Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems
We study the arithmetic of a semigroup $\mathcal{M}_P$ of functions with operation of multiplication representable in the form $f(x)=∑^{∞}_{n=0} a_nχ_n(x)\left(a_n≥0,\; ∑^{∞}_{n=0}a_n =1 \right)$, where $\{χ_n|\}^{∞}_{n=0}$ is a system of multiplicative functions that are generalizations of the clas...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Russian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3068 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509094525272064 |
|---|---|
| author | Il’inskaya, I. P. Ильинская, И. П. Ильинская, И. П. |
| author_facet | Il’inskaya, I. P. Ильинская, И. П. Ильинская, И. П. |
| author_sort | Il’inskaya, I. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | We study the arithmetic of a semigroup $\mathcal{M}_P$ of functions with operation of multiplication representable in the form $f(x)=∑^{∞}_{n=0} a_nχ_n(x)\left(a_n≥0,\; ∑^{∞}_{n=0}a_n =1 \right)$, where $\{χ_n|\}^{∞}_{n=0}$ is a system of multiplicative functions that are generalizations of the classical Walsh functions. For the semigroup $\mathcal{M}_P$ , analogs of the well-known Khinchin theorems related to the arithmetic of a semigroup of probability measures in $R_n$ are true. We describe the class $I_0(\mathcal{M}_P)$ of functions without indivisible or nondegenerate idempotent divisors and construct a class of indecomposable functions that is dense in $\mathcal{M}_P$ in the topology of uniform convergence. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
Y. P. Yl\ynskaq (Xar\kov. nac. un-t)
ARYFMETYKA POLUHRUPP RQDOV
PO MUL|TYPLYKATYVNÁM SYSTEMAM
We study the arithmetic of a semigroup MP of functions under multiplication representable in the
form f x a xn nn
( ) ( )=
=
∞∑ χ
0
a an nn
≥ ==
∞∑( )0 1
0
, , where { }χn n=
∞
0 is a system of multiplicative
functions that are generalizations of the classical Walsh functions. For the semigroup MP , the
analogs of the well-known Khinchin theorems related to the arithmetic of a semigroup of probability
measures in Rn are valid. The class I0 ( )MP of functions without neither indivisible nor nondege-
nerate idempotent divisors is completely described. A class of indecomposable functions that is dense
everywhere in MP in the topology of uniform convergence is constructed.
Vyvça[t\sq aryfmetyka napivhrupy funkcij MP z operaci[g mnoΩennq, qki moΩna zobrazyty
u vyhlqdi f x a xn nn
( ) ( )=
=
∞∑ χ
0
a an nn
≥ ==
∞∑( )0 1
0
, , de { }χn n=
∞
0 — systema mul\typlika-
tyvnyx funkcij, wo [ uzahal\nennqm klasyçnyx funkcij Uolßa. Dlq napivhrupy MP sprav-
dΩugt\sq analohy vidomyx teorem Xinçyna z aryfmetyky napivhrupy jmovirnisnyx mir u Rn
.
Opysano klas I0 ( )MP funkcij, qki ne magt\ ani nepodil\nyx, ani nevyrodΩenyx idempotent-
nyx dil\nykiv, ta pobudovano klas nerozkladnyx funkcij, wil\nyj u MP v topolohi] rivno-
mirno] zbiΩnosti.
1. Vvedenye. Yzuçenye aryfmetyky svertoçnoj poluhrupp¥ veroqtnostn¥x
mer v Rn
b¥lo naçato v trydcat¥x hodax proßloho veka posle toho, kak
A.5Q.5Xynçyn dokazal teoremu o predstavymosty lgboj veroqtnostnoj mer¥ v
vyde svertky mer¥, ne ymegwej nerazloΩym¥x delytelej, y koneçnoho yly
sçetnoho mnoΩestva nerazloΩym¥x mer [1] (hl.53, § 4). Osnovn¥e vopros¥
aryfmetyky — yzuçenye klassa I0 mer, ne ymegwyx nerazloΩym¥x delyte-
lej, y klassa N nerazloΩym¥x mer. Mnoho vaΩn¥x rezul\tatov, kasagwyxsq
klassa I0 , b¥lo poluçeno G. V. Lynnykom, Y. V. Ostrovskym y H. P. Çystqko-
v¥m. No problema polnoho opysanyq klassa I0 ostaetsq poka nereßennoj.
V5ßestydesqt¥e hod¥ voznyk ynteres k yzuçenyg aryfmetyky veroqtnostn¥x
mer na lokal\no kompaktn¥x abelev¥x hruppax. VaΩn¥e rezul\tat¥ v πtom na-
pravlenyy poluçyly K.5Partasaraty, R.5Rao, S.5Varadan, H.5M.5Fel\dman y
A.5E.5Fr¥ntov (sm. [2, 3]).
