Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations
We establish conditions for the existence of an invariant set of the system of differential equations $$\frac{dφ}{dt} = a(φ),\quad \frac{dx}{dt} = P(φ)x + F(φ,x),$$ where $a: Φ → Φ, P: Φ → L(X, X)$, and $F: Φ × X→X$ are continuous mappings and $Φ$ and $X$ are finite-dimensional Banach spaces....
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , , , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3069 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509094117376000 |
|---|---|
| author | Perestyuk, N. A. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_facet | Perestyuk, N. A. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. |
| author_sort | Perestyuk, N. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | We establish conditions for the existence of an invariant set of the system of differential equations
$$\frac{dφ}{dt} = a(φ),\quad \frac{dx}{dt} = P(φ)x + F(φ,x),$$
where $a: Φ → Φ, P: Φ → L(X, X)$, and $F: Φ × X→X$ are continuous mappings and $Φ$ and $X$ are finite-dimensional Banach spaces. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:38Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.9.25.53
M. O. Perestgk (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka),
V. G. Slgsarçuk (Nac. un-t vodn. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, Rivne)
OPERATOR HRINA – SAMOJLENKA V TEORI}
INVARIANTNYX MNOÛYN NELINIJNYX
DYFERENCIAL|NYX RIVNQN|
We obtain conditions for the existence of invariant set of the system of differential equations
d
dt
a
ϕ
ϕ= ( ) ,
dx
dt
P x F x= +( ) ( , )ϕ ϕ ,
where a : Φ → Φ, P : Φ → L (X, X), and F : Φ × X → X are continuous mappings, Φ and X are
finite-dimensional Banach spaces.
Poluçen¥ uslovyq suwestvovanyq ynvaryantnoho mnoΩestva system¥ dyfferencyal\n¥x
uravnenyj
d
dt
a
ϕ
ϕ= ( ) ,
dx
dt
P x F x= +( ) ( , )ϕ ϕ ,
hde a : Φ → Φ, P : Φ → L (X, X), F : Φ × X → X — neprer¥vn¥e otobraΩenyq, Φ y X — koneç-
nomern¥e banaxov¥ prostranstva.
1. Osnovnyj ob’[kt doslidΩen\. Nexaj R — mnoΩyna vsix dijsnyx çysel, Φ
i X — skinçennovymirni banaxovi prostory vidpovidno z normamy ⋅ Φ i ⋅ X i
L (X, X) — banaxova alhebra vsix linijnyx neperervnyx operatoriv A : X → X z
normog
A AxL X X
x
X
X
( , ) sup=
=1
.
Rozhlqnemo nelinijnu systemu dyferencial\nyx rivnqn\
d
dt
a
ϕ
ϕ= ( ) ,
(1)
dx
dt
P x F x= +( ) ( , )ϕ ϕ , t ∈ R ,
de a : Φ → Φ, P : Φ → L (X, X) i F : Φ × X → X — neperervni vidobraΩennq.
MnoΩyna M � Φ × X nazyva[t\sq invariantnog mnoΩynog systemy riv-
nqn\7(1), qkwo dlq koΩno] toçky ( , )ϕ0 0x ∈ M dlq rozv’qzku
ϕ = ϕ ϕt ( )0 ,
x = x xt ( , )ϕ0 0
ci[] systemy, wo zadovol\nq[ umovu
ϕ ϕ0 0( ) = ϕ0 ,
x x0 0 0( , )ϕ = x0 ,
vykonu[t\sq spivvidnoßennq
ϕ ϕ ϕt tx x X t( ), ( , ) :0 0 0( ) ∈ × ∈{ }Φ R � M.
Metog ci[] statti [ z’qsuvannq umov isnuvannq invariantno] mnoΩyny M
systemy (1), dlq qko]
sup : ( , )x xX ϕ ∈{ }M < + ∞.
© M. O. PERESTGK, V. G. SLGSARÇUK, 2009
948 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2008, t. 60, # 7
OPERATOR HRINA – SAMOJLENKA V TEORI} INVARIANTNYX MNOÛYN … 949
Ce spivvidnoßennq oznaça[, wo proekciq mnoΩyny M na {0} × X paralel\no
Φ × {0} [1] [ obmeΩenog ({0} × X i Φ × {0} — pidprostory prostoru Φ × X).
MnoΩyny, wo zadovol\nqgt\ taku umovu, nazyvatymemo X-obmeΩenymy.
Prykladom tako] mnoΩyny [ invariantna mnoΩyna
K = ( , ) :ϕ ϕ0 ∈ × ∈{ }Φ ΦX
systemy dyferencial\nyx rivnqn\
d
dt
a
ϕ
ϕ= ( ) ,
(2)
dx
dt
P x= ( )ϕ , t ∈ R .
