Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type
A compatibly bi-Hamiltonian Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems is obtained by using a relation for the Casimir functionals of the central extension of a Lie algebra of superconformal even vector fields of two anticommuting variables. Its matrix Lax representation...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3066 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509091930046464 |
|---|---|
| author | Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. |
| author_facet | Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. |
| author_sort | Hentosh, О. Ye. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | A compatibly bi-Hamiltonian Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems is obtained by using a relation for the Casimir functionals of the central extension of a Lie algebra of superconformal even vector fields of two anticommuting variables. Its matrix Lax representation is determined by using the property of the gradient of the supertrace of the monodromy supermatrix for the corresponding matrix spectral problem. For a supersymmetric Laberge–Mathieu hierarchy, we develop a method for reduction to a nonlocal finite-dimensional invariant subspace of the Neumann type. We prove the existence of a canonical even supersymplectic structure on this subspace and the Lax–Liouville integrability of the reduced commuting vector fields generated by the hierarchy. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. Є. Гентош (Iн-т прикл. пробл. механiки i математики НАН України, Львiв)
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ
СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ НЕЛIНIЙНИХ ДИНАМIЧНИХ
СИСТЕМ ТА ЇЇ СКIНЧЕННОВИМIРНА
РЕДУКЦIЯ ТИПУ НЕЙМАНА
The compatibly bi-Hamiltonian Laberge – Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems
is obtained by using the relationship for the Casimir functionals of the centrally extended Lie algebra of
superconformal even vector fields of two anticommuting variables. Its matrix Lax representation is found
via a property of the gradient of monodromy supermatrix supertrace for the corresponding matrix spectral
problem. For the supersymmetric Laberge – Mathieu hierarchy, the method for reducing upon а nonlocal
finite-dimensional invariant subspace of а Neumann type is developed. The existence of a canonical even
supersymplectic structure on this subspace as well as the Lax – Liouville integrability of reduced commuting
vector fields generated by the hierarchy are proved.
С помощью соотношения для функционалов Казимира центрального расширения алгебры Ли супер-
конформных четных векторных полей двух антикоммутативных переменных получена согласованно
бигамильтонова иерархия Лаберже – Матье суперсимметричных нелинейных динамических систем. Ее
матричное изображение Лакса найдено на основании свойства градиента суперследа суперматрицы
монодромии для соответствующей матричной спектральной задачи. Для суперсимметричной иерархии
Лаберже – Матье развит метод редуцирования на нелокальное конечномерное инвариантное подпрост-
ранство типа Неймана. Доказаны существование канонической четной суперсимплектической струк-
туры на этом подпространстве и интегрируемость по Лаксу – Лиувиллю редуцированных коммутирую-
щих векторных полей, порожденных иерархией.
1. Вступ. В останнi два десятилiття за допомогою Лi-алгебраїчних пiдходiв отри-
мано суперсиметричнi узагальнення деяких вiдомих iнтегровних за Лаксом [1 – 4]
нелiнiйних динамiчних систем на функцiональнi супермноговиди однiєї та двох ан-
тикомутуючих незалежних змiнних [4, 5]. У межах пiдходiв, в основу яких покладе-
но R-операторний метод [6 – 8], зображення Лакса для суперсиметричних нелiнiй-
них динамiчних систем виникають як гамiльтоновi потоки на спряжених просторах
до алгебри Лi суперiнтегро-диференцiальних операторiв [9, 10] або центрального
розширення алгебри рядiв Лорана над напiвпростою матричною супералгеброю Лi
[11, 12]. Для цих систем a priori iснує нескiнченна множина локальних законiв
збереження, iнволютивних вiдносно пари узгоджених дужок Пуассона [13, 14].
У роботах [15, 16] запропоновано iнший Лi-алгебраїчний пiдхiд до констру-
ювання узгоджено бiгамiльтонових суперузагальнень iнтегровних за Лаксом нелi-
нiйних динамiчних систем Кортевега – де Фрiза i Каупа – Броера, який ґрунтується
на використаннi центральних розширень алгебри рядiв Лорана над алгеброю Лi
g := Vect(S1|1) суперконформних векторних полiв на суперколi S1|1 ' S× Λ1 (Λ1
— пiдалгебра непарних елементiв алгебри Грассмана Λ := Λ0 ⊕ Λ1 над полем C)
та її напiвпрямою сумою g n C∞(S; R1|1). Такi суперузагальнення не є iнварiант-
ними вiдносно суперсиметричного перетворення [17, 18]. Однак Д. А. Лейтесом i
Б. Л. Фейгiним [17] встановлено, що iснують нетривiальнi центральнi розширення
алгебри Лi суперконформних векторних полiв на суперколах S1|2 та S1|3. Саме з
ними пов’язанi супераналоги рiвняння Кортевега – де Фрiза, якi є iнварiантними
вiдносно суперсиметричних перетворень однiєї та двох антикомутативних змiнних
вiдповiдно.
c© О. Є. ГЕНТОШ, 2009
906 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 907
У пунктi 2, застосувавши R-операторний метод [3, 6, 16, 19], покажемо, що
на орбiтi полiномiального типу коприєднаної дiї спiввiдношення для функцiо-
налiв Казiмiра у випадку центрального розширення алгебри рядiв Лорана G̃ :=
:= G ⊗ C(λ, λ−1) над алгеброю Лi G суперконформних векторних полiв на супер-
колi S1|2 ' S × Λ2
1 редукується до рiвняння, на основi якого за допомогою пари
узгоджених суперiмплектичних операторiв [4] можна отримати нескiнченну послi-
довнiсть градiєнтiв локальних законiв збереження суперсиметричної iєрархiї Ла-
берже – Матьє [20] як суперузагальнення iєрархiї Кортевега – де Фрiза. На пiдставi
того факту, що градiєнт суперслiду суперматрицi монодромiї для перiодичної мат-
ричної спектральної задачi також задовольняє це рiвняння, в алгебрi рядiв Лорана
над напiвпростою супералгеброю Лi osp(2|2) буде знайдено матричне зображення
Лакса цiєї iєрархiї.
У роботах [3, 4, 19, 21 – 26] розвинено метод редукування нелiнiйної дина-
мiчної системи на функцiональному многовидi або супермноговидi комутуючої
незалежної змiнної, для якої iснують еквiвалентне матричне зображення Лакса, що
залежить вiд iнварiантного вiдносно еволюцiй спектрального параметра, та пара
узгоджених дужок Пуассона, на пiдпростори критичних точок скiнченних лiнiй-
них комбiнацiй її локальних законiв збереження та власних значень асоцiйованої
спектральної задачi. В результатi редукування виникають гамiльтоновi скiнченно-
вимiрнi динамiчнi системи вiдносно точних симплектичних та парних суперсим-
плектичних структур, якi можна отримати за допомогою диференцiального спiв-
вiдношення Гельфанда – Дiкого [3, 27] на вiдповiдних функцiональних многовидах
та супермноговидах. Редукованi на пiдпростори критичних точок рiвняння Новi-
кова – Марченка [2, 28] для матрицi монодромiї вiдповiдної спектральної задачi
задають для таких систем матричнi зображення Лакса, за допомогою яких можна
знайти повнi набори iнволютивних функцiонально незалежних законiв збереження
та довести iнтегровнiсть за Лiувiллем [29 – 31] редукованих систем.