Parallel\no s aryfmetykoj mer v Rn
y na hruppax stala razvyvat\sq
aryfmetyka specyal\n¥x poluhrupp. Tak naz¥vagt poluhrupp¥, aryfmetyka
kotor¥x blyzka k aryfmetyke svertoçnoj poluhrupp¥ veroqtnostn¥x mer v
Rn
, no v nyx zadaça opysanyq klassa I0 çasto okaz¥vaetsq razreßymoj (sm.
obzornug stat\g [4]). Nastoqwaq stat\q posvqwena yzuçenyg aryfmetyky od-
noj takoj poluhrupp¥, a ymenno, mul\typlykatyvnoj poluhrupp¥ rqdov s
neotrycatel\n¥my koπffycyentamy po mul\typlykatyvn¥m systemam. Vvedem
neobxodym¥e opredelenyq y oboznaçenyq.
Pust\ P = { }pj j=
∞
1 — posledovatel\nost\ natural\n¥x çysel pj ≥ 2 . Obo-
znaçym
© Y. P. YL|YNSKAQ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7 939
940 Y. P. YL|YNSKAQ
m0 = 1, m j = ps
s
j
=
∏
1
, j ≥ 1.
Zapyßem kaΩdoe çyslo x ∈[ , )0 1 v P -yçnoj systeme
x =
x
m
j
jj=
∞
∑
1
, x pj j∈ … −{ }, , , ,0 1 2 1 .
P -yçno racyonal\n¥m toçkam otrezka [ , )0 1 sootvetstvugt dva razloΩenyq:
koneçnoe y beskoneçnoe. Dlq takyx toçek budem rassmatryvat\ tol\ko koneç-
n¥e razloΩenyq.
Oboznaçym N0 = { }, , ,0 1 2 … . Zapyßem kaΩdoe çyslo n ∈N0 v P -yçnoj
systeme
n = α j j
j
l
m −
=
∑ 1
1
, α j jp∈ … −{ }, , , ,0 1 2 1 . (1)
Oboznaçym, sleduq [5] (§ 1.5),
χn x( ) = exp 2
1
π
α
i
x
p
j j
jj
l
=
∑
. (2)
Zametym, çto χ0 1( )x ≡ . Funkcyy χn x( ) naz¥vagtsq mul\typlykatyvn¥my
funkcyqmy. Esly pj = 2 dlq vsex j, to klass mul\typlykatyvn¥x funkcyj
{ }χn n=
∞
0 sovpadaet s klassom funkcyj Uolßa (vsevozmoΩn¥x proyzvedenyj
funkcyj Rademaxera) (sm. [5], § 1.1, 1.2). Lehko vydet\, çto proyzvedenye dvux
mul\typlykatyvn¥x funkcyj qvlqetsq mul\typlykatyvnoj funkcyej y mno-
Ωestvo { }χn n=
∞
0 qvlqetsq hruppoj po umnoΩenyg. Oboznaçym çerez MP mno-
Ωestvo funkcyj f x( ) , x ∈[ , )0 1 , predstavym¥x v vyde
f x( ) = a xn n
n
χ ( )
=
∞
∑
0
, an ≥ 0, an
n=
∞
∑
0
= 1.
MnoΩestvo MP qvlqetsq poluhruppoj otnosytel\no umnoΩenyq. Budem yzu-
çat\ aryfmetyku poluhrupp¥ MP . Dlq sluçaq P = { }, , ,2 2 2 … aryfmety-
ka poluhrupp¥ MP yzuçena v rabote [6]. Vvedem sledugwye opredelenyq.
Funkcyy χn , n ∈N0 , naz¥vagtsq v¥roΩdenn¥my πlementamy poluhrupp¥
MP . Funkcyq f ∈MP naz¥vaetsq ydempotentnoj, esly f 2 = f k⋅ χ dlq
nekotoroho k ∈N0 . Lehko vydet\, çto v¥roΩdenn¥e funkcyy qvlqgtsq ydem-
potentn¥my. Suwestvugt y nev¥roΩdenn¥e ydempotentn¥e funkcyy, napry-
mer funkcyq
1
1 2 2
2
p
i
x
p
i
x
pj
j
j
j
j
+
+
+…+exp exp eπ π xxp
( )
2
1
πi
p x
p
j j
j
−
,
kotoraq ravna edynyce pry x j = 0 y nulg pry x j ≠ 0 . Funkcyq f ∈MP na-
z¥vaetsq bezhranyçno delymoj, esly dlq lgboho natural\noho s najdutsq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
ARYFMETYKA POLUHRUPP RQDOV PO MUL|TYPLYKATYVNÁM SYSTEMAM 941
fs ∈MP y k ∈N0 takye, çto f fs
s
k= ⋅( ) χ . Funkcyq f1 ∈MP naz¥vaetsq
delytelem funkcyy f, esly najdetsq funkcyq f2 ∈MP takaq, çto f =
= f f1 2⋅ . Funkcyq f ∈MP naz¥vaetsq nerazloΩymoj, esly f k≠ χ dlq vsex
k ∈N0 y vse delytely f ymegt vyd χr yly f r⋅ χ dlq nekotoroho r ∈N0 .
