On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables
We determine the exact values of Kolmogorov and linear quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables in the Hilbert space $L_2(Q)$.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3063 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509087419072512 |
|---|---|
| author | Akobirshoev, M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. |
| author_facet | Akobirshoev, M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. |
| author_sort | Akobirshoev, M. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:24Z |
| description | We determine the exact values of Kolmogorov and linear quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables in the Hilbert space $L_2(Q)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:31Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
M. Í. Íabozov, M.�O. Akobyrßoev
(Yn-t matematyky AN Respublyky TadΩykystan, Dußanbe)
O TOÇNÁX ZNAÇENYQX KVAZYPOPEREÇNYKOV
NEKOTORÁX KLASSOV DYFFERENCYRUEMÁX
PERYODYÇESKYX FUNKCYJ DVUX PEREMENNÁX
We establish the exact values of the Kolmogorov quasiwidth and a linear quasiwidth for some classes of
differentiable periodic functions of two variables in the Hilbert space L Q2( ) .
Znajdeno toçni znaçennq velyçyn kolmohorivs\koho i linijnoho kvazipopereçnykiv dlq deqkyx
klasiv dyferencijovnyx periodyçnyx funkcij dvox zminnyx u hil\bertovomu prostori L Q2( ) .
1. Rassmotrym zadaçu naxoΩdenyq toçn¥x znaçenyj kvazypopereçnykov dlq
klassov dyfferencyruem¥x peryodyçeskyx funkcyj dvux peremenn¥x v hyl\-
bertovom prostranstve L Q2( ), Q = { },0 2≤ ≤x y π , s normoj
f L Q2( ) =
1
4 2
2
1 2
π
Q
f x y dxdy∫∫
( , )
/
< ∞ .
Napomnym ponqtyq y opredelenyq, neobxodym¥e nam v dal\nejßem (sm., na-
prymer, [1 – 5]). Pust\ ( ),X X⋅ y ( ),Y Y⋅ — lynejn¥e normyrovann¥e pro-
stranstva funkcyj odnoj peremennoj, a
Um = span{ }( ), ( ), , ( )u x u x u xm0 1 … ,
Vn = span{ }( ), ( ), , ( )v v v0 1y y yn…
— yx koneçnomern¥e podprostranstva, Um ⊂ X, Vn ⊂ Y. V¥raΩenye vyda
g x ym n, ( , ) =
ν
ν ν
µ
µ µψ ϕ
= =
∑ ∑+
0 0
m n
u x y y x( ) ( ) ( ) ( )v ,
hde { }( )ϕµ µx n
=0 y { }( )ψν νy m
=0 — nabor¥ proyzvol\n¥x funkcyj yz prost-
ranstv X y Y, nazovem obobwenn¥m polynomom, poroΩdenn¥m podprostranst-
vamy Um y Vn . Ukazann¥e obobwenn¥e polynom¥ obrazugt podprostranstvo
G U Vm n( ),
df= U Y V Xm n� �+ ,
hde operacyy � y + oboznaçagt sootvetstvenno operacyy dekartova proyzve-
denyq y prqmoj summ¥ mnoΩestv. Oboznaçym
E ( ( )); ,f G U Vm n Z
df= inf ( ) : ( ) ,, , ( )f g f g f G U Vm n Z m n m n− ∈{ },
(1)
E ( ( )); ,� G U Vm n Z
df= sup ; , :( ( ))E f G U V fm n Z ∈{ }� .
Velyçyna (1) xarakteryzuet nayluçßee pryblyΩenye πlementa f ∈� mno-
Ωestvom G U Vm n( ), , a E ( ( )); ,� G U Vm n Z — otklonenye mnoΩestva � ot
G U Vm n( ), v normyrovannom prostranstve ( ),Z Z⋅ .
Dlq central\no-symmetryçnoho mnoΩestva � ⊂ Z velyçynu
d Zm n, ( , )� = inf ; , : ,( ( ))E � G U V U X V Ym n Z m n⊂ ⊂{ } (2)
© M. Í. ÍABOZOV, M.:O. AKOBYRÍOEV, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6 855
856 M. Í. ÍABOZOV, M.:O. AKOBYRÍOEV
naz¥vagt kvazypopereçnykom mnoΩestva � po Kolmohorovu [1 – 4]. Pust\ Λ
— lynejn¥j operator, dejstvugwyj na funkcyy f ∈� , obraz kotoroho pry-
nadleΩyt mnoΩestvu G U Vm n( ), .
PoloΩym
e Z( ),� Λ = sup ( ) :f f fZ− ∈{ }Λ � ,
e G U Vm n Z( ( )), ,� = inf , : ( ) ,( ) ( )e f G U VZ m n� Λ Λ ∈{ }.
Sleduq [5], velyçynu
′d Zm n, ( , )� = inf , , : ,( ( ))e G U V U X V Ym n Z m n� ⊂ ⊂{ } (3)
nazovem lynejn¥m kvazypopereçnykom mnoΩestva � v prostranstve Z. Nepo-
sredstvenno yz pryvedenn¥x opredelenyj sledugt neravenstva
e G U Vm n Z( ( )); ,� ≥ E ( ( )); ,� G U Vm n Z ,
′d Zm n, ( , )� ≥
d Zm n, ( , )� .
