Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity
We obtain asymptotic representations for one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3062 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509088442482688 |
|---|---|
| author | Khar’kov, V. M. Харьков, В. M. Харьков, В. M. |
| author_facet | Khar’kov, V. M. Харьков, В. M. Харьков, В. M. |
| author_sort | Khar’kov, V. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:24Z |
| description | We obtain asymptotic representations for one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:32Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.929.8
В. М. Харьков (Одес. нац. ун-т)
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ
РАЗНОСТНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
СО СТЕПЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ
Asymptotic representations for a class of solutions of a second-order difference equation with power nonli-
nearity are established.
Встановлено асимптотичнi зображення для одного класу розв’язкiв рiзницевого рiвняння другого по-
рядку зi степеневою нелiнiйнiстю.
1. Постановка задачи и формулировка основных результатов. Рассматривается
разностное уравнение второго порядка
∆2yn = αpn|yn|σ sign yn, (1.1)
где α ∈ {−1, 1}, σ ∈ R \ {0, 1} и pn положительно при n ∈ N, для которого иссле-
дуется вопрос о существовании и асимптотическом представлении P (λ)-решений,
определяемых следующим образом.
Определение. Решение (yn)+∞n=1 уравнения (1.1) будем называть P (λ)-реше-
нием, если имеют место соотношения
lim
n→+∞
yn = y0, y0 =
либо 0,
либо ±∞,
lim
n→+∞
n∆2yn
∆yn
= λ. (1.2)
Уравнение (1.1) является дискретным аналогом известного дифференциального
уравнения типа Эмдена – Фаулера, асимптотические свойства решений которого
достаточно подробно изучены в работах [1 – 6]. В настоящей статье предпринята
попытка перенести методику исследования из [6] на аналогичный класс разностных
уравнений, дополнив при этом результаты, изложенные в [7, 8], где для уравнения
вида (1.1) получены условия существования решений, асимптотически эквивалент-
ных cn, а также принадлежащих классам функций c0 и l2.
Сформулируем полученные результаты в виде теорем.
Теорема 1.1. Пусть
∑+∞
m=1
mpm = +∞. Тогда для существования P (λ)-
решений, λ ∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
, уравнения (1.1) необходимо и достаточно выпол-
нения условий
αλ(1− σ) > 0,
∣∣∣∣∣∣
y0∫
B
dy
|y|σ
∣∣∣∣∣∣ = +∞, lim
n→+∞
n2pn∑n−1
m=1
mpm
= (1− σ)(1 + λ),
(1.3)
где B равно 1, если y0 отлично от −∞, и −1 в противном случае. Более то-
го, каждое положительное* P (λ)-решение, λ ∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
, допускает при
*Называя решение положительным, считаем, что оно положительно, начиная с некоторого n′ ∈ N.
c© В. М. ХАРЬКОВ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6 839
840 В. М. ХАРЬКОВ
n → +∞ асимптотические представления
yn =
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
,
∆yn =
λ + 1
n
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
.
(1.4)
Теорема 1.2. Пусть
∑+∞
m=1
mpm < +∞. Тогда для существования P (λ)-
решений, λ ∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
, уравнения (1.1) необходимо и достаточно выпол-
нения условий
αλ(1− σ) < 0,
∣∣∣∣∣∣
y0∫
B
dy
|y|σ
∣∣∣∣∣∣ < +∞, lim
n→+∞
n2pn∑+∞
m=n
mpm
= (σ − 1)(1 + λ).
(1.5)
Более того, каждое положительное P (λ)-решение, λ ∈ R \ {−1,−1
2
, 0
}
, допуска-
ет при n → +∞ асимптотические представления
yn =
(
−α(1− σ)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
,
∆yn =
λ + 1
n
(
−α(1− σ)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
.
(1.6)
Замечание 1.1. Как следует из (1.2), любое P (λ)-решение уравнения (1.1) при
λ 6= 0, начиная с некоторого момента, будет монотонным и знакоопределенным
вместе со своей первой разностью. Кроме того, так как замена vn = −yn не меняет
вида исследуемого уравнения, наряду с решением одного знака будет существовать
равное ему по модулю решение противоположного знака.
2. Вспомогательные утверждения.
Лемма 2.1. Пусть последовательность (bn)+∞n=1 при n → +∞ имеет отлич-
ный от нуля конечный предел B, а последовательность (an)+∞n=1 ограничена. Тогда
найдется номер n0 ≥ 1 такой, что при n ≥ n0 имеет место неравенство∣∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
) β(n,+∞)∑
k=α(n0,n)
ak
k
k∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ 3 sup
{∣∣∣∣ak
bk
∣∣∣∣ : k = α(n0, n), β(n, +∞)
}
, (2.1)
где
α(n0, n) =
n0, если B < 0,
n, если B > 0,
β(n, +∞) =
n, если B < 0,
+∞, если B > 0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 841
Доказательство. В качестве n0 выберем номер, начиная с которого имеют
место неравенства
0 <
|bn|
n
<
1
2
,
∣∣∣∣ bn
bn+1
n + 1 + bn+1
n
∣∣∣∣ < 3
и
n−1∑
k=n0
∣∣∣∣∣
n∏
s=k
(
1− |bs|
s
)
−
n∏
s=k+1
(
1− |bs|
s
)∣∣∣∣∣ < 2.
