Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables
We obtain exact order estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Українська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3091 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509119534858240 |
|---|---|
| author | Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. |
| author_facet | Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. |
| author_sort | Voitenko, S. P. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | We obtain exact order estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:02Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 517.5
S. P. Vojtenko (In-t matematyky NAN Ukra]ny, Ky]v)
NAJKRAWI M -ÇLENNI
TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV Bp,θθ
ΩΩ
PERIODYÇNYX FUNKCIJ BAHAT|OX ZMINNYX
We obtain exact-order estimates for the best M-term trigonometric approximations of the classes Bp, θ
Ω
of periodic functions of many variables in the space Lq .
Poluçen¥ toçn¥e po porqdku ocenky nayluçßyx M-çlenn¥x tryhonometryçeskyx pryblyΩe-
nyj klassov Bp, θ
Ω
peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x v prostranstve Lq .
1. Postanovka zadaçi ta osnovni rezul\taty. V danij roboti doslidΩugt\sq
najkrawi M-çlenni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv Bp, θ
Ω
periodyçnyx
funkcij bahat\ox zminnyx u prostori Lq , 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞.
Vidpovidni aproksymatyvni xarakterystyky cyx klasiv budut\ oznaçeni nyΩ-
çe, a spoçatku navedemo neobxidni poznaçennq ta oznaçennq.
Nexaj Lp
d( )T — prostir 2π-periodyçnyx za koΩnog zminnog i sumovnyx u
stepeni p, 1 ≤ p < ∞ (vidpovidno sutt[vo obmeΩenyx pry p = ∞ ), na kubi Td =
= −π π[ )=∏ ;
j
d
1
funkcij f x f x xd( ) ( , , )= …1 , v qkomu norma vyznaça[t\sq ta-
kym çynom:
f f x dxp
d p
p
d
= ( π) ( )
− ∫2
1
T
/
, 1 ≤ p < ∞,
f f x
x d
∞
∈
= ( )ess sup
T
.
Dali, nexaj l ∈N i h d∈R . Dlq f Lp
d∈ ( )T poklademo
∆h f x f x h f x( ) = ( + ) − ( )
i oznaçymo kratnu riznycg porqdku l funkci] f x( ) u toçci x x xd= …( , , )1 z
krokom h h hd= …( , , )1 za formulog
∆ ∆ ∆ ∆h
l
h h
l
hf x f x f x f x( ) = ( ) ( ) = ( )− ( )1 0
.
Kratnu riznycg ∆h
l f x( ) moΩna takoΩ zapysaty u vyhlqdi
∆h
l l n
l
n
n
l
f x C f x nh( ) = (− ) ( + )+
=
∑ 1
0
.
Oznaçymo modul\ neperervnosti porqdku l funkci] f Lp
d∈ ( )T , qkyj pozna-
çymo çerez Ωl pf t( , ) , zhidno z formulog
© S. P. VOJTENKO, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1189
1190 S. P. VOJTENKO
Ω ∆l p
h t
h
l
p
f t f x( , ) sup= ( )
≤
,
de h h hd= + … +1
2 2
.
Nexaj Ω( )t — funkciq typu modulq neperervnosti porqdku l, qka zadana
na R+ = ≥{ }t t: 0 ta zadovol\nq[ nastupni umovy:
1) Ω( )0 0= , Ω( )t > 0 dlq t > 0;
2) Ω( )t neperervna;
3) Ω( )t zrosta[;
4) dlq vsix n ∈ +Z Ω Ω( ) ( )nt Cn tl≤ , de l ≥ 1 — fiksovane natural\ne çys-
lo, stala C > 0 ne zaleΩyt\ vid n i t.
Budemo vvaΩaty, wo Ω( )t zadovol\nq[ takoΩ umovy ( )S i ( )Sl , qki nazyva-
gt\ umovamy Bari – St[çkina [1]. Ce oznaça[ nastupne.
Funkciq Ω( )τ ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( )S , qkwo Ω( )/τ τα majΩe zrosta[
pry deqkomu α > 0, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2 stala C1 > 0, wo
Ω Ω( ) ( )τ
τ
τ
τα α
1
1
1
2
2
≤ C , 0 < τ1 ≤ τ2
.
Funkciq Ω( )τ ≥ 0 zadovol\nq[ umovu ( )Sl , qkwo Ω( )/τ τγ majΩe spada[
pry deqkomu 0 < γ < l, tobto isnu[ taka ne zaleΩna vid τ1 i τ2 stala C2 > 0,
wo
Ω Ω( ) ( )τ
τ
τ
τγ γ
1
1
2
2
2
≥ C , 0 < τ1 ≤ τ2
.
U roboti [2], qk i v [3, 4], navedeno oznaçennq analohiv klasiv B[sova takym
çynom.
