Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations
We study the problem of optimal control with impulsive component for systems described by abstract Sobolev-type differential equations with unbounded operator coefficients in Hilbert spaces. The operator coefficient of the time derivative may be noninvertible. The main assumption is a restriction im...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3080 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509110382886912 |
|---|---|
| author | Vlasenko, L. A. Samoilenko, A. M. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. |
| author_facet | Vlasenko, L. A. Samoilenko, A. M. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. |
| author_sort | Vlasenko, L. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:44:57Z |
| description | We study the problem of optimal control with impulsive component for systems described by abstract Sobolev-type differential equations with unbounded operator coefficients in Hilbert spaces. The operator coefficient of the time derivative may be noninvertible. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent of the characteristic operator pencil in a certain right half plane. Applications to Sobolevtype partial differential equations are discussed. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:35:53Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.977
Л. А. Власенко (Харьков. нац. ун-т),
А. М. Самойленко (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ,
ОПИСЫВАЕМЫМИ НЕЯВНЫМИ ПАРАБОЛИЧЕСКИМИ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНЫМИ УРАВНЕНИЯМИ
We study the problem of optimal control with pulsed component for systems governed by abstract Sobolev-
type differential equations with unbounded operator coefficients in Hilbert spaces. An operator multiplying
the time derivative can be noninvertible. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent of the
characteristic operator pencil in a certain right half plane. The applications to Sobolev-type partial differential
equations are discussed.
Вивчається задача оптимального керування з iмпульсною складовою системами, що описуються аб-
страктними диференцiальними рiвняннями типу Соболєва з необмеженими операторними коефiцiєн-
тами у гiльбертових просторах. Оператор при похiднiй за часом може бути необоротним. Основне
припущення полягає в обмеженнi резольвенти характеристичного операторного жмутка у деякiй пра-
вiй пiвплощинi. Наведено застосування до диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними типу
Соболєва.
1. Введение. Теория оптимального управления в бесконечномерных пространст-
вах (см., например, [1 – 3] и приведенную в них библиографию) развивается уже
несколько десятилетий и позволяет изучать системы управления с распределен-
ными параметрами, которые описываются дифференциальными уравнениями в
частных производных (см. модели в [4]). В общем случае уравнения в частных
производных являются не разрешенными относительно старшей производной по
времени — уравнениями не типа Ковалевской или уравнениями типа Соболева
[5, 6]. Абстрактной формой этих уравнений являются неявные дифференциально-
операторные уравнения, не разрешенные относительно старшей производной. Мы
изучаем задачу оптимального импульсного управления для системы, эволюцию
которой описывает дифференциально-операторное уравнение
d
dt
[Ay(t)]+By(t) = f(t)+K1u1(t)+K2u2, u2 =
N∑
k=1
zkδ(t−τk), t0 ≤ t ≤ T.
(1)
Здесь A, B — замкнутые линейные операторы, действующие из комплексного гиль-
бертова пространства Y в комплексное гильбертово пространство X, с областями
определения DA, DB соответственно, D = DA ∩DB 6= {0}; K1, K2 — ограничен-
ные линейные операторы, действующие соответственно из комплексных гильбер-
товых пространств U1, U2 в пространство X; f(t) — вектор-функция со значениями
в X; δ(t) — дельта-функция Дирака. Управление системой (1) осуществляется с по-
мощью „обычного” управления u1(t), которое принимает значения в U1, и чисто
импульсного управления u2, для которого веса или интенсивности zk принадлежат
U2, а моменты приложения импульсов τk принимают значения из отрезка [t0, T ].
Оператор K2 действует на веса zk так, что K2u2 =
∑N
k=1
K2zkδ(t − τk). Равен-
ство и операции в (1) понимаются в смысле теории распределений или обобщенных
функций со значениями в гильбертовом пространстве (см., например, [7], гл. 1).
c© Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1053
1054 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО
В общем случае уравнение (1) является неявным, а если оператор A имеет
нетривиальное ядро, то уравнение (1) и оператор A называются вырожденными.
Если X = Y и A = E — единичный оператор, то уравнение (1) является явным и
принимает вид
y′(t) + By(t) = f(t) + K1u1(t) + K2u2. (2)
Задачи оптимального импульсного управления для явных дифференциальных урав-
нений (2) с матричными коэффициентами исследовались в [8] (гл. 6), для уравне-
ний в частных производных с чисто импульсным управлением — в [9]. Неявные и
вырожденные уравнения (1) с чисто импульсным управлением при иных ограни-
чениях на операторы A,B, чем в данной статье, исследовались в [10]. Системы,
описываемые вырожденными конечномерными уравнениями с обычным управле-
нием, т. е. при отсутствии импульсной составляющей, когда K2 = 0, называют
дескрипторными [11].
Будем использовать следующую систему обозначений: L(X, Y ) — пространст-
во ограниченных линейных операторов из X в Y, L(X) = L(X, X); L2(a, b;Y ) —
пространство интегрируемых по Бохнеру с квадратом на [a, b] Y -значных функций,
HY = L2(t0, T ;Y ); Cp(I, Y ) — класс Y -значных функций, p раз непрерывно диф-
ференцируемых на I ⊂ R, C(I, Y ) = C0(I, Y ); W 1
2 (a, b;Y ) — пространство функ-
ций из L2(a, b;Y ), обобщенные производные которых принадлежат L2(a, b;Y );
KerA — ядро оператора A; Im A — образ оператора A; Lin{a, b, . . .} — линейная
оболочка векторов a, b, . . . ; A∗ — сопряженный оператор к оператору A; 〈·, ·〉Y —
скалярное произведение в пространстве Y. Функции из W 1
2 (a, b;Y ) будем считать
непрерывными на [a, b], т. е. принадлежащими C
(
[a, b], Y
)
, изменив их, если это
необходимо, на множестве меры нуль.
