Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings
The paper is devoted to investigations in the field of space mappings. We prove that open discrete mappings $f ∈ W^{1,n}_{\text{loc}}$ such that their outer dilatation $K_O (x, f)$ belongs to $L^{n−1}_{\text{loc}}$ and the measure of the set $B_f$ of branching points of $f$ is equal to zero have fin...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3071 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509097393127424 |
|---|---|
| author | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_facet | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. |
| author_sort | Sevost'yanov, E. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:40Z |
| description | The paper is devoted to investigations in the field of space mappings. We prove that open discrete mappings $f ∈ W^{1,n}_{\text{loc}}$ such that their outer dilatation $K_O (x, f)$ belongs to $L^{n−1}_{\text{loc}}$ and the measure of the set $B_f$ of branching points of $f$ is equal to zero have finite length distortion. In other words, the images of almost all curves $γ$ in the domain $D$ under the considered mappings $f : D → ℝ^n,\;n ≥ 2$, are locally rectifiable, $f$ possesses the $(N)$-property with respect to length on $γ$, and, furthermore, the $(N)$-property also holds in the inverse direction for liftings of curves. The results obtained generalize the well-known Poletskii lemma proved for quasiregular mappings. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:41Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Е. А. Севостьянов (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ЛЕММЫ Е. А. ПОЛЕЦКОГО
НА КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Problems of space mapping theory are investigated. It is proved that the open discrete mappings f ∈ W 1,n
loc
such that their outer dilatation KO(x, f) belongs to Ln−1
loc and a measure of the set Bf of branching points
of f equals to zero have finite length distortion. In other words, under considered mappings f : D → Rn,
n ≥ 2, the images of almost all curves γ in a domain D are locally rectifiable, f has (N)-property on γ with
respect to length, and, in addition, (N)-property holds also in the inverse direction for liftings of curves. The
obtained results generalize the well-known Poletskii’s lemma proved for quasiregular mappings.
Роботу присвячено дослiдженням у областi просторових вiдображень. Доведено, що так званi вiдкритi
дискретнi вiдображення f ∈ W 1,n
loc такi, що їх зовнiшня дилатацiя KO(x, f) належить Ln−1
loc та мiра
множини Bf точок розгалуження f дорiвнює нулю, мають скiнченне спотворення довжини, тобто
образи майже всiх кривих γ в областi D при таких вiдображеннях f : D → Rn, n ≥ 2, є локально
спрямованими, f на γ має (N)-властивiсть вiдносно довжини i, крiм того, (N)-властивiсть має мiс-
це у зворотному напрямку щодо пiдняттiв кривих. Отриманi результати узагальнюють вiдому лему
Є. О. Полецького, що була доведена ранiше для квазiрегулярних вiдображень.
1. Введение. В одной из работ Е. А. Полецкого был получен интересный и, по
мнению автора, важнейший результат (см. лемму 6 в [1, с. 266]). Пусть f : D → Rn,
n ≥ 2, — квазирегулярное отображение, определенное в области D в Rn. Тогда для
почти всех кривых γ∗ ∈ f(D) кривая γ такая, что f◦γ = γ∗, абсолютно непрерывна.
Отметим, что последнее свойство еще называют ACP−1-свойством отображения
f. Другими словами, речь идет об абсолютной непрерывности отображения f на
почти всех кривых в „обратную сторону”, т. е. абсолютно непрерывными являются
прообразы кривых при отображении f. Ниже мы уточним формулировку „для
почти всех кривых”.