Pry z’qsuvanni umov isnuvannq X-obmeΩeno] invariantno] mnoΩyny M sys-
temy (1) krim neperervnosti vidobraΩen\ a, P i F vymahatymemo, wob vykonu-
valysq dodatkovi vymohy, a same, wob vykonuvalysq nastupni umovy.
Umova A. Dyferencial\ne rivnqnnq
d
dt
a
ϕ
ϕ= ( ) , t ∈ R ,
dlq koΩno] toçky ϕ0 ∈ Φ ma[ [dynyj rozv’qzok ϕ = ϕ ϕt ( )0 , qkyj, qk funk-
ciq zminnyx t i ϕ
0
, [ neperervnym na R × Φ i
ϕ ϕ0 0( ) = ϕ
0
.
Umova B. sup ( ) ( , )
ϕ
ϕ
∈Φ
P L X X < + ∞.
Umova V. Dlq koΩno] obmeΩeno] mnoΩyny G � X
sup ( , )
( , )ϕ
ϕ
x G
XF x
∈ ×Φ
< + ∞.
Zaznaçymo, wo zadaçu pro invariantni mnoΩyny systemy rivnqn\ (1) u vypad-
ku Φ = Rm
, X n= R i 2π-periodyçnyx po zminnyx ϕ
1
, ϕ
2
, … , ϕm ta dyferen-
cijovnyx funkcij a( )ϕ , P( )ϕ i F x( , )ϕ (tut ϕ = (ϕ
1
, ϕ
2
, … , ϕm )) detal\no
doslidΩeno A. M. Samojlenkom [2].
2. Funkciq i operator Hrina – Samojlenka. Nexaj Y i Z — dovil\ni ba-
naxovi prostory, C Y Z0( , ) — banaxovyj prostir neperervnyx i obmeΩenyx na Y
funkcij z = z(y) zi znaçennqmy v Z z normog
z z yC Y Z
y Y
Z0 ( , ) sup ( )=
∈
i M
0( , )Y Z — banaxovyj prostir obmeΩenyx na Y funkcij z = z(y) zi znaçen-
nqmy v Z z normog
z z yY Z
y Y
Z�0 ( , ) sup ( )=
∈
.
Poznaçymo çerez Ωτ ϕt ( ) operatornyj rozv’qzok zadaçi
dX t
dt
P X tt
( )
( ) ( )= ( )ϕ ϕ , t ∈ R ,
X I( )τ = ,
de I — odynyçnyj element alhebry L (X, X). Zavdqky neperervnosti P tϕ ϕ( )( )
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
950 M. O. PERESTGK, V. G. SLGSARÇUK
po zminnij t na R dlq koΩnoho ϕ ∈ Φ cq zadaça ma[ [dynyj rozv’qzok (dyv.,
napryklad, [3]).
Funkci[g Hrina – Samojlenka systemy rivnqn\ (2) nazyva[t\sq funkciq
G0( , )τ ϕ =
Ω
Ω
τ τ
τ τ
ϕ ϕ ϕ τ
ϕ ϕ ϕ
0
0
0( ) ( ) , ,
( ) ( ) ,
C
I C
( ) ≤
− − ( )( )
qkwo
qqkwo τ >
0,
de C ∈ C0 Φ( , L X X( , ) ) , qkwo intehral G dL X X0( , ) ( , )τ ϕ τ
−∞
+∞
∫ zbiha[t\sq
dlq koΩnoho ϕ ∈ Φ i
sup ( , ) ( , )
ϕ
τ ϕ τ
∈ −∞
+∞
∫
Φ
G dL X X0 < + ∞.
ZauvaΩymo, wo systema rivnqn\ (2) ma[ funkcig Hrina – Samojlenka, qkwo
invariantna mnoΩyna K ci[] systemy eksponencial\no dyxotomiçna, tobto vyko-
nu[t\sq nastupna umova.
Umova H. Isnugt\ pidprostory X+ ( , )τ ϕ , X− ( , )τ ϕ � X , ( , )τ ϕ ∈ R × Φ , ta
dodatni stali K, N i ν, dlq qkyx:
1) dlq koΩnyx ( , )τ ϕ ∈ R × Φ prostir X [ prqmog sumog pidprostoriv
X+ ( , )τ ϕ i X− ( , )τ ϕ :
X = X X+ −⊕( , ) ( , )τ ϕ τ ϕ ,
do toho Ω proektory P+ ( , )τ ϕ i P− ( , )τ ϕ , porodΩeni ci[g sumog, rivnomirno
obmeΩeni, tobto
sup ( , ) , ( , )
( , )
( , ) ( , )
τ ϕ
τ ϕ τ ϕ
∈ ×
+ −{ }
R Φ
P PL X X L X X ≤ K;
2) dlq vsix t, τ ∈ R (t ≥ τ), ϕ ∈ Φ i x X0 ∈ − ( , )τ ϕ vykonu[t\sq nerivnist\
Ωτ
ν τϕt
X
t
Xx Ne x( ) ( )
0 0≤ − −
;
3) dlq vsix t, τ ∈ R (t ≤ τ), ϕ ∈ Φ i x X0 ∈ + ( , )τ ϕ vykonu[t\sq nerivnist\
Ωτ
ν τϕt
X
t
Xx Ne x( ) ( )
0 0≤ − −
.
