Degenerate nonlinear boundary-value problems
We establish necessary and sufficient conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear degenerate boundary-value problems for systems of ordinary differential equations with a Noetherian operator in the linear part. We propose a convergent iterative procedure for finding solutions and e...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3090 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509121019641856 |
|---|---|
| author | Boichuk, О. A. Shehda, L. M. Бойчук, О. А. Шегда, Л. М. |
| author_facet | Boichuk, О. A. Shehda, L. M. Бойчук, О. А. Шегда, Л. М. |
| author_sort | Boichuk, О. A. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear degenerate boundary-value problems for systems of ordinary differential equations with a Noetherian operator in the linear part. We propose a convergent iterative procedure for finding solutions and establish the relationship between necessary and sufficient conditions. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:04Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.9
О. А. Бойчук* (Iн-т математики НАН України, Київ),
Л. М. Шегда (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка)
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI
We obtain necessary and sufficient conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear degenerate
boundary-value problems for systems of ordinary differential equations with a Noether operator in a linear
part. We propose a continuous iterative procedure of the solution and establish the connection between the
necessary condition and the sufficient condition.
Получены необходимое и достаточное условия существования решений слабонелинейных вырожден-
ных краевых задач для систем дифференциальных уравнений с нетеровым оператором в линейной ча-
сти. Предложена сходящаяся итерационная процедура нахождения решений и установлена связь между
необходимым и достаточным условиями.
1. Постановка задачi та допомiжнi результати. Систематичному вивченню умов
iснування розв’язкiв вироджених диференцiальних систем i побудовi чисельно-
аналiтичних методiв вiдшукання розв’язкiв таких задач присвячено багато робiт
(див., наприклад, [1 – 6]). На сьогоднi найбiльш розвиненою є теорiя вироджених
лiнiйних систем зi сталими коефiцiєнтами. Для таких систем у достатнiй мiрi
розвинено загальну теорiю i розроблено ефективнi методи знаходження розв’язкiв.
Що ж стосується теорiї вироджених систем зi змiнними коефiцiєнтами, то вона
є менш розвиненою, хоча за останнiй час з’явилася значна кiлькiсть праць, що
свiдчить про розвиток у цiй галузi знань [7 – 9].
З використанням псевдообернених за Муром – Пенроузом матриць та за припу-
щення, що породжуюча диференцiальна система зводиться до центральної кано-
нiчної форми, в данiй статтi отримано умови iснування та алгоритм знаходження
розв’язкiв слабконелiнiйних вироджених крайових задач, лiнiйна частина яких є
нетеровим оператором [10, 11].
Отже, розглянемо крайовi задачi для нелiнiйних систем звичайних диференцi-
альних рiвнянь з малим невiд’ємним параметром ε вигляду
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t) + εZ(x, t, ε), t ∈ [a; b] , (1)
lx = α+ εJ(x(·, ε), ε), (2)
де A(t), B(t) — (n× n)-вимiрнi матрицi, компоненти яких є дiйсними достатню
кiлькiсть разiв неперервно диференцiйовними на [a; b] функцiями: A(t), B (t) ∈
∈ C3q−2 [a; b] ; detB (t) = 0 ∀t ∈ [a; b] ; f (t) — n-вимiрний вектор-стовпець з
простору Cq−1 [a; b] (константу q буде визначено нижче); α — m-вимiрний вектор-
стовпець констант; α ∈ Rm; l — лiнiйний векторний функцiонал, визначений на
просторi n-вимiрних неперервних на [a; b] вектор-функцiй: l = col (l1, . . . , lm) :
C [a; b] → Rm, li : C [a; b] → R; Z(x, t, ε) — нелiнiйна по x n-вимiрна вектор-
функцiя, неперервно диференцiйовна по x в околi породжуючого розв’язку i непе-
рервна по t, ε : Z(·, t, ε) ∈ C1[‖x − x0‖ 6 β]; Z(x, ·, ε) ∈ Cq−1[a; b]; Z(x, t, ·) ∈
∈ C[0, ε0]; J(x(·, ε), ε) — нелiнiйний обмежений m-вимiрний вектор-функцiонал,
неперервно диференцiйовний по x в розумiннi Фреше [12] i неперервний по ε в
околi породжуючого розв’язку.
c© О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА, 2009
1174 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1175
Розглянемо критичний випадок, коли вiдповiдна однорiдна породжуюча крайо-
ва задача має нетривiальнi розв’язки x0 (t, cr) [9]. Будемо шукати умову iснування
i алгоритм побудови розв’язку x = x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C1[a; b], x(t, ·) ∈ C[0, ε0] кра-
йової задачi (1), (2), що перетворюється при ε = 0 в один iз розв’язкiв x0(t, cr) =
= x(t, 0) породжуючої крайової задачi
B(t)
dx
dt
= A(t)x+ f(t), t ∈ [a; b] , (3)
lx (·) = α ∈ Rm, (4)
який у подальшому будемо називати породжуючим розв’язком крайової зада-
чi (1), (2).