Oboznaçym:
I( )MP — klass vsex bezhranyçno delym¥x funkcyj yz MP ,
I0( )MP — klass vsex funkcyj yz MP , ne ymegwyx ny nerazloΩym¥x, ny
nev¥roΩdenn¥x ydempotentn¥x delytelej,
N( )MP — klass vsex nerazloΩym¥x funkcyj yz MP .
V nastoqwej stat\e budut dokazan¥ sledugwye teorem¥.
Teorema&1. Klass I0( )MP sostoyt yz vsex funkcyj vyda
χ χk nc⋅ −exp ( ){ }1 , c ≥ 0 ,
hde k ∈N0 , a P -yçnaq forma zapysy çysla n ∈N0 udovletvorqet uslo-
vyqm:
1) esly pj neçetnoe, to α j = 0 ,
2) esly pj çetnoe, to α j jp= /2 yly 0.
Sledstvye.5 1. Esly P = …{ }, , ,2 2 2 , to
I0( )MP = χ χk nc c k n⋅ − ≥ ∈ ∈{ }exp ( ) : , ,{ }1 0 0 0N N .
2. Esly pj neçetno pry vsex j , to
I0( )MP = χk k: ∈{ }N0 .
UtverΩdenye51 sledstvyq b¥lo dokazano v [6].
Zameçanye&1. Vo vsex sluçaqx, krome tex, kotor¥e rassmotren¥ v sled-
stvyy, najdutsq takye çysla a y b, a b≠ , a, b ≠ 0 , çto
exp ( ){ }c aχ − 1 ∈ I0( )MP , exp ( ){ }c bχ − 1 ∉ I0( )MP , c > 0 .
Dejstvytel\no, esly suwestvuet takoe t , çto pt çetno y ne ravno 2, to pola-
haem a = ( )/p mt t2 1⋅ − , b = 1 1⋅ −mt ( vaΩno, çto v predstavlenyy vyda (1) dlq
çysla b koπffycyent αt ne raven 0 y pt /2 ) . Esly Ωe ny odno pj ne qv-
lqetsq çetn¥m, otlyçn¥m ot 2, y suwestvugt takoe u , çto pu = 2 , y takoe
v , çto pv neçetno, to polahaem a = 1 1⋅ −mu , b = 1 1⋅ −mv .
Takym obrazom, v sluçae 1 sledstvyq klass I0( )MP okaz¥vaetsq sam¥m
bohat¥m, a v sluçae 2 — sam¥m bedn¥m, v¥roΩdenn¥m.
Dlq kaΩdoho k ∈N0 oboznaçym çerez Wk mnoΩestvo funkcyj vyda (2), u
kotor¥x αk > 0 , α j = 0 pry j k> , W Wk ss k> = +
∞=:
1∪ ; pry k ≠ 0 polo-
Ωym W Wk ss
k
< =
−=:
0
1∪ .
Teorema&2. Pust\ funkcyq f ∈MP ymeet vyd
f x( ) = a xi i
j
m
j j
χ ( )
=
∑
1
, aim
> 0 , (3)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
942 Y. P. YL|YNSKAQ
pryçem χi km
W∈ dlq nekotoroho natural\noho k , χi kj
W∈ < pry vsex j m<
y sredy koπffycyentov αi j
, j = 1, 2, … , m – 1 , xotq b¥ try otlyçn¥ ot
nulq. Tohda f N∈ ( )MP .
2. Veroqtnostnaq ynterpretacyq poluhrupp¥&&MP . PokaΩem, çto
mul\typlykatyvn¥e funkcyy χn x( ) moΩno rassmatryvat\ kak xarakter¥ ne-
kotoroj hrupp¥. Oboznaçym, sleduq [5], çerez G( )P mnoΩestvo celoçyslen-
n¥x posledovatel\nostej vyda
∗x = { }, , ,x x x1 2 3 … , 0 1≤ ≤ −x pj j , j ≥ 1.
