Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra
We study locally nilpotent derivations belonging to a Lie algebra $sa_n$ of a special affine Cremona group in connection with the root decompositions of sa n relative to the maximum standard torus. It is proved that all root locally nilpotent derivations are elementary. As a continuation of this res...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3077 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509102896054272 |
|---|---|
| author | Bodnarchuk, Yu. V. Prokof’ev, P. H. Боднарчук, Ю. В. Прокоф'єв, П. Г. |
| author_facet | Bodnarchuk, Yu. V. Prokof’ev, P. H. Боднарчук, Ю. В. Прокоф'єв, П. Г. |
| author_sort | Bodnarchuk, Yu. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:57Z |
| description | We study locally nilpotent derivations belonging to a Lie algebra $sa_n$ of a special affine Cremona group in connection with the root decompositions of sa n relative to the maximum standard torus. It is proved that all root locally nilpotent derivations are elementary. As a continuation of this research, we describe two- and three-root derivations. By using the results obtained by Shestakov and Umirbaev, it is shown that the exponents of almost all obtained three-root derivations are wild automorphisms of a polynomial algebra in three variables. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:46Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.745
G. V. Bodnarçuk, P. H. Prokof’[v (Un-t „Ky[vo-Mohylqn. akademiq”)
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ
TA AVTOMORFIZMY NAHATIVS|KOHO TYPU
ALHEBRY POLINOMIV
*
We study locally nilpotent derivations belonging to s an, which is a Lie algebra of the special affine
Cremona group, in connection with the root decomposition of s an relative to the maximal standard
torus. It is proved that all root locally nilpotent derivations are elementary. In a sequential research,
two-root and three-root derivations are described. With the application of Shestakov's and Umirbaev's
results, we prove that exponents of almost all obtained three-root derivations are wild automorphisms of
a polynomial algebra in three variables.
Yzuçagtsq lokal\no nyl\potentn¥e dyfferencyrovanyq, prynadleΩawye s an — alhebre Ly
specyal\noj affynnoj hrupp¥ Kremon¥, v svqzy s kornev¥m razloΩenyem s an otnosytel\no
maksymal\noho standartnoho tora. Dokazano, çto vse kornev¥e lokal\no nyl\potentn¥e dyf-
ferencyrovanyq qvlqgtsq πlementarn¥my. V prodolΩenye πtyx yssledovanyj opysan¥ dvu- y
trexkornev¥e dyfferencyrovanyq. S yspol\zovanyem rezul\tatov Y. P. Íestakova y
U.9U.9Umyrbaeva dokazano, çto πksponent¥ poçty vsex poluçenn¥x trexkornev¥x dyfferency-
rovanyj qvlqgtsq dykymy avtomorfyzmamy alhebr¥ polynomov ot trex peremenn¥x.
1. Vstup. Lokal\no nil\potentni dyferencigvannq alhebry polinomiv [ dΩe-
relom netryvial\nyx avtomorfizmiv alhebr polinomiv. Zokrema, vidomyj avto-
morfizm Nahaty [ eksponentog vidpovidnoho lokal\no nil\potentnoho dyfe-
rencigvannq. Bil\ß toho, isnu[ hipoteza, wo vsi avtomorfizmy alhebry polino-
miv, qki utvorggt\ afinnu hrupu Kremony, [ iterovanymy kompozyciqmy afin-
nyx (linijnyx) ta eksponent lokal\no nil\potentnyx dyferencigvan\ ci[] al-
hebry. Xarakteryzaciq ta pobudova kryterig lokal\no] nil\potentnosti poli-
nomial\nyx dyferencigvan\ [ vidomymy duΩe skladnymy problemamy. Dlq po-
linomiv vid dvox zminnyx teorema Rençlera [1], navedena nyΩçe, da[ v c\omu vy-
padku pevnu xarakteryzacig. Isnu[ takoΩ ocinka stepenq nil\potentnosti lo-
kal\no nil\potentnoho dyferencigvannq alhebry polinomiv vid dvox zminnyx,
qka da[ takyj kryterij. Central\ne misce tut zajma[ problema qdra dyferen-
cigvannq, qke [ pidalhebrog alhebry polinomiv vid n zminnyx i moΩe buty ne-
skinçenno porodΩenym, a otΩe [ dΩerelom kontrprykladiv do 14-] problemy
Hil\berta, wo navedeni v [2]. Vodnoças qkwo qdro mistyt\ n – 1 alhebra]çno
nezaleΩnyx elementiv, to za teoremog Makar-Limanova [3] taki lokal\no nil\-
potentni dyferencigvannq moΩna oxarakteryzuvaty podibno do vypadku n = 2
za dopomohog vidpovidnoho qkobianu.
Z inßoho boku, vidomo, wo neskinçennovymirni alhebry Li kartanivs\koho ty-
pu (dyv. [4]) realizugt\sq qk alhebry polinomial\nyx dyferencigvan\. Ci al-
* Pidtrymano DerΩavnym fondom fundamental\nyx doslidΩen\ (F 25/546-2007 # DR
0107U010499) ta MiΩnarodnym blahodijnym fondom vidrodΩennq Ky[vo-Mohylqns\ko] aka-
demi].
© G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8 1011
1012 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
hebry dopuskagt\ korenevyj rozklad vidnosno standartnoho tora.
Metog dano] roboty [ vyvçennq lokal\no nil\potentnyx dyferencigvan\
vyxodqçy z ]x korenevoho rozkladu. Cej ßlqx, na dumku avtoriv, [ pryrodnym,
oskil\ky lokal\no nil\potentni dyferencigvannq, qki vidpovidagt\ avtomor-
fizmu Nahaty ta inßym avtomorfizmam, [ sumog tr\ox korenevyx dyferencig-
van\.
U p. 3 dano vidpovid\ na pytannq V. L. Popova [5] pro opys korenevyx lokal\-
no nil\potentnyx dyferencigvan\. Vyqvylos\, wo vsi vony [ elementarnymy. U
p. 4 opysano vsi trykorenevi lokal\no nil\potentni dyferencigvannq, ekspo-
nenty qkyx dagt\ serig avtomorfizmiv, qki my i nazvaly avtomorfizmamy naha-
tivs\koho typu. U p. 5 na pidstavi kryterig dykosti avtomorfizmu alhebry poli-
nomiv vid tr\ox zminnyx, wo fiksu[ odnu zminnu, I. P. Íestakova ta U.9U.9Umir-
ba[va (dyv. [6]) dovedeno, wo majΩe vsi avtomorfizmy vkazano] seri] [ dykymy.