V zadaçax (2) y (3) naybol\ßyj ynteres predstavlqet ot¥skanye πkstremal\-
n¥x podprostranstv U Xm
0 ⊂ , V Yn
0 ⊂ , dlq kotor¥x v¥polnqetsq ravenstvo
E ( ( )); ,� G U Vm n Z
0 0 = e G U Vm n Z( ( )); ,� 0 0 =
′d Zm n, ( , )� =
d Zm n, ( , )� .
Dalee vsgdu polahaem, çto X = Y = L2 0 2[ , ]π — prostranstva summyruem¥x
s kvadratom 2 π -peryodyçeskyx funkcyj f ( x ) na otrezke [ , ]0 2π , Z = L Q2( ).
V nastoqwej rabote dlq nekotor¥x central\no-symmetryçn¥x mnoΩestv pe-
ryodyçeskyx funkcyj � ⊂ L Q2( ) v¥çyslqgtsq velyçyn¥
d L Qm n, ( ), ( )� 2 =
inf ; , : , [ , ]( ( )) ( )E � G U V U V Lm n L Q m n2 2 0 2⊂{ }π ,
′d L Qm n, ( ), ( )� 2 = inf ; , : , [ , ]( ( )) ( )e G U V U V Lm n L Q m n�
2 2 0 2⊂{ }π .
V rabote [3] dokazano, çto esly
U m2 1−
∗ = span{ }(cos ) , (sin )jx jxj
m
j
m
=
−
=
−
0
1
1
1 , V n2 1−
∗ = span{ }(cos ) , (sin )ly lyl
n
l
n
=
−
=
−
0
1
1
1
— podprostranstva tryhonometryçeskyx polynomov porqdka 2m – 1 po pere-
mennoj x y 2n – 1 po peremennoj y, to
E f G U Vm n L Q
; ,( )
( )2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( ) =
j m
jl
l n
c f
≥ ≥
∑ ∑
( )
/
2
1 2
, (4)
hde
c fjl ( ) =
1
4 2π
f x y e dxdyi jx ly
Q
( , ) ( )− +∫∫
— koffycyent¥ Fur\e formal\noho razloΩenyq f x y( , ) v vyde dvojnoho rq-
da Fur\e
f x y( , ) ∼
j
jl
i jx ly
l
c f e
= −∞
+∞
+
= −∞
+∞
∑ ∑ ( ) ( ) . (5)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
O TOÇNÁX ZNAÇENYQX KVAZYPOPEREÇNYKOV NEKOTORÁX KLASSOV … 857
V çastnosty, yz (4) y (5) sleduet, çto esly f x y( , ) = ϕ ψ( ) ( )x y⋅ , to
E f G U Vm n L Q
; ,( )
( )2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( ) =
E Eϕ ψ
π π
, ,
[ , ] [ , ]
U Vm L n L2 1 0 2 2 1 0 22 2
−
∗
−
∗( ) ( ) , (6)
hde
E g G p L
,
[ , ]2 1 0 22
−( ) π
= inf ( ) : ( )
[ , ]
g T g T g Gp L p p− ∈{ }−
2 0 2 2 1π
— velyçyna nayluçßeho srednekvadratyçeskoho pryblyΩenyq funkcyy g ( x )
tryhonometryçeskymy polynomamy G p2 1− = span (cos ) , (sin )jx jxj
p
j
m
=
−
=
−{ }0
1
1
1
po-
rqdka 2 1p − v prostranstve L2 0 2[ , ]π .
2. Dlq proyzvol\noj funkcyy f x y L Q( , ) ( )∈ 2 opredelym smeßann¥j mo-
dul\ neprer¥vnosty ravenstvom
ω τk p L Qf t, ( )( ; , )
2
= sup ( , ) : ,,
,
( )
∆u
k p
L Q
f x y u tv v
2
≤ ≤{ }τ , (7)
hde
∆u
k p f x y,
, ( , )v =
ν
ν µ
µ ν µ
ν µ
=
+
=
∑ ∑ −
+ +
0 0
1
k p k p
f x u y( ) ( , )v .
Yspol\zuq ravenstvo Parsevalq, velyçynu (7) zapys¥vaem v vyde
ω τk p L Qf t, ( )( ; , )2
2
=
= 2 1 1
2k p
j
jl
l
k pc f ju l u t+
= −∞
+∞
= −∞
+∞
∑ ∑ − − ≤ ≤
sup ( ) ( cos ) ( cos ) : ,v v τ . (8)
V çastnosty, dlq funkcyy f x y0( , ) = cos cosmx ny yz (8) ymeem
ω τk p L Qf t, ( )( ; , )2
0 2
= 2 1 1k p k pmt n+ − −( cos ) ( cos )τ .
Uslovymsq vsgdu v dal\nejßem vmesto ω τk k L Qf t, ( )( ; , )
2
pysat\ ω τk f t( ; , ).