U vypadku vykonannq umovy7H funkciq Hrina – Samojlenka systemy rivnqn\
(2) poda[t\sq u vyhlqdi
G0( , )τ ϕ =
Ω
Ω
τ
τ
ϕ τ ϕ τ
ϕ τ ϕ τ
0
0
0( ) ( , ), ,
( ) ( , ),
P
P
−
+
≤
− >
qkwo
qkwo 00,
i dlq ne] vykonu[t\sq nerivnist\
G NeL X X0( , ) ( , )τ ϕ ν τ≤ −
(3)
dlq vsix τ ∈ R i ϕ ∈ Φ .
Operatorom Hrina – Samojlenka nazvemo operator G, wo di[ z prostoru
C X0( , )Φ u prostir �0( , )Φ X i vyznaça[t\sq rivnistg
( ) ( ) ( , ) ( )Gu G u dϕ τ ϕ ϕ ϕ ττ= ( )
−∞
+∞
∫ 0 .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
OPERATOR HRINA – SAMOJLENKA V TEORI} INVARIANTNYX MNOÛYN … 951
U nastupnomu punkti pokaΩemo, wo
GC X C X0 0( , ) ( , )Φ Φ⊂ , (4)
tobto operator G di[ u prostori C X0( , )Φ .
Zaznaçymo, wo operator G rozhlqdavsq v [2, 4]. Za dopomohog c\oho opera-
tora invariantna mnoΩyna K f systemy dyferencial\nyx rivnqn\ (1), qkwo
F x( , )ϕ = f ( )ϕ i f ∈ C X0( , )Φ , poda[t\sq u vyhlqdi
K f = ( , ) : ( )( ),ϕ ϕ ϕx X x f∈ × = ∈{ }Φ ΦG .
U vypadku, koly mnoΩyna K f — tor, ce pokazano u [2].
U podal\ßomu operator G vidihravatyme vaΩlyvu rol\ u z’qsuvanni isnu-
vannq X-obmeΩenyx invariantnyx mnoΩyn systemy dyferencial\nyx rivnqn\7(1).
Navedemo odnu vlastyvist\ c\oho operatora.
3. c-Neperervnist\ operatora Hrina – Samojlenka. Hovorytymemo, wo
poslidovnist\ ( )zn n≥1 elementiv prostoru C Y Z0( , ) lokal\no zbiha[t\sq do
elementa z ∈ C Y Z0( , ) , i poznaçatymemo
z zn
C Y Zloc., ( , )0
→ pry n → ∞,
qkwo cq poslidovnist\ [ obmeΩenog i dlq koΩnoho çysla p > 0
lim max ( ) ( )
n y p
n Z
Y
z y z y
→+∞ ≤
− = 0.
Analohiçno vyznaça[t\sq lokal\no zbiΩna poslidovnist\ elementiv prostoru
�0( , )Y Z .
Operator B : E1 → E2 (E1 i E2 — banaxovi prostory, koΩnyj z qkyx zbiha-
[t\sq z odnym iz prostoriv C Y Z0
1 1( , ) , C Y Z0
2 2( , ) , �0
1 1( , )Y Z i �0
2 2( , )Y Z ),
de Y1, Y2
, Z1 i Z
2 — takoΩ banaxovi prostory) nazyva[t\sq c-neperervnym,
qkwo dlq dovil\nyx x E∈ 1 i x En ∈ 1 , n ≥ 1, dlq qkyx
x xn
Eloc., 1 → pry n → ∞,
vykonu[t\sq spivvidnoßennq
Bx Bxn
Eloc., 2 → pry n → ∞.
Ponqttq c-neperervnoho operatora uviv do rozhlqdu (na movi „ε, δ ” ) E. Mu-
xamadi[v [5]; joho vyvçennq bulo prodovΩeno u robotax [6 – 13]. Oznaçennq c-
neperervnoho operatora, v qkomu vykorystano lokal\no zbiΩni poslidovnosti,
zaproponovano odnym iz avtoriv statti (dyv., napryklad, [14 – 16]).
Teorema 1. Nexaj a : Φ → Φ i P : Φ → L (X, X) — neperervni vidobraΩennq
i vykonugt\sq umovy A, B i H.