2. Poperedni vidomosti pro polinomial\ni dyferencigvannq. Nexaj A =
= F [ x1 , x2 , … , xn ] — polinomial\na alhebra nad polem nul\ovo] xarakterystyky
F. Polinomial\ni dyferencigvannq alhebry A magt\ formu linijnyx dyfe-
rencial\nyx operatoriv
D a x x x
xi n
ii
n
= ( … ) ∂
∂=
∑ 1 2
1
, , , . (1)
Oznaçennq 1. Dyferencigvannq (1) nazyva[t\sq lokal\no nil\potentnym,
qkwo dlq dovil\noho polinoma f ∈ A isnu[ natural\ne çyslo m = m ( f ), dlq
qkoho Dm
( f ) = 0.
Prykladamy lokal\no nil\potentnyx dyferencigvan\ [ elementarni
a x x x x
xi i n
i
( … … ) ∂
∂− +1 1 1 (2)
i trykutni dyferencigvannq, qki magt\ vyhlqd
a x x x
x
a
xj j j n
jj
n
n
n
( … ) ∂
∂
+ ∂
∂+ +
=
−
∑ 1 2
1
1
, , , , an ∈ F. (3)
Odnym iz sposobiv pobudovy netryvial\nyx lokal\no nil\potentnyx dyferen-
cigvan\ [ mnoΩennq elementarnoho abo trykutnoho dyferencigvannq na pevnyj
element joho qdra. Take dyferencigvannq ma[ vyhlqd ϕ ⋅ D, de D ma[ vyhlqd
(2) abo (3), ϕ ∈ Ker D. Prykladom, otrymanym takym sposobom, [ dyferencig-
vannq alhebry polinomiv vid tr\ox zminnyx:
( + ) − ∂
∂
+ ∂
∂
x x x x
x
x
x3 1 2
2
2
1
3
2
2 , (4)
eksponenta qkoho
〈 − ( + ) − ( + ) + ( +x x x x x x x x x x x x x1 2 2
2
3 1 3 2
2
3 1
2
2 3 2
22 , 33 1 3x x) 〉, (5)
[ znamenytym avtomorfizmom Nahaty, dykist\ qkoho bula dovedena v [6].
Inßym prykladom takoho typu [ dyferencigvannq
( + ) − ∂
∂
+ ∂
∂
x x x x x
x
x
x3 1 2 4 4
1
3
2
, (6)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ TA AVTOMORFIZMY … 1013
eksponenta qkoho — avtomorfizm Anika — kandydat do klasu dykyx avtomor-
fizmiv alhebry polinomiv vid çotyr\ox zminnyx.
Navedemo formulgvannq zhadano] vywe teoremy Rençlera.
Teorema 1 [1]. Qkwo D — lokal\no nil\potentne dyferencigvannq alheb-
ry polinomiv F [ x1 , x2 ], to isnugt\ polinomy P, Q ∈ F [ x1 , x2 ] taki, wo:
1) Ker D = F [ P ] ;
2) F [ P, Q ] = F [ x1 , x2 ] ;
3) isnu[ polinom α = α ( t ) takyj, wo dlq dovil\noho h ∈ F [ x1 , x2 ]
D h P
P
x
P
x
h
x
h
x
( ) = ( )
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
α det 1 2
1 2
. (7)
Nastupna teorema da[ alhorytm perevirky toho, çy [ dyferencigvannq al-
hebry polinomiv vid dvox zminnyx lokal\no nil\potentnym.
Teorema 2 ([7, s. 33], teorema 1.3.52). Dyferencigvannq D = a x x
x1 1 2
1
( ) ∂
∂
, +
+ a x x
x2 1 2
2
( ) ∂
∂
, [ lokal\no nil\potentnym todi i til\ky todi, koly
D xd
i
*+ ( )2 = 0, i = 1, 2, d a x xi j x ji
*
,max deg ,= ( )1 2 .
Rozhlqnemo teper neskinçennovymirnyj vektornyj prostir vsix polinomial\-
nyx dyferencigvan\. Vin ma[ pryrodnyj bazys, wo sklada[t\sq z monomial\nyx
dyferencigvan\
e k x x x
x
i k k
n
k
i
n( ) = … ∂
∂1 2
1 2
, i = 1, 2, … , n. (8)
Vektor k = ( k1 , k2 , … , kn ) budemo nazyvaty mul\tystepenem (mdeg) monoma xk =
= x x xk k
n
kn
1 2
1 2 … , a mul\tystepin\ monomial\noho dyferencigvannq vyznaçymo
takym çynom: m e kideg ( )( ) = k – 1i , de 1i oznaça[ vektor, i-ta koordynata qko-
ho dorivng[ 1, a vsi inßi [ nulqmy.
Oznaçennq 2. Dyferencigvannq nazyva[t\sq monohennym, qkwo vsi monomi-
al\ni dyferencigvannq, wo vxodqt\ do joho rozkladu, magt\ odnakovyj mul\-
tystepin\.
Oçevydno, wo monohenni dyferencigvannq, qki ne [ elementarnymy, magt\
formu
D x x
xk
k
i i
ii
n
= ∂
∂=
∑α
1
, αi ∈ F,
a ]x diq, qk i diq monomial\nyx dyferencigvan\ (8), na dovil\nyj monom xm
da[
abo monom mul\tystepenq
m D x k mk
mdeg ( )( ) = + , (9)
abo nul\ vnaslidok rivnosti nulg koefici[nta αi ii
n
m
=∑ 1
, zokrema dlq monomi-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1014 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
al\nyx dyferencigvan\ (8) ce moΩlyvo lyße pry mi = 0. Dlq dovil\no] skin-
çenno] sukupnosti K mul\tystepeniv monomial\nyx dyferencigvan\ — vekto-
riv iz cilymy koefici[ntamy, qki moΩut\ maty ne bil\ße odni[] vid’[mno] koor-
dynaty, wo dorivng[ – 1, rozhlqnemo iterovanu kompozycig L dyferencigvan\
vydu e ki( ) abo Dk , k ∈ K, vzqtyx u dovil\nomu porqdku, de dyferencigvannq
mul\tystepenq k zastosovu[t\sq sk raziv. NezaleΩno vid porqdku zastosuvan-
nq budemo maty
m L x s k mm
k
k K
deg ( )( ) = +
∈
∑ , (10)
zokrema, qkwo vektor u pravij çastyni rivnosti mistyt\ vid'[mnu koordynatu, to
L xm( ) = 0.
Ma[mo standartnu formulu dlq komutatora dyferencigvan\
[ ] =
∂
∂
−
∂
∂
==
∑D D a
a
x
a
a
xk
j
k
k
j
kk
n
j
1 2
1
2
2
1
11
,
nn
jx
∑ ∂
∂
, (11)
de ak
1
, ak
2
— koefici[nty D1, D2 u zobraΩenni (1). Cym vyznaçeno
strukturu alhebry Li na prostori vsix polinomial\nyx dyferencigvan\.