ACP−1-свойство фактически является частью определения отображений с ко-
нечным искажением длины, введенных в 2002 г. в [2]. Приведем несколько не-
формальных вводных понятий, связанных с упомянутым классом. Прежде всего,
отображение f : D → Rn называется отображением конечного метрического иска-
жения, если f имеет (N)-свойство Лузина и почти всюду искажает расстояние
между точками в конечное число раз. Один из критериев принадлежности этому
классу заключается в том, что f дифференцируемо почти всюду и имеет (N)- и
(N−1)-свойства (см. следствие 3.14 в [2]). Отображение f : D → Rn называется
отображением с конечным искажением длины, если f — отображение конечного
метрического искажения и имеет (L)-свойство, т. е., во-первых, образы почти всех
кривых γ в D локально спрямляемы и f на γ имеет (N)-свойство относительно
длины и, во-вторых, (N)-свойство имеет место и в обратную сторону для поднятий
кривых.
Опишем вкратце постановку задачи и цель исследований, которым посвящена
данная статья. Для отображения f : D → Rn, имеющего в D частные производные
почти всюду, пусть f ′(x) — якобиева матрица отображения f в точке x, J(x, f) —
якобиан отображения f в точке x, т. е. детерминант f ′(x). В дальнейшем ‖f ′(x)‖ =
= max
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
. Внешняя дилатация отображения f в точке x есть величина
KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)|
,
c© Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7 969
970 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
если J(x, f) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) = ∞ в остальных
точках. Пусть l
(
f ′(x)
)
= min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h|
. Напомним, что внутренняя дилатация
отображения f в точке x есть величина
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))n ,
если J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ в остальных
точках.
Основной целью настощей статьи является установление взаимосвязи между
отображениями класса Соболева и отображениями конечного искажения длины.
Такая взаимосвязь, по сути, была отмечена в работе [2] (см. замечание 4.10), одна-
ко доказательства приведено не было. Несколько позднее оно было приведено в
работе [3], однако методология доказательства была весьма сложной, к тому же
многие результаты доказаны с перегруженными априорными условиями (см. тео-
рему 2.1, теорему 4.1 и следствие 4.1 там же). Доказательство, которое приведено
ниже (теорема 1), базируется на методе Е. А. Полецкого, является более простым
и, в известном смысле, вполне соответствующим понятиям о математической стро-
гости.
Отметим, что наиболее значимым моментом, определяющим упомянутую взаи-
мосвязь, есть доказательство ACP−1-свойства, поскольку, как это будет видно
ниже, все остальные характеристики отображений с конечным искажением длины,
входящие в определение этого класса, могут быть получены сравнительно легко.
При этом мы используем, в частности, известные факты из теории отображений,
полученные в работах [4 – 10], а также подход, использованный в работе [1].
2. Определения и предварительные замечания. Всюду далее D — область в
Rn, n ≥ 2, B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} . Отображение f : D → Rn называет-
ся дискретным, если прообраз f−1 (y) каждой точки y ∈ Rn состоит из изолирован-
ных точек, и открытым, если образ любого открытого множества U ⊆ D является
открытым множеством в Rn. Запись f : D → Rn предполагает, что отображение f
непрерывно. Запись G b D означает, что G – компактное подмножество области D.
Будем также предполагать, что отображение f сохраняет ориентацию, если топо-
логический индекс µ(y, f, G) > 0 для произвольной области G b D и произволь-
ного y ∈ f(G) \ f(∂G) (см., например, [11]). Через Bf , Bf ⊂ D, будем обозначать
множество точек ветвления отображения f, т. е. x0 ∈ Bf тогда и только тогда, когда
f не является гомеоморфизмом ни в какой окрестности точки x0. Для множества
A ⊂ Rn запись |A| обозначает меру Лебега в Rn. Область G ⊂ D такая, что G b D,
называется нормальной областью отображения f, если ∂fG = f∂G. Окрестность
U точки x0 называется нормальной окрестностью отображения f, если U — нор-
мальная область f. Пусть f : D → Rn — произвольное отображение и существует
область G b D такая, что G ∩ f−1 (f(x)) = {x} . Тогда величина µ (f(x), f, G) ,
называемая локальным топологическим индексом, не зависит от выбора области G
и обозначается символом i(x, f). Пусть V ⊂ D — нормальная область, y ∈ f(V ),
{xk} = f−1(y) ∩ V, тогда функция µ(y, f, V ) = µ(f, V ) =
∑
k
i(xk, f) постоянна
в f(V ) для произвольного открытого дискретного отображения f : D → Rn (см.