Podrazumevaq pod N mnoΩestvo natural\n¥x çysel, oboznaçaem çerez C Qr s( , ) ( ) ,
r, s ∈ N , mnoΩestvo funkcyj f x y( , ) , ymegwyx v kvadrate Q neprer¥vn¥e
çastn¥e proyzvodn¥e f x y( , ) ( , )ν µ = ∂ ∂ ∂µ ν ν µ+ f x y/ , ν ≤ r , µ ≤ s , a çerez
L Qr s
2
( , ) ( ) , r, s ∈ N , mnoΩestvo funkcyj f x y C Qr s( , ) ( )( , )∈ − −1 1 , r , s ≥ 1, u ko-
tor¥x çastn¥e proyzvodn¥e f x yr( , ) ( , )µ , µ = 0 1, s − , f x ys( , ) ( , )ν , ν = 0 1, r − ,
suwestvugt, kusoçno-neprer¥vn¥, dopuskagt peremenu porqdka dyfferency-
rovanyq y f x y L Qr s( , ) ( , ) ( )∈ 2 . Otmetym, çto dlq proyzvol\noj funkcyy
f x y( , ) :∈ :L Qr s
2
( , )( ) v¥polnqetsq neravenstvo
E f G U Vm n L Q
; ,( )
( )2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( ) ≤ m n f G U Vr s r s
m n L Q
− −
−
∗
−
∗( )E ( , )
( )
; ,( )2 1 2 1
2
,
kotoroe qvlqetsq toçn¥m v tom sm¥sle, çto dlq funkcyy
f x y0( , ) = cos cosmx ny ∈ L Qr s
2
( , )( )
obrawaetsq v ravenstvo. Ymeet mesto sledugwaq teorema.
Teorema�1. Dlq lgb¥x m, n ∈ N , udovletvorqgwyx neravenstvam 0 <
< mt ≤ π / 2 , 0 < nτ ≤ π / 2 , pry lgbom k ∈ N spravedlyvo sootnoßenye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
858 M. Í. ÍABOZOV, M.:O. AKOBYRÍOEV
sup ; , ; , )
( , )( )
( )
/ ( , )
/
( ) (
f L Q
m n L Q
t
k
k r s
k
r s
f G U V f u dud
∈
−
∗
−
∗
−
( )
∫ ∫
2
2
2 1 2 1
0
2
0
2
E ω
τ
v v =
=
1
2
2
k r s
k
m n
mn
mt mt n n( sin ) ( sin )
/
− −
τ τ
. (9)
Suwestvuet funkcyq f x y L Qr s
0 2( , ) ( )( , )∈ , dlq kotoroj verxnqq hran\ dostyha-
etsq v sootnoßenyy (9).
Dokazatel\stvo. DokaΩem, çto dlq lgboj funkcyy f x y L Qr s( , ) ( )( , )∈ 2
ymeet mesto neravenstvo
E2
2 1 2 1
2
2
f G U V c f ju l ju lm n L Q
j m
jl
l n
; , ( ) (cos cos cos cos )( )
( )−
∗
−
∗
≥ ≥
( ) − +∑ ∑ v - v ≤
≤
1
4 2 2
2 2
2 1 2 1
2m n
f G U V
r k s k
k
m n
L Q/ /
/
( )
; ,( )E −
−
∗
−
∗( ) ωωk
k r sf u2/ ( , )( ; , )v . (10)
Dejstvytel\no, zameçaq, çto
ω τk
r sf t2( ; , )( , ) =
= 4 1 12 2 2k
j m
r s
jl
l n
kj l c f ju lsup ( ) ( cos ) ( cos
≥ ≥
∑ ∑ − − vv v) : ,k u t≤ ≤
τ ,
y yspol\zuq neravenstvo Hel\dera dlq summ, s uçetom (4) ymeem
E 2
2 1 2 1
2
2
f G U V c fm n
L Q j m
jl; , ( ) (cos( )
( )
−
∗
−
∗
≥
( ) − ∑ jju l ju l
l n
+ −
≥
∑ cos cos cos )v v =
=
j m
jl
k
jl
k
l n
c f c f ju l
≥
−
≥
∑ ∑ − −( ) ( ) ( cos )( cos )
/ /2 2 2
1 1 v ≤
≤
j m
jl
l n
k
j m
jl
l n
k k
k
c f c f ju l
≥ ≥
−
≥ ≥
∑ ∑ ∑ ∑
− −
( ) ( ) ( cos ) ( cos )
/ /
2
1 1
2
1
1 1 v ≤
≤
E2 2
2 1 2 1
2
−
−
∗
−
∗( )/
( )
; ,( )k
m n L Q
f G U V ×
×
1
4
4 1
2 2
2 2 2
k r s
k
j m
r s
jl
l n
k
m n
j l c f ju
≥ ≥
∑ ∑ −( ) ( cos ) (11
1
−
cos )
/