Nexaj 1 ≤ p, θ ≤ ∞. Budemo vvaΩaty, wo f Bp∈ , θ
Ω
, qkwo f zadovol\nq[
nastupni umovy:
1) f Lp
d∈ ( )T ;
2) f bp, θ
Ω < ∞ , de
f
f t
t
dt
t
b
l p
p,
( , )
( )
,
/
θ
θ θ
Ω
Ω
Ω
=
+∞
∫
0
1
11
0
≤ < ∞
= ∞
>
θ
θ
,
sup
( , )
( )
, .
t
l pf t
t
Ω
Ω
Prostir Bp, θ
Ω
— linijnyj normovanyj prostir z normog
f f fB p bp p, ,θ θ
Ω Ω= +df
.
Qkwo Ω( )t t r= , to prostir Bp, θ
Ω
zbiha[t\sq z prostorom O. V. B[sova Bp
r
, θ
[5] i, zokrema, pry θ = ∞ ta Ω( )t t r= B Hp
r
p
r
, ∞ = , de H p
r
— prostory, vvedeni
S. M. Nikol\s\kym [6]. Dali budemo vvaΩaty, wo Bp, θ
Ω
— klasy funkcij
f Lp
d∈ ( )T , dlq qkyx f Bp, θ
Ω ≤ 1.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1191
Perejdemo bezposeredn\o do oznaçennq aproksymatyvnyx xarakterystyk
klasiv Bp, θ
Ω
, wo budut\ doslidΩuvatys\ u danij roboti.
Dlq f Lq
d∈ ( )T poznaçymo çerez e fM q( ) najkrawe M-çlenne tryhono-
metryçne nablyΩennq funkci] f u prostori Lq , qke vyznaça[t\sq takym çy-
nom:
e f f x c eM q
k c
j
i k x
j
j
M
j j
M
j
( ) inf inf ( ) ( ,= −
{ } { }
= =1 1
))
j
M
q=
∑
1
,
de k j
j
M{ } = 1
— nabir vektoriv k k kj j
d
j= …( )1 , , z ciloçyslovymy koordynata-
my, c j — dovil\ni çysla, ( , )k xj = k x k xj
d
j
d1 1 + … + .
Qkwo F — deqkyj funkcional\nyj klas, to poklademo
e F e fM q
f F
M q( ) sup ( )=
∈
. (1)
Velyçyna e fM ( )2 dlq funkci] odni[] zminno] bula vvedena S. B. St[çkinym
[7] pry formulgvanni kryterig absolgtno] zbiΩnosti ortohonal\nyx rqdiv.
Zhodom velyçyny e fM q( ) i e FM q( ) , 1 ≤ q ≤ ∞ , poçaly doslidΩuvatys\ vΩe z
toçky zoru aproksymaci] indyvidual\nyx funkcij i klasiv funkcij vidpovidno.
Perßi ocinky velyçyny e fM ( )∞ dlq deqkyx konkretnyx funkcij buly otry-
mani R. S. Ismahilovym [8]. Systematyçne vyvçennq velyçyn (1) na klasax perio-
dyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx S. L. Sobol[va Wp
r
, α ta S. M. Nikol\s\koho
H p
r
bulo rozpoçato V. N. Temlqkovym [9]. Zhodom doslidΩennq velyçyn
e FM q( ) na klasax funkcij Wp
r
, α ta H p
r
buly prodovΩeni E. S. B[lins\kym
[10 – 12].
Vidmitymo takoΩ, wo dlq tyx çy inßyx funkcional\nyx klasiv doslidΩennq
povedinky velyçyn (1) provodylys\, zokrema, v robotax [13 – 19], v qkyx moΩna
oznajomytysq z bil\ß detal\nog bibliohrafi[g.
Meta dano] roboty — prodovΩyty doslidΩennq u vkazanomu naprqmku ta ot-
rymaty toçni za porqdkom ocinky velyçyn najkrawyx M-çlennyx tryhonomet-
ryçnyx nablyΩen\ klasiv Bp, θ
Ω
, wo uzahal\nggt\ rezul\taty, qki buly oder-
Ωani v roboti [16].
Otrymani rezul\taty budemo formulgvaty v terminax porqdkovyx spivvidno-
ßen\. Dlq funkcij µ1( )N ta µ2( )N zapys µ µ1 2� oznaça[, wo isnu[ stala
C > 0 taka, wo µ µ1 2( ) ( )N C N≤ . Spivvidnoßennq µ µ1 2� rivnosyl\ne tomu,
wo vykonugt\sq porqdkovi nerivnosti µ µ1 2� ta µ µ1 2� . ZauvaΩymo, wo
vsi stali Ci , i = 1, 2, … , qki budut\ zustriçatysq v roboti, moΩut\ zaleΩaty
til\ky vid parametriv, wo vxodqt\ v oznaçennq klasu, metryky, v qkij vymirg-
[t\sq poxybka nablyΩennq, ta rozmirnosti d prostoru Rd
.
