Convergence of solutions of backward stochastic equations
We establish conditions for the weak convergence of solutions of backward stochastic equations in the case of the weak convergence of coefficients.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3067 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509092586455040 |
|---|---|
| author | Erisova, I. A. Єрісова, І. А. |
| author_facet | Erisova, I. A. Єрісова, І. А. |
| author_sort | Erisova, I. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | We establish conditions for the weak convergence of solutions of backward stochastic equations in the case of the weak convergence of coefficients. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:36Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
И. А. Ерисова (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ
ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ*
We obtain conditions for the weak convergence of solutions of backward stochastic equations in the case of
weak convergence of coefficients.
Одержано умови слабкої збiжностi розв’язкiв обернених стохастичних рiвнянь за слабкої збiжностi
коефiцiєнтiв.
1. Введение. Проблемы, связанные с изучением тепловых и диффузионных про-
цессов в средах с сильно изменяющимися свойствами во времени и по простран-
ственным переменным, давно рассматриваются в математической литературе (обзо-
ры имеющихся результатов можно найти в [1, 2]). Математически это можно ас-
социировать с задачей о предельном переходе в уравнениях со слабосходящимися
коэффициентами. Для квазилинейных уравнений с одной пространственной пере-
менной соответствующая теорема доказана в [1] (теорема 1). Аналогичный резуль-
тат можно доказать в многомерном случае вероятностными методами, использовав
введенные Э. Парду и С. Пенг в работе [3] уравнения, названные ими обратными
стохастическими уравнениями (ОСУ). Предложенный ими метод позволил дать
вероятностное представление решений нелинейных параболических уравнений.
Таким образом, имея предельные теоремы для решений ОСУ, мы получаем и пре-
дельные теоремы для решений нелинейных уравнений в частных производных.
Кроме того, представляет и самостоятельный интерес развитие асимптотических
методов для ОСУ.
В настоящей работе исследуется сходимость мер, порожденных решениями
обратных стохастических уравнений с коэффициентами, которые зависят от мало-
го параметра ε, при стремлении последнего к нулю. Известно, что для сходимости
решений уравнений в частных производных [1, 2, 4] и для слабой сходимости
решений уравнений Ито [5, 6] слабой сходимости коэффициентов уравнений не-
достаточно. Необходимо накладывать дополнительные условия на коэффициенты
при старших производных и, соответственно, на коэффициент диффузии. Напри-
мер, в [6] (теорема 11.3.3) предполагается, что он удовлетворяет условию типа
условия Липшица. В этой статье, следуя [1, 2], будем требовать равностепенную
непрерывность по x коэффициентов диффузии в некотором интегральном смысле.
В п. 1 вводятся обозначения и даются определения, основная теорема доказы-
вается в п. 2. В п. 3 приводятся примеры применения полученного результата.
Пусть Rn — n-мерное евклидово пространство, (·, ·) — скалярное произведение
его элементов. Обозначим пространство непрерывных функций x(t), t ∈ [0, T ], со
значениями в Rn через C
(
[0, T ];Rn
)
. На этом пространстве будем рассматривать
топологию равномерной сходимости и топологию Мейера – Чжена [7]. Для слабой
сходимости в этих топологиях используем обозначения =⇒ и
M−Z=⇒ соответственно.
Отметим, что использование топологии Мейера – Чжена играет ключевую роль, так
как не удается доказать относительную компактность семейства мер, порожденных
*Выполнена при поддержке фонда совместных научных проектов НАН Украины и Российского
фонда фундаментальных исследований (№ 104).
c© И. А. ЕРИСОВА, 2009
922 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 923
исследуемыми процессами, в более сильной топологии Скорохода на простран-
стве D
(
[0, T ];Rp
)
— пространстве непрерывных справа, имеющих левосторонние
пределы функций x(t), t ∈ [0, T ], со значениями в Rp. Топология Мейера – Чжена
является метрической и может быть введена как топология, порожденная метрикой
d(x, y):
d(x, y) =
T∫
0
(
|x(s)− y(s)| ∧ 1
)
ds, x, y ∈ D([0, T ];Rp).
Сходимость в метрике d равносильна сходимости по мере Лебега. Через ρ(h) бу-
дем обозначать функции типа модуля непрерывности, т. е. непрерывные в точке
h = 0, неотрицательные, неубывающие при h ≥ 0 функции, для которых ρ(0) = 0.
Буквой C обозначены различные постоянные, не зависящие от ε, I(A) — инди-
катор события A. Далее, z(j) — вектор, у которого на j-м месте находится zj ,
а остальные координаты равны нулю. Пусть Q — некоторая область. Для функ-
циональных пространств используем обычные обозначения [8]: Ck(Q), Lp(Q),
Lp,loc(Q), W 1,2
p (Q), W 1,2
p,loc(Q), C∞0 (Q) и т. д. Нормы в пространствах обозначим
символом ‖ ‖ с соответствующим знаком внизу, слабую сходимость функций в
L2,loc — символом ⇀. Для α ∈ (0, 1] положим
|u|0,α(Q) = sup
(t,x)∈Q
|u(t, x)|+ sup
(t,x), (τ,y)∈Q
(t,x)6=(τ,y)
|u(t, x)− u(τ, y)|
(|x− y|+ |t− τ |1/2)α
.
Для области V через ∂V обозначим ее границу. Гладкость области определяется
гладкостью ее границы [8], V ∈ C2, если ∂V ∈ C2. Пусть Ql =
{
x : − l < xi < l,
i = 1, 2, . . . , n
}
— n-мерный куб и V ∈ Rn — область с гладкой границей класса
C2, содержащаяся в Ql. Для функции ϕ(t, x) ∈ C∞0 ([0, T ]× V ) положим
Φi,j(t, x) =
xi∫
−l
xj∫
−l
ϕ(t, x1, . . . , xi−1, u, xi+1, . . . , xj−1, v, xj+1, . . . , xn)dvdu
и определим норму
〈ϕ〉αij
(
[0, T ]× V
)
= ‖ϕ‖L2([0,T ]×V ) + |Φij |0,α([0, T ]× V ).
