On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind
We present expansions of real numbers in alternating $s$-adic series $(1 < s ∈ N)$, in particular, $s$-adic Ostrogradskii series of the first and second kind. We study the “geometry” of this representation of numbers and solve metric and probability problems, including the problem of structur...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3070 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509097133080576 |
|---|---|
| author | Prats’ovyta, I. M. Працьовита, I. М. |
| author_facet | Prats’ovyta, I. M. Працьовита, I. М. |
| author_sort | Prats’ovyta, I. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | We present expansions of real numbers in alternating $s$-adic series $(1 < s ∈ N)$, in particular, $s$-adic Ostrogradskii series of the first and second kind. We study the “geometry” of this representation of numbers and solve metric and probability problems, including the problem of structure and metric-topological and fractal properties of the distribution of the random variable
$$ξ = \frac1{s^{τ_1−1}} + ∑^{∞}_{k=2}\frac{(−1)^{k−1}}{s^{τ_1+τ_2+...+τ_k−1}},$$
where $τ_k$ are independent random variables that take natural values. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 511.72, 519.21
I. M. Prac\ovyta (Nac. ped. un-t, Ky]v)
PRO ROZKLADY ÇYSEL
U ZNAKOZMINNI s -ADYÇNI RQDY
I RQDY OSTROHRADS|KOHO 1- TA 2-HO VYDIV
We present expansions of real numbers in alternating s-adic series ( )1 < ∈s N , in particular, in the
s-adic Ostrogradskii series of the first and second kind. We study geometry of this representation of
numbers, solve metric and probability problems including the problem of structure, metric-topological
and fractal properties of the distribution of the random variable
ξ =
1 1
1 1 21
1
1
2s s
k
k kτ τ τ τ−
−
+ +…+ −
=
∞
+
−∑ ( )
,
where τk are independent random variables taking natural values.
Posvqwena razloΩenyqm dejstvytel\n¥x çysel v znakoperemenn¥e s -adyçeskye rqd¥ (1 < ∈s
∈ N ) , v çastnosty s -adyçeskye rqd¥ Ostrohradskoho 1- y 2-ho vydov. Yzuçaetsq „heomet-
ryq” takoho predstavlenyq çysel, reßen¥ metryçeskye y veroqtnostn¥e zadaçy, v tom çysle y
zadaça o strukture, topoloho-metryçeskyx y fraktal\n¥x svojstvax raspredelenyq sluçajnoj
velyçyn¥
ξ =
1 1
1 1 21
1
1
2s s
k
k kτ τ τ τ−
−
+ +…+ −
=
∞
+
−∑ ( )
,
hde τk — nezavysym¥e sluçajn¥e velyçyn¥, prynymagwye natural\n¥e znaçenyq.
1. Vstup. Krim klasyçnoho s-adyçnoho podannq ta zobraΩennq çysel, v qkomu
vykorystovugt\ alfavit { }, , ,0 1 1… −s , s\ohodni vidomo bahato inßyx sposobiv
ta form zobraΩennq (koduvannq) dijsnyx çysel [1, 2]: v Q-zobraΩenni, cylind-
ryçnomu, mediantnomu ta fibonaççi[vomu zobraΩennqx vykorystovugt\ skin-
çennyj alfavit, u tr\ox ostannix — vzahali dvoelementnyj. Isnugt\ zobraΩen-
nq, v qkyx vykorystovugt\ neskinçennyj alfavit. Ce lancghovi droby, Q∞ -
zobraΩennq [1], rozklady çysel u rqdy Kantora, Enhelq, Lgrota, Serpins\ko-
ho<– Pirsa towo. KoΩna z modelej dijsnoho çysla, zapysanoho v tij çy inßij
formi, ma[ svo] perevahy pry postanovci ta rozv’qzanni pevnoho kola matematyç-
nyx zadaç. Vykorystannq riznyx system zobraΩennq dijsnyx çysel rozßyrg[
moΩlyvosti dlq vyvçennq heometri] çysel, ]x aryfmetyçnyx ta alhebra]çnyx
vlastyvostej, dozvolq[ rozßyryty kolo doslidΩennq matematyçnyx ob’[ktiv zi
skladnog lokal\nog budovog: fraktal\nyx mnoΩyn (typu Kantora, Beardona,
Morana, Bezykovyça – Ehhlstona towo), neperervnyx nedyferencijovnyx ta
synhulqrnyx funkcij, synhulqrno neperervnyx imovirnisnyx mir, peretvoren\
prostoru, wo zberihagt\ fraktal\nu rozmirnist\ (Xausdorfa – Bezykovyça, en-
tropijnu, Kolmohorova ta in.), dynamiçnyx system, atraktory qkyx magt\ nepro-
stu topoloho-metryçnu strukturu.
Dva alhorytmy rozkladu çysel u znakozminni rqdy rozhlqdav vydatnyj vit-
çyznqnyj matematyk M. V. Ostrohrads\kyj, pro wo svidçat\ okremi uryvky joho
zapysiv, znajdeni v rukopysnomu fondi AN URSR {.<Q.<Remezom ta opysani nym u
[3]. Na aktual\nist\ podal\ßyx doslidΩen\ rozkladiv çysel za takymy alho-
rytmamy Ostrohrads\koho vkazuvav B.<V.<Hn[denko (dyv. prymitky redaktora do
[4]). ZauvaΩymo, wo nezaleΩno vid M. V. Ostrohrads\koho do rozkladiv (1) i (2)
pryjßov i V.<Serpins\kyj [5]. Rozklad çysel u rqd (1) vyvçav takoΩ Pirs [6],
tomu v anhlomovnij literaturi taki rozklady nazyvagt\ rozkladamy Pirsa [7].