l k
k
v ≤
≤
1
4 2 2
2 2
2 1 2 1
2
2m n
f G U V f ur k s k
k
m n L Q k
k r s
/ /
/
( )
/ ( , ); , ( ; , )( )E −
−
∗
−
∗( ) ω v ,
otkuda sleduet neravenstvo (10). Teper\, proyntehryrovav neravenstvo (10) po
prqmouhol\nyku { 0 ≤ u ≤ t, 0 ≤ v ≤ τ } y podelyv obe çasty na t τ , poluçym
E2
2 1 2 1
2
f G U Vm n L Q
; ,( )
( )−
∗
−
∗( ) –
j m
jl
l n
c f
jt
jt
l
l
jt
jt
l
l≥ ≥
∑ ∑ + −
( )
sin sin sin sin2 v
v
v
v
≤
≤
1
4 2 2
2 2
2 1 2 1
0
2
0
2t m n
f G U V f u dudr k s k
k
m n L Q
t
k
k r s
τ
ω
τ
/ /
/
( )
/ ( , ); , ; , )( ) (E −
−
∗
−
∗( ) ∫ ∫ v v . (11)
Lehko zametyt\, çto pry 0 < mt ≤ π / 2 , 0 < nτ ≤ π / 2 spravedlyvo ravenstvo
max
sin sin sin sin
: ,
u
u
u
u
u mt n+ − ≥ ≥{ }v
v
v
v
v τ =
sin sin sin sinmt
mt
n
n
mt
mt
n
n
+ −τ
τ
τ
τ
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
O TOÇNÁX ZNAÇENYQX KVAZYPOPEREÇNYKOV NEKOTORÁX KLASSOV … 859
Yspol\zuq πto ravenstvo, yz (11) naxodym
E2
2 1 2 1
2
f G U Vm n L Q
; ,( )
( )−
∗
−
∗( ) ≤
≤
1
4 2 2
0
2
0
k r s
k t
k
k r s
k
m n
mn
mt mt n n
f u dud
( sin )( sin )
; , )/ ( , )(
− −
∫ ∫τ τ
ω
τ
v v ,
yly, çto to Ωe,
E f G U Vm n L Q
; ,( )
( )2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( ) ≤
≤
1
2
2
0
2
0
2
k r s
k t
k
k r s
k
m n
mn
mt mt n n
f u dud
( sin )( sin )
; , )
/
/ ( , )
/
(
− −
∫ ∫τ τ
ω
τ
v v . (12)
Prostoj podsçet pokaz¥vaet, çto dlq funkcyy
f x y0( , ) = cos cos ( )( , )mx ny L Qr s∈ 2
neravenstvo (12) obrawaetsq v ravenstvo. Toçnost\ (12) sleduet yz neposred-
stvenno proverqem¥x sootnoßenyj
E f G U Vm n L Q0 2 1 2 1
2
; ,( )
( )−
∗
−
∗( ) ≡ 1,
ωk
r sf u2
0( ; , )( , ) v = 4 1 12 2k r s k km n mu n( cos ) ( cos )− − v ,
çto y zaverßaet dokazatel\stvo teorem¥.
3. Pry reßenyy πkstremal\n¥x zadaç teoryy pryblyΩenyq vmesto modulq
neprer¥vnosty ω τk p L Qf t, ( )( ; , )
2
funkcyy f x y L Q( , ) ( )∈ 2 çasto udobnee ys-
pol\zovat\ sledugwug xarakterystyku hladkosty funkcyy:
Ωk p f t, ( ; , )τ =
=
1
0 0 0 0
2
1 1
1 2
h
f x y du du d dk p
h h
u
k p
k pη
η η
∫ ∫ ∫ ∫… … … …
∆ ,
,
/
( , )v v v , h, η > 0, (13)
hde u = ( ), , ,u u uk1 2 … , v = ( ), , ,v v v1 2 … p , a
∆u
k p
,
,
v = ∆ ∆ ∆u uk1 1
1 1 1� � � �… …v
… � ∆ vp
1
(sm., naprymer, [6]). Poπtomu dlq ocenky toçnosty approksymacyy
bolee udobnoj qvlqetsq πkstremal\naq xarakterystyka — estestvennoe obob-
wenye analohyçnoj xarakterystyky v odnomernom sluçae [7]:
Km n r s k p t, , , , , ( , )τ df=
df= sup
; ,
(
( )
( )
,
( ,
m n f G U V
f
r s
m n
L Q
k p
r s
E 2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( )
Ω ))
( , )
; , )
: ( , ) ( ), ( , )
/ /t m n
f x y L Q f x yr s
τ
∈ ≠
2 const
.