Для области Q = [0, T ]× V обозначим
ΓT =
{
(t, x) : (t ∈ [0, T ), x ∈ ∂V ) ∪ (t = T, x ∈ V )
}
.
Пусть D ∈ Rn — область с гладкой границей класса C2, тогда для области
Q̃ = [0, T ]×D аналогично введем
Γ̃T =
{
(t, x) : (t ∈ [0, T ), x ∈ ∂D) ∪ (t = T, x ∈ D)
}
.
Через (Ω,F ,P) обозначим вероятностное пространство, где Ω = C([0, T ];Rn) ×
× C([0, T ];Rk), F — σ-алгебра борелевских подмножеств этого множества, E —
символ математического ожидания. Если ξ(t), t ∈ [0, T ], — случайный процесс, то
Fξ
t — наименьшая фильтрация, порожденная ξ(s), s ∈ [0, t]. Рассмотрим решения
ОСУ в виде
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
924 И. А. ЕРИСОВА
Y ε(t) = gε
(
Xε(T )
)
+
T∫
t
fε
(
s,Xε(s), Y ε(s)
)
ds−
T∫
t
Zε(s)dw(s), (1.1)
где
Xε(t) = x+
t∫
0
bε(s,Xε(s))ds+
t∫
0
σε(s,Xε(s))dw(s). (1.2)
В уравнениях (1.1) и (1.2) w(t) — n-мерный винеровский процесс, функции gε(x),
fε(s, x, y) ∈ Rk, Zε(t) — матричнозначный процесс размерности k×n, Xε(t) ∈ Rn,
bε(t, x), σε(t, x) — векторная и матричная функции соответствующих размерностей.
Будем предполагать, что уравнение (1.2) при каждом ε > 0 имеет сильное решение.
В дальнейшем Ft = Fw
t .
Пара Ft-согласованных процессов (Y ε(t), Zε(t)) со значениями в Rk × Rk×n
называется решением задачи (1.1), если:
a) E
∫ T
0
|Zε(t)|2dt <∞,
b) равенство (1.1) выполнено с вероятностью 1.
Меру, соответствующую процессу Xε на C([0, T ];Rn), обозначим через µε, а меру,
соответствующую процессу Y ε на C([0, T ];Rk), — через νε. В работе [9] доказа-
на слабая сходимость νε =⇒ ν для функций fε(t, x, y), имеющих при каждом y
сильные в Ln+1 пределы. От коэффициентов уравнения (1.2) требовалось выпол-
нение условий (N) и (V) работы [5]. Как отмечено выше, в настоящей статье мы
исследуем слабую сходимость мер при слабой в L2,loc сходимости коэффициентов
уравнений (1.1), (1.2).
Введем условия для коэффициентов уравнений. Пусть aε = σε(σε)∗, где ∗ —
символ транспонирования. Для коэффициентов bεi (t, x), a
ε
ij(t, x), i, j = 1, 2, . . . , n,
выполняются следующие условия:
Условие (I):
I1. Функции bεi (t, x) измеримы, а функции aε
i,j(t, x) непрерывны (для n = 1
лишь измеримы);
I2. Существуют постоянные 0 < λ ≤ Λ такие, что
|bεi (t, x)|+ |aε
i,j(t, x)| ≤ Λ, (aε(t, x)θ, θ) ≥ λ|θ|2
для любого вектора θ ∈ Rn.
При условии I2 для решений уравнения (1.2) справедливы оценки [10, с. 203]:
E sup
t∈[0,T ]
|Xε(t)|2k ≤ c (1 + |x|2k), k = 1, 2, . . . , (1.3)
E |Xε
t −Xε
s |4 ≤ c |t− s|2. (1.4)
Следовательно, семейство мер µε слабо компактно на C([0, T ];Rn).
C коэффициентами (bε, aε) свяжем операторы Lε:
Lε =
∂
∂t
+
1
2
n∑
i,j=1
aε
ij(t, x)
∂2
∂xi∂xj
+
n∑
i=1
bεi (t, x)
∂
∂xi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 925
и введем условие (H). Пусть функция uε(t, x) есть решение граничной задачи
Lεuε(t, x) = f̂ε(t, x), t ∈ [0, T ), x ∈ D,
uε|Γ̃T
= 0
(1.5)
для произвольной ограниченной области D с границей класса C2.
Условие (H): Если ‖f̂ε‖L2([0,T ]×D) ≤ const, то ‖uε‖W 1,2
2 ([0,T ]×D) ≤ const .
Отметим, что условие (I) достаточно для справедливости условия (H) при n =
= 1 [4] (теорема 1.1), n = 2 [11] (теорема 3). Условие (H) выполнено, если матрица
aε(t, x) удовлетворяет условию Кордеса [12] (теорема 2.1) или равномерному по ε
условию Липшица по x.
Рассмотрим граничную задачу (1.5) в области V ∈ C2 :
Lεuε(t, x) = f̂ε(t, x), t ∈ [0, T ), x ∈ V,
uε
∣∣
ΓT
= 0,
(1.6)
и предположим, что функция f̂ε(t, x) ∈ Ln+1([0, T ]× V ). Решение (1.6) принадле-
жит классу W 1,2
n+1([0, T ]× V ), и для него справедлива следующая оценка [8] (тео-
рема 4.2.5): если ‖f̂ε‖Ln+1([0,T ]×V ) ≤ const, то существует постоянная γ ∈ (0, 1),
зависящая от n, λ, Λ и не зависящая от ε, такая, что
|uε|0,γ([0, T ]× V ) ≤ const . (1.7)
Введем следующее условие.
Условие (II): Существуют измеримые функции aij(t, x) и bi(t, x) такие, что:
II1. aε
ij(t, x) ⇀ε→0 aij(t, x).
