Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function
We investigate fractal properties of the graph of the function $$y = f(x) = ∑^{∞}_{k−1}\frac{β_k}{2^k} ≡ Δ^2_{β_1β_2…β_k…},$$ where $$\beta_1 = \begin{cases} 0 & \mbox{if } \alpha_1(x) = 0,\\ 1 & \mbox{if } \alpha_1(x) \neq 0,\\ \end{cases}$$ $$\beta_k = \begin{cases} β_{k−1} &...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3094 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509124618354688 |
|---|---|
| author | O., B. Panasenko Панасенко, O. Б. |
| author_facet | O., B. Panasenko Панасенко, O. Б. |
| author_sort | O., B. Panasenko |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | We investigate fractal properties of the graph of the function
$$y = f(x) = ∑^{∞}_{k−1}\frac{β_k}{2^k} ≡ Δ^2_{β_1β_2…β_k…},$$
where
$$\beta_1 = \begin{cases}
0 & \mbox{if } \alpha_1(x) = 0,\\
1 & \mbox{if } \alpha_1(x) \neq 0,\\
\end{cases}$$
$$\beta_k = \begin{cases}
β_{k−1} & \mbox{if } \alpha_k(x) = \alpha_{k-1}(x),\\
1 - β_{k−1} & \mbox{if } \alpha_k(x) \neq \alpha_{k-1}(x),\\
\end{cases}$$
and $α_k(x)$ is the kth ternary digit of $x$: In particular, we prove that this graph is a fractal set with Hausdorff–Besicovitch $α_0(Г_f) = \log_2(1 +2^{\log_32}$ dimension and cell dimension $α_K (Г_f) = 2-\log_32$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:07Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.51
О. Б. Панасенко (Вiнниц. пед. ун-т)
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА
ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ НIДЕ
НЕ ДИФЕРЕНЦIЙОВНОЇ ФУНКЦIЇ
We investigate fractal properties of the graph of function
y = f(x) =
∞∑
k=1
βk
2k
≡ ∆2
β1β2...βk...,
where
β1 =
{
0 if α1(x) = 0,
1 if α1(x) 6= 0,
βk =
{
βk−1 if αk(x) = αk−1(x),
1− βk−1 if αk(x) 6= αk−1(x), k > 1,
αk(x) is a ternary digit of x in k-position. In particular, we prove that this graph is a fractal set with the
Hausdorff – Besicovitch dimension α0(Γf ) = log2
(
1 + 2log3 2
)
and the box-counting dimension αK(Γf ) =
= 2− log3 2.
Исследуются фрактальные свойства графика функции
y = f(x) =
∞∑
k=1
βk
2k
≡ ∆2
β1β2...βk...,
где
β1 =
{
0, если α1(x) = 0,
1, если α1(x) 6= 0,
βk =
{
βk−1, если αk(x) = αk−1(x),
1− βk−1, если αk(x) 6= αk−1(x), k > 1,
αk(x) — k-я троичная цифра x. В частности, доказано, что он является фрактальным множеством с раз-
мерностью Хаусдорфа – Безиковича α0(Γf ) = log2
(
1 + 2log3 2
)
и клеточной размерностью αK(Γf ) =
= 2− log3 2.
Вступ. У роботах [1, 2] дослiджуються властивостi одного класу функцiй, якi
формально просто задаються за допомогою перетворень цифр аргументу у цифри
значень функцiї. Такi функцiї названо канторiвськими проекторами. У вказаних
роботах бiльшу увагу придiлено неперервним функцiям з цього класу, а в роботi
[3] дослiджуються диференцiальнi i фрактальнi властивостi однiєї такої функцiї.
Її, за словами М. В. Працьовитого, можна вважати найпростiшим прикладом непе-
рервної та нiде не диференцiйовної функцiї. Обчисленню фрактальної розмiрностi
графiка цiєї функцiї, зокрема розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича, i присвячено
дану роботу.
Отже, розглянемо функцiю
y = f(x) =
∞∑
k=1
βk
2k
≡ ∆2
β1β2...βk..., (1)
де
c© О. Б. ПАНАСЕНКО, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 1225
1226 О. Б. ПАНАСЕНКО
β1 =
0, якщо α1(x) = 0,
1, якщо α1(x) 6= 0,
(2)
βk =
βk−1, якщо αk(x) = αk−1(x),
1− βk−1, якщо αk(x) 6= αk−1(x), k > 1,
(3)
αk(x) — k-та трiйкова цифра x. Окрiм неперервностi i нiде не диференцiйовностi
цiєї функцiї в роботi [3] дослiджено деякi фрактальнi властивостi її графiка, зокрема
встановлено наступне твердження.
Теорема [3]. 1. Якщо y0 — двiйково-рацiональне число вiдрiзка [0, 1], то мно-
жина f−1(y0) є скiнченною, i, отже, її фрактальна розмiрнiсть дорiвнює 0.
2. Фрактальна розмiрнiсть множини прообразiв двiйково-iррацiонального зна-
чення y0 обчислюється за формулою
α0
(
f−1(y0)
)
= B log3 2,
де B = lim
k→∞
dk
k
, dk — кiлькiсть пар послiдовних двiйкових цифр y0 (до k-го мiсця
включно), в яких компоненти є рiзними.
Деякi iншi властивостi цiєї функцiї дослiджувались в роботi [4]. Зокрема, до-
ведено, що функцiя f(x) є N -самоафiнною кривою (за Мандельбротом), а також
обґрунтовано, що
∫ 1
0
f(x)dx =
4
7
.
Основним результатом цiєї роботи є наступне твердження.
Теорема 1. Розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича графiка функцiї (1) дорiв-
нює
α0(Γf ) = log2
(
1 + 2log3 2
)
≈ 1,34968. (4)
Крiм цього, ми дослiджуємо самоафiннi властивостi графiка функцiї в п. 3,
а також аналiзуємо результат роботи [3] про фрактальну клiтинкову розмiрнiсть
графiка функцiї в п. 4. Узагальнення одержаних результатiв на специфiчний клас
неперервних канторiвських проекторiв розглянуто в п. 5.
1. Короткi теоретичнi вiдомостi. Нехай (M,ρ) — метричний простiр, E —
деяка обмежена його пiдмножина. Сiм’я пiдмножин (Ei) називається ε-покриттям
множини E, якщо E ⊂
∞⋃
i=1
Ei i дiаметр |Ei| 6 ε для всiх i. Сiм’я пiдмножин ΦM
простору M називається покриттям Вiталi для M, якщо для довiльної множини
E ⊂ M i для довiльного ε > 0 iснує не бiльш нiж зчисленне ε-покриття {Ei}
(Ei ∈ ΦM ) множини E.