У пунктi 3 дослiджуються диференцiально-геометричнi властивостi iнварiант-
них редукцiй типу Неймана [19, 22, 30] суперсиметричної iєрархiї Лаберже – Матьє
[20]. За допомогою аналога диференцiального спiввiдношення Гельфанда – Дiкого
[3, 27] для функцiонала Лагранжа на розширеному фазовому просторi буде дове-
дено iснування канонiчної парної суперсимплектичної структури [4, 32, 33] на її
iнварiантному скiнченновимiрному пiдпросторi типу Неймана та гамiльтоновiсть
редукованих комутуючих векторних полiв. На основi згаданої вище властивостi
градiєнта суперслiду суперматрицi монодромiї для асоцiйованої перiодичної мат-
ричної спектральної задачi буде знайдено вiдповiднi зображення Лакса та повнi
набори iнволютивних функцiонально незалежних парних законiв збереження.
2. Алгебра Лi суперконформних векторних полiв на суперколi S1|2 та су-
персиметрична iєрархiя Лаберже – Матьє. У випадку двох антикомутативних
змiнних θ1 i θ2 (θ21 = 0, θ22 та θ1θ2 = −θ2θ1) суперконформну групу Лi [17] утво-
рюють гладкi перетворенння суперкола S1|2 ' (S× Λ2
1):
S1|2 3 (x, θ1, θ2) 7→ (x̄, θ̄1, θ̄2),
якi задовольняють умову
Dθi = (Dθi θ̄1)Dθ̄1
+ (Dθi θ̄2)Dθ̄2
, i = 1, 2,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
908 О. Є. ГЕНТОШ
де Dθi :=
∂
∂θi
+ θi
∂
∂x
— непарна суперпохiдна за змiнною θi така, що D2
θi
=
∂
∂x
.
Цi перетворення породжують алгебру Лi G суперконформних парних векторних
полiв на S1|2:
G :=
{
KF = F
∂
∂x
+
1
2
(Dθ1F )Dθ1 +
1
2
(Dθ2F )Dθ2 :
F := F (x, θ1, θ2) = f0(x) + θ1α1(x) + θ2α2(x) + θ1θ2f2(x),
π(f0) = π(f2) = 0, π(α1) = π(α2) = 1
}
(π(.) — функцiя парностi на алгебрi Грассмана Λ), комутатор яких визначають за
правилом
[KF ,KQ] = K[F,Q], KF , KQ ∈ G,
[F,Q] = F
∂Q
∂x
−Q
∂F
∂x
+
1
2
(Dθ1F )(Dθ1Q) +
1
2
(Dθ2F )(Dθ2Q).
(1)
Тобто алгебра Лi G iзоморфна до простору парних 2π-перiодичних функцiй
C∞(S1|2; R1|0) з комутатором (1), а спряжений простiр G∗ алгебри Лi G вiдносно
скалярного добутку на C∞(S1|2; R1|1)
〈l, F 〉 =
2π∫
0
dx
∫
dθ1 dθ2lF, l ∈ G∗, F ∈ G,
iзоморфний до простору парних 2π-перiодичних функцiй C∞(S1|2; R1|0).
Алгебра Лi G̃ := G ⊗ C(λ, λ−1) рядiв Лорана над алгеброю G розкладається у
пряму суму G̃ := G̃+ ⊕ G̃− таких пiдалгебр Лi:
G̃+ :=
F̃ (x, θ;λ) =
<<∞∑
k≥0
Fk(x, θ)λk : Fk ∈ G, λ ∈ C
,
G̃− :=
Q̃(x, θ;λ) =
∑
j∈N
Qj(x, θ)λ−j : Qj ∈ G, λ ∈ C
,
у зв’язку з чим крiм комутатора (1) на нiй можна ввести ще один комутатор у
виглядi
[F̃ , Q̃]R = [RF̃ , Q̃] + [F̃ ,RQ̃], F̃ , Q̃ ∈ G̃,
де R = 1/2(P+−P−), P+, P− — проектори на пiдалгебри Лi G̃+ та G̃− вiдповiдно.
Iснує нескiнченна множина спарювань [6]
(l̃, F̃ )p = resλ∈C λ
p〈l̃, F̃ 〉, p ∈ Z, (2)
на G̃∗0 × G̃ (G̃∗0 — спряжений простiр до алгебри Лi G̃ вiдносно (., .)0), кожне з яких
породжує суперкососиметричну бiлiнiйну форму
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 909
ωp(F̃ , Q̃) :=
(
F̃ ,Dθ1Dθ2
∂Q̃
∂x
)
p
, (3)
де ω0(., .) — 2-коцикл Гельфанда – Фукса [17].
За допомогою 2-коциклiв (3) побудуємо центральнi розширення алгебри Лi G̃
до просторiв Ĝp := G̃ ⊕p R ' Ĝ0 з вiдповiдними комутаторами [3, 6, 16, 19]:
adp F̂ (Q̂) := [F̂ , Q̂]p =
(
[F̃ , Q̃]
ωp(F̃ , Q̃)
)
, (4)
F̂ := (F̃ , a)>, Q̂ := (Q̃, b)> ∈ Ĝ0, a, b ∈ R.
Комутатори, деформованi оператором R, набирають вигляду
adp,R F̂ (Q̂) := [F̂ , Q̂]p,R =
(
[F̃ , Q̃]R
ωp,R(F̃ , Q̃)
)
, (5)
де ωp,R(F̃ , Q̃) = ωp(RF̃ , Q̃) + ωp(F̃ ,RQ̃) для будь-якого p ∈ Z.
На спряженому просторi Ĝ∗0 алгебри Лi Ĝ0 за допомогою спарювань
(l̂, F̂ )p = (l̃, F̃ )p + ca, l̂ = (l̃, c) ∈ Ĝ∗0 , l̃ ∈ G̃∗0 , c, a ∈ R,
комутатори (5) генерують iєрархiю узгоджених за Магрi [13] дужок Лi – Пуассона
{γ, µ}p(l̃) = (l̃, [∇l,pγ(l̃),∇r,pµ(l̃)]R)p + cωp(∇l,pγ(l̃),∇r,pµ(l̃)) =:
=: (∇l,0γ(l̃), ϑp∇r,0µ(l̃))0, (6)
де γ, µ ∈ D(G̃∗0 ), ∇l,p, ∇r,p — оператори лiвого та правого градiєнта вiдносно
спарювання (2), а ϑp : G̃ → G̃∗0 — суперiмплектичнi оператори на G̃∗0 .
