On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise
We consider the Merton problem of finding the strategies of investment and consumption in the case where the evolution of risk assets is described by the exponential model and the role of the main process is played by the integral of a certain stationary “physical” white noise generated by the cente...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3078 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509105827872768 |
|---|---|
| author | Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. |
| author_facet | Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. |
| author_sort | Bondarev, B. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:57Z |
| description | We consider the Merton problem of finding the strategies of investment and consumption in the case where the evolution of risk assets is described by the exponential model and the role of the main process is played by the integral of a certain stationary “physical” white noise generated by the centered Poisson process. It is shown that the optimal controls computed for the limiting case are ε-sufficient controls for the original system. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:49Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519.21
B. V. Bondarev, S. M. Koz¥r\ (Doneck. nac. un-t)
OB εεεε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE
R. MERTONA S „FYZYÇESKYM” BELÁM ÍUMOM
Merton's problem of finding investment and consumption strategies is considered in the case where the
risk assets evolution is described by an exponential model and an integral of some stationary "physical"
white noise generated by the centered Poisson process is treated as a main process. We show that
optimal controls computed for the limit case are ε-sufficient controls for the initial system.
Rozhlqnuto zadaçu R. Mertona pro znaxodΩennq stratehij investuvannq i spoΩyvannq u vypadku,
koly evolgciq ryzykovoho aktyvu opysu[t\sq eksponencial\nog modellg i osnovnym procesom
[ intehral vid deqkoho stacionarnoho „fizyçnoho” biloho ßumu, porodΩenoho centrovanym
procesom Puassona. Pokazano, wo optymal\ni upravlinnq, rozraxovani dlq hranyçnoho vypadku,
budut\ ε-dostatnimy upravlinnqmy dlq vyxidno] systemy.
1. Vvedenye. Vspomohatel\n¥e rezul\tat¥. Pust\ πvolgcyq cen¥ Z t( )
ryskovoho aktyva (akcyy) opys¥vaetsq model\g P. Samuπl\sona [1], t. e.
Z t Z t W t( ) = ( ) −
+ ( )
0
2
2
exp µ σ σ . (1)
Zdes\ v kaçestve osnovnoho processa yspol\zovan standartn¥j vynerovskyj
process W t( ) ; µ > 0 — srednqq doxodnost\, σ — koπffycyent volatyl\nos-
ty. Yzvestno [2], çto model\ P. Samuπl\sona ymeet svojstvo bezarbytraΩnosty,
t. e. „polnost\g” pryhodna dlq matematyçeskoho modelyrovanyq πvolgcyy ce-
n¥ akcyy. V rabote [3] rassmotrena sledugwaq zadaça: pust\ v kaΩd¥j moment
vremeny 0 ≤ t ≤ T ynvestor, ymegwyj na moment vremeny t kapytal X t( ) ,
çast\ kapytala ( − ) ( )1 u X t , 0 ≤ u ≤ 1 , vklad¥vaet na bankovskyj sçet pod pro-
centnug stavku r > 0, na ostavßugsq çast\ kapytala uX t( ) zakupaet akcyy,
cena kaΩdoj yz kotor¥x na moment vremeny t sostavlqet velyçynu Z t( ) .
Estestvenno predpolahat\, çto µ > r, xotq ymeet sm¥sl rassmatryvat\ y druhye
sluçay (vspomnym dlynn¥e y korotkye pozycyy). V kaΩd¥j moment vremeny t
pry nalyçyy kapytala x proysxodyt potreblenye kapytala so skorost\g
u t x1( ), . Pust\ 0 < γ < 1, a plateΩnaq funkcyq ymeet vyd
V t x u u e u s X s dss
t x
u
t
T
( ) = ( )
− ( )∫, , , M , ,1 1
ρ γ
. (2)
Process πvolgcyy kapytala X st x, ( ) v moment vremeny t naçynaetsq s kapyta-
la x, t. e. X tt x
u
, ( ) = x (sluçaj 0 < γ < 1 sootvetstvuet povedenyg ynvestora, ne
sklonnoho k rysku, ρ > 0 — koπffycyent neprer¥vnoho dyskontyrovanyq).
R.=Merton naßel optymal\n¥e upravlenyq u , u1 y cenu upravlenyq, t. e.
V t x V t x u u V t x u u
u u u
( ) = ( ) = ( ) =, , , , sup , , , sup
, ,
1 1
1 uu
s
t x
t
T
e u s X t ds
1
1M , ,
− ( )( ) ∫ ρ γ
.
Okazalos\, çto
© B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8 1025
1026 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
u
r= −
( − )
µ
σ γ2 1
, u t x e g t xt
1
1 1( ) = ( )[ ] ( − ), /ρ γ
, ν µ
σ γ
= ( − )
( − )
+r
r
2
22 1
,
(3)
g t e et
T t
( ) = −
−
−
−
− ( − )( − )
−ρ
ρ νγ
γγ
ρ νγ
1
1 1
−1 γ
, V t x g t x( ) = ( ), γ
.
