Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations
Using the method of characteristics and the method of contracting mappings, we establish the local classical solvability of a problem for a hyperbolic system of quasilinear first-order equations with moving boundaries and nonlinear boundary conditions. Under additional assumptions on the monotonicit...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3064 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509090798632960 |
|---|---|
| author | Andrusyak, R. V. Burdeina, N. O. Kirilich, V. M. Андрусяк, Р. В. Бурдейна, Н. О. Кирилич, В. М. |
| author_facet | Andrusyak, R. V. Burdeina, N. O. Kirilich, V. M. Андрусяк, Р. В. Бурдейна, Н. О. Кирилич, В. М. |
| author_sort | Andrusyak, R. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | Using the method of characteristics and the method of contracting mappings, we establish the local classical solvability of a problem for a hyperbolic system of quasilinear first-order equations with moving boundaries and nonlinear boundary conditions. Under additional assumptions on the monotonicity and sign constancy of initial data and a restriction on the growth of the right-hand sides of the system, we formulate sufficient conditions for the global classical solvability of the problem. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:35Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.956
Р. В. Андрусяк, Н. О. Бурдейна, В. М. Кирилич (Львiв. нац. ун-т)
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI
З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ
СИСТЕМИ КВАЗIЛIНIЙНИХ РIВНЯНЬ
Applying the method of characteristics and method of contractive mappings, the local classical solvability of
problem with movable boundaries and nonlinear boundary conditions for a hyperbolic system of quasilinear
equations of the first order is established. Under additional assumptions on the monotonicity and constant
sign of initial data as well as under the restriction on growth of the right-hand sides of the system, sufficient
conditions of the global classical solvability of the problem are formulated.
С помощью методов характеристик и сжимающих отображений установлена локальная классическая
разрешимость задачи с движущимися границами с нелинейными граничными условиями для гипербо-
лической системы квазилинейных уравнений первого порядка. При выполнении дополнительных пред-
положений о монотонности, знакопостоянстве исходных данных, а также ограничении на рост правых
частей системы изложены достаточные условия глобальной классической разрешимости задачи.
Вступ. У данiй роботi розглянуто iснування та єдинiсть локального i глобаль-
ного класичних розв’язкiв мiшаної задачi для квазiлiнiйної гiперболiчної системи
рiвнянь першого порядку. Подiбнi задачi виникають у багатьох прикладних проб-
лемах, якi моделюються рiвняннями з частинними похiдними, або як промiжнi при
розв’язуваннi, наприклад, багатовимiрних задач [1 – 6].
Стаття є продовженням дослiджень [7, 8] на випадок iснування єдиного гладкого
локального та глобального розв’язкiв задачi з рухомими межами. При доведеннi
основних тверджень використано методику iз [9, 10].
Постановка задачi. В областi GT =
{
(x, t) ∈ R2 : a1(t) < x < a2(t), 0 < t <
< T
}
, де ak : [0, T ] → R, ak ∈ C1[0, T ], ak(0) = a0
k, k = 1, 2, розглянемо систему
квазiлiнiйних рiвнянь з частинними похiдними
∂ui
∂t
+ λi(x, t, u)
∂ui
∂x
= fi(x, t, u), i = 1, n, n ∈ N, u = (u1, . . . , un), (1)
причому функцiї λi, fi : R× [0, T ]× Rn → R є заданими.
Нехай
I1 =
{
i | λi(a0
1, 0, g(a
0
1)) > a′1(0)
}
, I2 =
{
i | λi(a0
2, 0, g(a
0
2)) < a′2(0)
}
.
Множини I1 та I2 можуть перетинатись, а I1 ∪ I2 не обов’язково збiгається з
{1, . . . , n}.
Задамо початковi та граничнi умови
u(x, 0) = g(x), g(x) = (g1(x), . . . , gn(x)), a0
1 ≤ x ≤ a0
2, (2)
ui(ak(t), t) = µi
k
(
t, {us(ak′(t), t)}k′=1,2
s/∈Ik′
)
, i ∈ Ik, k = 1, 2, 0 ≤ t ≤ T, (3)
де функцiї µi
k : [0, T ]× R2n−card I1−card I2 → R.
c© Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7 867
868 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Локальна розв’язнiсть задачi. Введемо позначення
‖u‖ = max
i
|ui|, Bn
R =
{
u ∈ Rn : ‖u‖ ≤ R
}
, G = max
[a0
1,a0
2]
‖g(x)‖,
а також клас функцiй C1
L(GT0) =
{
u ∈ (C1(GT0))
n : ux ∈ (Lipx(GT0))
n
}
.
Означення. Класичним розв’язком задачi (1) – (3) будемо називати набiр
функцiй u(x, t) ∈ (C1(GT0))
n, T0 ≤ T, що задовольняє систему рiвнянь (1), почат-
ковi (2) i граничнi (3) умови. Якщо T0 < T, то такий розв’язок назвемо локальним,
а при T0 = T — глобальним.
Теорема 1. Нехай:
1) λi(x, t, u), fi(x, t, u) ∈ C1,0,1(GT×Bn
G+1) ∩ Lip(GT×Bn
G+1),
{
(λi)′x, (λi)′uj
,
(fi)′x, (fi)′uj
}
⊂ Lipx,u(GT ×Bn
G+1), i, j = 1, n;
2) gi(x) ∈ C1([a0
1, a
0
2]), g
′
i(x) ∈ Lip([a0
1, a
0
2]), i = 1, n;
3) ak(t) ∈ C1([0, T ]), a′k(t) ∈ Lip([0, T ]), k = 1, 2;
4) µi
k
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)
∈ C1
(
[0, T ]×B2n−card I1−card I2
G+1
)
,
{
µi
k, (µ
i
k)′t, (µ
i
k)′
wk′
s
}
⊂
⊂ Lip
(
[0, T ]×B2n−card I1−card I2
G+1
)
, i ∈ Ik, k = 1, 2, s /∈ Ik′ , k′ = 1, 2;
5) виконуються умови погодження нульового та першого порядкiв:
gi(a0
k) = µi
k
(
0,
{
gs(a0
k′)
}
k′=1,2,
s/∈Ik′
)
, i ∈ Ik, k = 1, 2,
(µi
k)′t
(
0,
{
gs(a0
k′)
}
k′=1,2
s/∈Ik′
)
+
∑
k′=1,2
s/∈Ik′
(µi
k)′
wk′
s
(
0, {gs(a0
k′)}k′=1,2
s/∈Ik′
)
×
×
[(
a′k′(0)− λs
(
a0
k′ , 0, g(a
0
k′)
))
g′s(a
0
k′) + fs(a0
k′ , 0, g(a
0
k′))
]
=
= fi
(
a0
k, 0, g(a
0
k)
)
+
(
a′k(0)− λi(a0
k, 0, g(a
0
k))
)
g′i(a
0
k), i ∈ Ik, k = 1, 2;
6) виконується умова
λi
(
a0
k, 0, g(a
0
k)
)
6= a′k(0), k = 1, 2, i = 1, n.
Тодi для довiльного достатньо малого T0 iснує локальний класичний розв’язок
задачi (1) – (3) в GT0 , до того ж єдиний у C1
L(GT0).
Доведення. Введемо позначення:
Λ = max
1≤i,j≤n
(x,t,u)∈GT×Bn
G+1
{
|λi(x, t, u)|, |(λi)′x(x, t, u)|, |(λi)′uj
(x, t, u)|
}
,
F = max
1≤i,j≤n
(x,t,u)∈GT×Bn
G+1
{
|fi(x, t, u)|, |(fi)′x(x, t, u)|, |(fi)′uj
(x, t, u)|
}
,
A = max
k=1,2
t∈[0,T ]
{
|ak(t)|, |a′k(t)|
}
, G1 = max
1≤i≤n
x∈[a0
1,a0
2]
∣∣g′i(x)∣∣,
M = max
k=1,2,i∈Ik,k′=1,2,s/∈Ik′ ,
t∈[0,T ],wk′
s ∈B1
G+1
{∣∣∣∣µi
k
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)∣∣∣∣,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 869∣∣∣∣(µi
k)′t
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)∣∣∣∣, ∣∣∣∣(µi
k)′
wk′
s
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)∣∣∣∣},
γ = min
1≤i≤n
k=1,2
∣∣λi(a0
k, 0, g(a
0
k))− a′k(0)
∣∣.
Нехай λ0 — стала Лiпшиця функцiй λi(x, t, u), (λi)′x(x, t, u), (λi)′uj
(x, t, u), i, j =
= 1, n, на множинiGT×Bn
G+1; f0 — стала Лiпшиця функцiй fi(x, t, u), (fi)′x(x, t, u),
(fi)′uj
(x, t, u), i, j = 1, n, на множинi GT × Bn
G+1; a0 — стала Лiпшиця функцiй
ak(t), a′k(t), k = 1, 2, на множинi [0, T ]; µ0 — стала Лiпшиця функцiй
µi
k
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)
, (µi
k)′t
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)
, (µi
k)′
wk′
s
(
t, {wk′
s }k′=1,2
s/∈Ik′
)
, i ∈ Ik, s /∈
/∈ Ik′ , k, k
′ = 1, 2, на множинi [0, T ] × B2n−card I1−card I2
G+1 ; g0 — стала Лiпшиця
функцiй gi(x), g′i(x), i = 1, n, на множинi [a0
1, a
0
2].
Визначимо функцiї ḡi(x), i = 1, n:
ḡi(x) =
gi(a0
1), якщо x < a0
1,
gi(x), якщо a0
1 ≤ x ≤ a0
2,
gi(a0
2), якщо x > a0
2.
Введемо метричний простiр Q = Q(T0, U, U1, L, L1), що складається з функцiй
u = (u1, . . . , un), ui ∈ C1(GT0), якi задовольняють умову (2) i наступнi обмеження:
H1)
∣∣ui(x, t)− ḡi(x)
∣∣ ≤ U, i = 1, n, (x, t) ∈ GT0 , де U ≤ 1;
H2) ui ∈ Lip(GT0 , L), i = 1, n;
H3)
∣∣∣∣ ∂∂xui(x, t)
∣∣∣∣ ≤ U1, i = 1, n, (x, t) ∈ GT0 ;
H4)
∂
∂x
ui ∈ Lipx(GT0 , L1), i = 1, n.
