Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics
For additive functionals defined on a sequence of Markov chains that approximate a Markov process, we establish the convergence of functionals under the condition of local convergence of their characteristics (mathematical expectations).
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3093 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509123412492288 |
|---|---|
| author | Kartashov, Yu. N. Kulik, A. M. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. |
| author_facet | Kartashov, Yu. N. Kulik, A. M. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. |
| author_sort | Kartashov, Yu. N. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | For additive functionals defined on a sequence of Markov chains that approximate a Markov process, we establish the convergence of functionals under the condition of local convergence of their characteristics (mathematical expectations). |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:06Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 519.21
Ю. Н. Карташов (Киев. нац. ун-т им. Т. Шевченко),
А. М. Кулик (Ин-т математики НАН Украины, Киев)
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ
ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ УСЛОВИЯХ
НА ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Additive functionals defined on a sequence of Markov chains that approximate a Markov process are consi-
dered. For these functionals, a result is obtained that establishes the convergence of functionals under local
conditions of convergence of their characteristics (mathematical expectations).
Для адитивних функцiоналiв, заданих на послiдовностi ланцюгiв Маркова, якi апроксимують процес
Маркова, отримано результат, що встановлює збiжнiсть функцiоналiв за умов локальної збiжностi їх
характеристик (математичних сподiвань).
1. Введение. В данной работе исследуется предельное поведение функционалов
типа локального времени от цепей и процессов Маркова. Рассматриваются функ-
ционалы вида
φs,t
n
df=
∑
k:s≤tn,k<t
Fn,k
(
Xn (tn,k) , Xn (tn,k+1) , . . . , Xn (tn,k+L−1)
)
, 0 ≤ s < t,
(1)
где Tn
df= {tn,k}, n ≥ 1, — последовательность разбиений R+, Xn, n ≥ 1, —
последовательность процессов, сходящаяся в подходящем смысле к некоторому
процессу X, Fn,k, n ≥ 1, k ≥ 0, — неотрицательные борелевские функции. По-
скольку каждый из функционалов φn имеет свойство аддитивности в точках со-
ответствующего разбиения Tn, такие функционалы будем называть разностными
аддитивными. Примерами функционалов вида (1) могут служить число посеще-
ний некоторого множества Kn значениями процесса Xn в точках разбиения Tn,
число перемен знака для последовательных значений процесса Xn в точках разби-
ения Tn и т. п. Основное структурное предположение состоит в том, что предель-
ный процесс X является однородным процессом Маркова, а каждый из процессов
Xn имеет марковское свойство в точках соответствующего разбиения Tn. Таким
образом, Xn, n ≥ 1, естественно интерпретировать как последовательность цепей
Маркова с подходящим образом масштабированной временной переменной.
Данная работа является продолжением статьи [1], в которой был предложен
подход к исследованию предельного поведения разностных аддитивных функцио-
налов, являющийся развитием подхода Дынкина к исследованию предельного по-
ведения W-функционалов от марковского процесса. Известно достаточное условие
Е. Б. Дынкина, устанавливающее сходимость W-функционалов от данного процес-
са Маркова при условии равномерной сходимости их характеристик, т.е. мате-
матических ожиданий (см. [2], гл. 6). В работе [1] понятие характеристики было
расширено на функционалы вида (1). Там же был доказан результат, являющий-
ся, в определенном смысле, точным аналогом теоремы Дынкина для разностных
аддитивных функционалов.
Цель данной работы заключается в том, чтобы ослабить условия основного
результата работы [1], в частности условия равномерной сходимости характерис-
тик и непрерывности предельной характеристики. Для того чтобы показать, что
c©Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК, 2009
1208 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1209
такое ослабление не является сугубо техническим, продемонстрируем смысл этих
условий на примере W-функционалов от многомерного броуновского движения.
Известно (см. [2], гл. 8), что для m-мерного броуновского движения каждому
W-функционалу φ соответствует так называемая W -мера µ, т. е. σ-конечная мера,
удовлетворяющая соотношению
sup
x∈Rm
∫
‖y−x‖≤1
w
(
‖y − x‖
)
µ(dy) < +∞, w(r) df=
max(− ln r, 1), m = 2
r2−m, m > 2.
(2)
При этом характеристика ft(x)
df= Exφ
0,t функционала φ задана соотношением
ft(x) =
t∫
0
∫
Rm
ps(x, y)µ(dy) ds, ps(x, y)
df= (2πs)−m/2e−‖x−y‖2/2s.
Характеристика определяет W-функционал однозначно (см. [2], гл. 6), так что со-
ответствие между W -мерами и W-функционалами взаимно однозначно.
Можно показать (см. [3], утверждение 1.1), что если W -мера µ имеет компакт-
ный носитель, то характеристика соответствующего W-функционала непрерывна
по переменной x тогда и только тогда, когда
lim
δ↓0
sup
x∈Rm
∫
‖y−x‖≤δ
w
(
‖y − x‖
)
µ(dy) = 0. (3)
Отличие между условиями (2) и (3) легко продемонстрировать в терминах m-
мерного потенциала, порождаемого мерой µ, т. е. функции
Uµ(x) =
∫
Rm
w(‖y − x‖)µ(dy), x ∈ Rm.
А именно, мера µ с компактным носителем является W -мерой в точности тогда,
когда потенциал Uµ ограничен; мера µ удовлетворяет (3) в точности тогда, ког-
да потенциал Uµ непрерывен. Отметим, что существуют W -меры, для которых
соответствующие потенциалы, равно как и характеристики соответствующих W-
функционалов, разрывны (см. [3], пример 5.2 и п. 4 данной работы).
Таким образом, класс W-функционалов с разрывными характеристиками не-
тривиален. Такие функционалы естественно называть „нерегулярными”. Нерегу-
лярные функционалы не могут возникать в качестве предельных в рамках подхода,
развитого в [1]. В данной работе мы заменяем равномерные условия на характерис-
тики определенной комбинацией их локальных аналогов и условий на поведение
траекторий предельного процесса. Это позволяет расширить область применения
подхода, предложенного в [1]. В частности, в п. 4 мы приводим пример последова-
тельности разностных функционалов, не удовлетворяющей равномерным условиям
[1], для которой основной результат данной работы — теорема 1 — позволяет дока-
зать сходимость по распределению к нерегулярномуW-функционалу от двумерного
броуновского движения.
2. Основные объекты и определения. Поскольку данная работа является
продолжением [1], мы опускаем подробные объяснения конструкций и объектов,
если такие объяснения содержатся в статье [1].
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1210 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
Как было отмечено во введении, мы предполагаем, что предельный процесс
X является однородным процессом Маркова, а каждый из процессов Xn имеет
марковское свойство в точках соответствующего разбиения Tn [1]. Фазовым про-
странством для процессов X, Xn, n ≥ 1, является некоторое локально компактное
метрическое пространство X. Траектории процесса X предполагаются непрерыв-
ными справа и имеющими пределы слева в каждой точке.