разд. 4, гл. I [12, c. 18]). Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение,
U ′ ⊂ D — нормальная область, µ(f, U ′) = m. Кривую γ∗ назовем разрешимой,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ЛЕММЫ Е. А. ПОЛЕЦКОГО НА КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ... 971
если существуют m кривых γk ⊂ U ′ таких, что f ◦ γk = γ∗ для всех k = 1, . . . ,m,
причем γi ∩ γj ⊂ Bf и
m⋃
i=1
γi = f−1(γ) ∩ U ′ (см. §2 [1]). Напомним, что бореле-
ва функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для семейства Γ кривых γ в
Rn, если
∫
γ
ρ(x) ds ≥ 1 для всех путей γ ∈ Γ. В этом случае пишем ρ ∈ adm Γ.
Модулем семейства кривых Γ называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈admΓ
∫
D
ρn(x) dm(x),
где m(x) — мера Лебега в Rn.
Пусть Q : D → [1,∞] — измеримая по Лебегу функция, Rn = Rn ∪ {∞}.
Говорят, что f : D → Rn является Q-отображением, если
M(fΓ) ≤
∫
D
Q(x)ρn(x) dm(x) (1)
для любого семейства Γ путей γ в D и для каждой допустимой функции ρ ∈ adm Γ
[2]. Неравенство (1) установлено в [13] для квазиконформных отображений с Q =
= KI(x, f), где KI(x, f) — внутренняя дилатация f в точке x.
Пусть x ∈ E ⊂ Rn, ϕ : E → Rn. Положим
L (x, ϕ) = lim sup
y→x,y∈E
|ϕ (x)− ϕ (y) |
|y − x|
, l (x, ϕ) = lim inf
y→x,y∈E
|ϕ (x)− ϕ (y) |
|y − x|
.
Отображение f : D → Rn называется отображением с конечным метрическим
искажением (пишут f ∈ FMD), если f имеет (N)-свойство Лузина и для почти
всех x ∈ D
0 < l (x, f) ≤ L (x, f) < ∞.
Говорят, что отображение f : X → Y между пространствами с мерой (X, Σ, µ) и
(X ′,Σ′, µ′) имеет (N)-свойство, если µ′ (f(S)) = 0, как только µ(S) = 0. Ана-
логично, f имеет (N−1)-свойство, если µ(S) = 0, как только µ′ (f(S)) = 0.
Пусть ∆ ⊆ R — открытый интервал числовой прямой, γ : ∆ → Rn — локально
спрямляемая кривая. Тогда существует единственная неубывающая функция дли-
ны lγ : ∆ → ∆γ ⊆ R с условием lγ(t0) = 0, t0 ∈ ∆, такая, что lγ(t) равно длине
подкривой γ |[t0,t] кривой γ, если t > t0, и −l
(
γ |[t,t0]
)
, если t < t0, t ∈ ∆. Пусть
g : |γ| → Rn — непрерывное отображение, где |γ| = γ(∆) ⊆ Rn. Предположим,
что кривая γ̃ = g ◦ γ также локально спрямляема. Тогда существует единственная
неубывающая функция Lγ,g : ∆γ → ∆γ̃ такая, что Lγ,g (lγ(t)) = lγ̃(t) ∀t ∈ ∆. Гово-
рят, что отображение f : D → Rn имеет (L)-свойство, если выполнены следующие
условия: (L1) для почти всех кривых γ ∈ D кривая γ̃ = f ◦ γ локально спрямля-
ема и функция Lγ,f имеет (N)-свойство; (L2) для почти всех кривых γ̃ ∈ f (D)
каждое (полное) поднятие γ кривой γ̃ локально спрямляемо и функция Lγ,f имеет(
N−1
)
-свойство. Кривая γ ∈ D называется полным поднятием кривой γ̃ ∈ Rn при
отображении f : D → Rn, если γ̃ = f ◦ γ, и говорят, что некоторое свойство
выполнено для почти всех кривых области D, если оно имеет место для всех кри-
вых, лежащих в D, кроме некоторого их семейства, модуль которого равен нулю.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
972 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
Говорят, что отображение f : D → Rn, n ≥ 2, является отображением с конечным
искажением длины (пишут f ∈ FLD), если f ∈ FMD и имеет (L)-свойство.