Уравнению (1) соответствует пучок операторов λA + B, определенный на D.
Мы предполагаем, что пучок λA + B имеет резольвенту (λA + B)−1 ∈ L(X, Y ) в
некоторой правой полуплоскости Re λ ≥ C1 и оператор-функция A(λA + B)−1 ∈
∈ L(X) удовлетворяет оценке
∥∥A(λA + B)−1
∥∥ ≤ C2
1 + |λ|
, Re λ ≥ C1, (3)
с константой C2 > 0. В этом случае пучок λA + B и уравнение (1) будем называть
параболическими (по аналогии с явными уравнениями [12], гл. 1, § 3).
Согласно определению в [13, с. 299], оператор-функция A(λA + B)−1 явля-
ется псевдорезольвентой. Оценка (3) позволяет применить эргодические теоремы
Хилле для псевдорезольвент [13, c. 299 – 303] и получить следующие утверждения
(подробное изложение см. в [14], п. 4.3.2). Имеют место прямые разложения
X = X1+̇X2, X1 = AD, X2 = B(KerA ∩D),
D = DA ∩DB = D1+̇D2, D1 = (λA + B)−1X1, D2 = KerA ∩D.
(4)
Пусть Q1, Q2 — ограниченные взаимно дополнительные проекторы в X на X1,
X2 соответственно, P1, P2 — взаимно дополнительные проекторы в D на D1, D2
соответственно. Оператор
G = A + BP2 = A + Q2B, DG = D
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ ... 1055
переводит Dk в Xk, k = 1, 2, и имеет обратный оператор G−1, определенный на
AD+̇X2, причем G−1Q2 ∈ L(X, Y ). Оператор
W = −Q1BG−1, DW = AD+̇X2
является генератором аналитической полугруппы St на X. Через DG, DW обо-
значим области определения операторов G, W соответственно. Для полугруппы
St можно записать представление с помощью интеграла от псевдорезольвенты
A(λA+B)−1, если учесть, что оценка типа (3) выполнена в более широкой облас-
ти Σ:∥∥A(λA + B)−1
∥∥ ≤ C ′
2
1 + |λ|
, λ ∈ Σ =
{
λ ∈ C : Re λ ≥ C1 − β
1 + | Im λ|
C2
}
,
C ′
2 =
C2
1− β
(
1 +
β
C2
)
, 0 < β < 1.
Пусть Γ — контур, состоящий из двух лучей в Σ, которые параллельны соответ-
ствующим лучам, образующим границу области Σ. Контур Γ ориентирован так,
что область C \ Σ при обходе контура остается слева. Тогда
Stw =
1
2πi
∫
Γ
eλtA(λA + B)−1Q1wdλ + Q2w, w ∈ X, t > 0. (5)
Замечание 1. В случае явного уравнения (2) разложения (4) принимают вид
Y = X = X1 = D = D1 = DB , X2 = D2 = {0}. При этом представление (5) для
аналитической полугруппы St с генератором −B упрощается
Stw =
1
2πi
∫
Γ
eλt(λE + B)−1wdλ, w ∈ X, t > 0,
и является известным (см., например, [13, c. 354, 355]).
2. Неявные параболические дифференциальные уравнения с импульсными
воздействиями в гильбертовых пространствах. Явные параболические диффе-
ренциальные уравнения с импульсными воздействиями исследовались в [15, 16].
Из чисел t0, T, τ1, . . . , τN выберем все различные и расположим их в поряд-
ке возрастания так, чтобы t0 < t1 < . . . < tn+1 = T. Тогда чисто импульсное
управление u2 в (1) допускает представление
u2 =
n+1∑
j=0
hjδ(t− tj), hj =
∑
τk=tj
zk. (6)
Если среди чисел τk нет равных t0 или T, то h0 = 0 или hn+1 = 0. Будем пред-
полагать, что f(t) ∈ L2(t0, T ;X), u1(t) ∈ L2(t0, T ;U1). Под решениями уравнения
(1) будем понимать распределения типа функций y(t) ∈ L2(t0, T ;Y ) таких, что
y(t) ∈ D для почти всех t ∈ [t0, T ], Ay(t) ∈ W 1
2 (tj , tj+1;X) для j = 0, . . . , n,
By(t) ∈ L2(t0, T ;X), для почти всех t ∈ [t0, T ] справедливо уравнение
d
dt
[Ay(t)] + By(t) = f(t) + K1u1(t) (7)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
1056 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО
и в точках tj выполняются равенства (импульсные воздействия)
(Ay)(tj + 0)− (Ay)(tj − 0) = K2hj , j = 0, . . . , n. (8)
Здесь значения (Ay)(t0 + 0), (Ay)(tn+1 − 0) и (Ay)(tj ± 0) для j = 1, . . . , n име-
ют смысл, поскольку функция Ay(t) ∈ W 1
2 (tj , tj+1;X) является непрерывной
на [tj , tj+1] после возможного изменения на множестве нулевой меры; значение
(Ay)(t0 − 0) задается:
(Ay)(t0 − 0) = q, (9)
значение (Ay)(tn+1 + 0) = (Ay)(T + 0) определяется как
(Ay)(tn+1 + 0) = (Ay)(tn+1 − 0) + K2hn+1.
Соотношение (9) является начальным условием для уравнения (1). Управлению
u = {u1(t), u2} соответствует решение y(t) = y(t, u) начальной задачи (1), (9). Им-
пульсные воздействия (8) и начальное условие (9) содержат оператор A. Для явно-
го уравнения c единичным оператором A = E ограничения (8), (9) соответствуют
определению системы с толчками в заданные моменты времени [17]. Неявные па-
раболические уравнения с непрерывными правыми частями исследовались в [18]
при начальных условиях и импульсных воздействиях, не содержащих оператор A.