Функционалы φn, которые рассматриваются в данной работе, имеют вид (1).
Вместе с этими функционалами, являющимися ступенчатыми функциями по каж-
дой из временных переменных, рассматриваются также случайные ломаные, по-
строенные по этим функциям:
ψs,t
n = φ
tn,j−1,tn,k−1
n − s− tn,j−1
tn,j − tn,j−1
φtn,j−1,tn,j
n +
t− tn,k−1
tn,k − tn,k−1
φ
tn,k−1,tn,k
n ,
s ∈ [tn,j−1, tn,j) , t ∈ [tn,k−1, tn,k) .
Случайные ломаные ψn мы интерпретируем как случайные элементы в простран-
стве C(4,R+), где 4 df= {(s, t) : 0 ≤ s ≤ t}.
Для функционала φn его характеристика fn задается следующим равенством,
аналогичным определению характеристики W-функционала [1] (определение 3.2):
fs,t
n (x) df= E
[
φs,t
n (Xn)|Xn(s) = x
]
, s ∈ Tn, t > s, x ∈ X.
Здесь и далее условное математическое ожидание E[·|Xn(s) = x] понимается как
интеграл по семейству условных конечномерных распределений, существование
которого обеспечивается марковским свойством процесса Xn в точках разбиения
Tn [1].
Введем два определения, необходимые для дальнейшего изложения. Первое из
них является модификацией определения 1 из работы [4].
Определение 1. Последовательность {Xn} осуществляет марковскую ап-
проксимацию процесса X по сетке разбиений {Tn} , если для произвольных γ > 0,
T < +∞ существуют число K = K(γ, T ) ∈ N и последовательность двухкомпо-
нентных процессов
{
Ŷn = (X̂n, X̂
n)
}
такие, что:
1) X̂n
d=Xn, X̂
n d=X;
2) процессы Ŷn, X̂n, X̂
n имеют марковское свойство в точках tn,iK , i ∈ N,
относительно потока
{
F̂n
t = σ(Ŷn(s), s ≤ t)
}
;
3) lim sup
n→+∞
P
(
sup
tn,iK∈[0,T ]
ρ
(
X̂n (tn,iK) , X̂n (tn,iK)
)
> γ
)
< γ.
Утверждения, приведенные в работах [1, 4, 5], показывают, что предположение
о том, что последовательность {Xn} осуществляет марковскую аппроксимацию
процесса X, не является ограничительным и выполняется для широкого класса
последовательностей при весьма общих условиях.
Следующее определение является модификацией общепринятого в теории по-
тенциала определения „полярного множества”, поскольку полярное (в стандартном
смысле) множество в Rm будет, в смысле определения 2, полярным множеством
для m-мерного броуновского движения (см. [6]).
Определение 2. Замкнутое множество A ⊂ X называется полярным для
марковского процесса X, если:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1211
1) ∀x 6∈ A : Px
(
∃t ∈ R+ : X(t) ∈ A или X(t−) ∈ A
)
= 0,
2) ∀t > 0: P
(
X(t) ∈ A
)
= 0.
Здесь и далее используются стандартные обозначения Px, Ex для распреде-
ления марковского процесса X с начальным распределением, сосредоточенным в
точке x, и математического ожидания по этому распределению соответственно.
3. Основное утверждение.
Теорема 1. Пусть заданы последовательность Xn, осуществляющая мар-
ковскую аппроксимацию однородного процесса Маркова X, и последовательность
функционалов {φn} вида (1). Пусть для некоторого семейства открытых мно-
жеств {Vα ⊂ X, α > 0}, монотонного по α и такого, что A = X\
⋃
α>0 Vα —
полярное множество для процесса X, выполнены следующие условия:
1) lim sup
ε→0
lim supn→∞ Eφ0,ε
n = 0;
2) для каждого T > 0: κn(T ) df= E
∑
k:tn,k<T
(
φ
tn,k−1,tn,k
n
)2
→ 0, n→∞;
3) существует функция f, являющаяся характеристикой некоторого W-функ-
ционала φ = φ(X) от предельного марковского процесса X, такая, что для каж-
дых T > 0, α > 0
sup
x∈Vα
max
k: tn,k∈[0,T ]
sup
t∈[tn,k,T ]
∣∣∣f tn,k,t
n (x)− f tn,k,t(x)
∣∣∣→ 0, n→∞;
4) для каждого T > 0 характеристики функционалов φ0,T
n ограничены:
sup
n≥1
sup
x∈X
f0,T
n (x) < +∞;
5) для каждых T > 0, α > 0 функция f непрерывна по переменной x равно-
мерно при t ∈ [0, T ], x ∈ Vα :
sup
x1,x2∈Vα,
ρ(x1,x2)<δ
sup
t∈[0,T ]
∣∣f0,t(x1)− f0,t(x2)
∣∣→ 0, δ → 0.
Тогда для случайных ломаных ψn, соответствующих функционалам φn, имеет
место сходимость по распространению в C(4,R+) :
ψn(Xn) ⇒ φ(X) ≡
{
φs,t(X), (s, t) ∈ 4
}
.
Замечание . Условия 2 – 5 теоремы 1 являются ослабленными версиями усло-
вий 1 – 3 основной теоремы статьи [1]. Так, вместо равномерных ограничений на
приращения φtn,k−1,tn,k
n используется условие 2, вместо равномерной сходимости
характеристик требуются равномерная ограниченность характеристик (условие 4)
и их равномерная сходимость на каждом из множеств Vα (условие 3), вместо
равномерной непрерывности предельной характеристики требуется равномерная
непрерывность на каждом из множеств Vα (условие 5). При этом возникает необ-
ходимость в специфическом условии 1, которое контролирует общие приращения
исследуемых функционалов в окрестности начального момента времени. Следует
отметить, что в условиях 2 – 5 теоремы 1 условие 1 является необходимым для
того, чтобы требуемая слабая сходимость имела место. Это несложно показать,
учитывая, что φ0,ε → 0 почти наверное при ε → 0 и семейство φ0,t
n , t ∈ [0, T ],
n ≥ 1, равномерно интегрируемо в силу оценки (8).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1212 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
Доказательству теоремы 1 предпошлем вспомогательные построения и утверж-
дения. Обозначим
‖fn‖n
df= sup
x∈X
max
0≤s<t≤T
s,t∈Tn
(x), ‖f‖ df= sup
x∈X
sup
0≤s<t≤T
fs,t(x).
Для фиксированных γ > 0, T > 0 рассмотрим процесс Ŷn
df= (X̂n, X̂
n), кото-
рый удовлетворяет условиям 1 – 3 определения 1. В силу условия 1 функционалы
φ̂n
df= φn(X̂n) одинаково распределены с φn(Xn). Аналогично, каждый из функци-
оналов φ̂n df= φ(X̂n) одинаково распределен с φ(X). Поэтому с целью упрощения
обозначений далее там, где это не вызывает недоразумений, мы пишем φn вместо
φ̂n и φ вместо φ̂n.