Нехай {u, v} ⊂ Q, тодi метрику на елементах простору Q визначимо як
ρ(u, v) = max
1≤i≤n
(x,t)∈GT0
{∣∣ui(x, t)− vi(x, t)
∣∣, ∣∣∣∣∂ui
∂x
(x, t)− ∂vi
∂x
(x, t)
∣∣∣∣} .
Позначимо через ϕi(τ ;x, t, u), i = 1, n, розв’язок задачi Кошi
dξ
dτ
= λi(ξ, τ, u(ξ, τ)), ξ(t) = x, (4)
що є характеристиками системи рiвнянь (1), причому залежнiсть ϕi(τ ;x, t, u) вiд
u є функцiоналом. Ординату точки перетину функцiї ϕi з межею областi GT0 при
русi в напрямi спадання аргумента τ позначимо через χi(x, t;u), тобто
χi(x, t;u) = min{τ : (ϕi(τ ;x, t, u), τ) ∈ GT0}.
Встановимо обмеження на параметри простору Q, при яких для Λ0 > 0, ε0 ∈
∈
(
0, min
t∈[0,T ]
|a1(t)− a2(t)|
)
виконуються нерiвностi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
870 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ∣∣λi(x, t, u(x, t))− a′1(t)
∣∣ ≥ Λ0, t ∈ [0, T0],
a1(t) ≤ x ≤ a1(t) + ε0, u ∈ Q, i = 1, n,∣∣λi(x, t, u(x, t))− a′2(t)
∣∣ ≥ Λ0, t ∈ [0, T0],
a2(t)− ε0 ≤ x ≤ a2(t), u ∈ Q, i = 1, n.
(5)
Для визначеностi розглянемо першу нерiвнiсть∣∣λi(x, t, u)− a′1(t)
∣∣ = ∣∣∣λi(x, t, u)− λi(a0
1, 0, g(a
0
1))+
+λi(a0
1, 0, g(a
0
1))− (a′1(t)− a′1(0) + a′1(0))
∣∣∣ ≥
≥
∣∣λi(a0
1, 0, g(a
0
1))− a′1(0)
∣∣− ∣∣λi(x, t, u)− λi(a0
1, 0, g(a
0
1))
∣∣− ∣∣a′1(t)− a′1(0)
∣∣ ≥
≥ γ − λ0
(
ε0 +AT0 + T0 + nU + ng0(ε0 +AT0)
)
− a0T0 ≥ Λ0
за умови, що
λ0
(
ε0 +AT0 + T0 + nU + ng0(ε0 +AT0)
)
+ a0T0 ≤ γ − Λ0. (6)
Легко бачити, що при достатньо малих значеннях параметрiв U та T0 нерiв-
нiсть (6) виконується для деяких достатньо малого ε0 та Λ0 < γ.
Зiнтегрувавши рiвностi (1) уздовж вiдповiдних характеристик ξ = ϕi(τ ;x, t, u)
з використанням нерiвностей (5) та умов (2), (3), отримаємо систему iнтегро-
функцiональних рiвнянь
ui(x, t) = ϑi(x, t;u) +
t∫
χi(x,t;u)
fi
(
ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ)
)
dτ, i = 1, n,
(7)
де
ϑi(x, t;u) =
gi(ϕi(0;x, t, u)), якщо χi(x, t;u) = 0,
µi
k
(
χi(x, t;u),
{
us(ak′(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))
}
k′=1,2
s/∈Ik′
)
,
якщо χi(x, t;u) > 0, ϕi(χ(x, t;u);x, t, u) = ak(χi(x, t;u)),
i ∈ Ik, k = 1, 2.
Зауважимо, що набiр функцiй u ∈ Q, якi задовольняють систему (7), буде
класичним розв’язком задачi (1) – (3).
На елементах простору Q визначимо оператор S : u =
(
(Su)1, . . . , (Su)n
)
так,
що
(Su)i(x, t) = ϑ̃i(x, t, u, Su)+
+
t∫
χi(x,t;u)
fi
(
ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ)
)
dτ, i = 1, n,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 871
де
ϑ̃i(x, t, u, Su) =
gi(ϕi(0;x, t, u)), якщо χi(x, t;u) = 0,
µi
k
(
χi(x, t;u),
{
(Su)s(ak′(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))
}
k′=1,2
s/∈Ik′
)
,
якщо χi(x, t;u) > 0, ϕi(χi(x, t;u);x, t, u) = ak(χi(x, t;u)),
i ∈ Ik, k = 1, 2,
до того ж
(2A+ Λ)T0 ≤ a0
2 − a0
1. (8)
Покажемо, що iснує набiр параметрiв (T0, U, U1, L, L1), при яких оператор S
вiдображає повний метричний простiр (Q, ρ), ρ = ρ(u1, u2), в себе i є стискаючим.
Для отримання вiдповiдних оцiнок доведемо наступнi леми.
Лема 1. Нехай (xj , tj) ∈ GT0 , u
j ∈ Q, j = 1, 2. Тодi функцiя ϕi(τ ;x, t, u), що
є розв’язком задачi (4), задовольняє нерiвнiсть
|∆jϕi(τ ;xj , tj , u
j)| ≤ (|∆xj |+ Λ|∆tj |+ ρλ0T0)eλ0(1+nL)T0 .
Доведення. Запишемо ϕi(τ ;xj , tj , u
j), як розв’язок рiвняння (4), у виглядi
ϕi(τ ;xj , tj , u
j) = xj +
τ∫
tj
λi
(
ϕi(θ;xj , tj , u
j), θ, uj(ϕi(θ;xj , tj , u
j), θ)
)
dθ, j = 1, 2.
З рiзницi цих виразiв, застосовуючи до неї лему Гронуолла – Беллмана, отримуємо
твердження леми 1.
Введемо множини для v ∈ Q
Gi,v,g
T0
=
{
(x, t) ∈ GT0 | χi(x, t, v) = 0
}
, i = 1, n,
Gi,v,ak
T0
=
{
(x, t) ∈ GT0 | χi(x, t, v) > 0, ϕi(χi(x, t, v);x, t, v) = ak(χi(x, t; v))
}
,
i = 1, n, k = 1, 2.
Лема 2. Нехай
{
(x1, t), (x2, t)
}
⊂ Gi,u,ak
T0
, k = 1, 2, u ∈ Q, до того ж
параметри T0 та U є достатньо малими, а саме, задовольняють умови (6) та
(Λ +A)T0 ≤ ε0. (9)
Тодi виконується нерiвнiсть∣∣∆jχi(xj , t;u)
∣∣ ≤ Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0 |∆xj |.
Доведення. Нехай для визначеностi k = 1, x1 > x2. Тодi χi(x1, t;u) <
< χi(x2, t;u). Розглянемо рiзницю ϕi(τ ;x1, t, u) − a1(τ). За теоремою Лагранжа
справджується оцiнка∣∣ϕi(χi(x2, t, u);x1, t, u)− a1(χi(x2, t;u))
∣∣ =
=
∣∣∣λi(ϕi(τ0;x1, t, u), τ0, u(ϕi(τ0;x1, t, u), τ0))− a′1(τ0)
∣∣∣∣∣∆jχi(xj , t;u)
∣∣.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
872 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Оскiльки ∣∣ϕi(τ0;x1, t, u)− a1(τ0)
∣∣ ≤ (Λ +A)T0 ≤ ε0,
то отримуємо оцiнку∣∣ϕi(χi(x2, t;u);x1, t, u)− a1(χi(x2, t;u))| ≥ Λ0|∆jχi(xj , t;u)|,
з якої випливає нерiвнiсть∣∣∆jχi(xj , t;u)
∣∣ ≤ Λ−1
0 |ϕi(χi(x2, t;u);x1, t, u)− a1(χi(x2, t;u))| ≤
≤ Λ−1
0
∣∣∆jϕi(χi(x2, t;u);xj , t, u)
∣∣ ≤ Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0 |∆xj |.
Лему доведено.
Припустимо, що
λ0(1 + nL)T0 ≤ 1. (10)
Тодi eλ0(1+nL)T0 ≤ e, що спрощує оцiнки попереднiх лем.
Нехай u ∈ Q, встановимо обмеження на параметри метричного простору Q,
при яких Su задовольняє умови H1 – H4.
Дослiдимо, за яких умов (Su)i, i = 1, n, задовольняє обмеження H1 просторуQ.
Розглянемо випадок χi(x, t;u) = 0. Оскiльки∣∣(Su)i(x, t)− ḡi(x)
∣∣ ≤ |gi(ϕi(0;x, t, u))− ḡi(x)|+
+
t∫
χi(x,t,u)
|fi(ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ))dτ | ≤
≤ g0|ϕi(0;x, t, u)− x|+ FT0 ≤ (g0Λ + F )T0,
то необхiдним є виконання нерiвностi
(g0Λ + F )T0 ≤ U. (11)
Розглянемо випадок χi(x, t, u) > 0. Припустимо, що T0 достатньо мале, щоб
задовольнити нерiвнiсть
T0f0(1 + nL)max{1, A+ Λ}e ≤ 1. (12)
Тодi, враховуючи оцiнку∣∣∆jϕi(τ ; ak(tj), tj , u)
∣∣ ≤ (A+ Λ)e|∆tj |, (13)
отримуємо∣∣∆j(Su)i(ak(tj), tj)
∣∣ ≤ ((g0 + T0f0(1 + nL))(A+ Λ)e+ F )|∆tj | ≤ k1|∆tj |,
де k1 = g0(A+ Λ)e+ F + 1.