Теорема 1. Пусть выполнена оценка (3), оператор G−1 ограничен на своей
области определения, Im Q1K1 ⊂ AD, Im K2 ⊂ AD, q ∈ AD, f(t) ∈ L2(t0, T ;X),
u1(t) ∈ L2(t0, T ;U1), значения функции Q1f(t) принадлежат AD для почти всех
t0 ≤ t ≤ T и BG−1Q1f(t) ∈ L2(t0, T ;X). Тогда существует единственное реше-
ние y(t) задачи (1), (9), допускающее представление
y(t) = G−1
[
St−t0q +
t∫
t0
St−sQ1
[
f(s) + K1u1(s)
]
ds + Q2
[
f(t) + K1u1(t)
]
+
+
N∑
k=1
χ(t− τk)St−τk
K2zk
]
для почти всех t0 ≤ t ≤ T, (10)
где χ(t) — функция Хевисайда, которая для отрицательных значений аргумента
равна нулю, а для положительных — единице.
Доказательство. Согласно разложению (4) уравнение (7) распадается:
d
dt
[
Ay(t)
]
−W
[
Ay(t)
]
= Q1f̃(t),
Q2By(t) = Q2f̃(t), f̃(t) = f(t) + K1u1(t).
(11)
В силу теоремы 2.9 [19] (гл. 4) первое уравнение в (11) имеет единственное сильное
решение Ay(t), удовлетворяющее начальному условию (Ay)(t0 + 0) = a ∈ AD.
Поэтому для любого вектора a ∈ AD существует единственная функция y(t) ∈
∈ L2(t0, T ;Y ) такая, что y(t) ∈ D для почти всех t ∈ [t0, T ], Ay(t) ∈ W 1
2 (t0, T ;X),
By(t) ∈ L2(t0, T ;X), y(t) удовлетворяет соотношениям (11) для почти всех t ∈
∈ [t0, T ] и начальному условию (Ay)(t0 + 0) = a. Почти всюду на [t0, T ] имеем
y(t) = P1y(t) + P2y(t) = G−1
[
Ay(t) + Q2By(t)
]
=
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ ... 1057
= G−1
St−t0a +
t∫
t0
St−sQ1f̃(s)ds + Q2f̃(t)
.
Последовательно применим этот результат к уравнению (7) на отрезках [tj , tj+1],
j = 0, 1, . . . , n + 1, с начальными условиями (Ay)(tj + 0) = qj = (Ay)(tj − 0) +
+ K2hj ∈ AD. Тогда получим, что существует единственное решение y(t) зада-
чи (1), (9) на [t0, T ], причем
y(t) = G−1
St−tj
qj +
t∫
tj
St−sQ1f̃(s)ds + Q2f̃(t)
(12)
для почти всех tj ≤ t ≤ tj+1,
и для j = 0, 1, . . . , n + 1.
Убедимся в справедливости формулы (10). Непосредственно из (12) при j = 0
устанавливаем, что формула (10) справедлива при почти всех t0 ≤ t ≤ t1. Далее,
в (12) при j = 1 подставим выражение для q1, в котором (Ay)(t1 − 0) предста-
вим с помощью (12) при j = 0. Это позволяет установить, что функция y(t) (12)
допускает представление (10) также при почти всех t1 ≤ t ≤ t2. Проводя анало-
гичные рассуждения последовательно для отрезков [t2, t3], . . . , [tn, tn+1], получаем
требуемый результат.
Теорема доказана.
В дальнейшем будем предполагать, что выполняются условия теоремы 1, обес-
печивающие существование и единственность решения задачи (1), (9).
Замечание 2. Если оценка (3) выполняется в некоторой окрестности беско-
нечно удаленной точки, то оператор G−1 ограничен и AD = X1 [14] (п. 2.3.1).
Поэтому также выполняются следующие условия теоремы 1: Im Q1K1 ⊂ AD;
Q1f(t) ∈ AD; BG−1Q1f(t) ∈ L2(t0, T ;X), если f(t) ∈ L2(t0, T ;X).
3. Оптимальное импульсное управление в фиксированные моменты вре-
мени. Обозначим через z = {z1, . . . , zN} вектор пространства UN
2 = U2× . . .×U2,
через h = {h0, h1, . . . , hn+1} вектор пространства Un+2
2 и через τ = {τ1, . . . , τN}
вектор пространства RN . Введем множество векторов Θ = {τ ∈ RN : τk ∈ [t0, T ]}.
Для оценки качества управления u = {u1(t), u2}, которое управляет систе-
мой (1), (9), определим функционал
J(u) = J(u1, u2) = J(u1, τ, z) =
=
T∫
t0
[〈Ry(t), y(t)〉Y + 〈F1u1(t), u1(t)〉U1 ] dt + 〈F2z, z〉UN
2
. (13)
Здесь операторы R ∈ L(Y ), F1 ∈ L(U1) и F2 ∈ L(UN
2 ) являются неотрицательно
определенными и, более того, F1 ≥ αE, F2 ≥ αE, α > 0, E — единичный оператор
в соответствующем пространстве; векторы τ ∈ Θ и z ∈ UN
2 соответствуют чисто
импульсному управлению u2 в (1). Пусть сначала управление системой (1), (9)
осуществляется путем изменения „обычного” управления u1(t) и интенсивностей
z1, . . . , zN в фиксированные моменты времени τ1, . . . , τN . Задача заключается в
нахождении минимума
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
1058 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО
min
u1∈L2
z∈UN
2
J(u1, τ, z) (14)
функционала качества (13) на решениях y(t) = y(t, u) системы (1), (9). Управ-
ление u∗τ , на котором достигается минимум (14) функционала качества (13), бу-
дем называть τ -оптимальным управлением, а соответствующее решение y∗τ (t) =
= y(t, u∗τ ) системы (1), (9) — τ -оптимальным решением. В следующей теореме
устанавливаются существование и единственность τ -оптимального управления за-
дачи (1), (9), (14).