Teorema�2. Pust\ m , n , r , s ∈ N . Tohda dlq lgb¥x çysel t , τ ∈ [ / ],0 2π
spravedlyv¥ ravenstva
Km n r s k p t, , , , , ( , )τ = 2 1 2 1
2 2
−
{ } −
{ }− −sin sin/ /t
t
k pτ
τ
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
860 M. Í. ÍABOZOV, M.:O. AKOBYRÍOEV
Dokazatel\stvo. Yspol\zuq ravenstvo Parsevalq, yz sootnoßenyq (5) dlq
proyzvol\noj funkcyy f x y L Qr s( , ) ( )( , )∈ 2 v sylu ortohonal\nosty system¥
funkcyj ei jx ly( )+ , j, l = 0, ± 1, ± 2, … , v oblasty Q poluçaem
∆u
k p r sf x y,
, ( , )( , )v
2
=
j
r
l
s
jl u
k p i jx lyij il c f e
= −∞
+∞
= −∞
+∞
+∑ ∑ ( ) ( ) ( ) ,
, ( )∆ v =
=
2 1 12 2 2
1 1
k p
j
r
l
s
jl
k p
j l c f ju l+
= −∞
+∞
= −∞
+∞
= =
∑ ∑ ∏ ∏− −( ) ( cos ) ( cos )
ν
ν
µ
µv . (14)
Podstavlqq sootnoßenye (14) v ravenstvo (13), s uçetom opredelenyq nayluç-
ßeho pryblyΩenyq
E f G U Vm n L Q
; ,( )
( )2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( ) y toho fakta [8, c. 435], çto
max sin :/u u u mt≥{ } = sin /mt mt , 0 < mt ≤ π / 2 ,
posle nesloΩn¥x v¥çyslenyj poluçaem
Ωk p
r sf t,
( , )( ; , )2 τ ≥ 2 1 12 2 2k p
j m l n
r s
jl
k p
j l c f
jt
jt
l
l
+
≥ ≥
∑ ∑ −
−
( )
sin sin τ
τ
≥
≥ 2 1 2 1 2 2 2
2 1 2 1
2
−
{ } −
{ } ( )−
∗
−
∗sin sin
; ,( )
( )
mt
mt
n
n
m n f G U V
k p
r s
m n L Q
τ
τ
E .
Otsgda sleduet, çto dlq lgboho f x y L Qr s( , ) ( )( , )∈ 2 v¥polnqetsq neravenstvo
m n f G U V
f t
r s
m n L Q
k p
r s
E ; ,
( ; , )
( )
( )
,
( , )
2 1 2 1
2
−
∗
−
∗( )
Ω τ
≤ 2 1 2 1
2 2
−
{ } −
{ }− −sin sin/ /mt
mt
n
n
k pτ
τ
. (15)
Polahaq v neravenstve (15) mt = u, nτ = v, ymeem
Km n r s k p t, , , , , ( , )τ ≤ 2 1 2 1
2 2
−
{ } −
{ }− −sin sin/ /t
t
k pτ
τ
. (16)
Dlq poluçenyq sootvetstvugwej ocenky snyzu rassmotrym v L Q2( ) πkstre-
mal\nug funkcyg f x y∗( , ) = sin sinmx ny . Dlq πtoj funkcyy
E f G U Vm n L Q∗ −
∗
−
∗( ); ,( )
( )2 1 2 1
2
≡ 1
y
Ωk p
r sf
t
m n,
( , ); ,∗
τ
= m n
t
t
r s
k p
2 1 2 1
2 2
−
{ } −
{ }sin sin/ /τ
τ
.
Sledovatel\no,
Km n r s k p t, , , , , ( , )τ ≥
m n f G U V
f t m n
r s
m n L Q
k p
r s
E ∗ −
∗
−
∗
∗
( ); ,
( ; , )
( )
/ /
( )
,
( , )
2 1 2 1
2
Ω τ
=
= 2 1 2 1
2 2
−
{ } −
{ }− −sin sin/ /t
t
k pτ
τ
. (17)
UtverΩdenye teorem¥:2 sleduet yz sopostavlenyq neravenstv (16) y (17).
4. Pust\ Φ j t( ), j = 1, 2; 0 ≤ t < ∞ , — monotonno vozrastagwye funkcyy,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
O TOÇNÁX ZNAÇENYQX KVAZYPOPEREÇNYKOV NEKOTORÁX KLASSOV … 861
ravn¥e nulg v toçke t = 0. Dlq k, r, s ∈ N y h, η > 0 vvedem v rassmotrenye
sledugwye klass¥ funkcyj:
F k r s, , ; ,Φ Φ1 2( ) df= f x y L f t dtdr s
h
k
k r s( , ) : ( ; , )( , ) / ( , )∈ ≤∫ ∫2
0 0
2
η
ω τ τ ΦΦ Φ1 2( ) ( )h η
,
Fk
r s h( , )( ), η df= f x y L f t dtdr s
h
k
k r s( , ) : ( ; , )( , ) / ( , )∈ ≤∫ ∫2
0 0
2
η
ω τ τ 11
,
W r s
k p
( , )
, ; ,Ω Φ Φ1 2( ) df= f x y L f h hr s
k p
r s( , ) : ( ; , ) ( ) ( )( , )
,
( , )∈ ≤{ }2 1 2Ω Φ Φη η .
Sledugwye nyΩe teorem¥ qvlqgtsq osnovn¥my rezul\tatamy dannoj ra-
bot¥.