Dyferencigvannq (1), wo zadovol\nqgt\ umovu
∂
∂=
∑ a
x
i
ii
n
1
= const, (12)
utvorggt\ pidalhebru g an , wo [ alhebrog Li afinno] hrupy Kremony G An =
= AutF A. Elementy hrupy G An moΩna ototoΩnyty z naboramy polinomiv
〈 〉( … ) … ( … )f x x f x xn n n1 1 1, , , , , , , (13)
pry c\omu hrupovog operacig [ kompozyciq naboriv. Umova hlobal\no] oborot-
nosti ma[ naslidkom umovu qkobiana
det
∂
∂
f
x
i
j
= Const ≠ 0.
Dyferencial po koefici[ntax polinomiv vid umovy qkobiana pryvodyt\ do umovy
(12). Dyferencigvannq, dlq qkyx const = 0, utvorggt\ ideal san dyferen-
cigvan\, wo zberihagt\ dyferencial\nu formu ob’[mu dx dx dxn1 2∧ ∧…∧ .
Alhebra s an [ dotyçnog alhebrog Li special\no] afinno] hrupy Kremony S An ,
elementy qko] magt\ odynyçnyj qkobian (Const = 1). Hrupa S An mistyt\ stan-
dartnyj alhebra]çnyj tor Tn−1 , elementy qkoho u formi (13) magt\ vyhlqd
〈 … 〉α α1 1x xn n, , , αii∏ = 1.
Z ohlqdu na umovu (12), de const = 0, pobudu[mo monomial\nyj bazys alhebry
s an :
εi i i
n
n
i n
k
i
i
k e k
k
k
e k x x
x
k
i( ) = ( ) −
+
( − + ) = ∂
∂
−−
1
1 1 1 ii
n
n
nk
x
x+
∂
∂
1
(14)
(qkwo ki = 0, to εi k( ) = e ki( ) ). Do cyx elementiv bazysu slid dodaty we ele-
mentarni monomial\ni dyferencigvannq
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ TA AVTOMORFIZMY … 1015
ξ( ) = ( … ) = … ∂
∂− −
−t e t t x x x
x
n
n
t t
n
t
n
n
1 1 1 2 10 1 2 1, , , . (15)
Zaznaçymo, wo dlq danoho mul\tystepenq k linijni kombinaci]
D kk r
r
r
r
n
= ( + )
=
−
∑ α ε 1
1
1
(16)
[ monohennymy dyferencigvannqmy mul\tystepenq k, zokrema dlq nyx ma[ mis-
ce formula (9), a koefici[nty pry monomax otrymugt\sq bezposerednimy obçys-
lennqmy. Napryklad, dlq dovil\noho z = 0, 1, 2, … diq D k na monomy mul\ty-
stepenq z k + 1i vyznaça[t\sq takym çynom:
D x x
z k k
k
zk z k
j
j n
n
i j
i i( ) =
( − )
+
+
+ ( + ) +1 1 1
1
α δ , =
−
∑
j
n
1
1
, i < n, (17)
δi j, — symvol Kronekera;
D x x
z k k
k
k
k
zk z k
j
j n
n
j
n
n n( ) =
( − )
+
−
+
+
+ ( + ) +1 1 1
1
1
1
α
=
−
∑
j
n
1
1
, (18)
tut z k — zvyçajnyj pokoordynatnyj dobutok vektora k na çyslo z, do toho Ω
formula (9) nabyra[ vyhlqdu k zk z kn n+ + = ( + ) +1 1 1 .
Pidalhebra Li standartnoho tora τn nT− −= ( )1 1Lie sklada[t\sq z dyferen-
cigvan\ αi i
i
i
n
x
x
∂
∂=∑ 1
, de αi ∈ F : αii
n
=∑ 1
= 0. Elementy
εi
i i
i
n
n
x
x
x
x
( ) = ∂
∂
− ∂
∂
1 , i = 1, 2, … , n – 1,
utvorggt\ bazys ci[] alhebry. Z formul (11) bezposerednimy obçyslennqmy ot-
rymu[mo formuly dlq komutatoriv bazysnyx dyferencigvan\:
[ ]( ) ( ) =
+
−
( + − ) −ε ε εr s n s
n
s
r
sk l
k l
l
k k l
l
,
1
1 nn r
n
r
s
r
k
k
l k l
+
−
( + − )
1
1ε , (19)
[ ]( ) ( ) = − ( + − )ε ξ εr
n
r
nk t k k t, 1 , kn ≠ 0, (20)
[ ]( ) ( ) = ( + ) ( + − )ε ξ ξr
r r rk t k t k t, 1 , kn = 0. (21)
Teper moΩna opysaty korenevi dyferencigvannq, tobto elementy D ∈ s an
, dlq
qkyx
[ ] = ( )τ λ τ, D D , (22)
de τ ∈ Lie ( )−Tn 1 , λ : Lie ( )−Tn 1 → F — korin\ (linijnyj funkcional), pry c\omu
elementy standartnoho tora digt\ na ci dyferencigvannq takym çynom:
t Dt t D− = ( )1 λ , t Tn∈ .
Teorema 3. Ma[ misce korenevyj rozklad
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1016 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
sa Wn n
= ⊕
∈ −λ
λ
Z 1
,
de Zn−1
— ciloçyslova reßitka, do toho Ω vsi korenevi pidprostory Wλ [ ne-
nul\ovymy, oskil\ky porodΩu[t\sq dyferencigvannqmy
εr
rk( + )1 , k kn i i− = λ , r = 1, 2, … , n – 1,
i, moΩlyvo, we odnym elementarnym dyferencigvannqm, wo ma[ odnu z form:
abo ε p l( ) , de l p = 0, li p i= − −λ λ 1, i < n, i ≠ p, ln p= −λ 1, abo ξ( )t , de
ti i= − ( + )λ 1 , i = 1, … , n – 1.
Dovedennq. Z formul (19) – (21) otrymu[mo
[ ]( ) ( ) = ( − + ) ( )ε ε δ εr s
s n s r s
rk k k k, ,1 ,
[ ]( ) ( ) = − ( + ) ( )ξ ε ξt t ts
s s, 1 1 ,
wo vede do opysu koreniv ta korenevyx prostoriv. Zrozumilo, wo lyße odne ba-
zysne dyferencigvannq ε p l( ) z lp = 0 moΩe buty u korenevomu prostori. Qk-
wo ce ma[ misce, to λ p nl+ = +1 2 > 0, i vidtak ξ( )t ne naleΩyt\ c\omu kore-
nevomu prostoru ni dlq qkoho t ( tn = 0 ). Navpaky, qkwo dlq deqkyx λ, t ξ( )t ∈
∈ Wλ , to λ λi i− < +1 1 ≤ 0, a otΩe Ωodne ε p l( ) , u qkoho lp = 0, ne naleΩyt\
c\omu korenevomu prostoru.
Teoremu dovedeno.