Todi mnoΩyna znaçen\ R( )G operatora Hrina – Samojlenka G [ pidmno-
Ωynog prostoru C X0( , )Φ i cej operator [ linijnym, obmeΩenym i c-nepe-
rervnym.
Dovedennq. Rozhlqnemo dovil\ni n0 ∈ C X0( , )Φ , n ≥ 0, dlq qkyx
u un
C Xloc., ( , )0
0
Φ → pry n → ∞. (5)
PokaΩemo, wo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
952 M. O. PERESTGK, V. G. SLGSARÇUK
G Gu un
Xloc., ( , )�0
0
Φ → pry n → ∞. (6)
Zafiksu[mo dovil\ni çysla R > 0 i ε > 0. Zavdqky (5) isnu[ take çyslo c > 0,
wo
sup ( , )
n
n C Xu c
≥
≤
0
0 Φ . (7)
Vyberemo take dodatne çyslo a, wob
4Nc
e a
ν
ν− <
ε
2
. (8)
Podamo ( ) ( )Gun ϕ – ( ) ( )Gu0 ϕ u vyhlqdi
( ) ( )Gun ϕ – ( ) ( )Gu0 ϕ = I n I n1 2( , ) ( , )ϕ ϕ+ ,
de
I n1( , )ϕ = G u u dn
a
a
0 0( , ) ( ) ( )τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ( ) − ( )( )
−
∫
i
I n2( , )ϕ = G u u dn
a
0 0( , ) ( ) ( )τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ
τ
( ) − ( )( )
≥
∫ .
Na pidstavi (7), (8) ta ocinky (3) normy funkci] Hrina – Samojlenka (tut vyko-
rystano umovu H) otrymu[mo
sup ( , )
,n
XI n
≥ ∈1
1
ϕ
ϕ
Φ
<
ε
2
. (9)
PokaΩemo, wo pry dosyt\ velykyx n
sup ( , )
ϕ
ϕ
Φ ≤R
XI n2 <
ε
2
. (10)
Vykorysta[mo umovu A. Zavdqky neperervnosti ϕ ϕt ( ) po ( t, ϕ) na mnoΩyni
K = −[ ]a a, × ϕ ∈{ Φ : ϕ Φ ≤ R } (cq mnoΩyna [ kompaktnog, oskil\ky pros-
tir Φ skinçennovymirnyj) funkciq ϕ ϕt ( ) Φ obmeΩena na K deqkym çyslom
γ
. Vyberemo takyj nomer n
0 , wob
sup ( ) ( )
,n n
nu u
≥ ≤
−
0
0
ϕ γ
ϕ ϕ
Φ
Φ <
νε
2N
. (11)
Takyj nomer isnu[ na pidstavi (5). Todi zavdqky (11)
sup ( ) ( ( ))
, ,n n a R
n X
u u
≥ ≤ ≤
( ) −
0
0
τ ϕ
τ τϕ ϕ ϕ ϕ
Φ
<
νε
2N
.
Zvidsy ta z (3) vyplyva[ (10).
Iz (9) i (10) otrymu[mo
sup ( ) ( ) ( ) ( )
,n n R
n Xu u
≥ ≤
−
0
0
ϕ
ϕ ϕ
Φ
G G < ε.
OtΩe, na pidstavi dovil\nosti çysla ε vykonu[t\sq spivvidnoßennq (6), wo
oznaça[ c-neperervnist\ operatora G.
Teper pokaΩemo, wo
R C X( ) ( , )G ⊂ 0 Φ . (12)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
OPERATOR HRINA – SAMOJLENKA V TEORI} INVARIANTNYX MNOÛYN … 953
Zafiksu[mo dovil\nyj element v ∈C X0( , )Φ i pokaΩemo, wo Gv ∈
∈ C X0( , )Φ .
Rozhlqnemo vektory ϕn ∈ Φ , n ≥ 1, dlq qkyx
lim
n
n→∞
ϕ Φ = 0, (13)
i poslidovnist\ vn = v( )ϕ ϕ+ n , n ≥ 1, elementiv prostoru C X0( , )Φ . Zavdqky
(13) i skinçennij rozmirnosti prostoru Φ
v vn
C Xloc., ( , )0 Φ → pry n → ∞. (14)
PokaΩemo, wo
G Gv vn
Xloc., ( , )�0 Φ → pry n → ∞,
tobto dlq koΩnoho çysla r > 0
lim sup ( ) ( ) ( )( )
n r
n X→∞ ≤
+ −
ϕ
ϕ ϕ ϕ
Φ
G Gv v = 0. (15)
Zvidsy vyplyvatyme neperervnist\ ( )( )Gv ϕ u koΩnij toçci ϕ ∈ Φ , tobto
vklgçennq (12).