Согласно замечанию 4.1 в [2], из (L)-свойства следует ACP -свойство, т. е.
абсолютная непрерывность функции Lγ,f на всех замкнутых интервалах ∆γ для
почти всех кривых γ в D. Будем говорить, что отображение f : D → Rn имеет
ACP−1-свойство, если функция L−1
γ,f абсолютно непрерывна на замкнутых по-
дынтервалах ∆γ̃ для почти всех кривых γ̃ в f(D) и каждого поднятия γ кривой
γ̃. Известно, что отображение f имеет (L)-свойство тогда и только тогда, когда
f ∈ ACP ∩ACP−1 (см. предложение 4.3 в [2]).
Отметим, что отображения конечного искажения длины являются Q-отображе-
ниями с Q = KI(x, f) (см. теорему 6.10 в [2]). Пусть I = [a, b]. Для заданной
кривой γ : I → Rn определим функцию длины S(t) по правилу S(t) = S
(
γ, γ[a, t]
)
,
где S(γ, A) обозначает длину кривой γ|A. Пусть B ⊂ I, тогда S(γ(B)) обозначает
меру множества значений функции S(t) на множестве B.
Пусть E — множество в Rn и γ : ∆ → Rn — некоторая локально спрямляемая
кривая. Обозначим γ ∩ E = γ (∆) ∩ E. Тогда
l (γ ∩ E) = mes1(Eγ),
где
Eγ = lγ
(
γ−1 (E)
)
.
Здесь mes1(A) обозначает длину множества A ⊂ R, а функция lγ : ∆ → ∆γ опре-
делена выше. Заметим, что
Eγ = γ−1
0 (E) ,
где γ0 : ∆γ → Rn — натуральная параметризация кривой γ, и
l (γ ∩ E) =
∫
∆
χE (γ(t)) ds =
∫
∆γ
χEγ
(s)ds.
Предложение 1. Пусть γ1 : I = [0, l] → Rn — спрямляемая кривая и B =
= B ⊂ I, S(γ1, B) = 0. Пусть, кроме того, кривая γ2 : I → Rn спрямляема на
I \B и γ1(t) = γ2(t) при t ∈ B. Тогда кривая γ2 также спрямляема и S(γ2, B) = 0
(см. лемму 1 в [1]).
Предложение 2. Пусть γ : I = [0, l] → Rn — кривая, B = B ⊂ I и множест-
во E ⊂ I таково, что E ⊂ E ∪B и E ∩B = ∅. Если γ спрямляема на I \ (E ∪B),
для любой точки t ∈ I \ B найдется окрестность V, в которой γ спрямляема, и
S(γ, V ) = S(γ, V \E), то γ спрямляема на I \B и S(γ, I \B) = S (γ, I \ (E ∪B))
(см. лемму 2 в [1]).
Предложение 3. Пусть γ : I → Rn — спрямляемая кривая. Если S(γ, B) =
= 0 для любого множества B ⊂ I, как только mes1(B) = 0, то функция S(t)
абсолютно непрерывна (см. лемму 3 в [1]).
Предложение 4. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение,
U ′ b D — нормальная область, γ∗ — спрямляемая жорданова кривая в f (U ′) и
l ((γ∗ ∩ f(Bf ))) = 0. Тогда γ∗ разрешима.