Теорема 2. Пусть выполнена оценка (3), оператор G−1 ограничен на своей
области определения, Im Q1K1 ⊂ AD, Im K2 ⊂ AD, q ∈ AD, f(t) ∈ L2(t0, T ;X),
значения функции Q1f(t) принадлежат AD для почти всех t0 ≤ t ≤ T и
BG−1Q1f(t) ∈ L2(t0, T ;X). Тогда для любого τ ∈ Θ существуют единствен-
ные управление u1∗τ (t) ∈ L2(t0, T ;U1), вектор z∗τ ∈ UN
2 и соответствующее
им импульсное управление u∗τ = {u1∗τ (t), u2∗τ} с u2∗τ =
∑N
k=1
z∗τkδ(t − τk), на
которых достигается минимум (14) функционала качества (13).
Доказательство. При каждом фиксированном τ ∈ Θ представим функционал
J (13) как квадратичную форму, определенную на HU1 × UN
2 . Положим
ϕ(t) = G−1
St−t0Q1q +
t∫
t0
St−sQ1f(s)ds + Q2f(t)
.
Понятно, что ϕ(t) ∈ HY . Введем в рассмотрение ограниченный линейный оператор
Ψ1 из HU1 в HY :
(Ψ1w)(t) = G−1
t∫
t0
St−sQ1K1w(s)ds + G−1Q2K1w(t). (15)
Для каждого τ ∈ Θ определим ограниченный линейный оператор Ψ2 из UN
2 в HY :
Ψ2v = G−1
N∑
k=1
χ(t− τk)St−τk
Q1K2vk. (16)
Ограниченный линейный оператор Ψ =
[
Ψ1; Ψ2
]
: HU1 × UN
2 → HY действует по
правилу
Ψ{w, v} = Ψ1w + Ψ2v, (17)
а ограниченный линейный оператор F =
[
F1 0
0 F2
]
: HU1 ×UN
2 → HU1 ×UN
2 — по
правилу
F{w, v} = {F1w,F2v}.
В силу теоремы 1 для любых управления u1 ∈ HU1 , моментов приложения им-
пульсов τ ∈ Θ и интенсивностей z ∈ UN
2 существует единственное решение
y(t, u) ∈ HY задачи (1), (9) и это решение имеет вид
y(t, u) = (Ψ1u1)(t) + (Ψ2z)(t) + ϕ(t) = (Ψ{u1, z})(t) + ϕ(t). (18)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ ... 1059
Тогда функционал J(u) (13) может быть представлен в виде
J(u) = 〈R(Ψ{u1, z}+ ϕ),Ψ{u1, z}+ ϕ〉HY
+ 〈F1u1, u1〉HU1
+ 〈F2z, z〉UN
2
.
В декартовом произведении пространств HU1 × UN
2 рассмотрим ограниченный
линейный оператор
M = F + Ψ∗RΨ: HU1 × UN
2 → HU1 × UN
2 . (19)
Оператор M является самосопряженным, а так как〈
M{w, v}, {w, v}
〉
HU1×UN
2
≥ α
∥∥{w, v}
∥∥2
HU1×UN
2
,
существует ограниченный обратный M−1 ∈ L(HU1 × UN
2 ) и справедлива оценка
‖M−1‖ ≤ 1
α
. (20)
Покажем, что управление u∗τ =
{
u1∗τ (t), u2∗τ
}
с u2∗τ =
∑N
k=1
z∗τkδ(t − τk)
является τ -оптимальным, если{
u1∗τ (t), z∗τ
}
= −M−1Ψ∗Rϕ. (21)
Действительно, прежде всего заметим, что
J(u) =
〈
M{u1, z}, {u1, z}
〉
HU1×UN
2
+ 2 Re
〈
Ψ∗Rϕ, {u1, z}
〉
HU1×UN
2
+ 〈Rϕ, ϕ〉HY
.
(22)
Отсюда получаем
J(u)− J(u∗τ ) =
〈
M{u1 − u1∗τ , z − z∗τ}, {u1 − u1∗τ , z − z∗τ}
〉
HU1×UN
2
≥
≥ α
∥∥∥{u1 − u1∗τ , z − z∗τ}
∥∥∥2
HU1×UN
2
.
Это означает, что u∗τ , которое определяется с помощью (21), является единствен-
ным τ -оптимальным управлением.
Теорема доказана.
Из (18), (19), (21) следует, что соотношение
F{u1, z}+ Ψ∗Ry(u) = 0 (23)
выполняется тогда и только тогда, когда u = u∗τ является τ -оптимальным управ-
лением, а y = y(u∗τ ) — τ -оптимальным решением. Сопряженный оператор Ψ∗ =
=
[
Ψ∗
1
Ψ∗
2
]
: HY → HU1 ×UN
2 к оператору Ψ (15) – (17) определяется через операторы
Ψ∗
1 ∈ L(HY , UN
2 ), Ψ∗
2 ∈ L(HY ,HU1):
(Ψ∗
1w)(t) = K∗
1Q∗
1
T∫
t
S∗s−tG
−1∗w(s)ds + K∗
1Q∗
2G
−1∗w(t),
(Ψ∗
2w)(t) =
K∗
2Q∗
1
T∫
τk
S∗s−τk
G−1∗w(s)ds
N
k=1
.
(24)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
1060 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО
Здесь S∗t — сопряженная полугруппа к полугруппе St с генератором W ∗ [19] (раз-
дел 1.10). Заметим, что G−1∗ = G−1
∗
. Имеем
Q∗
2W
∗x = W ∗Q∗
2x = 0, Q∗
1W
∗x = W ∗Q∗
1x = x ∀x ∈ DW∗ ,
Q∗
1S
∗
t x = S∗t Q∗
1x ∀x ∈ X.