Oznaçennq+1. Rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vydu nazyva[t\sq vyraz vy-
hlqdu
© I. M. PRAC|OVYTA, 2009
958 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
PRO ROZKLADY ÇYSEL U ZNAKOZMINNI s -ADYÇNI RQDY … 959
1 1 1 1
1 1 2 1 2 3
1
1 2q q q q q q q q q
k
k
− + − … +
−
…
+ …
−( )
, (1)
de qk — natural\ni çysla, do toho Ω qk+1 > qk .
KoΩen takyj rqd [ zbiΩnym, joho suma naleΩyt\ intervalu ( 0, 1 ) . Z inßoho
boku, vidomo [3], wo dovil\ne çyslo z ( 0, 1 ) rozklada[t\sq u skinçennyj abo
neskinçennyj rqd Ostrohrads\koho 1-ho vydu, do toho Ω irracional\ni çysla
magt\ [dynyj rozklad. Takyj rozklad moΩna oderΩaty za alhorytmom
1 = q x1 1+ α , 0 ≤ α1 < x , 1 = qn n n+ ++1 1α α ( 0 ≤ αn+1 < αn ) , n N∈ .
Oznaçennq+2. Rqdom Ostrohrads\koho 2-ho vydu nazyva[t\sq vyraz vy-
hlqdu
1 1 1 1
1 2 3
1
g g g g
k
k
− + − … + − + …
−( )
, (2)
de gk — natural\ni çysla, do toho Ω
gk+1 ≥ g gk k( )+ 1 . (3)
KoΩen rqd Ostrohrads\koho 2-ho vydu, zhidno z teoremog Lejbnica, [ zbiΩ-
nym i joho suma S [ dodatnym çyslom, qke ne perevywu[ 1 1/g , a otΩe, ne pere-
vywu[ 1. Bil\ß toho, rqd (2) zbiha[t\sq absolgtno, oskil\ky rqd iz moduliv
çleniv rqdu (2), zhidno z teoremog Dalambera, zbiha[t\sq. Vykonavßy peretvo-
rennq nad çlenamy rqdu (2), otryma[mo novyj rqd
S =
g g
g g
g g
g g
2 1
1 2
4 3
3 4
−
+
−
+ … .
Oskil\ky g gk k2 2 1− − > 0, to suma S rqdu (2) [ bil\ßog za çyslo
g g
g g
2 1
1 2
−
.
OtΩe, S
g g
g g g
∈
−
⊂2 1
1 2 1
1
0 1; ( , ) . Vidomo [1], wo koΩne x ∈[ , ]0 1 [dynym çy-
nom rozklada[t\sq v rqd (2) za takym alhorytmom vyznaçennq gk :
1 = g x1 1+ β , 0 ≤ β1 < x ,
g1 = g2 1 2β β+ , 0 ≤ β2 < β1 ,
g g2 1 = g3 2 3β β+ , 0 ≤ β3 < β2 ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
gk … g g2 1 = gk k k+ ++1 1β β , 0 ≤ βk+1 < βk ,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,
do toho Ω dlq irracional\noho x suma (2) ma[ neskinçennu kil\kist\ dodankiv, a
dlq racional\noho — skinçennu.
ZobraΩennq çysel rqdamy Ostrohrads\koho 1-ho vydu v ostanni roky inten-
syvno vyvçalos\ [8 – 10]: vono vykorystovuvalos\ dlq zadannq i doslidΩennq
vypadkovyx velyçyn [9], nedyferencijovnyx funkcij [8], fraktaliv towo, çoho
ne moΩna skazaty pro rqdy Ostrohrads\koho 2-ho vydu [11]. Danu robotu pry-
svqçeno doslidΩenng mnoΩyny çysel, rozklady qkyx za alhorytmamy Ostro-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
960 I. M. PRAC|OVYTA
hrads\koho [ vodnoças rozkladamy v znakozminni s -adyçni rqdy ta s -adyçnymy
rozkladamy.
2. Zv’qzok rqdiv Ostrohrads\oho 1- i 2-ho vydiv. Oçevydno, wo ne ko-
Ωen rqd Ostrohrads\koho 1-ho vydu [ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho vydu. Na-
pryklad, rqd Ostrohrads\koho 1-ho vydu
( )
!
− −
=
∞
∑ 1 1
1
k
k k
= 1
1
2
1
3
1
4
− + − + …
! ! !
ne [ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho vydu, oskil\ky ne vykonu[t\sq umova (3).
Bil\ß toho, ne koΩen rqd Ostrohrads\koho 2-ho vydu [ rqdom Ostrohrads\koho
1-ho vydu. Prykladom rqdu Ostrohrads\koho 2-ho vydu, wo ne [ rqdom Ostro-
hrads\koho 1-ho vydu, [ rqd
1
2
1
7
1
59
1
3541
− + − + … =
( )− −
=
∞
∑ 1 1
1
k
kk p
, (4)
de ( )pk — neskinçenna zrostagça poslidovnist\ prostyx çysel taka, wo
p1 = 2, p2 = 7, p3 = 59, … ,
pk+1 — najmenße proste çyslo take, wo pk+1 > p pk k( )+ 1 .
Lema+1. Rqd Ostrohrads\koho 1-ho vydu (1) [ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho
vydu (2) todi i til\ky todi, koly dlq dovil\noho k N∈ vykonu[t\sq neriv-
nist\
qk+1 ≥ q q qk1 2 1… + . (5)
Dovedennq. Spravdi, qkwo rqd (1) zadovol\nq[ umovu (5), to vin, oçevydno,
[ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho vydu zhidno z oznaçennqm 2. Qkwo Ω prynajmni
dlq odnoho znaçennq k N∈ nerivnist\ (5) ne vykonu[t\sq, to porußu[t\sq
vymoha (3) oznaçennq<2 i rqd (1) ne [ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho vydu.
