Structure of the semigroup $OT_n$
We study the structure of the semigroup $OT_n$, which is a unique (up to an isomorphism) $R$-section of the semigroup $T_n$. For this semigroup, we describe Green relations, determine regular and nilpotent elements, describe maximal nilpotent subsemigroups, and determine the unique irreducible syste...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3095 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509126824558592 |
|---|---|
| author | Pekhterev, V. O. Пєхтєрєв, В. O. |
| author_facet | Pekhterev, V. O. Пєхтєрєв, В. O. |
| author_sort | Pekhterev, V. O. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | We study the structure of the semigroup $OT_n$, which is a unique (up to an isomorphism) $R$-section of the semigroup $T_n$. For this semigroup, we describe Green relations, determine regular and nilpotent elements, describe maximal nilpotent subsemigroups, and determine the unique irreducible system of generatrices and maximal subsemigroups. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:09Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 512.53
V. O. P[xt[r[v (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
BUDOVA NAPIVHRUPY OTn
We study the structure of the semigroup OTn which is a unique (up to the isomorphism) R-cross-
section of the semigroup Tn . For the considered semigroup, we obtain Green relations, determine
regular and nilpotent elements, describe maximal nilpotent subsemigroups, and establish the unique
irreducible generating system and maximal subsemigroups.
Yzuçaetsq stroenye poluhrupp¥ OTn , qvlqgwejsq edynstvenn¥m (s toçnost\g do yzomorfyz-
ma) R-seçenyem poluhrupp¥ Tn . Dlq πtoj poluhrupp¥ opysan¥ otnoßenyq Hryna, najden¥
rehulqrn¥e y nyl\potentn¥e πlement¥. Opysan¥ maksymal\n¥e nyl\potentn¥e podpoluhrup-
p¥. Najden¥ edynstvennaq nepryvodymaq systema obrazugwyx y maksymal\n¥e podpolu-
hrupp¥.
1. Vstup. Poznaçymo çerez N mnoΩynu 1, ,…{ }n . Na blokax koΩnoho
dyz’gnktnoho rozbyttq N Aii
k=
=
.
1∪ mnoΩyny N na k neporoΩnix blokiv
vyznaçymo linijnyj porqdok za pravylom A Ai j≺ , qkwo min ( ) min ( )A Ai j< ,
de min ( )Ai poznaça[ najmenßyj element mnoΩyny Ai vidnosno pryrodnoho
linijnoho porqdku na mnoΩyni N. Napivhrupa OTn vyznaça[t\sq za takym pra-
vylom: dlq koΩnoho rozbyttq N Aii
k=
=
.
1∪ , de A A Ak1 2≺ ≺ ≺… , vona mis-
tyt\ element a, kotryj di[ tak: a A ii( ) = dlq koΩnoho i = 1,… , k . V robo-
ti:[1] pokazano, wo OTn [ R-zrizom napivhrupy Tn , tobto mistyt\ rivno po od-
nomu elementu z koΩnoho R-klasu Tn , a takoΩ dovedeno, wo vsi R-zrizy na-
pivhrupy Tn moΩna otrymaty z OTn za dopomohog sprqΩennq, tobto vony
magt\ vyhlqd π π−1OTn dlq deqko] pidstanovky π symetryçno] hrupy Sn .
Danu robotu prysvqçeno vyvçenng osnovnyx vlastyvostej ci[] napivhrupy.
Inßymy slovamy, dlq napivhrupy OTn opysano vidnoßennq Hrina ta pidraxova-
no kil\kist\ klasiv dlq koΩnoho vidnoßennq. Znajdeno rehulqrni elementy,
idempotenty ta pidraxovano ]x kil\kist\. Opysano nil\elementy ta maksymal\ni
nil\potentni pidnapivhrupy dlq koΩnoho moΩlyvoho klasu nil\potentnosti.
Znajdeno nezvidnu systemu tvirnyx ta maksymal\ni pidnapivhrupy dano] napiv-
hrupy.