Podamo ( )( )Gv ϕ ϕ+ n – ( )( )Gv ϕ u vyhlqdi
( )( )Gv ϕ ϕ+ n – ( )( )Gv ϕ =
= G dn n0( , ) ( )τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ+ +( )
−∞
+∞
∫ v – G d0( , ) ( )τ ϕ ϕ ϕ ττv ( )
−∞
+∞
∫ =
= A Bn n( ) ( )ϕ ϕ+ ,
de
An ( )ϕ = G dn0( , ) ( ) ( )τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τv v+( ) − ( )( )
−∞
+∞
∫
i
Bn ( )ϕ = G G dn n0 0( , ) ( , ) ( )τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ+ −( ) +( )
−∞
+∞
∫ v .
Na pidstavi (14)
An
Xloc., ( , )�0
0Φ → pry n → ∞. (16)
PokaΩemo, wo
Bn
Xloc., ( , )�0
0Φ → pry n → ∞. (17)
Vykorysta[mo umovy A i B. Zavdqky cym umovam ta neperervnosti vidobra-
Ωennq P : Φ → L (X, X) dlq koΩnoho çysla r > 0
lim sup ( ) ( )
,
( , )n t r r
t n t L X X
P P
→∞ ≤ ≤
+( ) − ( )
ϕ
ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ
Φ
== 0 .
Tomu zavdqky neperervnij zaleΩnosti rozv’qzkiv rivnqnnq
dX t
dt
( )
= P X ttϕ ϕ( ) ( )( ) , t ∈ R ,
vid poçatkovyx umov [17, 18]
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
954 M. O. PERESTGK, V. G. SLGSARÇUK
lim sup ( ) ( )
, ( , )n r r
n L X X→∞ ≤ ≤
+ − =
τ ϕ
τ τϕ ϕ ϕ
Φ
Ω Ω0 0 0
dlq koΩnoho çysla r > 0 i, otΩe,
lim sup ( , ) ( , )
,
( , )n r r
n L X X
G G
→ ∞ ≤ ≤
+ − =
τ ϕ
τ ϕ ϕ τ ϕ
Φ
0 0 0 (18)
dlq koΩnoho r > 0. Oskil\ky
Bn X
( )ϕ = G G dn n
L X X
0 0( , ) ( , ) ( )
( ,
τ ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ+ −( ) +( )
−∞
+∞
∫ v
))
≤
≤ G G dn L X X C X0 0 0( , ) ( , )
( , ) ( , )
τ ϕ ϕ τ ϕ τ+ −
−∞
+∞
∫ v Φ ,
to na pidstavi (3) i (18)
lim sup ( )
n r
n X
B
→ ∞ ≤
=
ϕ
ϕ
Φ
0 .
OtΩe, spivvidnoßennq (17) vykonu[t\sq.
Iz (16) i (17) vyplyva[ (15).
Linijnist\ i obmeΩenist\ operatora G vyplyvagt\ z oznaçennq c\oho opera-
tora.
Teoremu71 dovedeno.
4. Operator G F�� . Rozhlqnemo operator F : C X0( , )Φ → C X0( , )Φ , wo
vyznaça[t\sq rivnistg
( )( )Fz ϕ = F zϕ ϕ, ( )( ) ,
de F : Φ × X → X — te same vidobraΩennq, wo j u systemi rivnqn\ (1). Zavdqky
neperervnosti F ta vykonanng umovy V operator F [ c-neperervnym. Odnak
cej operator moΩe ne buty neperervnym, qkwo dlq deqkoho dodatnoho çysla r
dlq funkci] F x( , )ϕ ne vykonu[t\sq umova rivnomirno] neperervnosti na mno-
Ωyni Φ × x X x r
X
∈ ≤{ }: . Prykladom takoho operatora [ operator F1 :
C0( , )R R → C0( , )R R , wo vyznaça[t\sq rivnistg
( )( )F1z ϕ = sin ( )ϕ ϕ3z( ) .
VaΩlyvog dlq podal\ßoho pry z’qsuvanni umov isnuvannq X-obmeΩenyx in-
variantnyx mnoΩyn systemy rivnqn\ (1) [ kompozyciq G F� operatora F na
operator Hrina – Samojlenka G, qka zavdqky vklgçenng R( )F � C X0( , )Φ ta
teoremi 1 di[ u prostori C X0( , )Φ i [ c-neperervnog.
Kompozycig G F� moΩna podaty u vyhlqdi
G F�( )( )z ( )ϕ = G F z d0( , ) ( ), ( )τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ( )( )
−∞
+∞
∫ .
5. Zv’qzok miΩ neruxomymy toçkamy operatora G F�� ta X-obmeΩeny-
my invariantnymy mnoΩynamy systemy rivnqn\ (1). Osnovnym rezul\tatom
statti [ nastupna teorema.