Lema+2. Rqd Ostrohrads\koho 2 -ho vydu [ rqdom Ostrohrads\koho 1 -ho
vydu todi i til\ky todi, koly dlq vsix natural\nyx znaçen\ k
g
g
k
k
+1 ≡ bk+1 ∈ N . (6)
Dovedennq. Nexaj (2) — zadanyj rqd Ostrohrads\koho 2-ho vydu. Todi
gk+1 ≥ g gk k( )+ 1 , a otΩe, gk+1 > gk
2 . Tomu qkwo vykonu[t\sq umova (6), to
bk+1 > 1 dlq vsix k N∈ i gk+1 = g b bk1 2 1… + . Oskil\ky gn+1 ≥ g gn n( )+ 1 ,
to
g b b bk k1 2 1… + ≥ g b b g b bk k1 2 1 2 1… … +( ) ,
bk+1 ≥ g b bk1 2 1… + ,
a otΩe, bk+1 > bk . Todi rqd (2) ma[ vyhlqd
1 1 1 1
1 1 2 1 1 2
1
1 1g g b g b b g b b
k
k
− + − … +
−
…
+ …
−( )
,
de bk+1 > bk ∈ N , i tomu [ rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vydu.
Navpaky, qkwo rqd Ostrohrads\koho (2) [ rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vydu,
tobto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
PRO ROZKLADY ÇYSEL U ZNAKOZMINNI s -ADYÇNI RQDY … 961
gk+1 = q q q qk k1 2 1… + , qk+1 ≥ qk + 1, k N∈ ,
to
g
g
k
k
+1 = qk+1 ≡ bk+1 ∈ N , tobto ma[ misce spivvidnoßennq (6).
3. Znakozminni s -adyçni rqdy.
Oznaçennq+3. Qkwo s — fiksovane natural\ne çyslo, bil\ße za 1, to rqd
vydu
1 1 1 1
1 2 31
1
s s s sm m m
k
mk−
−
− + − … +
−
+ …
( )
=
1 1
1 1
1
2s sm
k
m
k k−
−
=
∞
+
−∑ ( )
, (7)
de mk — natural\ni, pryçomu m2 > m1 1− , mk+2 > mk+1 dlq vsix k > 1,
nazyva[t\sq znakozminnym s -adyçnym rqdom.
Zrozumilo, wo znakozminnyj s -adyçnyj rqd odnoznaçno vyznaça[t\sq çys-
lom s i zrostagçog poslidovnistg natural\nyx çysel ( )mk . Tomu takyx rqdiv
isnu[ kontynual\na mnoΩyna. KoΩen takyj rqd [ zbiΩnym i joho suma ne pere-
vywu[ çysla
1
1 1sm −
.
Deqki znakozminni s -adyçni rqdy [ rqdamy Ostrohrads\koho 1-ho abo 2-ho
vydu.
Lema+3. Znakozminnyj s -adyçnyj rqd (7) [ rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vy-
du todi i til\ky todi, koly
m2 > 2 11( )m − i mk+2 > 2 1m mk k+ − . (8)
Dovedennq. Qkwo (7) [ rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vydu, to sm1 1− = q1 ,
sm2 = s qm1 1
2
−
i smk +2 = s qm
k
k +
+
1
2 , de qk+1 > qk ∈ N . Zvidsy m2 >
> 2 11( )m − ,
sm mk k+ +−2 1 = qk+2 > qk+1 = sm mk k+ −1 i mk+2 > 2 1m mk k+ − .
Dovedemo obernene tverdΩennq: qkwo dlq rqdu (7) magt\ misce nerivnosti
(8), to vin [ rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vydu.
Poslidovnist\ natural\nyx çysel ( )mk , qka zadovol\nq[ umovy (8), oçevyd-
no, [ zrostagçog. Druhu z nerivnostej (8) moΩna perepysaty u vyhlqdi mk+ −2
− +mk 1 > m mk k+ −1 , wo rivnosyl\no sm mk k+ +−2 1 > sm mk k+ −1 . Todi
qk+2 ≡
s
s
m
m
k
k
+
+
2
1
>
s
s
m
m
k
k
+1
≡ qk+1 ,
a otΩe, rqd (7) zadovol\nq[ oznaçennq rqdu Ostrohrads\koho 1-ho vydu.
Lema+4. Znakozminnyj s -adyçnyj rqd (7) [ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho
vydu todi i til\ky todi, koly
m2 > 2 11( )m − i mk+2 > 2 1mk+ , k N∈ .
Dovedennq. Zhidni z oznaçennqm<2, rqd (7) [ rqdom Ostrohrads\koho 2-ho
vydu todi i til\ky todi, koly dlq dovil\noho k ∈ N magt\ misce nerivnosti
sm2 ≥ s sm m1 11 1 1− − +( ) i smk +2 ≥ s sm mk k+ + +1 1 1( ) .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
962 I. M. PRAC|OVYTA
Ostannq nerivnist\ rivnosyl\na nerivnostqm sm mk k+ +−2 1 ≥ smk + +1 1 , sm mk k+ +−2 1 >
> smk +1 , a otΩe, i m mk k+ +>2 12 .
Naslidok+1. KoΩen s -adyçnyj rqd Ostrohrads\koho 2-ho vydu [ s -adyç-
nym rqdom Ostrohrads\koho 1-ho vydu.
4. ZobraΩennq sumy znakozminnoho s -adyçnoho rqdu v systemi çyslennq
z osnovog s . Z metog vyvçennq topoloho-metryçnyx i fraktal\nyx vlasty-
vostej mnoΩyny vsix sum znakozminnyx rqdiv iz fiksovanym s , a takoΩ mnoΩy-
ny sum vsemoΩlyvyx znakozminnyx s -adyçnyx rqdiv nahada[mo deqki fakty teo-
ri] (klasyçnyx) s -adyçnyx rozkladiv.