Лемма 1. Для произвольного t > 0 существует функция Ξ(t, ·) такая, что
Ξ(t, γ) → 0, γ → 0 и
lim sup
n→∞
E
(
φ0,t
n − φ0,t
)2 ≤ Ξ(t, γ).
Доказательство. Если не оговорено особо, мы для сокращения будем писать
ti вместо tn,iK(γ,T ). Не ограничивая общности можно положить t = T . Также
считаем, что K ≥ L (в противном случае те же рассуждения проводятся для
константы K ′ df= KL вместо K).
Обозначим
Mn = sup {i : ti ∈ [0, T ]}+ 1,
∆n
i
df= φti−1,ti
∧
T
n , ∆̃n
i
df= φti−1,ti
∧
T , i = 1,Mn.
Имеем
(
φ0,T
n − φ0,T
)2
=
(
Mn∑
i=1
(
∆n
i − ∆̃n
i
))2
= Σn
1 + 2Σn
2 ,
где
Σn
1
df=
Mn∑
i=1
(∆n
i )2 +
Mn∑
i=1
(∆̃n
i )2 − 2
M∑
i=1
∆n
i ∆̃n
i ,
Σn
2
df=
∑
1≤i<l≤Mn
∆n
i ∆n
l −
∑
1≤i<j≤Mn
∆n
i ∆̃n
j
+
+
∑
1≤j<k≤Mn
∆̃n
j ∆̃n
k −
∑
1≤j<i≤Mn
∆n
i ∆̃n
j
.
Оценку асимптотики математических ожиданий Σn
1 , Σ
n
2 разобьем на несколько
частей.
1. lim sup
n→∞
E Σn
1 = 0.
Поскольку приращения ∆n
i , ∆̃n
i неотрицательны, первую сумму в разложении
Σn
1 можно оценить сверху суммой первых двух слагаемых:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1213
Σn
1 ≤
Mn∑
i=1
(∆n
i )2 +
Mn∑
i=1
(∆̃n
i )2. (4)
Неравенство между средним арифметическим и средним квадратическим вме-
сте с условием 2 теоремы позволяет оценить математическое ожидание первого
слагаемого из (4):
E
Mn∑
i=1
(∆n
i )2 ≤ K E
KMn∑
j=1
(
φtn,j−1,tn,j
n
)2 = K · κn → 0, n→ +∞.
Сходимость к нулю среднего значения второго слагаемого в (4) является следстви-
ем рассуждений, которые аналогичны приведенным в гл. 6 [2]: с одной стороны,
из непрерывности функционала φ следует, что
∑Mn
i=1
(∆̃n
i )2 → 0 почти навер-
ное, а с другой —
∑Mn
i=1
(∆̃n
i )2 мажорируется величиной (φ0,T )2, причем сред-
нее этой величины, согласно лемме 6.4 [2], не превышает 2 ‖f‖2 < ∞. Поэтому
E
∑Mn
i=1
(∆̃n
i )2 → 0 по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Таким обра-
зом, lim sup
n→∞
E Σn
1 = 0.
2. Оценка lim sup
n→∞
E Σn
2 .
Математическое ожидание Σn
2 запишем в виде
E
∑
1≤i<l≤Mn
∆n
i ∆n
l −
∑
1≤i<j≤Mn
∆n
i ∆̃n
j
+
+E
∑
1≤j<k≤Mn
∆̃n
j ∆̃n
k −
∑
1≤j<i≤Mn
∆n
i ∆̃n
j
=
= E
Mn−1∑
i=1
∆̃n
i
[
φti,T − φti,T
n
]
+ E
Mn−1∑
i=1
∆n
i
[
φti,T
n − φti,T
]
. (5)
Обозначим сумму под первым математическим ожиданием Σn
2.1, под вторым —
Σn
2.2.
3. Оценка lim sup
n→∞
E Σn
2.1.
Воспользуемся условием 2 определения 1, т. е. марковским свойством процесса
(X̂n, X̂n) в точках разбиения. Поскольку величина ∆̃n
i измерима относительно Fti
,
справедливо равенство
E
Mn−1∑
i=1
∆̃n
i
[
φti,T − φti,T
n
]
= E
Mn−1∑
i=1
∆̃n
i E
[(
φti,T − φti,T
n
)
|Fti
]
=
= E
Mn−1∑
i=1
∆̃n
i
(
f ti,T
(
X̂n (ti)
)
− f ti,T
n
(
X̂n (ti)
))
. (6)
Зафиксируем θ ∈ (0, T ], ε > 0. Рассмотрим события
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1214 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
Ω̂ df=
{
∀t ∈ [θ, T ] : X̂n(t) ∈
⋃
α>0
Vα
}
,
Ωγ
df=
{
sup
i<Mn
ρ
(
X̂n (ti), X̂n (ti)
)
≤ γ
}
,
Ω′
α
df=
{
∀t ∈ [θ, T ] : X̂n(t) ∈ Vα
}
,
Ω′′
α
df=
{
∀t ∈ [θ, T ] : X̂n(t) ∈ Vα
}
.
Напомним, что множество X \
⋃
α>0 Vα является полярным, следовательно,
Xn(θ) ∈
⋃
α>0 Vα почти наверное, поэтому событие Ω̂ имеет вероятность 1. Таким
образом, выражение (6) может быть оценено сверху выражением
E1I{Ω̂}
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i
∣∣∣f ti,T
n
(
X̂n (ti)
)
− f ti,T
(
X̂n (ti)
)∣∣∣+
+
(
‖f‖+ sup
n
‖fn‖n
)
E f0,θ(X(0)), Mθ,n = {ti : ti ∈ [θ, T ]}. (7)
В силу условия 3 определения 1 P(Ωγ) > 1 − γ. Докажем, что существует
α0 = α0(θ, ε, T ) > 0 такое, что
P(Ω̂\Ω′
α0
) = P
(
Ω̂\ {∀t ∈ [θ, T ] : X(t) ∈ Vα0}
)
< ε.
В силу монотонности семейства множеств Vα
P
{
Ω̂\
⋃
α>0
Ω′
α
}
= P
(
Ω̂
⋂ ⋂
α>0
{
∃sα ∈ [θ, T ] : X̂n(sα) 6∈ Vα
})
≤
≤ P
(
Ω̂
⋂{
∃s ∈ [θ, T ], {sn, n ≥ 1} : sn → s±, X̂n(sn) ∈ X\Vα
})
≤
≤ P
(
Ω̂
⋂{
∃s ∈ [θ, T ], X̂n(s±) ∈ X\
⋃
α>0
Vα
})
= 0.