Такой выбор возможен вследствие того, что lim
n→+∞
bn = B, где B 6= 0. Отсюда,
учитывая равенства
−n + 1 + bn+1
bn+1
(
n+1∏
k=n0
(
1 +
bk
k
)−1
−
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
)−1
)
=
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
)−1
,
n∏
k=s
(
1 +
bk
k
)
−
n∏
k=s+1
(
1 +
bk
k
)
=
bs
s
n∏
k=s+1
(
1 +
bk
k
)
при s = n0, . . . , n− 1
и сходимость ряда
∑+∞
k=n0
ak
k
∏k
s=n0
(
1 +
|bs|
s
)−1
, получаем:
1) при B > 0 ∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
) +∞∑
k=n
ak
k
k∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
∣∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
)∣∣∣∣∣
∣∣∣∣∣
+∞∑
k=n
ak
k
k + 1 + bk+1
bk+1
×
×
[
k+1∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
−
k∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
]∣∣∣∣∣ ≤
≤
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
)
sup
k=n,+∞
∣∣∣∣ak
k
k + 1 + bk+1
bk+1
∣∣∣∣×
×
+∞∑
k=n
∣∣∣∣∣
k+1∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
−
k∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
k=n,+∞
∣∣∣∣ak
bk
bk
bk+1
k + 1 + bk+1
k
∣∣∣∣ ≤ 3 sup
k=n,+∞
∣∣∣∣ak
bk
∣∣∣∣ ;
2) при B < 0 ∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
bk
k
) n∑
k=n0
ak
k
k∏
s=n0
(
1 +
bs
s
)−1
∣∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∣
n−1∑
k=n0
ak
k
n∏
s=k+1
(
1 +
bs
s
)
+
an
n
∣∣∣∣∣ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
842 В. М. ХАРЬКОВ
=
∣∣∣∣∣
n−1∑
k=n0
ak
bk
[
n∏
s=k
(
1 +
bs
s
)
−
n∏
s=k+1
(
1 +
bs
s
)]
+
an
n
∣∣∣∣∣ ≤
≤ sup
k=n0,n
∣∣∣∣ak
bk
∣∣∣∣
(
n−1∑
k=n0
∣∣∣∣∣
n∏
s=k
(
1 +
bs
s
)
−
n∏
s=k+1
(
1 +
bs
s
)∣∣∣∣∣+ |bn|
n
)
≤
≤ 3 sup
k=n0,n
∣∣∣∣ak
bk
∣∣∣∣ .
Тем самым требуемая оценка установлена.
Лемма 2.2. Пусть в системе разностных уравнений
∆z1
n =
1
n
[
g1
n + P 11
n z1
n + P 12
n z2
n + R1(n, z1
n, z2
n)
]
,
∆z2
n =
1
n
[
g2
n + P 21
n z1
n + P 22
n z2
n + R2(n, z1
n, z2
n)
] (2.2)
последовательности gi
n, P ij
n , i, j = 1, 2, удовлетворяют предельным соотношени-
ям
lim
n→+∞
g1
n = lim
n→+∞
g2
n = lim
n→+∞
P 21
n = 0,
lim
n→+∞
P 11
n = P 11, lim
n→+∞
P 12
n = P 12,
lim
n→+∞
P 22
n = P 22, P 11P 22 6= 0,
(2.3)
а функции Ri(n, z1
n, z2
n) такие, что
Ri(n, 0, 0) = 0,
lim
max{|u1|,|u2|,|v1|,|v2|}→0
|Ri(n, u1, u2)−Ri(n, v1, v2)|
|u1 − v1|+ |u2 − v2|
= 0, i = 1, 2. (2.4)
Тогда система (2.2) имеет решение (z1
n, z2
n), стремящееся к вектору (0, 0) при
n → +∞.
Доказательство. Положим
ε0 = min
{
inf
n∈N
|P 22
n |
72
inf
n∈N
|P 11
n |
|P 12
n |+ 1
, inf
n∈N
|P 11
n |
36
, inf
n∈N
|P 22
n |
36
}
и для него, с учетом (2.3), (2.4), выберем b ∈ (0, 1/2) и n0 ∈ N так, чтобы∣∣Ri(m,u1, u2)−Ri(m,u3, u4)
∣∣ ≤ ε0
(
|u1 − u3|+ |u2 − u4|
)
при |uj | ≤ b, j = 1, 4, m ∈ N,
sup
n≥n0
{∣∣∣∣ gi
n
bP ii
n
∣∣∣∣, ∣∣∣∣P 21
n
P 22
n
∣∣∣∣} < min
ε0
inf
n≥n0
|P 11
n |
,
ε0
inf
n≥n0
|P 22
n |
, (2.5)
sup
n≥n0
|P 12
n |
|P 11
n |
inf
n≥n0
|P 11
n |
|P 12
n |+ 1
< 1, inf
n≥n0
{
|P ii
n |, 1 +
P ii
n
n
}
> 0,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 843
sup
n≥n0
{∣∣∣∣n + P ii
n
n
∣∣∣∣,
∣∣∣∣∣
n∏
s=n0
(
1− |P ii
s |
s
)
− 1 +
|P ii
n |
n
∣∣∣∣∣+ |P ii
n |
n
}
< 3,
а также введем функции
αi(n0, n) =
n0, если P ii < 0,
n, если P ii > 0,
βi(n, +∞) =
n, если P ii < 0,
+∞, если P ii > 0,
i = 1, 2.
