
D i
n
xi1
1
2
Ω
∫ ∫ ∑
=
,
v qkij C1 = C n n
0
2 2( )/+ Ω 2/n
, C0 = max
( )2 1n
n
−{ ; 3
2
, a Ω = mes Ω .
Poznaçymo G = mes G, C =
C n G
p a
p p
1
2 2 2
02
/ ( )/
( )
( )
−
−
.
Teorema 2. Nexaj p > 2, Ω — obmeΩena oblast\ v Rn
, u — rozv’qzok za-
daçi (1) – (4) pry f ≡ 0. Todi:
1) qkwo u L G0
2; ( ) = 0, to u t L G( , ); ( ),⋅ ⋅ 2 = 0 dlq dovil\noho t > 0;
2) qkwo u L G0
2; ( ) ≠ 0 ta
ess sup ( , , )
Q
iy
i
l
i
x y tλ
=
∑
1
≤ 2 ess inf ( , , )
Q
c x y t ,
to dlq vsix t > 0 vykonu[t\sq ocinka
u x y t dx dy
D
( , , ) 2
Ω
∫∫ ≤
≤ C t u x y dxdy
D
p
−
−
+
∫∫1 2
2 2
0( , , )
( )/
Ω
22 2/( )− p
<
C
t
p
−2 2/( )
.
Dovedennq. Poznaçymo g( t) = u x y t dxdy
D
( , , ) 2
Ω∫∫ . Z rivnosti (5) pry v =
= u dlq dovil\nyx t t1 2,{ } � 0, ∞[ ) , t1 < t2, moΩna otrymaty rivnist\
1
2
2
2
u dxdy
Gt
∫ –
1
2
2
1
u dxdy
Gt
∫ + λi y
i
l
Q
x y t u u
i
t t
( , , )
, =
∑∫
1
1 2
+
+: a x y t ui x
p
i
n
i
( , , )
=
∑
1
+ c x y t u g x y t u u dxdydt( , , ) ( , , , )2 +
= 0.
Oskil\ky
λi y
i
l
Q
x y t u udxdydt
i
t t
( , , )
, =
∑∫
1
1 2
≥
≥
1
2 1
2
11
2
λ νi i
i
l
Dt
t
x y t y u d( , , ) cos( , )
( \ ) =∂ ×
∑∫∫
Γ Ω
SSdt –
λ1
2
2
1 2
u dxdydt
Qt t,
∫ ,
de λ1 = ess sup ( , , )
Q
iyi
l
i
x y tλ
=∑ 1
, to, vykorystavßy umovy A, P, C, G, L, U , z (5)
dlq dovil\nyx t t1 2,{ } � 0, ∞[ ) , t1 < t2
, otryma[mo ocinku
u dxdy
Gt
2
2
∫ +
t
t
i i
i
l
D
x y t y u dSdt
1
2
1
2
1
∫ ∑
=∂ ×
λ ν( , , ) cos( , )
( \ )Γ Ω
∫∫ +
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 799
+: 2 2 20 0
1
0
2
1
1 2
g u a u c uq
x
p
i
n
Q
i
t t
+ + − +( )
=
∑∫ λ
,
ddxdydt ≤
≤ u dxdy
Gt
2
1
∫ . (6)
Rozhlqnemo taki vypadky:
1. Nexaj u L G0
2; ( ) = 0. Todi z rivnosti (6) pry t1 = 0 za umovy λ1
02≤ c
znaxodymo
u dxdy
Gt
2
2
∫ + u u u dxdydt
q
x
p
i
n
Q
i
t
+ +
=
∑∫ 2
1
0
2
,
≤ 0.
OtΩe, u t L G( , , ); ( )⋅ ⋅ 2
2 = 0 dlq dovil\noho t2 > 0. Qkwo Ω λ1
02> c , to z (6)
otryma[mo
u dxdy
Gt
2
2
∫ + u u dxdydt
q
x
p
i
n
Q
i
t
+
=
∑∫
1
0
2
,
≤ u dxdydt
Q t
2
0 2,
∫ .
Zvidsy za lemog Hronuolla – Bellmana takoΩ otrymu[mo u dxdydt
Q t
2
0 2,
∫ ≤ 0,
a tomu u t( , , )⋅ ⋅ 2 ; L G2( ) = 0 dlq dovil\noho t2 > 0.
2. Nexaj u L G0
2; ( ) ≠ 0. Todi za umovy
ess sup ( , , )
Q
iy
i
l
i
x y tλ
=
∑
1
≤ 2 ess inf ( , , )
Q
c x y t
z (6) znaxodymo ocinku
1
2
1
2
1
2
0
1
′ +∫ ∑∫∫∫
=
g t dt a u dxdydt
t
t
x
p
i
n
Dt
t
i
( )
Ω
≤ 0.
Qkwo prypustyty, wo g — monotonno zrostagça funkciq, to z (6) vyplyvatyme
u u u dxdydtq
x
p
i
n
Q
i
t
+ +
=
∑∫ 2
10
2
,
= 0,
wo supereçyt\ prypuwenng.