Тут опять были использованы условие полярности множества X\
⋃
α Vα и тот факт,
что для убывающей последовательности замкнутых множеств {An ⊂ X} и точек
an ∈ An из an → a следует, что a ∈
⋂
n≥1An. Поскольку последовательность
Ω′
1/n возрастает, из непрерывности вероятности как функции множеств следует,
что P
{
Ω′
1/n
}
→ 1, n→∞.
Обозначим
rn(α, T ) df= sup
x∈Vα
sup
tk[0,T ]
sup
t∈[tk,T ]
∣∣f tk,t
n (x)− f tk,t(x)
∣∣ ,
ωf (ε, α, T ) df= sup
0<s<t<T
sup
x1,x2∈Vα
ρ(x1,x2)<ε
∣∣fs,t(x1)− fs,t(x2)
∣∣ ,
δ(α, ε, θ, T ) df= P
{
0 < inf
t∈[θ,T ]
inf
z∈X\Vα
ρ (X(t), z) < ε
}
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1215
Согласно условиям 5 и 3 теоремы 1 rn(α, T ) → 0, n → ∞ и ωf (ε, α, T ) → 0,
ε → 0. Величина δ(α, ε, θ, T ) при фиксированных θ, α, T стремится к нулю при
ε → 0 по теореме Лебега о мажорированной сходимости. Согласно лемме 6.4
гл. 6 [2]
sup
x∈X
Ex
([
φs,t
]2) ≤ 2 sup
x∈X
[
fs,t(x)
]2
.
Таким образом, с учетом того, что Ω′
α ⊂ Ω̂, можно оценить сверху первое слагаемое
в (7):
E1I{Ω̂}
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i
∣∣∣f ti,T
n
(
X̂n (ti)
)
− f ti,T
(
X̂n (ti)
)∣∣∣ ≤
≤ E
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i 1I{
Ω′α0,T
⋂
Ω′′α0,T
}
∣∣∣f Ki
n ,T
(
X̂n (tKi,n)
)
− f
Ki
n ,T
(
X̂n (tKi,n)
)∣∣∣+
+E
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i 1I{Ω′α0
⋂
Ω′′α0}
∣∣∣f ti,T
n
(
X̂n (ti)
)
− f ti,T
(
X̂n (ti)
)∣∣∣+ (‖f‖+ sup
n
‖fn‖n
)
×
×
E
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i 1I{Ωγ
⋂
Ω′α0
\Ω′′α0} + E
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i 1I{Ω̂\Ω′α0} + E
∑
ti∈Mθ,n
∆̃n
i 1I{Ω\Ωγ}
≤
≤ ‖f‖ rn(α0(θ, ε, T ), T ) + ‖f‖ωf (ε, α0(θ, ε, T ), T )+
+
(
sup
n
‖fn‖n + ‖f‖
)(
E
[
φ0,T
]2)1/2
×
×
[(
P
{
Ωγ
⋂
Ω′
α0
\Ω′′
α0
})1/2
+
(
P
{
Ω̂ \ Ω′
α0
})1/2
+ (P {Ω \ Ωγ})1/2
]
≤
≤ ‖f‖ωf (ε, α0(θ, ε, T ), T ) + ‖f‖ rn(α0(θ, ε, T ), T )+
+
(
sup
n
‖fn‖n + ‖f‖
)√
2 ‖f‖ ()
√
δ(α0(θ, ε, T ), γ, θ, T ) +
√
ε+
√
γ.
Подытоживая приведенные выше рассуждения, можно сделать вывод о том, что
lim sup
n→∞
{
E
Mn−1∑
i=1
∆̃n
i
[
φti,T − φti,T
n
]}
≤
≤
(
‖f‖+ sup
n
‖fn‖n
)
E f0,θ(X(0)) + ‖f‖ωf (γ, α0(θ, T ), T ) +
+
(
sup
n
‖fn‖n + ‖f‖
)√
2 ‖f‖
(√
δ(α0(θ, ε, T ), γ, θ, T ) +
√
ε+
√
γ
)
df=
df= Ξ1(θ, γ, ε, T ).
При этом, lim
θ→0
lim
ε→0
lim
γ→0
Ξ1(θ, γ, ε, T ) = 0.
4. Оценка lim supn→∞ EΣn
2.2.
Для оценки Σn
2.2 нам понадобится оценка математического ожидания (φn)2. Из
марковского свойства процесса Ŷn в точках tn,k, условия 2 и оценок, аналогичных
оценке (3.10) работы [1], следует
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1216 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
E
[
φ0,T
n
]2 ≤ (3K + 3)κn + 2 sup
n
‖fn‖2n . (8)
Теперь рассуждения, аналогичные проведенным при оценивании EΣn
2.1, и про-
веденная выше оценка приводят к следующему:
lim sup
n→∞
{
E
Mn−1∑
i=1
∆n
i
[
φti,T
n − φti,T
]}
≤
≤
(
‖f‖+ sup
n
‖fn‖n
)
lim sup
n→∞
E f0,θ
n (X(0)) + sup
n
‖fn‖n ωf (γ, α0(θ, ε, T ), T )+
+
(
sup
n
‖fn‖n + ‖f‖
)√
2 sup
n
‖fn‖n
(√
δ(α0, γ, θ, T ) +
√
ε+
√
γ
)
df=
df= Ξ2(θ, γ, ε, T ).
Используя условие 1 теоремы, имеем lim
θ→0
lim
ε→0
lim
γ→0
Ξ2(θ, γ, ε, T ) = 0.
5. Оценка lim supn→∞ E
(
φ0,T
n − φ0,T
)2
.
Таким образом, при фиксированных α, θ, γ, ε, T выполнено
lim sup
n→∞
E
(
φ0,t
n − φ0,t
)2 ≤
≤ lim sup
n→∞
EΣn
1 + 2 lim sup
n→∞
EΣn
2.1 + 2 lim sup
n→∞
EΣn
2.2 ≤
≤ 0 + 2Ξ1(θ, γ, ε, T ) + 2Ξ2(θ, γ, ε, T ).
Обозначим Ξ(γ, T ) = 2 inf
θ>0
inf
ε>0
Ξ1(θ, γ, ε, T )+2 inf
θ>0
inf
ε>0
Ξ2(θ, γ, ε, T ). Для θ, ε, T > 0
имеем
lim sup
γ→0
Ξ(γ, T ) ≤ 2 lim sup
γ→0
Ξ1(θ, γ, ε, T ) + 2 lim sup
γ→0
Ξ2(θ, γ, ε, T ) df= Ξ̂(θ, ε, T ).
При этом по доказанному выше lim
θ→0
lim
ε→0
Ξ̂(θ, ε, T ) = 0, а Ξ(γ, T ) от θ и ε не зависит.
Как следствие, lim
γ→0
Ξ(γ, T ) = 0, что и доказывает лемму 1.
Теперь доказательство сходимости конечномерных распределений φn к соответ-
ствующим распределениям φ следует из соображений, аналогичных приведенным
в конце доказательства теоремы 1 [1].
