Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus

We investigate properties of a fundamental solution and establish the correct solvability of the Cauchy problem for one class of degenerate Kolmogorov-type equations with \( \left\{ {\overrightarrow p, \overrightarrow h } \right\} \)-parabolic part with respect to the main group of variables and wit...

Full description

Saved in:

Bibliographic Details
Date:	2009
Main Authors:	Ivasyshen, S. D., Litovchenko, V. A., Івасишен, С. Д., Літовченко, В. А.
Format:	Article
Language:	Ukrainian English
Published:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009
Online Access:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3081
Tags:	Add Tag No Tags, Be the first to tag this record!
Journal Title:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Download file:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509110398615552
author	Ivasyshen, S. D. Litovchenko, V. A. Івасишен, С. Д. Літовченко, В. А.
author_facet	Ivasyshen, S. D. Litovchenko, V. A. Івасишен, С. Д. Літовченко, В. А.
author_sort	Ivasyshen, S. D.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:44:57Z
description	We investigate properties of a fundamental solution and establish the correct solvability of the Cauchy problem for one class of degenerate Kolmogorov-type equations with \( \left\{ {\overrightarrow p, \overrightarrow h } \right\} \)-parabolic part with respect to the main group of variables and with positive vector genus in the case where solutions are infinitely differentiable functions and their initial values may be generalized functions of Gevrey ultradistribution type.
first_indexed	2026-03-24T02:35:53Z
format	Article
fulltext	УДК 517.956.4 С. Д. Iвасишен (Нац. техн. ун-т України „КПI”, Київ), В. А. Лiтовченко (Чернiв. нац. ун-т) ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ТИПУ КОЛМОГОРОВА З ДОДАТНИМ РОДОМ We investigate properties of the fundamental solution and establish the correct solvability of the Cauchy problem for a class of degenerate Kolmogorov-type equations with ˘−→p , −→ h ¯ -parabolic part with respect to the main group of variables and with positive vector genus in the case, where solutions are infinitely differentiable functions and their initial values may be generalized functions of Gevrey-ultradistribution-type. Дослiджено властивостi фундаментального розв’язку та встановлено коректну розв’язнiсть задачi Ко- шi для одного класу вироджених рiвнянь типу Колмогорова з ˘−→p , −→ h ¯ -параболiчною частиною за основною групою змiнних i додатним векторним родом у випадку, коли розв’язки є нескiнченно дифе- ренцiйовними функцiями, а їх початковi значення можуть бути узагальненими функцiями типу ультра- розподiлiв Жевре. При математичному моделюваннi броунiвського руху фiзичної системи з багатьма ступенями вiльностi А. М. Колмогоров [1] прийшов до рiвняння дифузiї з iнерцiєю, яке є виродженим за однiєю групою просторових змiнних параболiчним рiвнянням. Це рiвняння багаторазово узагальнювалось, i узагальнення дослiджувались рiзними авторами (див. [2] i наведену там бiблiографiю). При цьому виродження може бути не тiльки за однiєю, але й за двома i бiльше групами змiнних. У статтi [2] розглядається переважно випадок виродження за двома групами змiнних. Для цього вважається, що n-вимiрна просторова змiнна x складається з n1- вимiрної змiнної x1 := (x11; . . . ;x1n1), n2-вимiрної змiнної x2 := (x21; . . . ;x2n2) i n3-вимiрної змiнної x3 := (x31; . . . ;x3n3), тобто x := (x1;x2;x3). Тут n1, n2 i n3 — такi натуральнi числа, що n3 ≤ n2 ≤ n1 i n1 + n2 + n3 = n. Розглянутi рiвняння мають вигляд∂t − n2∑ j=1 x1j∂x2j − n3∑ j=1 x2j∂x3j −A(t, x, ∂x1) u(t, x) = f(t, x), (t, x) ∈ Π(0,T ], (1) де A(t, x, ∂x1) — деякий диференцiальний вираз за змiнною x1 з коефiцiєнтами, залежними вiд часової t i просторової x змiнних, а Π(0,T ] := {(t, x)\|t ∈ (0, T ], x ∈ Rn } . Змiннi t i x1 називаються основними. Припускається, що диференцi- альний вираз ∂t − A(t, x, ∂x1) за основними змiнними може бути параболiчним за Петровським [3] чи за Ейдельманом [4]. У цiй статтi будемо розглядати новий клас вироджених рiвнянь, якi є ще одним узагальненням рiвняння дифузiї з iнерцiєю Колмогорова. Вони мають вигляд (1), де f = 0, коефiцiєнти диференцiального виразу A(t, x, ∂x1) не залежать вiд x, тобто A(t, x, ∂x1) = A(t, ∂x1), а вираз ∂t −A(t, ∂x1) (2) за основними змiнними є {−→p , −→ h }-параболiчним з додатним векторним родом у сенсi [5] (зокрема, вiн може бути параболiчним у сенсi Петровського, Ейдельмана, c© С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО, 2009 1066 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1067 а також у сенсi Шилова з додатним родом [6]). Для такого класу рiвнянь встанов- лено властивостi фундаментального розв’язку задачi Кошi (ФРЗК), якi дали змогу використати простори типу S iз [7] як основне середовище, в якому дослiджено зазначену задачу. З’ясовано, що топологiчно спряжений простiр з тим простором типу S, до якого належить ФРЗК, становить множину початкових даних, з якими вiдповiдна задача Кошi коректно розв’язна, а її розв’язок є звичайною нескiнченно диференцiйовною функцiєю за просторовою змiнною. Зазначимо, що аналогiчнi результати для випадку, коли вираз (2) є параболiчним за Петровським i Ейдель- маном, одержано в [8 – 10]. 1. Допомiжнi вiдомостi. Постановка задачi. Крiм уведених вище натуральних чисел n, n1, n2 i n3, а також точок x, x1, x2 i x3 використовуватимемо такi позна- чення та означення: N — множина всiх натуральних чисел; Nm := {1; . . . ;m}; Rm i Cm — вiдповiдно дiйсний i комплексний простори розмiрностi m ≥ 1; R := R1, C := C1; R+ := (0; +∞); Zm+ — множина всiх m-вимiрних мульти- iндексiв, Z+ := Z1 +; i — уявна одиниця; (·, ·) — скалярний добуток у просторi Rm; ‖x‖ := (x, x)1/2 для x ∈ Rm; \|x + iy\| := (x2 + y2)1/2, якщо {x, y} ⊂ R; zl := zl11 . . . zlmm , \|z\|l := \|z1\|l1 . . . \|zm\|lm , якщо z := (z1; . . . ; zm) ∈ Cm, l := := (l1; . . . ; lm) ∈ Zm+ ; −→γ := (γ1; . . . ; γm) — m-вимiрний вектор, −→ 0 := (0; . . . ; 0), −→ 1 := (1; . . . ; 1); просторовi точки та мультиiндекси, як вектори, позначатимемо без стрiлочки зверху; запис −→α0 −→ β , де 0 — деяке вiдношення, означатиме, що це вiдношення виконується для всiх вiдповiдних координат векторiв −→α i −→ β , при цьому якщо q := (q1; . . . ; qm) ∈ Zm+ , {−→α ,−→γ } ⊂ Rm, то qq −→γ := qq1γ11 . . . qqmγmm ; \|−→α \| −→γ ∗ := \|α1\|γ1 + . . . + \|αm\|γm , \|−→α \|∗ := \|−→α \| −→ 1 ∗ — скалярнi величини (якщо −→α є мультиiндексом або просторовою точкою, то замiсть −→α будемо писати α); якщо x := (x1;x2;x3) i xj := (xj1; . . . ;xjnj ) — точки вiдповiдно з Rn i Rnj , j ∈ N3, то x′j := (xj1; . . . ;xjn3), x′′j := (xj(n3+1); . . . ;xjn2), x̂1 := (x1(n2+1); . . . ;x1n1); та- кi самi позначення використовуватимемо для iнших аналогiчних точок, а також векторiв. Спочатку нагадаємо необхiднi вiдомостi з [7] про простори типу S, де S — прос- тiр основних функцiй Шварца, а потiм наведемо леми про властивостi спецiальних операторiв у цих просторах. Для довiльних −→α > −→ 0 i −→ β > −→ 0 покладемо S −→ β −→α := { ϕ ∈ S \| ∃{c, A,B} ⊂ R+ ∀{k,m} ⊂ Zn+ ∀x ∈ Rn : \|xk∂mx ϕ(x)\| ≤ cA\|k\|∗B\|m\|∗kk −→αmm −→ β } . З вiдповiдною топологiєю S −→ β −→α є об’єднанням повних досконалих злiченно-нормова- них просторiв з неперервними операцiями додавання, вiднiмання, множення, ди- ференцiювання та звичайного зсуву τh на крок h ∈ Rn, до того ж операцiя τh є не лише неперервною, але й нескiнченно диференцiйовною. Згiдно з [5], функцiя µ(·) є мультиплiкатором у просторi S −→ β −→α тодi й тiльки тодi, коли ∀δ > 0 ∃{c,B} ⊂ R+ ∀m ∈ Zn+ ∀x ∈ Rn : \|∂mx µ(x)\| ≤ cB\|m\|∗mm −→ β eδ\|x\| −→ 1 /−→α ∗ . Простiр S −→ β −→α нетривiальний лише тодi, коли −→α + −→ β ≥ −→1 . Вiн мiстить тiльки тi нескiнченно диференцiйовнi в Rn функцiї ϕ, для яких справджуються оцiнки ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1068 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО ∣∣∂mx ϕ(x) ∣∣ ≤ cB\|m\|∗mm −→ β e−δ\|x\| −→ 1 /−→α ∗ , m ∈ Zn+, x ∈ Rn, з деякими додатними сталими c, B i δ, залежними лише вiд ϕ. Крiм цього, у випадку, коли −→ 0 < −→ β < −→ 1 , простiр S −→ β −→α складається лише з тих функцiй ϕ, якi продовжуються з Rn до цiлих функцiй ϕ(x+ iy), (x+ iy) ∈ Cn, таких, що ∣∣ϕ(x+ iy) ∣∣ ≤ c exp { −δ1\|x\| −→ 1 /−→α ∗ + δ2\|y\| −→ 1 −→ 1− −→ β ∗ } , (x+ iy) ∈ Cn, де c > 0, δ1 > 0, δ2 > 0. Якщо ж −→ β = −→ 1 , то елементи ϕ вiдповiдного простору S −→ β −→α допускають аналiтичне продовження в деяку залежну вiд ϕ множину { (x + iy) ∈ ∈ Cn\|‖y‖ < δ } . При −→ β > −→ 1 серед елементiв S −→ β −→α є вже фiнiтнi функцiї. Простори типу S тiсно пов’язанi мiж собою перетворенням Фур’є F, а саме, справджується рiвнiсть F [ S −→ β −→α ] = S −→α−→ β , де F [X] := ψ ∣∣∣ψ(·) = ∫ Rn ϕ(x)ei(x,·)dx, ϕ ∈ X . При цьому оператор F вiдображає S −→ β −→α у вiдповiдний простiр S −→α−→ β взаємно однознач- но та неперервно. У просторi S −→ β −→α означимо такi оператори: (T η,ξt f)(x) := f(x1 − ξ1, x2 + tη̂1 − ξ2, x3 + tη′2 + 2−1t2η′1 − ξ3), (T̃ x,ξt f)(ζ) := ei(ξ,ζ)e−i(tx̂1,ζ2)e−i(tx ′ 2+2−1t2x′1,ζ3)f(ζ), (Ť±t f)(x) := f(x′1 ± tx′2 + 2−1t2x3, x ′′ 1 ± tx′′2 , x′′′1 , x′2 ± tx3, x ′′ 2 , x3), де f ∈ S −→ β −→α , t ≥ 0 i {x, ξ, η, ζ} ⊂ Rn. Очевидно, що T x,ξt ( F−1 [ ϕ(ζ) ]) (x) = (2π)−nFζ→ξ [ (T̃ x,−xt ϕ)(ζ) ] (t, ξ, x), (3) t ≥ 0, {ξ, x} ⊂ Rn (тут Fζ→ξ означає, що оператор Фур’є дiє за змiнною ζ i переводить її в ξ). Послiдовнiсть {ϕ;ϕν , ν ≥ 1} ⊂ S −→ β −→α збiгається в S −→ β −→α до ϕ ( позначатимемо ϕν S −→ β −→α−→ ν→+∞ ϕ ) при −→ 0 < −→ β < −→ 1 тодi й лише тодi, коли вона: 1) правильно збiгається на Cn, тобто ϕν(z) z∈K ⇒ ν→+∞ ϕ(z) (рiвномiрно щодо z на кожному компактi K ⊂ Cn); 2) обмежена в S −→ β −→α : ∃{c, δ1, δ2} ⊂ R+ ∀ν ≥ 1 ∀(x+ iy) ∈ Cn : ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1069 \|ϕν(x+ iy)\| ≤ c exp { −δ1\|x\| −→ 1 /−→α ∗ + δ2\|y\| −→ 1 −→ 1− −→ β ∗ } . Через ( S −→ β −→α )′ позначимо простiр, топологiчно спряжений з S −→ β −→α . Якщо f на- лежить до ( S −→ β −→α )′ , то до цього простору належить також: а) кожна похiдна ∂mx f, m ∈ Zn+; б) зсув f(ax+ h), a 6= 0; в) добуток µf, де µ — мультиплiкатор у S −→ β −→α . Перетворення Фур’є узагальненої функцiї f ∈ (S −→ β −→α )′ oзначається традицiйно: 〈F [f ], F [ϕ]〉 := (2π)n〈f, ϕ〉, ϕ ∈ S −→ β −→α (тут i далi дужками 〈, 〉 позначено результат дiї функцiонала на основну функцiю), тобто пряме перетворення Фур’є елемента f з ( S −→ β −→α )′ на просторi S −→ β −→α є узагаль- неною функцiєю, визначеною на F [ S −→ β −→α ] . Обернене перетворення Фур’є F−1 уза- гальненої функцiї g ∈ ( F [ S −→ β −→α ])′ означається формулою 〈 F−1[g], F−1[ψ] 〉 := (2π)−n〈g, ψ〉, ψ ∈ F [S −→ β −→α ]. Спiввiдношення мiж просторами типу S й топологiчно спряженими з ними характеризують такi неперервнi вкладення: S −→ β −→α ⊂ S −→ δ−→γ ⊂ S ⊂ L2(Rn) ⊂ S′ ⊂ (S −→ δ−→γ )′ ⊂ (S −→ β −→α )′, −→γ ≥ −→α > −→ 0 , −→ δ ≥ −→ β > −→ 0 , де S′ — простiр розподiлiв Шварца, а L2(Rn) — вiдповiдний простiр Лебега. Далi вважатимемо, що iндекси просторiв S −→ β −→α , якi згiдно з викладеним на по- чатку цього пункту мають вигляд −→α := {−→α 1;−→α 2;−→α 3 } i −→ β := {−→ β 1; −→ β 2; −→ β 3 } ,{−→α j ,−→β j} ⊂ Rnj , j ∈ N3, задовольняють такi умови: −→α 2 = −̂→α 1, α3 = −→α ′1, β2 = = −̂→ β 1; β3 = −→ β ′1, де, як зазначалось, −̂→α 1 := (α11; . . . ;α1n2), −→α ′1 := (α11; . . . ;α1n3), −̂→ β 1 := (β11; . . . ;β1n2), −→ β ′1 := (β11; . . . ;β1n3). Лема 1. Нехай f — мультиплiкатор у просторi S −→ β −→α , а ϕ — елемент iз S −→ β −→α . Тодi функцiя ωt(x) := ∫ Rn f(ξ)(T̃ x,−xt ϕ)(ξ)dξ, x ∈ Rn, належить до простору S −→α−→ β при кожному фiксованому t ≥ 0. Доведення. Зазначимо, що для кожного m := (m1;m2;m3) i k := (k1; k2; k3) iз Zn+ ∣∣∣xm1 1 (x2 + tx̂1)m2(x3 + tx′2 + 2−1t2x′1)m3∂kxωt(x) ∣∣∣ ≤ ≤ ∫ Rn ∣∣∣∂mξ (r(ξ)Pk(t, ξ) )∣∣∣dξ, t ≥ 0, x ∈ Rn, де r(·) := f(·)ϕ(·), а ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1070 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО Pk(t, ξ) := ( ξ′1 + tξ′2 + 2−1t2ξ3 )k′1(ξ′′1 + tξ′′2 )k ′′ 1 (ξ′′′1 )k ′′′ 1 (ξ′2 + tξ3)k ′ 2(ξ′′2 )k ′′ 2 ξk33 . Тому для доведення леми досить переконатися, що ∀t ≥ 0 ∃{c, A,B} ⊂ R+ ∀{m, k} ⊂ Zn+ :∫ Rn ∣∣∂mξ (r(ξ)Pk(t, ξ)) ∣∣dξ ≤ cA\|m\|∗B\|k\|∗kk−→αmm −→ β . (4) За допомогою формули Лейбнiца диференцiювання добутку маємо∣∣∣∂mξ (r(ξ)Pk(t, ξ)) ∣∣∣ ≤∑ l≤m Clm ∣∣∂lξPk(t, ξ) ∣∣ ∣∣∂m−lξ r(ξ) ∣∣, де Clm := ∏3 s=1 ∏ns j=1 Clsjmsj , a Cqp , {p, q} ⊂ Z+, — бiномiальнi коефiцiєнти. Оцi- нимо спочатку \|∂lξPk(t, ξ)\|. З огляду на рiвнiсть∣∣∂lξPk(t, ξ) ∣∣ = ∣∣∣∂l′′′1ξ′′′1 (ξ′′′1 )k ′′′ 1 ∣∣∣ ∣∣∣∂l′′2ξ′′2 [(∂l′′1ξ′′1 (ξ′′1 + tξ′′2 )k ′′ 1 )(ξ′′2 )k ′′ 2 ]∣∣∣× × ∣∣∣∂l3ξ3[(∂l′2ξ′2 [(∂l ′ 1 ξ′1 (ξ′1 + tξ′2 + 2−1t2ξ3)k ′ 1)(ξ′2 + tξ3)k ′ 2 ] ) (ξk33 ) ]∣∣∣ необхiдно оцiнити кожен iз спiвмножникiв її правої