Teorema 2. Nexaj a : Φ → Φ, P : Φ → L (X, X) i F : Φ × X → X — nepererv-
ni vidobraΩennq j vykonugt\sq umovy A, B, V i H.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
OPERATOR HRINA – SAMOJLENKA V TEORI} INVARIANTNYX MNOÛYN … 955
Todi koΩnog neruxomog toçkog u ∈ C X0( , )Φ operatora G �� F vyzna-
ça[t\sq X-obmeΩena invariantna mnoΩyna
Mu = ( , ) : ( ),ϕ ϕ ϕx X x u∈ × = ∈{ }Φ Φ
systemy rivnqn\ (1).
Dovedennq. Nexaj element u ∈ C X0( , )Φ [ neruxomog toçkog operatora
G F�� , tobto
u G F u d( ) ( , ) ( ), ( )ϕ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ= ( )( )
−∞
+∞
∫ 0 (19)
dlq vsix ϕ ∈ Φ .
PokaΩemo, wo funkciq u tϕ ϕ( )( ) — rozv’qzok dyferencial\noho rivnqnnq
dx t
dt
( )
= P x x ttϕ ( ) ( )( ) + F x ttϕ ϕ( ), ( )( ) , t ∈ R . (20)
Vykorysta[mo funkcig
Gt ( , )τ ϕ =
Ω
Ω
τ
τ
ϕ τ ϕ τ
ϕ τ ϕ τ
t
t
P t
P
( ) ( , ), ,
( ) ( , ),
−
+
≤
− >
qkwo
qkwo tt,
dlq qko] na pidstavi umovy H
Gt L X X( , ) ( , )τ ϕ ≤ Ne t− −ν τ
, τ, t ∈ R , ϕ ∈ Φ , (21)
a takoΩ dopomiΩni spivvidnoßennq
ϕ ϕ ϕτ t ( )( ) = ϕ ϕτ+t ( ) , τ, t ∈ R , ϕ ∈ Φ , (22)
G t0 τ ϕ ϕ, ( )( ) = G tt τ ϕ+( ), , τ, t ∈ R , ϕ ∈ Φ , (23)
G tt −( )0, ϕ – G tt +( )0, ϕ = I, t ∈ R , ϕ ∈ Φ , (24)
i
dG
dt
t ( , )τ ϕ
= P Gt tϕ ϕ τ ϕ( ) ( , )( ) , t, τ ∈ R , t ≠ τ, ϕ ∈ Φ . (25)
Ci spivvidnoßennq vyplyvagt\ iz vlastyvostej rozv’qzkiv dyferencial\nyx riv-
nqn\ (dyv. [17]) ta oznaçennq funkci] Gt ( , )τ ϕ .
Zavdqky spivvidnoßennqm (19), (22) i (23)
u tϕ ϕ( )( ) ≡
−∞
+∞
∫ ( ) ( ) ( )( )( )G F u dt t t t0 τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ, ( ) ( ) , ( ) ≡
≡ G t F u dt t tτ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ+( ) ( )( )+ +
−∞
+∞
∫ , ( ), ( ) ≡
≡ G F u dt τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ, ( ), ( )( ) ( )( )
−∞
+∞
∫ .
Tomu
u ϕ ϕτ ( )( ) ≡
≡ G F u dt
t
τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ, ( ), ( )( ) ( )( )
−∞
∫ +
t
tG F u d
+∞
∫ ( ) ( )( )τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ, ( ), ( ) . (26)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
956 M. O. PERESTGK, V. G. SLGSARÇUK
Dyferenciggçy obydvi çastyny ci[] totoΩnosti po t ta vraxovugçy spivvidno-
ßennq (24) i (25), otrymu[mo
du
dt
tϕ ϕ( )( )
≡ G t F ut t t−( ) ( )( )0, ( ), ( )ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ +
+ P G F u dt t
t
ϕ ϕ τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ( ) , ( ), ( )( ) ( ) ( )( )
−∞
∫ –
– G t F u Pt t t( , ) ( ), ( ) ( )+ ( )( ) + ( )0 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕτ +
+ G F u dt
t
τ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ττ τ, ( ), ( )( ) ( )( )
−∞
∫ ≡
≡ P ut tϕ ϕ ϕ ϕ( ) ( )( ) ( ) + F u tϕ ϕ ϕ ϕτ ( ), ( )( )( ) .
Operacig dyferencigvannq moΩna zastosovuvaty do pravo] çastyny totoΩnos-
ti7(26) na pidstavi (21), (25), umov A, B ta neperervnosti vidobraΩennq P : Φ →
→ L (X, X).
OtΩe, funkciq x = u tϕ ϕ( )( ) [ rozv’qzkom dyferencial\noho rivnqnnq (20).