Учитывая (24), соотношение (23) переписываем в виде
F1u1(t) + K∗
1p(t) = 0, F2z + {K∗
2Q∗
1p(τk)}N
k=1 = 0, (25)
где
p(t) = Q∗
1
T∫
t
S∗s−tG
−1∗Ry(s)ds + Q∗
2G
−1∗Ry(t). (26)
Для явного уравнения (2) функция p(t) (26) принимает вид
p(t) =
T∫
t
S∗s−tRy(s)ds
и является так называемым мягким решением задачи
p′(t)−B∗p(t) + Ry(t) = 0 для почти всех t0 ≤ t ≤ T, p(T ) = 0
(см. определение в [19]). По аналогии с явным уравнением мягким решением вы-
рожденной задачи [
Q∗
1p(t)
]′ − [BG−1]∗p(t) + G−1∗Ry(t) = 0 (27)
для почти всех t0 ≤ t ≤ T, (Q∗
1p)(T ) = 0
будем называть функцию p(t) ∈ L2(t0, T ;X) такую, что Q∗
1p(t) ∈ C([t0, T ], X) и
p(t) представима в виде (26). Решение задачи (27) будем понимать в смысле мягкого
решения. Придерживаясь терминологии для явных систем [1], мягкое решение
p(t) (26) задачи (27) будем называть сопряженным состоянием. Если Q∗
1p(t) ∈
∈ W 1
2 (t0, T ;X), то из теоремы 2.9, гл. 4 [19, с. 109] следует, что функция p(t) почти
всюду удовлетворяет уравнению (27) и поэтому является сильным решением.
Замечание 3. Если A, B принадлежат L(Y, X), т. е. являются ограниченными
линейными операторами, то задача (27) принимает вид[
A∗p(t)
]′ −B∗p(t) + Ry(t) = 0 для почти всех t0 ≤ t ≤ T, (A∗p)(T ) = 0.
(28)
Теперь можно сформулировать следующий результат.
Теорема 3. Пусть выполнена оценка (3), оператор G−1 ограничен на своей
области определения, Im Q1K1 ⊂ AD, Im K2 ⊂ AD, q ∈ AD, f(t) ∈ L2(t0, T ;X),
значения функции Q1f(t) принадлежат AD для почти всех t0 ≤ t ≤ T и
BG−1Q1f(t) ∈ L2(t0, T ;X). Тогда для любого τ ∈ Θ задача (1), (9), (25), (27) име-
ет единственное решение y(t) = y∗τ (t) ∈ L2(t0, T ;Y ), p(t) ∈ L2(t0, T ;X), u1(t) =
= u1∗τ (t) ∈ L2(t0, T ;U1), z = z∗τ ∈ UN
2 . Управление u∗τ =
{
u1∗τ (t),
∑N
k=1
z∗τk×
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ ... 1061
×δ(t− τk)
}
является τ -оптимальным управлением, а функция y∗τ (t) — соответ-
ствующим τ -оптимальным решением.
С помощью (25) τ -оптимальное управление однозначно определяется через
сопряженное состояние p(t). А именно, находим
u1∗τ (t) = −F−1
1 K∗
1p(t), z∗τ = −F−1
2
{
K∗
2Q∗
1p(τk)
}N
k=1
. (29)
Поэтому для τ -оптимального решения уравнение (1) принимает вид
d
dt
[Ay(t)]+By(t) = f(t)−K1F
−1
1 K∗
1p(t)−K2
N∑
k=1
%kδ(t− τk), t0 ≤ t ≤ T, (30)
где %k — компоненты вектора F−1
2
{
K∗
2Q∗
1p(τk)
}N
k=1
∈ UN
2 :
{%1, . . . , %N} = F−1
2
{
K∗
2Q∗
1p(τk)
}N
k=1
. (31)
Из теоремы 3 вытекает такое следствие.
Следствие 1. Предположим, что выполнены условия теоремы 3. Тогда для
любого τ ∈ Θ задача (30), (31), (9), (27) имеет единственное решение y(t) =
= y∗τ (t) ∈ L2(t0, T ;Y ), p(t) ∈ L2(t0, T ;X). Управление u∗τ =
{
u1∗τ (t),∑N
k=1
z∗τkδ(t − τk)
}
, компоненты которого вычисляются по формулам (29), яв-
ляется τ -оптимальным, а функция y∗τ (t) — соответствующим τ -оптимальным
решением.
Замечание 4. Из замечания 2 следует, что в случае оценки (3) в окрестности
бесконечно удаленной точки выполняются следующие условия теорем 2, 3: опера-
тор G−1 ограничен, Im Q1K1 ⊂ AD, Q1f(t) ∈ AD, BG−1Q1f(t) ∈ L2(t0, T ;X),
если f(t) ∈ L2(t0, T ;X). Более того, мягкое решение p(t) задачи (27) является
таким, что Q∗
1p(t) ∈ W 1
2 (t0, T ;X) и разрешает задачу в сильном смысле.
4. Оптимизация по моментам времени. Теперь управление системой (1), (9)
будем осуществлять путем изменения управления u1(t) ∈ L2(t0, T ;U1), моментов
импульсных воздействий τ = {τ1, . . . , τN} ∈ Θ и соответствующих интенсивнос-
тей импульсов z = {z1, . . . , zN} ∈ UN
2 . Множество всевозможных импульсных
управлений u =
{
u1(t), u2 =
∑N
k=1
zkδ(t − τk)
}
обозначим через U. Ищем ми-
нимум функционала качества J(u) (13)
min
u∈U
J(u). (32)
Управление u∗ =
{
u1∗(t), u2∗ =
∑N
k=1
z∗kδ(t − τ∗k)
}
, на котором достигает-
ся этот минимум, будем называть оптимальным управлением, а соответствующее
решение y∗(t) = y(t, u∗) системы (1), (9) — оптимальным решением. Здесь τ∗ =
= {τ∗1, . . . , τ∗N}, z∗ = {z∗1, . . . , z∗N}.