Vvedem na mnoΩestve G( )P operacyg � , zadavaemug ravenstvom
∗ ∗x y� = { }x yj j j� =
∞
1,
hde x y pj j j� ∈ … −{ }, , ,0 1 1 y x yj j� ≡ x yj j+ ( )mod pj . MnoΩestvo G( )P
qvlqetsq abelevoj hruppoj otnosytel\no operacyy � . Lehko vydet\, çto
G( )P yzomorfna slabomu proyzvedenyg hrupp Z Z Zp p p1 2 3
× × ×… , hde Z pj
— hruppa klassov v¥çetov po modulg pj . Nadelym kaΩdug hruppu Z pj
dysk-
retnoj topolohyej, a hruppu G( )P — topolohyej prqmoho proyzvedenyq. Toh-
da po teoreme Tyxonova hruppa G( )P kompaktna. Postroym hruppu xarakterov
hrupp¥ G( )P . Dlq kaΩdoho n ∈N0 zapyßem eho predstavlenye vyda (1) y
poloΩym
∗ ∗χn x( ) = exp 2
1
π
α
i
x
p
j j
jj
l
=
∑
.
Lehko vydet\, çto
∗ ∗χn x( ) = 1 y ∗ ∗ ∗χn x y( )� = ∗ ∗χn x( ) ⋅ ∗ ∗χn y( ) .
Sledovatel\no,
∗ ∗χn x( ) — xarakter hrupp¥ G( )P . Poskol\ku hruppa xarakte-
rov hrupp¥ Zm yzomorfna Zm , a hruppa xarakterov slaboho sçetnoho pro-
yzvedenyq hrupp sostoyt yz vsevozmoΩn¥x koneçn¥x proyzvedenyj xarakterov
somnoΩytelej [7] (§ 23), funkcyqmy
∗ ∗χn x( ) ysçerp¥vagtsq vse xarakter¥
hrupp¥ G( )P . Oboznaçym hruppu xarakterov hrupp¥ G( )P çerez G∗( )P :
G xn n
∗ ∗ ∗
=
∞= { }( ) ( )P χ
0
.
Po teoreme dvojstvennosty Pontrqhyna hruppa xarakterov hrupp¥ G∗( )P to-
polohyçesky yzomorfna hruppe G( )P .
Rassmotrym mnoΩestvo veroqtnostn¥x mer na hruppe G∗( )P . Xarakterys-
tyçeskaq funkcyq veroqtnostnoj mer¥ na hruppe G∗( )P ymeet vyd
∗f x( ) = an
n=
∞
∑
0
∗ ∗χn x( ) , an ≥ 0, an
n=
∞
∑
0
= 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
ARYFMETYKA POLUHRUPP RQDOV PO MUL|TYPLYKATYVNÁM SYSTEMAM 943
Takym obrazom, ustanovleno, çto poluhruppa MP yzomorfna svertoçnoj po-
luhruppe veroqtnostn¥x mer na hruppe G∗( )P . Poπtomu pry yzuçenyy aryf-
metyky poluhrupp¥ MP moΩno yspol\zovat\ yzvestn¥e fakt¥ ob aryfmety-
ke veroqtnostn¥x mer na lokal\no kompaktn¥x abelev¥x hruppax.
3. Opysanye klassa funkcyj I0( )MP . Yz rezul\tatov K. Partasaraty,
R. Rao, S. Varadana [2] (hl.54, § 11), kasagwyxsq razloΩenyq veroqtnostn¥x mer
na lokal\no kompaktn¥x abelev¥x hruppax, sleduet, çto dlq poluhrupp¥ MP
spravedlyv¥ sledugwye analohy faktoryzacyonn¥x teorem A.5Q.5Xynçyna.
Teorema&A. Lgbaq funkcyq f ∈MP predstavyma v vyde f = f f f1 2 3⋅ ⋅ ,
hde f1 — maksymal\n¥j ydempotentn¥j delytel\ f, f I2 0∈ ( )MP , f3 —
proyzvedenye koneçnoho (vozmoΩno, pustoho) yly sçetnoho mnoΩestva neraz-
loΩym¥x funkcyj.
Teorema&B. I0( )MP ⊂ I( )MP .
Uçyt¥vaq, çto hruppa G∗( )P dyskretna, y prymenqq v πtom sluçae formu-
lu, dagwug obwyj vyd xarakterystyçeskoj funkcyy bezhranyçno delymoj ve-
roqtnostnoj mer¥ na lokal\no kompaktnoj abelevoj hruppe [2] (hl.54, §57, zame-
çanye), poluçaem teoremu ob opysanyy klassa I( )MP .