Тогда, согласно (2.1) и (2.5), для любых z1, z2 таких, что |z1| ≤ b и |z2| ≤ b, при
каждом i = 1, 2 и n ≥ n0 получим∣∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
P ii
k
k
) βi(n,+∞)∑
k=αi(n0,n)
Ri(k, z1, z2)
k
k∏
s=n0
(
1 +
P ii
s
s
)−1
∣∣∣∣∣∣ ≤ 6ε0b
inf
n≥n0
|P ii
n |
,
∣∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
P ii
k
k
) βi(n,+∞)∑
k=αi(n0,n)
gi
k
k
k∏
s=n0
(
1 +
P ii
s
s
)−1
∣∣∣∣∣∣ <
< min
3bε0
inf
n≥n0
|P 11
n |
,
3bε0
inf
n≥n0
|P 22
n |
, (2.6)
∣∣∣∣∣∣
n∏
k=n0
(
1 +
P 22
k
k
) β1(n,+∞)∑
k=α1(n0,n)
P 21
k z1
k
k
k∏
s=n0
(
1 +
P 22
s
s
)−1
∣∣∣∣∣∣ <
< min
3bε0
inf
n≥n0
|P 11
n |
,
3bε0
inf
n≥n0
|P 22
n |
.
Пусть l∞ — пространство ограниченных последовательностей действительных
чисел, на котором задана норма
‖x‖ = sup
n∈N
|xn|, x = (x1, x2, . . . , xn, . . .) ∈ l∞,
и Sb — подмножество тех из них, для которых ‖x‖ ≤ b.
Рассмотрим оператор F : Sb → l∞, определенный рекуррентным соотношением
F
(
(x1, x2, . . . , x2n+1, x2n+2, . . .)
)
=
(
F1(x), F2(x), . . . , F2n+1(x), F2n+2(x), . . .
)
,
(2.7)
где
F1(x) = x1, F2(x) = x2,
F2n+1(x) = (− signP 11)
n0+n−1∏
k=n0
(
1 +
P 11
k
k
) β1(n0+n−1,+∞)∑
k=α1(n0,n0+n)
[
g1
k
k
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
844 В. М. ХАРЬКОВ
+
P 12
k F2(k−n0)+2(x)
k
+
R1(k, x2(k−n0)+1, F2(k−n0)+2)
k
]
k∏
s=n0
(
1 +
P 11
s
s
)−1
,
F2n+2(x) = (− signP 22)
n0+n−1∏
k=n0
(
1 +
P 22
k
k
) β2(n0+n−1,+∞)∑
k=α2(n0,n0+n)
[
g2
k
k
+
+
P 21
k x2(k−n0)+1
k
+
R2(k, x2(k−n0)+1, x2(k−n0)+2)
k
]
k∏
s=n0
(
1 +
P 22
s
s
)−1
,
n = 1, 2, . . . .
Принимая во внимание введенные обозначения, а также неравенства (2.6), для
произвольных элементов x, y множества Sb получаем следующие оценки:
‖F (x)‖ ≤ b и ‖F (x)− F (y)‖ ≤ 3
4
‖x− y‖.
Значит, во-первых, отображение F действует из пространства Sb в себя, а во-
вторых, является сжимающим. Следовательно, отображение F имеет неподвиж-
ную точку c0 = (c01, . . . , c0n, . . .) ∈ Sb. Тем самым получаем последовательность
(c0 2n−1, c0 2n)+∞n=1, которая, как следует из (2.7), является решением системы урав-
нений (2.2). Покажем, что это решение при n → +∞ стремится к вектору (0, 0).
Допустим противное. Тогда
lim sup
n→+∞
|c0n| = C, 0 < C ≤ b. (2.8)
Зафиксируем ε = C/18. В силу (2.8) можно выбрать n1 так, чтобы при n > n1
выполнялось неравенство
|c0n| < C + ε.
Далее, из (2.6) и (2.7) следует существование такого n2 (n2 > n1), что при n > n2
имеет место оценка
max
i=1,2
∣∣F2n+i(c0)
∣∣ ≤ ε +
5
6
sup
n∈(n2,+∞)
max
i=1,2
|c02n+i| < ε +
5
6
(C + ε).
С другой стороны, из (2.8) следует существование последовательности {nl}∞l=1,
стремящейся к +∞, для которой при l ≥ l0 > 2 выполняется
max
i=1,2
|c02nl+i| > C − ε.