Будемо вважати, що система (3) невиродженим лiнiйним перетворенням зво-
диться до центральної канонiчної форми [7, с. 53]. Згiдно з теоремою 1 [9] по-
роджуюча крайова задача (3), (4) має r-параметричну сiм’ю лiнiйно незалежних
розв’язкiв
x0 (t, cr) = Xr(t)cr + (Gf) (t) +Xn−s(t)Q+α ∀cr ∈ Rr (5)
тодi i тiльки тодi, коли неоднорiдностi f(t) ∈ Cq−1[a, b] в диференцiальнiй системi
та α ∈ Rm у крайовiй умовi задовольняють d лiнiйно незалежних умов
PQ∗
d
α− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)f(τ)dτ−
−Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)f(·)
= 0, d = m− n1, (6)
де Xn−s(t) — фундаментальна матриця однорiдної диференцiальної системи (3)
розмiром (n× (n− s)) ; n−s — кiлькiсть лiнiйно незалежних розв’язкiв виродженої
однорiдної диференцiальної системи; Q := lXn−s (·) — (m× (n− s))-вимiрна мат-
риця; rankQ = n1 ≤ min (m, n− s) ; PQ∗ = Im−QQ+− (m×m)-вимiрна матри-
ця (ортопроектор), яка проектує простiрRm на нуль-простiрN (Q∗) , PQ∗ : Rm −→
−→ N (Q∗) ; rankPQ∗ = d; PQ∗
d
— (d×m)-вимiрна матриця, яка складається з d
лiнiйно незалежних рядкiв матрицi PQ∗ ; PQ = In−s −Q+Q — ((n− s)× (n− s))-
вимiрна матриця (ортопроектор), яка проектує простiрRn−s на нуль-простiрN (Q) ,
PQ : Rn−s −→ N (Q) ; rankPQ = r; PQr — ((n− s)× r)-вимiрна матриця, яка
складається з r лiнiйно незалежних стовпцiв матрицi PQ; Xr(t) = Xn−s(t)PQr
—
матриця розмiром n × r; Q+ — єдина псевдообернена матриця до Q за Муром –
Пенроузом [10, 11]; (Gf) (t) — узагальнений оператор Грiна, який дiє на довiльну
вектор-функцiю f(t) ∈ Cq−1 [a; b] таким чином:
(Gf) (t) := −Xn−s(t)Q+l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)f(τ)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(·)LΦ (·)
]−1]
(·)Ψ∗(·)f (·)
+
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1176 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
+
t∫
a
Xn−s(t)Y ∗n−s(τ)f(τ)dτ − Φ(t)
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ(t)
]−1
Ψ∗(t)f(t).
Тут Yn−s(t) — фундаментальна матриця розмiром n × (n − s), складена з n − s
лiнiйно незалежних розв’язкiв спряженої до однорiдної диференцiальної систе-
ми (3): (L∗y)(t) :=
d
dt
B∗(t)y + A∗(t)y = 0, t ∈ [a; b]; фундаментальнi матрицi
Xn−s(t), Yn−s(t) задовольняють спiввiдношення Y ∗n−s(t)B(t)Xn−s(t) = C, де C —
деяка неособлива квадратна матриця (n − s)-го порядку, елементи якої є сталими
числами; (Lx)(t) := A(t)x − B(t)
dx
dt
— оператор, що дiє в унiтарному просторi
n-вимiрних вектор-функцiй класу C1[a; b]; rankB(t) = n − r1 = const ∀t ∈ [a; b];
матриця B(t) має на вiдрiзку [a; b] повний жорданiв набiр векторiв вiдносно опе-
ратора L(t), який складається з r1 ланцюжкiв завдовжки si, i = 1, r1; q = max si;
s = s1 + s2 + . . . + sr1 ; I = diag{I1, . . . , Ir1}, Ij — нiльпотентнi блоки Жорда-
на порядку sj , j = 1, r1; Φ(t), Ψ(t) — (n × s)-матрицi, складенi з векторiв, якi
утворюють жордановi набори матрицi B(t) вiдносно оператора L i матрицi B∗(t)
вiдносно оператора L∗ [7]:
Φ(t) =
[
ϕ
(1)
1 (t) , . . . , ϕ(s1)
1 (t);ϕ(1)
2 (t), . . . , ϕ(s2)
2 (t) ; . . . ;ϕ(1)
r1
(t) , . . . , ϕ(sr1)
r1 (t)
]
,
Ψ(t) =
[
ψ
(s1)
1 (t) , . . . , ψ(1)
1 (t);ψ(s2)
2 (t), . . . , ψ(1)
2 (t) ; . . . ;ψ(sr1 )
r1 (t), . . . , ψ(1)
r1
(t)
]
.