(Klasyçnym) s -adyçnym rozkladom çysla x ∈[ , ]0 1 nazyva[t\sq joho roz-
klad u rqd
x =
α α α1 2
2s s s
k
k
+ + … + + … =
αk
k
k s=
∞
∑
1
, (9)
de αk ∈ A = { , , , }0 1 1… −s . Vyraz (9) symvoliçno zobraΩu[t\sq u vyhlqdi
∆α α1… …k
s
i nazyva[t\sq s -adyçnym zobraΩennqm çysla x (zobraΩennqm çysla
x v systemi çyslennq z osnovog s ). Pry c\omu çyslo α αk k x= ( ) nazyva[t\sq
k -g s -adyçnog cyfrog x .
KoΩne irracional\ne çyslo ma[ [dyne s -adyçne zobraΩennq. Deqki racio-
nal\ni çysla magt\ ]x dva (taki nazyvagt\sq s -adyçno racional\nymy). Ce çys-
la, zobraΩennq qkyx mistyt\ period (0) abo ( )s − 1 . Oçevydnog [ rivnist\
x = ∆α α α1 1 0 0… … …−m m
s = ∆α α α1 1 1 1 1… − − … − …−m m s s
s
( )( ) ( )
.
Çysla, qki magt\ period v s -adyçnomu zobraΩenni, vidminnyj vid (0) i ( )s − 1 ,
[ racional\nymy. Vony magt\ [dyne zobraΩennq i razom z irracional\nymy çys-
lamy utvorggt\ mnoΩynu s -adyçno irracional\nyx çysel.
MnoΩynu vsix çysel x ∈[ , ]0 1 , perßi m s -adyçni cyfry qkyx vidpovidno
dorivnggt\ c cm1 … , poznaçagt\ ∆
c c
s
m1… i nazyvagt\ s -adyçnym cylindrom
ranhu m z osnovog c cm1 … . Cylindry magt\ taki vlastyvosti:
1) cylindr ∆
c c
s
m1… [ vidrizkom iz kincqmy ∆
c c
s
m1 0… ( )
i ∆
c c s
s
m1 1… −( )
;
2) ∆
c c
s
m1… = ∆
c c i
s
i
s
m10
1
…=
−∪ , sup ∆
c c i
s
m1… = inf
( )
∆
c c i
s
m1 1… + ;
3) ∆
c c
s
m1… = s m− ;
4) ∆
c c
s
m m11 …=
∞∩ ≡ ∆
c c
s
m1… … = x .
Lema+5. Suma x znakozminnoho s -adyçnoho rqdu (7) ma[ s -adyçne zobra-
Ωennq
x = ∆
0 0 1 1 0 0 1
1
2
3 21
… − … − … − …
− −m
m
m m
s s s� � �� �� �( ) ( ) ( ) (ss
s
m m
− …
−
1
4 3
)� �� ��
. (10)
Dovedennq. Nexaj rqd (7) [ zadanym, tobto fiksovanymy [ çyslo s i posli-
dovnist\ ( )mk . Znajdemo vyraz sumy x danoho rqdu. Oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
PRO ROZKLADY ÇYSEL U ZNAKOZMINNI s -ADYÇNI RQDY … 963
x =
1 1 1 1
1 2 2 1 21
2s s s sm m m m
k k k−
=
∞
−
+ −
−
∑ ,
1 1
1 21s sm m−
− =
s
s
m m
m
2 1
2
1 1− + −
,
1 1
2 1 2s sm mk k−
− =
s
s
m m
m
k k
k
2 2 1
2
1− − −
,
sl − 1 = ( ) ( ) ( ) ( )s s s s s s sl l− + − + … + − + −− −1 1 1 11 2 ,
to
1 1
2 1 2s sm mk k−
− =
( ) ( )s s
s
s s
s
m m
m
m m
m
k k
k
k k
k
− + −− − − −− −1 12 2 1
2
2 2 1
2
1 2
++ … + −s
sm k
1
2
,
a otΩe,
x =
1 1
1 1
1
2s sm
k
m
k k−
−
=
∞
+
−∑ ( )
=
s
s
s
s
s
sm m m
−
+
−
+ … +
−
+ +
1 1 1
1 1 21 2
+
+
s
s
s
s
s
s
s
sm m m m k
−
+
−
+ … +
−
+ … +
−
+ + −
1 1 1 1
3 3 4 21 2 11 2 1 21 2
1 1
+ +
+
−
+ … +
−
+ …
−
s
s
s
sm mk k
.
Tomu suma x rqdu (7) ma[ s -adyçne zobraΩennq (10).
5. MnoΩyna sum usix znakozminnyx s -adyçnyx rqdiv. MnoΩynu vsix çy-
sel x ∈[ , ]0 1 , qki moΩna rozklasty u rqd (7), tobto takyx, wo magt\ s -adyçne
zobraΩennq (10), poznaçymo çerez Es . Qkwo Cs — mnoΩyna vsix çysel vid-
rizka [ , ]0 1 , wo magt\ s -adyçni rozklady z dopomohog cyfr 0 ta s – 1, to,
zhidno z poperedn\og lemog, E Cs s⊂ . Qk vidomo, Cs pry s > 2 [ nide ne
wil\nog mnoΩynog nul\ovo] miry Lebeha, a tomu v c\omu vypadku takog [ i
mnoΩyna Es . Vypadok s = 2 zasluhovu[ na okremu uvahu.