Nexaj g — monotonno spadna funkciq na 0, ∞[ ) . Todi z absolgtno] nepe-
rervnosti funkci] g vyplyva[, wo 2 0 1
a u dxdyx
p
i
n
D i=∑∫∫ Ω
≤ − ′g t( ) dlq
majΩe vsix t ∈ t t1 2,[ ] .
Za dopomohog nerivnostej Puankare – Fridrixsa ta Hel\dera ma[mo
g t( ) ≤ C u dxdyx
i
n
D
i1
2
1=
∑∫∫
Ω
≤ C G u dxdyp p
x
i
n p
D
i1
2 2
1
2
( )/
/
−
=
∑∫∫
Ω
2/ p
≤
≤ C n G u dxdyp p
x
p
i
n
D
p
i1
2
1
2
( )
−
=
∑∫∫( )/
/
Ω
≤
C n G
a
g t
p p
p
p1
2
0
2
2
2
( )
′
−( )/
/
/
( )
( ) . (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
800 N. P. PROCAX
OtΩe, g t( ) ≤
C n G
a
p p
p
1
2
0
22
( ) −( )/
/( )
′g t p( ) /2
. Vraxuvavßy te, wo g — spadna
funkciq, otryma[mo
( )
( )
/
( )/
/
/2 0
2
1
2
2
2a
C n G
g t
p
p p
p
p
( )
[ ]− ≤ − ′g t( ) .
Takym çynom,
′g t( ) +
2 0
1
2 2 2
2a
C n G
g t
p p
p
/ ( )/
/( )
( )
[ ]− ≤ 0.
Rozv’qzu[mo cg dyferencial\nu nerivnist\:
g t p( ) ( )/[ ] −2 2 ≥
p a
C n G
t
p p
−
( ) −
2
2
2 0
1
2 2 2/ ( )/
+ g p( ) ( )/0 2 2[ ] − .
OtΩe,
g t( ) ≤
a p
C n G
t g
p p
p0
1
2 2 2
2 22
0
( )
( )/ ( )/
( )/−
( )
+ [ ]
−
−
−2 2/( )p
=
=
g
C t g p p
( )
( ) ( )/ /( )
0
0 11 2 2 2 2− − + −[ ] +
<
C
t
p
−2 2/( )
.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 3. Nexaj u rivnqnni (1) çyslo p ∈ (1, 2). Todi pravyl\nog [
nastupna teorema.
Teorema 3. Nexaj 1 < p < 2, q > 2, Ω — obmeΩena oblast\ v Rn
, u —
rozv’qzok zadaçi (1) – (4) pry f ≡ 0. Todi:
1) qkwo u L G0
2; ( ) = 0, to u t L G( , ); ( ),⋅ ⋅ 2 = 0 dlq dovil\noho t > 0;
2) qkwo u L G0
2; ( ) ≠ 0 ta ess sup ( , , )
Q
iyi
l
i
x y tλ
=∑ 1
≤ 2 ess inf ( , , )
Q
c x y t ,
to dlq vsix t > 0 vykonu[t\sq ocinka
u x y t dxdy
D
( , , ) 2
Ω
∫∫ ≤ C t u x y dxdy
?D
q
2
1 2
2 2
0−
−
+
∫∫ ( , , )
( )/
Ω
−2 2/( )q
<
<
C
t
q
2
2 2
−/( )
,
de stala C2 =
G
q g
q( )/
( )
−
−
2 2
02
.
Dovedennq. Poznaçymo g t( ) = u x y t dxdy
D
( , , ) 2
Ω∫∫ . Z teoremy 1 [8] vy-
plyva[, wo funkciq g [ absolgtno neperervnog, dlq dovil\nyx t t1 2,{ } ∈
∈ 0,∞[ ) , t t1 2< , vykonu[t\sq ocinka
1
2 1
2 ′∫ g t dt
t
t
( ) + g u dxdydtq
Dt
t
0
1
2
Ω∫∫∫ ≤ 0,
tobto 2 0g u dxdyq
D Ω∫∫ ≤ − ′g t( ) dlq majΩe vsix t ∈ t t1 2,[ ] . Zvidsy qkwo
g(0) = 0, to g(t) = 0 dlq dovil\noho t > 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 801
Nexaj g(0) ≠ 0. Za dopomohog nerivnosti Hel\dera ma[mo
g t( ) ≤ G u dxdyq q q
D
q
( )/
/
− ∫∫
2
2
Ω
≤
G
g
g t
q q
q
q
( )/
/
/
( )
( )
−
′
2
0
2
2
2
. (8)
OtΩe, g t q( ) ( )/[ ] −2 2 – g q q( ) ( )/0 2[ ] − ≥
( )
( )/
q g
G
t
q
−
−
2 0
2 2 . Tomu
g t( ) ≤
( )
( )/
q g
G
t
q
−
−
2 0
2 2 + g q q
q
( ) ( )/
/( )
0 2
2 2
[ ]
−
−
=
=
g
C t g q q
( )
( ) ( )/ /( )
0
0 12
1 2 2 2 2− − + −[ ] +
<
C
t
q
2
2 2
−/( )
.