U roboti budemo dotrymuvatys\ standartnyx poznaçen\ (dyv. [2] ). Dlq koΩ-
noho a OTn∈ symvolamy im ( )a ta ρa budemo poznaçaty vidpovidno obraz
elementa a ta vidnoßennq ekvivalentnosti na mnoΩyni N, qke vyznaça[t\sq za
pravylom i jaρ todi i til\ky todi, koly a i a j( ) ( )= . Oçevydno, wo dlq dovil\-
nyx elementiv a, b OTn∈ ρ ρa b= todi i til\ky todi, koly a = b. Çyslo
rk im( ) ( )a a= nazyva[t\sq ranhom peretvorennq a. Çerez 0 budemo poznaçaty
[dyne peretvorennq mnoΩyny N, ranh qkoho dorivng[ odynyci i qke [ nulem na-
pivhrupy OTn . Çerez e budemo poznaçaty totoΩne peretvorennq mnoΩyny N
— odynycg dano] napivhrupy. Lehko baçyty, wo potuΩnist\ napivhrupy OTn
zbiha[t\sq z kil\kistg dyz’gnktnyx rozbyttiv mnoΩyny N na neporoΩni bloky
i dorivng[ çyslu Bela Bn .
2. Idealy ta vidnoßennq Hrina. Oskil\ky pry perexodi do pidnapivhrupy
klasy Hrina moΩut\ lyße podribngvatys\, to R-vidnoßennq Hrina na napivhru-
© V. O. P{XT{R{V, 2009
1240 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
BUDOVA NAPIVHRUPY OTn 1241
pi OTn zbiha[t\sq z vidnoßennqm rivnosti I, bo cq napivhrupa mistyt\ rivno po
odnomu elementu z koΩnoho R-klasu napivhrupy Tn .
Nexaj a — element napivhrupy OTn ranhu k . Todi im ( ) , ,a k= …{ }1 .
Poznaçymo çerez ai najmenßyj element mnoΩyny a i−1( ) dlq koΩnoho i =
= 1, … , k . Oçevydno, wo a ii ≥ dlq vsix i = 1, … , n.
Lema 1. Nexaj a — element napivhrupy OTn ranhu k . Element b na-
pivhrupy OTn ranhu l ≤ k naleΩyt\ mnoΩyni OT an todi i til\ky todi, koly
isnu[ in’[ktyvne monotonne peretvorennq γ : , ,1 …{ }al → N, dlq qkoho vyko-
nugt\sq rivnosti b i a iγ ( ) ( )( ) = dlq koΩnoho i al= …1, , ta γ ( )a bi i= dlq
koΩnoho i = 1, … , l, de bi — najmenßyj element mnoΩyny b i−1( ) dlq vsix
i = 1, … , l.
Dovedennq. Neobxidnist\. Nexaj b OT an∈ . Todi isnu[ takyj element c
napivhrupy OTn , wo b = ca. Bez porußennq zahal\nosti moΩna vvaΩaty, wo
rk ( )c al= . Poznaçymo çerez ci najmenßyj element mnoΩyny c i−1( ) dlq
koΩnoho i al= …1, , . Poklademo γ ( ) :i ci= dlq vsix i al= …1, , . Todi,
oskil\ky c OTn∈ , γ — monotonna in’[kciq. Dali dlq koΩnoho i al= …1, ,
b i ca i a c i a c c a iiγ γ γ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) = ( ) = ( )( ) = ( )( ) = .
Nexaj teper γ ( )a pi i= dlq koΩnoho i = 1, … , l. Todi
b pi( ) = b aiγ ( )( ) = ( ) ( )ca aiγ( ) =
= a c aiγ ( )( )( ) = a c cai
( )( ) = a ai( ) = i.
Bil\ß toho, dlq dovil\noho j b i∈ −1( ) ma[mo a c j i( )( ) = , bo b = ca. Zvidsy
a c ji ≤ ( ) ta γ γ( ) ( )a c ji ≤ ( ) . Pozaqk γ c j j( )( ) ≤ , to p ji ≤ , tobto pi — naj-
menßyj element mnoΩyny b i−1( ) , a tomu p bi i= . Zvidsy ostatoçno ma[mo
γ ( )a bi i= dlq koΩnoho i = 1, … , l.
Dostatnist\. Nexaj γ — peretvorennq, dlq qkoho vykonugt\sq vsi umovy
lemy. Poklademo
c i
i x
a x b ij
( )
( ) , ( ),
, ( ) (
=
∈
∉
−γ γ
γ
1
qkwo
qkwo ta
im
im )) ,=
j
dlq koΩnoho i N∈ . PokaΩemo spoçatku, wo ca = b, tobto ( ) ( ) ( )ca i b i= dlq
koΩnoho i N∈ . MoΩlyvi dva vypadky:
1) i ∈ im ( )γ , todi ( ) ( ) ( )ca i a c i= ( ) = a i b i b iγ γ γ− −( ) = ( )( ) =1 1( ) ( ) ( ) ;
2) i ∉ im ( )γ ta b i j( ) = , todi ( ) ( ) ( )ca i a c i= ( ) = a a j b ij( ) ( )= = .