Teorema�3. Esly maΩorant¥ Φ j u( ) , j = 1, 2, pry lgbom q ∈ N udovlet-
vorqgt ohranyçenyqm
Φ
Φ
j
j
u
q
( )
( )/π 2
≥
2
2
0
2π
π
π π−
− < ≤
− >
qt qt t q
qt t q
sin , ,
, ,
/
/
esly
esly
(18)
to dlq lgb¥x m , n , r , s , k ∈ N ymegt mesto ravenstva
d k r s L Qm n2 1 2 1 1 2 2− −, ( )( , , ; , ); ( )F Φ Φ =
′ − −d k r s L Qm n2 1 2 1 1 2 2, ( )( , , ; , ); ( )F Φ Φ =
= E F( ( ))( , , ; , ); ,k r s G U Vm nΦ Φ1 2 2 1 2 1−
∗
−
∗ = e k r s G U Vm n( ( ))( , , ; , ); ,F Φ Φ1 2 2 1 2 1−
∗
−
∗ =
= m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ .
Sledstvye�1. Esly v¥polnen¥ uslovyq teorem¥:3, to ymeet mesto raven-
stvo
sup ( ) : ( , ) ( , , ; , )c f f x y k r smn ∈{ }F Φ Φ1 2 = m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ .
Teorema�4. Pust\ m , n , r , s , k ∈ N y dlq h, η > 0 v¥polnen¥ uslovyq
0 < mh, nη < π / 2 . Tohda spravedlyv¥ ravenstva
d h Lm n k
r s
2 1 2 1 2− −,
,( )( , );F η =
′ − −d h Lm n k
r s
2 1 2 1 2,
,( )( , );F η =
= E F( ( )), ( , ); ,k
r s
m nh G U Vη 2 1 2 1−
∗
−
∗ = e h G U Vk
r s
m n( ( )), ( , ); ,F η 2 1 2 1−
∗
−
∗ =
= m n
mn
mh mh n n
r s
k
− −
− −
4
2
( sin )( sin )
/
η η
.
Yz teorem¥:4 v¥tekaet takoe sledstvye.
Sledstvye�2. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq teorem¥:3. Tohda
sup ( ) : ( , ) ( , ),c f f x y hmn k
r s∈{ }F η =
= m n
mn
mh mh n n
r s
k
− −
− −
4
2
( sin )( sin )
/
η η
,
hde çysla m, n ∈ N udovletvorqgt neravenstvam m ≤ π / ( 2h ) , n ≤ π / ( 2η ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
862 M. Í. ÍABOZOV, M.:O. AKOBYRÍOEV
Teorema�5. Pust\ pry lgbom q ∈ N maΩoryrugwye funkcyy Φ j u( ) , j =
= 1, 2, udovletvorqgt ohranyçenyg
Φ
Φ
j
j
u q
q
2
2
2
2
( )
( )
/
/
π
π
≥
π
π
π π
−
− < ≤
2
1 2 2 0 2
2
m mt t t( sin( ) ( )) , ,/ / esly
mm mt t( ) , ./1 1 2− ≤ < ∞
esly
Tohda ymegt mesto ravenstva
d W Lm n
r s
k p2 1 2 1 1 2 2− −,
,
,( )( ; , );Ω Φ Φ =
= ′ − −d W Lm n
r s
k p2 1 2 1 1 2 2,
,
,( )( ; , );Ω Φ Φ =
=
E( ( )),
,( ; , ); ,W G U Vr s
k p m nΩ Φ Φ1 2 2 1 2 1−
∗
−
∗
=
= e W G U Vr s
k p m n( ( )),
,( ; , ); ,Ω Φ Φ1 2 2 1 2 1−
∗
−
∗
=
=
π
π
π π
2 2
1
2 2
2
1 2( )
( )/
−
+m n
r sm n m n
Φ Φ .
5. Dokazatel\stvo teorem¥�3. Polahaq v neravenstve (12) t = π / ( 2m ) ,
τ = π / ( 2n ) , dlq proyzvol\noj funkcyy f x y k r s( , ) ( , , ; , )∈F Φ Φ1 2 zapys¥vaem
E( ( )); , ( )f G U Vm n L Q2 1 2 1 2−
∗
−
∗ ≤ m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ .
Otsgda poluçaem ocenku sverxu dlq ukazann¥x kvazypopereçnykov:
d k r s Lm n2 1 2 1 1 2 2− −, ( )( , , ; , );F Φ Φ ≤
≤ ′ − −d k r s Lm n2 1 2 1 1 2 2, ( )( , , ; , );F Φ Φ ≤
≤ E F( ( ))( , , ; , ); ,k r s G U Vm nΦ Φ1 2 2 1 2 1−
∗
−
∗
≤
≤ e k r s G U Vm n( ( ))( , , ; , ); ,F Φ Φ1 2 2 1 2 1−
∗
−
∗
≤
≤ m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ . (19)
Dlq poluçenyq ocenky snyzu kolmohorovskoho kvazypopereçnyka budem sle-
dovat\ sxeme rassuΩdenyj rabot¥ [5], a ymenno, rassmotrym prostranstvo
L2 0 2ν π[ , ], sostoqwee yz funkcyj g u( ), ymegwyx absolgtno neprer¥vn¥e pro-
yzvodn¥e ( )ν − 1 - ho porqdka y ν -g proyzvodnug g u L( )( ) [ , ]ν π∈ 2 0 2 .