II2. bεi (t, x) ⇀ε→0 bi(t, x).
II3. Функция aε
ij(t, x) удовлетворяет следующему условию: для любого l > 0
существует функция ρl(h) типа модуля непрерывности такая, что для параметра γ
из (1.7), для любого ε > 0 и любой ϕ(t, x) ∈ C∞0 ([0, T ]× V )∣∣∣∣∣∣
T∫
0
∫
V
[
aε
ij(t, x+ z(k))− aε
ij(t, x)
]
ϕ(t, x)dxdt
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ ρl
(
|z(k)|
)
〈ϕ〉γij([0, T ]× V ).
II4. Для функций bi(t, x) и aij(t, x) выполнено условие (I), если в нем опустить
символ ε.
Отметим, что условие I2 и измеримость для функций bi(t, x) и aij(t, x) не-
посредственно следуют из измеримости и условия I2 для допредельных функций
bεi (t, x), a
ε
i,j(t, x) и их слабой сходимости к bi(t, x) и aij(t, x) в L2,loc. В то же время
из непрерывности aε
i,j(t, x) и условия II1 не следует непрерывность aij(t, x).
Среди условий (II) наиболее трудно проверяемым является условие II3, так как
в него входит, вообще говоря, неизвестная постоянная γ из (1.7). Поэтому отметим,
что оно выполняется, если, например, для любого l > 0 существует функция ρl(h)
типа модуля непрерывности такая, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
926 И. А. ЕРИСОВА
sup
ε
T∫
0
∫
Ql
∣∣aε
ij(t, x+ z)− aε
ij(t, x)
∣∣ dxdt ≤ ρl(|z|). (1.8)
В [13] (теорема 6) доказано, что если выполнены условия (H), (I) и (II), то µε =⇒
=⇒ µ и предельный процесс X(t) является решением стохастического уравнения
X(t) = x+
t∫
0
b(s,X(s)) ds+
t∫
0
σ(s,X(s)) dw(s), (1.9)
где σ(t, x)σ∗(t, x) = a(t, x).
С предельными коэффициентами условия (II) свяжем оператор вида
L =
∂
∂t
+
1
2
n∑
i,j=1
aij(t, x)
∂2
∂xi∂xj
+
n∑
i=1
bi(t, x)
∂
∂xi
.
Введем условия для функций в уравнении (1.1).
Условие (III). Для измеримых функций gε(x) и fε(t, x, y):
III1. |gε(x)| ≤ C(1 + |x|).
III2. |fε(t, x, y)| ≤ C(1 + |y|).
III3. |fε(t, x, y2)− fε(t, x, y1)| ≤ C|y2 − y1|.
Условие (IV): Существуют непрерывная g(x) и измеримая f(t, x, y) функции
такие, что:
IV1. Для любого компакта K ∈ Rn limε→0 supx∈K |gε
i (x)− gi(x)| = 0.
IV2. При каждом y ∈ R1
fε
i (·, ·, y) ⇀ε→0 fi(·, ·, y).
IV3. Для функций g(x) и f(t, x, y) условия (III) справедливы, если опустить
символ ε.
Условия III1 и III2 для функций g(x) и f(t, x, y) являются следствиями из
условий III1 и III2 для функций gε(x) и fε(t, x, y).
В [14] доказано, что при условиях (III), оценке (1.3) и существовании сильного
решения уравнения (1.2) для любого ε > 0 существует решение уравнения (1.1) в
смысле приведенного выше определения и это решение единственно.
2. Предельный процесс для Y ε. Основным результатом статьи является сле-
дующая теорема.
Теорема. Предположим, что условия (H), (I) – (IV) выполнены. Тогда су-
ществуют винеровский процесс w̄(t) и процессы X(t), Y (t), Z(t) такие, что
E
∫ T
0
|Z(t)|2dt < ∞ и νε M−Z=⇒ ν, где ν — мера, соответствующая предельному
процессу Y (t), который является решением ОСУ
Y (t) = g(X(T )) +
T∫
t
f(s,X(s), Y (s))ds−
T∫
t
Z(s)dw̄(s), (2.1)
а X(t) — решение стохастического уравнения
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 927
X(t) = x+
t∫
0
b(s,X(s))ds+
t∫
0
σ(s,X(s))dw̄, (2.2)
при условии, что уравнение (2.2) имеет сильное решение.
Доказательство разобьем на несколько шагов.
Шаг 1. Поскольку константы в условиях (III) и в оценке (1.3) не зависят от
ε, можно получить оценку [14]
E sup
t∈[0,T ]
|Y ε(t)|2 + E
T∫
0
|Zε(t)|2dt ≤ C. (2.3)
Шаг 2. Проверим, что последовательность νε относительно компактна в то-
пологии Мейера – Чжена. Для того чтобы доказать это, используем теорему 4 из
[7]. Для разбиения 0 = t0 < t1 < . . . < tn = T определим
Vn(Y ε) = E |Y ε(T )|+
n−1∑
k=0
E
∣∣∣E [(Y ε(tk+1)− Y ε(tk)
) ∣∣Ftk
]∣∣∣.
Используя оценки (2.3) и условия теоремы, получаем
Vn(Y ε) = E |Y ε(T )|+
n−1∑
k=0
E
∣∣∣∣∣∣E
tk+1∫
tk
fε(s,Xε(s), Y ε(s))ds
∣∣Ftk
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ E |Y ε(T )|+ C
T∫
0
E(1 + |Y ε(s)|)ds ≤ C.
Тогда из νε можно извлечь подпоследовательность, которая слабо сходится к ме-
ре ν в топологии Мейера – Чжена. Для упрощения записи снова обозначим эту
подпоследовательность через νε, и пусть Y (t) — процесс, соответствующий мере ν.