Значит, так как (c0 2n+1, c0 2n+2)+∞n=1 — неподвижная точка оператора F, то при
l ≥ l0
C − ε < max
i=1,2
|c02nl+i| = max
i=1,2
∣∣F2nl+i(c0)
∣∣ ≤ ε +
5
6
(C + ε)
или
C ≤ 17ε =
17C
18
,
что невозможно. Получили противоречие.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 845
Таким образом, доказано существование решения (c0 2n+1, c0 2n+2)+∞n=1 систе-
мы (2.2), стремящегося к вектору (0, 0) при n → +∞.
3. Доказательства основных теорем. Доказательство теоремы 1.1. Необхо-
димость. Пусть (yn)+∞n=1 — P (λ)-решение уравнения (1.1), где λ ∈ R\{−1,−1
2
, 0
}
.
Учитывая замечание 1.1, без ограничения общности будем полагать, что yn > 0
при n ≥ 1.
Обозначим an =
λ∆yn
αnpn |yn|σ
− 1. Тогда имеет место равенство
∆yn
yσ
n
=
αnpn
λ
[1 + an], (3.1)
из которого с учетом определения P (λ)-решений следуют асимптотические со-
отношения
an = o(1) и
∆yn
yσ
n
=
αnpn
λ
[
1 + o(1)
]
при n → +∞. (3.2)
Суммируя обе части (3.1) от 1 до n− 1, получаем равенство
n−1∑
m=1
∆ym
yσ
m
=
α
λ
n−1∑
m=1
mpm[1 + am]. (3.3)
Покажем, что правая часть (3.3) при n → +∞ асимптотически эквивалентна
выражению
α
λ
∑n−1
m=1
mpm. Для этого достаточно установить справедливость со-
отношения ∑n−1
m=1
mpm[1 + am]∑n−1
m=1
mpm
= 1 + o(1) при n → +∞.
Зафиксируем произвольное ε > 0. Поскольку lim
n→+∞
an = 0 и
∑+∞
m=1
mpm =
= +∞, существуют номера N1, N2 и N3, где N1 — номер, начиная с которого
|an| < ε/3, N2 — номер, начиная с которого∣∣∣∣∣∣∣
∑N1
m=1
mpm[1 + am]∑n
m=1
mpm
∣∣∣∣∣∣∣ <
ε
2
,
и N3 — номер, начиная с которого
[
1− ε
3
]∑n−1
m=N1+1
mpm∑n−1
m=1
mpm
> 1− ε
2
.
Тогда для любого n ≥ max{N1, N2, N3} имеет место двусторонняя оценка
1− ε <
∑N1
m=1
mpm[1 + am] +
∑n−1
m=N1+1
mpm[1 + am]∑n−1
m=1
mpm
< 1 + ε.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
846 В. М. ХАРЬКОВ
Следовательно, установлена справедливость предельного соотношения
lim
n→+∞
∑n−1
m=1
mpm[1 + am]∑n−1
m=1
mpm
= 1.
Используя это соотношение, переписываем (3.3) в виде
n−1∑
m=1
∆ym
yσ
m
=
α
λ
[
1 + o(1)
] n−1∑
m=1
mpm при n → +∞, (3.4)
откуда следует расходимость ряда
∑+∞
m=1
∆ym
yσ
m
, а значит, применяя теоремы Коши
и Штольца, имеем предельные равенства
lim
n→+∞
n∆yn
yn
= lim
n→+∞
∆(n∆yn)
∆yn
= lim
n→+∞
(n + 1)∆2yn
∆yn
+ 1 = λ + 1,
lim
n→+∞
y1−σ
n∑n−1
k=1
∆yk
yσ
k
= lim
n→+∞
yn
(
(1 + ∆yn/yn)1−σ − 1
)
∆yn
= 1− σ.
Отсюда, учитывая соотношения (3.2), (3.4), получаем расходимость интеграла∣∣∣∣∫ y0
B
dy
|y|σ
∣∣∣∣ и следующие асимптотические представления P (λ)-решения уравне-
ния (1.1) вместе с его первой разностью:
yn =
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
при n → +∞,
∆yn =
αnpn
λ
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) σ
1−σ [
1 + o(1)
]
при n → +∞,
(3.5)
а также знаковое условие из (1.3).
Теперь рассмотрим выражение
n∆yn
yn
. Как следует из (3.5), это выражение
асимптотически эквивалентно
n2pn
(1− σ)
∑n−1
m=1
mpm
при n → +∞. С другой сто-
роны, как было отмечено выше, имеет место предельное равенство
lim
n→+∞
n∆yn
yn
= 1 + λ,
а значит,
n2pn∑n−1
m=1
mpm
= (1− σ)(1 + λ) + o(1) при n → +∞,
∆yn =
λ + 1
n
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
при n → +∞.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 847
Таким образом, установлены необходимость указанных в теореме условий и асимп-
тотические представления (1.4).
Достаточность. Пусть λ ∈ R \ {−1,−1
2
, 0
}
и выполняется условие (1.3). По-
кажем, что существует P (λ)-решение уравнения (1.1) с асимптотическими пред-
ставлениями (1.4).