Dlq velyçyn, oznaçenyx rivnistg (1), ma[ misce take tverdΩennq.
Teorema. Nexaj 1 ≤ p, q, θ ≤ ∞ i Ω( )t zadovol\nq[ umovuO ( )S z deqkym
α α> ( , )p q , a takoΩ umovu ( )Sl , de
α( , )
( / / ) , ,
max /
p q
d p q p q q p
d p
=
− ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ∞+1 1 1 2 1abo
;; /d 2{ }
v inßyx vypadkax.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1192 S. P. VOJTENKO
Todi dlq bud\-qkyx M ∈N ma[ misce ocinka
e B M MM p q
d p q
,
/ / max / , /
θ
Ω Ω( ) ( )− − { }( )+� 1 1 1 1 2
, (2)
de a a+ = { }max ; 0 .
Qk naslidok, poklavßy v teoremi θ = ∞ i vzqvßy do uvahy, wo B Hp p, ∞ =Ω Ω
,
moΩemo zapysaty spivvidnoßennq
e H M MM p q
d p qΩ Ω( ) ( )− − { }( )+� 1 1 1 1 2/ / max / , /
.
ZauvaΩennq 1. Qkwo Ω( )t t r= , r p q> α( , ) , to vykonu[t\sq spivvidno-
ßennq
e B MM p
r
q
r d p q
,
/ / max / , /
θ( ) − + − { }( )+�
1 1 1 2
. (3)
Ocinku (3) vstanovleno v roboti [16].
ZauvaΩennq 2. V odnovymirnomu vypadku klasy, wo rozhlqdagt\sq v danij
roboti, zbihagt\sq z inßymy analohamy klasiv B[sova Bp, θ
Ω
, de Ω( )t — funk-
ciq typu mißanoho modulq neperervnosti i Ω( ) ( )t t td= …ω 1 . Tomu, pokladag-
çy v (2) d = 1, otrymu[mo toçni za porqdkom ocinky velyçyn e BM p q, θ
Ω( ) , qki
pry pevnyx spivvidnoßennqx miΩ parametramy p ta q buly otrymani v robotax
[17 – 19]. Krim c\oho v (2) mistqt\sq i novi rezul\taty v odnovymirnomu vypadku
dlq spivvidnoßen\ p = ∞, 1 ≤ q < ∞ ta 1 ≤ p ≤ ∞, q = 1.
2. DopomiΩni tverdΩennq. Spoçatku vvedemo deqki poznaçennq. Poznaçy-
mo çerez V tm ( ) , m ∈N , t ∈R , qdro Valle Pussena vyhlqdu
V t kt
m k
m
m
k m
m
k
m
( ) cos cos= + +
−
= +=
∑∑1 2 2
2
1
2
1
kkt .
Todi bahatovymirne qdro V xm ( ) , m ∈N , x d∈R , oznaçymo zhidno z formulog
V x V xm m j
j
d
( ) ( )=
=
∏
1
.
Nexaj Vm — operator, qkyj zada[ zhortku funkcij f x( ) iz bahatovymir-
nym qdrom V xm ( ) , tobto
V f f V V f xm m m= ∗ = ( , ) .
Takym çynom, V f xm ( , ) — kratna suma Valle Pussena funkci] f x( ) . Po-
klademo dlq f Lp
d∈ ( )T
Φ Φ0 1 2 2 1( , ) ( , ), ( , ) ( , ) ( , )f x V f x f x V f x V f xs s s= = − − , s ∈N .
Navedemo dekil\ka vidomyx tverdΩen\, qki budut\ vykorystovuvatysq v ro-
boti.
Lema 1 [20]. Nexaj 1 ≤ p, θ ≤ ∞ i f Bp∈ , θ
Ω
. Todi funkcig f moΩna po-
daty u vyhlqdi rqdu
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1193
f x f xs
s
( ) ( , )=
=
∞
∑ Φ
0
,
zbiΩnoho do ci[] funkci] u prostori Lp
d( )T , ta
f
f x
B
s p
s
s
p,
( , )
( )
/
θ
θ
Ω
Φ
Ω
�
20
1
−
=
∞
∑
θθ
θ
θ
, ,
sup
( , )
( )
, .
1
2
≤ < ∞
= ∞
−
s
s p
s
f xΦ
Ω
Lema 2 [20]. Nexaj 1 ≤ p < q ≤ ∞ i Ω( )/t tα pry α > −d p q( / / )1 1 majΩe
zrosta[. Todi B Bp q, ,θ θ
Ω Ω⊂ 1
, de Ω Ω1
1 1( ) ( )/ ( / / )t t t d p q= −
i
f fB Bq p, ,θ θ
Ω Ω1 � .
Poznaçymo çerez Tn mnoΩynu tryhonometryçnyx polinomiv t x( ) vyhlqdu
t x c ek
i k x
k n
j d
j j
( ) ( , )
,
=
≤
=
∑
1
.