Teorema&C. Klass I( )MP sostoyt yz vsex funkcyj vyda
f = f cn n
n
1
1
1⋅ −
=
∞
∑exp ( )χ , cn ≥ 0, cn
n=
∞
∑
1
< ∞ ,
hde f1 — ydempotentnaq funkcyq.
Dlq dokazatel\stva teorem¥51 ponadobqtsq yzvestn¥e fakt¥ o razloΩenyy
raspredelenyq Puassona na hruppax. Pust\ Ex — veroqtnostnaq mera na hruppe
X , sosredotoçennaq v toçke x , ϕ( , )y Ex — ee xarakterystyçeskaq funkcyq.
Teorema&D ([3], teorema56.6). Mera s xarakterystyçeskoj funkcyej
exp ( , )c y Exϕ
0
1−
{ } , c > 0,
prynadleΩyt klassu I0 tohda y tol\ko tohda, kohda porqdok πlementa x0
raven dvum yly beskoneçnosty.
Teorema&E ([3], teorema56.11). Mera s xarakterystyçeskoj funkcyej
exp ( , ) ( , )c y E c y Ex x1 21 2
1 1ϕ ϕ− + − { } ,
hde c1 , c2 > 0, x j — πlement¥ porqdka dva, x x1 2≠ , ne prynadleΩyt klas-
su I0 .
Dokazatel\stvo teorem¥&1. Sohlasno teoreme5B funkcyy klassa
I0( )MP prynadleΩat klassu I( )MP , y poπtomu v sylu teorem¥5C yx nado
yskat\ sredy funkcyj vyda
f = χ χk n n
n
c⋅ −
=
∞
∑exp ( )1
1
, cn ≥ 0, cn
n=
∞
∑
1
< ∞ . (4)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
944 Y. P. YL|YNSKAQ
V dal\nejßem rassuΩdenyy opyraemsq na yzomorfyzm poluhrupp¥ MP y po-
luhrupp¥ veroqtnostn¥x mer na G∗( )P . Qsno, çto pry lgbom natural\nom n
funkcyq χn — πlement koneçnoho porqdka hrupp¥ G∗( )P . Esly najdetsq n
takoe, çto v (4) cn > 0 y χn ymeet porqdok, ne ravn¥j52, to po teoreme5D
funkcyq exp [ ( ) ]{ }∗ ∗ −χn x 1 ymeet nerazloΩym¥j delytel\. Tohda y funkcyq
vyda (4) ymeet nerazloΩym¥j delytel\.
Esly najdutsq takye n y m ( , , )n m n m≠ ≠0 , çto χn y χm ymegt porq-
dok52 y cn > 0, cm > 0, to po teoreme5E funkcyq
exp ( ) ( )c x c xn m1 21 1∗ ∗ ∗ ∗− + − { }χ χ
ymeet nerazloΩym¥j delytel\ y, sledovatel\no, funkcyq vyda (4) ymeet neraz-
loΩym¥j delytel\. Poπtomu, snova prymenqq teoremu D, zaklgçaem, çto klass
I0( )MP sostoyt yz funkcyj vyda
χ χk nc x⋅ −{ }exp ( )[ ]1 , c > 0,
hde χn ymeet porqdok52.
V¥qsnym, pry kakyx n funkcyq χn ymeet porqdok52. Pust\ χn x2 1( ) ≡ .
Razob\em summu v (2) na try summ¥: 1) s pj , ravn¥my552, 2) s pj çetn¥my, ne
ravn¥my552, y 3) s neçetn¥my pj
χn x( ) = exp 2
2 2 2 1
1 2 3
π
δ β γ
i
x x
k
x
k
j j
j J
j j
jj J
j j
jj J∈ ∈ ∈
∑ ∑+ +
−∑∑
. (5)
PokaΩem, çto γ j = 0 dlq vsex j J∈ 3 . PredpoloΩym, çto γ j ≠ 0 dlq
nekotoroho j t= . PoloΩym v (5) xt = 1 , x j = 0 pry j t≠ . Tohda
χn x( ) = exp 2
2 1
π
γ
i
k
t
t −
, χn x2( ) = exp 2
2
2 1
π
γ
i
k
t
t −
= 1.
Sledovatel\no, 2 2 1γ t tk/( )− — celoe çyslo, poπtomu γ t delytsq na 2 1kt − .