Teoremu dovedeno.
ZauvaΩennq 4. Z teorem 2, 3 vyplyva[, wo pry t → ∞ norma u t( , , )⋅ ⋅ ;
L G2( ) prqmu[ do nulq.
2. Nexaj oblast\ Ω [ neobmeΩenog.
Oznaçennq 2. Funkcig u nazvemo slabkym rozv’qzkom mißano] zadaçi (1) –
(4), qkwo vona [ hranyceg u prostori V QT2( ) ∩ C T0,[ ]( ; L G2( ) ) poslidov-
nosti funkcij { } =
∞uk
k 1 takyx, wo dlq koΩnoho k ∈N funkciq uk
zado-
vol\nq[ rivnist\
L u f k( , , )v = 0 (9)
dlq vsix funkcij v ∈ V QT2( ) takyx, wo supp v � supp u , a { } =
∞f k
k 1 zbi-
ha[t\sq do funkci] f ∈ L QT
2( ) ta u x yk ( , , )0 = u x yk
0 ( , ) , de uk
k0 1{ } =
∞
zbi-
ha[t\sq do u0 u prostori L G2( ) .
ZauvaΩymo, wo koncepcig slabkyx rozv’qzkiv dlq hiperboliçnyx rivnqn\
vvedeno u [18].
Znajdemo umovy isnuvannq ta [dynosti slabkoho rozv’qzku zadaçi (1) – (4) v
neobmeΩenij za prostorovymy zminnymy oblasti QT .
Teorema 4. Nexaj vykonugt\sq umovy teoremy 1 dlq koΩno] obmeΩeno] pid-
oblasti oblasti QT ta umovy A , C u vsij oblasti QT . Todi isnu[ [dynyj
slabkyj rozv’qzok zadaçi (1) – (4).
Dovedennq. Z teoremy:1 vyplyva[, wo v koΩnij obmeΩenij oblasti
�QT =
= �Ω × D × (0, T) isnu[ u taka, wo
u x y t u a x y t u ut i y
i
l
i x
p
x
xi i i
i
+ − ( )
=
−∑λ ( , , ) ( , , )
1
2
ii
n
=
∑
1
+
+ c x y t u g x y t u u( , , ) ( , , , )+ = �f x y t( , , )
u sensi teori] rozpodiliv, u zadovol\nq[ umovy u ST
�1 = 0, u
T
�Σ = 0, u(x, y, 0) =
= �u x y0( , ) , de
�ST
1 = �Ω × Γ1 × (0, T), �ΣT = ∂ �Ω × D × (0, T), funkci]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
802 N. P. PROCAX
�f =
f x y t D T
x y t
, ( , , ) ( , ),
, ( , , ) ( \
qkwo
qkwo
∈ × ×
∈
�
�
Ω
Ω
0
0 ΩΩ) ( , ),× ×
D T0
(10)
�u0 =
u x y D
x y D
0
0
, ( , ) ,
, ( , ) ( \ ) .
qkwo
qkwo
∈ ×
∈ ×
�
�
Ω
Ω Ω
Rozhlqnemo poslidovnist\ oblastej QT
k
, de k ∈ {1, 2, … }, do toho Ω QT
k =
= Ωk × D × (0, T), a Ω1 � Ω2 � … � Ωk � … � Ω. U koΩnij z cyx oblastej
isnu[ rozv’qzok uk
zadaçi (1) – (4), de prava çastyna rivnqnnq (1) mistyt\ funk-
cig f k
zamist\ f, a poçatkovog funkci[g v umovax (4) [ uk
0 . ZauvaΩymo, wo
pry k → ∞ poslidovnosti { } =
∞f k
k 1 zbihagt\sq u prostori L QT
2( ) do funkci]
f, uk
k0 1{ } =
∞
— u prostori L G2( ) do u0 . ProdovΩymo ci rozv’qzky uk
nulem
na Q QT T
k\ i otryma[mo poslidovnist\ funkcij { } =
∞uk
k 1 , qki vyznaçeni v usij
oblasti QT .
PokaΩemo, wo pobudovana poslidovnist\ { } =
∞uk
k 1 zbiha[t\sq do slabkoho
rozv’qzku zadaçi (1) – (4). Poznaçymo uk m, = uk – um
, de k m,{ } ∈ N. Dlq k,
m ∈N z oznaçennq 1 vyplyva[
α
λ
τ
2
2
1
u x y t u uk m
i y
k m k m
i
l
Q
i
, , ,( , , )( ) +
=
∑∫ +
:
+ a x y t u u u u ui x
k p
x
k
x
m p
x
m
i
n
k m
i i i i
( , , ) ,− −
=
−( )∑ 2 2
1
(( )
xi
+ c x y t uk m( , , ) ,( )2 +
+ g x y t u g x y t u uk m k m, , , , , , ,( ) − ( )( ) –
– f x y t f x y t u e dxdydtk m k m t( , , ) ( , , ) ,−( )
−α +
1
2
2
u e dxdyk m
G
,( ) −−∫ ατ
− −( )∫
1
2
0 0
2
u u dxdyk m
G
= 0, (11)
de α = l x y t
i Q
iy
T
i
max sup ( , , )ess λ – 2c0 + 2.