Напомним, что мы предполагаем выполнение условий теоремы 1, которые
обеспечивают существование и единственность решения задачи (1), (9). Оператор
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
1062 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО
Ψ = Ψ(τ) (15) – (17) является сильно непрерывным по τ ∈ Θ. Его сопряженный
Ψ∗ = Ψ∗(τ), который определяется с помощью операторов Ψ∗
1, Ψ∗
2 (24), также
является сильно непрерывным по τ ∈ Θ. Поэтому сильно непрерывен по τ ∈ Θ
оператор M = M(τ) (19). В силу оценки (20) обратный оператор M−1(τ) равно-
мерно ограничен и, следовательно, сильно непрерывен по τ ∈ Θ. Отсюда получаем,
что {u1∗τ (t), z∗τ} (21), как вектор-функция от τ ∈ Θ со значениями в HU1 × UN
2 ,
непрерывна. Используя представление (22), устанавливаем, что
min
u1∈L2
z∈UN
2
J(u1, τ, z) = J(u∗τ )
является функцией, непрерывной по τ ∈ Θ. Поэтому существует элемент τ∗ ∈ Θ,
на котором достигается минимум функции J(u∗τ ):
min
τ∈Θ
J(u∗τ ) = J(u∗τ∗).
Тогда оптимальное управление u∗ есть
u∗ = u∗τ∗ =
{
u1∗(t),
N∑
k=1
z∗kδ(t− τ∗k)
}
,
{
u1∗(t), z∗
}
= −M−1(τ∗)Ψ∗(τ∗)Rϕ.
(33)
Таким образом, имеет место следующий результат.
Теорема 4. Пусть выполнена оценка (3), оператор G−1 ограничен на своей
области определения, Im Q1K1 ⊂ AD, Im K2 ⊂ AD, q ∈ AD, f(t) ∈ L2(t0, T ;X),
значения функции Q1f(t) принадлежат AD для почти всех t0 ≤ t ≤ T и
BG−1Q1f(t) ∈ L2(t0, T ;X). Тогда существует оптимальное управление u∗ (33),
на котором достигается минимум (32) функционала качества (13).
Замечание 5. Чтобы получить утверждения теорем 1 – 4 в частном случае
явного уравнения (2), достаточно положить X = Y, A = E, P1 = Q1 = E,
P2 = Q2 = 0, G = G−1 = E, W = −B, D = DB .
5. Приложение к дифференциальным уравнениям в частных производных.
Покажем, как полученные абстрактные результаты применяются к управлению
системами, описываемыми дифференциальными уравнениями в частных производ-
ных. Любую функцию g : t, x → g(t, x) будем также рассматривать как функцию от
t со значениями в пространстве функций от x и записывать как g(t)(x). Исследуем
систему, описываемую дифференциальным уравнением в частных производных
− ∂
∂t
[
∂2y(t, x)
∂x2
+ y(t, x)
]
+
∂4y(t, x)
∂x4
= K1u1(t, x) + K2u2 + f(t, x),
u2 =
N∑
k=1
zk(x)δ(t− τk) для почти всех 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ π,
(34)
с краевыми условиями
y(t, 0) = y(t, π) =
∂2y(t, 0)
∂x2
=
∂2y(t, π)
∂x2
= 0 для почти всех 0 ≤ t ≤ T (35)
и начальным условием
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ ... 1063
−
(
∂2y
∂x2
+ y
)
(−0, x) = q(x) для почти всех 0 ≤ x ≤ π. (36)
Здесь q(x), zk(x) ∈ L2(0, π), f(t, x), u1(t, x) ∈ L2(0, T ;L2(0, π)) = L2([0, T ] ×
× [0, π]), K1,K2 ∈ L(L2(0, π)).
Исследуем задачу оптимального импульсного управления, которая заключается
в нахождении управления u1(t, x) ∈ L2
(
[0, T ]× [0, π]
)
, моментов приложения им-
пульсов τ = {τ1, . . . , τN} ∈ Θ = {τ : τk ∈ [0, T ]} и соответствующих интен-
сивностей z(x) = {z1(x), . . . , zN (x)} ∈ [L2(0, π)]N , минимизирующих критерий
качества
J(u) =
T∫
0
π∫
0
[∣∣y(t, x)
∣∣2 +
∣∣u1(t, x)
∣∣2]dxdt +
N∑
k=1
π∫
0
|zk(x)|2dx (37)
на решениях y(t, x) смешанной задачи (34) – (36). Уравнение (34) является уравне-
нием в частных производных не типа Ковалевской или типа Соболева. Задачи опти-
мального управления для некоторых классов уравнений в частных производных
типа Соболева с обратимым оператором при старшей производной по времени
изучались в работах [20, 9, 21].
В пространстве X = Y = L2(0, π) смешанная задача (34) – (36) записывается в
абстрактной форме (1), (9) с дифференциальными операторами
Ag = −d2g(x)
dx2
− g(x), Bg =
d4g(x)
dx4
,
DA =
{
g(x) ∈ W 2
2 (0, π), g(0) = g(π) = 0
}
,
DB =
{
g(x) ∈ W 4
2 (0, π), g(0) = g(π) = g′′(0) = g′′(π) = 0
}
,
(38)
где Wm
2 (0, π) — пространство Соболева порядка m функций из L2(0, π). Следуя
[1], решение задачи (34) – (36) будем понимать в смысле решения абстрактной
задачи (1), (9). Оператор A является вырожденным: KerA = Lin{sinx}. Пучок
операторов λA + B имеет резольвенту:
(λA + B)−1g(x) =
∞∑
m=1
gm sinmx
m4 + λ(m2 − 1)
, λ 6= m4
1−m2
, m = 2, 3, . . . . (39)
Здесь и в дальнейшем через gm обозначены коэффициенты Фурье в разложении
функции g(x) ∈ L2(0, π):
g(x) =
∞∑
m=1
gm sinmx, gm =
2
π
π∫
0
g(x) sinmxdx, m = 1, 2, . . . .