Використовуючи встановлену оцiнку, маємо∣∣(Su)i(x, t)− ḡi(x)
∣∣ ≤ FT0 + µ0(1 + 2nk1)T0 + g0(Λ +A)T0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 873
Отже, якщо [
F + µ0(1 + 2nk1) + g0(Λ +A)
]
T0 ≤ U, (14)
то ∣∣(Su)i(x, t)− ḡi(x)
∣∣ ≤ U, (x, t) ∈ GT0 .
Перейдемо до дослiдження умов, за яких (Su)i, i = 1, n, задовольняє обмежен-
ня H2. Розглянемо випадок χi(x, t;u) = 0, тодi∣∣∆j(Su)i(xj , t)
∣∣ ≤ (g0 + T0f0(1 + nL))e|∆xj | ≤ (g0e+ 1)|∆xj |.
У випадку χi(x, t;u) > 0∣∣∆j(Su)i(xj , t)
∣∣ ≤ (µ0(1 + 2nk1)Λ−1
0 e+ T0f0(1 + nL)e+ FΛ−1
0 e)|∆xj |.
Отже, в будь-якому випадку справджується оцiнка∣∣∆j(Su)i(xj , t)
∣∣ ≤ k2|∆xj |,
де k2 = max
{
g0e, µ0(1 + 2nk1)Λ−1
0 e + FΛ−1
0 e
}
+ 1. Оскiльки
∣∣∆j(Su)i(x, tj)
∣∣ ≤
≤ (F + Λk2)|∆tj |, то (Su)i ∈ Lip(GT0 , L), якщо
F + max{1,Λ}k2 ≤ L. (15)
Перейдемо до перевiрки умови H3. Зауважимо, що
∂(Su)i
∂x
(x, t) =
∂ϑ̃i
∂x
(x, t, u, Su) + (Y u)i(x, t) + (Zu)i(x, t),
де
∂ϑ̃i
∂x
(x, t, u, Su) =
=
g′i(ϕi(0;x, t, u))
∂ϕi
∂x
(0;x, t, u), якщо χi(x, t;u) = 0,[(
µi
k)′t(χi(x, t;u), {(Su)s(ak′(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))}k′=1,2
s/∈Ik′
)
+
+
∑
s/∈Ik′
k′=1,2
(
µi
k)′
wk′
s
(χi(x, t;u),
{
(Su)s(ak′(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))
}
k′=1,2
s/∈Ik′
)
×
×
[
∂(Su)s
∂x
(ak′(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))a′k′(χi(x, t;u))+
+
∂(Su)s
∂t
(ak′(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))
]]
∂χi
∂x
(x, t;u),
якщо χi(x, t;u) > 0,
ϕi(χ(x, t;u);x, t, u) = ak(χi(x, t;u)), i ∈ Ik, k = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
874 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
(Y u)i(x, t) =
=
0, якщо χi(x, t;u) = 0,
−fi
(
ak(χi(x, t;u)), χi(x, t;u), u(ak(χi(x, t;u)), χi(x, t;u))
)∂χi
∂x
(x, t;u),
якщо χi(x, t;u) > 0, ϕi(χ(x, t;u);x, t, u) = ak(χi(x, t;u)),
i ∈ Ik, k = 1, 2,
(Zu)i(x, t) =
t∫
χi(x,t;u)
(
(fi)′x(ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ)) +
+
n∑
j=1
(fi)′uj
(ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ))×
×∂uj
∂x
(ϕi(τ ;x, t, u), τ)
)
∂ϕi
∂x
(τ ;x, t, u)dτ.
Крiм того, якщо χi(x, t;u) = 0, то
∂(Su)i
∂t
(x, t) = g′i
(
ϕi(0;x, t, u)
)∂ϕi
∂t
(0;x, t, u) + fi(x, t, u(x, t)) +
+
t∫
0
(
(fi)x
(
ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ)
)
+
+
n∑
j=1
(fi)′uj
(
ϕi(τ ;x, t, u), τ, u(ϕi(τ ;x, t, u), τ)
)
×
×∂uj
∂x
(ϕi(τ ;x, t, u), τ)
)
∂ϕi
∂t
(τ ;x, t, u)dτ.
Зазначимо, що виконуються рiвностi
∂ϕi
∂x
(τ ;x, t, u) = exp
t∫
τ
{
−
(
(λi)′x
(
ϕi(θ;x, t, u), θ, u(ϕi(θ;x, t, u), θ)
)
+
+
n∑
j=1
(λi)′uj
(
ϕi(θ;x, t, u), θ, u(ϕi(θ;x, t, u), θ)
)∂uj
∂x
(ϕi(θ;x, t, u), θ)
)}
dθ,
∂χi
∂x
(x, t;u) =
=
∂ϕi
∂x
(χi(x, t;u);x, t, u)
a′k(χi(x, t;u))− λi(ak(χi(x, t;u)), χi(x, t;u), u(ak(χi(x, t;u)), χi(x, t;u)))
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 875
∂ϕi
∂t
(τ ;x, t, u) =
= −λi(x, t, u(x, t)) exp
t∫
τ
{
−
(
(λi)′x(ϕi(θ;x, t, u), θ, u(ϕi(θ;x, t, u), θ)) +
+
n∑
j=1
(λi)′uj
(
ϕi(θ;x, t, u), θ, u(ϕi(θ;x, t, u), θ)
)∂uj
∂x
(ϕi(θ;x, t, u), θ)
)}
dθ.
Нехай χi(x, t;u) = 0 i
Λ(1 + nU1)T0 ≤ 1, (16)
тодi мають мiсце оцiнки∣∣∣∣∂(Su)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ G1e+ T0F (1 + nU1)e,∣∣∣∣∂(Su)i
∂t
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ G1Λe+ F + T0F (1 + nU1)Λe,
або ∣∣∣∣∂(Su)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ G1e+ 1,∣∣∣∣∂(Su)i
∂t
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ G1Λe+ F + 1,
якщо
T0F (1 + nU1) max{1,Λ}e ≤ 1. (17)
При χi(x, t;u) > 0∣∣∣∣∂(Su)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ (M + 2nM((G1e+ 1)A+ (G1Λe+ F + 1))
)
eΛ−1
0 + FeΛ−1
0 + 1.
Таким чином, ми можемо забезпечити виконання нерiвностi∣∣∣∣∂(Su)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ U1, (x, t) ∈ GT0 ,
якщо
max
{[
M +F + 2nM((G1e+ 1)A+ (G1Λe+F + 1))
]
eΛ−1
0 , G1e
}
+ 1 ≤ U1. (18)
Розглянемо умову H4, тобто переконаємося, що
∂(Su)i
∂x
∈ Lip(GT0 , L1), i =
= 1, n.
Лема 3. Нехай (xj , t) ∈ GT0 , j = 1, 2, u ∈ Q. Тодi справджується оцiнка∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τ ;xj , t, u)
∣∣∣∣ ≤ k3|∆xj |,
де k3 = eΛ(1+nU1)T0T0
(
λ0(1 + nL)(1 + nU1) + nΛL1
)
eλ0(1+nL)T0 .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
876 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Доведення. Застосувавши нерiвнiсть |ea − eb| ≤ ec|a − b|, де c ∈ (a, b), та
провiвши вiдповiднi оцiнки, отримаємо твердження леми 3.
В умовах теореми 1 k3 ≤ T0(λ0(1+nL)(1+nU1)+nΛL1)e2, тому, припускаючи
виконання нерiвностi
T0
(
λ0(1 + nL)(1 + nU1) + nΛL1
)
e2 ≤ 1, (19)
отримуємо оцiнку k3 ≤ 1.
Лема 4. Нехай (x, t) ∈ GT0 , τj ∈ [χi(x, t;u), t], j = 1, 2, u ∈ Q. Тодi∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τj ;x, t, u)
∣∣∣∣ ≤ eΛ(1+nU1)T0Λ(1 + nU1)|∆τj |.
Доведення з незначними змiнами повторює доведення леми 3.
Iз припущень теореми 1 отримаємо∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τj ;x, t, u)
∣∣∣∣ ≤ Λ(1 + nU1)e|∆τj |.
Лема 5. Нехай (xj , t) ∈ GT0 , j = 1, 2, u ∈ Q, а також виконуються умови
леми 2. Тодi∣∣∣∣∆j
∂χi
∂x
(xj , t;u)
∣∣∣∣ ≤ (Λ−1
0 (k3 + eΛ(1+nU1)T0Λ(1 + nU1)Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0) +
+ eΛ(1+nU1)T0Λ−2
0 (a0 + λ0(1 + nL)(A+ 1))Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0
)
|∆xj |.
Доведення безпосередньо випливає з означень вiдповiдних функцiй та поперед-
нiх оцiнок.
Позначимо k4 = Λ−1
0 (1 + e2Λ(1 + nU1)Λ−1
0 ) + e2Λ−3
0 (a0 + λ0(1 + nL)(A+ 1)),
тодi, враховуючи припущення, маємо∣∣∣∣∆j
∂χi
∂x
(xj , t;u)
∣∣∣∣ ≤ k4|∆xj |.
Нехай χi(x, t;u) = 0, тодi∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂x
(xj , t)
∣∣∣∣ ≤ (G1 + g0e
2 + T0(f0(1 + nL)(1 + nU1) + nFL1)e2+
+T0F (1 + nU1)
)
|∆xj |.
Якщо
T0
[
(f0(1 + nL)(1 + nU1) + nFL1)e2 + F (1 + nU1)
]
≤ 1, (20)
то ∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂x
(xj , t)
∣∣∣∣ ≤ (G1 + g0e
2 + 1)|∆xj |.
Для випадку χi(x, t;u) > 0 також наведемо оцiнки, сформульованi у виглядi на-
ступних двох лем.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 877
Лема 6. Нехай tj ∈ [0, T0], j = 1, 2, u ∈ Q. Тодi∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τ ; ak(tj), tj , u)
∣∣∣∣ ≤
≤ (T0e
Λ(1+nU1)T0eλ0(1+nL)T0(A+ Λ)(λ0(1 + nL)(1 + nU1) +
+ nΛL1) + eΛ(1+nU1)T0Λ(1 + nU1))|∆tj |.