Ocinymo koΩnyj dodanok z rivnosti (11):
X1 ≡ λ α
τ
i y
k m k m t
i
l
Q
x y t u u e dxdydt
i
( , , ) , , −
=
∑∫
1
≥ − ( )∫ −λ
τ
α
1 2
2
l
u e dxdydtk m
Q
t, +
+ λ α
τ
i i
k m t
i
l
S
x y t y u e dSdt( , , ) cos ( , ) ,v ( ) −
=
∑∫
2
12
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 803
de λ1 = max sup ( , , )
i Q
iy
T
i
x y tess λ ;
X2 ≡ a x y t u u u u u ei x
k p
x
k
x
m p
x
m
x
k m
i i i i i
( , , ) ,− − −−( )2 2 αtt
i
n
Q
dxdydt
=
∑∫
1τ
≥
≥ a u e dxdydtx
k p t
i
n
Q
i0
1
−
=
∑∫ α
τ
,
X3 ≡ g x y t u g x y t u u e dxdydtk m k m t
Q
( , , , ) ( , , , ) ,−( ) −∫ α
τ
≥
≥ g u e dxdydtk m q t
Q
0
, −∫ α
τ
,
X4 ≡ f x y t f x y t u e dxdydtk m k m t
Q
( , , ) ( , , ) ,−( ) −∫ α
τ
≤
≤
1
2 2
2 2
δ
δ
τ τ
α αf f e dxdydt u e dxk m
Q
t k m
Q
t−( ) + ( )∫ ∫− −, ddydt .
Na pidstavi cyx ocinok i rivnosti (11) otrymu[mo ocinku
1
2 2 2 2
2 1
0u e dxdy
l
c uk m k m, ,( ) + − − +
( )−ατ α λ δ 22
∫∫
QG τ
+ a ux
k m p
i
n
i0
1
,
=
∑ +
+ g u e dxdydtq t
0
−α + λ α
τ
i i
k m t
i
l
S
x y t y u e dSdt( , , ) cos ( , ) ,v ( ) −
=
∑∫
2
12
≤
≤
1
2
1
2
2
0 0
2
δ
τ
α αf f e dxdydt u u ek m
Q
t k m
G
t−( ) + −( )∫ ∫− − ddxdydt .
ZauvaΩymo, wo oskil\ky poslidovnosti f k
k
{ } =
∞
1
, uk
k0 1{ } =
∞
zbihagt\sq v
L QT
2( ) ta L G2( ) vidpovidno, to vony [ fundamental\nymy v L QT
2( ) ta
L G2( ) . Tomu z uraxuvannqm vyhlqdu çysla α dlq dovil\noho zadanoho çysla
ε > 0 isnu[ take çyslo k0 > 0, wo dlq vsix k > k0 ta m > k0 vykonu[t\sq ocinka
u e dxdyk m
G
,( ) −∫
2 ατ
τ
+ u u u e dxdyk m
x
k m p k m q
i
n
Q
t
i
, , ,( ) + +
=
−∑∫
2
1τ
α ddt ≤ ε.
(12)
OtΩe, z (12) vyplyva[, wo { } =
∞uk
k 1 — fundamental\na poslidovnist\ u
C T0,[ ]( ; L G2( ) ) i V QT2 ( ) , otΩe, [ zbiΩnog v cyx prostorax. Hranycq cyx
funkcij bude slabkym rozv’qzkom zadaçi (1) – (4).