Резольвента (39) удовлетворяет оценке (3) в полуплоскости Re λ ≥ 0. Находим
X1 = KerA⊥, X2 = D2 = KerA = Lin{sinx}, D1 = DB ∩KerA⊥,
P2g = Q2g = g1 sinx, G−1∗g = g1 sinx +
∞∑
m=2
gm sinmx
m2 − 1
,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
1064 Л. А. ВЛАСЕНКО, А. М. САМОЙЛЕНКО
Wg = W ∗g =
∞∑
m=2
m4gm sinmx
1−m2
, G−1 ⊂ G−1∗, DG−1 = DW = DA.
Оператор W является генератором аналитической полугруппы St. С помощью (5)
получаем представление для полугруппы St:
Stg = g1 sinx +
∞∑
m=2
eαmtgm sinmx, αm =
m4
1−m2
.
Утверждение. Предположим, что выполняются следующие ограничения: для
почти всех 0 ≤ t ≤ T значения f(t)(x), как функции от t, принадлежат DA и
∂2f
∂x2
(t, x) ∈ L2
(
[0, T ] × [0, π]
)
; Im K1, Im K2 ⊂ DA, и K∗
2 sinx = 0; q(x) ∈ DA
и
∫ π
0
q(x) sinxdx = 0. Тогда смешанная задача (34) – (36) имеет единственное
решение y(t, x), которое представимо в виде
y(t, x) =
[
f1(t) + (K1u1)1(t)
]
sinx +
∞∑
m=2
ym(t) sinmx,
ym(t) =
1
m2 − 1
[
eαmtqm +
t∫
0
eαm(t−s)
(
fm(s) + (K1u1)m(s)
)
ds+
+
N∑
k=1
χ(t− τk)eαm(t−τk)(K2zk)m
]
.
(40)
Задача оптимального управления (34) – (37) разрешима. Для любого τ ∈ Θ су-
ществует единственное τ -оптимальное управление, которое определяется через
сопряженное состояние p(t, x) по формулам
u1∗τ (t, x) = −K∗
1p(t, x), z∗τ (x) = −
{
K∗
2Q1p(τk, x)
}N
k=1
, (41)
а сопряженное состояние p(t, x) является сильным решением задачи
∂
∂t
[
Ap(t, x)
]
−Bp(t, x) + y(t, x) = 0, (Ap)(T )(x) = 0 (42)
для почти всех 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ x ≤ π,
с операторами A, B (38).
Доказательство. Предположения утверждения гарантируют выполнение усло-
вий теорем 1 – 4. В силу теоремы 1 существует единственное решение y(t, x) сме-
шанной задачи (34) – (36). Представление (10) для y(t, x) принимает вид (40). При-
менение теорем 2 – 4 позволяет решить задачу минимизации функционала (37) на
решениях y(t, x) смешанной задачи (34) – (36).
Сопряженное состояние p(t, x) (26) допускает представление
p(t, x) =
[
f1(t) + (K1u1)1(t)
]
sinx +
∞∑
m=2
sinmx
m2 − 1
T∫
t
eαm(s−t)ym(s)ds,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ С ИМПУЛЬСНОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ СИСТЕМАМИ ... 1065
в котором компоненты ym(s) вычисляются по формулам (40). Задача (27) для соп-
ряженного состояния в области [0, T ]× [0, π] принимает вид
∂
∂t
[
Q1p(t, x)
]
−
[
BG−1
]
p(t, x) + G−1y(t, x) = 0, (Q1y)(T )(x) = 0. (43)
Поскольку Q1p(t)(x) ∈ W 1
2 (0, T, L2(0, π)), p(t, x) является сильным решением
задачи (43). Задача (43) эквивалентна задаче (42).
Доказательство утверждения завершается, если учесть, что соотношения (29)
для τ -оптимальных управления u1∗τ (t, x) и интенсивностей z∗τ (x) имеют вид (41).
1. Лионс Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными про-
изводными. – М.: Мир, 1972. – 415 с.
2. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ. – М.: Наука, 1980. – 384 с.
3. Lasiecka I., Triggiani R. Control theory for partial differential equations: continuous and approximation
theories. Abstract parabolic systems. – Cambridge: Cambridge Univ. Press, 2000. – 644 p.
4. Бутковский А. Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.
– М.: Наука, 1965 – 476 с.
5. Соболев С. Л. Задача Коши для частного случая систем, не принадлежащих типу Ковалевской //
Докл. АН СССР. – 1952. – 82, № 2. – C. 205 – 208.
6. Гальперн С. А. Задача Коши для уравнений типа С.Л. Соболева // Успехи мат. наук. – 1953. – 8,
№ 5. – C. 191 – 193.
7. Лионс Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. – М.: Мир, 1971.
– 372 с.
8. Самойленко А. М., Перестюк Н. А. Дифференциальные уравнения с импульсным воздействием. –
Киев: Вища шк., 1987. – 288 с.
9. Ляшко С. И. Обобщенное управление линейными системами. – Киев: Наук. думка, 1998. – 465 с.
10. Власенко Л. А., Руткас А. Г., Самойленко А. М. Проблема импульсного регулятора для одной
динамической системы типа Соболева // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 8. – C. 1027 – 1034.