Na praktyke, kak pravylo, ymeetsq [4] „fyzyçeskyj” bel¥j ßum — zavysqwyj
ot nekotoroho parametra ε > 0 process
�Wt
ε
, yntehral ot kotoroho Wt
ε =
= �W dst
t ε
0∫ pry stremlenyy ε → 0 sxodytsq [4 – 7] v slabom sm¥sle k processu
σW t( ) , hde W t( ) — standartn¥j vynerovskyj process. Vo mnohyx praktyçes-
kyx sluçaqx kardynal\n¥e yzmenenyq cen¥ akcyy proysxodqt v sluçajn¥e mo-
ment¥ vremeny xotq y ne rezko, no dovol\no çasto, a ymenno, proysxodyt pade-
nye doxodnosty, a zatem naçynaetsq ee medlenn¥j rost. Takaq sytuacyq nablg-
daetsq, naprymer, pry yzuçenyy loharyfma cen, kak funkcyy vremeny, v sluçae,
kohda v sluçajn¥e moment¥ vremeny v¥plaçyvagtsq dyvydend¥. Posle v¥pla-
t¥ dyvydendov cena rezko padaet na velyçynu dyvydenda. Po mnenyg avtorov, v
πtom sluçae v kaçestve modely dlq opysanyq πvolgcyy cen¥ akcyy ymeet sm¥sl
rassmotret\ process
Z t Z t Wtε
εµ σ σ( ) = ( ) −
−
0
2
2
exp , (4)
t. e. kohda v kaçestve osnovnoho processa vzqt yntehral ot „fyzyçeskoho” belo-
ho ßuma (sm. [4, s. 225])
� �W a
t
s dst
t
ε
ε
ε ε
ν= −
( )
−∞
∫
1
/
, (5)
hde ν( )∆t — puassonovskaq mera otrezka [ + )t t t, ∆ s parametrom λ = 1,
�ν( )∆t = ν( ) −∆ ∆t t (strohoe opredelenye dano nyΩe), y dlq πtoho sluçaq ras-
smotret\ zadaçu R. Mertona. Stacyonarn¥j process
�Wt
ε
budet opredelen, esly
[4, s. 225]
a u du2
0
( ) < + ∞
+∞
∫ . (6)
Dejstvytel\no, pust\ [8, s. 37] kaΩdomu poluyntervalu [ )a b, , a < b, [ )a b, ⊂
⊂ (− ∞ + ∞), , dejstvytel\noj prqmoj postavlena v sootvetstvye velyçyna
ν[ )a b, takym obrazom, çto v¥polnen¥ uslovyq:
1) ν[ )a b, prynymaet tol\ko cel¥e neotrycatel\n¥e znaçenyq;
2) esly a < c < b, to ν[ )a b, = ν[ )a c, + ν[ )c b, ;
3) esly a a an1 2< < … < , to sluçajn¥e velyçyn¥ ν ν[ ) … [ )−a a a an n1 2 1, , , ,
nezavysym¥;
4) ravnomerno po b – a → 0 P ,{ }[ ) > = ( − )ν a b o b a1 .
Tohda [8, s. 37]
P ,
!
exp{ } { }[ ) = = [ − ] − [ − ]ν a b r
b a
r
b a
r
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1027
Netrudno ubedyt\sq v tom, çto M ν( ) =∆ ∆t t . Pust\ �ν ν( ) = ( ) −∆ ∆ ∆t t t , tohda
M �ν( )∆t = 0, M �ν2( ) =∆ ∆t t . Takym obrazom, na osy (− ∞ + ∞), zadana ortoho-
nal\naq stoxastyçeskaq mera �ν( )∆t so strukturnoj funkcyej m t t( ) =∆ ∆ .
Dlq nesluçajnoj funkcyy a t( ) takoj, çto
a t s ds
t
2( − ) < + ∞
−∞
∫ ,
çto ravnosyl\no uslovyg (6), opredelen [9, s. 219] yntehral po stoxastyçeskoj
mere �ν( )∆t . Dalee lgbug funkcyg, yntehryruemug s kvadratom, moΩno pry-
blyzyt\ (v metryke prostranstva L c t2(− ), ) prost¥my funkcyqmy, a pry
fyksyrovann¥x – c < 0 < t < + ∞ stoxastyçeskyj yntehral ot prostoj funkcyy
a t s a t s sn k s
k
n
k
( − ) = ( − ) ( )
=
∑ χ∆
1
,
hde ∆sk prynadleΩyt � — polukol\cu mnoΩestv, opredelyt\ sootnoßenyem
ξ ν ν−
− =
( ) = ( − ) ( ) = ( − ) ( )∫c
n
n
c
t
k k
k
t a t s ds a t s s� � ∆
1
nn
∑ .
Obwyj sluçaj poluçaetsq putem predel\noho perexoda pry n → ∞ , pryçem
sohlasno [9, s. 220] stoxastyçeskyj yntehral moΩno opredelyt\ kak funkcyg t
takym obrazom, çtob¥ process ξ− ( )c t b¥l yzmerym. Yntehral
ξ ν( ) = ( − ) ( )
−∞
∫t a t s ds
t
� (7)
pry fyksyrovannom 0 ≤ t < + ∞ opredelqetsq kak predel posledovatel\nosty
ξ− ( )c t pry c → + ∞. V rabote [4] otmeçeno, çto process (7) — stacyonarn¥j v
uzkom sm¥sle centryrovann¥j sluçajn¥j process. Svojstva yntehrala ξ( )t ,
oçevydno, budut takymy Ωe, kak y u yntehrala ξ− ( )c t . Naprymer, xarakterys-
tyçeskaq funkcyq processa ξ− ( )c t budet ymet\ vyd
ϕ ξt cz iz t iza s iza( ) = ( ) = ( ) − − ({ } [ { }−M exp exp exp 1 ss ds
t c
)
]
+
∫
0
, (8)
a xarakterystyçeskaq funkcyq processa ξ( )t
lim M exp exp exp
− →−∞ − ( ) = ( ) = ( ) ={ } [ {
c
c z z iz t iϕ ϕ ξξ zza s iza s ds( ) − − ( )
} ]
+∞
∫ 1
0
.
(9)
Esly dopolnytel\no k (6) v¥polneno uslovye
a s ds dt
t
2
0
1 2
( )
< + ∞
+∞+∞
∫∫
/
, (10)
to (sm. [4, s. 225]) spravedlyvo uslovye
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1028 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
M /
/
{ }( )( ) < + ∞
+∞
∫ ξ τ τ� 0
2 1 2
d
t
,
qvlqgweesq nekotor¥m trebovanyem slaboj zavysymosty processa ξ( )t , t ≥ 0,
dostatoçn¥m dlq toho (sm. [1, s. 221]), çtob¥ b¥lo spravedlyvo razloΩenye
W W ds t V tt s
t
ε ε
ε εσν= = ( ) + ( )∫
0
� �
,
hde �νε( )t — kvadratyçno-yntehryruem¥j martynhal, qvlqgwyjsq processom
so stacyonarn¥my v uzkom sm¥sle pryrawenyqmy, takoj, çto �νε( )t ⇒ W t( ) ,
t ∈ [ ]0, T , ε → 0 , a
�V tε( ) — asymptotyçesky prenebreΩym¥j process, t. e.
sup
0≤ ≤
( )
t T
V t�
ε → 0 pry ε → 0 po veroqtnosty. V dal\nejßem dlq rassmatryvae-
moho sluçaq budet pryveden konkretn¥j vyd funkcyj �νε( )t ,
�V tε( ) , t ∈ [ ]0, T .