С помощью замены переменных
yn =
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) 1
1−σ
[1 + u1
n],
∆yn =
λ + 1
n
(
α(1− σ)
λ
n−1∑
m=1
mpm
) 1
1−σ
[1 + u2
n]
(3.6)
сведем уравнение (1.1) к системе
∆u1
n = (Fn − 1) (1 + u1
n) +
λ + 1
n
Fn(1 + u2
n),
∆u2
n = −(1 + u2
n)
(
1− n + 1
n
Fn
)
+
λ
(λ + 1)(1− σ)
Gn(1 + u1
n)σ,
(3.7)
в которой
Fn =
1− npn∑n
m=1
mpm
1
1−σ
, Gn = (n + 1)pn
(∑n−1
m=1
mpm
) σ
1−σ
(∑n
m=1
mpm
) 1
1−σ
.
Как следует из (1.3), введенные дискретные функции Fn и Gn допускают при
n → +∞ асимптотические представления
Fn = 1− npn
(1− σ)
∑n
m=1
mpm
+ o
(
1
n
)
,
Gn =
(λ + 1)(1− σ)
n
+ o
(
1
n
)
.
(3.8)
Перепишем теперь систему (3.7) в виде
∆u1
n =
1
n
[
f1
n + A11
n u1
n + A12
n u2
n
]
,
∆u2
n =
1
n
[
f2
n + A21
n u1
n + A22
n u2
n + R(n, u1
n)
]
,
(3.9)
где
f1
n = n (Fn − 1) + (λ + 1) Fn, f2
n = (n + 1)Fn − n +
λ
(λ + 1)(1− σ)
nGn,
A11
n = n (Fn − 1) , A12
n = (λ + 1)Fn,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
848 В. М. ХАРЬКОВ
A21
n =
λσ
(λ + 1)(1− σ)
nGn, A22(x) = (n + 1)Fn − n,
R(n, u1
n) =
λ
(λ + 1)(1− σ)
nGn
[
(1 + u1
n)σ − 1− σu1
n
]
.
Из соотношений (3.8) следует
lim
n→+∞
f1
n = 0, lim
n→+∞
f2
n = 0,
lim
n→+∞
A11
n = −1− λ, lim
n→+∞
A12
n = λ + 1,
lim
n→+∞
A21
n = λσ, lim
n→+∞
A22
n = −λ.
(3.10)
Кроме того, имеем R(n, 0) = 0,∣∣R(n, u)−R(n, v)
∣∣ ≤ M(u, v)|u− v| при max
{
|u|, |v|
}
< 1, (3.11)
где
M(u, v) = sup
n∈N
∣∣∣∣ λσ
(λ + 1)(1− σ)
nGn
∣∣∣∣ max
|ξ|≤max{|u|,|v|}
∣∣(1 + ξ)σ−1 − 1
∣∣,
lim
max{|u|,|v|}→0
M(u, v) = 0.
Положим A0 = (A0
ij)
2
i,j=1, где A0
ij = lim
n→+∞
Aij
n . Поскольку при λ ∈ R \{
−1,−1
2
, 0
}
характеристический многочлен матрицы A0 не имеет корней с нуле-
вой вещественной частью, возможны лишь два случая: 1) оба корня вещественны
и отличны от нуля либо 2) корни комплексно сопряжены и их вещественная часть
отлична от нуля.
1. Пусть µ1, µ2 — собственные значения A0 такие, что µ1, µ2 ∈ R \ {0}. Тогда
существует постоянная обратимая вещественная матрица L такая, что матрица
L−1A0L является верхнетреугольной и на ее главной диагонали расположены числа
µ1, µ2. Следовательно, с помощью замены переменных
uT
n = LzT
n , (3.12)
где un = (u1
n, u2
n) и zn = (z1
n, z2
n), система (3.9) сведется к системе с почти тре-
угольной линейной частью.
2. Пусть собственные значения µ1 и µ2 представимы в виде µ1,2 = a± bi, где
a 6= 0. Тогда существует постоянная обратимая вещественная матрица D такая, что
D−1A0D =
(
a b
−b a
)
.
Следовательно, с помощью замены переменных
uT
n = TnDzT
n , (3.13)
где un = (u1
n, u2
n), zn = (z1
n, z2
n),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 849
Tn =
(
cos(b lnn) − sin(b lnn)
sin(b lnn) cos (b lnn)
)
и lim
n→+∞
n T−1
n D−1A0DTn =
(
a 0
0 a
)
,
система (3.9) будет преобразована в систему с почти диагональной линейной
частью.