Зауважимо, що якщо
T0e
2(A+ Λ)(λ0(1 + nU1)(1 + nL) + nΛL1) ≤ 1, (21)
то ∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τ ; ak(tj), tj , u)
∣∣∣∣ ≤ k5|∆tj |,
де k5 = 1 + eΛ(1 + nU1).
Лема 7. Нехай tj ∈ [0, T0], j = 1, 2, u ∈ Q, а також виконуються умови
леми 2. Тодi ∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂t
(τ ; ak(tj), tj , u)
∣∣∣∣ ≤
≤
(
λ0(1 + nL)(A+ 1)eΛ(1+nU1)T0 + Λ(T0e
Λ(1+nU1)T0×
×eλ0(1+nL)T0(A+ Λ)(λ0(1 + nL)(1 + nU1) +
+ nΛL1) + eΛ(1+nU1)T0Λ(1 + nU1))
)
|∆tj |.
Доведення цих лем безпосередньо випливають з означень функцiй ϕi(τ ;x, t, u),
i = 1, n.
Позначимо k6 = λ0(1 + nL)(A+ 1)e+ Λk5. Тодi∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂t
(τ ; ak(tj), tj , u)
∣∣∣∣ ≤ k6|∆tj |.
На основi цих оцiнок маємо∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂x
(ak(tj), tj)
∣∣∣∣ ≤ [g0(A+ Λ)e2 +G1k5 + F (1 + nU1)e+ T0(f0(1 + nL)×
×(1 + nU1) + nFL1)e2(A+ Λ) + T0F (1 + nU1)k5
]
|∆tj |.
Якщо ж
T0
(
(f0(1 + nL)(1 + nU1) + nFL1)e2(A+ Λ) + F (1 + nU1)k5
)
≤ 1, (22)
то∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂x
(ak(tj), tj)
∣∣∣∣ ≤ [g0(A+ Λ)e2 +G1k5 +F (1 +nU1)e+ 1
]
|∆tj | = k7|∆tj |.
Перейдемо до оцiнки рiзницi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
878 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂t
(ak(tj), tj)
∣∣∣∣ ≤
≤
[
g0(A+ Λ)e2Λ +G1k6 + f0(1 + nL)(A+ 1) + ΛeF (1 + nU1) +
+ T0(f0(1 + nL)(A+ Λ)e(1 + nU1) + nFL1(A+ Λ)e)eΛ + T0F (1 + nU1)k6
]
|∆tj |.
Зазначимо, що якщо має мiсце нерiвнiсть
T0
(
(f0(1 + nL)(1 + nU1) + nFL1)(A+ Λ)e2Λ + F (1 + nU1)k6
)
≤ 1, (23)
то ∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂t
(ak(tj), tj)
∣∣∣∣ ≤
≤
[
g0(A+ Λ)e2Λ +G1k6 + f0(1 + nL)(A+ 1) + ΛeF (1 + nU1) + 1
]
|∆tj | =
= k8|∆tj |.
Легко бачити, що виконується нерiвнiсть∣∣∣∣∂(Su)i
∂x
(ak(t), t)a′k(t) +
∂(Su)i
∂t
(ak(t), t)
∣∣∣∣ ≤ (G1e+ 1)A+G1Λe+ F + 1 = k9.
Повернемось до перевiрки умови H4 при χi(x, t;u) > 0, тобто∣∣∣∣∆j
∂(Su)i
∂x
(xj , t)
∣∣∣∣ ≤
≤
[
µ0(1 + 2nk1)(1 + 2nk9) + 2nM(k7A+ (G1e+ 1)a0 + k8)Λ−2
0 e2 +
+ M(1 + 2nk9)k4 + f0(A+ 1)(1 + nL)e2Λ−2
0 + Fk4 + 1 + F (1 + nU1)e2Λ−1
0
]
|∆xj |.
Отже,
∂(Su)i
∂x
∈ Lip(GT0 , L1), i = 1, n, якщо
max
{
µ0(1 + 2nk1)(1 + 2nk9) + 2nM(k7A+ (G1e+ 1)a0 + k8)Λ−2
0 e2 +
+ M(1 + 2nk9)k4 + f0(A+ 1)(1 + nL)e2Λ−2
0 + Fk4 +
+ F (1 + nU1)e2Λ−1
0 , G1 + g0e
2
}
+ 1 ≤ L1. (24)
Тепер дослiдимо стискаючi властивостi оператора S у просторi Q. Для цього
нам знадобляться оцiнки, сформульованi у наступних лемах.
Лема 8. Нехай (x, t) ∈ GT0 , u
j ∈ Q, j = 1, 2, а параметри U та T0 задо-
вольняють умови леми 2. Тодi виконується нерiвнiсть∣∣∆jχi(x, t;uj)
∣∣ ≤ Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0λ0T0ρ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 879
Доведення. Нехай k = 1 i χi(x, t;u1) > χi(x, t;u2). Розглянемо рiзницю
ϕi(τ ;x, t, u2)− a1(τ). За теоремою Лагранжа має мiсце оцiнка∣∣ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u2)− a1(χi(x, t;u1))
∣∣ =
=
∣∣∣λi(ϕi(τ0;x, t, u2), τ0, u2(ϕi(τ0;x, t, u2), τ0))− a′1(τ0)
∣∣∣|∆jχi(xj , t;u)| ≥
≥ Λ0|∆jχi(x, t;uj)|.
На пiдставi леми 1 маємо∣∣∆jχi(x, t;uj)
∣∣ ≤ Λ−1
0 |∆jϕi(χi(x, t;u1);x, t, uj)| ≤ Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0λ0T0ρ.
Лему 8 доведено.
При виконаннi припущень теореми 1 оцiнка з цiєї леми дещо спроститься:
|∆jχi(x, t;uj)| ≤ Λ−1
0 eλ0T0ρ.
Лема 9. Нехай (x, t) ∈ Gi,u1,ak
T0
∩ Gi,u2,g
T0
, uj ∈ Q, j = 1, 2, a параметри U
та T0 задовольняють умови леми 2. Тодi виконується нерiвнiсть∣∣ϕi(0;x, t, u2)− a0
k
∣∣ ≤ eλ0(1+nL)T0λ0T0ρ.
Доведення. Нехай ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u1) = a1(χi(x, t;u1)). Розглянемо функ-
цiю
Φ(τ) = λi(ϕi(τ ;x, t, u2), τ, u2(ϕi(τ ;x, t, u2), τ))− a′1(τ).
Легко бачити, що Φ(t) ≥ Λ0. З рiвномiрної неперервностi Φ(τ) на [0, t] випливає
iснування такого δ > 0, що як тiльки Φ(τ0) ≥ Λ0, τ0 ∈ [0, t], то Φ(τ) ≥ Λ0/2,
τ ∈ [τ0−δ, τ0]. Тому Φ(τ) ≥ Λ0/2 > 0, τ ∈ [t−δ, t], а отже, рiзниця ϕi(τ ;x, t, u2)−
− a1(τ), τ ∈ [t− δ, t], монотонно зростає при збiльшеннi τ.
Таким чином, |ϕi(t−δ;x, t, u2)−a1(t−δ)| ≤ |x−a1(t)| ≤ ε0, а тому Φ(t−δ) ≥
≥ Λ0. Продовжуючи наведенi вище мiркування, отримуємо Φ(τ) ≥ Λ0/2 > 0,
τ ∈ [t−2δ, t−δ], а отже, рiзниця ϕi(τ ;x, t, u2)−a1(τ), τ ∈ [t−2δ, t−δ], монотонно
зростає при збiльшеннi τ. Тодi
∣∣ϕi(t− 2δ;x, t, u2)− a1(t− 2δ)
∣∣ ≤ ε0, звiдки Φ(t−
−2δ) ≥ Λ0. За скiнченне число крокiв отримаємо Φ(τ) ≥ Λ0 > 0, τ ∈ [0, t], а отже,
монотоннiсть рiзницi ϕi(τ ;x, t, u2)− a1(τ), τ ∈ [0, t].
Використовуючи теорему Лагранжа та зазначену монотоннiсть, маємо оцiнку∣∣ϕi(0;x, t, u2)− a0
1
∣∣ ≤ ∣∣∣ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u2)− a1(χi(x, t;u1)
∣∣∣ ≤
≤ |∆jϕi(χi(x, t;u1);x, t, uj)| ≤ eλ0(1+nL)T0λ0T0ρ.
Лему 9 доведено.
Лема 10. Нехай (x, t) ∈ Gi,u1,ak
T0
∩ Gi,u2, g
T0
, uj ∈ Q, j = 1, 2, до того ж
параметри U та T0 задовольняють умови леми 2. Тодi виконується нерiвнiсть
χi(x, t;u1) ≤ Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0λ0T0ρ.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
880 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Доведення. Нехай для визначеностi ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u1) = a1(χi(x, t;u1)).
Повторивши тi ж мiркування, що й при доведеннi леми 8, розглянемо рiзницю
ϕi(τ ;x, t, u2) − a1(τ). Використавши теорему Лагранжа та монотоннiсть вказаної
рiзницi, одержимо ∣∣∣ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u2)− a1(χi(x, t;u1))
∣∣∣ ≥
≥
∣∣∣(ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u2)− a1(χi(x, t;u1)))− (ϕi(0;x, t, u2)− a0
1)
∣∣∣ =
=
∣∣∣λi(ϕi(τ0;x, t, u2), τ0, u2(ϕi(τ0;x, t, u2), τ0))− a′1(τ0)
∣∣∣χi(x, t;u1) ≥
≥ Λ0χi(x, t;u1).
Отже,
χi(x, t;u1) ≤ Λ−1
0
∣∣ϕi(χi(x, t;u1);x, t, u2)− a1(χi(x, t;u1))
∣∣ ≤
≤ Λ−1
0 eλ0(1+nL)T0λ0T0ρ.
Лему 10 доведено.