ZauvaΩennq+1. Lehko baçyty, wo mnoΩyna Es ne mistyt\ Ωodno] s -adyç-
no racional\no] toçky, tobto toçky vydu ∆α α1 0 0… … …k
s , ale vsi s -adyçno irra-
cional\ni toçky vydu
x = ∆
0 0 1 1 0 0
1
2 1
3 21
… − … − … … …
− − −m
m m
m m
s s c c� � �� �� �( ) ( )
mm m m mk k k k
c c
s
+ + +− −
… …
1 2 1
� �
,
de c s∈ −{ , }0 1 , c s c= − −1 , ]j naleΩat\.
Lema+6. KoΩna toçka s -adyçno racional\noho vydu
∆
0 0 1 1 1 1
1
2 1
1
… − … − … − … −
−
−
m
m m m
s s s s� � �� ��( ) ( ) ( ) ( )
22 2 1
0 0
k km
s
− −
… …� �� �� �
, (11)
de ( )mk — poslidovnist\ natural\nyx çysel, taka, wo m2 > m1 1− , mk+2 >
> mk+1 dlq vsix k ∈ N , ne naleΩyt\ Es , ale [ hranyçnog dlq mnoΩyny Es .
Dovedennq. Nexaj x0 — dovil\no vybrana fiksovana toçka vydu (11), m k2
— fiksovanyj çlen poslidovnosti ( )mk . Dlq dovedennq lemy<6 dosyt\ vkazaty
poslidovnist\ xn taku, wo: 1) x En s∈ i 2) x xn → 0 , n → ∞ .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
964 I. M. PRAC|OVYTA
Rozhlqnemo poslidovnist\ çysel xn = x rm
n
k
0
11 2+ − −( ) , de
rn =
1 1 1
2 2 21 2s s sm n m n m nk k k+ + + + +
− + − … =
( )−
+ +
=
∞
∑ 1
20
m
m n m
m s k
=
1
1 2 1( )s m nk+ + −
.
Oçevydno, wo x En s∈ . Oskil\ky rn → 0 , n → ∞ , to x xn → 0 , n → ∞ .
OtΩe, x0 — hranyçna toçka mnoΩyny Es .
Naslidok+2. MnoΩyna C Es s\ [ zçyslennog i sklada[t\sq z s -adyçno ra-
cional\nyx toçok vydu (11).
Naslidok+3. Qkwo s = 2, to dlq zamykannq [ ]Es mnoΩyny Es ma[ mis-
ce rivnist\ [ ]Es = Cs = [ , ]0 1 . MajΩe vsi (za vynqtkom zçyslenno] mnoΩyny)
çysla intervalu ( , )0 1 moΩna rozklasty v znakozminnyj dvijkovyj rqd.
Teorema+1. MnoΩyna E vsix çysel x intervalu ( , )0 1 , qki moΩna roz-
klasty u znakozminnyj s -adyçnyj rqd special\nym pidborom s > 2, [ mnoΩy-
nog nul\ovo] miry Lebeha, rozmirnist\ Xausdorfa – Bezykovyça qko] dorivng[
log3 2 .
Dovedennq. Zhidno z naslidkom<2, mnoΩyna E z toçnistg do ne bil\ß niΩ
zçyslenno] mnoΩyny zbiha[t\sq z mnoΩynog C = C Cn3 ∪ ∪ ∪… … . Tomu
tverdΩennq teoremy vvyplyva[ z toho, wo mnoΩyna Cs [ (dyv.<[10]) kompakt-
nog doskonalog samopodibnog nul\-mnoΩynog Lebeha z rozmirnistg Xausdor-
fa – Bezykovyça α0( )Cs = logs 2 , a rozmirnist\ Xausdorfa – Bezykovyça
α0( )⋅ ma[ vlastyvist\
α0 Bn
n
∪
= sup ( )
n
nBα0 .
Teorema+2. MnoΩyna çysel intervalu ( , )0 1 , zobraΩennq qkyx rqdom Ost-
rohrads\koho 1-ho vydu (2-ho vydu) [ s -adyçnym zobraΩennqm, [ nide ne wil\-
nog mnoΩynog nul\ovo] miry Lebeha.
Dane tverdΩennq [ naslidkom lem<3 i 4 ta vlastyvostej mnoΩyn çysel z ob-
meΩennqmy na vykorystannq cyfr v s -adyçnomu zobraΩenni (dyv.<[10]).
6. Vypadkovi znakozminni rqdy z nezaleΩnymy dodankamy ta lebehiv-
s\ka struktura rozpodilu ]x sum. Rozhlqnemo vypadkovu velyçynu
ξ =
1 1 1 1
1 1 2 1 2 3 11 1 1s s s s
k
τ τ τ τ τ τ τ− + − + + − +…+
− + − … +
−( )
ττk −
+ …
1
,
de s — fiksovane natural\ne çyslo, bil\ße za 1, ( )τk — poslidovnist\ neza-
leΩnyx vypadkovyx velyçyn z rozpodilamy
P{ }τk i= = pik ≥ 0, i N∈ , p p pk k ik1 2+ + … + + … = 1.
Qk vyplyva[ z poperedn\oho, vypadkova velyçyna ξ ma[ nastupne s -adyçne
zobraΩennq
ξ = ∆
0 0
1
1 1 0 0
1 2 3
…
−
− … − … … … …
τ τ τ τ
� � �� �� � �( ) ( )s s c c c c
k ττk
s
+
…
1
�
. (12)
Z oznaçennq ξ baçymo, wo vona ne ma[ realizacij poza mnoΩynog Es , pry-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
PRO ROZKLADY ÇYSEL U ZNAKOZMINNI s -ADYÇNI RQDY … 965
çomu qkwo x E
c c
s
s
m
= ∈… …∆
1
, to P{ }ξ = = … …x p p pc c c mm1 21 2 . Qkwo sered
α α α1 2, , ,… m , αi s∈ … −{ }, , , ,0 1 2 1 , znajdet\sq prynajmni odne α j s∉ −{ },0 1 ,
to, oçevydno, wo P{ }ξ α α∈ …∆
1 m
s = 0.