V çastnosty, esly v dopolnenye k (6), (10) v¥polneno y uslovye
a s ds( ) < + ∞
+∞
∫
0
, (11)
to
σ ξ ξ2
0 0 0
2 0 2= ( ) ( ) = ( ) ( )
+∞ +∞
∫ ∫ ∫M t dt a s a u duds
s
=
= 2
0 0 0 0
+∞ +∞
∫ ∫ ∫ ∫( ) ( ) = ( )
a u duds a u du a s ds
s s
2
y (sm. [4, s. 225])
σ = ( )
+∞
∫ a s ds
0
.
V dal\nejßem budem predpolahat\, çto σ ≠ 0, tak kak v protyvnom sluçae ne
budet dyffuzyonnoj approksymacyy y postavlennaq vposledstvyy zadaça ne
budet ymet\ sm¥sla.
Pust\
b t a s ds
t
( ) = ( )
+∞
∫ . (12)
Budem predpolahat\, çto v¥polnqgtsq uslovyq
b t dt
t
2( ) < + ∞
+∞
∫ , b s ds dt
t
2
0
1 2
( )
< ∞
+∞+∞
∫∫
/
. (13)
Vvedem [4 – 6] process
V t dt
t
( ) = ( ){ }
+∞
∫ M /ξ τ τ� , t ≥ 0.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1029
Process V t( ) opredelen, esly v¥polnen¥ uslovyq (13). Netrudno ubedyt\sq v
tom, çto pry naloΩenn¥x ohranyçenyqx spravedlyv¥ ravenstva (yspol\zovan
stoxastyçeskyj varyant teorem¥ Fubyny)
V t a s ds dt
t
t
( ) = ( − ) ( )
+
−∞
+∞
∫∫ M / Mτ ν τ� � aa s ds dt
tt
( − ) ( )
∫∫
+∞
τ ν τ
τ
� /� =
=
−∞ −
+∞
−∞
∫ ∫ ∫( ) ( ) = ( − ) ( )
t
t s
t
a d ds b t s dsτ τν ν� � . (14)
Dopolnytel\no k (13) budem predpolahat\, çto funkcyq b s( ) ohranyçena:
b s c( ) ≤ < + ∞ , (15)
tohda v¥raΩenye dlq πksponencyal\noho momenta processa V t( ) budet ymet\
vyd
ϕV z zV t zb s zb s ds( ) = ( ) = ( ) − − ( ){ } [ { } ]M exp exp exp 1
00
+∞
∫
. (16)
Dejstvytel\no, pust\
V t b t s dsc
c
t
−
−
( ) = ( − ) ( )∫ �ν ,
dlq prost¥x funkcyj
b t s b t s sn k s
k
n
k
( − ) = ( − ) ( )
=
∑ χ∆
1
yntehral prynymaet vyd
V t b t s ds b t s sc
n
n
c
t
k k
k
−
− =
( ) = ( − ) ( ) = ( − ) ( )∫ � �ν ν ∆
1
nn
∑ .
V sylu nezavysymosty znaçenyj puassonovskyx velyçyn �ν( )∆sk pry razn¥x k,
ohranyçennosty b t( ) ymeem
M exp M exp{ } { }−
=
( ) = ( − ) ( )∏zV t zb t s sc
n
k k
k
n
�ν ∆
1
=
= exp exp[ ( ) ]( − ) − − ( − )
=
∑ zb t s zb t s sk k k
k
n
1
1
∆
. (17)
Perexodq v (17) k predelu pry n → + ∞ (predel\n¥j perexod vozmoΩen v sylu
ohranyçennosty y kvadratyçnoj yntehryruemosty funkcyy b s( ) ), poluçaem
M exp exp exp{ } [ ( ) ]−
+
( ) = ( ) − − ( )zV t zb s zb s dsc
t c
1
0
∫∫
.
Perejdem v poslednem sootnoßenyy k predelu pry c → + ∞. Predel\n¥j
perexod zakonomeren v sylu uslovyj (13), (15) y neravenstva
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1030 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
e x
x
ex x− − ≤1
2
2
.
Takym obrazom, yntehral¥ suwestvugt y poluçaem (16).
Osnovnoj process
W a
s
s d dst
st
ε
ε
ε ε
ν τ= −
( )
−∞
∫∫
1
0
�
/
v sluçae v¥polnenyq uslovyj (6), (10), (11), (13), (15) v modely (4) predstavym v
vyde [10]
W t V
t
V t V tt
ε
ε ε εσν ε
ε
ε σν= ( ) −
+ ( ) = ( ) + ( )� � �0 . (18)
Zdes\ y dalee
�ν ε ν
ε εε( ) =
−
t
t t
,
ν ν( ) = [ )t t0, — puassonovskyj process, M ,ν( ) =t t pryçem stacyonarn¥j pro-
cess
V t s ds d
t
t
( ) = ( ) ( )
−∞ −
+∞
∫ ∫ α ν τ
τ
�
ymeet nulevoe srednee, a process
�V t V
t
Vε ε
ε
ε( ) = −
+ ( )0
takoj, çto po veroqtnosty sup
0≤ ≤
( )
t T
V t�
ε → 0, ε → 0. Takym obrazom, model\ πvo-
lgcyy cen¥ akcyy
Z t Z t t V tε ε εµ σ σν( ) = ( ) −
− ( ) − ( )
0
2
2
exp � �
(19)
uçyt¥vaet „dyvydendn¥e” skaçky vnyz na velyçynu dyvydenda s nebol\ßoj po-
hreßnost\g
�V tε( ) . Narqdu s (4) ymeet sm¥sl rassmatryvat\ „blyzkug” k (4)
model\
Z t Z t tε εµ σ σν( ) = ( ) −
− ( )
0
2
2
exp � , (20)
kotoraq (sm. [11, s. 51]) budet ymet\ svojstvo bezarbytraΩnosty. Sravnyvaq do-
xodnosty modelej (4) y (20), ubeΩdaemsq v tom, çto
ln ln ln ln
Z t
Z
Z t
Z
Z t Z tε ε
ε ε ε
( )
( )
−
( )
( )
= ( ) − ( ) = −
0 0
�VV
t
ε
,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1031
hde −
ε
ε
�V
t
— stacyonarn¥j process s nulev¥m srednym. Takym obrazom,
vrqd ly pravomerna rekomendacyq ynvestoru vklad¥vat\ ves\ kapytal v akcyy.