Nexaj Bn
∞ — mnoΩyna vsix tryhonometryçnyx polinomiv t n∈ T takyx, wo
t ∞ ≤ 1. Todi ma[ misce taka lema.
Lema 3 [16]. Dlq vsix n ∈N ta M nd≤ /2 pry 1 ≤ q ≤ ∞ vykonu[t\sq
spivvidnoßennq
e B C dM
n
q∞( ) ≥ ( ) ,
de stala C d( ) > 0 zaleΩyt\ lyße vid d.
Teorema A [6]. Nexaj n n nd= …( , , )1 , n j ∈ +Z , j d= 1, , ta
t x c ek
i k x
k nj j
( ) ( , )=
≤
∑ .
Todi pry 1 ≤ q < p ≤ ∞ ma[ misce nerivnist\
t n tp
d
j
j
d q p
q≤
=
−
∏2
1
1 1/ /
. (4)
Nerivnist\ (4) vstanovlena S. M. Nikol\s\kym i otrymala nazvu „nerivnist\
riznyx metryk”. U vypadku d = 1 i p = ∞ vidpovidnu nerivnist\ doviv DΩek-
sonO[21].
3. Dovedennq teoremy. ZvaΩagçy na te, wo prava çastyna (2) vid θ ne za-
leΩyt\, a iz zbil\ßennqm parametra θ klasy Bp, θ
Ω
rozßyrggt\sq, tobto pry
1 ≤ ≤ ′ ≤ ∞θ θ magt\ misce vkladennq
B B B B Hp p p p p, , , ,1
Ω Ω Ω Ω Ω⊂ ⊂ ⊂ ≡′ ∞θ θ ,
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1194 S. P. VOJTENKO
neobxidnu ocinku zverxu dostatn\o vstanovyty dlq e BM p q, ∞( )Ω
, a znyzu — dlq
e BM p q, 1
Ω( ) .
Spoçatku vstanovymo v (2) ocinku zverxu. Za zadanym M pidberemo n ∈N
iz spivvidnoßennq 2 21( )n d ndM− ≤ ≤ , tobto 2nd M� . Rozhlqnemo poslidov-
no dekil\ka spivvidnoßen\ miΩ parametramy p i q. Nexaj spoçatku q = ∞,
p = 2.
Dlq s ∈N poklademo
M
s n
s
s
sd
n nd s sd
=
≤ ≤
− − −
2 0
2 2 2 21 2 2
, ,
( ) ( ) ,/ /Ω Ω >>
n,
(5)
de a[ ] — cila çastyna çysla a.
Todi
M s
sd
s
n
s
n nd
s n
s≤ +
==
∞
− −
= +
∞
−∑∑ ∑2 2 2 2
00
1 2
1
Ω Ω( ) ( )/ 22 2sd / �
� 2 2 2 2 21 2 2
1
nd n nd s sd
s n
+ − − −
= +
∞
∑Ω Ω( ) ( )/ / =
= 2 2 2
2
2
21 2
1
2nd n nd
s
s
s n
s d+ − −
−
−
= +
∞
− −(∑Ω
Ω
( )
( )/ /
α
α )) = I1 .
Oskil\ky Ω( )t zadovol\nq[ umovu ( )S z α >
d
2
, to ma[ misce spivvidno-
ßennq
Ω Ω( ) ( )2
2
2
2
−
−
−
−≤
s
s
n
nα α , s = n + 1, … .
Tomu
I nd n nd
n
n
s d
s n
1
1 2 22 2 2
2
2
2� + − −
−
−
− −( )
=
Ω
Ω
( )
( )/ /
α
α
++
∞
∑
1
�
� 2 2 2 2 22 2nd nd n n d nd M+ − −( )/ /α α � �
i vidpovidno M Mss
�
=
∞∑ 0
.