Zaznaçymo, wo qkwo ∆( ) = ( … )a a a a, , , , a ∈ Z i ε λ
r
rk W( + ) ∈1 , to dlq do-
vil\noho a ε λ
r
rk a W( )+ ( ) + ∈∆ 1 i vidtak Wλ [ neskinçennovymirnym vektor-
nym prostorom. ZauvaΩymo takoΩ, wo dyferencigvannq vydu (16) [ korene-
vymy.
3. Korenevi lokal\no nil\potentni dyferencigvannq. Lehko baçyty, wo
elementarni dyferencigvannq [ korenevymy todi i til\ky todi, koly vony [
monomial\nymy, tobto proporcijnymy:
x x x x
x
k
i
k
i
k
n
k
i
i i n
1 1 1
1 1 1… … ∂
∂− +
− +
. (23)
ZauvaΩymo, wo vony [ bazysnymy elementamy vydiv εi k( ) , ki = 0, ξ( )t .
Teorema 4. Usi korenevi lokal\no nil\potentni dyferencigvannq z s an [
elementarnymy.
Dovedennq. Nexaj
�D — dovil\ne koreneve neelementarne dyferencigvan-
nq i λ = ( ) ∈−
−λ λ1 1
1, ,… n
nZ — vidpovidnyj korin\. Todi, qk vyplyva[ z teoremy
3, isnu[ vektor k i, moΩlyvo, odyn iz vektoriv l ( lp = 0 ) abo t ( tn = 0 ) taki, wo
�D k a l ta r
r
r
p
r
n
= + ( ) + + ( ) + ( )( )
=
−
∈
∑ µ ε νε ν ξ
α
, ∆ 1 1
1
1
ZZ
∑ .
Mul\tystepeni k a+ ( )∆ , wo vxodqt\ u formulu, [ oçevydno pokoordynatno li-
nijno uporqdkovanymy. Vyberemo sered nyx najbil\ßyj i poznaçymo joho çerez
k, todi vidpovidne monohenne dyferencigvannq nabere vyhlqdu (16).
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ TA AVTOMORFIZMY … 1017
Element ε p l( ) moΩe vxodyty do rozkladu
�D lyße pry l j p j= − −λ λ 1 , j ≠
≠ p, n, l p = 0, ln p= −λ 1. Oskil\ky k kn i i− = λ , i = 1, … , n – 1, to li =
= k ki p− ( + )1 , i ≠ p. OtΩe, vektor l [ menßym za k vidnosno pokoordynatnoho
vporqdkuvannq. Analohiçno, qkwo vektor t vxodyt\ do rozkladu
�D , to vin
menßyj za k.
Zvidsy vyplyva[, wo qkwo monom x zk i+1
vxodyt\ do polinoma
�D xz
i( ) z ne-
nul\ovym koefici[ntom, to vin [ najbil\ßym sered usix monomiv vidnosno poko-
ordynatnoho çastkovoho porqdku. OtΩe, dyferencigvannq
�D moΩe buty lo-
kal\no nil\potentnym lyße u vypadku, koly takym [ Dk .
Naspravdi dyferencigvannq vyhlqdu (16) ne moΩut\ buty lokal\no nil\po-
tentnymy. Dijsno, zhidno z formulamy (17), (18) isnuvannq naboru mi natu-
ral\nyx çysel takyx, wo D xm
i
i ( ) = 0, D xj
i( ) ≠ 0, j = 1, 2, … , mi – 1, i = 1,
2, … , n, oznaça[ isnuvannq nenul\ovoho rozv'qzku ( … )−α α1 1, , n (naboru koefi-
ci[ntiv iz formuly (16)) systemy linijnyx odnoridnyx rivnqn\, matrycq qko]
M
m k k
k
m k k
k
m k k
k
n
n
n
n
n n
=
( − )
+
+
( − )
+
…
( − )−1 1 1 2 1 1
1
1
1 nn
n
n
n
n
n nm k k
k
m k k
k
m k k
+
( − )
+
( − )
+
+ …
( −−
1
1 1
12 1 2 2 2 1 ))
+
… … … …
( − )
+
( − )
+
…− −
k
m k k
k
m k k
k
m
n
n n
n
n n
n
n
1
1 1
1 1 1 2 −− −( − )
+
+
( − )
+
−
+
+
(
1 1
1 1
1
1
1
1
1
k k
k
m k k
k
k
k
m
n n
n
n n
n n
n kk k
k
k
k
m k k
k
kn
n n
n n n
n
n2 2 1 1
1
1
1 1
1− )
+
−
+
+
…
( − )
+
−
+− −
kkn +
1
.
Prosti obçyslennq z vyznaçnykamy pryvodqt\ do vysnovku, wo dlq vsix ki = 0, 1,
2, … , mi = 1, 2, … , i = 1, 2, … , n, budemo maty rank ( )M = n – 1, i, otΩe, nenu-
l\ovoho rozv'qzku ne isnu[.
Takym çynom, rozklad lokal\no nil\potentnoho dyferencigvannq
�D ne
moΩe mistyty monohennyx dyferencigvan\, otΩe, vono [ elementarnym.
Te, wo dyferencigvannq (16) ne moΩut\ buty lokal\no nil\potentnymy,
moΩna vyvesty i z teori] slajsiv (dyv. [7, s. 26, 27]), odnym iz naslidkiv qko] [ ta-
ka lema.
Lema 1. Qkwo isnu[ polinom f ∈ F [ x1 , … , xn ] takyj, wo dlq danoho lokal\-
no nil\potentnoho dyferencigvannq D element D ( f ) dilyt\sq na f, to
D ( f ) = 0.
Zvidsy bezposeredn\o vyplyva[, wo Dk ne moΩe buty lokal\no nil\potent-
nym ni dlq qkoho k, adΩe qkwo αj ≠ 0, to D x xk j j
k j( ) = +α 1
dilyt\sq na xj .
Z teoremy 4 otrymu[mo naslidky dlq dyferencigvan\, wo [ sumamy kil\kox
korenevyx.
Naslidok 1. Dovil\ne dvokoreneve lokal\no nil\potentne dyferencigvannq
D pislq vidpovidno] perestanovky koordynat [ trykutnym i ma[ odnu z form
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1018 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
( + ) ∂
∂
α α1 2
1
x x
x
k l
, k1 = l1 = 0, (24)
α α1
1
2
2
x
x
x
x
k l∂
∂
+ ∂
∂
, k1 = l1 = l2 = 0. (25)
Dovedennq. Prypustymo, wo odne z dvox korenevyx dyferencigvan\, qki
vxodqt\ do rozkladu D, ne [ elementarnym, i Dk — joho najbil\ßa monohenna
forma. Za poperedn\og teoremog isnu[ j take, wo D xk
s
j( ) ≠ 0 dlq vsix s.