∏ty dejstvyq mohut pryvesty k protyvopoloΩnomu rezul\tatu. Dlq modely (4)
ymeet sm¥sl rassmotret\ zadaçu R. Mertona ewe y v sylu toho, çto πta model\
pry dostatoçno mal¥x ε > 0 budet ε-martynhalom [12, s. 766] (sm. lemmu 1,
formulu (21)). Estestvennoj oblast\g voznyknovenyq takyx sluçaev budut [12]
r¥nky s operacyonn¥my zatratamy. SloΩnost\ reßenyq zadaçy R. Mertona v
sluçae modely (4) zaklgçaetsq v tom, çto X tε( ) — process, opys¥vagwyj πvo-
lgcyg kapytala ynvestora, qvlqetsq reßenyem uravnenyq, podverΩennoho slu-
çajn¥m vozmuwenyqm, v kotor¥x soderΩytsq slahaemoe
�V tε( ) (sm. (18)), t. e.
reßenye ne budet markovskym processom y prymenenye v dannom sluçae pryemov
upravlenyq markovskymy systemamy nepravomerno. Odnako budet pokazano, çto
yspol\zovanye dlq upravlenyq processom X tε( ) optymal\n¥x upravlenyj (3)
dast πffekt (v sm¥sle velyçyn¥ funkcyonala kaçestva (2)) ne men\ßyj, çem
nekotoroe znaçenye (naprymer, nekotoraq zadannaq srednqq dyskontyrovannaq
velyçyna potreblenyq za ves\ peryod mynus nekotoraq najdennaq v qvnom vyde
velyçyna ρε , ρε → 0, ε → 0). Esly πtot πffekt nas ustrayvaet, to budem ho-
voryt\, çto upravlenyq (3) ε-dostatoçn¥ dlq upravlenyq processom X tε( ) .
2. Osnovnoj rezul\tat. PredpoloΩym, çto povedenye cen¥ akcyy opys¥-
vaetsq processom Z tε( ) , 0 ≤ t ≤ T. Pust\ vspomohatel\n¥j process Z tε( ) za-
dan sootnoßenyem (20).
Lemma 1. Pust\ v¥polnen¥ uslovyq (6), (10), (11), (13), (15), m ≥ 2 — neko-
toroe fyksyrovannoe celoe çyslo. Tohda esly koneçn¥ yntehral¥
a s ds
r( ) < + ∞
+∞
∫
0
, b s ds
r( ) < + ∞
+∞
∫
0
, r = 1, … , 2m,
to ymeet mesto ocenka
sup M exp
0
1
4 1
2
0
2≤ ≤
−
( + )( ) − ( ) ≤ ( ) +
t T
m
mZ t Z t Zε ε ε µ σ
( )T C T m1 , , ε , (21)
hde
C T m T e
m
m
1
2 2
1
4 1( ) = { }
−
( + ), , exp expε σ εσ ε
+
+ exp exp
ε ε
4
2 12
0
c b s ds{ } ( )
+
(
+∞
∫ 22 1 22 2 1 4m T D m+ ( + ) ( ))
/
, (22)
D m T C C Cm
m
V
m
m m
m( ) = ( + ) ( + + )−2 1 3 42 1
2 2
2
2
ξ νσ �
, postoqnn¥e
�C m2
ξ
, C m2
�ν
, C m
V
2
takov¥, çto M ξ ξ2
2
m
mt C( ) = < + ∞�
, M V t Cm
m
V2
2( ) = , M � � �ν ν2
21m
mC( ) = < + ∞ .
Dokazatel\stvo. Poskol\ku
M exp M exp{ }− ( ) = − +
2
2
2σν σ
ε
σ εν
εε� t
t t
=
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1032 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
= exp exp
!
/
−
{ }
=
+∞ −
∑2
2
0
σ
ε
σ ε
ε
εt
k
e
k
t
k
t
k
=
= exp exp exp− −
= −2 2 2σ
ε ε ε ε
σ ε σ εt t t
e
t
e 22 1σ ε −
≤
≤ exp 2 2 2T eσ σ ε{ } , (23)
to netrudno zametyt\, çto s uçetom predstavlenyj (18) spravedlyvo
sup M
0≤ ≤
( ) − ( )
t T
Z t Z tε ε =
= Z t
s
ds
t T
( ) −
+
≤ ≤
0
2
1
0
2
0
sup M exp µ σ
ε
ξ
ε
tt
t t∫
− −
+ ( )
exp µ σ σνε
2
2
� ≤
≤ Z t t
t T
( ) −
+ ( )
≤ ≤
0 2
2
2
0
2
sup M exp µ σ σνε�
( ) −
≤ ≤
{ }
1 2
0
1
1
/ /
sup M exp
t T
V t�
ε
22
≤
≤ Z T T e( ) − +
( ( )) −( )0
2
1
2
2 2 1 2exp exp /µ σ σ δ εσ ε
+
+ sup M exp exp
0
0 1
≤ ≤
−
( ){ } +
t T
V
t
Vε
ε
ε
1 4/
×
× P sup/1 4
0
0
≤ ≤
+ ( )
> ( )
t T
V
t
Vε
ε
ε δ ε
≤
≤ Z T T e( ) − +
( ( )) −( )0
2
1
2
2 2 1 2exp exp /µ σ σ δ εσ ε
+
+ sup M exp M exp
/
0
1 2
2
≤ ≤
−
t T
V
tε
ε
22 0 1
1 2
1 4
εV( ){ }
+
/
/
×
× P sup/1 4
0
0
≤ ≤
+ ( )
> ( )
t T
V
t
Vε
ε
ε δ ε
≤
≤ Z T T e( ) − +
( ) ( )
0
2 2
2
2 2exp expµ σ σ δ ε δ εσ ε
+
+ sup M exp M exp
/
0
1 8
2
≤ ≤
−
t T
V
tε
ε
22 0 1
1 8
εV( ){ }
+
/
×
× P sup/1 4
0
0
≤ ≤
+ ( )
> ( )
t T
V
t
Vε
ε
ε δ ε
. (24)
Dalee, tak kak v sylu (17) ymegt mesto ocenky
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1033
M exp exp exp−