2. Основний результат. Спочатку знайдемо необхiдну умову iснування розв’яз-
ку x(t, ε) крайової задачi (1), (2), який при ε = 0 перетворюється в породжуючий
розв’язок x0(t, cr) (5). Справедливим буде наступне твердження.
Теорема 1 (необхiдна умова). Нехай крайова задача (1), (2) має розв’язок x =
= x(t, ε) : x(·, ε) ∈ C1[a, b], x(t, ·) ∈ C[0, ε0], який при ε = 0 перетворюється в
породжуючий розв’язок x0(t, c0r) (5) з константою cr = c0r. Тодi вектор c0r ∈ Rr
задовольняє рiвняння
PQ∗
d
J(x0(·, c0r), 0)− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)Z(x0(τ, c0r), τ, 0)dτ−
−Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[Ψ∗(t)LΦ (t)]
−1
]
(·)Ψ∗(·)Z(x0(·, c0r), ·, 0)
= 0. (7)
Доведення аналогiчне доведенню теореми 4.5 [10, с. 109] та теореми 5.4 [11,
с. 119]. Позначимо лiву частину рiвняння (7) через F (c0r) i будемо називати (7) рiв-
нянням для породжуючих констант крайової задачi (1), (2). У випадку перiодичних
задач константа cr має фiзичний змiст i є амплiтудою породжуючого розв’язку, а в
класичнiй перiодичнiй задачi рiвняння (7) називають рiвнянням для породжуючих
амплiтуд [13].
Якщо рiвняння (7) має розв’язок cr = c0r ∈ Rr, то вектор c0r визначає той по-
роджуючий розв’язок x0(t, c0r), якому може вiдповiдати розв’язок x(t, ε) вихiдної
крайової задачi (1), (2), що перетворюється в x0(t, c0r) при ε = 0. Якщо ж рiвняння
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1177
(7) не має розв’язкiв, то i крайова задача (1), (2) не має шуканого розв’язку. Мова
йде про дiйснi розв’язки рiвняння для породжуючих констант. Таким чином, необ-
хiдна умова iснування розв’язкiв крайової задачi (1), (2) задовольняється вибором
константи cr в r-параметричнiй сiм’ї породжуючих розв’язкiв (5) та полягає в тому,
щоб рiвняння (7) мало хоча б один дiйсний розв’язок cr = c0r ∈ Rr.
Для отримання достатньої умови iснування розв’язку виконаємо замiну змiн-
них в крайовiй задачi (1), (2)
x(t, ε) = x0(t, c0r) + y(t, ε),
в якiй x0(t, c0r) — породжуючий розв’язок (5) i вектор констант c0r ∈ Rr задоволь-
няє рiвняння (7). Тому в нових змiнних будемо шукати умови iснування розв’язку
y = y(t, ε) : y(·, ε) ∈ C1[a, b], y(t, ·) ∈ C[0; ε0], y(t, 0) = 0, який при ε = 0 перетво-
рюється в нульовий розв’язок крайової задачi
B(t)ẏ = A(t)y + εZ
(
x0(t, c0r) + y(t, ε), t, ε
)
, (8)
ly = εJ
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
. (9)
Використовуючи неперервну диференцiйовнiсть вектор-функцiї Z(x, t, ε) i век-
торного функцiонала J(x(·, ε), ε) по x в околi точки ε = 0, видiляємо у вектор-
функцiї Z(x0 + y, t, ε) i у векторному функцiоналi J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε) лiнiйну
частину по y i члени нульового порядку по ε. Тодi має мiсце розклад
Z(x0 + y, t, ε) = Z
(
x0(t, c0r), t, 0
)
+A1(t)y +R(y(t, ε), t, ε), (10)
J
(
x0(·, c0r) + y(·, ε), ε
)
= J(x0(·, c0r)) + l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε), (11)
де
Z(x0(t, c0r), t, 0) ∈ C[t], J(x0(·, c0r)) = J(x0(·, c0r), 0),
A1(t) = A1(t, c0r) =
∂Z(x, t, 0)
∂x
∣∣∣∣
x=x0(t,c0
r)
∈ C[t],
l1y(·, ε) — лiнiйна частина векторного функцiонала J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε).
Згiдно з [12] лiнiйний оператор l1 := J ′(x0) є похiдною Фреше вiд вектор-
ного функцiонала J(x(·, ε), ε) в точцi x = x0(t, c0r). Нелiнiйна вектор-функцiя
R(y(t, ε), t, ε) належить до класу C1[y], C[t], C[ε] в областi ‖y‖ 6 β, t ∈ [a, b],
ε ∈ [0, ε0]. При цьому
R(0, t, 0) = 0,
∂R(0, t, 0)
∂y
= 0, R1(0, 0) = 0,
∂R1(0, 0)
∂y
= 0.