OtΩe, monomy mul\tystepenq sk j+ 1 budut\ vxodyty z nenul\ovymy koefici-
[ntamy. Oskil\ky dyferencigvannq lokal\no nil\potentne, to zhidno z formu-
log (10) dlq znywennq takoho monoma povynni isnuvaty s0 , s1 , s2 , s0 = s1 + s2 ,
i monohenna çastyna druhoho dyferencigvannq Dl mul\tystepenq l taki, wo
s k0 + 1 11 2j js k s l= + + , zvidky k = l. Ce oznaça[, wo D [ korenevym. OtΩe,
obydva korenevyx dyferencigvannq povynni buty elementarnymy i pislq vidpo-
vidnoho perejmenuvannq koordynat magt\ nabuty odni[] z vkazanyx form. Poka-
Ωemo, wo u vypadku (25) dyferencigvannq [ trykutnym. Rozhlqnemo systemu
linijnyx odnoridnyx rivnqn\ z dvoma nevidomymy x k + y l = 0, x + y = 0. Vraxo-
vugçy, wo k1 = l2 = – 1, a reßta koordynat cyx vektoriv [ nevid’[mnymy, moΩna
dodaty ostannij rqdok matryci systemy do inßyx i otrymaty v perßyx dvox rqd-
kax i stovpçykax pidmatrycg z nul\ovog diahonallg i dodatnymy inßymy ele-
mentamy. OtΩe, ranh ci[] systemy dorivng[ 2 i vona ne ma[ nenul\ovyx rozv’qz-
kiv. Ce oznaça[, wo dlq danoho s0 podannq mul\tystepenq qk s k s l1 2+ , s0 =
= s1 + s2 [ odnoznaçnym. Takym çynom, vsi monomy mul\tystepenq vkazanoho vy-
du moΩna otrymaty lyße poslidovnym zastosuvannqm Dk
, Dl v dovil\nomu po-
rqdku s1 ta s2 raziv. V zaleΩnosti vid porqdku zastosuvannq koefici[nty pry
monomax xs k s l1 2+
budut\ riznymy, ale odnakovoho znaku, qkyj bude zbihatysq zi
znakom α βs s1 2
. Ale todi rivnist\ D xs
j
0 ( ) = 0 moΩlyva lyße za umovy, wo dlq
vsix s1 , s2 , s0 = s1 + s2 , mul\tystepin\ s k s l1 2+ mistyt\ vid’[mnu koordynatu.
Ce moΩe buty til\ky abo perßa, abo druha. Ne vtraçagçy zahal\nosti moΩna
vvaΩaty, wo ce perßa. Todi pry s1 = 1, s2 = s0 – 1 moΩemo otrymaty vid’[mnu
perßu koordynatu mul\tystepenq lyße pry l1 = 0. A ce i oznaça[ trykutnist\
dyferencigvannq.
Naslidok dovedeno.
Naslidok 2. Trykoreneve lokal\no nil\potentne dyferencigvannq D mo-
Ωe mistyty ne bil\ße odnoho monohennoho ne elementarnoho korenevoho dyfe-
rencigvannq Dk vydu (16), qke povynno maty vyhlqd
D D D Dk u= + + v , (26)
de Du
, D v [ elementarnymy lokal\no nil\potentnymy, do toho Ω mul\tyste-
peni povynni buty pov’qzani linijnym zv'qzkom z natural\nymy koefici[ntamy :
a m D b m D a b m Dk u⋅ ⋅ ⋅( ) = ( ) + ( − ) ( )deg deg deg v , a, b ∈ N, a > b. (27)
Dovedennq. Oskil\ky Dk ne [ lokal\no nil\potentnymy, to dlq znywennq
nenul\ovoho monoma D xk j( ) , zhidno z formulog (10), dva inßyx dyferencig-
vannq Du
, D v povynni buty takymy, wob malo misce (27), a otΩe vektor
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ TA AVTOMORFIZMY … 1019
m Dkdeg( ) [ linijnog kombinaci[g z dodatnymy racional\nymy koefici[ntamy
dvox inßyx mul\tystepeniv. Ale qkwo D u abo Dv teΩ ne [ lokal\no nil\po-
tentnym, to ]x mul\tystepeni teΩ povynni buty linijnymy kombinaciqmy dvox
inßyx z dodatnymy racional\nymy koefici[ntamy, wo, oçevydno, nemoΩlyvo.
OtΩe, obydva dyferencigvannq Du
, Dv povynni buty lokal\no nil\potentny-
my, a otΩe elementarnymy.
Naslidok dovedeno.
Interes do trykorenevyx lokal\no nil\potentnyx dyferencigvan\ vyklyka-
nyj tym, wo dyferencigvannq (4) ta (6), eksponenty qkyx [ avtomorfizmamy
Nahaty (5) ta Aniky vidpovidno, magt\ formu (26), do toho Ω dlq nyx u formuli
(27) a = 2, b = 1.
4. Trykorenevi dyferencigvannq alhebry polinomiv vid tr\ox zminnyx.
Perejdemo do opysu lokal\no nil\potentnyx dyferencigvan\ D alhebry po-
linomiv vid tr\ox zminnyx vyhlqdu (26), tobto D = Dk + Du + Dv
. Budemo vvaΩa-
ty, wo elementarni dyferencigvannq magt\ vyhlqd
D x x
xu
u u= ∂
∂
β 2 3
1
2 3
, D x x
xv
v v= ∂
∂
γ 1 3
2
1 3
, β, γ ∈ F, (28)
adΩe moΩna vykonaty pereimenuvannq zminnyx. Todi, zhidno z formulamy (16),
(14), pry n = 3 otryma[mo
D x D x k x k xk( ) = ( ) = ( + )( ) + ( + )( )3 3 1
1
1 3 1
2
2 31 1α ε α ε =
= −
( + ) + ( + )
+
+α α1 1 2 2
3
1 2 3
11 1
1
1 2 3
k k
k
x x xk k k
.
Oskil\ky D x( )3 dilyt\sq na x3 , to za lemog 1 ma[mo α α1 1 2 21 1( + ) + ( + )k k =
=90. OtΩe, z toçnistg do staloho mnoΩnyka moΩna vvaΩaty, wo
D k x x x
x
k x xk
k k k k k= ( + ) ∂
∂
− ( + )+ +
2 1
1
2 3
1
1 1 21 11 2 3 1 2 11
3
2
3x
x
k ∂
∂
. (29)
Oskil\ky x3 naleΩyt\ qdru dyferencigvannq Dk + Du + Dv
, to vono bude
lokal\no nil\potentnym todi i til\ky todi, koly takym bude dyferencigvannq
alhebry polinomiv vid dvox zminnyx D D D Dk u= + + v :
D k x x
x
k x x
xk
k k k k= ( + ) ∂
∂
− ( + ) ∂
∂
+ +
2 1
1
2
1
1 1 2
11 11 2 1 2
22
,
D x
xu
u= ∂
∂2
1
2
, D x
xv
v= ∂
∂1
2
1
.