Доказательство предложения 4 дословно повторяет доказательство леммы 4
в [1], поскольку используются лишь общие свойства открытых дискретных ото-
бражений, а не именно квазирегулярных, и потому здесь не приводится.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ЛЕММЫ Е. А. ПОЛЕЦКОГО НА КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ... 973
Пусть V b D — нормальная область и f(V ) = V ∗. Определим отображение
gV : V ∗ → Rn следующим образом: пусть y ∈ V ∗, f−1(y) ∩ V = {xi}, тогда
gV (y) =
1
m
∑
i
i(xi, f)xi,
где m =
∑
i(xi, f) = µ(f, V ).
Предложение 5. Пусть f : D → Rn – открытое дискретное отображение
класса W 1,n
loc (D), для которого KO(x, f) ∈ Ln−1
loc и |Bf | = 0. Тогда gV (y) непре-
рывно в V ∗ и gV (y) ∈ ACLn(V ∗) (см. теорему 2.1 в [3]).
3. Формулировка и доказательство основного результата.
Теорема 1. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение клас-
са W 1,n
loc (D), для которого либо KO(x, f) ∈ Ln−1
loc , либо KI(x, f) ∈ L1
loc и |Bf | = 0.
Тогда f является отображением с конечным искажением длины.
Доказательство. Шаг 1. Поскольку отображение f открыто в D и принадле-
жит классу W 1,n
loc (D), f дифференцируемо почти всюду (см. теорему 4 в [9, с. 331])
и имеет (N)-свойство (см. [5]). Заметим также, что f имеет
(
N−1
)
-свойство (см.
теорему 1.2 в [8]). Поскольку f ∈ W 1,n
loc , f ∈ ACP (см. п. 28.2 в [10]).
Шаг 2. Покажем, что f ∈ ACP−1. Метод доказательства основан на подходе
из работы [1] (см. лемму 6). Перед тем, как непосредственно перейти к доказатель-
ству, сделаем несколько замечаний. Пусть Γ — семейство кривых в D и Γ∗ = f(Γ).
Не ограничивая общности, можно считать, что все кривые γ∗ семейства Γ∗ спрям-
ляемы. Пусть s∗ — натуральный параметр на γ∗ и γ∗ = f(γ(t)). Поскольку функция
s∗(t) строго монотонна и непрерывна, существует обратная функция t(s∗), которая
также строго монотонна и непрерывна. Таким образом, можно рассмотреть пара-
метр s∗ на γ. В дальнейшем будем предполагать, что все кривые семейств Γ и Γ∗
параметризованы таким образом. Пусть f удовлетворяет условиям теоремы 1, Γ̃ –
семейство кривых в D и Γ̃∗ = f(Γ̃). Покажем, что γ(s∗) абсолютно непрерывна для
почти всех кривых γ∗ ∈ Γ̃∗ таких, что f ◦γ = γ∗. Не ограничивая общности, можно
считать, что Γ̃ ⊂ U ′, где U ′ b D. Пусть γ∗ ∈ Γ̃∗ и I — отрезок, который является
областью определения параметра s∗. Покажем, что для почти всех кривых γ∗ ∈ Γ̃∗
кривая γ спрямляема на I \ γ(Bf ), где f ◦ γ = γ∗ и γ(Bf ) = {s∗ : γ(s∗) ∈ Bf}.