Teper zalyßylos\ dovesty, wo c OTn∈ . Oçevydno, wo im ( ) , ,c al= …{ }1 i
γ ( )i naleΩyt\ mnoΩyni c i−1( ) dlq koΩnoho i al= …1, , . Bil\ß toho, dlq
dovil\noho x c i i∈ { }−1( )\ ( )γ x ∉ im ( )γ . Tomu i a j= dlq deqkoho j = 1, … , l,
a takoΩ b x j( ) = , zvidky x bj> . Oskil\ky b a ij j= =γ γ( ) ( ) , to x i> γ ( ) , a
tomu γ ( )i — najmenßyj element mnoΩyny c i−1( ) dlq koΩnoho i al= …1, , .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1242 V. O. P{XT{R{V
Ostatoçno dlq dovil\nyx x < y z obrazu elementa c vyplyva[, wo γ γ( ) ( )x y< ,
bo γ [ monotonnym. Zvidsy min ( )c x−( )1 < min ( )c y−( )1
, a tomu c OTn∈ .
Lemu dovedeno.
Teorema 1. Nexaj a, b OTn∈ , rk ( )a k= , rk ( )b m= . a bL todi i lyße
todi, koly vykonugt\sq taki umovy: 1) k = m; 2) dlq koΩnoho i = 1, … , k naj-
menßi elementy povnyx proobraziv a i−1( ) ta b i−1( ) zbihagt\sq; 3) qkwo
ak — najmenßyj element mnoΩyny a k−1( ) , to a i b i( ) ( )= dlq vsix i = 1, …
… , ak .
Dovedennq. Neobxidnist\. Nexaj a bL . Todi a OT bn∈ ta b OT an∈ .
Oçevydno, wo v c\omu vypadku rk rk( ) ( )a b= = k dlq deqkoho natural\noho k .
Dali, za poperedn\og lemog isnugt\ taki monotonni in’[kci] γ1 1: , ,…{ }ak →
→ N ta γ 2 1: , ,…{ }bk → N, wo vykonugt\sq rivnosti
b i a iγ1( ) ( )( ) = dlq koΩnoho i = 1, … , ak ,
a i b iγ 2( ) ( )( ) = dlq koΩnoho i = 1, … , bk ,
γ1( )a bi i= ta γ 2( )b ai i= dlq koΩnoho i = 1, … , k .
Zvidsy a bi i≤ dlq koΩnoho i = 1, … , k , bo γ1 [ monotonnog. Analohiçno
b ai i≤ . OtΩe, a bi i= dlq koΩnoho i = 1, … , k . Zokrema, a bk k= , a tomu
γ1( )a b ak k k= = . Pozaqk γ1 monotonna, to γ1( )i i= dlq koΩnoho i = 1, …
… , ak . Zvidsy a i b i b i( ) ( ) ( )= ( ) =γ1 dlq koΩnoho i = 1, … , ak .
Dostatnist\. Poklademo γ ( )j j= dlq vsix j a a= …1, , ( )rk . Todi dlq da-
noho peretvorennq vykonugt\sq vsi umovy poperedn\oho tverdΩennq, a tomu
b OT an∈ . Analohiçno a OT bn∈ , zvidky a bL .
Z ci[] teoremy vyplyva[, wo L-vidnoßennq Hrina na napivhrupi OTn ne zbi-
ha[t\sq z vidnoßennqm rivnosti i ne [ zvuΩennqm c\oho Ω vidnoßennq na napiv-
hrupi Tn . Tomu dlq vidnoßen\ Hrina dano] napivhrupy magt\ misce spivvidno-
ßennq I H R L D J= = ≠ = = . Zvidsy bezposeredn\o vyplyva[, wo vsi pid-
hrupy napivhrupy OTn [ odynyçnymy.
Teorema 2. 1. Kil\kist\ R-klasiv napivhrupy OTn dorivng[ Bn .
2. Kil\kist\ L-klasiv napivhrupy OTn dorivng[ Bkk
n
=
−∑ 1
1
.