No πto nevozmoΩno, tak kak γ t tk≤ −2 2 . Takym obrazom, γ j = 0 pry vsex
j J∈ 3 , y, znaçyt,
χn x( ) = exp 2
2 2
1 2
π
δ β
i
x x
k
j j
j J
j j
jj J∈ ∈
∑ ∑+
. (6)
PokaΩem, çto esly β j ≠ 0 pry nekotorom j J∈ 2 , to β j jk= . PredpoloΩym,
çto pry nekotorom s J∈ 2 v¥polnqetsq βs ≠ 0 , βs sk≠ . PoloΩym v (6)
xs = 1 , x j = 0 pry j s≠ . Tohda
χn x( ) = exp 2
2
π
β
i
k
s
s
, χn x2( ) = exp 2π
β
i
k
s
s
= 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
ARYFMETYKA POLUHRUPP RQDOV PO MUL|TYPLYKATYVNÁM SYSTEMAM 945
Sledovatel\no, βs sk q/ = , hde q = 2, 3, … . Poskol\ku βs sk≤ −2 1 , to k qs ≤
≤ 2 1ks − , ( )2 1− ≥q ks , çto nevozmoΩno pry q = 2, 3, … .
Teorema51 dokazana.
4. NerazloΩym¥e funkcyy. PreΩde çem perejty k dokazatel\stvu teore-
m¥52, pryvedem dva zameçanyq.
Zameçanye&2. Esly χn , χr kW∈ , to χ χn r k kW W⋅ ∈ <∪ . Esly χn kW∈ ,
χr kW∈ < , to χ χn r kW⋅ ∈ .
Zameçanye&3. Esly i j≠ , to χ χ χ χi n j n≠ pry lgb¥x n .
Dokazatel\stvo teorem¥&2. PredpoloΩym, çto f N∉ ( )MP . Tohda f =
= f f1 2⋅ , hde f1, f2 ∈MP , f1, f2 ≠ χn , n ∈N0 . Pust\ f2 = b xj jj
χ ( )
=
∞∑ 0
.
Bez ohranyçenyq obwnosty moΩem sçytat\, çto koπffycyent b0 otlyçen ot
nulq. Esly on raven nulg, to voz\mem v razloΩenyy f2 lgboe slahaemoe
bj jχ s bj ≠ 0 y vmesto f f f= ⋅1 2 rassmotrym predstavlenye f =
= ( ) ( )f fj j1 2
1χ χ⋅ − . Teper\ koπffycyent pry χ0 v razloΩenyy funkcyy f j2
1χ−
ne raven nulg. Dal\nejßye rassuΩdenyq provedem v neskol\ko πtapov.
1. RazloΩenye f1 ne soderΩyt slahaem¥x yz W k> . Esly b¥ takye slahae-
m¥e b¥ly, to, tak kak b0 0≠ , ony b¥ly b¥ y v razloΩenyy f, çto ne tak.
2. RazloΩenye f1 soderΩyt rovno odno slahaemoe yz Wk , a ymenno χim
( m — çyslo, fyhuryrugwee v (3)). Esly b¥ takyx slahaem¥x b¥lo dva yly
bol\ße, to, poskol\ku b0 0≠ , yx b¥lo b¥ ne men\ße, çem dva, y v razloΩenyy
f, çto ne tak. PredpoloΩym, çto f1 ne soderΩyt slahaem¥x yz Wk . Tohda,
poskol\ku f n1 ≠ χ , n ∈N0 , f1 soderΩyt xotq b¥ dva slahaem¥x yz W k< . Tak
kak sohlasno uslovyg f soderΩyt slahaemoe yz Wk , f2 takΩe soderΩyt sla-
haemoe yz Wk . Tohda, poskol\ku f1 soderΩyt xotq b¥ dva slahaem¥x yz W k< ,
f soderΩyt xotq b¥ dva slahaem¥x yz Wk , çto protyvoreçyt uslovyg.
3. RazloΩenye f1 soderΩyt xotq b¥ odno slahaemoe yz W k< . ∏to sleduet
yz pp.51, 2 y toho, çto f1 soderΩyt xotq b¥ dva slahaem¥x.
4. RazloΩenye f2 ne soderΩyt slahaem¥x yz W k> . Esly b¥ takye slahae-
m¥e b¥ly, to v sylu p.52 ony b¥ly b¥ y u f, çto ne tak.
5. RazloΩenye f2 soderΩyt rovno odno slahaemoe yz Wk . Esly b¥ takyx
slahaem¥x b¥lo dva yly bol\ße, to v sylu p.53 razloΩenye f soderΩalo b¥ dva
yly bol\ße slahaem¥x yz Wk , çto ne tak. Esly b¥ takyx slahaem¥x ne b¥lo,
to, tak kak f n2 ≠ χ , n ∈N0 , funkcyq f2 soderΩala b¥ xotq b¥ dva slahae-
m¥x yz W k< . No tohda v sylu p.52 razloΩenye f soderΩyt xotq b¥ dva slahae-
m¥x yz Wk , çto nevozmoΩno.