Для заданої множини E та довiльних α > 0, ε > 0 означимо функцiю
mα
ε (E,ΦM ) = inf
{∑
i
|Ei|α :
⋃
i
Ei ⊃ E
}
,
де iнфiмум береться за всiма можливими не бiльш нiж зчисленними ε-покриттями
множини E, Ei ∈ ΦM .
Число
Hα(E,ΦM ) = lim
ε↓0
mα
ε (E,ΦM )
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1227
називається α-мiрною мiрою (α-мiрою) Хаусдорфа множини E вiдносно сiм’ї по-
криттiв ΦM . У випадку, коли ΦM є множиною всiх пiдмножин простору M, число
Hα(E,ΦM ) називається α-мiрною мiрою (α-мiрою) Хаусдорфа множини E i по-
значається Hα(E).
Якщо ΦM — множина всiх замкнених (вiдкритих) куль в M, то Hα(E,ΦM )
називається сферичною α-мiрою Хаусдорфа. У випадку, коли покриття здiйсню-
ється кулями однакового дiаметра, таку мiру називають ентропiйною. Остання
може бути означена рiвнiстю
H̄α(E) = lim
ε→0
NE(ε)εα,
де NE(ε) — найменша кiлькiсть куль дiаметра ε, необхiдна для покриття E.
Мiра Hα(E,ΦM ), взагалi кажучи, може бути нулем, нескiнченнiстю або додат-
ним числом. Число
α0(E,ΦM ) = sup{α : Hα(E,ΦM ) 6= 0} = inf{α : Hα(E,ΦM ) = 0}
називається розмiрнiстю Хаусдорфа – Безиковича множини E вiдносно сiм’ї по-
криттiв ΦM . У випадку, коли ΦM є множиною всiх пiдмножин простору M, число
α0(E,ΦM ) називається розмiрнiстю Хаусдорфа – Безиковича множини E i позна-
чається α0(E).
Якщо H̄α(E) — ентропiйна α-мiрна мiра Хаусдорфа, то число
αe(E) = sup{α : H̄α(E) 6= 0} = inf{α : H̄α(E) = 0}
називається ентропiйною розмiрнiстю множини E.
В [5, с. 41 – 43] обґрунтовано можливiсть такого означення клiтинкової роз-
мiрностi множини, яке близьке до поняття ентропiйної розмiрностi. Нижньою i
верхньою клiтинковими розмiрностями множини E ⊂ Rn називають вiдповiдно
αK(E) = lim
ε→0
lgN(ε)
− lg ε
та αK(E) = lim
ε→0
lgN(ε)
− lg ε
,
а клiтинковою розмiрнiстю множини E —
αK(E) = lim
ε→0
lgN(ε)
− lg ε
(5)
(якщо остання границя iснує), де N(ε) — число „кубiв” виду [m1ε, (m1 + 1)ε] . . .
. . . [mnε, (mn + 1)ε], mi ∈ Z, якi перетинає множина E.
Нагадаємо також деякi вiдомостi з теорiї систематичних дробiв [6, с. 21]. Кожне
число x ∈ [0, 1] розкладається в ряд
x =
∞∑
k=1
αk
sk
≡ ∆s
α1α2...αk...,
де αk ∈ N0
s−1 = {0, 1, . . . , s− 1} , який називається s-адичним дробом числа x. При
цьому αk називається k-ю s-адичною цифрою x. Для деяких чисел такий розклад
єдиний, i вони називаються s-адично iррацiональними, а деякi мають рiвно два рiз-
них розклади — цi числа називають s-адично рацiональними. Множина всiх чисел
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1228 О. Б. ПАНАСЕНКО
з [0, 1], якi мають першi k s-адичнi цифри вiдповiдно c1, c2, . . . , ck, утворюють вiд-
рiзок, який називається s-адичним вiдрiзком (цилiндричною множиною) з основою
c1, c2, . . . , ck рангу k i позначається через ∆s
c1c2...ck
.
2. Доведення основного результату. Насамперед зауважимо, що графiк функ-
цiї (1) не належить класу множин, фрактальнi властивостi яких дослiджував К. Мак-
Маллен в роботi [7], хоча в дечому є схожим на множини того типу. Однак метод
доведення теореми 1 подiбний тому методу, який запропонував МакМаллен у своїй
роботi.
Доведення проводитимемо таким чином:
1) видiлимо клас покриттiв графiка i покажемо, що з його допомогою можна
обчислити розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича (лема 1);
2) здiйснимо покриття вiдрiзка [0, 1] множинами, якi в певному розумiннi вiд-
повiдають виокремленому класу покриттiв графiка функцiї, i сформулюємо умови
тривiальностi мiри Хаусдорфа графiка функцiї в термiнах покриттiв вiдрiзка [0, 1]
(лема 3);
3) означимо спецiальну ймовiрнiсну мiру на вiдрiзку [0, 1], введемо у розгляд
додатковi функцiї та з їх допомогою оцiнимо розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича
графiка функцiї спочатку зверху, а потiм знизу (леми 7 та 8).
Далi функцiю f(x) сприйматимемо як графiк, тобто як пiдмножину Γf одинич-
ного квадрату.
Множини виду
�β1β2...βn
α1α2...αm
≡ ∆3
α1α2...αm
×∆2
β1β2...βn
=
{
(x, y) : x ∈ ∆3
α1α2...αm
, y ∈ ∆2
β1β2...βn
}
,
(6)
αi ∈ {0, 1, 2}, βi ∈ {0, 1},
називатимемо цилiндрами (цилiндричними множинами) рангу m × n, що вiдповi-
дають трiйковому i двiйковому зображенням.
Зафiксуємо деяке натуральне число k i нехай l = [k log3 2] (тут i далi пiд [x]
розумiємо найбiльше цiле число, яке не перевищує x). Далi для покриття графiка
функцiї (1) обмежимось цилiндрами рангiв l × k, k ∈ N, що вiдповiдають трiйко-
вому i двiйковому зображенням. Нехай W =
⋃
k∈N
�β1β2...βk
α1α2...αl
, αi = 0, 2, βi = 0, 1.
Очевидно, що W є покриттям Вiталi одиничного квадрату, оскiльки усi цилiнд-
ри �β1β2...βk
α1α2...αl
однакового рангу його покривають, а отже, покривають i довiльну
його пiдмножину, а також
∣∣�β1β2...βk
α1α2...αl
∣∣→ 0, k →∞.