Vvedemo cylindryçne zobraΩennq vypadkovo] velyçyny ξ . Z ci[g metog po-
znaçymo s -adyçnyj cylindr
∆
0 0
1
1 1 0 0
11 2 3
…
−
… … … …
+i i i
c cc
i
s
m
�� � �
,
de c ∈{ },0 1 , c = 1 – c , çerez ∆i i im1 2 … . Z vlastyvostej s -adyçnyx cylindriv
bezposeredn\o vyplyvagt\ nastupni vlastyvosti novovvedenyx cylindriv:
1) ∆i im1… = ∆i i jj m11 …=
∞∪ , sup ∆i i jk1 2 1… −
≤ inf ( )∆i i jk1 2 1… − , sup ∆i i jk1 2… ≤
≤ inf ( )∆i i jk1 2 1… + ;
2) ∆i im1… = s i i im− + +…+( )1 2 → 0, m → 0;
3) ∆i im1… = s j
i im
−
…∆
1
.
ZobraΩennq vypadkovo] velyçyny ξ u formi ξ = ∆τ τ τ1 2 … …k
, qke [ rivno-
syl\nym zobraΩenng (12), nazyvatymemo cylindryçnym.
ZauvaΩennq+2. Lehko baçyty, wo podi] { }, ,τ τ1 1= … =i im m i { }ξ ∈ …∆i im1
[ rivnosyl\nymy.
Lema+7. Qkwo c s∈ −{ , }0 1 i c = s – 1 – c, to magt\ misce rivnosti
P{ }
( ) ( )
ξ ∈
…
−
− … − … …
+
∆
0 0
1
1 1
11 2
i
s s
i
c cc
i
s
m
� � �� �� �
= pi j
j
m
j
=
∏
1
,
P{ }
( ) ( )
ξ ∈
…
−
− … − … …
∆
0 0
1
1 1
1 2
i
s s
i
c c
i
s
m
� � �� �� �
= 1
1
1
1
1
−
=
−
=
−
∑ ∏p pjm
j
i
i j
j
mm
j
.
Dovedennq. Z ohlqdu na zauvaΩennq<2 i nezaleΩnist\ vypadkovyx velyçyn
( )τn ma[mo
P{ }ξ ∈ …∆i i im1 2
= P{ }, , ,τ τ τ1 1 2 2= = … =i i im m = pi j
j
m
j
=
∏
1
.
Podiq { }
( ) ( )
ξ ∈
…
−
− … − … …
∆
0 0
1
1 1
1 2
i
s s
i
c c
i
s
m
� � �� �� �
[ ob’[dnannqm nesumisnyx podij
{ ( ) ( )ξ ∈ … − … − … … …
−
∆0 0 1 1
1 2
1i i i
s s c cc cc
m
�� ��� ��� �
nn+1
�
}, n = 0, 1, 2, … . (13)
Qk vΩe zaznaçalos\, podiq (13) rivnosyl\na podi]
{ }, , ,τ τ τ1 1 2 2= = … = +i i i nm m .
Z nezaleΩnosti ( )τ j otrymu[mo
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
966 I. M. PRAC|OVYTA
P{ }, , ,τ τ τ1 1 2 2= = … = +i i i nm m = p pi n m i j
j
m
m j( )+
=
−
∏
1
1
,
P{ }
( ) ( )
ξ ∈
…
−
− … − … …
∆
0 0
1
1 1
1 2
i
s s
i
c c
i
s
m
� � �� �� �
= p pi n m
n
i j
j
m
m j( )+
=
∞
=
−
∑ ∏
0 1
1
= 1
1
1
1
1
−
=
−
=
−
∑ ∏p pjm
j
i
i j
j
mm
j
.
Lehko dovesty nastupne tverdΩennq.
Lema+8. Spektrom (minimal\nym zamknenym nosi[m) Sξ vypadkovo] velyçy-
ny ξ [ mnoΩyna
Sξ = { }: ,x x p j Ni i i i jm j
= > ∀ ∈… …∆
1 2
0 ⊂ Cs ,
do toho Ω Sξ = Cs todi i til\ky todi, koly matrycq pik ne mistyt\
nuliv.
Teorema+3. Vypadkova velyçyna ξ ma[ çysto dyskretnyj abo çysto nepe-
rervnyj rozpodil, do toho Ω vin [ dyskretnym todi i til\ky todi, koly
M = max{ }
i
ik
k
p
=
∞
∏
1
> 0.
U vypadku neperervnosti ( )M = 0 pry s > 2 vypadkova velyçyna ξ ma[ syn-
hulqrnyj rozpodil kantorivs\koho typu ( )( )λ ξS = 0 .
Dovedennq. 1. Nexaj M = 0. KoΩna toçka mnoΩyny x Es∈ ma[ [dyne
s -adyçne, a otΩe, cylindryçne ∆i x i x i xk1 2( ) ( ) ( )… … zobraΩennq. Tomu P{ }ξ = x ≤
≤ M i Ωodna z toçok mnoΩyny Es ne [ atomom rozpodilu ξ . Qk vyplyva[ z
poperedn\oho, atomamy ne [ i toçky mnoΩyny C Es s\ . OtΩe, rozpodil ξ [ nepe-
rervnym.
2. Nexaj M > 0. Todi oçevydno, wo toçka x∗ = ∆
i i ik1 2
∗ ∗ ∗… … taka, wo
p
i jj
∗ = max , ,{ }p pj j1 2 … ,
[ atomom rozpodilu z masog M .