Функцiонали Казiмiра γ ∈ I(G∗0 ), якi задовольняють рiвняння
ad∗0 (∇l,pγ(l̃), a)(l̂) = 0, p ∈ Z, a ∈ R, (7)
де l̂ ∈ G∗0 , ad∗0 — оператор коприєднаної дiї алгебри Лi Ĝ0 з комутатором (4)
вiдносно спарювання (., .)0 на Ĝ∗0 × Ĝ0, перебувають в iнволюцiї вiдносно дужок
Лi – Пуассона (6) i задають гамiльтоновi потоки
dl̂
dτp
= ad∗0
(
R∇l,pγ(l̃), a
)
(l̂) = ({γ, l̃}p(l̃), 0)
для будь-яких p ∈ Z й a ∈ R. У випадку p = −1 рiвняння (7) еквiвалентне спiв-
вiдношенню
−c
(
Dθ1Dθ2
∂Φ
∂x
)
− ∂
∂x
(l̃Φ) +
1
2
(Dθ1 l̃)(Dθ1Φ) +
1
2
(Dθ2 l̃)(Dθ2Φ) = 0, (8)
де Φ(l̃) := ∇l,−1γ(l̃) ∈ λG̃−.
Редукуємо спiввiдношення (8) на орбiту полiномiального типу коприєднаної дiї
ad∗−1,R алгебри Ĝ0. Якщо
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
910 О. Є. ГЕНТОШ
l̃ := l̃(x, θ1, θ2;λ) = W (x, θ1, θ2)− λ ∈ G∗0 ,
де W (x, θ1, θ2) = a(x, θ1) + θ2w(x, θ1), (a,w)> ∈ M1|1 ⊂ C∞(S1|1; R1|1), i
c =
1
2
, то спiввiдношення, якi задають зв’язок лiвого градiєнта функцiонала
γ ∈ I(G∗0 ) вiдносно спарювання (., .)−1 з лiвим градiєнтом функцiонала γ̄ :=
:= γ|M1|1 =
∫ 2π
0
dx
∫
dθ1 dθ2 γ[a,w;λ], набирають вигляду
δγ(l̃) := (δl̃,Φ(l̃))−1 = (δ(a+ θ2w),Φ0 + θ2Φ1) =
=
(〈
(δa, δw)>, ϕ(x, θ1;λ)
〉)
,
де Φ(x, θ1, θ2;λ) = Φ0(x, θ1;λ) + θ2Φ1(x, θ1;λ), π(Φ0) = 0, π(Φ1) = 1, а ϕ(x, θ1;
λ) := ∇l γ̄[a,w;λ] = (Φ1,Φ0)> ∈ T ∗(M1|1) задовольняє рiвняння
ϑ ϕ(x, θ1;λ) = λ η ϕ(x, θ1;λ), (9)
в якому ϕ(x;λ) '
∑
j∈Z+
ϕjλ
−j при |λ| → ∞, ϕj = ∇l γ̄j [a,w], j ∈ Z+, та
ϕ0 ∈ Ker η, з узгодженою парою суперiмплектичних операторiв η, ϑ : T ∗(M1|1) →
→ T (M1|1):
η = −
(
0 ∂
∂ 0
)
,
ϑ =
1
2
(−D3
θ + w) −∂a+
1
2
(Dθa)Dθ
−a∂ − 1
2
ax +
1
2
(Dθa)Dθ
1
2
D5
θ − ∂w − 1
2
w∂ − 1
2
(Dθw)Dθ
,
∂ :=
∂
∂x
, θ1 := θ.
(10)
З рiвняння (9) отримуємо нескiнченну множину градiєнтiв функцiоналiв γ̄j ∈
∈ D(M1|1), j ∈ Z+:
ϕ0 =
(
0
1
)
, ϕ1 =
(
w
a
)
, ϕ2 =
−1
2
(Dθax) + 2aw
1
2
(Dθw) + a2
,
ϕ3 =
−1
4
wxx +
3
4
w(Dθw) + 3a2w − 3
2
a(Dθax)− 3
4
ax(Dθa)
−1
4
axx + a3 +
3
2
a(Dθw)− 3
4
w(Dθa)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Вiдповiдна послiдовнiсть локальних функцiоналiв
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 911
γ̄0 =
2π∫
0
dx
∫
dθ w, γ̄1 =
2π∫
0
dx
∫
dθ aw,
γ̄2 =
2π∫
0
dx
∫
dθ
(
−1
4
a(Dθax) +
1
4
w(Dθw) + a2w
)
,
γ̄3 =
2π∫
0
dx
∫
dθ
(
−1
4
awxx + a3w +
3
4
aw(Dθw) +
3
4
aax(Dθa)
)
,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(11)
за допомогою пари суперiмплектичних операторiв (10) породжує нескiнченну
iєрархiю узгоджено бiгамiльтонових нелiнiйних динамiчних систем на 2π-перiодич-
ному функцiональному супермноговидi M1|1:(
da
dtj
,
dw
dtj
)>
= −η∇l γ̄j+1[a,w] = −ϑ∇l γ̄j [a,w], j ∈ Z+, (12)
де ∇l : T (M1|1) → T ∗(M1|1) — оператор лiвого градiєнта на супермноговидi M1|1.
При j = 1 рiвняння (12) задає суперсиметричний аналог рiвняння Кортевега – де
Фрiза [1]:
da
dt1
=
(
−1
4
axx + a3 +
3
2
a(Dθw)− 3
4
w(Dθa)
)
x
,
dw
dt1
=
(
−1
4
wxx +
3
4
w(Dθw) + 3a2w − 3
2
a(Dθax)− 3
4
ax(Dθa)
)
x
,
вперше отриманий Лаберже – Матьє [18, 20].
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 1. Суперсиметрична iєрархiя нелiнiйних динамiчних систем Ла-
берже – Матьє (12) на 2π-перiодичному функцiональному супермноговидi M1|1 ⊂
⊂ C∞(S1|1; R1|1) має нескiнченну послiдовнiсть законiв збереження (11), iнволю-
тивних вiдносно дужок Лi – Пуассона {., .}η та {., .}ϑ, породжених узгодженими
суперiмплектичними операторами η = ϑ0|M1|1 та ϑ = ϑ−1|M1|1 .
Отже, встановлено, що нескiнченна послiдовнiсть iнволютивних локальних за-
конiв збереження для iєрархiї Лаберже – Матьє суперсиметричних нелiнiйних ди-
намiчних систем (11) є редукцiєю на орбiту коприєднаної дiї алгебри Лi супер-
конформних векторних полiв на суперколi S1|2 вiдповiдних функцiоналiв Казiмiра.
Цi закони збереження перебувають в iнволюцiї вiдносно редукованих на цi орбiти
дужок Лi – Пуассона (6).
Слiд зауважити, що за допомогою спiввiдношення (8) можна отримати дос-
татньо широкий клас багатокомпонентних узгоджено бiгамiльтонових узагальнень
[16] суперсиметричної iєрархiї Лаберже – Матьє, пов’язаних з орбiтами елементiв
l̃ :=
N1−1∑
q=0
Wq(x, θ1, θ2)λq − λN1 ∈ G∗0 (13)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
912 О. Є. ГЕНТОШ
та
l̃ :=
N2∑
r=0
W̄r(x, θ1, θ2)λ−r − λ ∈ G∗0 , (14)
де Wq(x, θ1, θ2) = aq(x, θ1) + θ2wq(x, θ1), (aq, wq)> ∈ M1|1 ⊂ C∞(S1|1; R1|1),
q = 0, N1 − 1, N1 ∈ N, Wr(x, θ1, θ2) = ar(x, θ1) + θ2wr(x, θ1), (ar, wr)> ∈M1|1 ⊂
⊂ C∞(S1|1; R1|1), r = 0, N2, N2 ∈ Z+.