= − ( ){ } − +2 2 1 2ε
ε
ε εV
t
b s bb s ds( )
+∞
∫
0
≤
≤ exp exp exp2 2 22
0
ε ε εb s b s ds( ) ( ){ }
≤
+∞
∫ eexp 2 2
0
εc b s ds{ } ( )
+∞
∫ ,
(25)
M exp exp exp{ }− ( ) ≤ { } ( )
+∞
∫2 0 2 2 2
0
ε ε εV c b s ds
,
to yz (24) s uçetom (25) ymeem
sup M exp
0
2
2 20
2≤ ≤
( ) − ( ) ≤ ( ) − +
t T
Z t Z t Z T T eε ε
σ εµ σ σ
×
× δ ε δ ε ε ε( ) ( )
+ {
≤ ≤
exp sup exp exp
2 4
2
0 t T
c }} ( )
+
+∞
∫ b s ds2
0
1 ×
× P sup/1 4
0
0
≤ ≤
+ ( )
> ( )
t T
V
t
Vε
ε
ε δ ε
. (26)
V rabote [10] dokazana ocenka
M sup
0
2 2 1
2 2
21 3 4
≤ ≤
−( ) ≤ ( + ) ( + +
t T
m m
m
V
m
m mV t T C C Cξ σ 22 2m D m�ν ) = ( ) . (27)
Yz (27) sleduet ocenka
M sup
/
ε ε
ε
m
t T
m mV t T D m
0
2 1 1 2
≤ ≤
−( ) ≤ ( + ) ( ) . (28)
Poskol\ku v sylu (28) ymeem
P sup
0
0
≤ ≤
+ ( )
> ( )
t T
V
t
Vε
ε
ε δ ε
≤
≤ P sup P
0 2
0
≤ ≤
> ( )
+ ( ) > ( )
t T
V
t
Vε
ε
δ ε ε δ ε
22
≤
≤
2 1 22 1 1
2
m m
m
T D m+ − ( + ) ( )
( )[ ]
ε
δ ε
, (29)
podstavlqq (29) v (26), poluçaem ocenku
sup M
0≤ ≤
( ) − ( )
t T
Z t Z tε ε ≤
≤ Z T T e( ) − +
( ) ( )
0
2 2
2
2 2exp expµ σ σ δ ε δ εσ ε
+
+ sup exp exp
0
2
0
4
2
≤ ≤
+∞
{ } ( )
+∫
t T
c b s ds
ε ε 11
2 1 22 2 1
2
1
( + ) ( )
( )
+ −
( )
m m
m
T D mε
δ ε
/44
. (30)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1034 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
V¥byraq δ ε ε( ) =
−
( + )
m
m
1
2 1
, yz (30) ymeem
sup M
0≤ ≤
( ) − ( )
t T
Z t Z tε ε ≤
≤ ε µ σ σ εσ ε
m
m
m
Z T T e
−
( + )
−
( ) − +
1
4 1
2
2 20
2
exp exp
11
4 1( + )
m +
+ sup exp exp
0
2
0
4
2
≤ ≤
+∞
{ } ( )
+∫
t T
c b s ds
ε ε 11 2 1 22 2 1 4
( + ) ( )
( )+m T D m /
. (31)
Lemma 1 dokazana.
Pust\ ν( )t — puassonovskyj process, M ν( ) =t t , �ν ν( ) = ( ) −t t t , W tε( ) —
semejstvo standartn¥x vynerovskyx processov. Yz [13] sleduet: W tε( ) moΩno
postroyt\ na odnom veroqtnostnom prostranstve s εν
ε
� t
tak, çtob¥ v¥pol-
nqlas\ ocenka
P sup
0
3
≤ ≤
−
> ( )
≤ (
t T
t
W
tεν
ε
ε
ε
εδ ε γ� εε) , (32)
hde
γ ε δ ε
ε ε
δ( ) = − ( )
+
+ −{exp exp
1
64
1
1
8
9
2
(( ) + }ε e2
, (33)
pryçem δ ε( ) moΩno v¥brat\ tak, çtob¥ δ ε( ) → + ∞ , εδ ε( ) → 0 ,
1
ε
δ εexp{ }− ( ) → 0 pry ε → 0. Ocenka (32) budet yspol\zovana pry dokazatel\-
stve sledugweho utverΩdenyq.
Lemma 2. Pust\ m ≥ 2, tohda spravedlyva ocenka
sup M , ,
0
1
4 1
2
≤ ≤
−
( + )( ) − ( ) ≤ ( ) +
t T
m
mZ t Z t C T m Cε ε ε ε�
33( ) ( )T m m, , ,ε γ ε , (34)
hde
C T m Z
m
m
2
1
4 13 0 3( ) = ( )
−
( + ), , exp expε ε µ −− +
σ σ
2
2
2
T T ,
C T m Z T T3
2
20
2
2( ) = ( ) −
{ } +, , exp expε µ σ σ eexp T eσ σ ε2 2{ } ,
(35)
γ ε ε
ε
( ) = −
+
+
( + )m
m
m, exp
1
64
1
1
8
3
4 1
+ − +
− +
( + )9
2
3
4 1 2
ε
εexp
m
m e ,
�Z t Z t W
t
ε µ σ σ ε
ε
( ) = ( ) −
+
0
2
2
exp
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1035
Dokazatel\stvo. Ymeem
sup M exp exp
0
2
2≤ ≤
−
+ ( )
−
t T
t tµ σ σν µε� −−
+
σ σ ε
ε
2
2
t W
t
≤
≤ exp sup M exp expµ σ σν σε−
( ) −
≤ ≤
{ }
2
02
T t
t T
� εε
ε
W
t
×
× χ ν ε
ε
εδ εεsup
0
3
≤ ≤
( ) −
≤ ( )
t T
t W
t� +
+ exp sup M exp expµ σ σν σε−
( ) −
≤ ≤
{ }
2
02
T t
t T
� εε
ε
W
t
×
× χ ν ε
ε
εδ εεsup
0
3
≤ ≤
( ) −
> ( )
t T
t W
t� ≤
≤ exp exp
/
µ σ σ εδ ε− +
( ){ } − ( )2
2 2 1
2
3 1T T
22 2
2
+ −
exp µ σ
T ×
× 2 2 2
0 0
sup M exp sup exp
≤ ≤ ≤ ≤
{ }( ) +
t T t T
t W
tσν σ ε
εε�
1 2/
×
× P sup/1 2
0
3
≤ ≤
( ) −
> ( )
t T
t W
t�ν ε
ε
εδ εε ≤
≤ 3 3
2
2
2εδ ε εδ ε µ σ σ( ) ( ) − +
{ }exp exp T T +
+ exp exp expµ σ σ σ σ ε−
{ } + { }
2
2 2 2
2
2T T T e
( )γ ε .
Polahaq δ ε ε( ) =
− +
( + )
m
m
3
4 1
, yz posledneho poluçaem (34).