Лема 11. Нехай (x, t) ∈ GT0 , u
j ∈ Q, j = 1, 2. Тодi∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τ ;x, t, uj)
∣∣∣∣ ≤ k10T0ρ,
де
k10 =
(
λ0((1 + nL)T0λ0e
λ0(1+nL)T0 + n)×
×(1 + nU1) + nΛ(L1λ0T0e
λ0(1+nL)T0 + 1)
)
eΛ(1+nU1)T0 .
Доведення є очевидним.
Враховуючи попереднi умови, а також припущення
L1λ0T0e ≤ 1, (25)
маємо ∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂x
(τ ;x, t, uj)
∣∣∣∣ ≤ k11T0ρ,
де k11 =
[
λ0(e+ n)(1 + nU1) + 2nΛ
]
e.
Введемо iншу метрику
ρ0(u, v) = max
(x,t)∈GT0
1≤i≤n
∣∣ui(x, t)− vi(x, t)
∣∣
i позначимо ρ0 = ρ0(u1, u2). Тодi наступнi очевиднi оцiнки сформулюємо також у
виглядi двох лем.
Лема 12. Нехай (x, t) ∈ GT0 , u
j ∈ Q, j = 1, 2. Тодi∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂t
(τ ;x, t, uj)
∣∣∣∣ ≤ k10ΛT0ρ+ λ0ne
Λ(1+nU1)T0ρ0.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 881
Лема 13. Нехай (x, t) ∈ GT0 , u
j ∈ Q, j = 1, 2. Тодi∣∣∣∣∆j
∂χi
∂x
(x, t;uj)
∣∣∣∣ ≤
≤ Λ−1
0 (k10 + eΛ(1+nU1)T0Λ(1 + nU1)Λ−1
0 λ0e
λ0(1+nL)T0)T0ρ +
+ eΛ(1+nU1)T0Λ−3
0 (a0 + λ0(A+ 1)(1 + nL))λ0e
λ0(1+nL)T0T0ρ +
+ λ0e
Λ(1+nU1)T0Λ−2
0 nρ0.
Безпосередньо з припущень теореми 1 випливає, що∣∣∣∣∆j
∂ϕi
∂t
(τ ;x, t, uj)
∣∣∣∣ ≤ k11ΛT0ρ+ λ0neρ0,∣∣∣∣∆j
∂χi
∂x
(x, t;uj)
∣∣∣∣ ≤ k12T0ρ+ λ0eΛ−2
0 nρ0,
де k12 = Λ−1
0 (k11 + e2Λ(1 + nU1)Λ−1
0 λ0) + e2Λ−3
0 (a0 + λ0(A+ 1)(1 + nL))λ0.
Перейдемо до оцiнки рiзницi
∣∣∆j(Suj)i(x, t)
∣∣. Нехай (x, t) ∈ GT0 , u
j ∈ Q,
j = 1, 2. Припустивши виконання нерiвностi
2(A+ Λ)T0 ≤ a0
2 − a0
1, (26)
розглянемо рiзнi випадки поведiнки характеристик ϕi(τ ;x, t, uj), j = 1, 2:
1) χi(x, t;uj) = 0, j = 1, 2; тодi∣∣∆j(Suj)i(x, t)
∣∣ ≤ g0λ0T0eρ+ T0f0(1 + nL)λ0T0eρ+ T0f0nρ ≤ k13T0ρ,
де k13 = g0λ0e+ f0(e+ n);
2) χi(x, t;uj) > 0, j = 1, 2; зауважимо, що тодi характеристики ϕi(τ ;x, t, uj),
j = 1, 2, перетинають одну iз меж ak(t), k = 1, 2, тому з ϕi(χi(x, t;uj);x, t, uj) =
= a1(χi(x, t;uj)), j = 1, 2, випливає оцiнка∣∣∆j(Suj)i(x, t)
∣∣ ≤
≤ µ0(1 + 2nk1)Λ−1
0 λ0eT0ρ+ 2nµ0k13T0ρ +
+ FΛ−1
0 λ0eT0ρ+ T0f0(1 + nL)λ0eT0ρ+ T0f0nρ ≤
≤
(
µ0(1 + 2nk1)Λ−1
0 λ0e+ 2nµ0k13 + FΛ−1
0 λ0e+ f0(e+ n)
)
T0ρ;
3) χi(x, t;u1) > 0, χi(x, t;u2) = 0; для визначеностi вважаємо, що ϕi(χi(x, t;
u1);x, t, u1) = a1(χi(x, t;u1)), тодi∣∣∆j(Suj)i(x, t)
∣∣ ≤ g0|ϕi(0;x, t, u2)− a0
1|+ µ0(1 + 2nk1)χi(x, t;u1) +
+ T0f0(1 + nL)λ0T0eρ+ T0f0nρ+ Fχi(x, t;u1) ≤ k14T0ρ,
де k14 = g0λ0e+ (µ0(1 + 2nk1) + F )Λ−1
0 λ0e+ f0(e+ n).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
882 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
Таким чином, в будь-якому iз цих випадкiв має мiсце оцiнка
|∆j(Suj)i(x, t)| ≤ (k14 + 2nµ0k13)T0ρ.
Тому
ρ0(Su1, Su2) ≤ (k14 + 2nµ0k13)T0ρ = K1T0ρ.
Тепер оцiнимо
∣∣∣∣∆j
∂
∂x
(Suj)i(x, t)
∣∣∣∣ при наведених випадках поведiнки характе-
ристик. Нехай χi(x, t;uj) = 0, j = 1, 2. Тодi∣∣∣∣∆j
∂(Suj)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤
≤ g0λ0e
2T0ρ+G1k11T0ρ+ T0[f0(1 + nL)λ0e(1 + nU1)T0ρ +
+ f0(1 + nU1)ρn+ nFL1λ0eT0ρ+ nFρ]e+ T0F (1 + nU1)k11T0ρ ≤ k15T0ρ,
де k15 = g0λ0e
2 + (G1 + 1)k11 + f0(1 + nU1)(e + n)e + 2neF. Наведемо ще одну
оцiнку для цього випадку, яка буде потрiбною у подальшому:∣∣∣∣∆j
∂(Suj)i
∂t
(x, t)
∣∣∣∣ ≤
≤ g0λ0e
2T0ρΛ +G1k11T0ρΛ +G1λ0neρ0 + f0nρ0 +
+ T0
[
f0(1 + nL)λ0eT0ρ(1 + nU1) + f0(1 + nU1)nρ+ nFL1λ0T0eρ+ nFρ
]
eΛ +
+ T0F (1 + nU1)(k11ΛT0ρ+ λ0neρ0) ≤
≤ k16T0ρ+ k17ρ0,
де k16 = g0λ0e
2Λ + Λ(G1 + 1)k11 +
[
f0(1 + nU1)(e + n) + 2nF
]
eΛ, k17 = (G1 +
+ 1)λ0ne+ f0n.
У випадку χi(x, t;uj) > 0, j = 1, 2, покладемо для визначеностi ϕi(χi(x, t;uj);
x, t, uj) = a1(χi(x, t;uj)), j = 1, 2. Тодi∣∣∣∣∆j
∂(Suj)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤
≤
[
(µ0(1 + 2nk1)Λ−1
0 λ0T0eρ+ 2nµ0k13T0ρ)(1 + 2nk9) +
+ 2nM((k7A+ a0(G1e+ 1) + k8)Λ−1
0 λ0T0eρ +
+ Ak15T0ρ+ k16T0ρ+ k17ρ0)
]
eΛ−1
0 +
+ M(1 + 2nk9)(k12T0ρ+ λ0eΛ−2
0 nρ0) +
+ (f0(A+ 1)(1 + nL)Λ−1
0 λ0T0eρ+ f0nρ0)eΛ−1
0 +
+ F (k12T0ρ+ λ0eΛ−2
0 nρ0) + F (1 + nU1)eΛ−1
0 λ0T0eρ +
+ T0e(f0(1 + nL)λ0T0eρ(1 + nU1) + f0n(1 + nU1)ρ +
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 883
+ nFL1λ0T0eρ+ nFρ) + T0F (1 + nU1)k11T0ρ ≤
≤ k18T0ρ+ k19ρ0,
де
k18 =
[
(µ0(1 + 2nk1)Λ−1
0 λ0e+ 2nµ0k13)(1 + 2nk9) +
+ 2nM((k7A+ a0(G1e+ 1) + k8)Λ−1
0 λ0e+Ak15 + k16)
]
eΛ−1
0 +
+ k12M(1 + 2nk9) + f0(A+ 1)e2(1 + nL)Λ−2
0 λ0 + Fk12+
+ F (1 + nU1)e2Λ−1
0 λ0 + f0e(1 + nU1)(e+ n) + 2enF + k11,
k19 =
[
2nMk17 + (F +M(1 + 2nk9))Λ−1
0 λ0n+ f0n
]
eΛ−1
0 .
В останньому випадку χi(x, t;u1) > 0, χi(x, t;u2) = 0 нехай ϕi(χi(x, t;u1);
x, t, u1) = a1(χi(x, t;u1)). Встановимо попередньо наступну оцiнку:∣∣∣∣g′i(ϕi(0;x, t, u2))
∂ϕi
∂x
(0;x, t, u2)− (a′1(0)− λi(a0
1, 0, g(a
0
1)))g
′
i(a
0
1)
∂χi
∂x
(x, t;u1)
∣∣∣∣ =
=
∣∣∣∣a′1(χi(x, t;u1))−λi(a1(χi(x, t;u1)), χi(x, t;u1), u1(a1(χi(x, t;u1)), χi(x, t;u1)))
a′1(χi(x, t;u1))−λi(a1(χi(x, t;u1)), χi(x, t;u1), u1(a1(χi(x, t;u1)), χi(x, t;u1)))
×
×g′i
(
ϕi(0;x, t, u2)
)∂ϕi
∂x
(0;x, t, u2)−
−
(a′1(0)− λi(a0
1, 0, g(a
0
1)))g
′
i(a
0
1)
∂ϕi
∂x
(χi(x, t;u1);x, t, u1)
a′1(χi(x, t;u1))−λi(a1(χi(x, t;u1)), χi(x, t;u1), u1(a1(χi(x, t;u1)), χi(x, t;u1)))
∣∣∣∣ ≤
≤
[
Λ−1
0 e2(A+ Λ)g0λ0 + Λ−2
0 e2G1(A+ Λ)Λ(1 + nU1)λ0 +
+ Λ−1
0 G1(A+ Λ)k11 + Λ−2
0 e2G1(a0 + λ0(A+ 1)(1 + nL))λ0
]
T0ρ =
= k20T0ρ.