Отже, враховуючи замiну, будемо розглядати крайову задачу
B(t)ẏ = A(t)y + ε
{
Z(x0(t, c0r), t, 0) +A1(t)y +R(y(t, ε), t, ε)
}
, (12)
ly = ε
{
J(x0(·, c0r), 0) + l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)
}
, (13)
яка має розв’язок
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1178 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
y(t, ε) = Xr(t)c+ y(t, ε), c = c(ε) ∈ Rr,
y(t, ε) = ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r), τ, 0) +A1(τ)y +R(y(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+εXn−s(t)Q+
(
J(x0(·, c0r), 0) + l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε)
)
=
= ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r) + y(τ, ε), τ, ε)
])
(t) + εXn−s(t)Q+J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε)
при виконаннi умови
PQ∗
d
J(x0(·, c0r), 0) + l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
Z(x0(τ, c0r), τ, 0) +A1(τ)y +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)
{
Z(x0(·, c0r), ·, 0)+
+A1(·)y +R(y(·, ε), ·, ε)
} = 0.
В лiнiйну частину останнього виразу замiсть y пiдставимо вираз Xr(t)c + y(t, ε)
i, врахувавши, що виконується умова (7), отримаємо алгебраїчну вiдносно c ∈ Rr
систему
B0c = −PQ∗
d
l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
A1(τ)y(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)y(·, ε) +R(y(·, ε), ·, ε)
}, (14)
де (d× r)-вимiрна матриця B0 має вигляд
B0 = PQ∗
d
l1Xr(·)− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)A1(τ)Xr(τ)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)A1(·)Xr(·)
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1179
Отже, приходимо до операторної системи:
y(t, ε) = Xr(t)c+ y(t, ε),
B0c = −PQ∗
d
l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
A1(τ)y(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)y(·, ε) +R(y(·, ε), ·, ε)
},
y(t, ε) = ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r) + y(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+ εXn−s(t)Q+J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε).
(15)
Для розв’язностi вiдносно c ∈ Rr другого рiвняння операторної системи (15) не-
обхiдно i достатньо, щоб виконувалась умова
PB∗
0
PQ∗
d
l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
A1(τ)y(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)y(·, ε) +R(y(·, ε), ·, ε)
} = 0. (16)
При умовi PB∗
0
= 0, яка еквiвалентна [14] умовi
rankB0 = d, (17)
умова (16), де PB∗
0
— (d×d)-вимiрна матриця (ортопроектор), яка проектує простiр
Rd на нуль-простiр N (B∗
0) , завжди виконується.
Розв’язавши вiдносно c ∈ Rr друге рiвняння, операторну систему (15) запише-
мо у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1180 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
y(t, ε) = Xr(t)c+ y(t, ε),
c = −B+
0 PQ∗
d
l1y(·, ε) +R1(y(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
A1(τ)y(τ, ε) +R(y(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)y(·, ε) +R(y(·, ε), ·, ε)
} ,
y(t, ε) = ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r) + y(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+ εXn−s(t)Q+J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε).
(18)
Введемо нову змiнну u = col
(
y(t, ε), c(ε), y(t, ε)
)
та запишемо систему (18) у
нових змiнних
u = L(1)u+ Fu, (19)
де
L(1) =
0 Xr(t) In
0 0 L1
0 0 0
,
L1ϕ := −B+
0 PQ∗
d
l1ϕ(·, ε)− l
·∫
a
Xn−s (·)Y ∗n−s(τ)A1(τ)ϕ(τ)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)A1(·)ϕ(·)
,
Fu =
0
−B+
0 PQ∗
d
R1(y(·, ε), ε)− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)R(y(τ, ε), τ, ε)dτ−
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)R(y(·, ε), ·, ε)
ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r) + y(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+εXn−s(t)Q+J(x0(·, c0r) + y(·, ε), ε)
.
Cистему (19) запишемо у виглядi
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1181
(I% − L(1))u = Fu, % = 2n+ r.
Блочно-дiагональний матричний оператор (I% − L(1)) завжди має обернений, тому
систему (19) можемо записати у виглядi
u = Su, S := (I% − L(1))−1F.
За рахунок вибору ε та околу породжуючого розв’язку, враховуючи структуру
оператора F, аналогiчно [10, 15] можна показати, що оператор S є оператором
стиску [16], який дiє з простору C1
(
[a; b];Rn
)
× C
(
[0; ε0];R
)
× C1
(
[a; b];Rn
)
в
себе з вiдповiдною нормою. Отже, операторне рiвняння u = Su буде мати єди-
ний розв’язок, який можна знайти як u = lim
ν−→∞
uν , u0 = 0, uν = Suν−1, де
u0 = col
(
y0, c0, y0
)
= 0. Повертаючись до вихiдної крайової задачi (1), (2), для
знаходження розв’язку будемо мати iтерацiйний процес, описаний у наступному
пунктi.