Dovedennq. 1. Vyplyva[ z rivnosti R I= .
2. Nexaj ρ — dovil\ne rozbyttq mnoΩyny 1, ,…{ }k dlq deqkoho k ≤ n – 1.
Poznaçymo çerez L( )ρ L -klas takoho elementa a z OTn , wo ρa =
= ρ k n+ …{ }1, ,∪ . Prypustymo, wo L L( ) ( )ρ ρ1 2= dlq deqkyx rozbyttiv ρ1 ,
ρ2 . Todi v L -klasi isnugt\ taki elementy a, b OTn∈ , wo ρ ρa = 1 i ρ ρb = 2 .
Za teoremog 1 rk rk( ) ( )a b l= = dlq deqkoho l ≤ n ta k1 1+ = al = bl =
= k2 1+ , de k1, k2 — potuΩnosti mnoΩyn, na qkyx vyznaçeno rozbyttq ρ1 , ρ2
vidpovidno. Zvidsy vyplyva[, wo k1 = k2 = k dlq deqkoho k ≤ n – 1 i rozbyttq
ρ1 , ρ2 odnoçasno vyznaçeni na mnoΩyni 1, ,…{ }k . Dali, z rivnosti a j( ) =
= b j( ) dlq vsix j = 1, … , k + 1 (teorema 1) vyplyva[, wo zvuΩennq rozbyttiv
ρa i ρb na mnoΩynu 1, ,…{ }k [ odnakovymy, a tomu odnakovymy [ j po-
çatkovi rozbyttq ρ1 ta ρ2 . OtΩe, riznym rozbyttqm ρ vidpovidagt\ rizni L-
klasy L( )ρ napivhrupy OTn . Nexaj teper a — dovil\nyj element napivhrupy
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
BUDOVA NAPIVHRUPY OTn 1243
OTn . Poznaçymo çerez l ranh c\oho elementa. Nexaj ρ — zvuΩennq rozbyttq
ρa na mnoΩynu 1 1, ,… −{ }al . Todi za teoremog 1 a L∈ ( )ρ . Takym çynom,
koΩen L-klas napivhrupy OTn ma[ vyhlqd L( )ρ dlq deqkyx çysla k ≤ n – 1
ta rozbyttq ρ mnoΩyny 1, ,…{ }k . Tomu zahal\na kil\kist\ L-klasiv napiv-
hrupy OTn dorivng[ Bkk
n
=
−∑ 1
1
.
3. Idempotenty, rehulqrni elementy ta pidnapivhrupy. Oskil\ky napiv-
hrupa OTn [ pidnapivhrupog napivhrupy Tn , to element a OTn∈ bude idem-
potentom todi i til\ky todi, koly vin di[ totoΩno pa svo[mu obrazi.
Lema 2. Dlq koΩnoho k ≤ n napivhrupa OTn mistyt\ kn k−
idempoten-
tiv ranhu k.
Dovedennq. Nexaj element a napivhrupy OTn [ idempotentom ranhu k .
Todi im ( ) , ,a k= …{ }1 , a tomu a i i( ) = dlq vsix i = 1, … , k . Bil\ß toho, ko-
Ωen element ci[] napivhrupy ranhu k, qkyj zadovol\nq[ dani umovy, bude idem-
potentom. OtΩe, zahal\na kil\kist\ takyx idempotentiv dorivng[ çyslu funk-
cij z mnoΩyny k n+ …{ }1, , u mnoΩynu 1, ,…{ }k i dorivng[ kn k− .
Lemu dovedeno.
Naslidok 1. Napivhrupa OTn mistyt\ kn k
k
n −
=∑ 1
idempotentiv.
Teorema 3. Element napivhrupy OTn bude rehulqrnym todi i til\ky todi,
koly vin [ idempotentom.
Dovedennq. Oskil\ky koΩen idempotent [ rehulqrnym elementom dovil\no]
napivhrupy, to potribno dovesty lyße neobxidnist\. Nexaj a — rehulqrnyj
element. Todi isnu[ takyj element b OTn∈ , wo a = a b a. Z ostann\o] rivnosti
ma[mo ρ ρa ab= . Zvidsy vyplyva[, wo b di[ in’[ktyvno na obrazi im ( )a =
= 1, , ( )…{ }rk a elementa a. Dali, vraxovugçy te, wo elementy z mnoΩyny
im ( )a , oçevydno, budut\ najmenßymy u svo]x blokax rozbyttq ρb , otrymu[mo,
wo b di[ totoΩno na mnoΩyni 1, , ( )…{ }rk a . Tomu a = a b. Ostatoçno ma[mo
a = a b a = aa = a2 , i element a [ idempotentom.