Розвинений А. К. Прикарпатським [3, 14] градiєнтно-голономний алгоритм пе-
редбачає iснування матричного зображення Лакса для iєрархiї нелiнiйних динамiч-
них систем на функцiональних многовидах, яка має узгоджену пару iмплектичних
операторiв. Для нелiнiйної динамiчної системи iз суперсиметричної iєрархiї Ла-
берже – Матьє таке зображення Лакса можна знайти у виглядi умови сумiсностi
лiнiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку
DθY = AY (15)
та
dY
dtj
= BjY, (16)
де A,B ∈ C∞(S1|1; sl(m|n)), A := A[a,w;λ] i Bj := B[a,w;λ] — вiдповiдно
непарна i парна суперматрицi порядку (m,n), m, n ∈ N, що залежать вiд функцiй
(a,w)> ∈M1|1 ⊂ C∞(S1|1; R1|1), їх суперпохiдних, а також iнварiантного вiдносно
еволюцiй (16) спектрального параметра λ ∈ C, Y := Y (x, θ;λ) ∈ L∞(S1|1; Cm|n),
j ∈ Z+.
Для спектральної задачi (15) можна ввести поняття суперматрицi монодромiї
S := S(x, θ;λ) як фундаментального розв’язку Y(x, x, θ;λ) ∈ L∞(S1|1; gl(m|n))
рiвняння (15), що задовольняє умову
Y(x, x, θ) = 1, 1 = diag
(
1, . . . , 1︸ ︷︷ ︸
m+n
)
,
таким чином:
S(x, θ;λ) = Y(x+ 2π, x, θ;λ).
При цьому градiєнт суперслiду ∆(x, θ;λ) := strS(x, θ;λ) суперматрицi монодромiї
спектральної задачi (15), для якого має мiсце рiвнiсть (9), породжує нескiнченну
послiдовнiсть градiєнтiв локальних законiв збереження (11) для iєрархiї Лаберже –
Матьє.
У випадку, коли A = A(a,w;λ), зв’язок градiєнта суперслiду суперматрицi
монодромiї S з її елементами можна записати так:
ϕ(x, θ;λ) := ∇l ∆(x, θ;λ) =
(
str((ISI)Aa)
str(SAw)
)
, (17)
де I = diag
(
1, . . . , 1︸ ︷︷ ︸
m
,−1, . . . ,−1︸ ︷︷ ︸
n
)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 913
Тому у випадку лiнiйної залежностi матрицi A вiд функцiй (a,w)> ∈ M1|1 та
спектрального параметра λ ∈ C:
A = aA1 + wA2 + λA3 +A5,
де A1, A2, A3, A5 — деякi сталi суперматрицi порядку (m,n), серед яких A1, A3,
A5 — непарнi, A2 — парнa, з урахуванням формул
DθΦ1 = strS[IAaI,A]1,
D2
θΦ1 = − strS[B0, IAaI],
D3
θΦ1 = strS
{
− [B0, [IAaI,A]1] + [IAaI,Ax]1
}
,
DθΦ0 = strS[Aw, A]1,
D2
θΦ0 = − strS[B0, Aw],
D5
θΦ0 = strS
{[
B0, [B0, [Aw, Ax]1]
]
− 2
[
B0, [Aw, Ax]1
]
−
−
[
B0,x, [Aw, A]1
]
+
[
Aw, Axx
]
1
}
,
в яких ϕ(x, θ;λ) := (Φ1,Φ0)>, B0 := (DθA) − (IAI)A, Aa = A1, Aw = A2,
а також [P,Q]1 := PQ − IQPI для будь-яких суперматриць P,Q ∈ gl(m|n), iз
спiввiдношень (10) отримуємо
1
2
[B0, [IAaI,A]1]− [IAaI,Ax]1 +
1
2
wAa − axAw+
+a[B0, Aw] +
1
2
(Dθa)I[B0, Aw]I = λ[B0, Aw],
(18)
a[B0, IAaI]−
1
2
ax(IAaI) +
1
2
(Dθa)I[IAaI,A]1I − wx(IAwI)+
+
3
2
wI[B0, Aw]I − 1
2
(Dθw)[Aw, A]1 +
1
2
{[B0, [B0, [Aw, Ax]1]]−
−2[B0, [Aw, Ax]1]− [B0,x, [Aw, A]1] + [Aw, Axx]1} =
= λ[B0, IAaI].
При встановленнi порядку суперматрицi A у рiвняннi (15) слiд врахувати, що
(m+ n)2 − 1 = 8 + κ, m2 + n2 − 1 = 4 + κ1, κ, κ1 ∈ Z+.
Суперматрицю A ∈ C∞(S1|1; sl(m|n)) у рiвняннi (15) будемо шукати як еле-
мент супералгебри Лi osp(2|2), взявши до уваги той факт, що супераналог рiвняння
Кортевега – де Фрiза [15, 16], отриманий за допомогою алгебри Лi суперконформ-
них векторних полiв на суперколi S1|1, пов’язаний з алгеброю Лi osp(2|1). У цьому
випадку з рiвностей (18) знаходимо
A1 = −A3 =
0 0 0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
−1 0 0 0
, A2 =
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
914 О. Є. ГЕНТОШ
A5 =
0 0 1 0
0 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 0
.
Таким чином, має мiсце наступна теорема.
Теорема 2. Суперсиметрична iєрархiя нелiнiйних динамiчних систем Лабер-
же – Матьє (12) має матричне зображення Лакса у виглядi умови сумiсностi лi-
нiйних диференцiальних рiвнянь першого порядку (15) та (16) iз суперматрицями
A, B ∈ C∞(S1|1; osp(2|2)), що залежать вiд спектрального параметра λ ∈ C, у
виглядi
A =
0 0 1 0
w 0 0 a− λ
0 1 0 0
−(a− λ) 0 0 0
,
Bj = (λj+1S)+, j ∈ Z+,
де нижнiй iндекс „+” позначає полiномiальну частину вiдповiдного виразу, S :=
:= S(x, θ;λ) '
∑
j∈Z+
Sjλ
−j — асимптотичний розклад суперматрицi монодро-
мiї рiвняння (15), у якому
S0 =
0 0 0 0
−1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
.
Якщо у лiнiйному диференцiальному рiвняннi (15) вибрати Y = (f, g, ψ, φ)> ∈
∈ L∞(S1|1; Cm|n), то його можна замiнити еквiвалентним спектральним спiввiдно-
шенням
(Dθ1Dθ2 +W )ȳ = λȳ,
де W := W (x, θ1, θ2), ȳ := ȳ(x, θ1, θ2) = f(x, θ1) + θ2φ(x, θ1), яке задається са-
моспряженим оператором L = Dθ1Dθ2 + W у просторi 2π-перiодичних функцiй
ȳ ∈ L∞(S1|2; C1|0).