3. Iтерацiйний процес. На першому кроцi iтерацiйного процесу маємо крайову
задачу
B(t)ẏ1 = A(t)y1 + εZ(x0(t, c0r), t, 0),
ly1 = εJ(x0(·, c0r), 0),
яка розв’язна тодi i тiльки тодi, коли
εPQ∗
d
J(x0(·, c0r), 0)− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)Z(x0(τ, c0r), τ, 0)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)Z(x0(·, c0r), ·, 0)
= 0.
Ця умова виконується, оскiльки породжуючий розв’язок задовольняє умову (7)
внаслiдок вибору c0r ∈ Rr. Перше наближення y1(t, ε) до шуканого розв’язку y(t, ε)
крайової задачi (12), (13) вважаємо рiвним y1(t, ε). Тодi
y1(t, ε) = y1(t, ε) = ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r), τ, 0)
])
(t) + εXn−s (t)Q+J(x0(·, c0r), 0).
На другому кроцi iтерацiйного процесу маємо крайову задачу
B(t)ẏ2 = A(t)y2 +
+ ε
{
Z(x0(t, c0r), t, 0) +A1(t) [Xr(t)c1 + y1(t, ε)] +R(y1(t, ε), t, ε)
}
,
ly2 = ε
{
J(x0(·, c0r), 0) + l1 [Xr(·)c1 + y1(·, ε)] +R1(y1(·, ε), ε)
}
.
З необхiдної i достатньої умови розв’язностi цiєї крайової задачi отримаємо алгеб-
раїчну вiдносно c1 ∈ Rr систему
B0c1 + PQ∗
d
l1y1(·, ε) +R1(y1(·, ε), ε) −
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1182 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
−l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ) {A1(τ)y1(τ, ε) +R(y1(τ, ε), τ, ε)} dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·) Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)y1(·, ε) +R(y1(·, ε), ·, ε)
} = 0,
яка розв’язна тодi i тiльки тодi, коли
PB∗
0
PQ∗
d
l1y1(·, ε) +R1(y1(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ) {A1(τ)y1(τ, ε) +R(y1(τ, ε), τ, ε)} dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·) Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)y1(·, ε) +R(y1(·, ε), ·, ε)
} = 0.
Остання умова виконується, оскiльки виконується умова (17). Знайдемо перше
наближення c1 до c(ε):
c1 = −B+
0 PQ∗
d
l1y1(·, ε) +R1(y1(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
A1(τ)y1(τ, ε) +R(y1(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·) Ψ∗(·)×
× {A1(·)y1(·, ε) +R(y1(·, ε), ·, ε)}
.
Отже, друге наближення y2(t, ε) до шуканого розв’язку y(t, ε) має вигляд
y2(t, ε) = Xr(t)c1 + y2(t, ε).
Продовжуючи iтерацiйний процес, з операторної системи (18) для знахождення
розв’язку y(t, ·) ∈ C[0, ε0], y(t, 0) = 0 крайової задачi (12), (13) отримаємо наступну
iтерацiйну процедуру:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1183
yp+1(t, ε) = Xr(t)cp + yp+1(t, ε), p = 0, 1, 2, . . . ,
y0(t, ε) = y0(t, ε) = 0,
cp = −B+
0 PQ∗
d
l1yp(·, ε) +R1(yp(·, ε), ε) −
− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)
{
A1(τ)yp(τ, ε) +R(yp(τ, ε), τ, ε)
}
dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·) Ψ∗(·)×
×
{
A1(·)yp(·, ε) +R(yp(·, ε), ·, ε)
}, (20)
yp+1(t, ε) = ε
(
G
[
Z(x0(τ, c0r) + yp(τ, ε), τ, ε)
])
(t)+
+ εXn−s(t)Q+J(x0(·, c0r) + yp(·, ε), ε).
Таким чином, доведено наступну теорему.
Теорема 2 (достатня умова). Нехай породжуюча крайова задача (3), (4) при
умовi (6) має r-параметричну (r = n − s − n1) сiм’ю розв’язкiв (5). Тодi для
кожного дiйсного значення вектора cr = c0r ∈ Rr, який задовольняє рiвняння (7)
для породжуючих констант, при умовi (17) крайова задача (1), (2) має хоча б
один розв’язок x(t, ·) ∈ C[0, ε0], який при ε = 0 перетворюється в породжуючий
розв’язок x0(t, c0r) (5). Цей розв’язок можна визначити за допомогою збiжного
iтерацiйного процесу (20) i формули xp(t, ε) = x0(t, c0r) + yp(t, ε), p = 0, 1, 2, . . . .
Якщо B(t) ≡ E, то маємо невироджену слабконелiнiйну крайову задачу для
систем звичайних диференцiальних рiвнянь, що дослiджена в [10, 11].