Teorema 4. Maksymal\na rehulqrna pidnapivhrupa napivhrupy OTn sklada-
[t\sq z usix idempotentiv dano] napivhrupy.
Dovedennq. Z ohlqdu na poperedng teoremu dosyt\ pokazaty, wo mnoΩyna
vsix idempotentiv [ zamknenog vidnosno mnoΩennq. Spravdi, nexaj a, b OTn∈
— idempotenty. Todi im ( ) , ,a k= …{ }1 ta im ( ) , ,b l= …{ }1 , de 1 ≤ l, k ≤ n,
a takoΩ a i i( ) = dlq vsix i = 1, … , k ta b j j( ) = dlq vsix j = 1, … , l . Ma[mo
dva vypadky. Qkwo k ≤ l, to a b = a, a tomu element a b [ idempotentom. Qkwo
Ω k > l, to rk ( )ab l= i ( ) ( )ab j j= dlq vsix j = 1, … , l . Oskil\ky v c\omu vy-
padku im ( ) , ,ab l= …{ }1 , to element a b di[ totoΩno na svo[mu obrazi, a tomu
[ idempotentom.
Teoremu dovedeno.
4. Nil\elementy ta nil\potentni pidnapivhrupy. Spoçatku nahada[mo,
wo çerez ai my poznaça[mo najmenßyj element mnoΩyny a i−1( ) dlq koΩnoho
i a∈ im ( ) . Dali zauvaΩymo, wo koΩen element napivhrupy OTn [ styskugçym,
tobto a i i( ) ≤ dlq vsix i = 1, … , n . Dijsno, qkwo a i j( ) = , to j a ij≤ ≤ .
Teorema 5. Dlq elementa a napivhrupy OTn nastupni umovy [ ekviva-
lentnymy:
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1244 V. O. P{XT{R{V
1) element a [ nil\potentnym;
2) a (2) = 1;
3) a i i( ) < dlq vsix i ≠ 1 .
Dovedennq. 1) ⇒ 2). Prypustymo, wo a (2) ≠ 1, todi a (2) = 2. Zvidsy vy-
plyva[, wo ak ( )2 2= dlq vsix k , a tomu element a ne [ nil\potentnym. Otry-
mana supereçnist\ zaverßu[ dovedennq.
2) ⇒ 3). Prypustymo, wo a i i( ) = dlq deqkoho i > 1. Todi im ( )a ⊃
⊃ 1, ,…{ }i ta a ai1, ,…{ } ⊂ 1, ,…{ }i . Zvidsy a j j( ) ≤ dlq vsix j = 1, … , i .
Zokrema, a2 2= i a( )2 = a a( )2 = 2. Otrymana supereçnist\ zaverßu[ dove-
dennq.
3) ⇒ 1). Vraxovugçy, wo koΩen element napivhrupy OTn [ styskugçym,
dana umova harantu[, wo a in− =1 1( ) dlq vsix i = 1, … , n . Zvidsy im ( )an−1 =
= 1{ } , tobto an−1 = 0.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 2. MnoΩyna vsix nil\elementiv iz OTn utvorg[ nil\potentnu
pidnapivhrupu porqdku Bn−1 i stepenq nil\potentnosti n – 1.
Dovedennq. Z p. 3 poperedn\o] teoremy vyplyva[, wo mnoΩyna S nil\ele-
mentiv napivhrupy OTn [ zamknenog vidnosno mnoΩennq, a takoΩ vykonu[t\sq
rivnist\ Sn− = { }1 0 . Oskil\ky stepin\ nil\potentnosti elementa a OTn∈ , wo
di[ na mnoΩyni N za pravylom a (1) = 1 ta a i i( ) = − 1 dlq vsix i ≠ 1, doriv-
ng[ n – 1, to stepin\ nil\potentnosti pidnapivhrupy S takoΩ bude n – 1. Dali
za p.:2 poperedn\o] teoremy nil\potentnymy budut\ taki i lyße taki elementy a
napivhrupy OTn , wo u ]x rozbyttqx ρa elementy 1 ta 2 mnoΩyny N mistqt\sq
v odnomu bloci. Kil\kist\ takyx rozbyttiv, oçevydno, dorivng[ kil\kosti
dyz’gnktnyx rozbyttiv ( )n − 1 -elementno] mnoΩyny (paru 1 ta 2 vvaΩa[mo [dy-
nym elementom) na neporoΩni bloky, tobto ( )n − 1 -mu çyslu Bela Bn−1.
Budemo hovoryty, wo pidmnoΩyna A N⊂ [ vidrizkom mnoΩyny N, qkwo z
toho, wo i A∈ , vyplyva[, wo j A∈ dlq vsix j ≤ i.
Lema 3. Povnyj obraz dovil\noho vidrizka A N⊂ pry peretvorenni a ∈
∈ OTn [ vidrizkom.
Dovedennq. Spravdi, nexaj i a A∈ ( ) . Dlq koΩnoho j ≤ i j a N∈ ( ) ta
a aj i≤ . Pozaqk a Ai ∈ , to a Aj ∈ , bo pidmnoΩyna A [ vidrizkom. Todi z riv-
nosti a a jj( ) = ostatoçno otrymu[mo, wo j a A∈ ( ) .
Lemu dovedeno.
Lema 4. Nexaj pidmnoΩyna A N⊂ [ vidrizkom mnoΩyny N ta a, b ∈
∈ OTn . Todi ( ) ( )ab A ⊂ a A( ) ∩ b A( ) .
Dovedennq. Nexaj i ab A∈ ( ) ( ) . Todi isnu[ takyj j A∈ , wo i b a j= ( )( ) .
Teper z toho, wo j A∈ , vyplyva[, wo element a j A( ) ∈ , bo peretvorennq a [
styskugçym, a mnoΩyna A — vidrizkom. Zvidsy b a j b A( ) ( )( ) ∈ , a tomu
( ) ( ) ( )ab A b A⊂ . Dali, z toho, wo a j a A( ) ( )∈ , peretvorennq b [ styskugçym,
a mnoΩyna a A( ) — vidrizkom (za poperedn\og lemog) , vyplyva[, wo b a j( )( ) ∈
∈ a A( ) . Zvidsy ma[mo ( ) ( ) ( )ab A a A⊂ .
Lemu dovedeno.
Lema 5. ( ) ( )ab Nk ⊂ a Nk ( ) ∩ b Nk ( ) dlq dovil\nyx natural\noho k ta
elementiv a, b napivhrupy OTn .
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
BUDOVA NAPIVHRUPY OTn 1245
Dovedennq provedemo metodom matematyçno] indukci]. Baza (pry k = 1) vy-
plyva[ z poperedn\o] lemy ta z toho, wo mnoΩyna N [ vidrizkom. Prypustymo,
wo ( ) ( )ab Nk−1 ⊂ a Nk−1( ) ∩ b Nk−1( ) . Poklademo A ab Nk= −( ) ( )1
. Todi za le-
mog:3 mnoΩyna A bude vidrizkom. Teper, vykorystovugçy prypuwennq indukci]
ta poperedng lemu, ma[mo ( ) ( )ab Nk = ( ) ( )ab A ⊂ a A( ) ⊂ a a Nk−( )1( ) = a Nk ( ) .
Analohiçno dovodyt\sq, wo ( ) ( ) ( )ab N b Nk k= .
Lemu dovedeno.
Poznaçymo çerez n a( ) stepin\ nil\potentnosti nil\potentnoho elementa a
napivhrupy OTn , tobto take najmenße natural\ne k, wo ak = 0 . Todi ma[
misce nastupna lema.
Lema 6. n ab n a n b( ) max ( ), ( )≤ { } dlq dovil\nyx nil\potentnyx elementiv a,
b napivhrupy OTn .
Dovedennq. Nexaj k n a n b= { }max ( ), ( ) . Todi a bk k= = 0 . Ce ekviva-
lentno a N b Nk k( ) ( )= = { }1 . Za poperedn\og lemog ( ) ( ) ( )ab N a Nk k⊂ ∩
∩ b Nk ( ) = { }1 , tobto ( )ab k = 0 . Zvidsy n ab k n a n b( ) max ( ), ( )≤ = { } .
Lemu dovedeno.