Dlq xarakteryzaci] lokal\no nil\potentnyx dyferencigvan\ takoho vydu sko-
rysta[mosq teoremog 1. Qkwo poklasty h x= 1 , a potim h x= 2 u formuli (7),
to otryma[mo
D x P
P
x
( ) = − ( ) ∂
∂1
2
α , D x P
P
x
( ) = ( ) ∂
∂2
1
α .
Nexaj u t( ) — pervisna do funkci] α( )t , tobto
du
dt
= α( )t , u( )0 = 0, todi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1020 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
D x
u P
x
( ) = − ∂ ( )
∂1
2
, D x
u P
x
( ) = ∂ ( )
∂2
1
.
Qkwo D [ lokal\no nil\potentnym, to dlq n\oho povynno isnuvaty vkazane
zobraΩennq, a otΩe, magt\ isnuvaty funkciq u t( ) ta koordynatnyj polinom
P = P x x( )1 2, taki, wo vykonugt\sq rivnosti
− ∂ ( )
∂
= ( + ) ++u P
x
k x x xk k u
2
2 1
1
2 21 1 2 2β ,
∂ ( )
∂
= − ( + ) ++u P
x
k x x xk k
1
1 1 2
1
11 1 2 1γ v
.
Lehko baçyty, wo z toçnistg do konstanty [dynym rozv’qzkom systemy [
funkciq
u P x x x x x
u
k k( ) = ( ) = − +
+
−+ + +ψ γ β
1 2 1
1
2
1
1
1
1
2
1 2 1
1
,
v
v
++
+
1 2
12xu
. (30)
Polinom u P( ) moΩe buty sumog tr\ox monomiv lyße za takyx umov:
1) P [ monomom, a u t( ) — sumog tr\ox monomiv nenul\ovoho stepenq;
2) P [ sumog dvox monomiv, a u t At( ) = 2
;
3) P [ sumog tr\ox monomiv, a u t At( ) = , A ∈ F.
U perßomu vypadku koΩen monom u P( ) povynen dilytysq na monom P, wo,
oçevydno, ne vykonu[t\sq u pravij çastyni (30). U tret\omu vypadku z toçnistg
do staloho mnoΩnyka P povynno maty vyhlqd pravo] çastyny (30). Zhidno z
formulog (27) ak b a b u1 2= − + ( − ) , ak b a b2 1= − ( − )v , a otΩe, u2
, v1 > 0. To-
di toçka (0, 0) [ spil\nym nulem çastynnyx poxidnyx
∂
∂
P
x1
,
∂
∂
P
x2
, a otΩe, P ne
moΩe buty koordynatnym.
U druhomu vypadku dlq toho wob vykonuvalos\ (30), polinom P povynen ma-
ty vyhlqd P = p x p xm m
1 1 2 2
1 2+ , zvidky 2 11 1m = +v , 2 12 2m u= + , m k1 1 1= + ,
m k2 2 1= + . OtΩe, spivvidnoßennq (27) nabyra[ vyhlqdu
2 11 1k = − + v , 2 12 2k u= − . (31)
Krim toho, dlq toho wob vkazani çastynni poxidni ne dorivngvaly odnoçasno nu-
lg, oçevydno, wo abo m1
, abo m2 povynno dorivngvaty 1. Ne vtraçagçy za-
hal\nosti vvaΩa[mo, wo m1 = 1, todi k1 = 0, a polinom P = x xm
1 2
2+ [, oçevyd-
no, koordynatnym. Pry c\omu iz spivvidnoßennq (31) otrymu[mo v1 = 1, u2 =
= 2 12k + i pryxodymo do dyferencigvannq D , wo [ sumog tr\ox korenevyx:
D k x x
x
x
xk
k k= ( + ) ∂
∂
− ∂
∂
+
2 1 2
1
2
1
2
1 2 2
,
D x
xu
k= ∂
∂
+β 2
2 1
1
2
, D x
xv =
∂
∂
γ 1
2
.
Lema 2. Dyferencigvannq D D D Dk u= + + v [ lokal\no nil\potentnym
todi i til\ky todi, koly βγ = − ( + )k2 1 .
Dovedennq. Zastosu[mo teoremu 2. Dlq dyferencigvannq D ma[mo d* =
= 2 12k + . Oskil\ky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ TA AVTOMORFIZMY … 1021
D x k x k2
2 2 2
2 11 2( ) = ( + + ) +γβ ,
to zhidno z lemog 1, qkwo D lokal\no nil\potentne, to D xd k*
( )+2
2 12 = 0.
Qkwo D x2
2( ) ≠ 0, to polinom ( + + ) ( )+ +D D D xk u
k k
v
2 1
2
2 12 2
bude mistyty monom
D x k xk k k k
v
2 1
2
2 1
2
2 1
1
2 12 2 2 22 1+ + + +( ) = ( + )! γ .
Pry c\omu z ohlqdu na te, wo druha koordynata m Ddeg( )v = v dorivng[ – 1, a
k2
, u2 = 2k2 + 1 ≥ 0, mul\tystepin\ ( + )2 12k v ne moΩna podaty inßym sposobom
qk linijnu kombinacig z natural\nymy koefici[ntamy mul\tystepeniv k, u, v.
OtΩe, D moΩe buty lokal\no nil\potentnym lyße pry D x2
2( ) = 0, tobto
βγ + +k2 1 = 0. Ale todi dyferencigvannq D moΩna podaty takym çynom:
( )( + ) + ∂
∂
− ∂
∂
+k x x x
x x
k k
2 1 2
1
2
1 2
1
1
2 2β
β
. (32)
Teper lokal\na nil\potentnist\ D vyplyva[ z toho, wo polinom ( + )k x2 11 +
+ βxk
2
12+
naleΩyt\ qdru trykutnoho dyferencigvannq x
x x
k
2
1 2
2
1∂
∂
− ∂
∂β
.
Lemu dovedeno.
Nastupna teorema uzahal\ng[ rezul\taty, wo anonsovani v [8, 9].