Шаг 3. Пусть t ∈ [0, T ], G(t) ∈ C([0, T ];Rk), r ∈ [0,∞), тогда положим
Gr(t) = G(t)
(
(r + 1− |G(t)|)+ ∧ 1
)
, где a+ = a ∨ 0 и ∨, ∧ — символы max и min
соответственно. Заметим, что ∣∣Gr(t)
∣∣ ≤ ∣∣G(t)
∣∣
и ∣∣G(t)−Gr(t)
∣∣ = |G(t)|
((
|G(t)| − r
)+ ∧ 1
)
≤ |G(t)|I
(
|G(t)| > r
)
.
Для l ≥ r обозначим Ul,r(t) =
∣∣Gl(t) − Gr(t)
∣∣. Нетрудно проверить, что последо-
вательность Ul,r(t) монотонно возрастает по l и
lim
l→∞
Ul,r(t) =
∣∣G(t)−Gr(t)
∣∣.
Введем функционал
Nt,δ(G) = δ−1
T∧(t+δ)∫
t
G(s)ds.
Функционалы Nt,δ(Gr) и Nt,δ(Ul,r) ограничены и непрерывны в топологии Мей-
ера – Чжена [7].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
928 И. А. ЕРИСОВА
Шаг 4. В силу шага 3, оценки (2.3) и неравенства Чебышева имеем
sup
ε
sup
t∈[0,T ]
E
∣∣Y ε(t)− Y ε
r (t)
∣∣ ≤ Cr−2 (2.4)
и
lim
r→∞
sup
ε
sup
t∈[0,T ]
E
∣∣Y ε(t)− Y ε
r (t)
∣∣ = 0. (2.5)
Шаг 5. Поскольку процесс Y (t) принадлежит C([0, T ];Rk), используя лемму
Фату, имеем
E
∣∣Y (t)− Yr(t)
∣∣ = E lim
δ↓0
1
δ
t+δ∫
t
∣∣Y (s)− Yr(s)
∣∣ds ≤
≤ lim inf
δ↓0
E
1
δ
t+δ∫
t
∣∣Y (s)− Yr(s)
∣∣ds.
В силу теоремы о монотонной сходимости и свойства непрерывного функционала
Nt,δ(Ul,r) из шага 3 можно продолжить последнее неравенство. Таким образом,
E |Y (t)− Yr(t)| ≤ lim inf
δ↓0
lim
l↑∞
E
1
δ
t+δ∫
t
∣∣Yl(s)− Yr(s)
∣∣ds =
= lim inf
δ↓0
lim
l↑∞
lim
ε→0
E
1
δ
t+δ∫
t
∣∣Y ε
l (s)− Y ε
r (s)
∣∣ds.
Отсюда с учетом (2.4) получаем
lim
r→∞
E |Y (t)− Yr(t)| = 0. (2.6)
Теперь докажем, что
E
∣∣∣E([Y ε
r (t)−Nt,δ(Y ε
r )
] ∣∣Ft
)∣∣∣ ≤ C
(
1
r2
+ δ
)
. (2.7)
Используя все обозначения, имеем
E
∣∣∣E([Y ε
r (t)−Nt,δ(Y ε
r )
] ∣∣Ft
)∣∣∣ ≤ E
∣∣Y ε
r (t)− Y ε(t)
∣∣+
+
1
δ
t+δ∫
t
E
∣∣Y ε(s)− Y ε
r (s)|ds+
1
δ
t+δ∫
t
E
∣∣∣E{[Y ε(t)− Y ε(s)
] ∣∣Ft
}∣∣∣ds. (2.8)
Далее, из (1.1) получаем
E
{[
Y ε(t)− Y ε(s)
] ∣∣Ft
}
=
s∫
t
E
{
fε(u,Xε(u), Y ε(u))
∣∣Ft
}
du.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 929
Отсюда в силу (2.3)
E
∣∣∣E{[Y ε(t)− Y ε(s)
] ∣∣Ft
}∣∣∣ ≤ C E
s∫
t
E
{(
1 + |Y ε(u)|
) ∣∣Ft
}
du ≤
≤ C
s∫
t
E
(
1 + |Y ε(u)|
)
du ≤ C(s− t). (2.9)
Неравенство (2.7) следует из (2.8), (2.4) и (2.9).
Из уравнения (1.1) следует, что при s < t
E
∣∣Y ε(s)− Y ε(t)
∣∣2 ≤ 2(t− s)
t∫
s
E
∣∣fε(u,Xε(u), Y ε(u))
∣∣2du+ ψε
s(t),
где
ψε
s(t) = 2
t∫
s
E |Zε(u)|2du. (2.10)
Учитывая условие III2 и оценку (2.3), находим
E
∣∣Y ε(s)− Y ε(t)
∣∣2 ≤ C(t− s)2 + ψε
s(t). (2.11)
Шаг 6. Пусть Φt(x, y) — ограниченный, непрерывный функционал на C([0, t];
Rn) × C([0, t]; Rk). Снабдим это произведение равномерной топологией на пер-
вом множителе и топологией Мейера – Чжена на втором. Как следует из (1.1), для
любого такого функционала
EΦt(Xε, Y ε)
Y ε(t)− gε(Xε(T ))−
T∫
t
fε(s,Xε(s), Y ε(s))ds
= 0.
Перепишем левую часть последнего равенства в виде
3∑
k=1
Jε
k + EΦt(X,Y )
Y (t)− g(X(T ))−
T∫
t
f(s,X(s), Y (s))ds
= 0, (2.12)
где
Jε
1 = E
[
Φt(Xε, Y ε)Y ε(t)− Φt(X,Y )Y (t)
]
,
Jε
2 = E
[
Φt(X,Y )g(X(T ))− Φt(Xε, Y ε)gε(Xε(T ))
]
,
Jε
3 = E
Φt(X,Y )
T∫
t
f(s,X(s), Y (s))ds− Φt(Xε, Y ε)
T∫
t
fε(s,Xε(s), Y ε(s))ds
,
и оценим каждое из Jε
k .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
930 И. А. ЕРИСОВА
Выражение для Jε
1 может быть представлено в виде
Jε
1 =
6∑
i=4
Jε
i + J7 + J8, (2.13)
где
Jε
4 = EΦt(Xε, Y ε)
[
Y ε(t)− Y ε
r (t)
]
,
Jε
5 = E Φt(Xε, Y ε)
[
Y ε
r (t)−Nt,δ(Y ε
r )
]
,
Jε
6 = E Φt(Xε, Y ε)Nt,δ(Y ε
r )− EΦt(X,Y )Nt,δ(Yr),
J7 = EΦt(X,Y )
[
Nt,δ(Yr(t))− Yr(t)
]
,
J8 = E Φt(X,Y )
[
Yr(t)− Y (t)
]
.