Dovedemo [dynist\ slabkoho rozv’qzku tako] zadaçi. Nexaj isnugt\ dva slab-
ki rozv’qzky (u1 i u2 ) zadaçi (1) – (4). Za oznaçennqm 2 isnugt\ poslidovnosti
us
k
k
{ } =
∞
1
, s ∈ {1, 2}, qki zbihagt\sq do us u prostori C T0,[ ]( ; L QT
2( ) ) ∩
∩ V QT2 ( ) . Todi ]x riznycq uk
1 2, = uk
1 – uk
2 zadovol\nqtyme rivnist\
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
804 N. P. PROCAX
( ) ,,u dtt
T
1 2
0
v∫ + λi
k
y
i
l
Q
x y t u
i
T
( , , ) ,1 2
1
( )
=
∑∫ v + a x y t u ui x
k p
x
k
i
n
i i
( , , ) , ,1
2
1
1
−
=
(∑ –
– u ux
k p
x
k
xi i i2
2
2, ,
− ) v + c x y t u g x y t uk k( , , ) ( , , , ),1 2 1v + ( –
– g x y t u f f dxdydtk k k( , , , )2 1 2) − −( )
v v = 0 (13)
dlq dovil\noho v ∈ ( )V QT2 , supp v � supp us
k
, s ∈ {1, 2}. Vyberemo v (13)
funkcig v = u u ek k t
1 2−( ) −α
. Todi tak samo, qk pry dovedenni ocinky (12), otry-
ma[mo ocinku
u dxdy u u uk
G
k
x
k p k q
i
i1 2
2
1 2
2
1 2 1 2
1
, , , , ,( ) + ( ) + +∫
=
nn
Q
dxdydt∑∫
τ
≤
≤ M f x y t f x y t dxdydt u x yk k k
1 2
2
1 0( , , ) ( , , ) ( , ),−( ) + − uu x y dxdyk
GQT
2 0
2
, ( , )( )
∫∫ ,
de stala M ne zaleΩyt\ vid k. Vraxuvavßy zbiΩnist\ pry k → ∞ poslidovnos-
tej fs
k
k
{ } =
∞
1
ta us
k
k,0 1{ } =
∞
do f ta u0 vidpovidno, matymemo u1 = u2.
Otryma[mo ocinky slabkyx rozv’qzkiv zadaçi (1) – (4) ta vstanovymo umovy, za
qkyx nosij rozv’qzku [ obmeΩenym.
Nexaj Ω [ neobmeΩenog oblastg z prostoru Rn
, qka zadovol\nq[ umovu
O) Ω [ obmeΩenog xoça b za odni[g zi zminnyx x1
, x2
, … , xn−1 .
Dlq vyznaçenosti prypustymo, wo Ω [ obmeΩenog za zminnog x1
, ta poznaçy-
mo max x1{ : x1 ∈ Ω} – min x1{ : x1 ∈ Ω} = l1.
Nexaj p > 2, q > 2. Poznaçymo
z = xn (z0 — dovil\ne fiksovane çyslo),
Ωz z> 0
= Ω ∩ z z>{ }0 , Qz z− 0 ,τ = Ωz z> 0
× D × (0, T),
S Tn f, ( ) = sup : ( , , ) , , ,z x y t f t T y D∈ ∈[ ] ∈{ }supp 0 ,
ζn T( ) = sup : ( , ) ( , , )z x y u T∈ ⋅ ⋅{ }supp , S Tn ( ) = sup ( ), ( ),S Tn f nζ 0{ } .
Rozhlqnemo zadaçu (1) – (4) u dovil\nij obmeΩenij pidoblasti QT
k
oblasti
QT . Za umov teoremy 1 ]] rozv’qzok isnu[. ProdovΩymo funkcig uk
nulem v
oblast\ QT ta otryma[mo rivnist\
u dtt
k
T
, v
0
∫ + λ
τ
i y
k
Q
x y t u
i
( , , ) v
i=1
l
∑∫ + a x y t u ui x
k p
x
k
i
n
xi i i
( , , )
−
=
∑ 2
1
v +
+ c x y t u g x t u dxdydtk k( , , ) ( , , )v v+
= f x y t dxdydtk
QT
( , , )v∫ (14)
dlq vsix funkcij v ∈ ( )V QT2 takyx, wo supp v � supp uk
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 805
Vyberemo v (14) funkcig v u vyhlqdi v = uk ⋅ ρ α( )z e t−
, de ρ ∈ W 1 1, ( )∞ R ,
ρ zaleΩyt\ til\ky vid z, ρ( )z ≥ 0 ta ρ( )z = 0 dlq z ≤ z0 [17, s. 329], a stala
α = 2 – 2c0 + λ1l . Todi oderΩymo rivnist\
1
2
2
0
u x y z e dxdyk
D z z
( , , ) ( )τ ρ ατ( ) −
>
∫∫
Ω
+
+
1
2
2
1
α ρ λ ρu z x y t u u zk
i y
k k
i
l
Q
i
z
( ) +
=
∑
>
( ) ( , , ) ( )
zz0 ,τ
∫ +
+ a x y t u u u zi x
k p
x
k k
x
i
n
i i
i
( , , ) ( )
−
=
( )∑ 2
1
ρ +
+ c x y t u z g x t u u z e dxdk k k t( , , ) ( ) , , ( )( ) + ( )
−2
ρ ρ α yydt = 0.
Zintehruvavßy çastynamy v tret\omu dodanku ci[] rivnosti ta vraxuvavßy krajo-
vi umovy (2), distanemo ocinku
1
2
2
0
u x y z e dxdyk
D z z
( , , ) ( )τ ρ ατ( ) −
>
∫∫
Ω
+
+
1
2 1
2
2
λ ν ρ
τ
α
i
i
l
S
i
k tx y t y u z e d( , , ) cos ( , ) ( ) ( )
=
−∑∫ SSdt +
+
1
2
1
2
2
1
0
α ρ λ
τ
u z x y tk
Q
iy
i
l
z z
i( )
−
>
∫
=
( ) ( , , )
,��
∑∑ ( )u zk 2
ρ( ) +
+ a x y t u u u zi x
k p
x
k k
x
i
n
i i
i
( , , ) ( )
−
=
( )∑ 2
1
ρ +
+ c x y t u z g x t u u z e dxdk k k t( , , ) ( ) , , ( )( ) + ( )
−2
ρ ρ α yydt ≤ 0.