6. RazloΩenye f2 soderΩyt rovno odno slahaemoe yz W k< , a ymenno, χ0 .
Esly b¥ takyx slahaem¥x b¥lo ne men\ße dvux, to v sylu p.52 razloΩenye f so-
derΩalo b¥ ne menee dvux slahaem¥x yz Wk , çto protyvoreçyt uslovyg.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
946 Y. P. YL|YNSKAQ
7. RazloΩenye f1 soderΩyt rovno odno slahaemoe yz W k< . Esly b¥ takyx
slahaem¥x b¥lo dva yly bol\ße, to sohlasno p.55 funkcyq f soderΩala b¥ ne
menee dvux slahaem¥x yz Wk , çto ne tak.
Yz pp.51 – 7 sleduet, çto
f a bi ip m1 = +χ χ , χi kp
W∈ < , χi km
W∈ , a b, > 0 ,
f c d it2 = + χ , χi kt
W∈ , c d, > 0 .
Tohda
f = ac bc ad bdi i i i i ip m p t m t
χ χ χ χ χ χ+ + + ,
χi kp
W∈ < , χim
, χ χi i kp t
W∈ , χ χi i k km t
W W∈ <∪ . Po uslovyg f soderΩyt toç-
no odno slahaemoe yz Wk , a ymenno, χim
. Poπtomu χ χ χi i ip t m
= y
f = ac bc ad bdi i i ip m m t
χ χ χ χ+ + +( ) .
Takym obrazom, f soderΩyt ne bolee trex slahaem¥x, çto protyvoreçyt
uslovyg.
Teorema52 dokazana.
Zameçanye&4. Teorema52 dopuskaet πkvyvalentnug formulyrovku. Çtob¥
pryvesty ee, vvedem oboznaçenyq:
Vk = { } : , ,α α αj j p p p k j j k=
∞ ∈ × × ×… ≠ = >{ }1 1 2 3
0 0Z Z Z ,
V k> = Vj
j k= +
∞
1
∪ , k ≥ 0; V k< = Vj
j
k
=
−
0
1
∪ , k > 0.
PodmnoΩestvo A nekotoroj hrupp¥, soderΩawee xotq b¥ dva πlementa, naz¥-
vaetsq nerazloΩym¥m, esly yz toho, çto ono predstavymo v vyde A = A A1 2+ ,
hde A1, A2 — podmnoΩestva πtoj hrupp¥, a znakom + oboznaçena hruppovaq
operacyq, sleduet, çto odno yz mnoΩestv A1, A2 sostoyt yz odnoho πlementa.
Teorema&2′′′′. Pust\ mnoΩestvo A p p p⊂ × × ×…Z Z Z
1 2 3
soderΩyt rovno
odyn πlement yz Vk , ne soderΩyt ny odnoho πlementa yz V k> y soderΩyt
xotq b¥ try πlementa yz V k< . Tohda mnoΩestvo A nerazloΩymo.
Yz rezul\tatov K. Partasaraty, R. Rao, S. Varadana [2] (hl.53, § 4), kasag-
wyxsq teoryy raspredelenyj na lokal\no kompaktn¥x abelev¥x hruppax, v¥te-
kaet sledugwaq teorema o klasse N( )MP .
Teorema&F. Klass N( )MP qvlqetsq plotn¥m mnoΩestvom v MP typa
Gδ v topolohyy ravnomernoj sxodymosty na otrezke [ , )0 1 .
Opyraqs\ na teoremu52, pokaΩem, kak po zadannoj funkcyy f ∈MP moΩ-
no postroyt\ posledovatel\nost\ funkcyj f Nn ∈ ( )MP , ravnomerno sxodq-
wugsq k f . Pust\ f x( ) = a xj jj
χ ( )
=
∞∑ 0
. Vvedem v rassmotrenye funkcyy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
ARYFMETYKA POLUHRUPP RQDOV PO MUL|TYPLYKATYVNÁM SYSTEMAM 947
f xn ( ) =
a
s
x
n
x
n
x
n
xj
n
j
j
K
l k r
n
χ χ χ χ( ) ( ) ( ) ( )
=
∑ + + +
0
1
3
1
3
1
3
s
n
n
an j
j
Kn
=
−
=
∑
1 0
,
hde çyslo Kn v¥byraetsq tak, çto χ j n nW W∈ < ∪ pry vsex j Kn≤ ; çyslo n
beretsq stol\ bol\ßym, çto sredy koπffycyentov a a aKn0 1, , ,… najdetsq
xotq b¥ odyn otlyçn¥j ot nulq; çysla l , k , r v¥byragtsq tak, çto χl nW∈ +1,
χk nW∈ +2 , χr nW∈ +3 . Tohda v sylu teorem¥52 f x Nn ( ) ( )∈ MP y f x f xn ( ) ( )→ ,
n → ∞ , ravnomerno po x ∈[ , )0 1 .