Цилiндричнi множини з W мають наступнi властивостi:
1) �β1β2...βkβk+1
α1α2...α[(k+1) log3 2] ⊂ �β1β2...βk
α1α2...αl
;
2) кожний цилiндр �β1β2...βk
α1α2...αl
рангу l × k мiстить або два, або шiсть цилiндрiв
рангу l∗ × k∗, k∗ = k + 1, оскiльки
l∗ = [(k + 1) log3 2] = [k log3 2 + log3 2] =
=
l, якщо 1− {k log3 2} > log3 2,
l + 1, якщо 1− {k log3 2} 6 log3 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1229
Пiд покриттям виду C графiка функцiї (1) розумiтимемо покриття сукупнiстю
прямокутникiв, що мають вигляд �β1β2...βk
α1α2...αl
(не обов’язково однакових рангiв). Кож-
ному покриттю виду C поставимо у вiдповiднiсть числову послiдовнiсть (Nk)∞k=1,
де Nk0 — кiлькiсть прямокутникiв виду �
β1β2...βk0
α1α2...αl0
, l0 = [k0 log3 2] , якi належать
заданому покриттю C виду C.
Лема 1. Для обчислення розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича довiльної мно-
жини E ⊂ R2 можна обмежитись покриттями виду C.
Доведення. Покажемо, що
Hα(E) 6 Hα(E, C) 6 24(
√
2)αHα(E) (7)
для довiльної множини E ⊂ [0, 1]×[0, 1] i довiльного α > 0. Лiва частина останньої
подвiйної нерiвностi є очевидною. Доведемо праву частину. Нехай ε > 0 — фiксо-
ване додатне число, Ei — довiльне ε-покриття множини E. Для кожної множини Ei
iснує такий найменший номер ki, що
(
1
2
)ki
6 |Ei| <
(
1
2
)ki−1
. Тодi за властивiс-
тю 2 цилiндричних множин кожна множина Ei може бути покрита не бiльше нiж
4 · 6 = 24 цилiндрами �
β1β2...βki
α1α2...αli
, а тому, покриваючи вiдповiдним чином множини
Ei, ми можемо побудувати ε-покриття виду C множини E. Маємо∑
i
(
2−ki
)α
6
∑
i
|Ei|α ,
∑
i
24
(
2−ki
)α
6
∑
i
24 |Ei|α ,
∑
i
24
(
2−ki
√
2
)α
6 24(
√
2)α ·
∑
i
|Ei|α .
Перейдемо до iнфiмуму за всiма покриттями Ei, врахувавши, що
∣∣�β1β2...βk
α1α2...αl
∣∣ 6
6 2−k
√
2:
mα
ε (E, C) 6 inf
{∑
i
24
∣∣∣�β1β2...βki
α1α2...αli
∣∣∣α} 6 inf
{∑
i
24
(
2−ki
√
2
)α
}
6
6 24(
√
2)α inf
{∑
i
|Ei|α
}
6 24(
√
2)αmα
ε (E).
Переходячи в останнiх нерiвностях до границi при ε→ 0, знаходимо (7). Це озна-
чає, що Hα(E, C) i Hα(E) набувають значень 0 та ∞ одночасно, тобто α0(E, C) =
= α0(E).
Лему доведено.
Лема 2. Мiра Хаусдорфа Hα(Γf ) = 0 тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого
ε > 0 iснує покриття виду C множини Γf , для якого
∞∑
k=1
Nk2−αk < ε.
Доведення. Безпосередньо з означення α-мiрної мiри Хаусдорфа i леми 1
випливає наступне твердження: α-мiрна мiра Хаусдорфа Hα(Γf ) = 0 тодi i тiльки
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1230 О. Б. ПАНАСЕНКО
тодi, коли для будь-якого ε > 0, зокрема для ε
(√
10
)α
, iснує покриття C виду C
множини Γf , для якого
∑∞
k=1
Nk
∣∣�β1β2...βn
α1α2...αm
∣∣α < ε
(√
10
)α
. Маємо
ε
(√
10
)α
>
∞∑
k=1
Nk
∣∣�β1β2...βn
α1α2...αm
∣∣α =
∞∑
k=1
Nk
(√
2−2k + 3−2l
)α
>
>
∞∑
k=1
Nk
(√
2−2k + 3−2k log3 2+2
)α
=
∞∑
k=1
Nk
(
2−2k + 9 · 2−2k
)α/2
=
=
∞∑
k=1
[
Nk
(√
10
)α
· 2−αk
]
,
звiдки й одержуємо твердження леми.
Лему доведено.
Функцiя (1) встановлює взаємно однозначну вiдповiднiсть мiж множинами [0, 1]
i Γf . Побудуємо покриття усiх чисел вiдрiзка [0, 1], яке приблизно вiдповiдатиме
покриттю множинами �β1β2...βk
α1α2...αl
графiка Γf .
Позначимо через ∆β1β2...βk
α1α2...αl
об’єднання усiх тих цилiндричних множин (трiй-
кових вiдрiзкiв) ∆3
i1i2...ik
з основою i1i2 . . . ik рангу k, для яких виконуються такi
спiввiдношення:
ij = αj для j = 1, . . . , l,
ij = ij−1, якщо βj = βj−1, j = l + 1, k,
ij 6= ij−1, якщо βj 6= βj−1, j = l + 1, k.
Пiд покриттям виду C чисел вiдрiзка [0, 1] ми розумiтимемо його покриття
множинами ∆β1β2...βk
α1α2...αl
, де, як i ранiше, l = [k log3 2]. Кожному покриттю C виду C
вiдрiзка [0, 1] поставимо у вiдповiднiсть числову послiдовнiсть (Nk)∞k=1, де Nk0 —
кiлькiсть множин ∆β1β2...βk0
α1α2...αl0
у покриттi C, l0 = [k0 log3 2].
Безпосередньо з означення множин ∆β1β2...βk
α1α2...αl
випливає, що для фiксованих
α1, . . . , αl, β1, . . . , βk множина ∆β1β2...βk
α1α2...αl
складається з 2dk−dl цилiндричних мно-
жин ∆3
i1i2...ik
рангу k, де dk — кiлькiсть таких j, що βj 6= βj+1, j = 1, k − 1.
Оскiльки кожному покриттю виду C множини Γf вiдповiдає покриття виду C
вiдрiзка [0, 1] i навпаки, до того ж вiдповiднi числовi послiдовностi (Nk) тотожно
рiвнi, то з леми 2 випливає таке твердження.