Lemma 2 dokazana.
Obæedynqq ocenky (21) y (34), poluçaem
sup M
0≤ ≤
( ) − ( )
t T
Z t Z tε ε
� ≤
≤ ε ε ε
m
m Z C T m C T m C T m
−
( + ) ( ) ( ) + ( ) + ([ ]
1
4 1
1 2 30 , , , , , , εε γ ε) ( )m, , (36)
hde C T m1( ), , ε , C T m2( ), , ε , C T m3( ), , ε y γ ε( )m, pryveden¥ v (22) y (35). Ta-
kym obrazom, process Z tε( ) budet [12] ε-martynhalom.
Pust\ na moment vremeny t u ynvestora ymeetsq kapytal X tε( ) . Dolg
( − ) ( )1 u X tε , 0 ≤ u ≤ 1, on poloΩyt na bankovskyj sçet pod procentnug stavku
r > 0, na ostavßugsq summu uX tε( ) kupyt akcyy po cene Z tε( ) za kaΩdug.
Takyx akcyj on smoΩet kupyt\ uX t Z tε ε( ) ( )/ ßtuk (sçytaem, çto vozmoΩna po-
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1036 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
kupka y çasty akcyy). Netrudno zametyt\, çto cena akcyy na moment vremeny
t + ∆ t s toçnost\g do beskoneçno mal¥x v¥sßeho porqdka takova:
Z t t Z t Z t t
t
ε ε ε µ σ
ε
ξ
ε
( + ) = ( ) + ( ) −
+
∆ ∆
2
2
1
∆t ;
na bankovskom sçete k momentu vremeny t + ∆ t nakopytsq summa ( − ) ( )1 u X tε ×
× ( + )1 r t∆ , potreblenye za promeΩutok ot t do t + ∆ t sostavyt velyçynu
u t X t t1( )( ), ε ∆ .
S uçetom yzloΩennoho sostavym balansovoe uravnenye. S toçnost\g do bes-
koneçno mal¥x v¥sßeho porqdka ymeem ravenstvo
X t t u X t r tε ε( + ) = ( − ) ( )( + )∆ ∆1 1 +
+ uX t t
t
tε µ σ
ε
ξ
ε
( ) + −
+
1
2
12
∆ ∆ −− ( )( )u t X t t1 , ε ∆ . (37)
Perexodq v (37) k predelu pry ∆ t → 0, poluçaem balansovoe uravnenye
dX t u X t rdtε ε( ) = ( − ) ( )1 +
+ uX t
t
dt u t X tε εµ σ
ε
ξ
ε
( ) − +
− ((
2
12
1
, ))) dt , X Xε( ) = ( )0 0 . (38)
Narqdu s (38) rassmotrym uravnenye
dX t u X t r dt uX t dt uX t dW tε ε ε ε
εµ σ( ) = ( − ) ( ) + ( ) + ( ) (1 )) − ( )( )u t X t dt1 , ε
,
(39)
X Xε( ) = ( )0 0 ,
hde W t W
t
ε ε
ε
( ) =
— nekotor¥j standartn¥j vynerovskyj process, kotoroe
qvlqetsq balansov¥m uravnenyem zadaçy R. Mertona v sluçae modely P. Samu-
πl\sona.
Rassmotrym zadaçu R. Mertona dlq sluçaq (38). V kaçestve funkcyonala
stoymosty opqt\ yspol\zuem yntehral\noe summarnoe potreblenye
V X u u e u s X s dss u
T
( ) [ ]( ) = ( ( ))−∫0 0 1 1
0
, , , M ,ρ
ε
γ
. (40)
Podstavlqq v (38) vmesto u y u t x1( ), upravlenyq u y u t x1( ), yz (3), dlq
opysanyq πvolgcyy kapytala poluçaem lynejnoe uravnenye
dX t u X t r dt uX t dtε ε ε µ σ( ) = ( − ) ( ) + ( ) −
1
2
2
+
+ uX t
t
dt e g t X t dtt
ε
ρ γ
εε
ξ
ε
( )
− ( ) ( )[ ] ( − )1 1 1/ , X Xε( ) = ( )0 0 . (41)
Reßaq (41), ymeem
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1037
X tε( ) =
= X u r u t e g ss( ) ( − ) + −
− ([0 1
2
2
exp µ σ ρ )) +
] ( − )∫ ∫1 1
0 0
1/ γ
ε
ξ
ε
ds u
s
ds
t t
.
(42)
Zapyßem (42) v neskol\ko ynom vyde, tak kak v (42) yntehral
[ ]( ) ( − )∫ e g s dss
T
ρ γ1 1
0
/ = + ∞,
otkuda sleduet X Tε( ) = 0, çto sootvetstvuet dejstvytel\nosty, no ne oçen\
udobno dlq dal\nejßyx v¥kladok. Pust\ k =
ρ γν
γ
−
−1
, tohda
[ ]( ) = ( − ) =( − ) − ( − ) −∫ ∫e g s ds k e dss
t
k T s
t
ρ γ1 1
0
1
0
1/ ddt
e
e
kT
k T t
τ τ( − )−
− ( − )
∫ 1
=
=
d d
kt
e
e
e
e
kT
k T t
kT
k T t
τ
τ
τ
τ−
− ( − )
−
− ( − )
∫ ∫+
−
= − −
1
1
ln
ee
e
k T t
kT
− ( − )
−−1
. (43)
Podstavlqq (43) v (42), poluçaem
X tε( ) =
= X u r u t kt( ) ( − ) + −
−
0 1
2
2
exp µ σ
−
−
− ( − )
− ∫
1
1
1
0
e
e
u
s
ds
k T t
kT
t
exp
ε
ξ
ε
.
Netrudno zametyt\, çto reßenye zadaçy (39) pry upravlenyqx (3) takΩe moΩno
zapysat\ v vyde [14]
X t X u r u t kε µ σ( ) = ( ) ( − ) + −
−0 1
2
2
exp tt
e
e
u W t
k T t
kT
−
−
( )
− ( − )
−
{ }1
1
exp σ ω ,
a znaçenye funkcyonala stoymosty na traektoryqx (39) pry optymal\nom up-
ravlenyy (3) ravno
e X s ds V X Xs
T
− [ ] ( )( ) = ( ) = ( ) −
−
−∫ ρ ε γ γ γ
ρ νγ
M ,
0
0 0 0
1
1 ee
T− ( − )
−
−
ρ νγ
γ
γ
1
1
.