Из (2.5) и (2.6) следует
lim
r→∞
sup
ε
|Jε
4 | = 0 (2.14)
и
lim
r→∞
|J8| = 0. (2.15)
Из (2.7) получаем
lim
r→∞
lim
δ↓0
sup
ε
|Jε
5 | = 0. (2.16)
Как отмечено выше, µε =⇒ µ, а также в силу шага 2
lim
ε→0
|Jε
6 | = 0. (2.17)
Поскольку с вероятностью единица limδ↓0Nt,δ(Yr) = Yr(t) и Yr(t) равномерно
ограничен по t, имеем
lim
δ↓0
|J7| = 0. (2.18)
Переходя к пределу в (2.13) вначале при ε → 0, затем при δ → 0 и, наконец, при
r →∞, благодаря (2.14) – (2.18) имеем
lim
ε→0
|Jε
1 | = 0. (2.19)
Прежде чем оценить Jε
2 , введем непрерывные функции rK(x) : 0 ≤ rK(x) ≤ 1,
rK(x) = 1, если |x| ≤ K, и rK(x) = 0, если |x| ≥ K + 1, и определим gK(x) =
= g(x)rK(x). Выражение Jε
2 представим в виде суммы
Jε
2 = Jε
9 + Jε
10 + Jε
11 + J12, (2.20)
где
Jε
9 = EΦt(Xε, Y ε)
[
g(Xε(T ))− gε(Xε(T ))
]
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 931
Jε
10 = E Φt(Xε, Y ε)
[
gK(Xε(T ))− g(Xε(T ))
]
,
Jε
11 = E
[
Φt(X,Y )gK(X(T ))− Φt(Xε, Y ε)gK(Xε(T ))
]
,
J12 = E Φt(X,Y )
[
g(X(T ))− gK(X(T ))
]
.
Используя оценку (1.3), нетрудно получить, что для любого K
|Jε
9 | ≤ C E
∣∣∣g(Xε(T ))− gε(Xε(T ))
∣∣∣I(|Xε(T )| ≤ K
)
+
C
K
.
Переходя к пределу в последней формуле вначале при ε→ 0, затем при K →∞ и
используя условие IV1, имеем
lim
ε→0
|Jε
9 | = 0. (2.21)
Поскольку |g(x) − gK(x)| ≤ |g(x)|I(|x| > K), из оценки (1.3) и неравенства Че-
бышева имеем
sup
ε
|Jε
10| ≤
C
K
.
Отсюда
lim
K→∞
sup
ε
|Jε
10| = 0. (2.22)
Аналогично
lim
K→∞
|J12| = 0. (2.23)
Из слабой сходимости (Xε, Y ε) к (X,Y ) получаем
lim
ε→0
|Jε
11| = 0. (2.24)
Из (2.20) – (2.24) заключаем, что
lim
ε→0
Jε
2 = 0. (2.25)
Для того чтобы оценить Jε
3 , проведем вспомогательные построения. Пусть
R(a;A) =
{
y : |y−a| ≤ A
}
— окрестность точки a с радиусом A. Введем в R(0;N)
δ-сеть {y1, y2, . . . , yM} : |yi+1−yi| ≤ δ и систему функций qi(y), удовлетворяющую
следующим условиям:
a) qi(y) ≥ 0 и qi(y) = 0 вне R(yi, δ),
b)
∑M
i=1
qi(y) = 1,
c) qi(y) ∈ C1(R(0;N)).
Для функции g(t, x, y) определим функцию
gN,δ(t, x, y) =
M∑
i=1
qi(y)g(t, x, yi).
Отсюда с учетом условия IV3 для любого t ∈ [0, T ], x ∈ Rn и y ∈ Rk получим
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
932 И. А. ЕРИСОВА
∣∣fε(t, x, y)− fε
N,δ(t, x, y)
∣∣ ≤ M∑
i=1
qi(y)
∣∣fε(t, x, y)− fε(t, x, yi)
∣∣ ≤ Cδ. (2.26)
Аналогично
|f(t, x, y)− fN,δ(t, x, y)| ≤ Cδ. (2.27)
Перепишем выражение для Jε
3 в виде
Jε
3 = Jε
13 + Jε
14 + Jε
15 + J16, (2.28)
где
Jε
13 = E Φt(Xε, Y ε)
T∫
t
[
fε
N,δ(s,X
ε(s), Y ε(s))− fε(s,Xε(s), Y ε(s))
]
ds,
Jε
14 = EΦt(Xε, Y ε)
T∫
t
[
fN,δ(s,X(s), Y ε(s))− fε
N,δ(s,X
ε(s), Y ε(s))
]
ds,
Jε
15 = EΦt(X,Y )
T∫
t
fN,δ(s,X(s), Y (s))ds −
− EΦt(Xε, Y ε)
T∫
t
fN,δ(s,X(s), Y ε(s))ds,
J16 = EΦt(X,Y )
T∫
t
[
f(s,X(s), Y (s))ds− fN,δ(s,X(s), Y (s))
]
ds.