Докажем, что конечномерные распределения случайных ломаных ψn также сла-
бо сходятся к конечномерным распределениям φ. Для этого достаточно показать,
что для произвольного t > 0 E |ψ0,t
n − φ0,t
n | → 0, n→∞.
Действительно, при фиксированном δ > 0 для n > 1/δ
E
∣∣ψ0,t
n − φ0,t
n
∣∣ ≤ E
∣∣φ0,t+δ
n − φ0,t
n
∣∣ ≤ E
∣∣∣φ0,t+δ
n
(
X̂n
)
− φ0,t+δ
(
X̂n
)∣∣∣+
+ E
∣∣∣φ0,t
n
(
X̂n
)
− φ0,t
(
X̂n
)∣∣∣+ Eφt,t+δ.
Следовательно, lim sup
n→∞
E
∣∣ψ0,t
n − φ0,t
n
∣∣ ≤ Eφt,t+δ. Последнее выражение стремится
к нулю при δ → 0 по теореме Лебега о мажорированной сходимости.
С учетом соотношений ψs,t
n = ψ0,t
n − ψ0,s
n , ψs,t = ψ0,t − ψ0,s доказательство
теоремы завершает следующее утверждение.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1217
Лемма 2. Пусть задана последовательность случайных процессов
{
Zn(t),
t ∈ [0, T ]
}
со значениями в пространстве R+, причем Zn(0) = 0 для любого
n > 0. Тогда, если траектории Zn(·) почти наверное монотонны и непрерывны,
из сходимости конечномерных распределений Zn к распределениям некоторого не-
прерывного процесса Z следует сходимость Zn ⇒ Z по распределению в C([0, T ]).
Доказательство. В силу теоремы Прохорова (см. теоремы 6.1, 6.2 из гл. 1 [7])
для доказательства леммы достаточно доказать плотность семейства распределений
Zn вC([0, T ]). Для применения достаточного условия плотности последовательнос-
ти мер в C([0, T ]) (см. теорему 8.2 гл. 2 [7]) достаточно доказать, что для каждого
ε > 0 имеет место
lim
δ→0
lim sup
n→∞
P (ωn(δ, T ) ≥ ε) = 0,
ωn(δ, T ) df= sup
t1,t2:0≤t1<t2≤T
t2−t1<δ
|Zn(t1)− Zn(t2)| .
Рассмотрим разбиение отрезка [0, T ] точками вида
{
mT
n
, m ∈ N
}
. В силу моно-
тонности Zn имеет место неравенство
sup
m=0,...,M−1
∣∣∣∣Zn
(
mT
M
)
− Zn
(
(m+ 1)T
M
)∣∣∣∣ ≤ ωn
(
T
M
,T
)
≤
≤ 2 sup
m=0,...,M−1
∣∣∣∣Zn
(
mT
M
)
− Zn
(
(m+ 1)T
M
)∣∣∣∣ . (9)
Поскольку конечномерные распределения процессов Zn сходятся к конечномер-
ным распределениям процесса Z, для траекторий которого справедлив аналог (9),
выполняется неравенство
lim sup
n→∞
P
(
ωn
(
T
M
,T
)
≥ ε
)
≤ P
(
ω
(
T
M
,T
)
≥ ε
2
)
, (10)
где ω (δ, T ) df= sup
t1,t2:0≤t1<t2≤T
t2−t1<δ
|Z (t1)− Z (t2)| . Правая часть (10) стремится к нулю
при M → ∞. Это влечет плотность семейства распределений Zn в пространстве
C([0, T ]).
Лемма доказана.
4. Пример. Пусть задана последовательность
{
ξn = (ξ1n, ξ
2
n), n ≥ 1
}
независи-
мых одинаково распределенных случайных векторов в R2. Предположим, что они
центрированы и имеют единичную матрицу ковариаций.
Пусть Xn
(
k
n
)
= xn +
1√
n
k∑
i=1
ξi, k ∈ Z+, и на каждом из отрезков разбиения
оси R+ точками множества Tn
df= n−1Z+ траектории Xn линейны. Последова-
тельность {xn} предполагается неслучайной и сходящейся к нулю при n → ∞.
Обозначим через Pn,t(dx) распределение Xn(t).
Далее, положим rk = 2−k2
, ak =
(
1
k
, 0
)
∈ R2, Sk = {y : ‖y − ak‖R2 = rk} ,
Qk = k−2, k ≥ 1. Определим меры σk как поверхностные меры на окружностях
Sk. Обозначим mn
df= [
√
lnn] + 1 и рассмотрим меры
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1218 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
µn
df=
mn∑
k=1
Qkσk, µ
df=
∞∑
k=1
Qkσk.
Мера µ является W -мерой, но при этом для нее не выполняется условие (3)
(см. [3], пример 5.2). Соответственно, µ задает W-функционал φ от двумерного
броуновского движения X, характеристика f которого разрывна.
Положим
Fn(x) df=
1/n∫
0
∫
R2
Gt(y − x)µn(dy)dt, Gt(x) =
1
2πt
exp
(
−‖x‖
2
2t
)
,
и определим функционалы φn равенством (1) с L = 1, Fn,k = Fn, k ≥ 0, n ≥ 1.
Мы покажем, что при определенных предположениях случайные ломаные ψn,
соответствующие функционалам φn = φn(Xn), сходятся слабо к φ = φ(X). Та-
кой результат ожидаем, поскольку случайные ломаные Xn по теореме Донскера
слабо сходятся к броуновскому движению X, и, как несложно проверить, меры
νn(dx) := Fn(x) dx слабо сходятся к мере µ. Однако нерегулярность предельного
W-функционала φ приводит, в частности, к тому, что распределения функциона-
лов весьма тонко реагируют на изменение начальных значений ломаных Xn, т. е.
точек xn.
Итак, пусть xn =
(
1
mn
, 0
)
, n ≥ 1, и шаг ξn случайного блуждания имеет
стандартное двумерное нормальное распределение. Тогда для каждых ε > 0, n ≥ 1
имеем
Eφ0,ε
n =
[nε]∑
i=1
1/n∫
0
∫
R2
∫
R2
Gr(xn + x− y)Pi/n,n(dx)dµn(y) ≥
≥
[nε]∑
i=1
Qmn
1/n∫
0
∫
R2
Gr+i/n(xn − y)drdσmn(y) ≥ Qmn
ε∫
1/n
Gr(rmn)dr. (11)
Поскольку r2mn
=
1
2m2
n
<
1
n
, выражение в правой части (11) можно, преобра-
зовав, оценить снизу:
Qmn
n∫
1/ε
1
2πu
e−(r2
mn
·u)/2du ≥ Qmn
n∫
1/ε
1
2πu
e−1du ≥ 1
2πe
ln(nε)
lnn
.