Покроем множество U ′ \ Bf счетной системой окрестностей {Ul} , в каждой из
которых отображение fl = f |Ul
гомеоморфно. Пусть hl = f−1
l , γ∗ ∈ Γ̃∗. Поскольку
либо KO(x, f) ∈ Ln−1
loc , либо KI(x, f) ∈ L1
loc, hl = (hl1, . . . , hln) ∈ W 1,n
loc (см. тео-
рему 6.1 в [4] и следствие 2.3 в [3] соответственно) и, следовательно, hl абсолютно
непрерывно для почти всех кривых γ∗ ∈ Γ̃∗ (см. п. 28.2 в [10]). Заметим, что если
γ(s∗) ∈ Ul ∩ Uj , то hl (γ∗(s∗)) = hj (γ∗(s∗)) . Так как кривая γ параметризована
посредством параметра s∗, можно определить отображение g : γ∗|I\γ(Bf ) → Rn
такое, что если γ(s∗) ∈ Uk, то g(γ∗(s∗)) = hk (γ∗(s∗)) . Согласно теореме 4 в [9,
с. 331], каждый гомеоморфизм класса W 1,n
loc дифференцируем почти всюду и, сле-
довательно, hl дифференцируемо почти всюду в fl(D). Пусть B∗ — множество, где
полный дифференциал hl не существует хотя бы для одного l. Тогда множество
B∗ борелево и |B∗| = 0. По теореме 33.1 в [10] l (γ∗ ∩B∗) = 0 для почти всех
кривых γ∗ ∈ Γ̃∗. Следовательно, γ′(s∗) существует для почти всех s∗ и для почти
всех кривых γ∗ = f ◦ γ ∈ Γ̃∗. Положим
∂gl
∂yj
(s∗) =
∂hkl
∂yj
(γ∗(s∗)) . Имеем
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
974 Е. А. СЕВОСТЬЯНОВ
S (γ, I \ γ(Bf )) =
∫
I\γ(Bf )
|γ′| ds∗ ≤
∫
I\γ(Bf )
∑
l,j
(
∂gl
∂yj
)2
1/2
ds∗
для почти всех кривых γ∗ = f ◦ γ ∈ Γ̃∗. Поскольку hl ∈ W 1,n
loc и |U ′| < ∞,
∫
I\γ(Bf )
∑
l,j
(
∂gl
∂yj
)2
1/2
ds∗ < ∞
для почти всех кривых γ∗ = f ◦ γ. Следовательно, для почти всех кривых γ∗ ∈ Γ̃∗
кривая γ спрямляема на I \ γ(Bf ). Более того, S(γ, C) = 0 для почти всех γ∗ для
каждого множества C, C ⊂ I \ γ(Bf ), такого, что mes1(C) = 0. Действительно,
S(γ, C) =
∫
C
|γ′| ds∗ = 0 для почти всех γ∗ = f ◦ γ ∈ Γ̃∗. Пусть Bl — множество
точек ветвления x таких, что i(x, f) = l и γ(Bl) = {s∗ : γ(s∗) ∈ Bl} . Покажем, что
для почти всех кривых γ∗ кривая γ(s∗) спрямляема на I \
⋃
k>l
γ(Bk) и S(γ, C) = 0
для любого множества C такого, что mes1(C) = 0 и C ⊂ I \
⋃
k>l
γ(Bk). Доказатель-
ство проведем индукцией по l. При l = 1 утверждение доказано. Предположим, что
оно справедливо для l = j−1, и покажем его справедливость для l = j. Поскольку
по предположению |Bf | = 0, по (N)-свойству также |f(Bf )| = 0. Согласно теоре-
ме 33.1 в [10], mes1(γ(Bf )) = l(γ∗ ∩ f(Bf )) = 0 для почти всех кривых γ∗ ∈ Γ̃∗
и всех кривых γ таких, что γ∗ = f ◦ γ. Следовательно, без ограничения общности
можно считать, что mes1(γ(Bf )) = 0. Покроем Bj счетной системой нормаль-
ных областей {Ul} таких, что µ (f, Ul) = j, где µ (f, Ul) =
∑
xl∈Ul
i(xl, f). По
предложению 5 отображение gl = g |f(Ul) абсолютно непрерывно на почти всех
кривых из U∗
l = f(Ul) (см. п. 28.2 в [10]). Заметим, что при γ∗(s∗) ∈ f (Bj ∩ Ul)
выполнено gl (γ∗(s∗)) = γ(s∗). По предложению 4 g−1
l γ∗ состоит из не более чем
счетного числа кривых {γl} в Ul, причем они совпадают с γ в точках Bf . При-