З отриманих оцiнок маємо ∣∣∣∣∆j
∂(Suj)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤
≤
∣∣∣∣∂ṽi
∂x
(x, t, u2, Su2)− (a′1(0)− λi(a0
1, 0, g(a
0
1)))g
′
i(a
0
1)
∂χi
∂x
(x, t;u1)
∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣∣∂ṽi
∂x
(x, t, u1, Su1)−
(
(µi
k)′t
(
0, {gs(a0
k′)}k′=1,2
s/∈Ik′
)
+
+
∑
k′=1,2
s/∈Ik′
(µi
k)′
wk′
s
(
0, {gs(a0
k′)}k′=1,2
s/∈Ik′
)[
(a′k′(0)− λs(a0
k′ , 0, g(a
0
k′)))g
′
s(a
0
k′)+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
884 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
+fs(a0
k′ , 0, g(a
0
k′))
]
∂χi
∂x
(x, t;u1)
)∣∣∣∣∣+
+
∣∣∣∣(Y u1)i(x, t) + fi(a0
1, 0, g(a
0
1))
∂χi
∂x
(x, t;u1)
∣∣∣∣+ |∆j(Zuj)i(x, t)| ≤
≤ (k18 + k20)T0ρ.
Таким чином, у будь-якому iз випадкiв поведiнки характеристик системи (1)
справджується оцiнка∣∣∣∣∆j
∂(Suj)i
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤ (k15 + k18 + k20)T0ρ+ k19ρ0 = K2T0ρ+ k19ρ0.
Отже, узагальнюючи попереднi результати, отримуємо
ρ(Su1, Su2) ≤ max{K1,K2}T0ρ+ k19ρ0.
Легко бачити, що оператор (Su) не є стискаючим. Розглянемо його квадрат
ρ(S2u1, S2u2) ≤ max{K1,K2}T0ρ(Su1, Su2) + k19ρ0(Su1, Su2) ≤
≤ max{K1,K2}T0(max{K1,K2}T0ρ+ k19ρ) + k19K1T0ρ = K3T0ρ.
Звiдси видно, що якщо T0 задовольняє нерiвнiсть
K3T0 < 1,
то вiдображення S2 : Q→ Q буде стискаючим.
Зазначимо, що сукупнiсть усiх накладених умов є сумiсною. Справдi, зафiксуємо
достатньо малi U, T0, щоб виконувалась нерiвнiсть (6) для деяких ε0 та Λ0. Вибере-
мо тепер достатньо великий параметр L, щоб виконувалась нерiвнiсть (15), а потiм
зафiксуємо U1 згiдно з (18). Далi за допомогою (24) визначаємо L1 та зменшуємо
T0, щоб задовольнити нерiвностi (8) – (12), (14), (16), (17), (19) – (23), (25), (26).
Нехай усi зазначенi обмеження виконуються. Тодi за теоремою Банаха про стис-
каючi вiдображення iснує єдина нерухома точка оператора S у просторi Q, яка i
буде класичним розв’язком задачi (1) – (3).
Покажемо, що розв’язок єдиний не тiльки в Q, а i в C1
L(GT0). Будемо мiрку-
вати вiд супротивного. Припустимо, що iснують два розв’язки задачi {v1, v2} ⊂
⊂ C1
L(GT0). Позначимо
Υ = {t ∈ [0, T0] : v1(x, t) 6= v2(x, t)}, t0 = inf Υ.
Очевидно, t0 /∈ Υ, тобто v1(x, t0) = v2(x, t0), x ∈ [a1(t0), a2(t0)]. Перенесемо
початок вiдлiку часу в точку t0 i розглянемо задачу (1) – (3) з початковими умовами
u(x, t0) = g0(x), a1(t0) ≤ x ≤ a2(t0),
де g0(x) = v1(x, t0) = v2(x, t0). Згiдно iз доведеним вище, можемо гарантувати
iснування єдиного розв’язку отриманої задачi в Q(T1, L
1, L1
1, U
1, U1
1 ) при деяких
фiксованих параметрах T1, L
1, L1
1, U
1, U1
1 . Вибравши достатньо великi значення
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 885
L1, L1
1, U
1
1 i достатньо мале T1, забезпечимо при t0 ≤ t ≤ t0 + T1 належнiсть обох
розв’язкiв простору Q(T1, L
1, L1
1, U
1, U1
1 ), що є суперечнiстю. Отже, в C1
L(GT0)
iснує єдиний розв’язок задачi (1) – (3).
Теорему 1 доведено.
Глобальна розв’язнiсть задачi.
Теорема 2. Нехай:
1) µk
i
(
t, {wk′
s } k′=1,2
s/∈I
k′
)
∈ Lipw([0, T ]× R2n−card I1−card I2), i ∈ Ik, k = 1, 2;
2) 2nµw
0 < 1, де µw
0 — стала Лiпшиця функцiї µk
i по wk′
s ;
3) iснує неперервна неспадна функцiя ψ : R+∪{0} → R+, причому
∫ ∞
1
du
ψ(u)
=
= ∞, така, що ∣∣fi(x, t, u)
∣∣ ≤ ψ(‖u‖), (x, t, u) ∈ GT × Rn;
4) виконуються умови 1 – 5 теореми 1, причому в формулюваннi умов 1 – 4
множини Bn
G+1 i B2n−card I1−card I2
G+1 замiнено вiдповiдно множинами Bn
P+1 та
B2n−card I1−card I2
P+1 , де стала P визначається iз рiвностi
P∫
max{M1,G}
1−2nµw
0
du
ψ(u)
=
1
1− 2nµw
0
T, M1 = max
t∈[0,T ]
k=1,2,i∈Ik
∣∣µi
k(t, {0})
∣∣,
{0} — набiр 2n− card I1 − card I2 нулiв;
5) має мiсце спiввiдношення
λi(ak(t), t, u) 6= a′k(t), t ∈ [0, T ], u ∈ Bn
P+1, i = 1, n, k = 1, 2;
6) виконуються нерiвностi
2nM(A+ Λ) < 1, max{R1, R2} ≤ 1,
де
R1 = max{1,Λ}max{1, 2nµ0(A+ Λ)Λ−1
0 },
R2 = max
{
1, 2nµ0(A+ Λ)(1 + 2n(P1A+A+ P1Λ + F + 1))+
+2nM
(
(A+ Λ)2 + nR1(A+ 1)(P1λ0 + f0)
)
Λ−2
0 +
+M(1 + 2n(P1A+A+ P1Λ + F + 1))Λ−3
0 λ0nR1(A+ 1)+
+f0(A+ 1)nR1Λ−2
0 + FΛ−3
0 λ0nR1(A+ 1)
}
,
сталi Λ, F, M, λ0, f0, µ0 визначаються, як i в доведеннi теореми 1, причому
множини Bn
G+1 та B2n−card I1−card I2
G+1 замiнено вiдповiдно множинами Bn
P+1 та
B2n−card I1−card I2
P+1 , а
Λ0 =
1
2
min
t∈[0,T ],u∈Bn
P+1
i=1,n,k=1,2
∣∣λi(ak(t), t, u)− a′k(t)
∣∣,
P1 =
max{G1,M + 2nMFΛ−1
0 + FΛ−1
0 }+ FT
1− 2nM(A+ Λ)
e
nF
1−2nM(A+Λ) T ;
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
886 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
7) виконуються умови монотонностi та знакосталостi функцiй у вiдповiдних
областях визначення: gi(x), i = 1, n, не спадають, λi(x, t, u), fi(x, t, u), i = 1, n,
не спадають за змiнними x та u, fi(x, t, u) ≥ 0, i ∈ I1, fi(x, t, u) ≤ 0, i ∈ I2, µi
1,
i ∈ I1, не зростають по t, µi
2, i ∈ I2, не спадають по t, а також виконується
одна з чотирьох можливостей:
a) λi ≥ 0, fi ≤ 0, i /∈ (I1 ∪ I2),
b) λi ≤ 0, fi ≥ 0, i /∈ (I1 ∪ I2),
c) λi ≥ 0, fi ≤ 0, i ∈ I1, λi ≤ 0, fi ≥ 0, i ∈ I2,
d) λi ≤ 0, fi ≥ 0, i ∈ I1, λi ≥ 0, fi ≤ 0, i ∈ I2,
при яких вiдповiдно
A) ak(t), k = 1, 2, не зростають, µi
1, i ∈ I1, не спадають по {wk′
s }, k′ = 1, 2,
s /∈ Ik′ , µi
2, i ∈ I2, не зростають по {wk′
s }, k′ = 1, 2, s /∈ Ik′ ,
B) ak(t), k = 1, 2, не спадають, µi
1, i ∈ I1, не зростають по {wk′
s }, k′ = 1, 2,
s /∈ Ik′ , µi
2, i ∈ I2, не спадають по {wk′
s }, k′ = 1, 2, s /∈ Ik′ ,
C) a1(t) не зростає, a2(t) не спадає, µi
1, i ∈ I1, не спадають по {w1
s}, s /∈ I1,
i не зростають по {w2
s}, s /∈ I2, µ
i
2, i ∈ I2, не зростають по {w1
s}, s /∈ I1, i не
спадають по {w2
s}, s /∈ I2,
D) a1(t) не спадає, a2(t) не зростає, µi
1, i ∈ I1, не зростають по {w1
s}, s /∈ I1,
i не спадають по {w2
s}, s /∈ I2, µ
i
2, i ∈ I2, не спадають по {w1
s}, s /∈ I1, i не
зростають по {w2
s}, s /∈ I2.