Таким образом, lim sup
n→∞
Eφ0,ε
n ≥ 1
2πe
> 0. Следовательно, условие 1 теоремы 1 не
выполнено, а значит (см. замечание 1), слабая сходимость φn к φ не имеет места.
Последовательность {xn} была выбрана таким образом, что для характеристики
f функционала φ для каждого t > 0
f0,t(xn) 6→ f0,t(0), n→∞
(это соотношение проверяется с помощью рассуждений, аналогичных приведен-
ным выше). Таким образом, W-функционал φ нерегулярен, что делает достаточно
естественным приведенный выше отрицательный результат.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1219
С другой стороны, как показывает приведенное далее утверждение, даже в
такой весьма нерегулярной ситуации при правильном выборе начальных точек слу-
чайных ломаных Xn положительный результат — сходимость по распределению
разностных аддитивных функционалов φn — имеет место при весьма слабых огра-
ничениях на последовательность {ξn}.
Утверждение 1. Пусть xn ≡ 0, распределение независимых одинаково рас-
пределенных случайных векторов ξn имеет ненулевую абсолютно непрерывную
часть относительно меры Лебега и E ‖ξn‖6 < +∞.
Тогда случайные ломаные ψn, соответствующие функционалам φn, сходятся
слабо к φ.
Доказательство. Доказательство основано на применении теоремы 1. Отме-
тим, что применение результатов работы [1] здесь невозможно в силу разрывности
характеристики функционала φ.
То, что последовательность процессов Xn осуществляет марковскую аппрокси-
мацию двумерного броуновского движения, доказано в [4] (см. также [3], лемма
3.1). Далее, характеристики функционалов φn и φ равны соответственно
fs,t
n (x) =
mn∑
k=1
[nt]∑
i=[ns]+1
Qk
1/n∫
0
∫
R2
∫
R2
Gr(y − z) · Pi/n,n(dz − x)σk(dy)dr
и
fs,t(x) =
∞∑
k=1
Qk
t∫
s
∫
R2
pr(y − x)σk(dy)dr, pr(x) =
1
2πr
exp
(
−‖x‖
2
2r
)
.
Выберем Vα
df=
{
x ∈ R2 : ‖x‖ ∈
(
α,
1
α
)}
, α ∈ (0, 1). Объединение этих мно-
жеств равно R2 \ 0, поэтому является полярным для предельного процесса X [6;
8, с. 69].
Докажем равностепенную (по параметру t) непрерывность f0,t(·) на каждом
множестве Vα (условие 5). Выберем такое N = N(α) ∈ N, что ∀n ≥ N :
Sn
⋂
Vα/2 = ∅. Тогда ∀n ≥ N, y ∈ Sn, x ∈ Vα x− y ∈ Vα/2. Следовательно,
∀k ≥ N :
∫
R2
t∫
0
pr(y − x)drσk(dy) ≤
t∫
0
1
2π · r
e−α2/8rdr ≤ 8t
α
exp
(
−α
2
8t
)
.
При n ≥ N, x ∈ Vα/2 функция pr(·) равномерно непрерывна по r ∈ [ε, T ] на множе-
стве Vα/2. С учетом сходимости ряда коэффициентов Qk и равномерной непрерыв-
ности характеристики каждого функционала от двумерного винеровского процесса,
заданного мерой σk (см. рассуждения из примера 5.2 работы [4]), из приведенных
рассуждений следует равномерная непрерывность f на каждом Vα. Отметим, что
из аналогичных рассуждений следует, что ∀α > 0: supx∈Vα
f0,ε(x) → 0, ε→ 0.
Согласно теореме 1.1 [9], в приведенных выше условиях имеет место следую-
щая локальная предельная теорема для Pn,t(dx).
Теорема 2. Мера Pn,t представляется в виде
Pn,t = Qn,t +Rn,t, t =
i
n
, (12)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1220 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
причем:
1) Qn
t (dx) = qn
t (x)dx, qn
t → pt, n→∞ равномерно на множестве (ε, 1]× R2
для любого ε > 0;
2) существует C > 0 такое, что для t ∈ [0, 1], x ∈ R2 : qn
t (x) ≤ C
(
t +
+ ‖x‖2
)−1;
3) существуют D, ρ > 0 такие, что Rn,t(R2) ≤ D
(
n−8/7 + exp (−ρnt)
)
.
Из разложения переходных вероятностей (12) следует представление характе-
ристики fn :
fs,t
n (x) = fs,t
n,R(x) + fs,t
n,Q(x) df=
df=
[nt]∑
i=[ns]+1
∫
R2
Fn(z − x)Rn,i/n(dz) +
[nt]∑
i=[ns]+1
∫
R2
Fn(z − x)qn
i/n(z)dz.
Отметим, что Fn(x) ≤ f0,1/n(x), поскольку Gt(x) ≡ pt(x) и µn ≤ µ, поэтому
supx∈R2 Fn(x) < +∞, sup
x∈Vα
Fn(x) → 0, n→∞.
Таким образом,
sup
x∈R2
f0,t
n,R(x) ≤
∥∥∥f0,1/n
∥∥∥ n∑
i=0
Rn,i/n(R2) ≤
≤ D
∥∥∥f0,1/n
∥∥∥
n−1/7 +
[nt]∑
i=0
exp (−iρ)
< +∞.
Аналогично показывается, что
lim sup
n→∞
sup
x∈R2
f
m/n,t
n,R (x) ≤ D
∥∥∥f0,1/n
∥∥∥
n−1/7 +
[nt]∑
i=m+1
exp (−iρ)
→ 0, m→∞.
(13)
Проведем оценку fn,Q — части характеристики, которая соответствует мере Q.
Лемма 3. Существуют A,B > 0 такие, что для произвольных t > 0, n >
> 1/t, x ∈ R2 выполнено
f0,t
n,Q(x) ≤ A
∫
R2
ln
(
1 +
t
‖y − x‖2
)
µ(dy) +
B
[nt]
.
Доказательство. Воспользуемся утверждением 2 теоремы 2. Существует кон-
станта C1 такая, что
f0,t
n,Q(x) ≤ C1
∫
R2
nFn(x− z)gt
n(z)dz, gt
n(z) df=
1
n
[nt]∑
i=1
1
i/n+ ‖z‖2
.
Далее, очевидна следующая оценка gt
n(·) при n > 1/t:
gt
n(z) ≤
t∫
0
1
s+ ‖z‖2
ds+
1
[nt] + n ‖z‖2
≤ ln
(
1 +
t
‖z‖2
)
+
1
[nt]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1221
Легко видеть, что
∫
R2
nFn(x − z)
1
[nt]
dz = const
1
[nt]
→ 0, n → ∞. Обозначим
Ht (x, y) df= ln
(
1 +
t
‖x− y‖2
)
. Требуется оценить
∫
R2
nFn(z)Ht(x, z)dz =
∫
R2
n
1/n∫
0
∫
R2
Gr(z)Ht(x− y, z)dzdrµn(dy).