частини. Використавши ще раз формулу Лейбнiца, а також те, що ∣∣∂qζ ζp∣∣ ≤ p! (p− q)! \|ζ\| p−q, p ≥ q, 0, p < q, {p, q} ⊂ Zν+, ζ ∈ Rν , маємо ∣∣∣∂l′′2ξ′′2 [(∂l′′1ξ′′1 (ξ′′1 + tξ′′2 )k ′′ 1 ) (ξ′′2 )k ′′ 2 ]∣∣∣ ≤ ≤ ∑ ν≤l′′2 Cνl′′2 k′′2 ! (k′′2 − l′′2 + ν)! ( \|ξ′′2 \|k ′′ 2−l ′′ 2 +ν , k′′2 + ν ≥ l′′2 0, k′′2 + ν < l′′2 ) × × k′′1 ! (k′′1 − l′′1 − ν)! ( tν \|ξ′′1 + tξ′′2 \|k ′′ 1−l ′′ 1−ν , k1 ≥ l′′1 + ν 0, k′′1 < l′′1 або k′′1 < l′′1 + ν ) ≤ ≤ t\|k ′′ 1 \|∗ 0 2\|k ′′ 2 +k′′1 +l′′1 +2l′′2 \|∗ l′′1 !l′′2 ! ( (\|ξ′′1 \|+ \|ξ′′2 \|)k ′′ 1 +k′′2−l ′′ 1−l ′′ 2 , k′′1 + k′′2 ≥ l′′1 + l′′2 0, k′′1 < l′′1 або k′′2 < l′′2 ) , де t0 = 1 при t < 1 i t0 = t при t ≥ 1. Тут враховано те, що Cνl′′2 k′′1 ! (k′′1 − l′′1 − ν)! k′′2 ! (k′′2 + ν − l′′2 )! = l′′1 ! l′′2 !Cl ′′ 2−ν k′′2 C l′′1 +ν k′′1 Cνl′′1 +ν . Далi, використовуючи рiвнiсть Cν3l3 C ν2 l′2 Cν1ν3 k1! (k′1 − ν1 − ν2 − l′1)! k′2! (k′2 + ν1 + ν2 − ν3 − l′2)! k3! (k3 + ν3 − l3)! = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1071 = l′1! l′2! l3!Cl3−ν3k3 C l′1+ν1+ν2 k′1 C l′2+ν3 k′2+ν1+ν2 C l′1 l′1+ν1+ν2 Cν1ν1+ν2 1 (l′2 − ν2)!(ν3 − ν1)! та нерiвнiсть ∑ ν3≤l3 ( ∑ ν1≤ν3 1 (ν3 − ν1)! ) ≤ 22\|l3\|∗ , за аналогiєю одержуємо∣∣∣∂l3ξ3[(∂l′2ξ′2[(∂l′1ξ′1(ξ′1 + tξ′2 + 2−1t2ξ3)k ′ 1)(ξ′2 + tξ3)k ′ 2 ]) (ξk33 ) ]∣∣∣ ≤ ≤ ∑ ν3≤l3 Cν3l3 ∑ ν2≤l′2 Cν2l′2 × ×  ∑ ν1≤ν3 Cν1ν3 k′1! (k′1 − ν1 − ν2 − l′1)! k′2! (k′2 + ν1 + ν2 − ν3 − l′2)! k3! (k3 + ν3 − l3)! × × ( tν2+2ν12−ν1 \|ξ′1 + tξ′2 + 2−1t2ξ3\|k ′ 1−l ′ 1−ν1−ν2 , k1 ≥ l′1 + ν1 + ν2 0, k′1 < l′1 або k′1 − ν1 < l′1 або k′1 − ν1 − ν2 < l′1 ) × × ( tν3−ν1 \|ξ′2 + tξ3\|k ′ 2+ν1+ν2−ν3−l ′ 2 , k′3 + ν1 + ν2 ≥ ν3 + l′2 0 k′2 + ν2 < l′2 або k′2 + ν2 + ν1 < l′2 + ν3 )× × ( \|ξ3\|k3+ν3−l3 , k3 + ν3 ≥ l3 Cν2l′2 0, k3 + ν3 < l3 ) ≤ ≤ t\|2k ′ 1+k ′ 2\|∗ 0 2\|k ′ 1+k ′ 2+k3+l ′ 1+4l′2+5l3\|∗ l′1!l′2!l3!× × ( (\|ξ′1\|+ \|ξ′2\|+ \|ξ3\|)k ′ 1+k ′ 2+k3−l ′ 1−l ′ 2−l3 , k′1 + k′2 + k3 ≥ l′1 + l′2 + l3 0, k′1 < l′1 або k′2 < l′2, або k3 < l3. ) . Отже, ∣∣∂lξPk(t, ξ) ∣∣ ≤ t2\|k\|∗0 2\|k\|∗+\|l̂1\|∗+4\|l2\|∗+5\|l3\|∗ l!× ×\|ξ′′′1 \|k ′′′ 1 −l ′′′ 1 (\|ξ′′1 \|+ \|ξ′′2 \|)k ′′ 1 +k′′2−l ′′ 1−l ′′ 2 ( \|ξ′1\|+ \|ξ′2\|+ \|ξ3\| )k′1+k′2+k3−l′1−l′2−l3 , якщо k′′′1 ≥ l′′′1 , k′′1 ≥ l′′1 , k′′2 ≥ l′′2 , k′1 ≥ l′1, k′2 ≥ l′2, k3 ≥ l3, (5) iнакше ∂lξPk(ξ) = 0. Звiдси, враховуючи те, що ∃{c, δ, B} ⊂ R+ ∀m ∈ Zn+ ∀ξ ∈ Rn : \|∂mξ r(ξ)\| ≤ cB\|m\|∗mm −→ β e−δ\|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ , бо r(·) ∈ S −→ β −→α , маємо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1072 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО∣∣∣∂mξ (r(ξ)Pk(t, ξ)) ∣∣∣ ≤ cA\|k\|∗e−(δ/2)\|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ ∑ l≤m l!(m− l)(m−l) −→ β × × { sup ρ′′′1 > −→ 0 ( (ρ′′′1 )k ′′′ 1 −l ′′′ 1 e−\|ρ ′′′ 1 \| −→ 1 /−→α ′′′1 ∗ )( sup ρ′′1> −→ 0 ( (ρ′′1)k ′′ 1 +k′′2−l ′′ 1−l ′′ 2 e−\|ρ ′′ 1 \| −→ 1 /−→α ′′1 ∗ ) + + sup ρ′′2> −→ 0 ( (ρ′′2)k ′′ 1 +k′′2−l ′′ 1−l ′′ 2 e−\|ρ ′′ 2 \| −→ 1 /−→α ′′2 )) × × ( sup ρ′1> −→ 0 ( (ρ′1)k ′ 1+k ′ 2+k3−l ′ 1−l ′ 2−l3e−\|ρ ′ 1\| −→ 1 /−→α ′1 ∗ ) + + sup ρ′2> −→ 0 ( (ρ′2)k ′ 1+k ′ 2+k3−l ′ 1−l ′ 2−l3e−\|ρ ′ 2\| −→ 1 /−→α ′2 ∗ ) + + sup ρ3> −→ 0 ( ρ k′1+k ′ 2+k3−l ′ 1−l ′ 2−l3 3 e−\|ρ3\| −→ 1 /−→α3 ∗ ))} ≤ ≤ c1A\|k\|∗1 B \|m\|∗ 1 e−(δ/2)\|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ kk −→αmm −→ β × × ∑ l≤m l1! . . . ln!/(ml −→ β (k′′′1 )l ′′′ 1 −→α ′′′1 (k′′1 + k′′2 )(l ′′ 1 +l′′2 )−→α ′′1× ×(k′1 + k′2 + k3)(l ′ 1+l ′ 2+l3) −→α ′1) ≤ ≤ c1A\|k\|∗1 B \|m\|∗ 1 e−(δ/2)\|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ kk −→αmm −→ β (∑ l≤m 1 (l1!; . . . ; ln!)−→α+ −→ β−−→1 ) ≤ ≤ c1A\|k\|∗1 (2B1)\|m\|∗e−(δ/2)\|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ kk −→αmm −→ β , ξ ∈ Rn, де c1, A1 i B1 — додатнi сталi, якi не залежать вiд k im. Тут iстотною була умова (5) i те, що −→α + −→ β ≥ −→1 . Одержана оцiнка гарантує виконання нерiвностi (4) i, отже, правильнiсть тверд- ження леми. Лема 2. Для кожного елемента ϕ ∈ S −→ β −→α вiдповiдна абстрактна функцiя gt(x, ·) := (T x,·t ϕ)(x) параметра x ∈ Rn зi значеннями в S −→ β −→α при кожному фiксо- ваному t ≥ 0 нескiнченно диференцiйовна по x у цьому просторi (iнакше кажучи, оператор T x,·t є нескiнченно диференцiйовним за змiнною x у просторi S −→ β −→α ). Доведення. Насамперед зазначимо, що для всiх ϕ ∈ S −→ β −→α (T x,ξt ϕ)(x) = (T x,−xt ϕ)(−ξ), t ≥ 0, {x, ξ} ⊂ Rn. (6) Бiльш того, при t = 0 оператор T x,ξt збiгається з τ(−ξ), який, як зазначалось, є нескiнченно диференцiйовним у просторах типу S (щоправда, по (−ξ), проте, оскiльки (τ(−ξ)ϕ)(x) = ϕ(x − ξ) = (τxϕ)(−ξ), тобто змiннi x i (−ξ) симетричнi, g0(x, ξ) = ϕ(x− ξ), як абстрактна функцiя параметра x, є нескiнченно диференцi- йовною у просторi S −→ β −→α ). Звiдси, враховуючи властивiсть неперервностi оператора ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1073 Фур’є у просторах типу S, одержуємо, зокрема, що функцiя ǧψ(x, ·) = e−i(x,·)ψ(·), (7) є нескiнченно диференцiйовною за параметром x ∈ Rn у просторi S −→α−→ β для кожного елемента ψ з цього простору. У випадку t > 0 для доведення леми досить довести нескiнченну диференцi- йовнiсть по x функцiї Fξ→η[gt(x, ξ)] у просторi S −→α−→ β . З огляду на рiвнiсть (6) для t > 0 i {x, η} ⊂ Rn одержуємо F−1 ξ→η [ gt(x, ξ) ] = (−2π)−ne−i(x,η)e−(tx̂1,η2)e−i(tx ′ 2+2−1t2x′1,η3)F [ϕ](η). (8) Звiдси, враховуючи нескiнченну диференцiйовнiсть функцiї (7), а також те, що при кожних фiксованих x̂1 ∈ Rn2 , x′2 ∈ Rn3 i t > 0 функцiї e−i(tx̂1,η2) та e−i(tx ′ 2+2−1t2x′1,η3) є мультиплiкаторами у просторi S −→α−→ β , приходимо до нескiнченної диференцiйовностi F−1 ξ→η[gt] за змiнною x3 у цьому просторi. Щодо нескiнченної диференцiйовностi по x1 та x2, то спочатку переконаємося в iснуваннi частинних похiдних першого порядку за цими змiнними. Для цього у випадку x2j необхiдно встановити iснування такої границi: ( F−1 ξ→η [gt((x1, x21, . . . , x2j + h, . . . , x2n2 , x3), ξ)]− F−1 ξ→η[gt(x, ξ)] ) /h S −→α−→ β−→ h→0 S −→α−→ β−→ h→0 ∂x2jF −1 ξ→η[gt(x, ξ)]. (9) З урахуванням рiвностi (8) доведення (9) зводиться до встановлення граничних спiввiдношень µ1(η)F [ϕ](η) ( e−i(x2j+h)η2j − e−ix2jη2j ) /h S −→α−→ β−→ h→0 µ1(η)F [ϕ](η)(−iη2j)e−ix2jη2j , µ2(η)F [ϕ](η) ( e−it(x2j+h)η3j − e−itx2jη3j ) /h S −→α−→ β−→ h→0 µ2(η)F [ϕ](η)(−itη3j)e−itx2jη3j , де µ1, µ2 — вiдповiднi мультиплiкатори в S −→α−→ β . Проте виконання зазначених спiв- вiдношень безпосередньо випливає з попереднього твердження для функцiї (7) i властивостей