меняя поочередно к каждой такой кривой и к кривой γ предложение 1, а также
учитывая абсолютную непрерывность gl, получаем, что S (γ, γ (Bj ∩ Ul)) = 0 для
почти всех кривых γ∗ таких, что γ∗ = f ◦ γ. Суммируя по всем окрестностям Ul,
имеем S(γ, γ(Bj)) = 0 для почти всех кривых γ∗ таких, что γ∗ = f ◦ γ. Полагая
в предложении 2 B :=
⋃
k>j
γ(Bk) и E := γ(Bj) и используя предположение инду-
кции, убеждаемся, что кривая γ спрямляема на I \
⋃
k>j
γ(Bk) и S(γ, C) = 0 при
C ⊂ I \
⋃
k>j
γ(Bk), mes1(C) = 0. Поскольку U ′ — компакт, найдется M ∈ N такое,
что i(x, f) ≤ M. Тогда на основании доказанного выше S
(
γ,
M⋃
j=2
γ(Bj)
)
= 0 для
почти всех кривых γ∗ таких, что γ∗ = f ◦ γ. По предложению 3 получаем, что
кривая γ(s∗) абсолютно непрерывна и спрямляема для почти всех кривых γ∗ ∈ Γ̃∗.
Шаг 3. Согласно следствию 3.14 в [2], так как f дифференцируемо почти
всюду и имеет (N)- и (N−1)-свойства, f является отображением с конечным ме-
трическим искажением, а вследствие того, что f ∈ ACP ∩ ACP−1, — еще и
отображением с конечным искажением длины (см. предложение 4.3 в [2]).
Теорема доказана.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
ОБОБЩЕНИЕ ОДНОЙ ЛЕММЫ Е. А. ПОЛЕЦКОГО НА КЛАССЫ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ... 975
Следствие 1. Пусть f : D → Rn — отображение класса W 1,n
loc , для кото-
рого KO(x, f) ∈ Lp
loc при некотором p > n − 1 и |Bf | = 0. Тогда f является
отображением с конечным искажением длины.
Доказательство непосредственно следует из того, что при указанных условиях
отображение f открыто и дискретно (см. [6, 7] и теорему 1).
Следствие 2. Пусть f : D → Rn — открытое дискретное отображение
класса W 1,n
loc , для которого либо KO(x, f) ∈ Ln−1
loc , либо KI(x, f) ∈ L1
loc и |Bf | = 0.
Тогда f является Q-отображением с Q = KI(x, f).
Доказательство непосредственно следует из теоремы 6.10 в [2] и теоремы 1.
1. Полецкий Е. А. Метод модулей для негомеоморфных квазиконфомных отображений // Мат. сб. –
1970. – 83, № 2. – С. 261 – 272.
2. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. Anal. Math.
– 2004. – 93. – P. 215 – 236.
3. Koskela P., Onninen J. Mappings of finite distortion: Capacity and modulus inequalities // J. reine und
angew. Math. – 2006. – 599. – S. 1 – 26.
4. Heinonen J., Koskela P. Sobolev mappings with integrable dilatations // Arch. Ration. Mech. and Anal.
– 1993. – 125. – P. 81 – 97.
5. Maly J., Martio O. Lusin’s condition and mappings of the class // J. reine und angew. Math. – 1995. –
458. – S. 19 – 36.
6. Manfredi J. J., Villamor E. Mappings with integrable dilatation in higher dimensions // Bull. Amer.
Math. Soc. – 1995. – 32, № 2. – P. 235 – 240.
7. Manfredi J. J., Villamor E. An extension of Reshetnyak’s theorem // Indiana Univ. Math. J. – 1998. –
47, № 3. – P. 1131 – 1145.