Для этого проведем при n > 1/t оценку∫
R2
Gr(v)Ht(u, v)dv =
∫
R2
1I{‖u−v‖≥‖u‖/2}Gr(v)Ht(u, v)dv+
+
∫
R2
1I{‖u−v‖< ‖u‖
2 }Gr(v)Ht(u, v)dv ≤
≤ H
(u
2
, 0
)
+Gr
(
‖u‖
2
)∫
R2
1I{‖h‖<‖u‖/2}Ht(h)dh. (14)
Неравенство H
(u
2
, 0
)
≤ 4H(u, 0) выполняется, поскольку при a > 1, b > 0
ln(1 + ab) ≤ a ln(1 + b). Последний интеграл в (14) может быть вычислен явно с
помощью перехода к полярным координатам:
Gr
(
‖u‖
2
)
2π
‖u‖/2∫
0
ρHt(ρu)dρ = Gr
(
‖u‖
2
)
π
‖u‖2
4
Ht
(u
2
, 0
)
+
+ Gr
(
‖u‖
2
)
πt ln
(
1 +
‖u‖2
4t
)
≤ 4Ht (u, 0) +Gr
(
‖u‖
2
)
π
‖u‖2
4
.
Здесь использовано элементарное неравенство a exp(−a) ≤ 1 (что приводит к
Gr(u)u2 ≤ 1/π) и неравенство
ln (1 + a)
a
≤ 1 при a > 0. Остается заметить, что
Gr
(
‖u‖
2
)
π ‖u‖2
4
=
[
exp−‖u‖
2/8r ‖u‖
2
8r
]
exp−‖u‖
2/8t ≤
≤ 1 · 2Ht
(
u√
8
, 0
)
≤ 16Ht(u, 0).
Здесь использовано неравенство ∀a > 0: exp(−a) ≤ 2 ln (1 + 1/a) (при a ≤ 1 оно
очевидно, а при a > 1 выполнено a exp(−a) ≤ 1 ≤ 2a ln(1 + 1/a)).
Таким образом, выражение в левой части (14) не превышает 24Ht(u, 0).
Лемма 3 доказана.
Как упоминалось ранее, lim sup
n→∞
sup
x∈R2
f0,1
n,R(x) < +∞. С учетом примера 5.2
работы [4] и оценки ln (1 + 1/a) ≤ 4 max (1,− ln a) отсюда следует условие рав-
номерной ограниченности норм характеристик f0,1
n (условие 4 теоремы 1).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1222 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
По теореме Лебега о мажорированной сходимости из леммы 3 следует, что
lim sup
n→∞
f0,ε
n,Q(0) → 0, ε → 0. Согласно (13), для проверки условия 1 теоремы 1
достаточно следующего результата.
Лемма 4. Для любого фиксированного m ∈ N и любого α > 0
f0,m/n
n (0) → 0, n→∞, sup
x∈Vα
f0,m/n
n (x) → 0, n→∞.
Доказательство. Ограничимся рассмотрением случая m = 1 (в общем случае
рассуждения полностью аналогичны). Имеем
f0,1/n
n (0) = EFn
(
ξ1√
n
)
≤ EFn
(
ξ1√
n
)
1I{ ‖ξ1‖√
n
< 1
4√n
} + ‖Fn‖P
{
‖ξ1‖ ≥ 4
√
n
}
.
Выберем такое n0 > 0, что для всех n > n0 :
1
mn
− rmn
≥ 1
2mn
≥ 1
4
√
n
+
1
4mn
. В
таком случае для n > n0, k ≤ mn, x <
1
4
√
n
, y ∈ B
(
1
k
, rk
)
: ‖x− y‖ ≥ 1
4mn
. Из
этого следует оценка
EFn
(
‖ξ1‖√
n
)
1I{ ξ√
n
< 1
4√n
} ≤
≤
mn∑
k=1
Qk
∫
R2
1/n∫
0
∫
R2
Gr(x− y)p1/n(x)dxdσk(y)dr ≤
≤
mn∑
k=1
Qk
∫
R2
1/n∫
0
Gr
(
1
4mn
)
dr ≤
mn∑
k=1
Qk
32m2
n
n
→ 0, n→∞.
Для доказательства второго предельного соотношения леммы применим анало-
гичные оценки:
sup
x∈Vα
EFn
(
x+
‖ξ1‖√
n
)
≤ sup
y∈V α
2
Fn(y) + ‖Fn‖P
{
‖ξ1‖ ≥
√
nα
2
}
→ 0, n→∞.
Лемма доказана.
Проверим условие 3, а именно, докажем равномерную по t ∈ [0, T ] и x ∈
∈ Vα сходимость f0,t
n к f0,t. Для этого достаточно показать равномерную по R2
сходимость f ε,t
n к f ε,t и установить, что lim sup
n→∞
sup
x∈Vα
f0,ε
n (x) → 0, ε→ 0.
Из леммы 4 и (13) следует lim sup
n→∞
sup
x∈Vα
f0,ε
n,R(x) → 0, ε → 0. Докажем, что
lim sup
n→∞
sup
x∈Vα
f0,ε
n,Q(x) → 0, ε→ 0. Пусть n0(α) = [4/α]+1, x ∈ Vα, тогда, используя
лемму 3, имеем
f0,ε
n,Q(x) ≤ A
n0(α)∑
k=1
Qk
∫
R2
ln
(
1 +
ε
‖x− y‖2
)
dσk(y)+
+A ln
(
1 +
4ε
α2
)
µn(R2) +
B
[nε]
.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
СХОДИМОСТЬ РАЗНОСТНЫХ АДДИТИВНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ ПРИ ЛОКАЛЬНЫХ ... 1223
Оба последних слагаемых стремятся к нулю равномерно по x ∈ Vα при n → ∞,
ε → 0. Первая сумма в последнем выражении стремится к нулю равномерно по
x ∈ R2 при ε→ 0. Это следует из оценки
sup
x∈R2
∫
R2
ln
(
1 +
ε
‖x− y‖2
)
dσk(y) ≤
≤
2π∫
0
rk ln
(
1 +
ε
2r2k(1− cosφ)
)
dφ→ 0, ε→ 0,
и теоремы Лебега о мажорированной сходимости.