Teorema 5. Trykorenevi lokal\no nil\potentni dyferencigvannq alhebry
polinomiv vid tr\ox zminnyx pislq vidpovidnoho pereimenuvannq zminnyx z toç-
nistg do staloho mnoΩnyka magt\ odnu z form
( )( + ) + ∂
∂
− ∂
∂
+k x x x x
x
x
x
m k l k
m
x2 1 3 2
1
3 2
1
3
2
1 2 2β
β
, (33)
( )( + ) + ∂
∂
− ∂
∂
+k x x x x x
x x
k m l k mx2 1 2
1
3 3 2 3
1 2
1
1
2 2β
β
, (34)
de m, l, k2 = 0, 1, 2, … , β ∈ F*
, abo [ trykutnymy odni[] z form
x x
x
x
x x
k k l
2 3
1
3
2 3
2 3
∂
∂
+ ∂
∂
+ ∂
∂
λ µ , (35)
( + ) ∂
∂
+ ∂
∂
x x x x
x
x
x
k k l l m
2 3 2 3
1
3
2
2 3 2 3λ µ , ( + + ) ∂
∂
x x x x x x
x
k k l l m m
2 3 2 3 2 3
1
2 3 2 3 2 3λ µ . (36)
Dovedennq. Qk zaznaçalosq, trykoreneve lokal\no nil\potentne dyferen-
cigvannq moΩe mistyty ne bil\ße odnoho korenevoho, wo ne [ elementarnym. U
c\omu vypadku D = Dk + Du + Dv
, de dodanky magt\ vyhlqd (28), (29), do toho Ω
spivvidnoßennq (31) ma[ vykonuvatysq dlq mul\tystepeniv monomiv vid tr\ox
zminnyx, zokrema 2 3 3 3k u= + v . Z inßoho boku, z (32) otrymu[mo vyhlqd dyfe-
rencigvannq alhebry polinomiv vid tr\ox zminnyx D = Dk + Du + Dv
:
D k x x x
x
x x
xk
k k k k= ( + ) ∂
∂
− ∂
∂
+
2 1 2 3
1
2
1
3
2
1 2 3 2 3
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1022 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
D x x
xu
k u= ∂
∂
+β 2
2 1
3
1
2 3
, D
k
x x
xv
v= −
+ ∂
∂
2
1 3
2
1
3
β
.
Qkwo k u3 3≥ , to otrymu[mo (33), de m k u= −3 3 , l u= 3 , a qkwo k u3 3< , to
k3 3> v , oskil\ky 2 3 3 3k u= + v , i pryxodymo do formuly (34), de m u k= −3 3 =
= k3 3− v , l = v3 .
U vypadku, koly vsi try korenevi dyferencigvannq Dk
, Du
, Dv [ lokal\no
nil\potentnymy, a otΩe elementarnymy, slid provesty mirkuvannqmy, analohiç-
ni vykorystanym pry dovedenni naslidku 1, i rozhlqnuty systemu linijnyx riv-
nqn\ x k + y u + z v = 0, x + y + z = 0. Znovu dodavannq ostann\oho rqdka do reßty
da[ pidmatrycg rozmirnosti 3 u livomu verxn\omu kuti, u qko] diahonal\ skla-
da[t\sq z nuliv, a reßta elementiv [ dodatnymy çyslamy. Oskil\ky cej minor
vidminnyj vid nulq, to systema ma[ lyße nul\ovyj rozv’qzok, a otΩe, mul\ty-
stepin\ u vyhlqdi s k s u s1 2 3+ + v moΩna podaty ne bil\ß qk odnym sposobom.
Pry vsix perestanovkax Dk
, D u
, D v u kil\kostqx s1
, s 2
, s 3 budemo
otrymuvaty v polinomi D xs
j
0 ( ) monomy xs k s u s1 2 3+ + v
z riznymy koefici[ntamy (v
zaleΩnosti vid porqdku zastosuvannq), ale odnoho znaku, otΩe, ]x suma bude
vidminnog vid nulq. Takym çynom, dlq lokal\no] nil\potentnosti D
neobxidno, wob dlq vsix s1
, s2
, s3 takyx, wo s0 = s1 + s2 + s3
, mul\tystepin\
s k s u s1 2 3+ + v mistyv vid’[mnu koordynatu. Zokrema, pry s3 = 0 ce oznaça[, wo
Dk + Du [ lokal\no nil\potentnym, a otΩe ma[ trykutnyj vyhlqd. Te same ma[
misce dlq Dk + Dv i D u + Dv
. Zastosuvannq dlq nyx naslidku 1 da[ potribni
trykutni formy.
5. Dyki avtomorfizmy nahativs\koho typu. Metog c\oho punktu [ doslid-
Ωennq dykosti avtomorfizmiv alhebry polinomiv vid tr\ox zminnyx, qki [ ekspo-
nentamy dyferencigvan\ (33), (34).
Dlq doslidΩennq my skorysta[mosq texnikog, vykladenog u statti [6].
Oznaçennq 3. 1. Peretvorennq avtomorfizmu Kremony F = 〈 〉f f f1 2 3, ,
vydu F → H � F, de H [ elementarnym avtomorfizmom x x a x xi i j k→ + ( ), ,
x xj j→ , x xk k→ , { } = { }i j k, , , ,1 2 3 , nazyva[t\sq elementarnog redukci[g.
2. Qkwo v rezul\tati peretvorennq povnyj stepin\ vidpovidno] koordynaty
ponyzyvsq, to hovorqt\, wo avtomorfizm F dopuska[ elementarnu redukcig, a
sama vona [ dopustymog dlq n\oho.
Dali çerez f budemo poznaçaty starßu odnoridnu formu polinoma f. Qk-
wo f — koordynatnyj polinom i dopuska[ elementarnu redukcig, to pislq ]] vy-
konannq starßa forma povynna buty znywena.
Teorema 6 [6]. Avtomorfizm vydu F = 〈 〉f f x1 2 3, , [ ruçnym todi i til\ky
todi, koly skinçennog poslidovnistg dopustymyx elementarnyx redukcij vin
moΩe buty zvedenyj do odynyçnoho vydu Id , ,= 〈 〉x x x1 2 3 .
Teorema 7. Nexaj D — dyferencigvannq vydu (33), todi avtomorfizm
〈 〉( )( ) ( )( )exp , exp ,D x D x x1 2 3 [ dykym todi i til\ky todi, koly m > 0, k2 > 0.
Dovedennq. Dlq vypadku dyferencigvannq D vydu (33) poklademo
g = ( )( + ) + +k x x xm k lx2 1 3 2
1
31 2β ∈ Ker D,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
LOKAL|NO NIL|POTENTNI DYFERENCIGVANNQ TA AVTOMORFIZMY … 1023
todi dlq f1 = exp( )( )D x1 , f2 = exp( )( )D x2 budemo maty nastupni formuly:
f x gx
g
j
k k k jk j
j
j1 1 2
1
1 2 2 2
2 1 1 2= + + (− ) ( − )…( − +−
−!β
)) − + ( − )
=
+
∑ x xk j m j
j
k
2
1
3
1
2
1
2
2
=
= x gx
k
x C
gx
xk m
k
j
m
k
1 2
2
3 1
3
2
12
2
2
1
+ −
+
−
−
+
+ −β
β
jj
j
k
=
+
∑
2
12
=
= x
k
x x gx xm m
k
k
1
2
3 2 3
1
2
1
1
1 2
2−
+
−
−
−
+
+β
β ,
f x gxm
2 2 3
1= −
β
.
Pry m > 0
f k g xk k k mk
1 2
1 1
31 12 2 2 2= (− ) ( + )− − +β , deg degx xf k m g k
3 31 2 2 1= + ( )( + ) .