Qkwo x = ∆i ik1… … ∈ Sξ (tobto pi jj
> 0 ∀ j ∈ N ) i symvoly joho cylind-
ryçnoho zobraΩennq zbihagt\sq z vidpovidnymy symvolamy toçky x∗ , poçynag-
çy z miscq m + 1, to
P{ }ξ = x = p pi j
j
m
i j
j m
j j
= = +
∞
∏ ∏
1 1
= p p Mi j
j
m
i j
j
m
j j= =
−
∏ ∏ ∗
1 1
1
> 0,
tobto x [ atomom rozpodilu. Obçyslymo sumarnu masu vsix atomiv takoho vy-
hlqdu.
Nexaj Lm — mnoΩyna vsix x Es∈ , symvoly cylindryçnoho zobraΩennq
qkyx zbihagt\sq z vidpovidnymy symvolamy cylindryçnoho zobraΩennq toçky
x∗ , poçynagçy z nomera m + 1. Todi L Lm m⊂ +1 i
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
PRO ROZKLADY ÇYSEL U ZNAKOZMINNI s -ADYÇNI RQDY … 967
P{ }ξ ∈Lm = M p p
i j
j
m
i N i N
i j
j
m
j
m
j
∗
=
−
∈ ∈ =
∏ ∑ ∑ ∏
…
1
1
11
=
= M p
i j
j
m
j
∗
=
−
∏
1
1
→ 1, m → ∞ .
Zvidsy
P L( ) = lim ( )
m
mP L
→∞
= 1,
de L = limm mL→∞ = Lmm=
∞
1∪ . OtΩe, rozpodil ξ [ çysto dyskretnym i zose-
redΩenym na mnoΩyni L .
Teorema+4. Qkwo s = 2 i M = 0, to vypadkova velyçyna ξ ma[ çysto
absolgtno neperervnyj abo çysto synhulqrno neperervnyj rozpodil, do toho Ω:
1) absolgtno neperervnyj todi i til\ky todi, koly
V =
k
i
ik
i
p
=
∞
=
∞
∏ ∑
1 1
2 > 0; (14)
2) synhulqrnyj todi i til\ky todi, koly V = 0.
Dovedennq. Vyznaçymo dvi poslidovnosti jmovirnisnyx prostoriv
{ }( , , )Ωk k kB µ i { }( , , )Ωk k kB ν takym çynom: Ωk = N , Bk — σ -alhebra vsix
pidmnoΩyn Ωk , µk i( ){ } = pik , νk i( ){ } = 2i , k ∈ N , de pik — element mat-
ryci pik , wo vyznaça[ rozpodil vypadkovo] velyçyny ξ .
Oçevydno, wo µk absolgtno neperervna vidnosno νk pry vsix k ∈ N . Roz-
hlqnemo neskinçenni dobutky jmovirnisnyx prostoriv:
( , , )Ω B µ = ( , , )Ωk k k
k
B µ
=
∞
∏
1
, ( , , )Ω B ν = ( , , )Ωk k k
k
B ν
=
∞
∏
1
.
Z teoremy Kakutani [12] vyplyva[ vysnovok, wo µ absolgtno neperervna vid-
nosno ν ( )µ ν<< todi i til\ky todi, koly
ρ µ ν( , )k k
k=
∞
∏
1
> 0,
de
ρ µ ν( , )k k =
d
d
dk
k
k
k
ν
µ
µ
Ω
∫
[ intehralom Xelinhera. U danomu vypadku
k
k
k
k
d
d
d
k
=
∞
∏ ∫
1
µ
ν
ν
Ω
> 0 ⇔
k
i
ik
i
p
=
∞
=
∞
∏ ∑
1 1
2 > 0.
Rozhlqnemo vymirne vidobraΩennq f : [ , ]Ω → 0 1 , vyznaçene rivnistg
∀ω = ( , , , )ω ω1 … …k ∈ Ω : f ( )ω = ∆ω ω1, , ,… …k
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
968 I. M. PRAC|OVYTA
Vyznaçymo obrazy µ∗
i ν∗
mir µ i ν pid di[g f takym çynom:
µ∗( )E = µ ( ( ))f E−1 ,
ν∗( )E = ν ( ( ))f E−1
dlq dovil\no] borelivs\ko] pidmnoΩyny E odynyçnoho vidrizka.
Mira µ∗
zbiha[t\sq z imovirnisnog mirog Pξ , a mira ν∗
— z imovirnisnog
mirog Pψ , ekvivalentnog miri Lebeha λ . Z absolgtno] neperervnosti miry µ
vidnosno miry ν vyplyva[ absolgtna neperervnist\ miry µ∗
vidnosno miry ν∗ .
Oskil\ky ν λ∗ ∼ , to z umovy (14) vyplyva[ absolgtna neperervnist\ rozpodi-
lu<<ξ .
Naslidok+4. U vypadku odnakovo] rozpodilenosti vypadkovyx velyçyn τk ,
k = 1, 2, … , tobto koly pik = pi ( )∀ ∈k N , rozpodil ξ [:
1) dyskretnym todi i til\ky todi, koly max { }i ip = 1 ;
2) absolgtno neperervnym todi i til\ky todi, koly pi = 2−i , i = 1, 2, … ;
3) synhulqrno neperervnym todi i til\ky todi, koly max { }i ip < 1 ta isnu[
i take, wo pi ≠ 2−i , do toho Ω:
3.1) dyskretnyj rozpodil ξ [ vyrodΩenym (joho [dynym atomom z masog 1
[ toçka x∗ = ∆i i i0 0 0… … taka, wo max { }i ip = pi0
) ;
3.2) absolgtno neperervnyj rozpodil ξ [ rivnomirnym rozpodilom na [ 0, 1 ] .