Vraxuvavßy vyhlqd α, perekona[mos\, wo dlq dovil\no] funkci] uk
vyko-
nu[t\sq ocinka
1
2 0
2
0
sup ( )
,T
k
D
u dxdy
z z
[ ]
>
∫∫
Ω
ρ +
+ u a u g u dxdydtk
x
k p k q
i
n
Q
i
z z
( ) + +
=
∑
>
2
0 0
1
ρ ρ ρ
00 ,τ
∫ ≤
≤ a e u u dxdydtT
z
k p k
z
Qz z
0
1
0
α ρ
τ
−
>
∫
,
. (15)
Poznaçymo
E zs ( )0 = ( )z z u dxdydts
x
k p
i
n
D
T
i
z z
−
=
∑∫∫∫
>
0
10
0
Ω
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
806 N. P. PROCAX
F zs ( )0 = sup ( )
,t T
s k
D
z z u dxdy
z z
∈[ ]
−
>
∫∫
0
0
21
2
0
Ω
.
Todi dlq slabkoho rozv’qzku zadaçi (1) – (4) ma[ misce taka teorema.
Teorema 5. Nexaj p > 2, q > 2, Ω — neobmeΩena oblast\ v Rn
, qka za-
dovol\nq[ umovu O, u — slabkyj rozv’qzok zadaçi (1) – (4), funkci] f ta u 0
magt\ obmeΩenyj nosij. Todi isnu[ taka stala C3 , qka zaleΩyt\ vid p i ne
zaleΩyt\ vid z0 , wo vykonu[t\sq ocinka
u dxdydtx
p
i
n
D
T
i
z z =
∑∫∫∫
> 10 2 0
Ω
≤ e u dxdydtz C
x
p
i
n
D
T
i
z
−
=
∑∫∫∫
>
0 3
0
10
/
Ω
, z0 ≥ C3.
Dovedennq. Prypuskatymemo, wo S Tn ( ) [ skinçennym dlq zadanoho T > 0.
Z umovy na S Tn ( ) vyplyva[, wo isnu[ take z0 ∈R , wo dlq vsix z ≥ z0 funkci]
f ≡ 0, u0 ≡ 0. TakoΩ vvaΩatymemo, wo z >{ }0 ∩ Ω ≠ ∅ (v inßomu vypadku
ζn T( ) ≤ S Tn ( ) i dovedennq [ oçevydnym).
Vybravßy v (15) funkcig
ρ( )z =
0 0
0 0
, ,
( ) , ,
qkwo
qkwo
z z
z z z zs
≤
− >
qka naleΩyt\ do prostoru C1 1( )R , qkwo s ≥ 1, ta zastosuvavßy nerivnosti
Hel\dera do (15), matymemo
g u z z dxdydtk q s
Qz z
0 0
0
( )
,
−
>
∫
τ
+ F zs ( )0 + E zs ( )0 ≤
≤ u z z dxdydtk s
Qz z
( ) −
>
∫
2
0
0
( )
,τ
+ sa e u u z z dxdydtT
z
k p k s
Qz z
0
1
0
1
0
α
τ
− −−
>
∫ ( )
,
.
(16)
ZauvaΩymo, wo
u u z z dxdydtz
k p k s
Qz z
− −−
>
∫
1
0
1
0
( )
,τ
≤
≤ u z z u z z dxdydtz
k p s p k s p
Qz z
− ′ −− −
>
∫
1
0 0
1
0
( ) ( )/ /
,τ
.
Todi
a se u u z z dxdydtT
z
k p k s
Qz z
0
1
0
1
0
α
τ
− −−
>
∫ ( ) ≤
≤ a se u z z dxdydtT
z
k p s
Q
p
z z
0 0
1
0
α
τ
( )
,
/
−
>
∫
′
×
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 807
× u z z dxdydtk p s p
Q
p
z z
( )
,
/
−
−
>
∫ 0
1
0 τ
≤
≤ a se E z u z z dxdydtT
s
p k p s p
Qz z
0 0
1
0
0
α
τ
( ) ( )/
,
( ) −′ −
>
∫∫
1/ p
,
de s ≥ p. Zvidsy, vraxuvavßy (16), matymemo
F zs ( )0 + E zs ( )0 ≤ C u z z dxdydtk s
Qz z T
4
2
0
0
( ) −
>
∫ ( )
,
+
+ sa e E z u z z dxdydtT
s
p k p s p
Qz z T
0 0
1
0
0
α ( ) ( )/
,
( ) −′ −
>
∫∫
1/ p
. (17)
Z (17) otrymu[mo ocinku
u z z dxdyk s
D z z
( ) −
>
∫∫
2
0
0
( )
Ω
≤ C p u z z dxdydtk s
Qz z T
4
2
0
0
( ) −
>
∫ ( )
,
+ A,
de A = a se T p
0
α( ) u z z dxdydtk p s p
Qz z T
( )
,
− −
>
∫ 0
0
, i zavdqky nerivnosti Hronuol-
la – Bellmana oderΩu[mo u z z dxdydtk s
Qz z T
( ) −
>
∫
2
0
0
( )
,
≤ ATeC pT4
.