11. Bender D. J., Laub A. The linear-quadratic optimal regulator for descriptor systems // IEEE Trans.
Automatic Control. – 1987. – AC-32, № 8. – P. 672 – 688.
12. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. – М.: Наука,
1967. – 464 с.
13. Иосида K. Функциональный анализ. – M.: Мир, 1967. – 624 c.
14. Власенко Л. А. Эволюционные модели с неявными и вырожденными дифференциальными урав-
нениями. – Днепропетровск: Систем. технологии, 2006. – 273 с.
15. Самойленко А. М., Илолов М. К теории эволюционных уравнений с импульсными воздействиями
// Докл. АН СССР. – 1991. – 316, № 4. – C. 822 – 825.
16. Самойленко А. М., Илолов М. Неоднородные эволюционные уравнения с импульсными воздей-
ствиями // Укр. мат. журн. – 1992. – 44, № 1. – C. 93 – 100.
17. Мышкис А. Д., Самойленко А. М. Системы с толчками в заданные моменты времени // Мат. сб. –
1967. – 74, № 2. – C. 202 – 208.
18. Власенко Л. А., Мышкис А. Д., Руткас А. Г. Об одном классе дифференциальных уравнений
параболического типа с импульсными воздействиями // Дифференц. уравнения. – 2008. – 44, № 2.
– C. 222 – 231.
19. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York
etc.: Springer, 1983. – 279 p.
20. White L. W. Control problems governed by a pseudo-parabolic partial differential equation // Trans.
Amer. Math. Soc. – 1979. – 250. – P. 235 – 246.
21. Дейнека В. С., Сергиенко И. В. Оптимальное управление неоднородными распределенными си-
стемами. – Киев: Наук. думка, 2003. – 506 с.
Получено 12.05.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
|
| id | umjimathkievua-article-3080 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:35:53Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/1b/a62b8ade6767633ab6fec6b498671e1b.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30802020-03-18T19:44:57Z Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations Оптимальное управление с импульсной составляющей системами, описываемыми неявными параболическими дифференциально-операторными уравнениями Vlasenko, L. A. Samoilenko, A. M. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. We study the problem of optimal control with impulsive component for systems described by abstract Sobolev-type differential equations with unbounded operator coefficients in Hilbert spaces. The operator coefficient of the time derivative may be noninvertible. The main assumption is a restriction imposed on the resolvent of the characteristic operator pencil in a certain right half plane. Applications to Sobolevtype partial differential equations are discussed. Вивчається задача оптимального керування з імпульсною складовою системами, що описуються абстрактними диференціальними рівняннями типу Соболєва з необмеженими операторними коефіцієнтами у гільбертових просторах. Оператор при похідній за часом може бути необоротним. Основне припущення полягає в обмеженні резольвенти характеристичного операторного жмутка у деякій правій півплощині. Наведено застосування до диференціальних рівнянь з частинними похідними типу Соболєва. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3080 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 8 (2009); 1053-1065 Український математичний журнал; Том 61 № 8 (2009); 1053-1065 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3080/2909 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3080/2910 Copyright (c) 2009 Vlasenko L. A.; Samoilenko A. M. |
| spellingShingle | Vlasenko, L. A. Samoilenko, A. M. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. Власенко, Л. А. Самойленко, А. М. Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| title | Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| title_alt | Оптимальное управление с импульсной составляющей системами, описываемыми неявными параболическими дифференциально-операторными уравнениями |
| title_full | Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| title_fullStr | Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| title_full_unstemmed | Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| title_short | Optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| title_sort | optimal control with impulsive component for systems described by implicit parabolic operator differential equations |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3080 |
| work_keys_str_mv | AT vlasenkola optimalcontrolwithimpulsivecomponentforsystemsdescribedbyimplicitparabolicoperatordifferentialequations AT samoilenkoam optimalcontrolwithimpulsivecomponentforsystemsdescribedbyimplicitparabolicoperatordifferentialequations AT vlasenkola optimalcontrolwithimpulsivecomponentforsystemsdescribedbyimplicitparabolicoperatordifferentialequations AT samojlenkoam optimalcontrolwithimpulsivecomponentforsystemsdescribedbyimplicitparabolicoperatordifferentialequations AT vlasenkola optimalcontrolwithimpulsivecomponentforsystemsdescribedbyimplicitparabolicoperatordifferentialequations AT samojlenkoam optimalcontrolwithimpulsivecomponentforsystemsdescribedbyimplicitparabolicoperatordifferentialequations AT vlasenkola optimalʹnoeupravleniesimpulʹsnojsostavlâûŝejsistemamiopisyvaemymineâvnymiparaboličeskimidifferencialʹnooperatornymiuravneniâmi AT samoilenkoam optimalʹnoeupravleniesimpulʹsnojsostavlâûŝejsistemamiopisyvaemymineâvnymiparaboličeskimidifferencialʹnooperatornymiuravneniâmi AT vlasenkola optimalʹnoeupravleniesimpulʹsnojsostavlâûŝejsistemamiopisyvaemymineâvnymiparaboličeskimidifferencialʹnooperatornymiuravneniâmi AT samojlenkoam optimalʹnoeupravleniesimpulʹsnojsostavlâûŝejsistemamiopisyvaemymineâvnymiparaboličeskimidifferencialʹnooperatornymiuravneniâmi AT vlasenkola optimalʹnoeupravleniesimpulʹsnojsostavlâûŝejsistemamiopisyvaemymineâvnymiparaboličeskimidifferencialʹnooperatornymiuravneniâmi AT samojlenkoam optimalʹnoeupravleniesimpulʹsnojsostavlâûŝejsistemamiopisyvaemymineâvnymiparaboličeskimidifferencialʹnooperatornymiuravneniâmi |