Teorema. Pust\ m ≥ 2 — nekotoroe fyksyrovannoe celoe çyslo. Esly dlq
upravlenyq systemoj (38) ynvestor vospol\zuetsq optymal\n¥my upravlenyq-
my (3), to budet v¥polnqt\sq neravenstvo
M ,e u s X s ds X es
T
−
− (
[ ( )]( ) ≥ ( ) −
−
−∫ ρ
ε
γ γ
ρ
γ
ρ νγ1
0
0
1
1
−− )
−
−
νγ
γ
γT
1
1
–
– ε ε ε
m
m C T C T m C T m C T C
−
( + ) ( ) ( ) + ( ) − ( ) ([ ]
1
4 1
1 2 3, , , , TT m m, , ,ε γ ε) ( ) , (44)
hde u s x1( ), yz (3), a
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
1038 B. V. BONDAREV, S. M. KOZÁR|
C T
X k
e
u r u
kT
( ) = ( )
−
( − ) + −
−
0
1
1
2
2γ
γ µ σ γγ ρ γ− −
−
k
1
×
× exp ( − ) + −
− −
−
1
2
1
2
u r u k Tγ µ σ γ ρ γ
,
k =
ρ νγ
γ
−
−1
, ν =
( − )
( − )
+µ
σ γ
r
r
2
22 1
, m ≥ 2.
Dokazatel\stvo. Ymeem
e u s X s ds e u s X ss
T
s− −[ ( )] [ ( )]( ) − ( )∫ ρ γ ρ
ε
γM , M ,1
0
1 dds
T
0
∫ ≤
≤ k e e X s X s dss k T s
T
γ ρ γ γ
ε
γ− − ( − ) −( − ) ( ) − ( )[ ] [ ]∫ 1
0
M , (45)
M [ ] [ ]( ) − ( )X s X sγ
ε
γ ≤
≤ X u r u s kγ µ σ γ γ( ) ( − ) + −
−
0 1
2
2
exp
−
−
− ( − )
−
1
1
e
e
k T s
kT
γ
×
× sup M exp exp
0 0
1
≤ ≤
{ }( ) −
s T
s
u W s u dγ σ γ
ε
ξ τ
ε
τε ∫∫
. (46)
Dalee, analohyçno (36) (uçyt¥vaq, çto γu ≤ 1 ) poluçaem ocenku
M exp M exp{ }( ) −
∫γ σ γ
ε
ξ τ
ε
τεu W s u d
s
1
0
≤
≤ ε ε ε ε γ
m
m C T m C T m C T m
−
( + )[ ]( ) + ( ) + ( ) (
1
4 1
1 2 3, , , , , , mm, ε) . (47)
Podstavlqq (47) v (46), a zatem poluçennoe neravenstvo v (45), naxodym ocenku
(44).
Teorema dokazana.
Sledstvye. Esly v kaçestve ryskovoho aktyva ynvestor yspol\zuet akcyg
s v¥platamy dyvydendov v puassonovskye moment¥ vremeny, t. e. model\ (20), a
dlq upravlenyq — upravlenyq (3), to v¥polnqetsq neravenstvo
M ,e u s X s ds X es
T
−
− (
[ ]( ( )) ≥ ( ) −
−
−∫ ρ
ε
γ γ
ρ
γ
ρ νγ1
0
0
1
1
−− )
−
−
νγ
γ
γT
1
1
–
– ε ε ε γ ε
m
m C T C T m C T C T m m
−
( + ) ( ) ( ) − ( ) ( ) ( )
1
2 1
2 3, , , , , .
3. V¥vod¥. Dopustym, çto postavlena zadaça: dlq zadannoho funkcyonala
stoymosty najty optymal\noe upravlenye nekotoroj determynyrovannoj syste-
moj, kotoraq naxodytsq pod vozdejstvyem semejstva sluçajn¥x vozmuwenyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
OB ε-DOSTATOÇNOM UPRAVLENYY V ODNOJ ZADAÇE R. MERTONA … 1039
dostatoçno sloΩnoj struktur¥, zavysqweho ot çyslovoho parametra ε > 0.
PredpoloΩym, çto yntehral ot πtyx vozmuwenyj pry stremlenyy parametra k
nulg sxodytsq v tom yly ynom sm¥sle k vynerovskomu processu. Pry nekoto-
r¥x uslovyqx moΩno pokazat\, çto poluçennoe putem takoho predel\noho pere-
xoda uravnenye, opys¥vagwee dynamyku upravlqemoho processa, budet dyffu-
zyonn¥m uravnenyem Yto, dlq kotoroho naxoΩdenye optymal\n¥x upravlenyj y
cen¥ upravlenyq — zadaça znaçytel\no bolee reßaemaq, neΩely takaq Ωe
zadaça dlq ysxodnoj system¥. Yspol\zuq optymal\n¥e upravlenyq, rassçytan-
n¥e dlq predel\noj system¥, pry upravlenyy ysxodnoj systemoj, moΩno poka-
zat\, çto πffekt (v sm¥sle velyçyn¥ funkcyonala kaçestva) ot takoho uprav-
lenyq budet ne men\ße, çem nekotoraq v qvnom vyde zapysannaq velyçyna, zavy-
sqwaq ot parametra ε > 0 takym obrazom, çto pry umen\ßenyy parametra ona
vozrastaet y v predele prevrawaetsq v cenu ot upravlenyq predel\noj syste-
moj. Esly velyçyna takoho πffekta nas ustrayvaet, to budem hovoryt\, çto ys-
pol\zovann¥e upravlenyq dlq ysxodnoj system¥ ε-dostatoçn¥. Sm¥sl yzlo-
Ωennoho v sledugwem: predloΩen metod naxoΩdenyq upravlenyj dostatoçno
sloΩn¥my systemamy y rasçeta πffekta ot takyx upravlenyj. Prymenqem¥e
upravlenyq ne qvlqgtsq optymal\n¥my dlq ysxodnoj system¥, odnako πf-
fekt ot takyx upravlenyj, v sm¥sle vzqtoho funkcyonala kaçestva, moΩet nas
vpolne udovletvoryt\. Kak predstavlqetsq avtoram, takoj podxod k upravle-
nyg stoxastyçeskymy systemamy zasluΩyvaet vnymanyq yssledovatelej, v oso-
bennosty zanymagwyxsq prykladn¥my voprosamy.