3. Iнварiантнi редукцiї типу Неймана суперсиметричної iєрархiї Лаберже –
Матьє. Наявнiсть матричного зображення Лакса (15), (16) з iнварiантним вiдносно
еволюцiй
d
dtj
, j ∈ Z+, спектральним параметром λ ∈ R та нескiнченної по-
слiдовностi iнволютивних локальних законiв збереження (11) дозволяє розвинути
для суперсиметричної iєрархiї Лаберже – Матьє (12) метод редукування на нело-
кальнi iнварiантнi пiдпростори та звести знаходження її часткових розв’язкiв до
iнтегрування в квадратурах нелiнiйних динамiчних систем на скiнченновимiрних
симплектичних супермноговидах.
Далi будемо вважати, що iснуютьN ∈ N рiзних власних значень λ1, λ2, . . . , λN ∈
∈ R спектральної задачi (15) з вiдповiдними власними вектор-функцiями Yi =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 915
= (fi, gi, ψi, φi)> ∈ W := L∞(S1|1; R2|2), i = 1, N. Слiд зауважити, що у цьому
випадку кожна вектор-функцiя Ȳi = (−gi, fi,−ψi,−φi)> ∈ W є власною для спря-
женої до (15) спектральної задачi i вiдповiдає її власному значенню λi ∈ R.
Розглядаючи цi власнi значення як гладкi за Фреше функцiонали на супермно-
говидi M1|1, дослiдимо диференцiально-геометричнi властивостi векторних полiв
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N, редукованих на їх iнварiантний пiдпростiр M1|1
N ⊂M1|1:
M
1|1
N :=
{
(a,w)> ∈M1|1 : ∇l LN [a,w] = 0
}
, (19)
в якому функцiонал Лагранжа LN має вигляд
LN = −1
2
γ0 +
∑N
i=1 ciλi,
де ci ∈ Λ0 ⊃ R — деякi константи.
Пiдпростiр (19) можна описати явно, обчисливши за допомогою спектральної
задачi (15) лiвi градiєнти власних значень λi ∈ D(M1|1), i = 1, N :
∇l λi =
1
µi
(
fiφi,
1
2
f2
i
)
,
де µi :=
∫ 2π
0
∫
dθ fiφi, µi ∈ D(M1|1×WN ), i = 1, N, — нормуючi множники, якi
є iнварiантами векторних полiв
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N.
У випадку µi = ci, i = 1, N, умова (19) набирає вигляду обмежень типу Не-
ймана [19, 22, 30]:
N∑
i=1
f2
i = 1,
N∑
i=1
figi = 0,
N∑
j=1
fiψi = 0,
N∑
j=1
fiφi = 0. (20)
Iз спектральної задачi (15) можна отримати спiввiдношення для функцiй (a,w)> ∈
∈M1|1 та описати пiдпростiр M1|1
N еквiвалентним чином:
M
1|1
N =
{
(a,w)> ∈M1|1 : a =
N∑
i=1
(λif
2
i − φiψi), w =
N∑
i=1
(λifiφi − giψi)
}
. (21)
Тобто розв’язки суперсиметричної iєрархiї Лаберже – Матьє (12) на пiдпросто-
рi (21) можна виразити через координати власних вектор-функцiй Yi, i = 1, N.
Цей факт використаємо для введення координат на пiдпросторi M1|1
N ⊂M1|1.
Розглянемо на фазовому просторi M̃1|1 := M1|1 ×WN iєрархiї спарених дина-
мiчних систем (12), (16) з параметром λ = λi ∈ R, i = 1, N, функцiонал Лагранжа
L̃N :=
∫ 2π
0
∫
dθ L̃N [a,w,Y]:
L̃N := −1
2
γ̄0 +
N∑
j=1
λ
′
i +
N∑
i=1
siµi,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
916 О. Є. ГЕНТОШ
де λ
′
i :=
∫ 2π
0
∫
dθ
(
(Dθfi)gi+afiφi−giψi+
1
2
((Dθφi)φi+(Dθψi)ψi+wf2
i )
)
, si ∈
∈ Λ0 ⊃ R, i = 1, N, — деякi константи, Y := (Y1, Y2, . . . , YN ). Умова
∇l L̃N [a,w,Y] = 0 задає iнварiантний пiдпростiр M̃1|1
N ⊂ M̃1|1 цих iєрархiй.
За допомогою аналога диференцiального спiввiдношення Гельфанда – Дiкого [3,
27] для функцiонального супермноговиду M̃1|1:
dL̃N [a,w,Y] =
〈
(da, dw, dY)>, ∇l L̃N [a,w,Y]
〉
+Dθα
(1),
де символом 〈 , 〉 позначено звичайний скалярний добуток в R(2N+1)|(2N+1),
(a,w,Y)> ∈ M̃
1|1
N , знаходимо точну парну 2-форму ω(2) = dα(1), яка набирає
вигляду
ω(2) =
N∑
i=1
(
dfi ∧ dgi −
1
2
dφi ∧ dφi −
1
2
dψi ∧ dψi
)
. (22)
Ця 2-форма є виродженою на M̃1|1
N ⊂ M̃2|2, але задає канонiчну парну суперсимп-
лектичну структуру [4, 32, 33] на пiдпросторi M1|1
N , який можна вкласти в M̃1|1
N ,
врахувавши спiввiдношення (21). Iснування такої структури доводить дифеоморф-
нiсть пiдпростору M
1|1
N ⊂ M1|1, заданого умовою (19), та скiнченновимiрного
супермноговиду T ∗(SN−1) ⊗HN−2 ⊗HN−2 ⊂ R2N |2N , де T ∗(SN−1) — кодотич-
ний простiр до сфери SN−1, а HN−2 — проективна (N − 2)-вимiрна гiперповерхня
у просторi R0|N , iз суперсимплектичною структурою (22).
Оскiльки
dLN
dx
= 0,
dLN
dtj
= 0, j ∈ N,
то iснують функцiї h̃(x), h̃(tj) ∈ D(M̃1|1), якi задовольняють спiввiдношення〈(
da
dx
,
dw
dx
,
dY
dx
)>
, ∇l L̃N [a,w,Y]
〉
= Dθh̃
(x), (23)
〈(
da
dtj
,
dw
dtj
,
dY
dtj
)>
, ∇l L̃N [a,w,Y]
〉
= Dθh̃
(tj). (24)
Можна показати, що для таких функцiй на пiдпросторi M̃1|1
N ⊂ M̃1|1 мають мiсце
рiвностi
id/dxω
(2) = −dh̃(x), id/dtj
ω(2) = −dh̃(tj), j ∈ N, (25)
де id/dx, id/dtj
— внутрiшнi диференцiювання за векторними полями
d
dx
: M̃1|1
N →
→ T (M̃1|1
N ) та
d
dtj
: M̃1|1
N → T (M̃1|1
N ), j ∈ N, вiдповiдно в алгебрi Грассмана
диференцiальних форм на R(2N+1)|(2N+1).
При редукуваннi на пiдпростiр M1|1
N ⊂ M̃
1|1
N рiвностi (25) зберiгаються, а отже,
функцiї h(x), h(tj) ∈ C∞(R2N |2N ; R1|0):
h(x) := h̃(x)|
M
1|1
N
, h(tj) := h̃(tj)|
M
1|1
N
, j ∈ N,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 917
є гамiльтонiанами векторних полiв
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N, вiдповiдно на пiдпросторi
M
1|1
N ⊂M1|1 за умови, що параметри si ∈ Λ0 ⊃ R, i = 1, N, вибрано таким чином:
si = −λi, i = 1, N.