Из (2.26) и (2.27) имеем
sup
ε
|Jε
13|+ |J16| ≤ Cδ. (2.29)
Поскольку Xε =⇒ X, Y ε M−Z=⇒ Y, то
lim
ε→0
|Jε
15| = 0. (2.30)
Перепишем Jε
14 в виде
Jε
14 = EΦt(Xε, Y ε)
T∫
t
M∑
j=1
qj(Y ε(s))
{
f(s,X(s), yj)− fε(s,Xε(s), yj)
}ds.
Выберем некоторое разбиение отрезка t = t1 < t2 < . . . < tk = T и выражение Jε
14
представим в виде суммы
Jε
14 = Jε
17 + Jε
18 + Jε
19 , (2.31)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 933
где
Jε
17 = EΦt(Xε, Y ε)
M∑
j=1
k−1∑
r=1
tr+1∫
tr
(
qj(Y ε(s))− qj(Y ε(tr))
)
×
×
(
f(s,X(s), yj)− fε(s,Xε(s), yj)
)
ds,
Jε
18 = EΦt(Xε, Y ε)
M∑
j=1
k−1∑
r=1
tr+1∫
tr
qj(Y ε(tr))
[
f(s,X(s), yj)rK(X(s))−
−fε(s,Xε(s), yj)rK(Xε(s))
]
ds,
Jε
19 = EΦt(Xε, Y ε)
M∑
j=1
k−1∑
r=1
tr+1∫
tr
qj(Y ε(tr))
[
f(s,X(s), yj)(1− rK(X(s)))−
−fε(s,Xε(s), yj)(1− rK(Xε(s)))
]
ds.
Для оценки слагаемого Jε
17 используем оценку (2.11) и условие III2. ИмеемE
tr+1∫
tr
|Y ε(s)− Y ε(tr)| |f(s,X(s), yj)− fε(s,Xε(s), yj)| ds
2 ≤
≤ C(1 + |yj |)2(tr+1 − tr)
tr+1∫
tr
[
(s− tr)2 + ψε
tr
(s)
]
ds ≤ C(1 + |yj |)2×
×
[
(tr+1 − tr)4 + (tr+1 − tr)2ψε
tr
(tr+1)
]
.
Поэтому отсюда, используя неравенство Коши – Буняковского и оценку (2.3), полу-
чаем
|Jε
17| ≤ Cmax
r
(tr+1 − tr)1/2
M∑
j=1
(1 + |yj |).
При фиксированном M слагаемое |Jε
17| может быть сделано сколь угодно малым
равномерно по ε выбором разбиения
sup
ε
|Jε
17| → 0 при max(tr+1 − tr) → 0. (2.32)
Для оценки Jε
18 проведем некоторые построения. Рассмотрим в области
[tr, tr+1]×R(0,K + 1) при фиксированном yj ∈ Rk граничную задачу
Lεv(t, x) = fε
i (t, x, yj)rK(x), t ∈ [tr, tr+1), x ∈ R(0,K + 1),
v(tr+1, x) = 0, v(t, x)|∂R(0,K+1) = 0.
(2.33)
Ее решение обозначим через vε
K,r,i,j(t, x). При условии (I) задача (2.33) имеет
единственное решение в классе W 1,2
n+1([tr, tr+1]×R(0,K+1)) и допускает вероят-
ностное представление
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
934 И. А. ЕРИСОВА
vε
K,r,i,j(t, x) = E
tr+1∫
tr
fε
i (s,Xε(s), yj)rK(Xε(s))ds
∣∣Xε(t) = x
. (2.34)
В работе [13] (теорема 5) установлено, что в условиях теоремы
lim
ε→0
sup
[tr,tr+1]×R(0,K+1)
∣∣∣vε
K,r,i,j(t, x)− vK,r,i,j(t, x)
∣∣∣ = 0, (2.35)
где vK,r,i,j(t, x) — решение граничной задачи для (2.33), имеющей тот же вид и ана-
логичное (2.34) вероятностное представление, если опустить символ ε. При этом
процесс X(t) есть решение уравнения (1.9). Заметим, что в силу невырожденности
матрицы σε(t, x) имеем Ft = Fw
t = FXε
t . Далее, используя данное замечание и
марковское свойство процесса Xε(t), а также представление (2.34), получаем
EΦt(Xε, Y ε)
tr+1∫
tr
qj(Y ε(tr))fε
i (s,Xε(s), yj))rK(Xε(s)) ds =
= EΦt(Xε, Y ε) E
{
qj(Y ε(tr)) E
{ tr+1∫
tr
fε
i (s,Xε(s), yj))rK(Xε(s)) ds
∣∣Ftr
}∣∣Ft
}
=
= E Φt(Xε, Y ε)qj(Y ε(tr))vε
K,r,i,j(tr, X
ε(tr)). (2.36)
Аналогично
EΦt(Xε, Y ε)
tr+1∫
tr
qj(Y ε(tr))fi(s,X(s), yj))rK(X(s)) ds =
= EΦt(Xε, Y ε)qj(Y ε(tr))vK,r,i,j(tr, X(tr)). (2.37)
Из (2.35) – (2.37) следует, что
lim
ε→0
|Jε
18| = 0. (2.38)
Для Jε
19 из оценки (1.3) с учетом сделанных предположений следует оценка
|Jε
19| ≤
C
K2
. (2.39)
Учитывая оценки (2.32), (2.38), (2.39), переходим в (2.32) к пределу вначале по
ε → 0, затем по K → ∞ и, наконец, при максимуме вспомогательного разбиения
отрезка [t, T ], стремящемся к нулю, получаем
lim
ε→0
|Jε
14| = 0. (2.40)
Из (2.29), (2.30) и (2.40) имеем
lim
ε→0
|Jε
3 | = 0. (2.41)
Поэтому из (2.12) и (2.19), (2.25), (2.41) следует, что
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 935
EΦt(X,Y )
Y (t)− g(X(T ))−
T∫
t
f(s,X(s), Y (s))ds
= 0. (2.42)
Тогда в силу [15] (предложение 1.1) процесс Y (t) допускает представление
Y (t) = g(X(T )) +
T∫
t
f(s,X(s), Y (s))ds−M(T ) +M(t), (2.43)
где (M(t),FX,Y
t ) — квадратично интегрируемый мартингал и EM(t) = 0.