1. Prac\ovytyj M. V. Fraktal\nyj pidxid u doslidΩennqx synhulqrnyx rozpodiliv. – Ky]v:
Vyd-vo NPU im. M. P. Drahomanova, 1998. – 296<s.
2. Schweiger F. Ergodic theory of fibred systems and metric number theory. – Oxford: Clarendon
Press, 1995. – 295 p.
3. Remez E. A. O znakoperemenn¥x rqdax, kotor¥e mohut b¥t\ svqzan¥ alhoryfmamy
M.<V.<Ostrohradskoho dlq pryblyΩenyq yrracyonal\n¥x çysel // Uspexy mat. nauk. – 1951.
– 6, # 5(45). – S.<33 – 44.
4. Xynçyn A. Q. Cepn¥e droby. – M.: Fyzmathyz, 1978. – 116<s.
5. Sierpinski W. O kilku algorytmach dla rozwijania liczb rzeczywistych na szeregi. – Warsawa:
STNW, 1911. – Vol. 3.
6. Pierce T. A. On an algorithm and its use in approximating roots of an algebraic equation // Amer.
Math. Monthly. – 1929. – 36. – P. 523 – 525.
7. Shallit J. O. Pierce expansions and rules for the determination of leap years // Fibonacci Quart. –
1994. – 32, # 5. – P. 416 – 423.
8. Baranovs\kyj O. M. Zadannq nide ne dyferencijovnyx funkcij za dopomohog predstavlen-
nq çysel rqdamy Ostrohrads\koho // Fraktal\nyj analiz ta sumiΩni pytannq. – 1998. – #<2.
– S.<215 – 221.
9. Prac\ovytyj M. V., Baranovs\kyj O. M. Vlastyvosti rozpodiliv vypadkovyx velyçyn z ne-
zaleΩnymy riznycqmy poslidovnyx elementiv rqdu Ostrohrads\koho // Teoriq jmovirnostej
ta mat. statystyka. – 2004. – #<70. – S.<131 – 144.
10. Prac\ovytyj M. V., Baranovs\kyj O. M. Pro miru Lebeha deqkyx mnoΩyn çysel, vyznaçe-
nyx vlastyvostqmy ]x rozkladu v rqd Ostrohrads\koho // Nauk. çasopys NPU im. M.<P.<Dra-
homanova. Ser.<1. Fiz.-mat. nauky. – 2004. – #<5. – S.<217 – 227.
11. Prac\ovyta I. M. Rqdy Ostrohrads\koho 2-ho vydu i rozpodily ]x vypadkovyx nepovnyx
sum<// Tam Ωe. – 2006. – #<7. – S.<141 – 156.
12. Kakutani S. Equivalence of infinite product measures // Ann. Math. – 1948. – 49. – P. 214 – 224.
OderΩano 01.12.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 7
|
| id | umjimathkievua-article-3070 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:41Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/52/1ca2a68c2671828ac8bb29848b4a4b52.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30702020-03-18T19:44:40Z On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind Про розклади чисел у знакозмінні s-адичні ряди і ряди Остроградського 1- та 2-го видів Prats’ovyta, I. M. Працьовита, I. М. We present expansions of real numbers in alternating $s$-adic series $(1 < s ∈ N)$, in particular, $s$-adic Ostrogradskii series of the first and second kind. We study the “geometry” of this representation of numbers and solve metric and probability problems, including the problem of structure and metric-topological and fractal properties of the distribution of the random variable $$ξ = \frac1{s^{τ_1−1}} + ∑^{∞}_{k=2}\frac{(−1)^{k−1}}{s^{τ_1+τ_2+...+τ_k−1}},$$ where $τ_k$ are independent random variables that take natural values. Посвящена разложениям действительных чисел в знакопеременные $s$ -адические ряды $(1 < s ∈ N)$, в частности $s$ -адические ряды Остроградского 1- и 2-го видов. Изучается „геометрия" такого представления чисел, решены метрические и вероятностные задачи, в том числе и задача о структуре, тополого-метрических и фрактальных свойствах распределения случайной величины $$ξ = \frac1{s^{τ_1−1}} + ∑^{∞}_{k=2}\frac{(−1)^{k−1}}{s^{τ_1+τ_2+...+τ_k−1}},$$ где $τ_k$ — независимые случайные величины, принимающие натуральные значения. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3070 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 958-968 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 958-968 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3070/2889 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3070/2890 Copyright (c) 2009 Prats’ovyta I. M. |
| spellingShingle | Prats’ovyta, I. M. Працьовита, I. М. On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind |
| title | On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind |
| title_alt | Про розклади чисел у знакозмінні s-адичні ряди і ряди Остроградського 1- та 2-го видів |
| title_full | On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind |
| title_fullStr | On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind |
| title_full_unstemmed | On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind |
| title_short | On expansions of numbers in alternating s-adic series and Ostrogradskii series of the first and second kind |
| title_sort | on expansions of numbers in alternating s-adic series and ostrogradskii series of the first and second kind |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3070 |
| work_keys_str_mv | AT pratsovytaim onexpansionsofnumbersinalternatingsadicseriesandostrogradskiiseriesofthefirstandsecondkind AT pracʹovitaim onexpansionsofnumbersinalternatingsadicseriesandostrogradskiiseriesofthefirstandsecondkind AT pratsovytaim prorozkladičiseluznakozmínnísadičnírâdiírâdiostrogradsʹkogo1ta2govidív AT pracʹovitaim prorozkladičiseluznakozmínnísadičnírâdiírâdiostrogradsʹkogo1ta2govidív |