Vraxuvavßy oderΩanu ocinku, z (17) takoΩ znaxodymo ocinku dlq E zs ( )0 :
E zs ( )0 ≤ C u z z dxdydtk p s p
Qz z T
5 0
0
( )
,
− −
>
∫ , (18)
de stala C5 zaleΩyt\ vid a0, s, p, T. Z nerivnosti Fridrixsa ma[mo
( )z z u dxdydts p k p
D
T
z z
− −
>
∫∫∫ 0
0
0
Ω
≤
l
p
E z
p
s p
1
0− ( ) . (19)
ZauvaΩymo, wo
( )z z u dxdys p
x
k p
i
n
D
i
z z
− −
=
∑∫∫
>
0
1
0
Ω
=
= ( )
( )/ /
z z u u dxdys p
x
k p s p s
x
k p s
i
n
i i
z z
− − −
=
∑
>
0
1
2
0
Ω
∫∫∫
D
.
Tomu na pidstavi nerivnosti Hel\dera E zs p− ( )0 ≤ E zs
s p s( ) ( )/
0( ) − E z p s
0 0( ) /
. Zvid-
sy ta z (18) i (19) vyplyva[
E zs ( )0 ≤ C E z E zs
s p s p s
3 0 0 0
( )/ /( ) ( )− ( ) ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
808 N. P. PROCAX
E zs
s p
s( )0
1( ) − −
≤ C E z p s
3 0 0( ) /( ) ,
E zs ( )0 ≤ C E zs p
3 0 0
/ ( ) .
Za nerivnistg Hel\dera E z1 0( ) ≤ E zs
s1
0
/ ( ) E z s s
0 0
1( ) ( )/( ) −
. OtΩe, E z1 0( ) ≤
≤ C E zp s s s
3
1
0 0
1 1/ / ( )/( )( ) + − = C E zp
3
1
0 0
/ ( ) . Oskil\ky ′E1 = – E0 , to
E z1 0( ) ≤ − ′C E zp
3
1
1 0
/ ( ) . (20)
Rozv’qzu[mo nerivnist\ (20): E z1 0( ) ≤ E1 0( ) e A z−( )1 1 0/
, de A1 = C p
3
1/
.
ZauvaΩymo, wo
E z1 0( ) = ( ) ( )ξ ξ ξ−
∞
∫ z g d
z
0
0
= ( ) ( )ξ ξ ξ−∫ z g d
z
z
0
2
0
0
+
+ ( ) ( )ξ ξ ξ−
∞
∫ z g d
z
0
2 0
≥ z E z0 0 02( ) .
Zvidsy E1 0( ) ≤ C E3 0 0( ) , E z1 0( ) ≤ C E e z C
3 0 0 0 3( ) /−
, E z0 02( ) ≤ E e z C
0 0 0 3( ) /−
,
z0 ≥ C3.
Perejßovßy u cij nerivnosti do hranyci pry k → ∞, otryma[mo tverdΩennq
teoremy.
1. Kolmogorov A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math.
– 1934. – 35. – P. 116 – 117.
2 Citty G., Pascucci A., Polidoro S. On the regularity of solutions to a nonlinear ultraparabolic equa-
tion arising in mathematical finance // Different. and Integral Equat. – 2001. – 14, # 6. – P. 701 –
738.
3. Lanconelli E., Pascucci A., Polidoro S. Linear and nonlinear ultraparabolic equations of Kolmogo-
rov type arising in diffusion theory and in finance // Nonlinear Problems in Math. Phys. and Relat.
Top. II. In honour of Proff. O. A. Ladyzhenskaya (Int. Math. Ser. 2). – New York, NY: Kluwer
Acad. Publ., 2002. – P. 243 – 265.
4. Dron\ V. S., Ivasyßen S. D. Vlastyvosti fundamental\nyx rozv’qzkiv i teoremy [dynosti
rozv’qzkiv zadaçi Koßi dlq odnoho klasu ul\traparaboliçnyx rivnqn\ // Ukr. mat. Ωurn. –
1998. – 50, # 11. – S. 1482 – 1496.