1. Samuelson P. A. Rational theory of warrant pricing // Industr. Manag. Rev. – 1965. – # 6. – P. 13
– 31.
2. Leonenko M. M., Mißura G. S., Parxomenko V. M., Qdrenko M. J. Teoretyko-jmovirnisni ta
statystyçni metody v ekonometryci ta finansovij matematyci. – Ky]v: Informtexnika, 1995.
– 380 s.
3. Merton R. C. Optimum consumption and portfolio rules in continuous time model // J. Econ.
Theory. – 1971. – # 3. – P. 373 – 413.
4. Lypcer R. Í., Íyrqev A. N. Martynhal¥ y predel\n¥e teorem¥ dlq sluçajn¥x processov
// Ytohy nauky y texnyky. Sovr. probl. matematyky. Fundam. napravlenyq / VYNYTY. –
1989. – 45. – S. 159 – 251.
5. Çykyn D. O. Funkcyonal\naq predel\naq teorema dlq stacyonarn¥x processov: martyn-
hal\n¥j podxod // Teoryq veroqtnostej y ee prymenenyq. – 1989. – 14, # 4. – S. 731 – 741.
6. Ûakod Û., Íyrqev A. N. Predel\n¥e teorem¥ dlq sluçajn¥x processov. – Per. s anhl. –
M.: Fyzmatlyt, 1994. – T. 2. – 368 s.
7. Skoroxod A. V. Asymptotyçeskye metod¥ teoryy stoxastyçeskyx dyfferencyal\n¥x
uravnenyj. – Kyev: Nauk. dumka, 1987. – 328 s.
8. Skoroxod A. V. Elementy teori] jmovirnostej ta vypadkovyx procesiv. – Ky]v: Vywa ßk.,
1975. – 296 s.
9. Korolgk V. S., Portenko N. Y., Skoroxod A. V., Turbyn A. F. Spravoçnyk po teoryy veroqt-
nostej y matematyçeskoj statystyke. – Kyev: Nauk. dumka, 1978. – 582 s.
10. Bondarev B. V., Koz¥r\ S. M. Ob ocenke skorosty sblyΩenyq reßenyq ob¥knovennoho dyf-
ferencyal\noho uravnenyq, vozmuwennoho fyzyçeskym bel¥m ßumom, y reßenyq sootvet-
stvugweho uravnenyq Yto. I // Prykl. statystyka. Aktuarna ta finansova matematyka. –
2006. – # 2. – S. 63 – 91.
11. Mel\nykov A. V., Volkov S. N., Neçaev M. L. Matematyka fynansov¥x obqzatel\stv. – M.:
HUVÍ∏, 2001. – 260 s.
12. Hnedenko B. D. Ob odnom rasßyrenyy ponqtyq martynhala // Teoryq veroqtnostej y ee pry-
menenyq. – 2005. – 50, # 34. – S. 763 – 767.
13. Bondarev B. V., Íurko Y. L. Dyffuzyonnaq approksymacyq po veroqtnosty sluçajn¥x
processov s nezavysym¥my pryrawenyqmy // Dokl. AN USSR. Ser. A. Fyz.-mat. y texn. nau-
ky. – 1988. – # 9. – S. 3 – 4.
14. Hyxman Y. Y., Skoroxod A. V. Stoxastyçeskye dyfferencyal\n¥e uravnenyq y yx prylo-
Ωenyq. – Kyev: Nauk. dumka, 1968. – 324 s.
Poluçeno 07.02.08,
posle dorabotky — 07.04.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 8
|
| id | umjimathkievua-article-3078 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:49Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/80/a34a2aaea487b17b2bf079b8ef9f8a80.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30782020-03-18T19:44:57Z On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise Об ε-достаточном управлении в одной задаче Р. Мертона с „физическим" белым шумом Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. We consider the Merton problem of finding the strategies of investment and consumption in the case where the evolution of risk assets is described by the exponential model and the role of the main process is played by the integral of a certain stationary “physical” white noise generated by the centered Poisson process. It is shown that the optimal controls computed for the limiting case are ε-sufficient controls for the original system. Розглянуто задачу P. Мертона про знаходження стратегій інвестування i споживання у випадку, коли еволюція ризикового активу описується експоненціальною моделлю і основним процесом є інтеграл від деякого стаціонарного „фізичного" білого шуму, породженого центрованим процесом Пуассона. Показано, що оптимальні управління, розраховані для граничного випадку, будуть ε-достатніми управліннями для вихідної системи. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3078 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 8 (2009); 1025-1039 Український математичний журнал; Том 61 № 8 (2009); 1025-1039 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3078/2905 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3078/2906 Copyright (c) 2009 Bondarev B. V.; Kozyr' S. M. |
| spellingShingle | Bondarev, B. V. Kozyr', S. M. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. Бондарев, Б. В. Козырь, С. М. On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| title | On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| title_alt | Об ε-достаточном управлении в одной задаче Р. Мертона
с „физическим" белым шумом |
| title_full | On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| title_fullStr | On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| title_full_unstemmed | On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| title_short | On the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| title_sort | on the ε-sufficient control in one merton problem with “physical” white noise |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3078 |
| work_keys_str_mv | AT bondarevbv ontheesufficientcontrolinonemertonproblemwithphysicalwhitenoise AT kozyr039sm ontheesufficientcontrolinonemertonproblemwithphysicalwhitenoise AT bondarevbv ontheesufficientcontrolinonemertonproblemwithphysicalwhitenoise AT kozyrʹsm ontheesufficientcontrolinonemertonproblemwithphysicalwhitenoise AT bondarevbv ontheesufficientcontrolinonemertonproblemwithphysicalwhitenoise AT kozyrʹsm ontheesufficientcontrolinonemertonproblemwithphysicalwhitenoise AT bondarevbv obedostatočnomupravleniivodnojzadačermertonasfizičeskimquotbelymšumom AT kozyr039sm obedostatočnomupravleniivodnojzadačermertonasfizičeskimquotbelymšumom AT bondarevbv obedostatočnomupravleniivodnojzadačermertonasfizičeskimquotbelymšumom AT kozyrʹsm obedostatočnomupravleniivodnojzadačermertonasfizičeskimquotbelymšumom AT bondarevbv obedostatočnomupravleniivodnojzadačermertonasfizičeskimquotbelymšumom AT kozyrʹsm obedostatočnomupravleniivodnojzadačermertonasfizičeskimquotbelymšumom |