Vvedem klass¥ funkcyj
Fk
r ( )Φ1 = ϕ ω ϕ π
π
( ) : ( ; )
/
/ ( )x L t dt
m
r
m
k
k r∈ ≤
∫2
0
2
2
1 2
Φ ,
Fk
s ( )Φ2 = ψ ω ψ τ τ π
π
( ) : ( ; )
/
/ ( )y L d
n
s
n
k
k s∈ ≤
∫2
0
2
2
2 2
Φ ,
s pomow\g kotor¥x polahaem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
O TOÇNÁX ZNAÇENYQX KVAZYPOPEREÇNYKOV NEKOTORÁX KLASSOV … 863
F
∗( , , ; , )k r s Φ Φ1 2 = F Fk
r
k
s( ) ( )Φ Φ1 2� =
=
ϕ ψ ϕ ψ( ) ( ) : ( ) ( ), ( ) ( )x y x yk
r
k
s∈ ∈{ }F FΦ Φ1 2 .
Yspol\zuq ravenstvo (6), zapys¥vaem
d k r s L Qm n2 1 2 1 1 2 2− −
∗
, ( )( , , ; , ); ( )F Φ Φ =
= d L d Lm k
r
n k
s
2 1 1 2 2 1 2 20 2 0 2− −( ) ( )( ); [ , ] ( ); [ , ]F FΦ Φπ π , (20)
hde dk ( )⋅ — ob¥çn¥j kolmohorovskyj k -popereçnyk. Uçyt¥vaq ravenstvo:(20),
vklgçenye F
∗( , , ; , )k r s Φ Φ1 2 ⊂ F ( , , ; , )k r s Φ Φ1 2 , a takΩe rezul\tat S.:B.:Va-
karçuka [9]
d Lp k2 1 0 2 0 2− ( )( ); [ , ]F ν πΦ = p
p
p
k
−
−
ν
π
π
2 20
2
Φ
/
,
poluçenn¥j pry v¥polnenyy ohranyçenyj (18), poluçaem sledugwug ocenku
snyzu:
d k r s L Qm n2 1 2 1 1 2 2− −, ( )( , , ; , ); ( )F Φ Φ ≥
≥ d k r s L Qm n2 1 2 1 1 2 2− −
∗
, ( )( , , ; , ); ( )F Φ Φ =
= m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ . (21)
Sopostavlqq neravenstva (19) y (21), zaverßaem dokazatel\stvo teorem¥:3.
6. Dokazatel\stvo sledstvyq�1. Uçyt¥vaq oçevydnoe ravenstvo
c fmn( ) =
1
4 2π
f x y e dxdyi mx ny( , ) ( )− +∫∫ =
=
1
4 2 2 1 2 1π
f x y g f x y e dxdym n
i mx ny
Q
( , ) ( ; , ),
( )−[ ]− −
∗ − +∫∫ ,
hde
g f x ym n2 1 2 1− −
∗
, ( ; , ) =
=
j m l j l n j n l n
jl
i jx lyc f e
≤ − = −∞
+∞
= −∞
+∞
≤ − ≤ − ≤ −
+∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑− −
1 1 1 1
( ) ( )
∈ G U Vm n( , )2 1 2 1−
∗
−
∗ ,
y yspol\zuq neravenstvo Koßy – Bunqkovskoho, poluçaem ocenku sverxu
sup ( ) : ( , ) , , ; ,( )c f f x y k r smn ∈{ }F Φ Φ1 2 ≤
E ( )), ( , ( )f G U Vm n L Q2 1 2 1 2−
∗
−
∗ ≤
≤ m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ .
Dlq poluçenyq ocenky snyzu vvodym v rassmotrenye funkcyg
f x y1( , )
df= m n
mn
m n
er s
k
i mx ny− − +
−
( )
/
( )
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
864 M. Í. ÍABOZOV, M.:O. AKOBYRÍOEV
MoΩno dokazat\, çto f x y1( , ) ∈ F ( ), , ; ,k r s Φ Φ1 2 . Tohda
sup ( ) : ( , ) , , ; ,( )c f f x y k r smn ∈{ }F Φ Φ1 2 ≥
≥ c fmn( )1 = m n
mn
m n
r s
k
− −
−
( )
/
π
π π
2 2 22 1 2
2
Φ Φ .
Sravnyvaq poluçenn¥e ocenky sverxu y snyzu, poluçaem trebuemoe ravenst-
vo, çto y zaverßaet dokazatel\stvo sledstvyq:1.
Dokazatel\stva teorem:4, 5 y sledstvyq:2 ne pryvodqtsq, poskol\ku povto-
rqgt rassuΩdenyq, yspol\zovann¥e pry dokazatel\stve teorem¥:3. Otmetym,
çto pry dokazatel\stve ukazann¥x teorem sootvetstvenno yspol\zugtsq odno-
mern¥e rezul\tat¥ yz rabot [7, 9].
1. Vakarçuk S. B. O pryblyΩenyy dyfferencyruem¥x funkcyj mnohyx peremenn¥x // Mat.
zametky. – 1990. – 48, # 3. – S.:37 – 44.