4. Зв’язок мiж необхiдною та достатньою умовами. Розглянемо випадок, коли
кiлькiсть крайових умов m збiгається з кiлькiстю лiнiйно незалежних розв’язкiв
виродженої однорiдної диференцiальної системи (n−s), тобтоm = n−s. Оскiльки
d = m − n1, r = n − s − n1, m = n − s, то d = r i матриця B0 є квадратною.
Якщо cr = c0r є розв’язком рiвняння F (cr) = 0, то за аналогiєю з теоремою
Безу для скалярного рiвняння маємо розклад для векторного рiвняння F (cr) =
= (cr − c0r)F1(cr), в якому detF1(c0r) 6= 0, якщо c0r — простий корiнь рiвняння (7).
Враховуючи, що(
∂Z(x, τ, ε)
∂cr
)
cr=c0
r
=
∂Z(x, τ, ε)
∂x
∣∣∣∣∣
x=x0(τ,c0
r),ε=0
∂x0(τ, cr)
∂cr
∣∣∣∣∣
cr=c0
r
=
= A1(τ, c0r)
∂
(
Xr(τ)cr + (Gf) (τ) +Xn−s(τ)Q+α
)
∂cr
∣∣∣∣∣
cr=c0
r
= A1(τ)Xr(τ),
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1184 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
∂J(x0(·, cr), ε)
∂cr
∣∣∣∣∣
cr=c0
r
=
∂J(x(·, cr), ε)
∂x
∣∣∣∣∣
x=x0(·,c0
r),ε=0
∂x0(·, cr)
∂cr
∣∣∣∣∣
cr=c0
r
= l1Xr(·),
маємо
∂F (cr)
∂cr
∣∣∣∣∣
cr=c0
r
=
=
∂
∂cr
PQ∗
d
J(x0(·, c0r), 0)− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)Z(x0(τ, c0r), τ, 0)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·) Ψ∗(·)Z(x0(·, c0r), ·, 0)
=
= PQ∗
d
l1Xr(·)− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)A1(τ)Xr(τ)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)A1(·)Xr(·)
= B0.
Отже, якщо detB0 6= 0, то корiнь cr = c0r рiвняння (7) є простим.
У випадку, коли m 6= n−s, умова rankB0 = d також є умовою простого кореня
рiвняння для породжуючих констант (7).
Таким чином, маємо наступне твердження.
Теорема 3. Для того щоб крайова задача (1), (2) мала розв’язок, який при
ε = 0 перетворюється в породжуючий розв’язок x0(t, c0r) (5) з константою
cr = c0r ∈ Rr, необхiдно, щоб константа c0r була дiйсним коренем рiвняння для
породжуючих констант (7), та достатньо, щоб цей розв’язок був простим коре-
нем цього рiвняння.
5. Приклад. Проiлюструємо доведенi теореми на прикладi слабкозбуреної
крайової задачi:(
sin 2t− 1 cos 2t
− cos 2t sin 2t+ 1
)
dx
dt
=
(
2 0
0 −2
)
x+ εA1(t)x+ f(t), (21)
lx(·) =
(
1 1
)
x(0) +
(
1 1
)
x(2π) = α+ εl1x(·), (22)
де
J(x(·, ε), ε) = l1x(·) =
(
1 − 1
)
x(0),
Z(x, t, ε) = A1(t)x, A1(t) =
{
aij(t)
}2
i,j=1
.
Нехай породжуюча крайова задача, отримана при ε = 0,(
sin 2t− 1 cos 2t
− cos 2t sin 2t+ 1
)
dx
dt
=
(
2 0
0 −2
)
x+ f(t), (23)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1185
lx(·) =
(
1 1
)
x(0) +
(
1 1
)
x(2π) = α, (24)
має розв’язок. Фундаментальна матриця, яка вiдповiдає однорiднiй системi (23),
має вигляд
Xr(t) = Xn−s(t) = X1(t) =
(
cos t− sin t
−(cos t+ sin t)
)
e−t,
n = 2, m = d = r = s = q = 1.
Матриця Q, ортопроектори PQ, PQ∗ на ядро та коядро матрицi Q i псевдообернена
матриця Q+ є такими:
Q = lX1(·) =
(
1 1
)( 1
−1
)
+
(
1 1
)( 1
−1
)
e−2π = 0, Q+ = 0,
PQ = In−s −Q+Q = I1 = 1, PQ∗ = Im −QQ+ = I1 = 1,
PQr
= 1, PQ∗
d
= 1.
Породжуюча крайова задача (23), (24) розв’язна, якщо виконується умова (6)
PQ∗
d
α− l
·∫
a
Xn−s(·)Y ∗n−s(τ)f(τ)dτ −
− Φ(·)
[
q−1∑
k=0
Ik
dk
dtk
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
]
(·)Ψ∗(·)f(·)
= 0,
яка в даному випадку має вигляд
lx̃ (·) = 0,
де
x̃(t) = X1(t)
t∫
0
Y ∗1 (τ) f (τ) dτ − Φ(t)
[
Ψ∗(t)L(t)Φ(t)
]−1
Ψ∗(t)f(t),
Yn−s(t) = Y1(t) =
1
2
(
sin t
− cos t
)
e−t — фундаментальна матриця системи, спряженої
до однорiдної; Φ(t) =
(
cos t+ sin t
cos t− sin t
)
; Ψ(t) =
(
sin t+ cos t
sin t− cos t
)
[7, с. 72].