Vodnoças f k
2
12+
ma[ stepin\ po x3 , wo dorivng[ ( + )( + )k m gx2 1
3
deg , qkyj
pry m > 0 perevywu[ degx f
3 1 , a otΩe, redukciq f1 nemoΩlyva. Redukciq po-
linoma f2
, oçevydno, moΩlyva lyße pry k2 = 0, koly f x g1 1= + . Za dopomo-
hog elementarnoho peretvorennq x x x xm
2 2 1 3
1→ +
β
otrymu[mo element
x g x x x xm
1 2 1 3 3
1+ +, ,
β
.
Oskil\ky v c\omu vypadku g = ( + )x x x xm l
1 3 2 3β , to redukci[g x x x xl
1 1 2 3→ − β
pryxodymo do elementa x x x x xm
1 2 1 3 3
1
, ,+
β
, qkyj [ ruçnym.
U vypadku m = 0 ma[mo
f x
k
x g x
k
k
1 1
2
2
1
2
1
1
1 2
2= −
+
−
−
+
+β
β
,
f x g2 2
1= −
β
, g xk x xk l= ( + ) +( )+2 1 2
1
31 2β .
Vykona[mo elementarnu redukcig x x
k
xk
1 1
2
2
1
1
2→ +
+
+β
i otryma[mo element
F x
k
x x g xk= +
+
−+
1
2
2
1
2 31
1
2
β
β
, , ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1024 G. V. BODNARÇUK, P. H. PROKOF’{V
pislq çoho redukci[g x x
k
x xl
2 2
2
1 3
1
→ +
+
β
oderΩu[mo elementarnyj avtomor-
fizm x
k
x x xk
1
2
2
1
2 31
2+
+
+β
, , . OtΩe, eksponenty dyferencigvan\ vydu (33) [
dykymy avtomorfizmamy todi i til\ky todi, koly m > 0, k2 > 0.
Teoremu dovedeno.
1. Rentschler R. Operations du groupe additif sur le plan affine // C. r. Acad. sci. A. – 1968. – 267. –
P. 384 – 387.
2. Tanimoto R. On Freudenburg’s cunterexamples to fourteenth problem of Hilbert // Transformation
Groups. – 2006. – 11, # 2. – P. 269 – 294.
3. Makar-Limanov L. Locally nilpotent derivations, a new ring invariant and applications // Lect.
Notes. – 1998.
4. Kac V. H. Prost¥e nepryvodym¥e hraduyrovann¥e alhebr¥ Ly koneçnoho rosta // Yzv. AN
SSSR Ser. mat. – 1968. – # 32. – S. 1923 – 1967.
5. Popov V. Problems for problem session // Affine Algebraic Geometry: Conf. Proc., Contemporary.
Math. Ser. Amer. Math. Soc. – 2005. – 369. – P. 12 – 16.
6. Shestakov I., Umirbaev U. The tame and the wild automorphisms of polynomial rings in three
variables // J. Amer. Math. Soc. – 2004. – 17. – P. 197 – 228.
7. van den Essen A. Automorphisms and the Jacobian conjecture // Progr. Math. – Basel etc.:
Birkhäuser, 2000. – 190.
8. Bodnarchuk Yu. Root locally nilpotent derivations of polynomial algebras // Abstrts 6-th Int.
Algebr. Conf. Ukraine. – Kamyanets-Podilsky, 2007. – P. 39, 40.
9. Bodnarchuk Yu. Locally nilpotent polynomial derivations which are a sum of several root ones /
Abstrts Int. Conf. „Transformation Groups” dedicated to the 70-th anniversary of E. B. Vinberg. –
Moscow, 2007. – P. 22, 23.
OderΩano 24.11.08,
pislq doopracgvannq — 21.04.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3077 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:46Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/9e/67ac873ac896fe3218c90a6d657e5d9e.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30772020-03-18T19:44:57Z Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra Локально нільпотентні диференціювання та автоморфізми нагатівського типу алгебри поліномів Bodnarchuk, Yu. V. Prokof’ev, P. H. Боднарчук, Ю. В. Прокоф'єв, П. Г. We study locally nilpotent derivations belonging to a Lie algebra $sa_n$ of a special affine Cremona group in connection with the root decompositions of sa n relative to the maximum standard torus. It is proved that all root locally nilpotent derivations are elementary. As a continuation of this research, we describe two- and three-root derivations. By using the results obtained by Shestakov and Umirbaev, it is shown that the exponents of almost all obtained three-root derivations are wild automorphisms of a polynomial algebra in three variables. Изучаются локально нильпотентные дифференцирования, принадлежащие $sa_n$ — алгебре Ли специальной аффинной группы Кремоны, в связи с корневым разложением s an относительно максимального стандартного тора. Доказано, что все корневые локально нильпотентные дифференцирования являются элементарными. В продолжение этих исследований описаны дву- и трехкорневые дифференцирования. С использованием результатов И. П. Шестакова и У. У. Умирбаева доказано, что экспоненты почти всех полученных трехкорневых дифференцирований являются дикими автоморфизмами алгебры полиномов от трех переменных. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3077 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 8 (2009); 1011-1024 Український математичний журнал; Том 61 № 8 (2009); 1011-1024 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3077/2903 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3077/2904 Copyright (c) 2009 Bodnarchuk Yu. V.; Prokof’ev P. H. |
| spellingShingle | Bodnarchuk, Yu. V. Prokof’ev, P. H. Боднарчук, Ю. В. Прокоф'єв, П. Г. Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| title | Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| title_alt | Локально нільпотентні диференціювання та автоморфізми нагатівського типу алгебри поліномів |
| title_full | Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| title_fullStr | Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| title_full_unstemmed | Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| title_short | Locally nilpotent derivations and Nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| title_sort | locally nilpotent derivations and nagata-type utomorphisms of a polynomial algebra |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3077 |
| work_keys_str_mv | AT bodnarchukyuv locallynilpotentderivationsandnagatatypeutomorphismsofapolynomialalgebra AT prokofevph locallynilpotentderivationsandnagatatypeutomorphismsofapolynomialalgebra AT bodnarčukûv locallynilpotentderivationsandnagatatypeutomorphismsofapolynomialalgebra AT prokof039êvpg locallynilpotentderivationsandnagatatypeutomorphismsofapolynomialalgebra AT bodnarchukyuv lokalʹnonílʹpotentnídiferencíûvannâtaavtomorfízminagatívsʹkogotipualgebripolínomív AT prokofevph lokalʹnonílʹpotentnídiferencíûvannâtaavtomorfízminagatívsʹkogotipualgebripolínomív AT bodnarčukûv lokalʹnonílʹpotentnídiferencíûvannâtaavtomorfízminagatívsʹkogotipualgebripolínomív AT prokof039êvpg lokalʹnonílʹpotentnídiferencíûvannâtaavtomorfízminagatívsʹkogotipualgebripolínomív |