Наприклад, для векторного поля
d
dx
:=
d
dt0
на пiдпросторах M̃
1|1
N ⊂ M̃1|1 та
M
1|1
N ⊂M1|1 з формули (23) отримуємо
h̃(x) = −1
2
(
N∑
i=1
g2
i +
N∑
i=1
(a− λi)2f2
i − (Dθw)
(
N∑
i=1
f2
i − 1
))
+
+ (Dθa)
N∑
i=1
fiφi − w
N∑
i=1
fiψi −
N∑
i=1
(a− λi)φiψi,
h(x) = −1
2
N∑
i=1
(g2
i + λif
2
i − 2λiφiψi)−
(
N∑
k=1
(λkf
2
k − φkψk)
)2.
Векторне поле
d
dx
, редуковане на M1|1
N ' T ∗(SN−1) ⊗HN−2 ⊗HN−2 ⊂ R2N |2N ,
можна розглядати як гамiльтоновий супераналог осциляторної динамiчної системи
типу Неймана [19, 22, 30].
Аналогiчно можна знайти гамiльтонiани h(tj) ∈ C∞(R2N |2N ; R1|0) векторних
полiв
d
dtj
, j ∈ N, на пiдпросторi M1|1
N ⊂M1|1 для будь-якого j ∈ N.
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 3. Суперсиметрична iєрархiя Лаберже – Матьє (12) допускає iнва-
рiантну редукцiю на пiдпростiр M1|1
N ⊂ M1|1, дифеоморфний до скiнченновимiр-
ного супермноговиду T ∗(SN−1) ⊗HN−2 ⊗HN−2 ⊂ R2N |2N з канонiчною парною
суперсимплектичною структурою ω(2) ∈ Λ2(R2N |2N ) у виглядi (22). На цьому
супермноговидi векторнi поля
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N, породженi iєрархiєю (12), є
гамiльтоновими вiдносно суперсимплектичної структури (22). Вiдповiднi функцiї
Гамiльтона h(x), h(tj) ∈ C∞(R2N |2N ; R1|0), j ∈ N, є редукцiями функцiй h̃(x),
h̃(tj) ∈ D(M̃1|1), що задовольняють рiвностi (23), (24), на пiдпростiр M
1|1
N ⊂
⊂ M̃
1|1
N . Спiввiдношення (21) описують усi перiодичнi розв’язки iєрархiї (12) на
пiдпросторi M1|1
N .
Для доведення iнтегровностi гамiльтонових векторних полiв
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N,
на M1|1
N для будь-якого N ∈ N знайдемо їх матричне зображення Лакса, залеж-
не вiд спектрального параметра λ ∈ R, редукувавши суперматрицю монодромiї
спектральної задачi (15) на цей пiдпростiр.
Теорема 4. Для гамiльтонових векторних полiв
d
dtj
, j ∈ Z+, на скiнченно-
вимiрному симплектичному супермноговидi M1|1
N ' T ∗(SN−1)⊗HN−2 ⊗HN−2 ⊂
⊂ R2N |2N iснують матричнi зображенням Лакса
dSN
dtj
= [Bj,N , SN ], (26)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
918 О. Є. ГЕНТОШ
деBj,N := Bj,N (Y;λ) = Bj [a,w;λ]|
M
1|1
N
, j ∈ Z+,— проекцiї вiдповiдних супермат-
риць на M1|1
N , а суперматриця SN := SN (Y;λ) = S(x, θ;λ)|
M
1|1
N
має вигляд
SN =
N∑
i=1
1
λ− λi
−figi f2
i fiψi fiφi
−g2
i figi giψi giφi
−giψi fiψi 0 ψiφi
−giφi fiφi φiψi 0
+
+
0 0 0 0∑N
i=1
(λif
2
i − 2φiψi) 0 0 0
0 0 0 −1
0 0 1 0
− λ
0 0 0 0
1 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
, λ ∈ C.
Доведення. Матричне зображення Лакса для векторного поля
d
dx
:=
d
dt0
на
M
1|1
N можна отримати, використавши властивiсть градiєнта суперслiду
∆(x, θ;λ) := strS(x, θ;λ) суперматрицi монодромiї
S := S(x, θ;λ) =
S11 S12 S13 S14
S21 −S11 S23 S24
−S23 S13 0 S34
−S24 S14 −S34 0
∈ osp(2|2)
для спектральної задачi (15) породжувати градiєнти локальних законiв збережен-
ня (11) для суперсиметричної iєрархiї Лаберже – Матьє (12) за допомогою спiввiд-
ношення (9), у якому враховано умови (17). Зв’язок цього градiєнта з елементами
суперматрицi монодромiї S, який набирає вигляду
ϕ(x, θ;λ) =
(
2S14
S12
)
,
та спiввiдношення для градiєнтiв власних значень
ϑ∇l λi = λi η ∇l λi, i = 1, N,
дозволяють встановити вигляд елементiв S12 та S14 на пiдпросторi M1|1
N . За допо-
могою аналога рiвняння Новiкова – Марченка [2, 28]
DθS = AS − (ISI)A (27)
знаходимо iншi елементи суперматрицi S на M1|1
N .
Iз спiввiдношення (27) отримуємо рiвняння
dS
dx
= [B0,N , S],
B0 = (DθA)− (IAI)A,
яке на пiдпросторi M1|1
N задає зображення Лакса (26) для векторного поля
d
dx
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 919
Вiдповiднi зображення Лакса (26) для векторних полiв
d
dtj
, j ∈ N, на M1|1
N
виникають з умови сумiсностi диференцiальних рiвнянь (15) i (16)
dA
dtj
− (DθBj) = (IBjI)A−ABj , j ∈ N.
Теорему доведено.
Редукована на пiдпростiр M1|1
N cуперматриця монодромiї S задає вiдображення
Ю. Мозера [22] S(x, θ;λ) 7→ SN (Y;λ).
Наслiдком з теореми 4 є iнварiантнiсть функцiоналiв strSn
N , n ∈ N, вiдносно
векторних полiв
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N, на пiдпросторi M1|1
N ⊂ M1|1. При цьому
коефiцiєнти σi ∈ C∞(R2N |2N ; R1|0), i = 1, N, розкладу функцiонала
−1
2
strSN :=
N∑
i=1
σi
λ− λi
,
де
σi =
N∑
k=1,k 6=i
(figk − gifk + ψiψk + φiφk)2
λi − λk
+ λif
2
i −
−2φiψi − f2
i
(
N∑
p=1
(λpf
2
p − 2φpψp)
)
,
утворюють множину N ∈ N функцiонально незалежних законiв збереження цих
векторних полiв на M1|1
N ' T ∗(SN−1) ⊗ HN−2 ⊗ HN−2 ⊂ R2N |2N . Функцiї σi,
i = 1, N, перебувають в iнволюцiї вiдносно породженої парною суперсимплектич-
ною структурою (22) дужки Пуассона на ∈ C∞(R2N |2N ; R1|0):
{F,G}ω(2) =
N∑
i=1
(
∂F
∂gi
∂G
∂fi
− ∂F
∂fi
∂G
∂gi
+
∂rF
∂ψi
∂lG
∂ψi
+
∂rF
∂φi
∂lG
∂φi
)
,
де F, G ∈ C∞(R2N |2N ; R1|0),
∂l
∂β
та
∂r
∂β
— оператори лiвої i правої похiдних вiдпо-
вiдно за антикомутативною змiнною β, i забезпечують iнтегровнiсть за Лiувiллем
векторних полiв
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N, на дiйсному базовому многовидi MN ⊂ R2N
cимплектичного супермноговиду M
1|1
N , а згiдно з дослiдженнями В. Н. Шанде-
ра [31] i на M1|1
N ⊂M1|1.