Знайдемо умову розв’язностi крайової задачi (23), (24):
Y ∗1 (t)f(t) =
1
2
et
(
sin t − cos t
)
f(t),
t∫
0
Y ∗1 (τ)f(τ)dτ =
1
2
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ,
X1(t)
t∫
0
Y ∗1 (τ)f(τ)dτ =
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1186 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
=
1
2
e−t
(cos t− sin t)
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
−(cos t+ sin t)
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
,
L(t)Φ(t) = A(t)Φ(t)−B(t)Φ′(t) = 4
(
cos t
sin t
)
, Ψ∗(t)L(t)Φ(t) = 4,
Φ(t)[Ψ∗(t)L(t)Φ(t)]−1Ψ∗(t)f(t) =
1
4
Φ(t)Ψ∗(t)f(t) =
=
1
4
(
1 + sin 2t − cos 2t
cos 2t sin 2t− 1
)
f(t).
Використовуючи обчисленi вирази, бачимо, що при виконаннi умови
α+
1
2
(
1 −1
) [
f (2π) + f(0)
]
= 0
породжуюча крайова задача (23), (24) має розв’язок
x0(t, cr) = Xr(t)cr + (Gf) (t) =
= e−t
(
cos t− sin t
−(cos t+ sin t)
)
cr −
1
4
(
1 + sin 2t − cos 2t
cos 2t sin 2t− 1
)
f(t)+
+
1
2
e−t
(cos t− sin t)
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
−(cos t+ sin t)
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
∀cr ∈ Rr,
де
(Gf) (t) =
1
2
e−t
(cos t− sin t)
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
−(cos t+ sin t)
t∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
−
−1
4
(
1 + sin 2t − cos 2t
cos 2t sin 2t− 1
)
f(t).
Знайдемо умови iснування розв’язку x(t, ε) вихiдної крайової задачi (21), (22), який
при ε = 0 перетворюється в один iз породжуючих розв’язкiв x0(t, cr).
Рiвняння для породжуючих констант (7), що дає необхiдну умову iснування
розв’язку крайової задачi (21), (22), має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
ВИРОДЖЕНI НЕЛIНIЙНI КРАЙОВI ЗАДАЧI 1187
F (c0r) := J(x0(·, c0r), 0)− l
·∫
a
X1(·)Y ∗1 (τ)A1(τ)x0(τ, c0r)dτ −
− Φ(·)
[
Ψ∗(t)LΦ (t)
]−1
(·)Ψ∗(·)A1(·)x0(·, c0r)
= 0.
Отже, в даному прикладi oтримаємо лiнiйне скалярне рiвняння для породжую-
чих констант вiдносно c0r ∈ R:[
2 +
1
2
(
1 −1
)
A1(0)
(
1
−1
)
+
1
2
e−2π
(
1 −1
)
A1(2π)
(
1
−1
)]
c0r =
=
1
8
(
1 −1
)
A1(0)
(
1 −1
1 −1
)
f(0) +
1
8
(
1 −1
)
A1(2π)
(
1 −1
1 −1
)
f(2π)−
−1
4
e−2π
(
1 −1
)
A1(2π)
2π∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
−
2π∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
, (25)
яке має простий корiнь. Переконаємось у цьому, побудувавши матрицю B0, тобто
перевiримо достатню умову iснування розв’язку:
B0 := 2 +
1
2
(
1 −1
)
A1(0)
(
1
−1
)
+
1
2
(
1 −1
)
A1(2π)
(
1
−1
)
e−2π 6= 0.
Таким чином, рiвняння (25) має розв’язок
c0r =
[
2 +
1
2
(
1 −1
)
A1(0)
(
1
−1
)
+
1
2
e−2π
(
1 −1
)
A1(2π)
(
1
−1
)]−1
×
×
1
8
(
1 −1
)
A1(0)
(
1 −1
1 −1
)
f(0) +
1
8
(
1 −1
)
A1(2π)
(
1 −1
1 −1
)
f(2π) −
−1
4
e−2π
(
1 −1
)
A1(2π)
2π∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
−
2π∫
0
eτ
(
sin τ − cos τ
)
f(τ)dτ
. (26)
Якщо A1(t) = 0, то B0 = 2 i c0r = 0. Оскiльки B0 = 2 (rankB0 = d =
= 1, PB∗
0
= 0), то за теоремою 2 крайова задача (21), (22) має в околi ε = 0 єдиний
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1188 О. А. БОЙЧУК, Л. М. ШЕГДА
розв’язок x(t, ·) ∈ C[ε], який перетворюється при ε = 0 в породжуючий розв’язок
x0(t, c0r) з константою c0r = 0.