Dali, viz\memo dovil\nu toçku ( , )ϕ0 0x ∈ Mu . Z oznaçennq mnoΩyny Mu
vyplyva[, wo x0 = u( )ϕ0 . Todi
ϕ ϕ ϕ
ϕ ϕ
=
= ( )
t
tx u
( ),
( )
0
0
— rozv’qzok systemy rivnqn\
(1), wo zadovol\nq[ poçatkovu umovu ϕ( )0 = ϕ0 , x( )0 = x0 i ϕ ϕt ( )0( ,
u tϕ ϕ( )0( )) ∈ Mu dlq vsix t ∈ R .
Zvidsy ta z vklgçennq u ∈ C X0( , )Φ vyplyva[, wo Mu — X-obmeΩena in-
variantna mnoΩyna systemy dyferencial\nyx rivnqn\ (1).
Teoremu72 dovedeno.
ZauvaΩymo, wo neruxoma toçka u ∈ C X0( , )Φ operatora G ��F moΩe buty
ne dyferencijovnog po ϕ funkci[g navit\ u vypadku analityçnyx a , P i F
(vidpovidnyj pryklad systemy navedeno u [2]), xoça skladna funkciq u tϕ ϕ( )( )
zavΩdy [ neperervno dyferencijovnog.
6. Umovy isnuvannq neruxomyx toçok operatora G �� F . Rozhlqnemo vy-
padok, koly dlq vidobraΩennq F : Φ × X → X vykonu[t\sq nastupna umova.
Umova Ì. Dlq deqkoho dodatnoho çysla L i vsix x 1 , x X2 ∈ spravdΩu[t\sq
nerivnist\
sup ( , ) ( , )
ϕ
ϕ ϕ
∈
−
Φ
F x F x X1 2 ≤ L x x X1 2− .
Teorema 3. Nexaj vykonugt\sq umovy A, B, V, H, Ì i
2N L < ν.
Todi operator G � F : C X0( , )Φ → C X0( , )Φ ma[ [dynu neruxomu toçku.
Dovedennq. Na pidstavi umov teoremy ta rivnosti (19) vykonu[t\sq neriv-
nist\
( ) ( )
( , )
G G� �F Fu u
C X1 2 0− Φ ≤
2
1 2 0
NL
u u C Xν
− ( , )Φ
dlq vsix u1, u2 ∈ C X0( , )Φ . Oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
OPERATOR HRINA – SAMOJLENKA V TEORI} INVARIANTNYX MNOÛYN … 957
2NL
ν
< 1,
to operator G � F : C X0( , )Φ → C X0( , )Φ [ styskagçym [19]. Tomu na pidstavi
pryncypu styskagçyx vidobraΩen\ [19] operator G � F ma[ [dynu neruxomu
toçku u ∈ C X0( , )Φ .
Teoremu73 dovedeno.
1. Kato T. Teoryq vozmuwenyj lynejn¥x operatorov. – M.: Myr, 1972. – 740 s.
2. Samojlenko A. M. ∏lement¥ matematyçeskoj teoryy mnohoçastotn¥x kolebanyj. – M.:
Nauka, 1987. – 304 s.
3. Daleckyj G. L., Krejn M. H. Ustojçyvost\ reßenyj dyfferencyal\n¥x uravnenyj v bana-
xovom prostranstve. – M.: Nauka, 1970. – 535 s.
4. Mytropol\skyj G. A., Samojlenko A. M., Kulyk V. L. Yssledovanyq dyxotomyy lynejn¥x
system dyfferencyal\n¥x uravnenyj s pomow\g funkcyj Lqpunova. – Kyev: Nauk. dumka,
1990. – 271 s.
5. Muxamadyev ∏. Ob obratymosty funkcyonal\n¥x operatorov v prostranstve ohranyçenn¥x
na osy funkcyj // Mat. zametky. – 1972. – 11, # 3. – S. 269 – 274.
6. Muxamadyev ∏. Yssledovanyq po teoryy peryodyçeskyx y ohranyçenn¥x reßenyj dyffe-
rencyal\n¥x uravnenyj // Tam Ωe. – 1981. – 30, # 3. – S. 443 – 460.
7. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ poçty peryodyçeskyx c-neprer¥vn¥x funkcyonal\n¥x ope-
ratorov // Mat. sb. – 1981. – 116, # 4. – S. 483 – 501.
8. Slgsarçuk V. E. Yntehral\noe predstavlenye c-neprer¥vn¥x lynejn¥x operatorov //
Dokl. AN USSR. Ser. A. – 1981. – # 8. – S. 34 – 37.
9. Slgsarçuk V. E. Obratymost\ neavtonomn¥x dyfferencyal\no-funkcyonal\n¥x operato-
rov // Mat. sb. – 1986. – 130, # 1. – S. 86 – 104.
10. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty neavtonomn¥x funk-
cyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Mat. zametky. – 1987. – 42, # 2. – S. 262 – 267.