Шаг 7. Пусть Φt(x, y) — функционал из шага 6. Поскольку Φt(Xε, Y ε) яв-
ляется Ft-измеримой функцией, то согласно [5] (доказательство теоремы 1) для
любой непрерывно дифференцируемой функции φ(x) с компактным носителем
lim
ε→0
EΦt(Xε, Y ε)
φ(Xε(s))− φ(Xε(t))−
s∫
t
Lφ(Xε(r)) dr
= 0. (2.44)
Отсюда
EΦt(X,Y )
φ(X(s))− φ(X(t))−
s∫
t
Lφ(X(r)) dr
= 0.
Переход к пределу не представляет трудностей в случае непрерывных функций
b(t, x), a(t, x). Но только для измеримых функций переход к пределу доказывается
с помощью оценки Крылова, как, например, это доказано для Jε
3 . Из [6] (теоре-
ма 4.5.1) следует, что существует винеровский процесс (w̄(t),FX,Y
t ) такой, что
(2.2) справедливо.
Пусть (Ȳ (t), Z(t)) является единственным F w̄
t -согласованным решением (сле-
довательно, оно также FX,Y
t -согласованно) обратного стохастического уравнения
[14, 15, 16]
Ȳ (t) = g(X(T )) +
T∫
t
f(s,X(s), Ȳ (s))ds−
T∫
t
Z(s)dw̄(s). (2.45)
Обозначим M̄(t) =
∫ t
0
Z(s)dw̄(s). Из (2.43) и (2.45) заключаем, что
Y (t)− Ȳ (t) =
T∫
t
[
f(s,X(s), Y (s))− f(s,X(s), Ȳ (s))
]
ds −
− (M̄(t)−M(t)) + (M̄(T )−M(T )).
Отметим следующее. Пусть процессы (η(t),Ft), (N(t),Ft), где N(t) — непре-
рывный локальный квадратически интегрируемый мартингал, связаны соотноше-
нием
η(t) = η(T ) +
T∫
t
h(s)ds−N(T ) +N(t).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
936 И. А. ЕРИСОВА
Перепишем его в виде
η(T ) = η(t)−N(t)−
T∫
t
h(s)ds+N(T ).
Для процесса η(s), s ∈ [t, T ], и функции Φ(x) справедлива формула Ито
Φ(η(T )) = Φ(η(t))−
T∫
t
Φ′(η(s))h(s)ds+
T∫
t
Φ′(η(s))dN(s) +
+
1
2
T∫
t
Φ′′(η(s))d[N ]s,
где [N ]s — характеристика мартингала. Отсюда
Φ(η(t)) = Φ(η(T )) +
T∫
t
Φ′(η(s))h(s)ds−
T∫
t
Φ′(η(s))dN(s) −
− 1
2
T∫
t
Φ′′(η(s))d[N ]s. (2.46)
Тогда, используя формулу (2.46) для процесса Y (t) − Ȳ (t) и функции Φ(x) = x2,
получаем
E
(
Y (t)− Ȳ (t)
)2 + E
[
M − M̄
]
T
− E
[
M − M̄
]
t
=
= E
T∫
t
[
f(s,X(s), Y (s))− f(s,X(s), Ȳ (s))
]
(Y (s)− Ȳ (s))ds ≤
≤ C
T∫
t
E
∣∣Y (s)− Ȳ (s)
∣∣2ds.
Следовательно, согласно лемме Гронуолла для всех t ∈ [0, T ] процессы Y (t) = Ȳ (t)
и M(t) = M̄(t). Из единственности решения уравнения (2.45) следует, что вся
последовательность νε M−Z=⇒ ν.
Теорема доказана.
3. Примеры. 1. Пусть процесс Y ε
t является решением уравнения
Y ε(t) = arctanXε(T ) +
T∫
t
sinY ε(s) sin2 s
ε
2− cos Xε(s)
ε
ds−
T∫
t
Zε(s)dw(s).
Процесс Xε
t удовлетворяет уравнению
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЙ ОБРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ 937
Xε
t = x+
t∫
0
sin2 X
ε(s)
ε
cos2
s
ε
ds+
t∫
0
[
sin
((
1
ε
)k+1
s+
Xε(s)
ε
)
+ 2
]1/2
dw(s),
где k =
[
2
γ
]
+ 1, γ взято из оценки (1.7).
Для функций gε(x) = arctanx и fε(t, x, y) =
sin y sin2(t/ε)
2− cos(x/ε)
выполнены усло-
вия (III), (IV), причем fε(t, x, y) ⇀
1
2
√
3
sin y при ε→ 0.
Коэффициенты уравнения для процесса Xε
t удовлетворяют условиям (I), (II),
(H), причем bε(t, x) = sin2 x
ε
cos2
t
ε
⇀
1
4
,
aε(t, x) = sin
((
1
ε
)k+1
t+
x
ε
)
+ 2 ⇀ 2.
Тогда из [13] следует, что Xε ⇒ X и
Xt = x+
1
4
t+
√
2w̄(t).
В [2] отмечено, что функция aε(t, x) = sin
((
1
ε
)k+1
t +
x
ε
)
+ 2, равномерно
по ε на множестве
{
(t, x) : 0 ≤ t ≤ 2π, −π ≤ x ≤ π
}
удовлетворяет условию II3 с
ρ(|z|) = const |z|γ/2, но условие (1.8) не выполнено.
Из доказанной теоремы получаем
Y (t) = arctanX(T ) +
T∫
t
1
2
√
3
sinY (s) ds−
T∫
t
Z(s)dw̄(s) .