1. Бояринцев Ю. Е. Регулярные и сингулярные системы линейных обыкновенных дифференциальных
уравнений. – Новосибирск: Наука (Сиб. отд-ние), 1980. – 216 с.
2. Шлапак Ю. Д. Периодические решения линейной системы дифференциальных уравнений с вы-
рожденной матрицей при производных // Укр. мат. журн. – 1975. – 27, № 1. – С. 137 – 140.
3. Rheinboldt W. C. Differential-algebraic systems as differential equations on manifolds // Math. Comput.
– 1984. –43, № 168. – P. 473 – 482.
4. Чистяков В. Ф., Щеглова А. А. Избранные главы теории алгебро-дифференциальных систем. –
Новосибирск: Наука, 2003. – 317 c.
5. Campbell S. L., Petzold L. R. Canonical forms and solvable singular systems of differential equations //
SIAM J. Algebr. Discrete Methods. – 1983. – № 4. – P. 517 – 521.
6. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения Ax′(t)+Bx(t) = f(t) // Дифференц. уравнения. – 1975.
– № 11. – С. 1486 – 1497.
7. Самойленко А. М., Шкiль М. I., Яковець В. П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з ви-
родженнями. – Київ: Вища шк., 2000. – 294 с.
8. Favini A., Vlasenko L. On solvability of degenerate nonstationary differential-difference equations in
Banach spaces // Different. and Integr. Equat. – 2001. – 14, № 7.– P. 883 – 896.
9. Бойчук О. А., Шегда Л. М. Виродженi нетеровi крайовi задачi // Нелiнiйнi коливання. – 2007. – 10,
№ 3. – С. 303 – 312.
10. Бойчук А. А., Журавлев В. Ф., Самойленко А. М. Обобщенно-обратные операторы и нетеровы
краевые задачи. – Киев: Ин-т математики НАН Украины, 1995. – 318 с.
11. Boichuk A. A., Samoilenko A. M. Generalized inverse operators and Fredholm boundary value problems.
– Utrecht; Boston: VSP, 2004. – 317 p.
12. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Краткий курс функционального анализа: Уч. пособие. – М.: Высш.
шк., 1982. – 271 с.
13. Малкин И. Г. Некотоpые задачи теоpии нелинейных колебаний. – М.: Гостехиздат, 1956. – 491 с.
14. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1967. – 572 с.
15. Гребеников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. – М.: Наука,
1979. – 432 с.
16. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П. и др. Приближенное решение операторных
уравнений. – М.: Наука, 1968. – 455 с.
Одержано 20.01.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3090 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:04Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e9/3ff9a19e2cb36c5c89f483e242ec8fe9.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30902020-03-18T19:45:12Z Degenerate nonlinear boundary-value problems Вироджені нелінійні крайові задачі Boichuk, О. A. Shehda, L. M. Бойчук, О. А. Шегда, Л. М. We establish necessary and sufficient conditions for the existence of solutions of weakly nonlinear degenerate boundary-value problems for systems of ordinary differential equations with a Noetherian operator in the linear part. We propose a convergent iterative procedure for finding solutions and establish the relationship between necessary and sufficient conditions. Получены необходимое и достаточное условия существования решений слабонелинейных вырожденных краевых задач для систем дифференциальных уравнений с нетеровым оператором в линейной части. Предложена сходящаяся итерационная процедура нахождения решений и установлена связь между необходимым и достаточным условиями. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3090 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1174-1188 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1174-1188 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3090/2928 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3090/2929 Copyright (c) 2009 Boichuk О. A.; Shehda L. M. |
| spellingShingle | Boichuk, О. A. Shehda, L. M. Бойчук, О. А. Шегда, Л. М. Degenerate nonlinear boundary-value problems |
| title | Degenerate nonlinear boundary-value problems |
| title_alt | Вироджені нелінійні крайові задачі |
| title_full | Degenerate nonlinear boundary-value problems |
| title_fullStr | Degenerate nonlinear boundary-value problems |
| title_full_unstemmed | Degenerate nonlinear boundary-value problems |
| title_short | Degenerate nonlinear boundary-value problems |
| title_sort | degenerate nonlinear boundary-value problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3090 |
| work_keys_str_mv | AT boichukoa degeneratenonlinearboundaryvalueproblems AT shehdalm degeneratenonlinearboundaryvalueproblems AT bojčukoa degeneratenonlinearboundaryvalueproblems AT šegdalm degeneratenonlinearboundaryvalueproblems AT boichukoa virodženínelíníjníkrajovízadačí AT shehdalm virodženínelíníjníkrajovízadačí AT bojčukoa virodženínelíníjníkrajovízadačí AT šegdalm virodženínelíníjníkrajovízadačí |