2. Vakarçuk S. B. Kvazypopereçnyky funkcyonal\n¥x klassov v nekotor¥x banaxov¥x prost-
ranstvax analytyçeskyx funkcyj mnohyx kompleksn¥x peremenn¥x // Dokl. NAN Ukrayn¥.
Ser.:A. – 1992. – # 3. – S.:26 – 31.
3. Vakarçuk S. B., Íabozov M. Í. O toçn¥x znaçenyqx kvazypopereçnykov nekotor¥x funk-
cyonal\n¥x klassov // Ukr. mat. Ωurn. – 1996. – 48, # 3. – S.:301 – 308.
4. Vakarçuk S. B., Íabozov M. Í. Kvazypopereçnyky y optymyzacyq metodov smeßannoj ap-
proksymacyy mnohomern¥x synhulqrn¥x yntehralov s qdramy typa Hyl\berta // Tam Ωe. –
# 6. – S.:753 – 770.
5. Íabozov M. Í., Akobyrßoev M. O. Kvazypopereçnyky nekotor¥x klassov dyfferencyrue-
m¥x peryodyçeskyx funkcyj dvux peremenn¥x // Dokl. AN Rossyy. – 2005. – 404, # 4. –
S.:460 – 464.
6. StoroΩenko ∏. A., Krotov V. H., Osval\d P. Prqm¥e y obratn¥e teorem¥ typa DΩeksona v
prostranstvax Lp // Mat. sb. – 1975. – 98(140), # 3(11). – S.:395 – 415.
7. Vakarçuk S. B. Toçn¥e konstant¥ v neravenstvax typa DΩeksona y toçn¥e znaçenyq pope-
reçnykov funkcyonal\n¥x klassov yz L2 // Mat. zametky. – 2005. – 78, # 5. – S.:792 – 796.
8. Tajkov L. V. Neravenstva, soderΩawye nayluçßye pryblyΩenyq y modul\ neprer¥vnosty
funkcyj yz L2 // Tam Ωe. – 1976. – 20, # 3. – S.:433 – 438.
9. Vakarçuk S. B. Neravenstva typa DΩeksona y popereçnyky klassov funkcyj v L2 // Tam
Ωe. – 2006. – 80, # 1. – S.:11 – 19.
Poluçeno 01.08.08,
posle dorabotky — 24.12.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 6
|
| id | umjimathkievua-article-3063 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:31Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/d8/2c060201ba4a4249849a4eb74f775cd8.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30632020-03-18T19:44:24Z On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables O точных значениях квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных Akobirshoev, M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. We determine the exact values of Kolmogorov and linear quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables in the Hilbert space $L_2(Q)$. Знайдено точні значення величин колмогорівського i лінійного квазіпоперечників для деяких класів диференційовних періодичних функцій двох змінних у гільбертовому просторі $L_2(Q)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-06-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3063 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 6 (2009); 855-864 Український математичний журнал; Том 61 № 6 (2009); 855-864 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3063/2875 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3063/2876 Copyright (c) 2009 Akobirshoev M. O.; Shabozov M. Sh. |
| spellingShingle | Akobirshoev, M. O. Shabozov, M. Sh. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. Акобиршоев, M. O. Шабозов, М. Ш. On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| title | On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| title_alt | O точных значениях квазипоперечников некоторых
классов дифференцируемых периодических функций двух переменных |
| title_full | On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| title_fullStr | On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| title_full_unstemmed | On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| title_short | On exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| title_sort | on exact values of quasiwidths for some classes of differentiable periodic functions of two variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3063 |
| work_keys_str_mv | AT akobirshoevmo onexactvaluesofquasiwidthsforsomeclassesofdifferentiableperiodicfunctionsoftwovariables AT shabozovmsh onexactvaluesofquasiwidthsforsomeclassesofdifferentiableperiodicfunctionsoftwovariables AT akobiršoevmo onexactvaluesofquasiwidthsforsomeclassesofdifferentiableperiodicfunctionsoftwovariables AT šabozovmš onexactvaluesofquasiwidthsforsomeclassesofdifferentiableperiodicfunctionsoftwovariables AT akobiršoevmo onexactvaluesofquasiwidthsforsomeclassesofdifferentiableperiodicfunctionsoftwovariables AT šabozovmš onexactvaluesofquasiwidthsforsomeclassesofdifferentiableperiodicfunctionsoftwovariables AT akobirshoevmo otočnyhznačeniâhkvazipoperečnikovnekotoryhklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT shabozovmsh otočnyhznačeniâhkvazipoperečnikovnekotoryhklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT akobiršoevmo otočnyhznačeniâhkvazipoperečnikovnekotoryhklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT šabozovmš otočnyhznačeniâhkvazipoperečnikovnekotoryhklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT akobiršoevmo otočnyhznačeniâhkvazipoperečnikovnekotoryhklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh AT šabozovmš otočnyhznačeniâhkvazipoperečnikovnekotoryhklassovdifferenciruemyhperiodičeskihfunkcijdvuhperemennyh |