Итак, в результате указанных выше преобразований система (3.9) сводится к
виду
∆z1
n =
1
n
[
g1
n + P 11
n z1
n + P 12
n z2
n + R1(n, z1
n, z2
n)
]
,
∆z2
n =
1
n
[
g2
n + P 21
n z1
n + P 22
n z2
n + R2(n, z1
n, z2
n)
]
,
(3.14)
причем в силу (3.10)
lim
n→+∞
g1
n = 0, lim
n→+∞
g2
n = 0,
lim
n→+∞
P 11
n = P 11, lim
n→+∞
P 12
n = P 12,
lim
n→+∞
P 21
n = 0, lim
n→+∞
P 22
n = P 22, Ri(n, 0, 0) = 0,
где P 12 ∈ {0, 1}, P ii = µi, если корни характеристического многочлена матрицы
A0 вещественны, и P ii = a, i = 1, 2, в противном случае. Кроме того, из (3.11)
следует существование δ > 0 такого, что для всех натуральных n и веществен-
ных u1, u2, v1, v2, удовлетворяющих неравенству max
{
|u1|, |u2|, |v1|, |v2|
}
< δ,
справедливы оценки ∣∣Ri(n, u1, u2)−Ri(n, v1, v2)
∣∣ ≤
≤ Mi(u1, u2, v1, v2)
(
|u1 − v1|+ |u2 − v2|
)
, i = 1, 2,
в которых
lim
max{|u1|,|u2|,|v1|,|v2|}→0
Mi(u1, u2, v1, v2) = 0.
Отсюда и из леммы 2 следует существование решения (c0 2n+1, c0 2n+2)+∞n=1
системы (3.14), стремящегося к вектору (0, 0) при n → +∞. Ему в силу замен
(3.12), (3.13), (3.6) соответствует решение уравнения (1.1), допускающее при n →
→ +∞ асимптотические представления (1.4).
Осталось показать, что полученное выше решение уравнения (1.1) будет при-
надлежать классу P (λ)-решений. Действительно, из (3.6) следует, что предел yn
при n → +∞ равен либо 0, либо +∞ и, кроме того,
lim
n→+∞
n∆2yn
∆yn
= lim
n→+∞
αnpnyσ
n
∆yn
=
= lim
n→+∞
αnpn
(
α(1− σ)
λ
∑n−1
m=1
mpm
) σ
1−σ
λ + 1
n
(
α(1− σ)
λ
∑n−1
m=1
mpm
) 1
1−σ
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
850 В. М. ХАРЬКОВ
= lim
n→+∞
λn2pn
(1 + λ)(1− σ)
∑n−1
m=1
mpm
= λ.
Теорема 1.1 доказана.
Доказательство теоремы 1.2. Необходимость. Пусть (yn)+∞n=1 — P (λ)-решение
уравнения (1.1), где λ ∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
. Как и при доказательстве теоремы 1.1,
не ограничивая общности, будем полагать, что yn > 0 при n ≥ 1.
Далее, как и ранее, обозначим an =
λ∆yn
αnpn |yn|σ
− 1. Тогда имеют место равен-
ство (3.1) и асимптотические соотношения (3.2).
Покажем, что правая часть равенства (3.1) суммируема и справедливо соотно-
шение ∑+∞
m=n
mpm[1 + am]∑+∞
m=n
mpm
= 1 + o(1) при n → +∞.
Зафиксируем произвольное ε > 0. Поскольку lim
n→+∞
an = 0 и
∑+∞
m=1
mpm <
< ∞, существует номер N, начиная с которого |an| < min{1, ε}. Тогда для любого
r ≥ N выполняется неравенство
r∑
m=N
mpm[1 + am] < 2
r∑
m=N
mpm,
из которого следует сходимость ряда
∑+∞
m=1
mpm[1+am]. Следовательно, для всех
n ≥ N имеет место двусторонняя оценка
1− ε <
∑+∞
m=n
mpm[1 + am]∑+∞
m=n
mpm
< 1 + ε,
а значит, установлено предельное соотношение
lim
n→+∞
∑+∞
m=n
mpm[1 + am]∑+∞
m=n
mpm
= 1.
Используя это соотношение, из (3.1) получаем
+∞∑
m=n
∆ym
yσ
m
=
α
λ
[
1 + o(1)
] +∞∑
m=n
mpm при n → +∞, (3.15)
откуда следует сходимость ряда
∑+∞
m=1
∆ym
yσ
m
. Поэтому, применяя теоремы Коши
и Штольца, имеем предельные равенства
lim
n→+∞
n∆yn
yn
= lim
n→+∞
∆(n∆yn)
∆yn
= lim
n→+∞
(n + 1)∆2yn
∆yn
+ 1 = λ + 1,
lim
n→+∞
y1−σ
n∑+∞
k=n
∆yk
yσ
k
= lim
n→+∞
yn
(
(1 + ∆yn/yn)1−σ − 1
)
∆yn
= 1− σ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 851
Отсюда, учитывая соотношение (3.15), получаем сходимость интеграла
∣∣∣∣ ∫ y0
B
dy
|y|σ
∣∣∣∣
и асимптотические представления P (λ)-решения уравнения (1.1) вместе с его пер-
вой разностью
yn =
(
α(σ − 1)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
,
∆yn =
αnpn
λ
(
α(σ − 1)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) σ
1−σ [
1 + o(1)
]
,
(3.16)
а также знаковое условие из (1.5).