Доказательство равномерной сходимости f ε,t
n к f ε,t получаем, используя ло-
кальную предельную теорему при ε > 1/n:
∣∣∣∣∣∣
n∑
i=[nε]
∫
R2
Fn(x− z)Pn,i/n(dz)−
n∑
i=nε
∫
R2
f0,1/n(x− z)pi/n(z)dz
∣∣∣∣∣∣ ≤
≤ f ε,1
n,R(x) + sup
t∈[ε,1],z∈R
∣∣qn,i/n(z)− pi/n(z)
∣∣n ∫
R2
Fn(x)dx+
+
∞∑
k=mn+1
Qk
∫
R2
n∑
i=1
1/n∫
0
pi/n(z)Gr(y − x− z)drσk(dy)dz ≤
≤ n
1/n∫
0
∫
R2
1 · µn(dy)dt sup
i∈[nε,n],z∈R
∣∣qn,i/n(z)− pi/n(z)
∣∣+
+
∞∑
k=mn+1
Qk
∫
R2
n∑
i=1
1/n∫
0
pr+i/n(y − x)drσk(dy) +D
[
n−1/7 exp {−nρε}
1− exp(−ρ)
]
≤
≤ π
2
sup
i∈[nε,n],z∈R
∣∣qn,i/n(z)− pi/n(z)
∣∣+
+
∞∑
k=mn+1
Qk
n∑
i=[nε]
1
n
1√
2π · i/n
+ o(1) → 0, n→∞.
Здесь использовано свойство свертки нормальных плотностей:
∫
R2
pa(u−t)pb(t)dt =
= pa+b(u). Легко проверить, что суммы
∑n
i=nε
∫
R2
f0,1/n(x − z)pi/n(z)dz =
= f [nε]/n,1+1/n(x) сходятся к f ε,1(x) равномерно по x ∈ R2.
Для завершения доказательства осталось проверить справедливость условия 2.
Легко получить следующую оценку при фиксированных ε, α:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1224 Ю. Н. КАРТАШОВ, А. М. КУЛИК
κn ≤ sup
x∈R2
Fn(x) lim sup
n→∞
f0,2ε
n (0) + sup
x∈Vα
Fn(x) sup
n
‖fn‖n +
+ ‖fn‖n
(
‖fn‖n + sup
x∈R2
Fn(x)
)
· P {∃k : εn ≤ k ≤ n, Xn(tn,k) 6∈ Vα}. (15)
Здесь использованы уже проверенные условия ограниченности норм характери-
стик fn и оценка E
[
φ0,1
n
]2
, которая аналогична оценке (8). Первое слагаемое
стремится к нулю при ε → 0 в силу выполнения условия 1 теоремы 1, второе
— за счет доказанного свойства sup
Vα
f0,ε(·) → 0, ε → 0. Наконец, вследствие того,
что Xn сходятся по распределению в C[0, 1] к X, вероятность в (15) сходится к
P {∃t ∈ [ε, 1] : X(t) 6∈ Vα} при n → ∞. Последнее выражение стремится к нулю
при α→ 0 в силу непрерывности винеровского процесса на плоскости и того, что
P
{
inf
t∈[ε,1]
‖W (t)‖R2 > 0
}
= 1 и P
{
sup
t∈[ε,1]
‖W (t)‖R2 < +∞
}
= 1.
Утверждение доказано.
1. Kartashov Yu. N., Kulik A. M. Invariance principle for additive functionals of Markov chains //
(arXiv:0704.0508v1), 2007.
2. Дынкин Е. Б. Маpковские пpоцессы. – М.: Физматгиз, 1963. – 860 с.
3. Кулик А. М. Рiзницева апроксимацiя локальних часiв багатовимiрних дифузiй // Теор. ймовiрностей
i мат. статистика. – 2008. – 78. – С. 86 – 102.
4. Kulik A. M. Markov approximation of stable processes by random walks // Theory Stochast. Proccess.
– 2006. – 12(28), № 1-2. – С. 87 – 93.
5. Kulik A. M. A limit theorem for the number of sign changes for a sequence of one-dimensional diffusions
// Ibid. – 2008. –14(30), № 2. – С. 79 – 92.
6. Doob J. L. Classical potential theory and its probabilistic counterpart. – New York LLC: Springer, 2001.
– 846 p.
7. Биллингсли П. Сходимость вероятностных мер. – М.: Наука, 1977. – 352 с.
8. Дынкин Е. Б., Юшкевич А. А. Теоремы и задачи о процессах Маркова. – М.: Наука, 1967. – 352 с.
9. Kulik A.M. Malliavin calculus for difference approximations of multidimensional diffusions: truncated
local limit theorem // Укр. мат. журн. – 2008. – 60, № 3. – С. 340 – 381.
Получено 09.02.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3093 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:06Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/ec/9957c2fe67bb5fe0bb20893d613b4cec.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30932020-03-18T19:45:12Z Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics Сходимость разностных аддитивных функционалов при локальных условиях на их характеристики Kartashov, Yu. N. Kulik, A. M. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. For additive functionals defined on a sequence of Markov chains that approximate a Markov process, we establish the convergence of functionals under the condition of local convergence of their characteristics (mathematical expectations). Для адитивних функціоналів, заданих на послідовності ланцюгів Маркова, які апроксимують процес Маркова, отримано результат, що встановлює збіжність функціоналів за умов локальної збіжності їх характеристик (математичних сподівань) Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3093 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1208-1224 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1208-1224 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3093/2934 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3093/2935 Copyright (c) 2009 Kartashov Yu. N.; Kulik A. M. |
| spellingShingle | Kartashov, Yu. N. Kulik, A. M. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. Карташов, Ю. Н. Кулик, А. М. Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| title | Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| title_alt | Сходимость разностных аддитивных функционалов при
локальных условиях на их характеристики |
| title_full | Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| title_fullStr | Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| title_full_unstemmed | Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| title_short | Convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| title_sort | convergence of difference additive functionals under local conditions on their characteristics |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3093 |
| work_keys_str_mv | AT kartashovyun convergenceofdifferenceadditivefunctionalsunderlocalconditionsontheircharacteristics AT kulikam convergenceofdifferenceadditivefunctionalsunderlocalconditionsontheircharacteristics AT kartašovûn convergenceofdifferenceadditivefunctionalsunderlocalconditionsontheircharacteristics AT kulikam convergenceofdifferenceadditivefunctionalsunderlocalconditionsontheircharacteristics AT kartašovûn convergenceofdifferenceadditivefunctionalsunderlocalconditionsontheircharacteristics AT kulikam convergenceofdifferenceadditivefunctionalsunderlocalconditionsontheircharacteristics AT kartashovyun shodimostʹraznostnyhadditivnyhfunkcionalovprilokalʹnyhusloviâhnaihharakteristiki AT kulikam shodimostʹraznostnyhadditivnyhfunkcionalovprilokalʹnyhusloviâhnaihharakteristiki AT kartašovûn shodimostʹraznostnyhadditivnyhfunkcionalovprilokalʹnyhusloviâhnaihharakteristiki AT kulikam shodimostʹraznostnyhadditivnyhfunkcionalovprilokalʹnyhusloviâhnaihharakteristiki AT kartašovûn shodimostʹraznostnyhadditivnyhfunkcionalovprilokalʹnyhusloviâhnaihharakteristiki AT kulikam shodimostʹraznostnyhadditivnyhfunkcionalovprilokalʹnyhusloviâhnaihharakteristiki |