5. Yvasyßen S. D., ∏jdel\man S. D. O fundamental\n¥x reßenyqx zadaçy Koßy dlq v¥roΩ-
denn¥x parabolyçeskyx uravnenyj typa Kolmohorova s 2
�
b -parabolyçeskoj çast\g po os-
novnoj hruppe peremenn¥x // Dyfferenc. uravnenyq. – 1998. – 34, # 11. – S. 1536 – 1545.
6. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and
pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. –
390 p.
7. Lavrengk S. P., Oliskevyç M. O. Mißana zadaça dlq napivlinijnoho ul\traparaboliçnoho
rivnqnnq u neobmeΩenij oblasti // Ukr. mat. Ωurn. – 2007. – 59, # 12. – S. 1661 – 1673.
8. Lavrengk S. P., Procax N. P. Mißana zadaça dlq nelinijnoho ul\traparaboliçnoho rivnqn-
nq, qke uzahal\ng[ rivnqnnq dyfuzi] z inerci[g // Tam Ωe. – 2006. – 58, # 9. – S. 1192 – 1210.
9. Lavrengk S. P., Procax N. P. Mißana zadaça dlq ul\traparaboliçnoho rivnqnnq v neobme-
Ωenij oblasti // Tam Ωe. – 2002. – 54, # 8. – S. 1053 – 1066.
10. Procax N. P. Mißana zadaça dlq nelinijnoho ul\traparaboliçnoho rivnqnnq // Nauk. visn.
Çern. un-tu. Matematyka. – 2002. – Vyp.:134. – S. 97 – 103.
11. Tersenov S. A. Ob osnovn¥x kraev¥x zadaçax dlq odnoho ul\traparabolyçeskoho uravne-
nyq:// Syb. mat. Ωurn. – 2001. – 42, # 6. – S. 1413 – 1430.
12. Lascialfari F., Morbidelli D. A boundary value problem for a class of quasilinear ultraparabolic
equations // Communs Part. Different. Equat. – 1998. – 23, # 5, 6. – P. 847 – 868.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
VLASTYVOSTI ROZV’QZKIV MIÍANO} ZADAÇI DLQ NELINIJNOHO … 809
13. Lavrenyuk S., Protsakh N. Boundary value problem for nonlinear ultraparabolic equation in un-
bounded with respect to time variable domain // Tatra Mt. Math. Publ. – 2007. – 38. – P. 131 – 146.
14. Bramanti M., Cerutti M. C., Manfredini M. Lp estimates for some ultraparabolic operators with
discontinuous coefficients // J. Math. Anal. and Appl. – 1996. – 200. – P. 332 – 354.
15. Kogoj A. E., Lanconelli E. An invariant Harnack inequality for a class of hypoelliptic ultraparabo-
lic equations // Mediter. J. Math. – 2004. – 1. – P. 51 – 80.
16. Schonbek M. E., Süli E. Decay of the total variation and Hardy norms of solutions to parabolic
conservation laws // Nonlinear Anal. – 2001. – 45. – P. 515 – 528.
17. Bernis F. Qualitative properties for some nonlinear higher order degenerate parabolic equations //
Houston J. Math. – 1988. – 14. – P. 319 – 352.
18. Lax P. D., Phillips R. S. Local boundary conditions for dissipative symmetric linear differential
operators // Communs Pure and Appl. Math. – 1960. – 13. – P. 427 – 455.
OderΩano 20.08.08,
pislq doopracgvannq — 24.03.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3059 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:28Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/37/906c1183f44af7d0179a36c6ceb9da37.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30592020-03-18T19:44:24Z Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation Властивості розв'язків мішаної задачі для нелінійного ультрапараболічного рівняння Protsakh, N. P. Процах, Н. П. Mixed problems for a nonlinear ultraparabolic equation are considered in domains bounded and unbounded with respect to the space variables. Conditions for the existence and uniqueness of solutions of these problems are established and some estimates for these solutions are obtained. В ограниченной и неограниченной по пространственным переменным областях рассмотрены смешанные задачи для нелинейного ультрапараболического уравнения. Получены условия существования и единственности решений этих задач, а также некоторые их оценки Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3059 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 6 (2009); 795-809 Український математичний журнал; Том 61 № 6 (2009); 795-809 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3059/2867 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3059/2868 Copyright (c) 2009 Protsakh N. P. |
| spellingShingle | Protsakh, N. P. Процах, Н. П. Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| title | Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| title_alt | Властивості розв'язків мішаної задачі для нелінійного ультрапараболічного рівняння |
| title_full | Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| title_fullStr | Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| title_full_unstemmed | Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| title_short | Properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| title_sort | properties of solutions of a mixed problem for a nonlinear ultraparabolic equation |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3059 |
| work_keys_str_mv | AT protsakhnp propertiesofsolutionsofamixedproblemforanonlinearultraparabolicequation AT procahnp propertiesofsolutionsofamixedproblemforanonlinearultraparabolicequation AT protsakhnp vlastivostírozv039âzkívmíšanoízadačídlânelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnâ AT procahnp vlastivostírozv039âzkívmíšanoízadačídlânelíníjnogoulʹtraparabolíčnogorívnânnâ |