Теперь рассмотрим выражение
n∆yn
yn
. Как следует из (3.16), это выражение
асимптотически эквивалентно
n2pn
(σ − 1)
∑+∞
m=n
mpm
. С другой стороны, имеет мес-
то предельное равенство
lim
n→+∞
n∆yn
yn
= λ + 1,
и поэтому
n2pn∑+∞
m=n
mpm
= (σ − 1)(1 + λ) + o(1) при n → +∞,
∆yn =
λ + 1
n
(
α(σ − 1)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) 1
1−σ [
1 + o(1)
]
при n → +∞.
Таким образом, установлены необходимость указанных в теореме 1.2 условий и
асимптотические представления (1.6).
Достаточность. Пусть λ ∈ R\
{
−1,−1
2
, 0
}
и выполняется условие (1.5). По-
кажем, что существует P (λ)-решение уравнения (1.1) с асимптотическими пред-
ставлениями (1.6).
С помощью замены переменных
yn =
(
α(σ − 1)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) 1
1−σ [
1 + u1
n
]
,
∆yn =
λ + 1
n
(
α(σ − 1)
λ
+∞∑
m=n
mpm
) 1
1−σ [
1 + u2
n
] (3.17)
сведем уравнение (1.1) к системе
∆u1
n = (Hn − 1) (1 + u1
n) +
λ + 1
n
Hn(1 + u2
n),
∆u2
n = −(1 + u2
n)
(
1− n + 1
n
Hn
)
+
λ
(λ + 1)(σ − 1)
In(1 + u1
n)σ,
(3.18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
852 В. М. ХАРЬКОВ
в которой
Hn =
1 +
npn∑+∞
m=n+1
mpm
1
1−σ
, In =
(n + 1)pn
(∑+∞
m=n
mpm
) σ
1−σ
(∑+∞
m=n+1
mpm
) 1
1−σ
.
Как следует из (1.5), введенные нами дискретные функции Hn и In при n →
→ +∞ допускают асимптотические представления
Hn = 1 +
npn
(1− σ)
∑+∞
m=n+1
mpm
+ o
(
1
n
)
,
In =
(λ + 1)(σ − 1)
n
+ o
(
1
n
)
.
(3.19)
Перепишем теперь систему (3.18) в виде (3.9), где
f1
n = n (Hn − 1) + (λ + 1) Hn, f2
n = (n + 1)Hn − n +
λ
(λ + 1)(σ − 1)
nIn,
A11
n = n (Hn − 1) , A12
n = (λ + 1)Hn,
A21
n =
λσ
(λ + 1)(σ − 1)
nIn, A22(x) = (n + 1)Hn − n,
R(n, u1
n) =
λ
(λ + 1)(σ − 1)
nIn
[
(1 + u1
n)σ − 1− σu1
n
]
.
Из соотношений (3.19) следует, что коэффициенты этой системы удовлетворяют
предельным равенствам
lim
n→+∞
f1
n = 0, lim
n→+∞
f2
n = 0,
lim
n→+∞
A11
n = −1− λ, lim
n→+∞
A12
n = λ + 1,
lim
n→+∞
A21
n = λσ, lim
n→+∞
A22
n = −λ,
lim
u→0
R(n, u)
u
= 0 равномерно по n ∈ N.
Положим A0 = (A0
ij)
2
i,j=1, где A0
ij = lim
n→+∞
Aij
n . Поскольку при λ ∈ R \{
−1,−1
2
, 0
}
характеристический многочлен матрицы A0 не имеет корней с нуле-
вой вещественной частью, рассуждая далее так же, как и при доказательстве тео-
ремы 1.1, получаем, что система (3.18) имеет решение, стремящееся к нулю при
n → +∞, которому в силу замен (3.17) соответствует решение уравнения (1.1),
допускающее асимптотические представления (1.6). Нетрудно проверить, что по-
лученное решение уравнения (1.1) будет принадлежать классу P (λ).
Теорема 1.2 доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
АСИМПТОТИЧЕСКИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ОДНОГО КЛАССА РЕШЕНИЙ . . . 853
В качестве иллюстрации полученных в работе результатов рассмотрим уравне-
ние
∆2yn = αnk|yn|σ sign yn, (3.20)
где α ∈ {−1, 1}, σ ∈ R \ {0, 1}, k ∈ R \ {−2,−1− σ,−(3 + σ)/2}.
Следствие 3.1. Для существования P (λ)-решения, λ ∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
,
уравнения (3.20) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия
α(k + 2)(k + σ + 1) > 0, λ =
k + σ + 1
1− σ
. (3.21)
Более того, каждое положительное решение из этого класса допускает при
n → +∞ асимптотические представления
yn =
[
α(1− σ)2
(k + 2)(k + σ + 1)
] 1
1−σ
n
k+2
1−σ
[
1 + o(1)
]
,
∆yn =
k + 2
1− σ
[
α(1− σ)2
(k + 2)(k + σ + 1)
] 1
1−σ
n
k+σ+1
1−σ
[
1 + o(1)
]
.
(3.22)
Доказательство. Так как для уравнения (3.20) pn = nk, k 6= −2, ряд∑+∞
m=1
mpm имеет вид
∑+∞
m=1
mk+1 и поэтому расходится при k > −2 и схо-
дится при k < −2.