Dlq provedennq nastupnyx mirkuvan\ skorysta[mos\ ocinkog z [16] (nasli-
dok 5.1), qka vidpovidno do naßyx poznaçen\ ma[ vyhlqd
e f x
M M
f xM s
sd
s
sd
s
ss
Φ Φ( , ) log ( , )
/
( )
∞ �
2 2
1 2
22 . (6)
Takym çynom, vnaslidok vyboru çysel M s i ocinky (6) moΩemo zapysaty
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1195
e f e f xM M s
s n
s
( ) ( , )∞ ∞
>
≤ ( )∑ Φ �
2 2
1 2
2
sd
s
sd
ss n
s
M M
f x
>
∑
/
log ( , )Φ . (7)
Dali, oskil\ky dlq f B∈ ∞2,
Ω
vykonu[t\sq spivvidnoßennq Φs f x( , ) 2 �
� Ω( )2−s
, to z (7) z uraxuvannqm (5) budemo maty
e fM
sd n nd s sd
s
( ) ( ) ( )/ / /
∞
− − − − −
>
( )� 2 2 2 2 22 1 2 1 2
Ω Ω
nn
∑ ×
× log log ( ) ( ) (/ /2 2 2 2 2 21 2 2sd n nd s sd s− ( )( )− − − −Ω Ω Ω )) =
= Ω
Ω1 2 4 2
1
2 2
2
2
2/ / /
/
( )
( )− −
−
−
− −( )
n nd
s
s
s d
α
α
22
s n>
∑ ×
× log log ( )
( )/ /2 2 2
2
2
21 2 2sd n nd
s
s
s d− − −
−
−
− −( )Ω
Ω
β
β
= >I
d
2
2
, β . (8)
Beruçy do uvahy te, wo Ω( )t zadovol\nq[ umovy ( )S z deqkym α > d /2 ta ( )Sl ,
prodovΩu[mo ocinku I2:
I n
nd n
n
s d
2
1 2 4
1 2
2 2
2
2
2� Ω
Ω/
/
/( )
( )− − −
−
− −
α
α 22 1 2( )
>
( )∑
s n
/
×
× log log ( )
( )/ /2 2 2
2
2
21 2 2sd n nd
n
n
s d− − −
−
−
− −( )Ω
Ω
β
β
�
� Ω( ) / / ( / ) /2 2 2 2
2
4 2 2 2− − − −( )
>
∑ − +n nd n s d
s n
sd
ndα α βnn s
sd
− +
β
2
�
� Ω( ) ( )/ / ( / ) /2 2 2 24 2 2 2− − − −( )
>
∑ −n nd n s d
s n
s nα α �
� Ω Ω Ω( ) ( )/ / ( / ) /2 2 2 2 24 2 2 2 1− − − −( ) − −=n nd n n d n Mα α � //d( ) . (9)
U vypadku 1 ≤ p = q ≤ ∞ dlq f Bq∈ ∞,
Ω
poklademo T f x f Vn n( , ) = ∗ 2 . Za-
stosovugçy lemu 1, oderΩu[mo
f T f x f x f xn q s
s n
q s q
s n
− = ≤
= +
∞
= +
∞
∑ ∑( , ) ( , ) ( , )Φ Φ
1 1
�
� Ω Ω Ω( ) ( ) /2 2
1
1− −
= +
∞
−∑ ( )s n
s n
dM� � . (10)
Takym çynom, z (9) ta (10) vidpovidno vyplyvagt\ ocinky
e B M dM
d
2
1 2,
/ , /∞ ∞
−( ) ( ) >Ω Ω� α , (11)
ta
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1196 S. P. VOJTENKO
e B M qM q q
d
,
/ , ,∞
−( ) ( ) > ≤ ≤ ∞Ω Ω� 1 0 1α . (12)
Dlq dovedennq ocinok zverxu v inßyx sytuaciqx skorysta[mos\ ocinka-
myO(11), (12) i vidpovidnymy vkladennqmy klasiv Bp, θ
Ω
.
Nexaj spoçatku ma[ misce vypadok 1 ≤ q < p ≤ ∞. Oskil\ky B Bp q, ,∞ ∞⊂Ω Ω
,
to ocinka zverxu v c\omu vypadku [ naslidkom ocinky (12):
e B e B MM p q M q q
d
, ,
/
∞ ∞
−( ) ≤ ( ) ( )Ω Ω Ω� 1
. (13)
Nexaj teper 2 ≤ p < q ≤ ∞. Oskil\ky ⋅ ≤ ⋅ ∞q i B Bp, ,∞ ∞⊂Ω Ω
2 , to, vraxo-
vugçy (11), moΩemo zapysaty
e B e B e B MM p q M p M
d
, , ,
/
∞ ∞ ∞ ∞ ∞
−( ) ≤ ( ) ≤ ( ) ( )Ω Ω Ω Ω2
1� . (14)
U vypadku 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q ≤ ∞ zhidno z lemog 2 B Bp, ,∞ ∞⊂Ω Ω
2
1
, de Ω1( )t =
= Ω( )/ ( / / )t t d p1 1 2−
, a tomu, skorystavßys\ ocinkog (11), matymemo
e B e B e BM p q M q M, , ,∞ ∞ ∞ ∞( ) ( ) ≤ ( )Ω Ω Ω� 2 2
1 1 �
� Ω Ω1
1
1
1 1 1 2M M Md d p− − −( ) = ( )/ / / /
, (15)
pry c\omu α + − >d p d( / / ) /1 2 1 2 , tobto α > d p/ .
Nasamkinec\ rozhlqnemo vypadok 1 ≤ p < q ≤ 2. Znovu na pidstavi lemyO2
ma[mo B Bp q, ,∞ ∞⊂Ω Ω2
, de Ω Ω2
1 1( ) ( )/ ( / / )t t t d p q= −
. Vraxovugçy (12), otrymu[mo
e B e B M M MM p q M q q
d d
, ,
/ /
∞ ∞
− −( ) ( ) ( ) = ( )Ω Ω Ω Ω� �2
2
1 1 1// /p q− 1
, (16)
pry c\omu α − − >d p q( / / )1 1 0 , tobto α > −d p q( / / )1 1 .