Тодi iснує глобальний класичний розв’язок задачi (1) – (3) в GT , до того ж
єдиний у C1
L(GT ).
Доведення. Введемо пiдпростiр Q̃(T0, U, U1, L, L1) в Q(T0, U, U1, L, L1), на-
клавши додатково на функцiю u = (u1, . . . , un) умову, що u(x, t) є неспадною за
змiнною x на множинi GT0 .
Умови 7 теореми 2 забезпечують включення SQ̃ ⊂ Q̃, тому з припущень теоре-
ми 1 та умови 7 теореми 2 випливає iснування та єдинiсть розв’язку задачi (1) – (3)
у просторi Q̃.
Позначимо
U(t) = max
1≤i≤n
0≤t1≤t
a1(t1)≤x1≤a2(t1)
|vi(x1, t1)|, W (t) = max
1≤i≤n
0≤t1≤t
a1(t1)≤x≤a2(t1)
∣∣∣∂vi
∂x
(x1, t1)
∣∣∣.
Оскiльки P > G, то умови теореми 1 виконуються, а тому iснує локальний
класичний розв’язок v ∈ Q̃(T 1
0 , U, U1, L
1, L1
1) (тут параметри T 1
0 , L
1, L1
1 дорiв-
нюють вiдповiдно параметрам T0, L, L1, що визначенi в попередньому пунктi)
задачi (1) – (3) на часовому промiжку [0, T 1
0 ]. На пiдставi припущень 2, 3 теореми 2
цей розв’язок задовольняє наступнi спiввiдношення при рiзних випадках поведiнки
характеристик:
|vi(x, t)| ≤
G+
∫ t
0
ψ(U(τ))dτ, якщо χi(x, t;u) = 0,
2nµw
0 U(t) +M1 +
∫ t
0
ψ(U(τ))dτ, якщо χi(x, t;u) > 0.
Об’єднуючи цi випадки, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 887
U(t) ≤ 2nµw
0 U(t) + max{M1, G}+
t∫
0
ψ(U(τ))dτ.
Останню нерiвнiсть перепишемо у виглядi
U(t) ≤ max{M1, G}
1− 2nµw
0
+
1
1− 2nµw
0
t∫
0
ψ(U(τ))dτ. (27)
Звiдси на основi леми 2.1 [10, c. 36] випливає обмеженiсть розв’язку
U(t) ≤ P, t ∈ [0, T 1
0 ].
Врахувавши монотоннiсть функцiй λi, i = 1, n, та розв’язку v за вiдповiдними
аргументами, отримаємо оцiнку
∂ϕi(τ ;x, t, u)
∂x
≤ 1.
Для похiдної розв’язку також встановимо оцiнки, проаналiзувавши можливу пове-
дiнку характеристик:
∣∣∣∣∂vi
∂x
(x, t)
∣∣∣∣ ≤
G1 +
∫ t
0
(F + nFW (τ))dτ, якщо χi(x, t;u) = 0,
M + 2nM
(
W (t)A+ F + ΛW (t)
)
Λ−1
0 + FΛ−1
0 +
+
∫ t
0
(F + nFW (τ))dτ, якщо χi(x, t;u) > 0.
Об’єднавши цi випадки та врахувавши означення функцiї W (t), будемо мати
W (t) ≤ max
{
G1,M + 2nMFΛ−1
0 + FΛ−1
0
}
+
+2nM(A+ Λ)W (t) + FT + nF
t∫
0
W (τ)dτ.
Останню нерiвнiсть перепишемо у виглядi спiввiдношення
W (t) ≤
max
{
G1,M + 2nMFΛ−1
0 + FΛ−1
0
}
+ FT
1− 2nM(A+ Λ)
+
+
nF
1− 2nM(A+ Λ)
t∫
0
W (τ)dτ, (28)
з якого, згiдно з лемою Гронуолла – Беллмана, випливає оцiнка
W (t) ≤ max{G1,M + 2nMFΛ−1
0 + FΛ−1
0 }+ FT
1− 2nM(A+ Λ)
e
nF
1−2nM(A+Λ) T = P1.
Для зручностi в наступних мiркуваннях перепишемо умови на параметри T 1
0 ,
U, U1, L
1, L1
1 простору Q̃.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
888 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
На пiдставi умови 5 теореми 2, яка є посиленням умови 6 теореми 1, спiввiд-
ношення (6) дещо спрощується i не мiстить параметра U :
λ0ε ≤ Λ0. (29)
Тому зафiксуємо U ≤ 1. Значення параметра U1 зафiксуємо вiдповiдно до умови
(18), причому компоненту G1 у цiй умовi замiнимо константою P1. З нерiвностей
(15) i (24) отримуємо умови для вибору L1, L1
1:
L1 ≥ R3 +R1g0, (30)
де R3 = F + max{1,Λ}(µ0(1 + 2n(F + 1))Λ−1
0 e+ FΛ−1
0 e+ 1),
L1
1 ≥ R4 +R2g0, (31)
а
R4 = max
{
P1, µ0(1 + 2n(F + 1))(1 + 2n((P1e+ 1)A+ P1Λe+ F + 1))+
+2nM((P1(1 + eΛ(1 + nU1)) + F (1 + nU1)e+ 1)A+ (P1e+ 1)a0+
+P1
(
λ0(1 + nR1)(A+ 1)e+ Λ(1 + eΛ(1 + nU1))
)
+ f0(1 + nR1)(A+ 1)+
+ΛeF (1 + nU1) + 1)Λ−2
0 e2 +M
(
1 + 2n((P1e+ 1)A+ P1Λe+ F + 1)
)
×
×
(
Λ−1
0 (1 + e2Λ(1 + nU1)Λ−1
0 ) + e2Λ−3
0 (a0 + λ0(1 + nR1)(A+ 1))
)
+
+f0(A+ 1)(1 + nR1)e2Λ−2
0 + F
(
Λ−1
0 (1 + e2Λ(1 + nU1)Λ−1
0 )+
+e2Λ−3
0
(
a0 + λ0(1 + nR1)(A+ 1)
))
+ F (1 + nU1)e2Λ−1
0
}
+ 1.
Насамкiнець перепишемо обмеження на параметр T 1
0 :
T 1
0 ≤ Λ0(2λ0(Λ +A))−1 ≡ R5, T 1
0 ≤ (2λ0(1 + nR3))−1 ≡ R6,
T 1
0 ≤
(2λ0nR1)−1
g0
≡ R7
g0
, T 1
0 ≤
U
2F
≡ R8, T 1
0 ≤
U/2Λ
g0
≡ R9
g0
,
T 1
0 ≤ (2ef0 max{1, A+ Λ}(1 + nR3))−1 ≡ R10,
T 1
0 ≤
(2enf0 max{1, A+ Λ}R1)−1
g0
≡ R11
g0
,
T 1
0 ≤ U(2(F + µ0(1 + 2n(F + 1))))−1 ≡ R12,
T 1
0 ≤
U(2(2nµ0e+ 1)(A+ Λ))−1
g0
≡ R13
g0
,
T 1
0 ≤ (Λ(1 + nU1))−1 ≡ R14, T 1
0 ≤ (F max{1,Λ}e(1 + nU1))−1 ≡ R15,
T 1
0 ≤ (2e2(λ0(1 + nR3)(1 + nU1) + nΛR4))−1 ≡ R16,
T 1
0 ≤
(2e2n(λ0R1(1 + nU1) + ΛR2))−1
g0
≡ R17
g0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 889
T 1
0 ≤ R18, T 1
0 ≤
(2e2n(f0R1(1 + nU1) + FR2))−1
g0
≡ R19
g0
,
де R18 =
(
2((f0(1 + nR3)(1 + nU1) + nFR4)e2 + F (1 + nU1))
)−1;
T 1
0 ≤ R20, T 1
0 ≤
R21
g0
,
деR20 =
(
2e2(A+Λ)(λ0(1+nU1)(1+nR3)+nΛR4)
)−1
, R21 =
(
2e2n(A+Λ)(λ0(1+
+ nU1)R1 + ΛR2)
)−1;
T 1
0 ≤ R22, T 1
0 ≤
R23
g0
,
де R22 =
(
2((f0(1 + nR3)(1 + nU1) + nFR4)e2(A+ Λ) + F (1 + nU1)(1 + eΛ(1 +
+ nU1)))
)−1
, R23 =
(
2(f0R1(1 + nU1) + FR2)e2n(A+ Λ)
)−1;
T 1
0 ≤ R24, T 1
0 ≤
R25
g0
,
де R24 =
(
2(e2(A + Λ)Λ(f0(1 + nR3)(1 + nU1) + nFR4) + F (1 + nU1)(λ0(A +
+1)e(1+nR3)+Λ(1+eΛ(1+nU1))))
)−1
, R25 =
(
2ne(e(A+Λ)Λ(f0R1(1+nU1)+
+ FR2) + F (1 + nU1)λ0R1(A+ 1))
)−1;
T 1
0 ≤ (2λ0eR4)−1 ≡ R26, T 1
0 ≤
(2λ0eR2)−1
g0
≡ R27
g0
,
T 1
0 ≤
min
t∈[0,T ]
|a2(t)− a1(t)|
2(A+ Λ)
≡ R28.
Iз вказаних обмежень на T 1
0 випливають вiдповiдно нерiвностi (9) – (12), (14),
(16), (17), (19) – (23), (25), (26).
Не зменшуючи загальностi будемо вважати g0 ≥ 1. Тодi всi наведенi спiввiдно-
шення виконуються, якщо
T 1
0 =
Ω
g0
,
де Ω = min
k=5,28
{Rk}.
Розглянемо нашу задачу при t ≥ T 1
0 , тобто задачу (1) – (3) з початковою умовою
ui(x, T 1
0 ) = g1
i (x), a1(T 1
0 ) ≤ x ≤ a2(T 1
0 ), (32)
де g1
i (x) = vi(x, T 1
0 ).