Пусть k > −2. Тогда, согласно теореме 1.1, необходимые и достаточные условия
существования P (λ)-решения уравнения (3.20), λ ∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
, будут иметь
вид
αλ(1− σ) > 0,∣∣∣∣∣∣
y0∫
B
dy
|y|σ
∣∣∣∣∣∣ = +∞, lim
n→+∞
nk+2∑n−1
m=1
mk+1
= (1− σ)(1 + λ).
Отсюда, принимая во внимание имеющее место по теореме Штольца предельное
равенство
lim
n→+∞
n−k−2
n−1∑
m=1
mk+1 =
1
k + 2
,
а также тот факт, что интеграл
∫ y0
B
dy
|y|σ
расходится при σ > 1, если y0 = 0, и при
σ < 1, если y0 = ±∞, получаем (3.21) и представления (3.22).
В случае k < −2, используя теорему 1.2 и учитывая имеющее место предельное
равенство
lim
n→+∞
n−k−2
+∞∑
m=n
mk+1 = − 1
k + 2
,
таким же образом, как и выше, нетрудно установить справедливость следствия 3.1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
854 В. М. ХАРЬКОВ
Выводы. В настоящей работе предложен отличный от рассмотренных ранее
подход, позволяющий при исследовании уравнения вида (1.1) установить асимпто-
тические свойства класса решений, названных P (λ)-решениями. При этом были
получены необходимые и достаточные условия существования P (λ)-решений, λ ∈
∈ R \
{
−1,−1
2
, 0
}
, уравнения (1.1), а также найдены асимптотические при n →
→ +∞ формулы для выражений yn и ∆yn.
1. Кигурадзе И. Т., Чантурия Т. А. Асимптотические свойства решений неавтономных обыкновенных
дифференциальных уравнений. – М.: Наука, 1990. – 431 с.
2. Костин А. В. Об асимптотике продолжаемых решений уравнения типа Эмдена – Фаулера // Докл.
АН СССР. – 1971. – 200, № 1. – С. 28 – 31.
3. Костин А. В., Евтухов В. М. Асимптотика решений одного нелинейного дифференциального
уравнения // Там же. – 1976. – 231, № 5. – С. 1059 – 1062.
4. Евтухов В. М. Об одном нелинейном дифференциальном уравнении второго порядка // Там же. –
1977. – 233, № 4. – С. 531 – 534.
5. Евтухов В. М. Асимптотические представления решений одного класса нелинейных дифферен-
циальных уравнений второго порядка // Сообщ. АН ГССР. – 1982. – 106, № 3. – С. 473 – 476.
6. Евтухов В. М. Асимптотические представления монотонных решений нелинейного дифференци-
ального уравнения типа Эмдена – Фаулера n-го порядка // Докл. АН России. – 1992. – 324, № 2. –
С. 258 – 260.
7. Migda M., Migda J. Asymptotic properties of the solutions of the second order difference equation //
Arch. math. – 1998. – 34. – P. 467 – 476.
8. Agarwal Ravi P. Difference equations and inequalities. – Marcel Dekker, 2000. – 998 p.
Получено 17.07.07,
после доработки — 11.03.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 6
|
| id | umjimathkievua-article-3062 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:32Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/8a/97c19ab68bbb5ce270e99bdce481a48a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30622020-03-18T19:44:24Z Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity Асимптотические представления одного класса решений разностного уравнения второго порядка со степенной нелинейностью Khar’kov, V. M. Харьков, В. M. Харьков, В. M. We obtain asymptotic representations for one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity. Встановлено асимптотичш зображення для одного класу розв'язків рiзницевого piняння другого порядку зi степеневою нелiнiйнiстю. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3062 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 6 (2009); 839-854 Український математичний журнал; Том 61 № 6 (2009); 839-854 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3062/2873 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3062/2874 Copyright (c) 2009 Khar’kov V. M. |
| spellingShingle | Khar’kov, V. M. Харьков, В. M. Харьков, В. M. Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| title | Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| title_alt | Асимптотические представления одного класса решений разностного уравнения второго порядка со степенной нелинейностью |
| title_full | Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| title_fullStr | Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| title_full_unstemmed | Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| title_short | Asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| title_sort | asymptotic representations of one class of solutions of a second-order difference equation with power nonlinearity |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3062 |
| work_keys_str_mv | AT kharkovvm asymptoticrepresentationsofoneclassofsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithpowernonlinearity AT harʹkovvm asymptoticrepresentationsofoneclassofsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithpowernonlinearity AT harʹkovvm asymptoticrepresentationsofoneclassofsolutionsofasecondorderdifferenceequationwithpowernonlinearity AT kharkovvm asimptotičeskiepredstavleniâodnogoklassarešenijraznostnogouravneniâvtorogoporâdkasostepennojnelinejnostʹû AT harʹkovvm asimptotičeskiepredstavleniâodnogoklassarešenijraznostnogouravneniâvtorogoporâdkasostepennojnelinejnostʹû AT harʹkovvm asimptotičeskiepredstavleniâodnogoklassarešenijraznostnogouravneniâvtorogoporâdkasostepennojnelinejnostʹû |