2. Пусть процесс Y ε
t является решением уравнения
Y ε(t) = sin4Xε(T ) +
T∫
t
cosY ε(s) sin2 X
ε(s)
ε
cos2
s
ε
ds−
T∫
t
Zε(s)dw(s).
Процесс Xε
t — решение уравнения
Xε
t = x+
t∫
0
cos2
Xε(s)
ε
(
5− cos
s
ε
)
ds+
t∫
0
[
10 + sin
s
ε2
arctan
Xε(s)
ε
]1/2
dw(s).
Легко проверить, что для функций gε(x) = sin4 x и fε(t, x, y) = cos y sin2 x
ε
cos2
t
ε
выполнены условия (III), (IV), причем fε(t, x, y) ⇀
1
4
cos y при ε→ 0.
Коэффициенты уравнения для процесса Xε
t удовлетворяют условиям (I), (II),
(H), при этом bε(t, x) = cos2
x
ε
(
5− cos
t
ε
)
⇀
5
2
,
aε(t, x) = 10 + sin
s
ε2
arctan
x
ε
⇀ 10.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
938 И. А. ЕРИСОВА
Тогда из [13] следует, что Xε ⇒ X и
Xt = x+
5
2
t+
√
10w̄(t).
Для функции aε(t, x) = 10+sin
s
ε2
arctan
x
ε
справедливо условие (1.8) [1] (пример)
при |z| ≤ l и
ρl(|z|) =
|z|
[
4π + ln l − ln |z|
]
, z 6= 0,
0, z = 0.
Из доказанной теоремы получаем
Y (t) = sin4X(T ) +
T∫
t
1
4
cosY (s) ds−
∫ T
t
Z(s)dw̄(s).
1. Камынин В. Л. Предельный переход в квазилинейных параболических уравнениях со слабо схо-
дящимися коэффициентами и асимптотическое поведение решений задачи Коши // Мат. сб. – 1990.
– 181. – C. 1031 – 1047.
2. Кружков С. Н., Камынин В. Л. О предельном переходе в квазилинейных параболических уравне-
ниях // Тр. Мат. ин-та АН СССР. – 1985. – 167. – C. 183 – 206.
3. Pardoux S., Peng S. Adapted solution of backward stochastic differential equation // Syst. Contr. Lett. –
1990. – 14. – P. 55 – 61.
4. Кружков С. Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми
переменными // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. – 1979. – 5. – C. 217 – 272.
5. Махно С. Я. Сходимость диффузионных процессов // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 2. – C. 284 –
289.
6. Stroock D., Varadhan S. R. S. Multidimensional diffusion processes. – New York: Springer, 1979. –
338 p.
7. Meyer P., Zheng W. A. Tightness criteria for laws of semimartingales // Ann. Inst. H. Poincaré B. – 1984.
– 20. – P. 353 – 372.
8. Крылов Н. В. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка. – М.:
Наука, 1985. – 374 с.
9. Ерисова И. А. Сходимость решений обратных стохастических уравнений // Тр. Ин-та прикл.
математики и механики НАН Украины. – 2006. – 13. – C. 72 – 82.
10. Гихман И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов: В 3 т. – М.: Наука, 1975. – Т. 3. – 496 с.
11. Крылов Н. В. Об уравнениях минимаксного типа в теории эллиптических и параболических
уравнений на плоскости // Мат. сб. – 1980. – 81. – C. 3 – 22.
12. Алхутов Ю. А., Мамедов И. Т. Первая краевая задача для недивергентных параболических урав-
нений второго порядка с разрывными коэффициентами // Мат. сб. – 1986. – 131. – С. 477 – 500.
13. Махно С. Я. Сходимость диффузионных процессов. II // Укр. мат. журн. – 1992. – 44. – C. 1389 –
1395.
14. Pardoux E. BSDE’s weak convergence and homogenization of semilinear PDE // Nonlinear Anal.,
Different. Equat. and Control / Eds F. H. Clarke ae al. – 1999. – 528. – P. 503 – 549.
15. Buckhadan R., Engelbert H. J., Rascanu A. On weak solutions of backward stochastic differential
equations // Theory Probab. Appl. – 2004. – 49. – P. 70 – 107.
16. Pardoux E. Homogenization of linear and semilinear second order parabolic PDE with periodic coeffi-
cients: a probabilistic approach // J. Funct. Anal. – 1999. – 167. – P. 496 – 520.
Получено 21.12.07,
после доработки — 02.04.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3067 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:36Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/4a/fae8aceb12dd5f6c57df9f9dc6a9534a.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30672020-03-18T19:44:40Z Convergence of solutions of backward stochastic equations Сходимость решений обратных стохастических уравнений Erisova, I. A. Єрісова, І. А. We establish conditions for the weak convergence of solutions of backward stochastic equations in the case of the weak convergence of coefficients. Одержано умови слабкої з6іжності розв'язків обернених стохастичних рівнянь за слабкої з6іжності коефіцієнтів. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3067 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 922-938 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 922-938 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3067/2883 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3067/2884 Copyright (c) 2009 Erisova I. A. |
| spellingShingle | Erisova, I. A. Єрісова, І. А. Convergence of solutions of backward stochastic equations |
| title | Convergence of solutions of backward stochastic equations |
| title_alt | Сходимость решений обратных стохастических уравнений |
| title_full | Convergence of solutions of backward stochastic equations |
| title_fullStr | Convergence of solutions of backward stochastic equations |
| title_full_unstemmed | Convergence of solutions of backward stochastic equations |
| title_short | Convergence of solutions of backward stochastic equations |
| title_sort | convergence of solutions of backward stochastic equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3067 |
| work_keys_str_mv | AT erisovaia convergenceofsolutionsofbackwardstochasticequations AT êrísovaía convergenceofsolutionsofbackwardstochasticequations AT erisovaia shodimostʹrešenijobratnyhstohastičeskihuravnenij AT êrísovaía shodimostʹrešenijobratnyhstohastičeskihuravnenij |