Takym çynom, namy rozhlqnuto vsi moΩlyvi spivvidnoßennq miΩ parametra-
my p ta q, tomu ob’[dnannq (12) – (16) dovodyt\ ocinku zverxu v (2).
Dlq dovedennq v (2) ocinky znyzu spoçatku rozhlqnemo vypadok q = 1 ta p =
= ∞. PokaΩemo, wo dlq dovil\nyx n ∈N zhidno z oznaçennqm klasiv Bp, θ
Ω
ma[ misce vkladennq
C B Bn n
3
2
12Ω Ω( ) ,
−
∞ ∞⊂ ,
de C3 0> — deqka stala.
Rozhlqnemo bahatovymirne qdro Valle Pussena Vn , dlq qkoho, qk vidomo,
vykonu[t\sq nerivnist\ V C dn 1 4≤ ( ) (dyv., napryklad, [22, s. 119] ).
Skorystavßys\ ci[g nerivnistg i vzqvßy do uvahy, wo Ω( )t zadovol\nq[
umovu ( )S , dlq dovil\noho tryhonometryçnoho polinoma T B n∈ ∞
2
budemo maty
Ω Ω Ω ΦΩ( ) ( ) ( ) ( , )
,
2 2 2
1
1
0
− − − −
∞
=∞
⋅∑n
B
n s
s
s
n
T T� =
= Ω Ω( ) ( ) ( , ) ( , )2 21
2 2
0
1
− − −
∞
=
⋅ − ⋅−∑n s
s
n
V T V Ts s =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1197
= Ω Ω( ) ( ) ( )2 21
2 2
0
1
− − −
∞
=
∗ − −∑n s
s
n
T V Vs s ≤
≤ Ω Ω( ) ( )2 21
2 2 1
0
1
− − −
∞
=
− −∑n s
s
n
T V Vs s ≤
≤ Ω Ω Ω Ω( ) ( ) ( )2 2 21
2 1 2 1
0
1
− − −
∞
=
− −+( )−∑n s
s
n
nT V Vs s � 11
0
2( )−
=
∑ s
s
n
=
= Ω
Ω
Ω Ω( )
( )
( ) ( )2
2
2
2 2 2 2
1
0
1−
− −
=
− − − −∑n
s
s
s
s
n
n n
α
α α� nn n2 1α = .
Dali, na pidstavi lemy 3 dlq M nd= −2 1
oderΩu[mo
e B e B e BM M
n
M
n n
∞ ∞
−
∞
−( ) ( ) ( ), , ( ) (θ
Ω Ω Ω Ω1 1
22 2≥
1 1
� � )) /� Ω M d−( )1
.
(17)
Zvidsy robymo vysnovok, wo vnaslidok monotonnosti velyçyny eM ce spivvid-
noßennq vykonu[t\sq dlq vsix M ∈N .
Dlq 1 ≤ p, θ ≤ ∞ zhidno z lemog 1
B Bp∞ ⊂, ,θ θ
Ω Ω
,
i tomu, vykorystovugçy (17), dlq dovil\nyx 1 ≤ q ≤ ∞ budemo maty
e B e B e B MM p q M p M
d
, , ,
/
θ θ θ
Ω Ω Ω Ω( ) ( ) ≥ ( ) ( )∞
−≥
1 1
� 1
. (18)
Ce spivvidnoßennq dovodyt\ nyΩng ocinku v (2) u vypadkax 1 ≤ q ≤ p ≤ ∞ ta
2 ≤ p ≤ q ≤ ∞.
Perejdemo do znaxodΩennq ocinky znyzu dlq vypadkiv 1 ≤ p ≤ q ≤ 2 ta 1 ≤
≤ p ≤ 2 ≤ q ≤ ∞.
Rozhlqnemo funkcig
f x C n n V xd p
n( ) ( ) ( )( / )= − −
5
1 1 1Ω ,
de çysla n i M pov’qzani spivvidnoßennqm M nd≤ /2 , a C 5 > 0 — deqka
stala.
PokaΩemo, wo pry pevnomu vybori stalo] C5 cq funkciq naleΩyt\ klasu
Bp, 1
Ω
. Z ci[g metog znovu rozhlqnemo funkcig V xn ( ) .