Лема 3. Hα(Γf ) = 0 тодi i тiльки тодi, коли для будь-якого ε > 0 iснує
покриття C виду C чисел вiдрiзка [0, 1], для якого
∞∑
k=1
Nk2−αk < ε.
Наслiдок 1. Розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича α0(Γf ) 6 α тодi i тiльки
тодi, коли для будь-якого ε > 0 iснує покриття виду C вiдрiзка [0, 1], для якого∑∞
k=1
Nk2−αk < ε.
Наслiдок 2. Розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича α0(Γf ) > α тодi i тiльки
тодi, коли iснує ε > 0 таке, що для довiльного покриття виду C вiдрiзка [0, 1]
виконується нерiвнiсть
∑∞
k=1
Nk2−αk > ε.
Нехай δ = log2
(
1 + 2log3 2
)
— число, проголошене в умовi теореми як розмiр-
нiсть Хаусдорфа – Безиковича графiка функцiї (1). Зазначимо, що 2δ = 1 + 2log3 2.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1231
Нехай
p0 =
1
2δ
,
p1 =
2log3 2−1
2δ
.
Тодi очевидно, що p0 + 2p1 = 1. Означимо на вiдрiзку [0, 1] iмовiрнiсну мiру µ
таким чином. Нехай
µ(∆3
α1α2...αk
) = pi1pi2 . . . pik
, (8)
де i1 = β1; ik = 0, якщо αk = αk−1; ik = 1, якщо αk 6= αk−1, k > 1. Покажемо,
що так означена функцiя µ є мiрою на [0, 1]. Справдi,
µ(∆0) + µ(∆1) + µ(∆2) = p0 + p1 + p1 = 1,
µ(∆α1α2...αk0) + µ(∆α1α2...αk1) + µ(∆α1α2...αk2) =
= pi1pi2 . . . pik
(p0 + p1 + p1) = pi1pi2 . . . pik
= µ(∆α1α2...αk
).
Для кожного значення x ∈ [0, 1] означимо додатковi функцiї gk(x), k ∈ N, таким
чином. Нехай x = ∆3
α1α2...αk..., тодi
gk(x) =
(
2dk log3 2−dl
)1/k
,
де dk — кiлькiсть таких j, що βj 6= βj+1, j = 1, k − 1.
Лема 4. Має мiсце рiвнiсть
µ(∆β1β2...βk
α1α2...αl
) =
[
gk(x) · 2−δ
]k
,
де x ∈ ∆β1β2...βk
α1α2...αl
.
Доведення. Нехай x ∈ ∆β1β2...βk
α1α2...αl
. Беручи до уваги (8), одержуємо
µ(∆β1β2...βk
α1α2...αl
) = pi1pi2 . . . pik
· 2dk−dl =
(
2log3 2−1
)sk
2δk
· 2dk−dl =
=
(
2(log3 2−1)sk+dk−dl
)
· 2−δk,
де sk — кiлькiсть таких j,що αj 6= αj+1, j = 1, k − 1.Проте iз означення функцiї (1)
випливає, що dk ≡ sk для кожного k, тому
µ(∆β1β2...βk
α1α2...αl
) =
(
2dk log3 2−dl
)
· 2−δk =
[
gk(x) · 2−δ
]k
.
Лема 5. Для кожного x ∈ [0, 1] вiрним є хоча б одне з наступних тверджень:
1) iснує нескiнченна кiлькiсть таких k, що gk(x) > 1, тобто lim
k→∞
gk(x) > 1;
2) iснує така пiдпослiдовнiсть (gki(x)) послiдовностi (gk(x)) , для якої
lim
i→∞
gki
(x) = 1.
Доведення. Нехай x ∈ [0, 1]. Тодi
gk(x) =
(
2dk log3 2−dl
)1/k
= 2(dk/k) log3 2−dl/k = 2(dk/k) log3 2−(dl/l)(l/k).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1232 О. Б. ПАНАСЕНКО
Якщо iснує нескiнченна кiлькiсть таких k, для яких
dk
k
>
dl
l
, то лема має мiсце,
оскiльки виконується її перше твердження. Справдi, з того, що
dk
k
>
dl
l
i log3 2 >
>
[k log3 2]
k
, випливає lim
k→∞
gk(x) > 1.
Припустимо, що нерiвнiсть
dk
k
>
dl
l
виконується лише для скiнченного числа
k. Це означає, що iснує номер k0 такий, що для всiх k > k0 виконується нерiвнiсть
dk
k
<
dl
l
. Розглянемо пiдпослiдовнiсть
(
dki
ki
)
, i ∈ N, k1 > k0, ki = [ki+1 log3 2].
Ця послiдовнiсть є спадною i обмеженою знизу, а тому є збiжною за теоремою
Вейєрштрасса. Нехай lim
i→∞
dki
ki
= L. Тодi
lim
i→∞
gki
(x) = 2
L
(
log3 2− lim
i→∞
[ki·log3 2]
ki
)
= 1.
Лему доведено.
Лема 6. Для майже всiх x ∈ [0, 1] (вiдносно мiри µ) lim
k→∞
gk(x) = 1.
Доведення. З означення мiри µ випливає, що кожне число x = ∆3
α1α2...αn... ∈
∈ [0, 1] породжує послiдовнiсть незалежних однаково розподiлених випадкових
величин (pin
) , n = 1, 2, . . . , члени якої набувають значень
1
2δ
i
2log3 2−1
2δ
з iмо-
вiрностями
1
3
i
2
3
вiдповiдно. Тодi за посиленим законом великих чисел Колмо-
горова послiдовнiсть (pi1pi2 . . . pik
)1/k збiгається для майже всiх x (вiдносно мiри
µ). Але збiжнiсть останньої послiдовностi рiвносильна збiжностi послiдовностi(
dk
k
)
, оскiльки
(pi1pi2 . . . pik
)1/k =
(
2log3 2−1
)dk/k
2δ
.
Таким чином, для майже всiх x iснує границя lim
k→∞
dk
k
= L. Тодi для цих x
lim
k→∞
gk(x) = 2
L
(
log3 2− lim
k→∞
[k·log3 2]
k
)
= 1.
Лему доведено.
Лема 7. Має мiсце наступна оцiнка розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича гра-
фiка функцiї (1): α0(Γf ) 6 δ.
Доведення. Побудуємо вiдповiдне покриття вiдрiзка [0, 1].