8. Koskela P., Maly J. Mappings of finite distortion: The zero set of Jacobian // J. Eur. Math. Soc. – 2003.
– 5, № 2. – P. 95 – 105.
9. Решетняк Ю. Г. Обобщенные производные и дифференцируемость почти всюду // Мат. сб. – 1968.
– 75, № 3. – C. 323 – 334.
10. Väisälä J. Lectures on n-dimensional quasiconformal mappings // Lect. Notes Math. – Berlin etc.:
Springer, 1971. – 229.
11. Rado T., Reichelderfer P. V. Continuous transformations in analysis. – Berlin etc.: Springer, 1955.
12. Rickman S. Quasiregular mappings // Results Math. and Relat. Areas. – 1993. – 26, № 3.
13. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
Получено 25.11.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 7
|
| id | umjimathkievua-article-3071 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:41Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/fe/f52e39b31fcabe46b652fc8793717afe.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30712020-03-18T19:44:40Z Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings Обобщение одной леммы Е. А. Полецкого на классы пространственных отображений Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. The paper is devoted to investigations in the field of space mappings. We prove that open discrete mappings $f ∈ W^{1,n}_{\text{loc}}$ such that their outer dilatation $K_O (x, f)$ belongs to $L^{n−1}_{\text{loc}}$ and the measure of the set $B_f$ of branching points of $f$ is equal to zero have finite length distortion. In other words, the images of almost all curves $γ$ in the domain $D$ under the considered mappings $f : D → ℝ^n,\;n ≥ 2$, are locally rectifiable, $f$ possesses the $(N)$-property with respect to length on $γ$, and, furthermore, the $(N)$-property also holds in the inverse direction for liftings of curves. The results obtained generalize the well-known Poletskii lemma proved for quasiregular mappings. Роботу присвячено дослідженням у області просторових відображень. Доведено, що так звані відкриті дискретні відображення $f ∈ W^{1,n}_{\text{loc}}$ такі, що їх зовнішня дилатація $K_O (x, f)$ належить $L^{n-1}_{\text{loc}}$ та міра множини $B_f$ точок розгалуження $f$ дорівнює нулю, мають скінченне спотворення довжини, тобто образи майже всіх кривих $γ$ в області $D$ при таких відображеннях $f : D → ℝ^n,\;n ≥ 2$, є локально спрямованими, $f$ на $γ$ має $(N)$-властивість відносно довжини і, крім того, $(N)$-властивість має місце у зворотному напрямку щодо підняттів кривих. Отримані результати узагальнюють відому лему Є. О. Полецького, що була доведена раніше для квазірегулярних відображень. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-07-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3071 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 7 (2009); 969-975 Український математичний журнал; Том 61 № 7 (2009); 969-975 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3071/2891 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3071/2892 Copyright (c) 2009 Sevost'yanov E. A. |
| spellingShingle | Sevost'yanov, E. A. Севостьянов, Е. А. Севостьянов, Е. А. Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings |
| title | Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings |
| title_alt | Обобщение одной леммы Е. А. Полецкого на классы пространственных отображений |
| title_full | Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings |
| title_fullStr | Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings |
| title_full_unstemmed | Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings |
| title_short | Generalization of one Poletskii lemma to classes of space mappings |
| title_sort | generalization of one poletskii lemma to classes of space mappings |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3071 |
| work_keys_str_mv | AT sevost039yanovea generalizationofonepoletskiilemmatoclassesofspacemappings AT sevostʹânovea generalizationofonepoletskiilemmatoclassesofspacemappings AT sevostʹânovea generalizationofonepoletskiilemmatoclassesofspacemappings AT sevost039yanovea obobŝenieodnojlemmyeapoleckogonaklassyprostranstvennyhotobraženij AT sevostʹânovea obobŝenieodnojlemmyeapoleckogonaklassyprostranstvennyhotobraženij AT sevostʹânovea obobŝenieodnojlemmyeapoleckogonaklassyprostranstvennyhotobraženij |