Vykorystovugçy nerivnist\ riznyx metryk (4), ma[mo
V n V nn p
d p
n
d p� �( / ) ( / )1 1
1
1 1− −
. (19)
Zhidno z oznaçennqm normy klasiv B[sova ta spivvidnoßennqmy (19) moΩemo
zapysaty
V Vn B
s
s n p
s
n
p,
( ) ( , )
log
1
2
1
0
2
2Ω Ω Φ� − −
=
[ ] +
⋅∑ =
= Ω− −
=
[ ] +
∗ − −∑ 1
2 2
0
2
2 1
2
( ) ( )
log
s
n p
s
n
V V Vs s ≤
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1198 S. P. VOJTENKO
≤ Ω− −
=
[ ] +
− −∑ 1
2 2 1
0
2
2 1
2
( )
log
s
n p
s
n
V V Vs s ≤
≤ Ω− −
=
[ ] +
+( )−∑ 1
2 1 2 1
0
2
2 1
2
( )
log
s
n p
s
n
V V Vs s �
� n nd p s d p
s
s
s
( / ) ( / )
lo
( )
( )1 1 1 1 1
1
0
2
2
2
− − − −
− −
=
=Ω
Ω
α
gglog 22 2
0
2
2
n
s
n
s
[ ] +
=
[ ] +
∑∑ α �
� n n n n n nd p d p( / ) ( / )1 1 1 1 1 1 1 1− − − − − − −( ) = ( )Ω Ωα α
.
Zvidsy robymo vysnovok, wo funkciq f x( ) = C n n V xd p
n5
1 1 1Ω − −( ) ( / ) ( ) naleΩyt\
klasu Bp, 1
Ω
.
V roboti [16, s. 47] pokazano, wo pry 1 ≤ q ≤ ∞ ma[ misce ocinka
e V nM n q
d q( ) ( / )� 1 1− , M nd≤ /2 . (20)
Tomu z (20) oderΩu[mo
e B n n e VM p q
d p
M n q,
( / ) ( )1
1 1 1Ω Ω( ) ≥ ( )− − � Ω n nd p q− −( )1 1 1( / / ) , M nd≤ /2 .
Vzqvßy M nd= /2 , otryma[mo ocinku znyzu v (2) u vypadku 1 ≤ p ≤ q ≤ 2. Z
ohlqdu na monotonnist\ eM ce spivvidnoßennq v danomu vypadku vykonu[t\sq
dlq vsix M, tomu
e B M MM p q
d p q
,
/ / /
1
1 1 1Ω Ω( ) ( )− −� . (21)
Nareßti, ostannij vypadok 1 ≤ p ≤ 2 ≤ q ≤ ∞ vyplyva[ z (21) pry q = 2, os-
kil\ky ⋅ ≥ ⋅q 2 . Takym çynom,
e B e B M MM p q M p
d p
, ,
/ / /
1 1 2
1 1 1 2Ω Ω Ω( ) ≥ ( ) ( )− −� .
Teoremu dovedeno.
1. Bary N. K., Steçkyn S. B. Nayluçßye pryblyΩenyq y dyfferencyal\n¥e svojstva dvux
soprqΩenn¥x funkcyj // Tr. Mosk. mat. o-va. – 1956. – 5. – S. 483 – 522.
2. Li Yongping, Xu Guiqiao. The infinite-dimensional widths and optimal recovery of generalized
Besov classes // J. Complexity. – 2002. –18, # 4. – P. 815 – 832.
3. Pustovojtov N. N. Predstavlenye y pryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx pe-
remenn¥x s zadann¥m smeßann¥m modulem neprer¥vnosty // Anal. Math. – 1994. – 20. –
P.O35O– 48.
4. Sun Yongsheng, Wang Heping. Representation and approximation of multivariate periodic func-
tions with bounded mixed moduli of smoothness // Tr. Mat. yn-ta ym. V. A. Steklova. – 1997. –
219. – S. 356 – 377.
5. Besov O. V. O nekotorom semejstve funkcyonal\n¥x prostranstv. Teorem¥ vloΩenyq y
prodolΩenyq // Dokl. AN SSSR. – 1959. – 126, # 6. – S. 1163 – 1165.
6. Nykol\skyj S. M. Neravenstva dlq cel¥x funkcyj koneçnoj stepeny y yx prymenenye v
teoryy dyfferencyruem¥x funkcyj mnohyx peremenn¥x // Tr. Mat. yn-ta ym.OV.OA.OStek-
lova. – 1951. – 38. – S. 244 – 278.
7. Steçkyn S. B. Ob absolgtnoj sxodymosty ortohonal\n¥x rqdov // Dokl. AN SSSR. – 1955.
– 102, # 1. – S. 37 – 40.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
NAJKRAWI M-ÇLENNI TRYHONOMETRYÇNI NABLYÛENNQ KLASIV … 1199
8. Ysmahylov R. S. Popereçnyky mnoΩestv v lynejn¥x normyrovann¥x prostranstvax y pry-
blyΩenye funkcyj tryhonometryçeskymy polynomamy // Uspexy mat. nauk. – 1974. – 29,
#O3. – S.O161 – 178.
9. Temlqkov V. N. O pryblyΩenyy peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Dokl.
ANOSSSR. – 1984. – 279, # 2. – S. 301 –305.
10. Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x „plavagwej”
systemoj πksponent y tryhonometryçeskye popereçnyky // Tam Ωe. – 1985. – 284, # 6. –
S.O1294 – 1297.
11. Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax peryodyçes-
kyx hladkyx funkcyj // Tr. Mat. yn-ta AN SSSR. – 1987. – 180. – S. 46 – 47.
12. Belynskyj ∏. S. PryblyΩenye „plavagwej” systemoj πksponent na klassax peryodyçes-
kyx funkcyj s ohranyçennoj smeßannoj proyzvodnoj // Yssledovanyq po teoryy funkcyj
mnohyx vewestvenn¥x peremenn¥x. – Qroslavl\: Qroslav. un-t, 1988. – S. 16 – 33.
13. Romangk A. S. Nayluçßye M-çlenn¥e tryhonometryçeskye pryblyΩenyq klassov Besova
peryodyçeskyx funkcyj mnohyx peremenn¥x // Yzv. RAN. Ser. mat. – 2003. – 67, # 2. –
S.O61O– 100.
14. Romangk A. S. Nayluçßye tryhonometryçeskye pryblyΩenyq klassov peryodyçeskyx
funkcyj mnohyx peremenn¥x v ravnomernoj metryke // Mat. zametky. – 2007. – 82, # 2. –
S.O247 – 261.
15. Kaßyn B. S., Temlqkov V. N. O nayluçßyx m-çlenn¥x pryblyΩenyqx y πntropyy mnoΩestv
v prostranstve L1 // Tam Ωe. – 1994. – 56, # 5. – S. 57 – 86.
16. De Vore R. A., Temlyakov V. N. Nonlinear approximation by trigonometric sums // J. Fourier Anal.
Appl. – 1995. – 2, # 1. – P. 29 – 48.
17. Stasgk S. A. Najkrawi M-çlenni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv funkcij bahat\ox
zminnyx Bp, θ
Ω
// Ukr. mat. Ωurn. – 2002. – 54, # 3. – S. 381 – 394.
18. Stasgk S. A. Najkrawi tryhonometryçni nablyΩennq klasiv Bp, θ
Ω
periodyçnyx funkcij
bahat\ox zminnyx u prostori Lq // Ekstremal\ni zadaçi teori] funkcij ta sumiΩni pytannq:
Pr. In-tu matematyky NAN Ukra]ny. – 2003. – 46. – S. 265 – 275.
19. Konohraj A. F., Stasgk S. A. Najkrawi M-çlenni tryhonometryçni nablyΩennq klasiv
Bp, θ
Ω
periodyçnyx funkcij bahat\ox zminnyx u prostori Lq // Ukr. mat. Ωurn. – 2008. – 60,
# 9. – S.O1206 – 1224.
20. Xu Guiqiao. The n-widths for a generalized periodic Besov classes // Acta Math. Sci. – 2005. –
25B, # 4. – P. 663 – 671.
21. Jakson D. Certain problem of closest approximation // Bull. Amer. Math. Soc. – 1933. – 39. –
P. 889 – 906.
22. Dzqd¥k B. K. Vvedenye v teoryg ravnomernoho pryblyΩenyq funkcyj polynomamy. – M.:
Nauka, 1977. – 512 s.
OderΩano 25.03.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3091 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:02Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/56/207b3bb61df2d18d8d44c410bd92d656.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30912020-03-18T19:45:12Z Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables Найкращі $M$-членні тригонометричні наближення класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. We obtain exact order estimates for the best $M$-term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables in the space $L_q$. Получены точные no порядку оценки наилучших $M$-членных тригонометрических приближений классов $B^{Ω}_{p,θ}$ периодических функций многих переменных в пространстве $L_q$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3091 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1189-1199 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1189-1199 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3091/2930 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3091/2931 Copyright (c) 2009 Voitenko S. P. |
| spellingShingle | Voitenko, S. P. Войтенко, С. П. Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title | Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_alt | Найкращі $M$-членні тригонометричні наближення класів $B^{Ω}_{p,θ}$ періодичних функцій багатьох змінних |
| title_full | Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_fullStr | Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_full_unstemmed | Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_short | Best $M$-Term trigonometric approximations of the classes $B^{Ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| title_sort | best $m$-term trigonometric approximations of the classes $b^{ω}_{p,θ}$ of periodic functions of many variables |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3091 |
| work_keys_str_mv | AT voitenkosp bestmtermtrigonometricapproximationsoftheclassesbōpthofperiodicfunctionsofmanyvariables AT vojtenkosp bestmtermtrigonometricapproximationsoftheclassesbōpthofperiodicfunctionsofmanyvariables AT voitenkosp najkraŝímčlennítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih AT vojtenkosp najkraŝímčlennítrigonometričnínabližennâklasívbōpthperíodičnihfunkcíjbagatʹohzmínnih |