Для знаходження розв’язкiв iнтегровних за Лiувiллем динамiчних систем на
скiнченновимiрному симплектичному супермноговидiM1|1
N ' T ∗(SN−1)⊗HN−2⊗
⊗ HN−2 ⊂ R2N |2N необхiдно розвинути метод iнтегрування в квадратурах дина-
мiчних систем на скiнченновимiрних симплектичних многовидах за допомогою
перетворень Гамiльтона – Якобi [25, 29, 30].
4. Висновки. У статтi запропоновано Лi-алгебраїчний опис iєрархiї Лаберже –
Матьє узгоджено бiгамiльтонових та iнтегровних за Лаксом суперсиметричних не-
лiнiйних динамiчних систем на функцiональному супермноговидiM1|1 ⊂ C∞(S1|1;
R1|1) як гамiльтонових потокiв на спряженому просторi центрально-розширеної
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
920 О. Є. ГЕНТОШ
алгебри рядiв Лорана над супералгеброю Лi суперконформних векторних полiв на
суперколi S1|2 ' S×Λ2
1 на основi R-операторного методу [6, 16, 19] та процедури
редукування на орбiту полiномiального типу вiдповiдної коприєднаної дiї. За допо-
могою редукованого на цю орбiту спiввiдношення для функцiоналiв Казiмiра (9) у
випадку суперслiду суперматрицi монодромiї асоцiйованої спектральної задачi (15)
як породжуючого функцiонала локальних законiв збереження знайдено матричне
зображення Лакса для iєрархiї Лаберже – Матьє в алгебрi рядiв Лорана над на-
пiвпростою супералгеброю Лi osp(2|2). Використовуючи розвинений у статтi Лi-
алгебраїчний пiдхiд до конструювання узгоджено бiгамiльтонових та iнтегровних
за Лаксом суперсиметричних нелiнiйних динамiчних систем, можна отримати ба-
гатокомпонентнi узагальнення [16] суперсиметричної iєрархiї Лаберже – Матьє (12)
на орбiтах коприєднаної дiї вигляду (13) та (14).
Iснування матричного зображення Лакса з iнварiантним вiдносно еволюцiй
спектральним параметром та узгодженої пари дужок Пуассона дозволило роз-
винути для суперсиметричної iєрарахiї Лаберже – Матьє метод редукування на
iнварiантний пiдпростiр типу Неймана (20) та звести знаходження її часткових
розв’язкiв до iнтегрування в квадратурах динамiчних систем на скiнченновимiрно-
му симплектичному супермноговидi. Зокрема, показано, що цей пiдпростiр дифео-
морфний до скiнченновимiрного супермноговиду T ∗(SN−1) ⊗ HN−2 ⊗ HN−2 ⊂
⊂ R2N |2N з точною канонiчною парною суперсимплектичною структурою [4, 32,
33], а редукованi на нього векторнi поля
d
dx
та
d
dtj
, j ∈ N, є гамiльтоновими
та iнтегровними за Лаксом – Лiувiллем динамiчними системами. Описану в статтi
схему редукування можна застосувати для отримання a priori гамiльтонових та
iнтегровних за Лаксом – Лiувiллем динамiчних систем на скiнченновимiрних су-
пермноговидах як iнварiантних редукцiй суперсиметричних iєрархiй, заданих на
перiодичних функцiональних супермноговидах однiєї антикомутативної незалеж-
ної змiнної, з матричним зображенням Лакса (15), (16) на пiдпростори розв’язкiв,
породженi локальними законами збереження та власними значеннями вiдповiдної
спектральної задачi. У зв’язку з цим виникає необхiднiсть розвинути для iнтегров-
них за Лiувiллем динамiчних систем на скiнченновимiрних симплектичних су-
пермноговидах метод iнтегрування за допомогою перетворень Гамiльтона – Якобi,
запропонований у монографiї [25].
1. Lax P. Periodic solutions of the Korteweg – de Vries equation // Communs Pure and Appl. Math. – 1975.
– 28, № 2. – P. 85 – 96.
2. Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский А. П. Теория солитонов: метод обратной
задачи / Под ред. С. П. Новикова. – М.: Наука, 1980. – 319 с.
3. Prykarpatsky A., Mykytiuk I. Algebraic integrability of nonlinear dynamical systems on manifolds:
classical and quantum aspects. – Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., 1998. – 554 p.
4. Гентош О., Притула М., Прикарпатський А. Диференцiально-геометричнi та Лi-алгебраїчнi осно-
ви дослiдження iнтегровних нелiнiйних динамiчних систем на функцiональних многовидах. –
Львiв: Львiв. нац. ун-т, 2006. – 408 с.
5. Прикарпатський А. К., Фiль Б. М. Категорiя топологiчних джет-многовидiв та деякi застосування
в теорiї нелiнiйних нескiнченновимiрних динамiчних систем // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 9.
– С. 1242 – 1256.
6. Тахтаджян Л. А., Фаддеев Л. Д. Гамильтонов подход в теории солитонов. – М.: Наука, 1986. –
527 с.
7. Рейман А. Г., Семенов-Тян-Шанский М. А. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход.
– М.; Ижевск: Ин-т компьют. исслед., 2003. – 352 с.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
IНТЕГРОВНА ЗА ЛАКСОМ IЄРАРХIЯ ЛАБЕРЖЕ – МАТЬЄ СУПЕРСИМЕТРИЧНИХ ... 921
8. Oevel W. R-structures, Yang – Baxter equations and related involution theorems // J. Math. Phys. – 1989.
– 30, № 5. – P. 1140 – 1149.
9. Manin Yu. I., Radul A. O. A supersymmetric extension of the Kadomtsev – Petviashvili hierarchy //
Communs Math. Phys. – 1985. – 98. – P. 65 – 77.
10. Oevel W., Popowicz Z. The bi-Hamiltonian structure of fully supersymmetriс Korteweg-de Vries systems
// Ibid. – 1991. – 139. – P. 441 – 460.
11. Morosi C., Pizzocchero L. On the bi-Hamiltonian structure of the supersymmetric KdV hierarchies. A
Lie superalgebraic approach // Ibid. – 1993. – 158. – P. 267 – 288.
12. Morosi C., Pizzocchero L. osp(3, 2) and gl(3, 3) supersymmetric KdV hierarchies. A Lie superalgebraic
approach // Phys. Lett. A. – 1994. – 185. – P. 241 – 252.