Naslidok 3. Maksymal\na nil\potentna pidnapivhrupa napivhrupy OTn
(nul\ qko] zbiha[t\sq z nulem usi[] napivhrupy) stepenq nil\potentnosti k
dlq dovil\noho natural\noho k ≤ n – 1 sklada[t\sq z usix nil\elementiv OTn ,
stepin\ nil\potentnosti qkyx ne perevywu[ k .
Dovedennq. Oçevydno, wo nil\potentna pidnapivhrupa napivhrupy OTn
(nul\ qko] zbiha[t\sq z nulem usi[] napivhrupy) stepenq nil\potentnosti k mis-
tyt\ lyße nil\potentni elementy OTn , stepin\ nil\potentnosti qkyx ne pere-
vywu[ k . Dlq zaverßennq dovedennq zalyßylos\ zauvaΩyty, wo za popered-
n\og lemog mnoΩyna usix takyx nil\potentnyx elementiv bude pidnapivhrupog
napivhrupy OTn .
5. Systemy tvirnyx ta pidnapivhrupy.
Teorema 6. {dynog nezvidnog systemog tvirnyx napivhrupy OTn [ mnoΩy-
na vsix elementiv iz OTn ranhu n – 1, popovnena odynyceg.
Dovedennq. PokaΩemo spoçatku, wo koΩna systema tvirnyx napivhrupy
OTn mistyt\ odynycg i vsi elementy iz OTn ranhu n – 1. Oskil\ky odynycq
napivhrupy OTn [ [dynym elementom ranhu n dano] napivhrupy, to oçevydno,
wo vona naleΩyt\ do koΩno] systemy tvirnyx ci[] napivhrupy. Prypustymo te-
per, wo isnugt\ systema tvirnyx S ta element a ranhu n – 1, qkyj ne mistyt\-
sq u S. Pozaqk S — systema tvirnyx, to isnugt\ taki vidminni vid a elementy
b bk1, ,… mnoΩyny S, wo a b b bk= …1 2 . Bez porußennq zahal\nosti moΩna
vvaΩaty, wo b ei ≠ dlq koΩnoho i = 1, … , k . Todi rk ( )b ni = − 1 dlq vsix i =
= 1, … , k , a tomu rk rk rk( ) ( ) ( )b a b b bk1 1 2= = … . Zvidsy ρ ρb b b bk1 1 2
= … , a to-
mu b b b b ak1 1 2= … = . Ce supereçyt\ poçatkovomu prypuwenng. Teper dove-
demo, wo mnoΩyna vsix elementiv iz OTn ranhu n – 1, popovnena odynyceg, [
systemog tvirnyx napivhrupy OTn . Nexaj T — pidnapivhrupa OTn , porodΩe-
na vsima elementamy iz OTn ranhu n – 1 ta odynyceg. Skorysta[mos\ induk-
ci[g i dovedemo, wo qkwo T mistyt\ usi elementy iz OTn , ranh qkyx ne men-
ßyj za k, to vona mistyt\ j usi elementy ranhu k – 1. Nexaj a — deqkyj ele-
ment iz OTn ranhu k – 1, todi isnu[ prynajmni odyn blok A rozbyttq ρa , qkyj
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1246 V. O. P{XT{R{V
mistyt\ bil\ße odnoho elementa. Uwil\nymo rozbyttq ρa , rozbyvßy blok A
na dva bloky B1 i B2 , do rozbyttq ′ρ . Poznaçymo çerez b takyj element na-
pivhrupy OTn , wo ρ ρb = ′ . Zrozumilo, wo rk rk( ) ( )b a= + 1 = k, a tomu za
prypuwennqm indukci] b T∈ . Nexaj teper c — takyj element iz OTn ranhu
n – 1, wo joho rozbyttq ρc mistyt\ odyn dvoelementnyj blok b B b B( ), ( )1 2{ } , a
reßta blokiv [ odnoelementnymy. Oçevydno, wo v c\omu vypadku ρ ρbc a= , a
tomu a = bc. Pozaqk c T∈ , to a T∈ . Teper, oskil\ky T mistyt\ usi elemen-
ty iz OTn ranhu n – 1 ta odynycg, baza indukci] (pry k = n – 1) [ oçevydnog, a
tomu napivhrupa T zbiha[t\sq z usi[g napivhrupog OTn .
Po[dnugçy dva poperedni mirkuvannq, ostatoçno otrymu[mo, wo [dynog ne-
zvidnog systemog tvirnyx napivhrupy OTn [ mnoΩyna vsix elementiv iz OTn
ranhu n – 1, popovnena odynyceg.