Зафiксуємо ε > 0. Нехай Ck складається з таких непорожнiх множин ∆β1β2...βk
α1α2...αl
,
що для x ∈ ∆β1β2...βk
α1α2...αl
виконується нерiвнiсть gk(x) > 2−ε. Такi множини не
перекриваються i задовольняють нерiвнiсть
µ(∆β1β2...βk
α1α2...αl
) =
[
gk(x) · 2−δ
]k
> 2−(δ+ε)k
за лемою 4. Нехай Mk — кiлькiсть елементiв покриття Ck, тодi Mk < 2(δ+ε)k.
Зазначимо, що кожне x ∈ [0, 1] покривається покриттям Ck для нескiнченного
числа k, оскiльки згiдно з лемою 5 або lim
k→∞
gk(x) > 1 > 2−ε, або lim
i→∞
gki(x) = 1
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1233
для деякої пiдпослiдовностi (gki
(x))
(
тодi те, що lim
k→∞
gk(x) > 2−ε, випливає з
означення границi послiдовностi
)
. Це означає, що
C =
⋃
k>k0
Ck
є покриттям [0, 1] для довiльного вибору k0. Виберемо k0 достатньо великим,
таким, щоб
∑
k>k0
2−εk < ε; тодi число Nk, пов’язане з C, задовольняє спiввiд-
ношення
∞∑
k=1
Nk2−(δ+2ε)k =
∑
k>k0
Mk2−(δ+2ε)k <
∑
k>k0
2−εk < ε.
Згiдно з наслiдком 1 леми 3 одержуємо α0(Γf ) 6 δ.
Лему доведено.
Лема 8. Має мiсце наступна оцiнка розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича гра-
фiка функцiї (1): α0(Γf ) > δ.
Доведення. Зафiксуємо γ < δ. Покажемо, що iснує таке ε > 0, що
∑∞
k=1
Nk×
×2−γk > ε для довiльного покриття виду C вiдрiзка [0, 1]; оцiнка розмiрностi тодi
безпосередньо випливатиме з наслiдку 2 леми 3.
Нехай
Ek0 =
{
x ∈ [0, 1] : gk(x) < 2δ−γ для всiх k > k0
}
.
Ми довели, що gk(x) прямує до одиницi для майже всiх x i 2δ−γ > 1, тому можна
пiдiбрати k0 так, щоб µ(Ek0) > 0. Нехай ε = min{µ(Ek0), 2
−γk0}.
Тепер нехай C — довiльне, але фiксоване покриття виду C вiдрiзка [0, 1]. Якщо
Ni 6= 0 для деякого i < k0, то
∞∑
k=1
Nk2−γk > Ni2−γi > 2−γk0 > ε.
Тому припустимо, що Nk = 0 для всiх k < k0.
Зафiксуємо k > k0. Тодi для елементiв покриття C таких, що ∆β1β2...βk
α1α2...αl
⋂
Ek0 6=
6= ∅, матимемо
µ
(
∆β1β2...βk
α1α2...αl
)
=
[
gk(x)2−δ
]k
<
[
2δ−γ · 2−δ
]k
= 2−γk,
µ(Ek0) <
∑
k>k0
Mkµ
(
∆β1β2...βk
α1α2...αl
)
<
∑
k>k0
Mk · 2−γk,
де обране x лежить на перетинi обох множин, Mk 6 Nk — кiлькiсть множин виду
∆β1β2...βk
α1α2...αl
, якi покривають Ek0 . Оскiльки C покриває Ek0 , то одержуємо
∞∑
k=1
Nk2−γk =
∑
k>k0
Nk2−γk >
∑
k>k0
Mk2−γk > µ(Ek0) > ε.
Згiдно з наслiдком 2 леми 3 Hγ(Γf ) 6= 0, а оскiльки γ < δ, то з цього i випливає,
що α0(Γf ) > δ.
Лему доведено.
Попереднi двi леми i доводять теорему 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1234 О. Б. ПАНАСЕНКО
3. Самоафiннiсть функцiї за Каме. Графiк функцiї (1) має цiкавi самоафiннi
властивостi.
Доведемо, що для кожного x ∈ [0, 1] виконується рiвнiсть
f
(x
3
)
=
1
2
f(x). (9)
Справдi, нехай x = ∆3
α1α2...αn..., f(x) = ∆2
β1β2...βn.... Тодi
f
(x
3
)
= f(∆3
0α1...αn...) = ∆2
γ1γ2...γn... = ∆2
0β1β2...,
оскiльки з (2) маємо γ1 = 0; якщо α1 = 0, то γ2 = β1 = 0, а якщо α1 6= 0, то
γ2 = β1 = 1; з (3) випливає, що γk = βk−1, k > 2. Таким чином,
f
(x
3
)
=
β1
22
+
β2
23
+ . . . =
1
2
∆2
β1β2...βk... =
1
2
f(x).
З геометричної точки зору доведена рiвнiсть означає, що на цилiндричному
вiдрiзку ∆3
0 графiк функцiї f(x) є „зменшеною афiнною копiєю” самого себе на
[0, 1].
Введемо параметри p ∈ {0, 1} та r ∈ {0, 1, 2} i розглянемо шiсть функцiй:
fp,r(x) =
∞∑
k=1
βk
2k
≡ ∆2
β1β2...βk...,
де
β1 =
p, якщо α1(x) = r,
1− p, якщо α1(x) 6= r,
βk =
βk−1, якщо αk(x) = αk−1(x),
1− βk−1, якщо αk(x) 6= αk−1(x), k > 1,
αk(x) — k-та цифра у трiйковому зображеннi x. Очевидно, що f0,0(x) є функ-
цiєю (1). Як i при доведеннi рiвностi (9), можна показати, що для всiх x ∈ [0, 1]
виконуються рiвностi
f
(
x+ 1
3
)
=
f1,1(x)
2
+
1
2
,
f
(
x+ 2
3
)
=
f1,2(x)
2
+
1
2
.
З геометричної точки зору це означає, що на цилiндричних вiдрiзках ∆3
1,∆
3
2 графiк
функцiї f(x) є „зменшеною копiєю” графiкiв функцiй f1,1(x) та f1,2(x) вiдповiдно.
Отже, приходимо до такого геометричного тлумачення графiка функцiї (1).
Позначимо графiк функцiї f(x) черезX0.Його структуру зображено на рисунку.