мультиплiкаторiв µ1 i µ2 у просторах S −→α−→ β . Аналогiчно встановлюємо iснування похiдної ∂x1jF −1 ξ→η[gt] у сенсi топологiї простору S −→α−→ β . На завершення зауважимо, що з огляду на означення похiдних вищих порядкiв, а також на те, що кожен многочлен є мультиплiкатором у просторi S −→α−→ β , факт iсну- вання частинних похiдних першого порядку по x абстрактної функцiї F−1 ξ→η[gt] у S −→α−→ β гарантує iснування i частинних похiдних довiльного порядку для цiєї функцiї по x у зазначеному просторi типу S. Лему 2 доведено. Розглянемо рiвняння( ∂t + P (t, ∂x) ) u(t, x) = 0, (t, x) ∈ Π(0;T ], (10) ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1074 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО де T > 0, P (t, ∂x) := − ∑n2 j=1 x1j∂x2j − ∑n3 j=1 x2j∂x3j −A(t, i∂x1), а A(t, i∂x1) := := ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(t)i\|k1\|∗∂k1x1 — диференцiальний вираз порядку −→p := (p1; . . . . . . ; pn1) ≥ −→1 . Припускатимемо, що коефiцiєнти ak1(·) : [0;T ]→ Cn — неперервнi функцiї та- кi, що диференцiальний вираз L := ∂t−A(t, i∂x1) в шарi [0;T ]×Rn1 є рiвномiрно параболiчним у сенсi [5] (тут −→ h := (h1; . . . ;hn1) — векторний показник парабо- лiчностi, −→ 0 < −→ h ≤ −→p ). Через −→µ позначимо векторний рiд оператора L, тобто вектор з координатами µj := sup νj , j ∈ Nn1 , де вектор −→ν := (ν1; . . . ; νn1) такий, що в областi G−→ν := { (ξ + iη) ∈ Cn1 ∣∣∣ \|ηj \| ≤ cj(1 + \|ξj \|)νj , cj > 0, j ∈ Nn1 } виконується нерiвнiсть ReA(t, ξ + iη) ≤ −δ\|ξ\| −→ h ∗ , t ∈ [0;T ], зi сталою δ > 0, яка не залежить вiд t. Iз дослiджень, проведених у [6], фактично випливає, що −→µ ≤ −→1 . Далi вважатимемо, що для рiвняння (10) векторний рiд є додатним, тобто −→ 0 < −→µ ≤ −→1 . Прикладами рiвнянь, для яких виконуються наведенi припущення, є рiвняння (10), в яких вираз L рiвномiрно параболiчний за Петровським, Ейдельманом (у цих випадках −→µ = −→ 1 ), а також Шиловим з родом µ > 0 (тут −→µ = (µ; . . . ;µ)). Якщо для рiвняння (10) задати початкову умову u(t, ·)\|t=0 = f, f ∈ ( S −→ β −→α )′ , (11) то розв’язком задачi Кошi (10), (11) назвемо функцiю u, яка диференцiйовна по t, нескiнченно диференцiйовна по x, задовольняє рiвняння (10) у звичайному розу- мiннi, а початкову умову (11) у сенсi збiжностi у просторi ( S −→ β −→α )′ . 2. ФРЗК та його властивостi. Насамперед знайдемо ФРЗК для рiвняння (10). Для цього розглянемо для рiвняння (10) задачу Кошi з початковою умовою при t = τ, τ ∈ [0;T ), u(t, ·)\|t=τ = f, f ∈ (S −→ β −→α )′, (12) i вiдповiдну їй двоїсту за Фур’є задачу( ∂t + n2∑ j=1 ξ2j∂ξ1j + n3∑ j=1 ξ3j∂ξ2j −A(t, ξ1) ) v(t, ξ) = 0, (13) v(t, ·) (S −→α−→ β )′ −→ t→τ+0 F [f ](·). Розв’язуючи останню задачу методом характеристик, одержуємо [2] v(t, ξ) = exp { t∫ τ ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(θ)(ξ′1 − (t− θ)ξ′2+ ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1075 +2−1(t− θ)2ξ3)k ′ 1(ξ′′1 − (t− θ)ξ′′2 )k ′′ 2 (ξ′′′1 )k ′′′ 1 dθ } (Ť−t−τF [f ])(ξ), (t, ξ) ∈ Π(τ ;T ]. Звiдси, припустивши регулярнiсть функцiоналiв f i F [f ] та врахувавши рiвнiсть u(t, ·) = F−1[v](t, ·), формальними перетвореннями отримаємо формулу uτ (t, x) = ∫ Rn G(t, x; τ, ξ)f(ξ)dξ, (t, x) ∈ Π(τ ;T ], (14) в якiй G(t, x; τ, ξ) := ( T x,ξt−τF −1 η→x[V (t, τ, η)] ) (t, x; τ, ξ), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, (15) V (t, τ, η) := exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 t∫ τ ak1(θ)(η′1 + (θ − τ)η′2+ +2−1(θ − τ)2η3)k ′ 1(η′′1 + (θ − τ)η′′2 )k ′′ 1 (η′′′1 )k ′′′ 1 dθ } , 0 ≤ τ < t ≤ T, η ∈ Rn. В iнтегралi з формули (15) виконаємо замiну змiнних iнтегрування згiдно з правилами ηjl = (t− τ)1−j−1/plσjl, l ∈ Nnj , j ∈ N3, θ − τ = (t− τ)χ, тодi для G одержимо формулу G(t, x; τ, ξ) = (t− τ)−M ( T xt−τ ,ξt−τ t−τ F−1 σ→xt−τ [Ṽ (t, τ, σ)] ) (t, τ, xt−τ ), (16) в якiй M := n1∑ j=1 1/pj + n2∑ j=1 (1 + 1/pj) + n3∑ j=1 (2 + 1/pj), xt := ( t− −→ 1 /−→p x1; t−( ̂−→ 1 + −→ 1 /−→p )x2; t−( −→ 2 + −→ 1 /−→p )′x3 ) := := ( t−1/p1x11; . . . ; t−1/pn1x1n1 ; t−(1+1/p1)x21; . . . ; t−(1+1/pn2 )x2n2 ; t−(2+1/p1)x31; . . . ; t−(2+1/pn3 )x3n3 ) , а Ṽ (t, τ, η(t−τ)−1) = V (t, τ, η), (17) тобто Ṽ (t, τ, σ) := exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 (t− τ)1−\|k1/ −→p \|∗ 1∫ 0 ak1(τ + χ(t− τ))× ×(σ′1 + χσ′2 + 2−1χ2σ3)k ′ 1(σ′′1 + χσ′′2 )k ′′ 1 (σ′′′1 )k ′′′ 1 dχ } . ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1076 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО Отже, дослiдження функцiї G звелось до дослiдження функцiї Ṽ . Лема 3. Правильним є таке твердження: ∃{c0, c1} ⊂ R+ ∀z ∈ Cn1 : ∣∣∣∣∣ ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 zk1 ∣∣∣∣∣ ≤ c0\|z\|−→p∗ + c1. Доведення. Оскiльки∣∣∣∣∣ ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 zk1 ∣∣∣∣∣ ≤ ∑ \|k1/−→p \|∗=1 \|z\|k1 + ∑ \|k1/−→p \|∗<1 \|z\|k1 , z ∈ Cn1 , то для доведення леми досить переконатися в тому, що ∃c > 0 ∀z ∈ Cn1 \ {0} : ∑ \|k1/−→p \|∗=1 \|z\|k1 ≤ c\|z\| −→p ∗ . Нехай z ∈ Cn1 \ {0}, тодi( ∑ \|k1/−→p \|∗=1 \|z\|k1 ) /\|z\| −→p ∗ = ∑ \|k1/−→p \|∗=1 ( n1∏ j=1 \|zpjj \| k1j/pj ) /\|z\| −→p ∗ ≤ ≤ ∑ \|k1/−→p \|∗=1 ( n1∏ j=1 (max j \|zj \|pj )k1j/pj ) /(max j \|zj \|pj ) = ∑ \|k1/−→p \|∗=1 1. Лему 3 доведено. Наступне твердження характеризує Ṽ як функцiю просторової змiнної. Лема 4. Функцiя Ṽ (t, τ, ·) при кожних фiксованих t i τ, 0 ≤ τ < t ≤ T, допускає аналiтичне продовження до цiлої функцiї на Cn, для якої ∃{c, δ, δ1} ⊂ R+ ∀z := ξ + iη ∈ Cn ∀τ ∈ [0;T ) ∀t ∈ (τ ;T ] : ∣∣Ṽ (t, τ, z) ∣∣ ≤ c exp { − n3∑ j=1 ( δt−τj (\|ξ1j \|hj + \|ξ2j \|hj + \|ξ3j \|hj )− −δ1 ( \|η1j \|pj/µj + \|η2j \|pj/µj + \|η3j \|pj/µj )) − n2∑ j=n3+1 (δt−τj (\|ξ1j \|hj + \|ξ2j \|hj )− −δ1 ( \|η1j \|pj/µj + \|η2j \|pj/µj ) ) − n1∑ j=n2+1 ( δt−τj \|ξ1j \|hj − δ1\|η1j \|pj/µj )} , (18) де δtj := δt1−hj/pj , j ∈ Nn1 . Доведення. Безпосередньо iз структури функцiї Ṽ переконуємося, що за про- сторовою змiнною вона аналiтично продовжується на весь комплексний простiр Cn. При цьому на пiдставi леми 3, а також обмеженостi коефiцiєнтiв ak1(·) маємо ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1077 ∣∣Ṽ (t, τ, z) ∣∣ ≤ c exp { δ 1∫ 0 ( n3∑ j=1 \|z1j + χz2j + 2−1χ2z3j \|pj+ + n2∑ j=n3+1 \|z1j + χz2j \|pj + n1∑ j=n2+1 \|z1j \|pj ) dχ } , 0 ≤ τ < t ≤ T, z ∈ Cn, (19) де c i δ — додатнi сталi. Використовуючи означення векторного роду −→µ диференцiального виразу L, одержуємо, що для всiх z = ξ + iη ∈ Cn таких, що \|η1j + χη2j + 2−1χ2η3j \| ≤ c′j ( 1 + \|ξ1j + χξ2j + 2−1χξ3j \| )µj , j ∈ Nn3 , \|η1j + χη2j \| ≤ c′′j ( 1 + \|ξ1j + χξ2j \| )µj , j ∈ {n3 + 1; . . . ;n2}, \|η1j \| ≤ c′′′j (1 + \|ξ1j \|)µj , j ∈ {n2 + 1; . . . ;n1} (тут χ ∈ [0; 1], а c′j , c ′′ j i c′′′j — додатнi сталi, не залежнi вiд z i χ), справджується нерiвнiсть ∣∣Ṽ (t, τ, z) ∣∣ ≤ c1 exp { − 1∫ 0 ( n3∑ j=1 δt−τj \|ξ1j + χξ2j + 2−1χ2ξ3j \|hj+ + n2∑ j=n3+1 δt−τj \|ξ1j + χξ2j \|hj + n1∑ j=n2+1 δt−τj \|ξ1j \|hj ) dχ } . (20) За допомогою нерiвностей (19), (20) i мiркувань, аналогiчних використаним при доведеннi теореми 2 з [7, с. 256, 284], одержуємо оцiнку ∣∣Ṽ (t, τ, z) ∣∣ ≤ c2 exp { − 1∫ 0 ( n3∑ j=1 ( δt−τj \|ξ1j + χξ2j + 2−1χ2ξ3j \|hj − b\|η1j + χη2j+ +2−1χ2ξ3j \|pj/µj ) + n2∑ j=n3+1 ( δt−τj \|ξ1j + χξ2j \|hj − b\|η1j + χη2j \|pj/µj ) + + n1∑ j=n2+1 ( δt−τj \|ξ1j \|hj − b\|η1j \|pj/µj )) dχ } , яка виконується для всiх τ ∈ [0;T ), t ∈ (τ ;T ] i z ∈ Cn, причому c2 := max{c, c1}, а стала b > 0. Звiдси, враховуючи iснування сталих c′j > 0, c′′j > 0, j ∈ N2, таких, що для −→α := (−→α ′;−→α ′′) > −→0 c′1 ≤ 1∫ 0 ∣∣∣ζ ′1/\|ζ ′\|∗ + χζ ′2/\|ζ ′\|∗ + 2−1χ2ζ3/\|ζ ′\|∗ ∣∣∣−→α ′ ∗ dχ ≤ c′2, ζ ′ ∈ R3n3 \ {0}, c′′1 ≤ 1∫ 0 ∣∣∣ζ ′′1 /\|ζ ′′\|∗ + χζ ′′2 /\|ζ ′′\|∗ ∣∣∣−→α ′′ ∗ dχ ≤ c′′2 , ζ ′′ ∈ R2(n2−n3) \ {0}, отримуємо оцiнку (18). ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1078 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО Наслiдок . Функцiя G(t, x; τ, ·) при кожних фiксованих t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ) i x ∈ Rn належить до простору S −→α ∗−→ β ∗ , де −→α ∗ := {−→1 / −→ h , −̂→ 1 / −→ h , −→ 1 / −→ h ′}, a −→ β ∗ := := {−→ 1 −−→µ /−→p , ̂( −→ 1 −−→µ /−→p ), ( −→ 1 −−→µ /−→p )′ } . Це твердження стає очевидним, якщо взяти до уваги лему 4, рiвностi (3) i (16), властивiсть двоїстостi за Фур’є просторiв типу S, а також те, що T̃ x,−xt : S −→ β −→α −→ S −→ β −→α , t ≥ 0, x ∈ Rn( бо e−i(x,ζ)e−i(tx̂1,ζ2)e−i(tx ′ 2+2−1t2x′1,ζ3), як функцiя ζ, є мультиплiкатором у прос- торах типу S при кожних фiксованих t ≥ 0 i x ∈ Rn ) . Лема 5. При кожних фiксованих x ∈ Rn i τ ∈ [0;T )G(t, x; τ, ·), як абстракт- на функцiя параметра t, диференцiйовна по t на (τ ;T ] у просторi S −→α ∗−→ β ∗ . Доведення. Оскiльки оператор Фур’є (як прямий, так i обернений) взаємно однозначно i неперервно вiдображає простори типу S у їм вiдповiднi, то, зважаючи на рiвнiсть G(t, x; τ, ξ) = (2π)−nFζ→ξ [ (T̃ x,−xt−τ V )(t, τ, ζ) ] (t, x; τ, ξ), для доведення леми досить переконатися в iснуваннi границi Ψh(t, x; τ, ·) := ( (T̃ x,−xtτh V )(t+ h, τ, ·)− (T̃ x,−xt−τ V )(t, τ, ·) ) /h−→ h→0 −→ h→0 ∂t(T̃ x,−x t−τ V )(t, τ, ·), tqp := t+ p− q, (21) у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ для кожних x ∈ Rn i τ ∈ [0;T ). Оскiльки Ψh(t, x; τ, ·) = e−i(·,x) ( ∂tµ(t+ θh, x; τ, ·)V (t+ h, τ, ·)+ +µ(t, x; τ, ·)∂tV (t+ θh, τ, ·) ) , θ ∈ (0; 1) (тут µ(t, x; τ, ζ) := e−i((ζ2,(t−τ)x̂1)+(ζ3,(t−τ)x′2+2−1(t−τ)2x′1))), а ∂t ( T̃ x,−xt−τ V ) (t, τ, ·) = ∂tµ(t, x; τ, ·)V (t, τ, ·) + µ(t, x; τ, ·)∂tV (t, τ, ·), то (21) виконуватиметься, якщо будуть правильними такi твердження: а) ∂tµ(t+ θh, x; τ, ·)V (t+ h, τ, ·) S −→ β ∗ −→α∗−→ h→0 ∂tµ(t, x; τ, ·)V (t, τ, ·), б) ∂tV (t+ θh, τ, ·) S −→ β ∗ −→α∗−→ h→0 ∂tV (t, τ, ·) для кожного фiксованого x ∈ Rn i τ ∈ [0;T ). Переконаємося спочатку в тому, що для будь-якого компакта K ⊂ Cn ∆ := ∣∣∣∂tµ(t+ θh, x; τ, ζ)Vt(t+ h, τ, ζ)− ∂tµ(t, x; τ, ζ) ∣∣∣ ζ∈K ⇒ h→0 0, (22) де ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1079 Vt(t+ h, τ, ζ) := exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 t+h∫ t ak1(θ)(ζ ′1 + (θ − τ)ζ ′2+ +2−1(θ − τ)2ζ3)k ′ 1(ζ ′′1 + (θ − τ)ζ ′′2 )k ′′ 1 (ζ ′′′1 )k ′′′ 1 dθ } . Зважаючи на те, що ∂tµ(t+ θh, x; τ, ζ) = = e−iθh((ζ2,x̂1)+(ζ3,x ′ 2+t τ θhx ′ 1)) ( ∂tµ(t, x; τ, ζ)− iθhµ(t, x; τ, ζ)(ζ3, x′1) ) , (23) одержуємо нерiвнiсть ∆ ≤ ∣∣∂tµ(t, x; τ, ζ) ∣∣ ∣∣∣e−iθh((ζ2,x̂1)+(ζ3,x ′ 2+t τ θhx ′ 1))Vt(t+ θh, τ, ζ)− 1 ∣∣∣+ +\|θh\| ∣∣µ(t, x; τ, ζ)(ζ3, x′1) ∣∣ ∣∣∣e−iθh((ζ2,x′1)+(ζ3,x ′ 2+t τ θhx ′ 1)) ∣∣∣. З цiєї нерiвностi, а також обмеженостi при кожних t, x i τ функцiй∣∣∂tµ(t, x; τ, ζ) ∣∣, ∣∣µ(t, x; τ, ζ)(ζ3, x′1) ∣∣,∣∣∣e−iθh((ζ2,x̂1)+(ζ3,x ′ 2+t τ θhx ′ 1)) ∣∣∣, \|h\| ≤ 1, ζ ∈ K, випливає, що доведення (22) зводиться до встановлення граничного спiввiдношен- ня ∣∣∣e−iθh((ζ2,x̂1)+(ζ3,x ′ 2+t τ θhx ′ 1))Vt(t+ h, τ, ζ)− 1 ∣∣∣ ζ∈K ⇒ h→0 0. (24) Виконання цього спiввiдношення стає очевидним, якщо зважити на можливiсть застосування вiдомого твердження Лагранжа про скiнченнi прирости до пiдмодуль- ного виразу в (24). Отже, для доведення твердження а) залишається переконатися в обмеженостi у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ сукупностi функцiй ∂tµ(t + θh, x; τ, ·)V (t + h, τ, ·), \|h\| � 1 (при кожних фiксованих t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T ) i x ∈ Rn). Для цього ще раз скорис- таємося рiвнiстю (23). Оскiльки ∂tµ(t, x; τ, ζ) i µ(t, x; τ, ζ)(ζ3, x′1), як функцiї ζ, при кожних фiксованих t, x i τ є мультиплiкаторами у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ , то зазна- чена обмеженiсть виконуватиметься, якщо V (t + h, τ, ζ) i EV (t + h, x; τ, ζ) := := e−iθh((ζ2,x̂1)+(ζ3,x ′ 2+t τ θhx ′ 1))V (t+h, τ, ζ) будуть обмеженими в S −→ β ∗ −→α ∗ , як функцiї ζ, для досить малих значень \|h\|. Спочатку переконаємося в обмеженостi V. Враховуючи зв’язок (17) мiж V i Ṽ та оцiнки (18), маємо ∣∣V (t+ h, τ, ζ) ∣∣ ≤ c exp { − n3∑ j=1 ( δ1t τ h(\|ξ1j \|hj + \|tτhξ2j \|hj + \|(tτh)2ξ3j \|hj )− −δ2 ( \|(tτh)1/pjη1j \|pj/µj + \|(tτh)1+1/pjη2j \|pj/µj + \|(tτh)2+1/pjη3j \|pj/µj )) − ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1080 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО − n2∑ j=n3+1 ( δ1t τ h ( \|ξ1j \|hj + \|tτhξ2j \|hj ) − δ2 ( \|(tτh)1/pjη1j \|pj/µj + \|(tτh)1+1/pjη2j \|pj/µj )) − − n1∑ j=n2+1 ( δ1t τ h\|ξ1j \|hj − δ2\|(tτh)1/pjη1j \|pj/µj )} , ζ = ξ + iη ∈ Cn, 0 ≤ τ < t ≤ T, \|h\| � 1. (25) Звiдси для \|h\| < (t− τ)/2 дiстаємо потрiбну обмеженiсть функцiї V. Oбмеженiсть EV (t + h, x; τ, ·) випливає безпосередньо з щойно встановленої обмеженостi V (t+ h, τ, ·) та з того, що −→p /−→µ ≥ −→p ≥ −→1 , −→0 < −→µ ≤ −→1 . Отже, твердження а) доведено. Перейдемо тепер до встановлення твердження б). Оскiльки ∂tV (t+ b, τ, ·) = P0(t+ b, τ, ·)V (t+ b, τ, ·), (26) де P0(t+ b, τ, ζ) := := ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(t+ b)(ζ ′1 + tτb ζ ′ 2 + 2−1(tτb )2ζ3)k ′ 1(ζ ′′1 + tτb ζ ′′ 2 )k ′′ 1 (ζ ′′′1 )k ′′′ 1 , 0 ≤ τ < t ≤ T, ζ ∈ Cn, \|b\| ≤ 1, то ∆1 := ∣∣∂tV (t+ θh, τ, ·)− ∂tV (t, τ, ·) ∣∣ ≤ ≤ ∣∣P0(t+ θh, τ, ·) ∣∣ ∣∣V (t+ θh, τ, ·)− V (t, τ, ·) ∣∣+ + ∣∣V (t, τ, ·) ∣∣ ∣∣P0(t+ θh, τ, ·)− P0(t, τ, ·) ∣∣. Якщо врахувати рiвномiрну щодо h обмеженiсть на кожному компактi K виразу \|P0(t+ θh, τ, ·)\|, то для доведення того, що для кожного компакта K ⊂ Cn ∆1 ζ∈K ⇒ h→0 0, досить переконатися у правильностi таких граничних спiввiдношень: 1) ∣∣Vt(t+ θh, τ, ζ)− 1 ∣∣ ζ∈K ⇒ h→0 0; 2) ∣∣P0(t+ θh, τ, ζ)− P0(t, τ, ζ)\| ζ∈K ⇒ h→0 0. Bиконання спiввiдношень 1 i 2 стає очевидним, якщо мiркувати так, як i у випадку (24), тa зважити на структуру функцiї P0(t, τ, ·) i властивостi коефiцiєнтiв ak1(·). Обмеженiсть ∂tV (t + θh, τ, ·), як функцiї h, \|h\| � 1, у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ також є очевидною, якщо врахувати рiвнiсть (26) та ранiше встановлений факт обмеженостi V (t+ h, τ, ·), а також те, що P0(t+ θh, τ, ·) є степеневою функцiєю з обмеженими коефiцiєнтами. Таким чином, правильнiсть твердження б) встановлено. Лему 5 доведено. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1081 Зазначимо, що дослiдженi властивостi функцiїG забезпечують коректнiсть здiй- снених перетворень при одержаннi формули (14) для досить „хороших” f. Крiм цього, оскiльки V (t, x; τ, ξ) експоненцiально спадає за змiнною ξ при ‖ξ‖ → ∞, то перетворення Фур’є у формулi (15) є правомiрним. А отже, подiявши оберне- ним перетворенням Фур’є на (13) та врахувавши зображення (15), одержимо, що G(t, x; τ, ξ), як функцiя змiнних t i x, задовольняє рiвняння (10) в Π(τ ;T ]. На завершення цього пункту доведемо ще одне допомiжне твердження. Лема 6. Нехай ψ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ , It,τη,ψ(x) := ψ(x) ( T̃ x,−xt−τ V ) (t, τ, η), 0 ≤ τ < t ≤ T, {x, η} ⊂ Rn, а J t,τψ (η) := ∫ Rn It,τη,ψ(x)dx. Тодi для всiх τ ∈ [0;T ) J t,τψ (·) S −→ β ∗ −→α∗−→ t→τ+0 (2π)nF−1[ψ](·). Доведення. З огляду на критерiй збiжностi у просторах типу S досить встано- вити виконання таких умов: 1) J t,τψ (ζ) ζ∈K ⇒ t→τ+0 (2π)nF−1[ψ](ζ) для будь-якого компакта K ⊂ Cn; 2) сукупнiсть J t,τψ (·), 0 < t− τ � 1, обмежена у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ . Зазначимо, що J t,τψ (·) = (2π)nV (t, τ, ·) ( Ť+ t−τF −1[ψ] ) (·), ψ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ , 0 ≤ τ < t ≤ T. (27) Тодi ∣∣(2π)−nJ t,τψ (ζ)− F−1[ψ](ζ) ∣∣ ≤ ≤ ∣∣V (t, τ, ζ)− 1 ∣∣ ∣∣∣(Ť+ t−τF −1[ψ])(ζ) ∣∣∣+ ∣∣∣(Ť+ t−τF −1[ψ] ) (ζ)− F−1[ψ](ζ) ∣∣∣. Оскiльки ∣∣V (t, τ, ζ)− 1 ∣∣ = ∣∣V (t, τ, ζ)− V (τ, τ, ζ) ∣∣ ζ∈K ⇒ t→τ+0 0, ∣∣∣(Ť+ t−τF −1[ψ])(ζ)− F−1[ψ])(ζ) ∣∣∣ = ∣∣∣(Ť+ t−τF −1[ψ])(ζ)− (Ť+ 0 F −1[ψ])(ζ) ∣∣∣ ζ∈K ⇒ t→τ+0 0 (у цьому неважко переконатися, якщо врахувати вiдповiдну теорему про скiнченнi прирости та гладкiсть функцiй V i ψ) i sup ζ∈K (∣∣∣(Ť+ t−τF −1[ψ])(ζ) ∣∣∣) ≤ cT , де cT не залежить вiд t i τ, то виконання умови 1 є очевидним. Далi, використавши зображення (27), оцiнку \|V (t, τ, ζ)\| ≤ c1eδ0\|η\| −→ 1−→ 1− −→ β ∗ ∗ , ζ = ξ + iη ∈ Cn, 0 ≤ τ < t ≤ T, яка випливає безпосередньо з (25) при h = 0, а також те, що F−1[ψ](·) ∈ S −→ β ∗ −→α ∗ , тобто нерiвнiсть ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1082 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО ∣∣∣(Ť+ t−τF −1[ψ] ) (ζ) ∣∣∣ ≤ c exp { −δ1\|ξ\| −→ 1 /−→α ∗ ∗ + δ2\|η\| −→ 1 −→ 1− −→ β ∗ ∗ } , ζ = ξ + iη ∈ Cn, 0 < t− τ � 1, де c, δ1 i δ2 — додатнi сталi, дiстанемо обмеженiсть абстрактної функцiї J t,τψ (·) при досить близьких t до τ у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ . Лему 6 доведено. 3. Коректна розв’язнiсть задачi Кошi. Належнiсть функцiї G(t, x; τ, ·) до простору S −→α ∗−→ β ∗ (при кожних фiксованих t, x i τ, якi змiнюються вiдомим способом), а також структура (14) при τ = 0 розв’язку u рiвняння (10), побудованого за регу- лярною узагальненою початковою при t = τ функцiєю f (з необхiдними властивос- тями), наводять на думку про можливiсть поширення розв’язку рiвняння (10) на всi елементи f з простору (S −→α ∗−→ β ∗ )′ за допомогою бiлiнiйної форми 〈fη, G(t, x; 0, η)〉 (тут iндекс η вказує на змiнну, за якою вiдбувається дiя цього функцiонала). Виявля- ється, що така форма є природним зображенням розв’язку, яке дозволяє розширити клас початкових значень класичних розв’язкiв рiвняння (10). Теорема. Нехай початкова функцiя f є елементом простору (S −→α ∗−→ β ∗ )′. Тодi для задачi Кошi (10), (11) iснує єдиний неперервно залежний вiд початкових даних розв’язок, який диференцiйовний по t, нескiнченно диференцiйовний по x i зобра- жується формулою u(t, x) = 〈fη, G(t, x; 0, η)〉, t ∈ Π(0;T ]. Доведення. Враховуючи структуру (15) функцiїG, належнiсть F−1 η→x[V (t, τ, η)], 0 ≤ τ < t ≤ T, до простору S −→α ∗−→ β ∗ (див. лему 4 i рiвнiсть (17)) та лему 2, одержуємо нескiнченну диференцiйовнiсть G(t, x; τ, ·) за параметром x ∈ Rn у просторi S −→α ∗−→ β ∗ . Звiдси на пiдставi наслiдку з леми 4 та неперервностi функцiо- нала f з (S −→α ∗−→ β ∗ )′ дiстаємо нескiнченну диференцiйовнiсть по x на Rn функцiї uτ (t, x) := 〈 fη, G(t, x; τ, η) 〉 , 0 ≤ τ < t ≤ T, а також рiвнiсть ∂mx uτ (t, x) = 〈 fη, ∂ m x G(t, x; τ, η) 〉 , m ∈ Zn+, (t, x) ∈ Π(τ,T ], τ ∈ [0;T ). Безпосередньо з леми 5 випливає рiвнiсть ∂tuτ (t, x) = 〈 fη, ∂tG(t, x; τ, η) 〉 , (t;x) ∈ Π(τ,T ], τ ∈ [0;T ), яка характеризує звичайну диференцiйовнiсть по t функцiї uτ на (τ ;T ] для всiх τ ∈ [0;T ). Оскiльки G(t, x; τ, η) — розв’язок рiвняння (10) (при кожних фiксованих τ ∈ ∈ [0;T ) i η ∈ Rn), то на пiдставi лiнiйностi функцiонала f дiстанемо рiвнiсть (∂t + P (t, ∂x))uτ (t, x) = 〈 fη, ( ∂t + P (t, ∂x) ) G(t, x; τ, η) 〉 = 0, (t, x) ∈ Π(τ ;T ], τ ∈ [0;T ). Отже, функцiя 〈 fη, G(t, x; τ, η) 〉 для (t, x) ∈ (τ, T ] × Rn, τ ∈ [0;T ), задовольняє рiвняння (10) у звичайному розумiннi. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1083 Доведемо виконання початкової умови (11) для функцiї u(t, ·). Зафiксувавши довiльно ψ з S −→α ∗−→ β ∗ i врахувавши означення оберненого перетворення Фур’є уза- гальненої функцiї, а також регулярнiсть функцiонала uτ (t, ·), одержимо 〈 uτ (t, x), ψ(x) 〉 = (2π)n ∫ Rn (〈 F−1 ξ→η[f ], F−1 ξ→η [ G(t, x; τ, ξ) ]〉) ψ(x)dx = = ∫ Rn (〈 F−1 ξ→η[f ], It,τη,ψ(x) 〉) dx, 0 ≤ τ < t ≤ T. Доведемо тепер iнтегровнiсть абстрактної функцiї It,τ(·),ψ(x) по x (при кожному фiксованому t ∈ (τ ;T ], τ ∈ [0;T )) у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ , тобто встановимо послiдовне виконання таких умов: 1) функцiя It,τη,ψ(x) iнтегровна по x на кожнiй множинiK(r) := {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ ≤ r}, r > 0, у просторi S −→ β ∗ −→α ∗ ; 2) J t,τr,ψ(η) := ∫ K(r) It,τη,ψ(x)dx S −→ β ∗ −→α∗−→ r→+∞ J t,τψ (η), η ∈ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T. Згiдно iз загальною теорiєю повних досконалих злiченно-нормованих просторiв (див. [7, с. 100]) для виконання умови 1 досить переконатися в неперервностi у сенсi топологiї простору S −→ β ∗ −→α ∗ абстрактної функцiї It,τη,ψ(x) на множинi K(r) (при η ∈ Rn, 0 ≤ τ < t ≤ T ). На пiдставi леми 2 та неперервностi оператора Фур’є у просторах типу S функцiя It,τη,ψ(x) є неперервною на Rn за змiнною x, як диференцiйовна функцiя в S −→ β ∗ −→α ∗ . Перейдемо до доведення твердження 2. Зважаючи на критерiй збiжностi у прос- торi S −→ β ∗ −→α ∗ , необхiдно переконатися у виконаннi наступних умов: 1) \|J t,τr,ψ(ζ)−J t,τψ (ζ)\| ζ∈K ⇒ r→+∞ 0, 0 ≤ τ < t ≤ T, для довiльного компакта K ⊂ Cn; 2) послiдовнiсть J t,τr,ψ(·), r ∈ N, обмежена в S −→ β ∗ −→α ∗ при кожних фiксованих t ∈ (τ, T ] i τ ∈ [0;T ). Зазначимо, що оскiльки ψ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ , то ∃{c, δ} ⊂ R+ ∀x ∈ Rn : ∣∣ψ(x) ∣∣ ≤ c exp { −δ\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ } . Тому для кожної кулi K(ρ) := { (ζ1; . . . ; ζn) ∈ Cn \| ∑n j=1 \|ζj \| ≤ ρ } , ρ > 0, маємо∣∣∣∣∣∣ ∫ Rn It,τζ,ψ(x)dx ∣∣∣∣∣∣ ≤ ∫ Rn ∣∣ψ(x) ∣∣ ∣∣e−i(x,ζ)µ(t, x; τ, ζ)V (t, τ, ζ) ∣∣dx ≤ ≤ c sup ζ∈K(ρ), x∈Rn { e−(δ/2)\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ ∣∣e−i(x,ζ)µ(t, x; τ, ζ)V (t, τ, ζ) ∣∣}× ×  ∫ Rn e−(δ/2)\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ dx  = ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1084 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО = c1(t, τ, ρ) < +∞, 0 ≤ τ < t ≤ T, ρ > 0. Звiдси випливає, що iнтеграл ∫ Rn It,τζ,ψ(x)dx збiгається рiвномiрно щодо ζ на до- вiльнiй кулiK(ρ) при кожному фiксованому t ∈ (τ ;T ] i τ ∈ [0;T ). Використовуючи це та рiвнiсть ∣∣∣J t,τr,ψ(ζ)− J t,τψ (ζ) ∣∣∣ = ∣∣∣∣∣∣∣ ∫ Rn\K(r) It,τζ,ψ(x)dx ∣∣∣∣∣∣∣ , приходимо до виконання умови 1. Умова 2 також виконується. Справдi,∣∣∣J t,τr,ψ(ζ) ∣∣∣ ≤ ∫ Rn ∣∣∣It,τζ,ψ(x) ∣∣∣ dx ≤ c\|V (t, τ, ζ)\|R(t, τ, ζ) ∫ Rn e−(δ/2)\|x\| −→ 1 / −→ β ∗ ∗ dx, r > 0, ζ ∈ Cn, 0 ≤ τ < t ≤ T, де R(t, τ, ξ + iη) := := n3∏ j=1 sup x1j∈R ( exp { −δ 2 \|x1j \|1/β ∗ j + \|x1j \| ( \|η1j \|+ (t− τ)\|η2j \|+ 2−1(t− τ)2\|η3j \| )}) × × n2∏ j=n3+1 sup x1j∈R ( exp { −δ 2 \|x1j \|1/β ∗ j + \|x1j \| ( \|η1j \|+ (t− τ)\|η2j \| )}) × × n1∏ j=n2+1 sup x1j∈R ( exp { −δ 2 \|x1j \|1/β ∗ j + \|x1j \| \|η1j \| }) × × n3∏ j=1 sup x2j∈R ( exp { −δ 2 \|x2j \|1/β ∗ j + +\|x2j \| ( \|η2j \|+ (t− τ)\|η3j \| )}) × × n2∏ j=n3+1 sup x2j∈R ( exp { −δ 2 \|x2j \|1/β ∗ j + \|x2j \| \|η2j \| }) × × n3∏ j=1 sup x3j∈R ( exp { −δ 2 \|x3j \|1/β ∗ j + \|x3j \| \|η3j \| }) . Якщо тепер врахувати рiвностi sup ρ>0 ( exp{−aρα + bρ} ) = exp { (1− 1/α)(1/(αa))1/(α−1)b1+1/(α−1) } , {a, b} ⊂ R+, α > 0; −→ 1 + ( −→ 1 / −→ β ∗ −−→1 )−1 = −→p /−→µ , та оцiнку (25) при h = 0, то виконання умови 2 стає очевидним. Отже, доведено рiвнiсть ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1085 〈 uτ (t, x), ψ(x) 〉 = 〈 F−1 ξ→η[f ], J t,τψ (η) 〉 , ψ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ , 0 ≤ τ < t ≤ T, (28) з якої на пiдставi леми 6 одержуємо〈 uτ (t, x), ψ(x) 〉 −→ t→τ+0 (2π)n 〈 F−1[f ](η), F−1[ψ](η) 〉 = 〈f, ψ〉 для будь-яких ψ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ i τ ∈ [0;T ). А звiдси випливає виконання початкової умови (11) для функцiї u(t, ·) = u0(t, ·). Доведемо тепер єдинiсть розв’язку задачi Кошi (10), (11). Cкористаємось вiдо- мим способом Хольмгрена, належно пристосувавши його до даного випадку. На- гадаємо, що цей спосiб характеризується тим, що з iснування розв’язку заданого рiвняння при довiльних початкових даних з певного основного простору випливає єдинiсть розв’язку задачi Кошi для вiдповiдного спряженого рiвняння. Для цього розглянемо таку допомiжну (спряжену) задачу Кошi:( −∂t + P ∗(t, ∂x) ) v(t, τ, x) = 0, (t, x) ∈ Π[0;τ), (29) v(t, τ, ·) S −→α∗−→ β ∗−→ t→τ−0 ϕ(·), ϕ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ , τ ∈ (0, T ], (30) де τ ∈ (0;T ], P ∗(t, ∂x) — спряжений з P (t, ∂x) диференцiальний вираз, тобто P ∗(t, ∂x) := n2∑ j=1 x1j∂x2j + n3∑ j=1 x2j∂x3j − ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 ak1(t)(i∂x1)k1 . Оскiльки ϕ — елемент з S −→α ∗−→ β ∗ , то вiдповiдний класичний розв’язок рiвняння з (29) зображується рiвнiстю v(t, τ, ·) = ∫ Rn ϕ(ξ)G∗(t, ·; τ, ξ)dξ, 0 ≤ t < τ ≤ T, (31) в якiй G∗ — ФРЗК (29), (30): G∗(t, x; τ, ξ) := (2π)−nFη→ξ [ (T̃ x,−xt−τ V ∗)(t, τ, η) ] (t, x; τ, ξ), 0 ≤ t < τ ≤ T, {x, ξ} ⊂ Rn, де V ∗(t, τ, η) := exp { ∑ \|k1/−→p \|∗≤1 τ∫ t ak1(θ)(η′1 + (θ − τ)η′2 + 2−1(θ − τ)2η3)k ′ 1× ×(η′′1 + (θ − τ)η′′2 )k ′′ 1 (η′′′1 )k ′′′ 1 dθ } , 0 ≤ t < τ ≤ T, η ∈ Rn. Мiркуючи, як i у випадку задачi Кошi (10), (11), переконуємося, що при кожних фiксованих t i τ, 0 ≤ t < τ ≤ T, функцiя V ∗(t, τ, ·) є елементом простору S −→ β ∗ −→α ∗ , до того ж виконується граничне спiввiдношення (30) для v з формули (31). Звiдси, зважаючи на те, що v(t, τ, x) = ∫ Rn F−1[ϕ](η)(T̃ x,−xt−τ V ∗)(t, τ, η)dη, 0 ≤ t < τ ≤ T, x ∈ Rn, ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 1086 С. Д. IВАСИШЕН, В. А. ЛIТОВЧЕНКО та враховуючи при цьому лему 1, а також те, що F−1[ϕ](·) ∈ S −→ β ∗ −→α ∗ , одержуємо належнiсть функцiї v(t, τ, ·) до простору S −→α ∗−→ β ∗ для всiх t i τ, 0 ≤ t < τ ≤ T. Далi означимо оператор Qtτ : S −→α ∗−→ β ∗ → S −→ β ∗ −→α ∗ рiвнiстю (Qtτϕ)(·) := v(t, τ, ·), 0 ≤ t < τ ≤ T. Цей оператор є лiнiйним, неперервним i таким, що для всiх ϕ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ ∂tQ t τϕ = P ∗(t, ∂x)Qtτϕ, Qtτϕ S −→α∗−→ β ∗−→ t→τ−0 ϕ. (32) Розглянемо тепер розв’язок u(t, ·) = 〈 fη, G(t, ·; 0, η) 〉 , f ∈ (S −→α ∗−→ β ∗ )′, задачi Кошi (10), (11), який, очевидно, є елементом простору ( S −→α ∗−→ β ∗ )′ . Для єдиностi розв’яз- ку цiєї задачi досить довести, що єдиним розв’язком рiвняння (10) при нульовiй початковiй умовi може бути лише u = 0. Застосуємо функцiонал u до функцiї Qtτϕ, де ϕ — довiльний елемент з S −→α ∗−→ β ∗ , i розглянемо ∑ t τϕ := 〈u,Qtτϕ〉. Диференцiюючи ∑ t τϕ по t та використовуючи рiвностi (10) i (32), одержуємо ∂t ∑ t τϕ = 〈∂tu,Qtτϕ〉+ 〈u, ∂tQtτϕ〉 = −〈Pu,Qtτϕ〉+ 〈u, P ∗Qtτϕ〉 = = −〈Pu,Qtτϕ〉+ 〈Pu,Qtτϕ〉 = 0, ϕ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ , 0 ≤ t ≤ τ ≤ T (про диференцiйовнiсть