13. Magri F. A simple model of the integrable Hamiltonian equation // J. Math. Phys. – 1978. – 19. –
P. 1156 – 1162.
14. Митропольский Ю. А., Боголюбов Н. Н. (мл.), Прикарпатский А. К., Самойленко В. Г. Интегри-
руемые динамические системы: спектральные и дифференциально-геометрические аспекты / Под
ред. О. С. Парасюка. – Киев: Наук. думка, 1987. – 296 с.
15. Кулиш П. П. Аналог уравнения Кортевега – де Фриза для суперконформной алгебры // Зап. науч.
сем. Ленингр. отд-ния Мат. ин-та АН СССР. – 1986. – 155. – С. 142 – 148.
16. Гентош О. Є. Узгоджено бiгамiльтоновi суперконформнi аналоги iнтегровних за Лаксом нелiнiй-
них динамiчних систем // Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 7. – С. 887 – 900.
17. Лейтес Д. А., Фейгин Б. Л. Новые супералгебры Ли струнных теорий // Теоретико-групповые
методы в физике. – М.: Наука, 1983. – 1. – С. 269 – 278.
18. Mathieu P. Supersymmetriс extension of the Korteweg – de Vries equation // J. Math. Phys. – 1988. –
29, № 11. – P. 2499 – 2506.
19. Prykarpatsky A., Hentosh O., Kopych M., Samuliak R. Neumann – Bogoliubov – Rosochatius oscillatory
dynamical systems and their integrability via dual moment maps. I // J. Nonlinear Math. Phys. – 1995. –
2, № 2. – P. 98 – 113.
20. Laberge C.-A., Mathieu P. N = 2 superconformal algebra and integrable O(2) fermionic extensions of
the Korteweg – de Vries equation // Phys. Lett. B. – 1988. – 215, № 4. – P. 718 – 722.
21. Богоявленский О. И., Новиков С. П. О связи гамильтоновых формализмов стационарных и неста-
ционарных задач // Функцион. анализ и его прил. – 1976. – 10, № 1. – С. 9 – 13.
22. Мозер Ю. Некоторые аспекты интегрируемости гамильтоновых систем // Успехи мат. наук. – 1981.
– 36, № 5. – С. 109 – 151.
23. Prykarpatsky A. K., Hentosh O. E., Blackmore D. L. The finite-dimensional Moser type reductions of
modified Boussinesq and super-Korteweg – de Vries Hamiltonian systems via the gradient-holonomic
algorithm and the dual moment maps. I // J. Nonlinear Math. Phys. – 1997. – 4, № 3-4. – P. 455 – 469.
24. Blaszak M. Multi-Hamiltonian theory of dynamical systems. – New York: Springer, 1998. – 350 p.
25. Самойленко А. М., Прикарпатський Я. А. Алгебро-аналiтичнi аспекти цiлком iнтегровних дина-
мiчних систем та їх збурень. – Київ: Iн-т математики НАН України, 2002. – 237 с.
26. Гентош О. Є. Гамiльтоновi скiнченновимiрнi редукцiї осциляторного типу iнтегровних за Лаксом
суперконформних iєрархiй // Нелiнiйнi коливання. – 2006. – 58, № 7. – С. 887 – 900.
27. Гельфанд И. М., Дикий Л. А. Интегрируемые нелинейные уравнения и теорема Лиувилля //
Функцион. анализ и его прил. – 1979. – 13, № 1. – С. 8 – 20.
28. Марченко В. А. Операторы Штурма – Лиувилля и их приложения. – Киев: Наук. думка, 1977. –
332 с.
29. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. – М.: Наука, 1989. – 472 c.
30. Переломов А. М. Интегрируемые системы классической механики и алгебры Ли. – М.: Наука,
1990. – 240 с.
31. Шандер В. Н. О полной интегрируемости обыкновенных дифференциальных уравнений на су-
пермногообразиях // Функцион. анализ и его прил. – 1983. – 17, № 1. – С. 89 – 90.
32. Березин Ф. А. Введение в алгебру с антикоммутирующими переменными. – М.: Изд-во Моск.
ун-та, 1983. – 208 с.
33. Shander V. N. Analogues of the Frobenius and Darboux theorems for supermanifolds // Докл. Болгар.
акад. наук. – 1983. – 36, № 3. – С. 309 – 311.
Одержано 26.12.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3066 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:36Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/6c/e184e48093548df38c5a4a7f12dfb16c.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30662020-03-18T19:44:40Z Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type Інтегровна за Лаксом ієрархія Лаберже - Матьє суперсиметричних нелінійних динамічних систем та її скінченновимірна редукція типу Неймана Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. A compatibly bi-Hamiltonian Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems is obtained by using a relation for the Casimir functionals of the central extension of a Lie algebra of superconformal even vector fields of two anticommuting variables. Its matrix Lax representation is determined by using the property of the gradient of the supertrace of the monodromy supermatrix for the corresponding matrix spectral problem. For a supersymmetric Laberge–Mathieu hierarchy, we develop a method for reduction to a nonlocal finite-dimensional invariant subspace of the Neumann type. We prove the existence of a canonical even supersymplectic structure on this subspace and the Lax–Liouville integrability of the reduced commuting vector fields generated by the hierarchy. С помощью соотношения для функционалов Казимира центрального расширения алгебры Ли суперконформных четных векторных полей двух антикоммутативных переменных получена согласованно бигамильтонова иерархия Лаберже - Матье суперсимметричных нелинейных динамических систем. Ее матричное изображение Лакса найдено на основании свойства градиента суперследа суперматрицы монодромии для соответствующей матричной спектральной задачи. Для суперсимметричной иерархии Лаберже - Матье развит метод редуцирования на нелокальное конечномерное инвариантное подпространство типа Неймана. Доказаны существование канонической четной суперсимплектической структуры на этом подпространстве и интегрируемость по Лаксу - Лиувиллю редуцированных коммутирующих векторных полей, порожденных иерархией. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3066 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 906-921 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 906-921 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3066/2881 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3066/2882 Copyright (c) 2009 Hentosh О. Ye. |
| spellingShingle | Hentosh, О. Ye. Гентош, О. Є. Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type |
| title | Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type |
| title_alt | Інтегровна за Лаксом ієрархія Лаберже - Матьє суперсиметричних нелінійних динамічних систем та її скінченновимірна редукція типу Неймана |
| title_full | Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type |
| title_fullStr | Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type |
| title_full_unstemmed | Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type |
| title_short | Lax-integrable Laberge–Mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of Neumann type |
| title_sort | lax-integrable laberge–mathieu hierarchy of supersymmetric nonlinear dynamical systems and its finite-dimensional reduction of neumann type |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3066 |
| work_keys_str_mv | AT hentoshoye laxintegrablelabergemathieuhierarchyofsupersymmetricnonlineardynamicalsystemsanditsfinitedimensionalreductionofneumanntype AT gentošoê laxintegrablelabergemathieuhierarchyofsupersymmetricnonlineardynamicalsystemsanditsfinitedimensionalreductionofneumanntype AT hentoshoye íntegrovnazalaksomíêrarhíâlaberžematʹêsupersimetričnihnelíníjnihdinamíčnihsistemtaíískínčennovimírnaredukcíâtipunejmana AT gentošoê íntegrovnazalaksomíêrarhíâlaberžematʹêsupersimetričnihnelíníjnihdinamíčnihsistemtaíískínčennovimírnaredukcíâtipunejmana |