Вiн складається з трьох частин, кожна з яких мiститься у прямокутниках шириною
1
3
i висотою
1
2
, до того ж перша з них є афiнним вiдображенням самого графiка
X0 в такий прямокутник, друга — множини X4, а третя — X5. Структура множин
X4, X5 та iнших, що пов’язанi з ними, також показана на рисунку.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1235
Розглянемо наступну систему функцiональних рiвнянь (для зручностi запису
вона подiлена на шiсть пiдсистем):
f0
(x
3
)
=
f0(x)
2
,
f0
(
x+ 1
3
)
=
f4(x)
2
+
1
2
,
f0
(
x+ 2
3
)
=
f5(x)
2
+
1
2
,
f1
(x
3
)
=
f3(x)
2
,
f1
(
x+ 1
3
)
=
f1(x)
2
− 1
2
,
f1
(
x+ 2
3
)
=
f5(x)
2
− 1
2
,
f2
(x
3
)
=
f3(x)
2
,
f2
(
x+ 1
3
)
=
f4(x)
2
− 1
2
,
f2
(
x+ 2
3
)
=
f2(x)
2
− 1
2
,
f3
(x
3
)
=
f3(x)
2
,
f3
(
x+ 1
3
)
=
f1(x)
2
− 1
2
,
f3
(
x+ 2
3
)
=
f2(x)
2
− 1
2
,
f4
(x
3
)
=
f0(x)
2
,
f4
(
x+ 1
3
)
=
f4(x)
2
+
1
2
,
f4
(
x+ 2
3
)
=
f2(x)
2
+
1
2
,
f5
(x
3
)
=
f0(x)
2
,
f5
(
x+ 1
3
)
=
f1(x)
2
+
1
2
,
f5
(
x+ 2
3
)
=
f5(x)
2
+
1
2
.
Розв’язком цiєї системи, зокрема, є шiсть неперервних функцiй fi(x), для яких
fi(0) = 0, i = 0, 5, де f0 — дослiджувана функцiя (1). Графiки функцiй f0, f4,
f5 належать квадрату [0, 1] × [0, 1], а графiки f1, f2, f3 — квадрату [0, 1] × [−1, 0],
до того ж пiд дiєю певного афiнного перетворення кожний з них є неперервною
пiдмножиною iншого графiка (i свого в тому числi). Це свiдчить про те, що функцiя
(1) є самоафiнною за Каме [8].
Функцiя f : [0, 1] → R називається самоафiнною за Каме, якщо виконуються
такi умови:
1) iснує скiнченне число неперервних функцiй f0, f1, . . . , fN−1 : [0, 1] → R,
fi(0) = 0 для всiх i = 0, 1, . . . , N − 1 i f0 = f ;
2) iснують натуральнi m,n > 1 такi, що для кожного l ∈ {0, 1, . . . , N − 1} i
кожного j ∈ {0, 1, . . . , n− 1} iснує вiдповiдне k ∈ {0, 1, . . . , N − 1} i виконується
рiвнiсть
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1236 О. Б. ПАНАСЕНКО
fl
(
x+ j
n
)
− fl
(
j
n
)
=
fk(x)
m
, 0 6 x 6 1.
Р. Кеньйон та Ю. Перес [9], а також С. Такахашi [10] вивчали специфiчнi класи
самоафiнних множин, якi тiсно пов’язанi з самоафiнними функцiями за Каме. Оби-
двi роботи мiстять формули для обчислення розмiрностi Хаусдорфа – Безиковича
таких множин. Ми дотримуватимемось роботи [10].
Нехай 1 < m 6 n — цiлi числа. Проведемо n − 1 вертикальнi та m − 1 го-
ризонтальнi прямi i розiб’ємо одиничний квадрат на mn рiвних прямокутникiв.
Розглянемо вiдображення
ψi,j
(
x
y
)
=
(
n−1 0
0 m−1
)(
x
y
)
+
(
i/n
j/m
)
,
0 6 i < n, 0 6 j < m — цiлi. Нехай gl — деяке вiдображення {0, 1, . . . , n− 1} ×
× {0, 1, . . . ,m− 1} в {0, 1, . . . , N} , l = 1, 2, . . . , N.
Крiм того, нехай X0 = ∅ i {X1, X2, . . . , XN} — сiм’я непорожнiх компактних
множин, якi задовольняють рiвнiсть
Xl =
⋃
i,j
ψi,j
(
Xgl(i,j)
)
, l = 1, . . . , N.
Покладемо X ≡ X1 i припустимо, що {X1, X2, . . . , XN} є неспрощуваною сукуп-
нiстю множин в тому розумiннi, що для кожної пари iндексiв (l, l′) Xl мiстить
афiнне стиснуте вiдображення множини Xl′ . Нехай
N (β1, β2, . . . , βk) =
∣∣∣{∆n
α1α2...αk00... : ∆n
α1α2...αk
×∆m
β1β2...βk
⋂
X 6= ∅
}∣∣∣ ,
тобто N (β1, β2, . . . , βk) — кiлькiсть афiнних вiдображень X1, X2, . . . , XN у мно-
жинi X, що мiстяться у „рядку” [0, 1]×∆m
β1β2...βk
. Тодi
α0(X) = lim
k→∞
1
k
logm
∑
βi=0,m−1
i=1,k
N(β1, . . . , βk)logn m
. (10)
У загальному випадку обчислення границi в останнiй формулi може бути досить
складним. Доведемо, що формула (10) для функцiї (1) дає результат (4).
Лема 9. Для функцiї (1) має мiсце рiвнiсть∑
βi=0,m−1
i=1,k
N (β1, β2, . . . , βk)log3 2 =
(
1 + 2log3 2
)k
.
Доведення. Зафiксуємо номер k i розглянемо довiльну, але фiксовану послiдов-
нiсть β1, β2, . . . , βk, βi ∈ {0, 1} . Позначимо через t(β1, β2, . . . , βk) ≡ t число змiн
цифр у послiдовностi β0, β1, . . . , βk, де β0 = 0. Доведемо, що N (β1, β2, . . . , βk) =
= 2t. Дiйсно, якщо βi 6= βi+1, то згiдно з (3) αi 6= αi+1, тобто αi+1 може набувати
двох значень, а якщо β1 = 1, то згiдно з (2) i α1 може набувати двох значень (саме
цим пояснюється наявнiсть додаткового першого члена послiдовностi β0).
Очевидно, що всього iснує Ct
k рiзних послiдовностей 0, β1, . . . , βk, число змiн
цифр яких дорiвнює t. Таким чином,
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1237
∑
βi=0,m−1
i=1,k
N (β1, β2, . . . , βk)log3 2 =
k∑
t=0
(
Ct
k · 2t log3 2
)
=
(
1 + 2log3 2
)k
.
Лему доведено.