1. Lynnyk G. V., Ostrovskyj Y. V. RazloΩenyq sluçajn¥x velyçyn y vektorov. – M.: Nauka,
1972. – 4805s.
2. Parthasarathy K. R. Probability measures on metric spaces. – New York; London: Acad. Press,
1967. – 276 p.
3. Fel\dman H. M. Aryfmetyka veroqtnostn¥x raspredelenyj y xarakteryzacyonn¥e zadaçy
na abelev¥x hruppax. – Kyev: Nauk. dumka, 1990. – 1685s.
4. Ostrovskyj Y. V. Aryfmetyka veroqtnostn¥x raspredelenyj // Teoryq veroqtnostej y ee
prymenenyq. – 1986. – 31, v¥p.51. – S.53 – 30.
5. Holubov B. Y., Efymov A. V., Skvorcov V. A. Rqd¥ y preobrazovanyq Uolßa. – M.: Nauka,
1987. – 3445s.
6. Il’inskaya I. P. The arithmetic of semigroup of series of Walsh functions // J. Austral. Math. Soc.
A. – 2000. – 68. – P. 365 – 378.
7. X\gytt ∏., Ross K. Abstraktn¥j harmonyçeskyj analyz: V 25t. – M.: Nauka, 1975. – T.51. –
6565s.
Poluçeno 13.06.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3068 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:38Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/2f/c409a7b7f8f245f4d6a81e54feb2002f.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30682020-03-18T19:44:40Z Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems Арифметика полугрупп рядов по мультипликативным системам Il’inskaya, I. P. Ильинская, И. П. Ильинская, И. П. We study the arithmetic of a semigroup $\mathcal{M}_P$ of functions with operation of multiplication representable in the form $f(x)=∑^{∞}_{n=0} a_nχ_n(x)\left(a_n≥0,\; ∑^{∞}_{n=0}a_n =1 \right)$, where $\{χ_n|\}^{∞}_{n=0}$ is a system of multiplicative functions that are generalizations of the classical Walsh functions. For the semigroup $\mathcal{M}_P$ , analogs of the well-known Khinchin theorems related to the arithmetic of a semigroup of probability measures in $R_n$ are true. We describe the class $I_0(\mathcal{M}_P)$ of functions without indivisible or nondegenerate idempotent divisors and construct a class of indecomposable functions that is dense in $\mathcal{M}_P$ in the topology of uniform convergence. Вивчається арифметика напівгрупи функцій $\mathcal{M}_P$ з операцією множення, які можна зобразити у вигляді $f(x)=∑^{∞}_{n=0} a_nχ_n(x)\left(a_n≥0,\; ∑^{∞}_{n=0}a_n =1 \right)$, де $\{χ_n|\}^{∞}_{n=0}$ — система мультиплікативних функцій, що є узагальненням класичних функцій Уолша. Для напівгрупи $\mathcal{M}_P$ справджуються аналоги відомих теорем Хінчина з арифметики напівгрупи ймовірнісних мір у $R_n$ . Описано клас $I_0(\mathcal{M}_P)$ функцій, які не мають ані неподільних, ані невироджених ідемпотентних дільників, та побудовано клас нерозкладних функцій, щільний у $\mathcal{M}_P$ в топології рівномірної збіжності. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3068 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 939–947 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 939–947 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3068/2885 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3068/2886 Copyright (c) 2009 Il’inskaya I. P. |
| spellingShingle | Il’inskaya, I. P. Ильинская, И. П. Ильинская, И. П. Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| title | Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| title_alt | Арифметика полугрупп рядов по мультипликативным системам |
| title_full | Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| title_fullStr | Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| title_full_unstemmed | Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| title_short | Arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| title_sort | arithmetic of semigroups of series in multiplicative systems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3068 |
| work_keys_str_mv | AT ilinskayaip arithmeticofsemigroupsofseriesinmultiplicativesystems AT ilʹinskaâip arithmeticofsemigroupsofseriesinmultiplicativesystems AT ilʹinskaâip arithmeticofsemigroupsofseriesinmultiplicativesystems AT ilinskayaip arifmetikapolugrupprâdovpomulʹtiplikativnymsistemam AT ilʹinskaâip arifmetikapolugrupprâdovpomulʹtiplikativnymsistemam AT ilʹinskaâip arifmetikapolugrupprâdovpomulʹtiplikativnymsistemam |