11. Slgsarçuk V. E. Neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq obratymosty ravnomerno c-nepre-
r¥vn¥x y funkcyonal\no-dyfferencyal\n¥x operatorov // Ukr. mat. Ωurn. – 1989. – 41,
#72. – S. 201 – 205.
12. Kurbatov V. H. Lynejn¥e dyfferencyal\no-raznostn¥e uravnenyq. – VoroneΩ: Yzd-vo
VoroneΩ. un-ta, 1990. – 168 s.
13. Çan X¥u Bonh. Poçty peryodyçeskye y ohranyçenn¥e reßenyq lynejn¥x funkcyonal\no-
dyfferencyal\n¥x uravnenyj: Dys. … d-ra fyz.-mat. nauk. – Kyev, 1993. – 255 s.
14. Slgsarçuk V. E. Metod c-neprer¥vn¥x operatorov v teoryy ympul\sn¥x system // Tezys¥
dokladov Vsesogznoj konferencyy po teoryy y pryloΩenyqm funkcyonal\no-dyfferen-
cyal\n¥x uravnenyj. – Dußanbe, 1987. – S. 102 – 103.
15. Slgsarçuk V. E. Slabo nelynejn¥e vozmuwenyq ympul\sn¥x system // Mat. fyzyka y nely-
nejnaq mexanyka. – 1991. – V¥p. 15. – S. 32 – 35.
16. Slgsarçuk V. G. Oborotnist\ nelinijnyx riznycevyx operatoriv. – Rivne: Vyd-vo Nac. un-tu
vodn. hosp-va ta pryrodokorystuvannq, 2006. – 233 s.
17. Samojlenko A. M., Perestgk M. O., Parasgk I. O. Dyferencial\ni rivnqnnq. – Ky]v: Ly-
bid\, 2003. – 600 s.
18. Arnol\d V. Y. Ob¥knovenn¥e dyfferencyal\n¥e uravnenyq. – M.: Nauka, 1971. – 240 s.
19. Kolmohorov A. M., Fomin S. V. Elementy teori] funkcij i funkcional\noho analizu. – Ky]v:
Vywa ßk., 1974. – 456 s.
OderΩano 23.12.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3069 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:38Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/62/18d797f100a701f13d2c75659cde5262.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30692020-03-18T19:44:40Z Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations Оператор Гріна - Самойленка в теорії інваріантних множин нелінійних диференціальних рівнянь Perestyuk, N. A. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. We establish conditions for the existence of an invariant set of the system of differential equations $$\frac{dφ}{dt} = a(φ),\quad \frac{dx}{dt} = P(φ)x + F(φ,x),$$ where $a: Φ → Φ, P: Φ → L(X, X)$, and $F: Φ × X→X$ are continuous mappings and $Φ$ and $X$ are finite-dimensional Banach spaces. Получены условия существования инвариантного множества системы дифференциальных уравнений $$\frac{dφ}{dt} = a(φ),\quad \frac{dx}{dt} = P(φ)x + F(φ,x),$$ где $a: Φ → Φ, P: Φ → L(X, X)$, $F: Φ × X→X$непрерывные отображения, $Φ$ и $X$ — конечномерные банаховы пространства. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3069 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 948-957 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 948-957 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3069/2887 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3069/2888 Copyright (c) 2009 Perestyuk N. A.; Slyusarchuk V. Yu. |
| spellingShingle | Perestyuk, N. A. Slyusarchuk, V. Yu. Перестюк, М. О. Слюсарчук, В. Ю. Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| title | Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| title_alt | Оператор Гріна - Самойленка в теорії інваріантних множин нелінійних диференціальних рівнянь |
| title_full | Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| title_fullStr | Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| title_full_unstemmed | Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| title_short | Green–Samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| title_sort | green–samoilenko operator in the theory of invariant sets of nonlinear differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3069 |
| work_keys_str_mv | AT perestyukna greensamoilenkooperatorinthetheoryofinvariantsetsofnonlineardifferentialequations AT slyusarchukvyu greensamoilenkooperatorinthetheoryofinvariantsetsofnonlineardifferentialequations AT perestûkmo greensamoilenkooperatorinthetheoryofinvariantsetsofnonlineardifferentialequations AT slûsarčukvû greensamoilenkooperatorinthetheoryofinvariantsetsofnonlineardifferentialequations AT perestyukna operatorgrínasamojlenkavteorííínvaríantnihmnožinnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slyusarchukvyu operatorgrínasamojlenkavteorííínvaríantnihmnožinnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT perestûkmo operatorgrínasamojlenkavteorííínvaríantnihmnožinnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ AT slûsarčukvû operatorgrínasamojlenkavteorííínvaríantnihmnožinnelíníjnihdiferencíalʹnihrívnânʹ |