Враховуючи, що графiк функцiї (1) є самоафiнним за Каме, та використовуючи
лему 9 i формулу (10), одержуємо, що розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича функ-
цiї (1)
α0(X) = lim
k→∞
1
k
log2
((
1 + 2log3 2
)k)
= log2
(
1 + 2log3 2
)
.
4. Фрактальна клiтинкова розмiрнiсть графiка дослiджуваної функцiї. В
роботi [3] обґрунтовано оцiнку зверху фрактальної клiтинкової розмiрностi графiка
функцiї (1) числом log2 3. Для цього використовувалось покриття графiка функцiї
прямокутниками виду
�β1β2...βk
α1α2...αk
= ∆3
α1α2...αk
×∆2
β1β2...βk
=
{
(x, y) : x ∈ ∆3
α1α2...αk
, y ∈ ∆2
β1β2...βk
}
.
Значення log2 3 не може бути прийняте за клiтинкову розмiрнiсть графiка функцiї
(1). Ми доведемо, що за допомогою покриття графiка функцiї цилiндрами рангу
l × k, що вiдповiдають трiйковому i двiйковому зображенням (6), де l = [k log3 2],
можна дати бiльш ефективне покриття графiка функцiї однаковими прямокутни-
ками.
Теорема 2. Фрактальна клiтинкова розмiрнiсть графiка функцiї (1) дорiв-
нює
αK (Γf ) = 2− log3 2 ≈ 1,36907.
Доведення. Здiйснимо вiдповiдне покриття графiка функцiї прямокутниками
однакового рангу, а саме, покриватимемо графiк функцiї цилiндричними множина-
ми рангу l× k, що вiдповiдають трiйковому та двiйковому зображенням �β1β2...βk
α1α2...αl
(6), де l = [k log3 2]. Нехай Nk — найменша кiлькiсть прямокутникiв, якi необхiднi
для цього.
Оскiльки кожне αi, i = 1, l, не залежить вiд значень βj , j = l + 1, k, то Nk зна-
ходиться як добуток найменшої кiлькостi прямокутникiв рангу l×l,що покривають
графiк функцiї, на 2k−l — кiлькiсть рiзних послiдовностей βl+1 . . . βk. Очевидно,
що при l = k Nk = 3l. Таким чином, найменша кiлькiсть цилiндрiв рангу l× k, що
вiдповiдають трiйковому i двiйковому зображенням i покривають графiк функцiї
(1), дорiвнює Nk = 3l · 2k−l. Тодi
αK (Γf ) = lim
k→∞
lgNk
− lg 2−k
= lim
k→∞
lg 3l2k−l
− lg 2−k
= lim
k→∞
lg
(
3
2
)l
+ lg 2k
lg 2k
=
= 1 + lim
k→∞
lg
(
3
2
)l
lg 2k
= 1 + lim
k→∞
l
k
log2
3
2
= 1 + log3 2 · log2
3
2
=
= 1 + log3
3
2
= 2− log3 2
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
1238 О. Б. ПАНАСЕНКО(
тут ми врахували, що lim
k→∞
l
k
= lim
k→∞
[k log3 2]
k
= lim
k→∞
(
k log3 2
k
− {k log3 2}
k
)
=
= log3 2
)
.
Теорему доведено.
Зауваження 1. Таке ж саме значення клiтинкової розмiрностi одержимо, якщо
покриватимемо графiк функцiї квадратами зi стороною 3−k, k ∈ N. Справдi, як
показано в [3], найменша кiлькiсть прямокутникiв зi сторонами 3−k та 2−k, якi
покривають графiк функцiї (1), дорiвнює 3k. Кожний з цих прямокутникiв в свою
чергу може бути покритий
[
3k
2k
]
+ 1 квадратами зi стороною 3−k. Таким чином,
число Nk квадратiв зi стороною 3−k, якi покривають графiк функцiї (1), дорiвнює
3k ·
([
3k
2k
]
+ 1
)
. Тодi, з одного боку,
αK (Γf ) = lim
k→∞
lgNk
− lg 3−k
> lim
k→∞
lg
(
3k · 3k
2k
)
− lg 3−k
= log3
9
2
,
а з iншого —
αK (Γf ) 6 lim
k→∞
lg 3k
(
3k
2k
+ 1
)
− lg 3−k
=
= lim
k→∞
lg
(
9k
2k
+ 3k
)
− lg 3−k
= lim
k→∞
lg
(
9k
2k
(
1 +
(
2
3
)k
))
lg 3k
=
= log3
9
2
+ lim
k→∞
lg
(
1 +
(
2
3
)k
)
lg 3k
= log3
9
2
,
з чого i випливає, що αK (Γf ) = 2− log3 2.
Зауваження 2. Покриття прямокутниками з довжинами сторiн 3−k i 2−k не-
ефективне тому, що при k → ∞ вони стають дуже „вузькими”, i для покриття
графiка функцiї квадратами такого ж дiаметра потрiбна „набагато менша” їх кiль-
кiсть. Покриття, яке використовувалось в доведеннi теореми 2, є ефективним тому,
що прямокутники, якими покривається графiк функцiї, при k →∞ є близькими до
квадратiв, i мiнiмальна необхiдна для покриття їх кiлькiсть оцiнюється точним ви-
разом. Покриття, яке використовується в зауваженнi 1, також приводить до значен-
ня клiтинкової розмiрностi, оскiльки воно здiйснюється квадратами, а їх кiлькiсть
оцiнюється зверху i знизу точними виразами.
5. Фрактальнi властивостi неперервних канторiвських проекторiв. Одер-
жанi результати з допомогою аналогiчних мiркувань можна узагальнити на клас
функцiй, якi входять до неперервних канторiвських проекторiв [1, 2].
Нехай x =
∑∞
k=1
αk
sk
≡ ∆s
α1α2...αk... — s-адичний розклад дiйсного числа x.
Розглянемо функцiю
f(x) =
∞∑
k=1
βk
2k
≡ ∆2
β1β2...βk..., (11)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
РОЗМIРНIСТЬ ХАУСДОРФА – БЕЗИКОВИЧА ГРАФIКА ОДНIЄЇ НЕПЕРЕРВНОЇ ... 1239
де для фiксованого елемента i ∈ {0, 1, . . . , s− 1}
β1 =
0, якщо α1(x) = i,
1, якщо α1(x) 6= i,
βk =
βk−1, якщо αk(x) = αk−1(x),
1− βk−1, якщо αk(x) 6= αk−1(x), k > 1.
У роботах [1, 2] доведено наступнi твердження.