абстрактної функцiї див. [7, c. 96]). Звiдси робимо висно- вок, що ∑ t τϕ— стала величина. Враховуючи тепер початкову умову u(t, ·)\|t=0 = 0, знаходимо, що для всiх t ∈ [0; τ) ∑ t τϕ = 0, ϕ ∈ S−→α ∗−→ β ∗ . Зокрема, при t → τ − 0, згiдно з (32) та тим, що u — неперервний функцiонал з ( S −→α ∗−→ β ∗ )′ , маємо ∑ τ τϕ = = 〈u, ϕ〉 = 0, ϕ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ . Отже, u(t, ·) = 0 для t ∈ [0; τ ]. Довiльнiсть вибору τ з (0;T ] забезпечує виконання цiєї рiвностi для всiх t ∈ [0;T ]. Нарештi, переконаємось у неперервнiй залежностi розв’язку задачi (10), (11) вiд початкових даних. Для цього досить встановити, що для кожної послiдовностi {f ; fν , ν ≥ 1} ⊂ ( S −→α ∗−→ β ∗ )′ , fν ( S −→α∗−→ β ∗ )′ −→ ν→+∞ f, вiдповiдна послiдовнiсть розв’язкiв uν := := 〈fν , G〉 ( S −→α∗−→ β ∗ )′ −→ ν→+∞ 〈f,G〉 =: u, тобто ∀ϕ ∈ S −→α ∗−→ β ∗ : 〈uν , ϕ〉 −→ ν→+∞ 〈u, ϕ〉. Цей факт стає очевидним, якщо використати рiвнiсть (28) та властивiсть неперерв- ностi оператора Фур’є у просторi ( S −→α ∗−→ β ∗ )′ . Теорему доведено. 1. Kolmogoroff A. N. Zufällige Bewegungen (Zur Theorie der Brownschen Bewegung) // Ann. Math. – 1934. – 35. – P. 116 – 117. 2. Eidelman S. D., Ivasyshen S. D., Kochubei A. N. Analytic methods in the theory of differential and pseudo-differential equations of parabolic type // Operator Theory: Adv. and Appl. – 2004. – 152. – 390 p. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8 ЗАДАЧА КОШI ДЛЯ ОДНОГО КЛАСУ ВИРОДЖЕНИХ ПАРАБОЛIЧНИХ РIВНЯНЬ ... 1087 3. Петровский И. Г. О проблеме Коши для систем уравнений с частными производными в области неаналитических функций // Бюл. Моск. ун-та. Математика и механика. – 1938. – 1, № 7. – С. 1 – 72. 4. Эйдельман С. Д. Об одном классе параболических систем // Докл. АН СССР. – 1960. – 133, № 1. – С. 40 – 43. 5. Литовченко В. А. Задача Коши для {−→p , −→ h }-параболических уравнений с коэффициентами, зави- сящими от времени // Мат. заметки. – 2005. – 77, № 3-4. – С. 364 – 379. 6. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. – М.: Физматгиз, 1958. – 274 с. 7. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций. – М.: Физматгиз, 1958. – 307 с. 8. Iвасишен С. Д., Андросова Л. М. Принцип локалiзацiї для розв’язкiв деяких вироджених пара- болiчних рiвнянь // Крайовi задачi з рiзними виродженнями i особливостями. – Чернiвцi, 1990. – С. 48 – 61. 9. Возняк О.Г. Про однозначну розв’язнiсть задачi Кошi для одного класу вироджених рiвнянь у просторах узагальнених функцiй // Наук. вiсн. Чернiв. ун-ту. – 2001. – Вип. 111. – С. 5 – 10. 10. Возняк О. Г., Iвасишен С. Д. Однозначна розв’язнiсть i властивiсть локалiзацiї розв’язкiв задачi Кошi для одного класу вироджених рiвнянь з узагальненими початковими даними // Мат. методи та фiз.-мех. поля. – 2001. – 44, № 4. – C. 27 – 39. Одержано 16.01.09 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 8
id	umjimathkievua-article-3081
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:35:53Z
publishDate	2009
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/13/28b4328ae6bb7a1a9624336f5d8a7c13.pdf
spelling	umjimathkievua-article-30812020-03-18T19:44:57Z Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus Задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з додатним родом Ivasyshen, S. D. Litovchenko, V. A. Івасишен, С. Д. Літовченко, В. А. We investigate properties of a fundamental solution and establish the correct solvability of the Cauchy problem for one class of degenerate Kolmogorov-type equations with \( \left\{ {\overrightarrow p, \overrightarrow h } \right\} \)-parabolic part with respect to the main group of variables and with positive vector genus in the case where solutions are infinitely differentiable functions and their initial values may be generalized functions of Gevrey ultradistribution type. Досліджено властивості фундаментального розв'язку та встановлено коректну розв'язність задачi Коші для одного класу вироджених рівнянь типу Колмогорова з \( \left\{ {\overrightarrow p, \overrightarrow h } \right\} \)-параболiчною частиною за основною групою змінних і додатним векторним родом у випадку, коли розв'язки є нескінченно диференційовними функціями, а їх початкові значення можуть бути узагальненими функціями типу ультрарозподілів Жевре. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-08-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3081 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 8 (2009); 1066-1087 Український математичний журнал; Том 61 № 8 (2009); 1066-1087 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3081/2911 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3081/2912 Copyright (c) 2009 Ivasyshen S. D.; Litovchenko V. A.
spellingShingle	Ivasyshen, S. D. Litovchenko, V. A. Івасишен, С. Д. Літовченко, В. А. Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus
title	Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus
title_alt	Задачі Коші для одного класу вироджених параболічних рівнянь типу Колмогорова з додатним родом
title_full	Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus
title_fullStr	Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus
title_full_unstemmed	Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus
title_short	Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus
title_sort	cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of kolmogorov type with positive genus
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3081
work_keys_str_mv	AT ivasyshensd cauchyproblemforoneclassofdegenerateparabolicequationsofkolmogorovtypewithpositivegenus AT litovchenkova cauchyproblemforoneclassofdegenerateparabolicequationsofkolmogorovtypewithpositivegenus AT ívasišensd cauchyproblemforoneclassofdegenerateparabolicequationsofkolmogorovtypewithpositivegenus AT lítovčenkova cauchyproblemforoneclassofdegenerateparabolicequationsofkolmogorovtypewithpositivegenus AT ivasyshensd zadačíkošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdodatnimrodom AT litovchenkova zadačíkošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdodatnimrodom AT ívasišensd zadačíkošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdodatnimrodom AT lítovčenkova zadačíkošídlâodnogoklasuvirodženihparabolíčnihrívnânʹtipukolmogorovazdodatnimrodom

Cauchy problem for one class of degenerate parabolic equations of Kolmogorov type with positive genus

Institution

Similar Items