Teoremu dovedeno.
Naslidok 4. KoΩna maksymal\na pidnapivhrupa napivhrupy OTn ma[ vyhlqd
OT an \{ } , de a — deqkyj element [dyno] nezvidno] systemy tvirnyx ci[] napiv-
hrupy.
Dovedennq. Nexaj S — [dyna nezvidna systema tvirnyx napivhrupy OTn , a
T — deqka maksymal\na pidnapivhrupa dano] napivhrupy. Todi z toho, wo
S T⊄ , vyplyva[, wo mnoΩyna OT Tn \ mistyt\ prynajmni odyn element syste-
my tvirnyx S. Poznaçymo cej element çerez a i prypustymo, wo u mnoΩyni
OT Tn \ mistyt\sq we deqkyj, vidminnyj vid a, element b. Todi napivhrupa ′T ,
porodΩena mnoΩynog T b∪ { } , z odnoho boku, stroho mistyt\ napivhrupu T
(bo element b ne naleΩyt\ do T ), a z inßoho — ne mistyt\ mnoΩynu S (oskil\-
ky mnoΩyna T b∪ { } ne mistyt\ element a). Tomu za poperedn\og teoremog cq
mnoΩyna ne [ systemog tvirnyx napivhrupy OTn . Zvidsy bezposeredn\o vyply-
va[, wo pidnapivhrupa ′T ne zbiha[t\sq z usi[g napivhrupog OTn , a ce supere-
çyt\ maksymal\nosti pidnapivhrupy T. OtΩe, naße prypuwennq [ xybnym i ma[
misce rivnist\ OT T an \ = { } . Zvidsy T OT an= { }\ . Dlq zaverßennq dovedennq
dosyt\ zauvaΩyty, wo koΩna mnoΩyna vyhlqdu OT an \{ } , de a — deqkyj ele-
ment [dyno] nezvidno] systemy tvirnyx napivhrupy OTn , spravdi, [ maksymal\-
nog pidnapivhrupog ci[] napivhrupy.
1. Pyekhtyeryev V. H-and R-cross-sections of the full finite semigroup Tn // J. Algebra and Disc-
rete Math. – 2003. – # 3. – P. 82 – 88.
2. Klyfford A., Preston H. Alhebrayçeskaq teoryq poluhrupp: V 2 t. – M.: Myr, 1972. –
T.:1. – 286:s.
OderΩano 12.03.08
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3095 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:09Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/a2/b082375f822e849697a7f0540f1742a2.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30952020-03-18T19:45:12Z Structure of the semigroup $OT_n$ Будова напівгрупи $OT_n$ Pekhterev, V. O. Пєхтєрєв, В. O. We study the structure of the semigroup $OT_n$, which is a unique (up to an isomorphism) $R$-section of the semigroup $T_n$. For this semigroup, we describe Green relations, determine regular and nilpotent elements, describe maximal nilpotent subsemigroups, and determine the unique irreducible system of generatrices and maximal subsemigroups. Изучается строение полугруппы $OT_n$, являющейся единственным (с точностью до изоморфизма) $R$-сечением полугруппы $T_n$. Для этой полугруппы описаны отношения Грина, найдены регулярные и нильпотентные элементы. Описаны максимальные нильпотентные подполугруппы. Найдены единственная неприводимая система образующих и максимальные подполугруппы. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3095 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1240-1246 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1240-1246 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3095/2938 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3095/2939 Copyright (c) 2009 Pekhterev V. O. |
| spellingShingle | Pekhterev, V. O. Пєхтєрєв, В. O. Structure of the semigroup $OT_n$ |
| title | Structure of the semigroup $OT_n$ |
| title_alt | Будова напівгрупи $OT_n$ |
| title_full | Structure of the semigroup $OT_n$ |
| title_fullStr | Structure of the semigroup $OT_n$ |
| title_full_unstemmed | Structure of the semigroup $OT_n$ |
| title_short | Structure of the semigroup $OT_n$ |
| title_sort | structure of the semigroup $ot_n$ |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3095 |
| work_keys_str_mv | AT pekhterevvo structureofthesemigroupotn AT pêhtêrêvvo structureofthesemigroupotn AT pekhterevvo budovanapívgrupiotn AT pêhtêrêvvo budovanapívgrupiotn |