Теорема. Функцiя f(x), визначена формулою (11), є нiде не диференцiйовною.
Теорема. 1. Кожне двiйково-рацiональне значення y0 = ∆2
β1β2...βk(0) функцiї
f(x) є образом скiнченного числа точок.
2. Кожне значення y1 функцiї (11), яке мiстить у двiйковому розкладi пе-
рiод (10), є образом фрактальної множини точок з розмiрнiстю Хаусдорфа –
Безиковича α0 = logn(n − 1), яке лише зчисленним числом точок вiдрiзняється
вiд свого замикання, що є множиною канторiвського типу.
3. Якщо значення y2 функцiї f(x) у двiйкому зображеннi мiстить перiод (i1i2 . . .
. . . ik), то
α0
(
f−1(y2)
)
=
s ln(n− 1)
k lnn
, s = |ik − i1|+
k−1∑
j=1
|ij − ij+1| .
Мають мiсце наступнi теореми (доведення проводиться аналогiчно, як i для
функцiї (1)).
Теорема 3. Фрактальна клiтинкова розмiрнiсть графiка функцiї (11) дорiв-
нює 2− logs 2.
Теорема 4. Розмiрнiсть Хаусдорфа – Безиковича графiка функцiї (11) обчис-
люється за формулою
α0 (Γf ) = log2
(
1 + (s− 1)logs 2
)
.
1. Працевитый Н. В. Непрерывные канторовские проекторы // Методы исследования алгебраических
и топологических структур. – Киев: КГПИ, 1989. – С. 78 – 90.
2. Турбин А. Ф., Працевитый Н. В. Фрактальные множества, функции, распределения. – Киев: Наук.
думка, 1992. – 208 с.
3. Працьовитий М. В. Фрактальнi властивостi неперервної нiде не диференцiйовної функцiї // Наук.
зап. НПУ iм. М. П. Драгоманова. Фiз.-мат. науки. – 2002. – № 3. – С. 327 – 338.
4. Коваль В. Самоафiннi графiки функцiй // Наук. часопис НПУ iм. М. П. Драгоманова. Сер. 1.
Фiз.-мат. науки. – 2004.— № 4. – С. 292 – 299.
5. Falconer K. J. Fractal geometry. Mathematical foundations and applications. – Second edition.— Chi-
chester, Wiley, 2003.— 338 p.
6. Працьовитий М. В. Фрактальний пiдхiд у дослiдженнях сингулярних розподiлiв. – Київ: Вид-во
НПУ iм. М. П. Драгоманова, 1998. – 296 с.
7. McMullen C. The Hausdorff dimension of general Sierpiński carpets // Nagoya Math. J. – 1984. – 96. –
P. 1 – 9.
8. Kamae T. A characterization of self-affine functions // Jap. J. Appl. Math. – 1986. – 3. – P. 217 – 280.
9. Kenyon R., Peres Y. Hausdorff dimensions of sofic affine-invariant sets // Isr. J. Math. – 1996. – 94. –
P. 157 – 178.
10. Takahashi S. Dimension spectra of self-affine sets // Ibid. – 2002. – 127. – P. 1 – 18.
Одержано 12.03.08
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
|
| id | umjimathkievua-article-3094 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:07Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/e3/faad9a64957cfe9b348a0170b1efb6e3.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30942020-03-18T19:45:12Z Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function Розмірність Хаусдорфа - Безиковича графіка однієї неперервної ніде не диференційовної функції O., B. Panasenko Панасенко, O. Б. We investigate fractal properties of the graph of the function $$y = f(x) = ∑^{∞}_{k−1}\frac{β_k}{2^k} ≡ Δ^2_{β_1β_2…β_k…},$$ where $$\beta_1 = \begin{cases} 0 & \mbox{if } \alpha_1(x) = 0,\\ 1 & \mbox{if } \alpha_1(x) \neq 0,\\ \end{cases}$$ $$\beta_k = \begin{cases} β_{k−1} & \mbox{if } \alpha_k(x) = \alpha_{k-1}(x),\\ 1 - β_{k−1} & \mbox{if } \alpha_k(x) \neq \alpha_{k-1}(x),\\ \end{cases}$$ and $α_k(x)$ is the kth ternary digit of $x$: In particular, we prove that this graph is a fractal set with Hausdorff–Besicovitch $α_0(Г_f) = \log_2(1 +2^{\log_32}$ dimension and cell dimension $α_K (Г_f) = 2-\log_32$. Исследуются фрактальные свойства графика функции $$y = f(x) = ∑^{∞}_{k−1}\frac{β_k}{2^k} ≡ Δ^2_{β_1β_2…β_k…},$$ где $$\beta_1 = \begin{cases} 0 & \mbox{если } \alpha_1(x) = 0,\\ 1 & \mbox{если } \alpha_1(x) \neq 0,\\ \end{cases}$$ $$\beta_k = \begin{cases} β_{k−1} & \mbox{если } \alpha_k(x) = \alpha_{k-1}(x),\\ 1 - β_{k−1} & \mbox{если } \alpha_k(x) \neq \alpha_{k-1}(x),\\ \end{cases}$$ $α_k(x)$ — $k$-я троичная цифра $x$. В частности, доказано, что он является фрактальным множеством с размерностью Хаусдорфа-Безиковича $α_0(Г_f) = \log_2(1 +2^{\log_32}$ и клеточной размерностью $α_K (Г_f) = 2-\log_32$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3094 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1225-1239 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1225-1239 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3094/2936 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3094/2937 Copyright (c) 2009 O. B. Panasenko |
| spellingShingle | O., B. Panasenko Панасенко, O. Б. Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| title | Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| title_alt | Розмірність Хаусдорфа - Безиковича графіка однієї неперервної ніде не диференційовної функції |
| title_full | Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| title_fullStr | Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| title_full_unstemmed | Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| title_short | Hausdorff–Besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| title_sort | hausdorff–besicovitch dimension of the graph of one continuous nowhere-differentiable function |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3094 |
| work_keys_str_mv | AT obpanasenko hausdorffbesicovitchdimensionofthegraphofonecontinuousnowheredifferentiablefunction AT panasenkoob hausdorffbesicovitchdimensionofthegraphofonecontinuousnowheredifferentiablefunction AT obpanasenko rozmírnístʹhausdorfabezikovičagrafíkaodníêíneperervnoínídenediferencíjovnoífunkcíí AT panasenkoob rozmírnístʹhausdorfabezikovičagrafíkaodníêíneperervnoínídenediferencíjovnoífunkcíí |