Якщо задача (1), (3), (32) має розв’язок v, визначений на промiжку [T 1
0 , T
1
0 +T 2
0 ],
то, об’єднуючи розв’язки цих двох задач, отримуємо розв’язок задачi (1) – (3) на
промiжку [0, T 1
0 +T 2
0 ]. При цьому можна знову розглянути задачу при t ≥ T 1
0 +T 2
0 ,
замiнивши вiдповiдним чином початкову умову. Продовжуючи цi дiї, встановлюємо
iснування розв’язку задачi (1) – (3) на дещо бiльшому часовому промiжку.
Нехай задача (1) – (3) має розв’язок v ∈ C1
L
(
G∑m
k=1 T k
0
)
на часовому промiжку[
0,
∑m
k=1
T k
0
]
, до того ж на ньому виконуються нерiвностi (27), (28). Тому
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
890 Р. В. АНДРУСЯК, Н. О. БУРДЕЙНА, В. М. КИРИЛИЧ
U(t) ≤ P, W (t) ≤ P1, t ∈ [0,
m∑
k=1
T k
0 ].
Розглянемо задачу (1), (3) при t ≥
∑m
k=1
T k
0 з початковою умовою
ui
(
x,
m∑
k=1
T k
0
)
= gm
i (x), a1
( m∑
k=1
T k
0
)
≤ x ≤ a2
( m∑
k=1
T k
0
)
, (33)
де gm
i (x) = vi
(
x,
∑m
k=1 T
k
0
)
. Легко бачити, що умови теореми 1 для задачi (1), (3),
(33) справджуються, а тому iснує локальний класичний розв’язок v ∈ Q̃
(
Tm+1
0 , U,
U1, L
m+1, Lm+1
1
)
задачi на часовому промiжку
[∑m
k=1
T k
0 ,
∑m+1
k=1
T k
0
]
.При цьому
значення параметрiв U та U1 визначено ранiше, а
Lm+1 = R3 +R1 max{Lm, Lm
1 },
Lm+1
1 = R4 +R2 max{Lm, Lm
1 },
де сталi Lm та Lm
1 такi, що vi ∈ Lip
(
G∑m
k=1 T k
0
, Lm
)
,
∂vi
∂x
∈ Lipx
(
G∑m
k=1 T k
0
, Lm
1
)
,
i = 1, n, а Tm+1
0 =
Ω
max{Lm, Lm
1 }
.
Залишилось встановити нерiвностi (27) та (28) на промiжку[∑m
k=1
T k
0 ,
∑m+1
k=1
T k
0
]
. Розглянемо два можливих випадки.
Якщо χi(x, t; v) = 0, то
|vi(x, t)| ≤ U
(
m∑
k=1
T k
0
)
+
t∫
∑m
k=1 T k
0
ψ(U(τ))dτ ≤
≤ 2nµw
0 U
(
m∑
k=1
T k
0
)
+ max{M1, G}+
∑m
k=1 T k
0∫
0
ψ(U(τ))dτ +
t∫
m∑
k=1
T k
0
ψ(U(τ))dτ ≤
≤ 2nµw
0 U(t) + max{M1, G}+
t∫
0
ψ(U(τ))dτ,
а якщо χi(x, t; v) > 0, то
|vi(x, t)| ≤ 2nµw
0 U(t) +M1 +
t∫
0
ψ(U(τ))dτ.
Пiдсумовуючи, отримуємо нерiвнiсть (27). Спiввiдношення (28) встановлюємо
за тiєю ж схемою.
Отже, за допомогою методу математичної iндукцiї доведено iснування класич-
ного розв’язку задачi (1) – (3) на часовому промiжку [0, T ] ∩
[
0,
∑∞
m=1
Tm
0
]
. Вра-
ховуючи умову 6 теореми 2, маємо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
КЛАСИЧНА РОЗВ’ЯЗНIСТЬ ЗАДАЧI З РУХОМИМИ МЕЖАМИ ДЛЯ ГIПЕРБОЛIЧНОЇ ... 891
∞∑
m=1
Tm
0 =
∞∑
m=1
Ω
max{Lm−1, Lm−1
1 }
≤
∞∑
m=1
Ω
max{R3, R4}+ max{Lm−2, Lm−2
1 }
≤
≤
∞∑
m=1
Ω
(m− 1) max{R3, R4}+ g0
∼
∞∑
m=1
1
m
= ∞.
Тому задача (1) – (3) має розв’язок на промiжку [0, T ], де T є як завгодно ве-
ликим. Єдинiсть отриманого глобального розв’язку випливає з єдиностi локальної
розв’язностi задачi.
Теорему 2 доведено.
1. Рождественский Б. Л., Яненко Н. Н. Системы квазилинейных уравнений. – М.: Наука, 1978. –
687 с.
2. Шарковский А. Н., Майстренко Ю. Л., Романенко Е. Ю. Разностные уравнения и их приложения.
– Киев: Наук. думка, 1986. – 278 с.
3. Czlapinski T., Kamont Z. Generalized solutions of quasi-linear hyperbolic systems of partial differential-
functional equations // J. Math. Anal. and Appl. – 1993. – 171, № 2. – P. 353 – 370.
4. Turo I. Classical solutions to nonlinear hyperbolic functional partial differential equations // An. şti.
Univ. Iaşi. – 1998. – 44, № 2. – P. 403 – 417.
5. Баландин А. В., Весницкий А. И., Уткин Г. А. О периодических решениях одномерного волнового
уравнения с однородными условиями на движущихся границах // Дифференц. и интегр. уравнения.
– Горький, 1980. – № 4. – С. 84 – 90.
6. Остапенко В. А. Первая краевая задача для области с подвижной границей // Дифференц. урав-
нения и их приложения в физике. – Днепропетровск, 1980. – С. 4 – 16.
7. Turo I. Generalized solutions to functional partial differential equations of the first order // Zes. nauk.
PGdán. Mat. – 1988. – 14. – P. 1 – 99.
8. Мышкис А. Д., Филимонов А. М. О глобальной непрерывной разрешимости смешанной задачи для
одномерных гиперболических систем квазилинейных уравнений // Дифференц. уравнения. – 2008.
– 44, № 3. – С. 394 – 407.
9. Андрусяк Р. В., Кирилич В. М., Мышкис А. Д. Локальная и глобальная разрешимости квазилинейной
гиперболической задачи Стефана на прямой // Там же. – 2006. – 42, № 4. – С. 489 – 503.
10. Андрусяк Р. В. Задача Стефана для одновимiрних гiперболiчних систем: Дис. . . . канд. фiз.-мат.
наук. – Львiв, 2006. – 153 с.
Одержано 04.11.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3064 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:35Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/bb/4720f1f24f5a22251b6bd662a60e09bb.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30642020-03-18T19:44:40Z Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations Класична розв'язність задачі з рухомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь Andrusyak, R. V. Burdeina, N. O. Kirilich, V. M. Андрусяк, Р. В. Бурдейна, Н. О. Кирилич, В. М. Using the method of characteristics and the method of contracting mappings, we establish the local classical solvability of a problem for a hyperbolic system of quasilinear first-order equations with moving boundaries and nonlinear boundary conditions. Under additional assumptions on the monotonicity and sign constancy of initial data and a restriction on the growth of the right-hand sides of the system, we formulate sufficient conditions for the global classical solvability of the problem. С помощью методов характеристик и сжимающих отображений установлена локальная классическая разрешимость задачи с движущимися границами с нелинейными граничными условиями для гиперболической системы квазилинейных уравнений первого порядка. При выполнении дополнительных предположений о монотонности, знакопостоянстве исходных данных, а также ограничении на рост правых частей системы изложены достаточные условия глобальной классической разрешимости задачи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3064 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 867-891 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 867-891 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3064/2877 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3064/2878 Copyright (c) 2009 Andrusyak R. V.; Burdeina N. O.; Kirilich V. M. |
| spellingShingle | Andrusyak, R. V. Burdeina, N. O. Kirilich, V. M. Андрусяк, Р. В. Бурдейна, Н. О. Кирилич, В. М. Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| title | Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| title_alt | Класична розв'язність задачі з рухомими межами для гіперболічної системи квазілінійних рівнянь |
| title_full | Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| title_fullStr | Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| title_full_unstemmed | Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| title_short | Classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| title_sort | classical solvability of a problem with moving boundaries for a hyperbolic system of quasilinear equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3064 |
| work_keys_str_mv | AT andrusyakrv classicalsolvabilityofaproblemwithmovingboundariesforahyperbolicsystemofquasilinearequations AT burdeinano classicalsolvabilityofaproblemwithmovingboundariesforahyperbolicsystemofquasilinearequations AT kirilichvm classicalsolvabilityofaproblemwithmovingboundariesforahyperbolicsystemofquasilinearequations AT andrusâkrv classicalsolvabilityofaproblemwithmovingboundariesforahyperbolicsystemofquasilinearequations AT burdejnano classicalsolvabilityofaproblemwithmovingboundariesforahyperbolicsystemofquasilinearequations AT kiriličvm classicalsolvabilityofaproblemwithmovingboundariesforahyperbolicsystemofquasilinearequations AT andrusyakrv klasičnarozv039âznístʹzadačízruhomimimežamidlâgíperbolíčnoísistemikvazílíníjnihrívnânʹ AT burdeinano klasičnarozv039âznístʹzadačízruhomimimežamidlâgíperbolíčnoísistemikvazílíníjnihrívnânʹ AT kirilichvm klasičnarozv039âznístʹzadačízruhomimimežamidlâgíperbolíčnoísistemikvazílíníjnihrívnânʹ AT andrusâkrv klasičnarozv039âznístʹzadačízruhomimimežamidlâgíperbolíčnoísistemikvazílíníjnihrívnânʹ AT burdejnano klasičnarozv039âznístʹzadačízruhomimimežamidlâgíperbolíčnoísistemikvazílíníjnihrívnânʹ AT kiriličvm klasičnarozv039âznístʹzadačízruhomimimežamidlâgíperbolíčnoísistemikvazílíníjnihrívnânʹ |