Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems
We associate a multiparameter spectral problem in a real Euclidean space with a variational problem of finding a minimum of a certain functional. We establish the equivalence of the spectralproblem and the variational problem. On the basis of the gradient procedure, we propose a numerical algorithm...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3096 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509127899348992 |
|---|---|
| author | Podlevs’kyi, B. M. Подлевський, Б. M. |
| author_facet | Podlevs’kyi, B. M. Подлевський, Б. M. |
| author_sort | Podlevs’kyi, B. M. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | We associate a multiparameter spectral problem in a real Euclidean space with a variational problem of finding a minimum of a certain functional. We establish the equivalence of the spectralproblem and the variational problem. On the basis of the gradient procedure, we propose a numerical algorithm for the determination of its eigenvalues and eigenvectors. The local convergence of the algorithm is proved. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:10Z |
| format | Article |
| fulltext |
UDK 519. 6
B. M. Podlevs\kyj (In-t prykl. probl. mexaniky i matematyky NAN Ukra]ny, L\viv)
VARIACIJNYJ PIDXID DO ROZV’QZUVANNQ
LINIJNYX BAHATOPARAMETRYÇNYX ZADAÇ
NA VLASNI ZNAÇENNQ
In the real Hilbert space, a variational problem on the minimum of some functional is put in the corres-
pondence to a multiparameter spectral problem. The equivalence of spectral and variational problems is
established. On the basis of gradient procedure, a numerical algorithm of the determination of their
eigenvalues and eigenvectors is offered. The local convergence of the algorithm is proved.
Mnohoparametryçeskoj spektral\noj zadaçe v dejstvytel\nom evklydovom prostranstve sta-
vytsq v sootvetstvye varyacyonnaq zadaça na mynymum nekotoroho funkcyonala. Ustanovlena
πkvyvalentnost\ spektral\noj y varyacyonnoj zadaç. Na osnove hradyentnoj procedur¥ pred-
loΩen çyslenn¥j alhorytm naxoΩdenyq ee sobstvenn¥x znaçenyj y sobstvenn¥x vektorov. Do-
kazana lokal\naq sxodymost\ alhorytma.
1. Vstup. 1V abstraktnij postanovci bahatoparametryçni spektral\ni zadaçi za-
pysugt\sq u vyhlqdi
Ax B xi i
i
m
=
=
∑ λ
1
(1)
abo
A x B xk k i ki k
i
m
=
=
∑ λ
1
, k = 1, 2, … , m, (2)
de λi R∈ 1
, i = 1, 2, … , m, — spektral\ni parametry, a A , Bi , Ak , Bki , k, i =
= 1, 2, … , m, — deqki linijni operatory, wo digt\ u hil\bertovyx prostorax, i [
uzahal\nennqm klasyçno] odnoparametryçno] zadaçi Ax x= λ .
Taki zadaçi vynykagt\ u bahat\ox oblastqx analizu j matematyçno] fizyky,
zokrema pry rozv’qzuvanni krajovyx zadaç dlq dyferencial\nyx rivnqn\ z ças-
tynnymy poxidnymy metodom vidokremlennq zminnyx.
Klasyçnyj pryklad — zadaça pro vyznaçennq kolyvan\ membrany z zakriple-
nym kra[m. U najprostißomu vypadku prqmokutno] membrany vidokremlennq
zminnyx u dekartovij systemi koordynat pryvodyt\ do dvox odnoparametryçnyx
zadaç Íturma – Liuvillq, wo rozdileni qk vidnosno nezaleΩnyx zminnyx, tak i
vidnosno spektral\nyx parametriv [1]. Dlq kruhlo] membrany, vidokremlggçy
zminni u polqrnij systemi koordynat, otrymu[mo dvoparametryçnu zadaçu, v qkij
odne rivnqnnq [ radial\nym, wo mistyt\ dva parametry, a inße — kutovym, wo
mistyt\ odyn parametr. U c\omu vypadku dvoparametryçnist\ zadaçi u deqkomu
rozuminni oslablena i pry rozv’qzuvanni lehko usuva[t\sq. Dijsno, beruçy do
uvahy periodyçnist\ rozv’qzku kutovoho rivnqnnq, vyznaça[mo znaçennq para-
metra, qkyj vxodyt\ u ce rivnqnnq, i pidstavlq[mo znajdeni znaçennq u radial\ne
rivnqnnq. V rezul\tati otrymu[mo odnoparametryçni zadaçi, rozv’qzok qkyx
pryvodyt\ do riznyx funkcij Besselq.
Netryvial\na dvoparametryçna zadaça vynyka[ pry vidokremlenni zminnyx u
eliptyçnyx koordynatax pry eliptyçnij formi membrany [2] . Vona sklada[t\sq
z dvox rivnqn\ Mat\[, koΩne z qkyx mistyt\ dva parametry λ i µ :
′′ + − =u u1 12 0( ) ( ) ( )ξ λ ξ µ ξch ,
(3)
′′ − − =u u2 22 0( ) ( ) ( )η λ η µ ηcos ,
de ξ ∈[ ]0, Γ , Γ vyznaça[t\sq rozmiramy membrany, η π∈[ ]0 2, .
© B. M. PODLEVS|KYJ, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1247
1248 B. M. PODLEVS|KYJ
MoΩna navesty inßi zadaçi, rozv’qzuvannq qkyx pryvodyt\ do neobxidnosti
doslidΩuvaty zv’qzani systemy rivnqn\ dlq zvyçajnyx linijnyx dyferencial\-
nyx rivnqn\ vyhlqdu (3), qki mistqt\ dva, try i bil\ße parametriv.
Dvoparametryçna spektral\na zadaça dlq systemy (3) [ çastkovym vypadkom
bil\ß zahal\no] n-parametryçno] zadaçi (dyv., napryklad, [3 – 7] )
d y x
dx
q x p x y xi i
i
i i i ij i i i
j
n2
2
1
0
( )
( ) ( ) ( )+ + =
=
∑ λ , (4)
y a y ai i i i i i( ) cos ( ) sinα α− ′ = 0 ,
i = 1, … , n, (5)
y b yi i i i i i( ) cos ( ) sinβ β β− ′ = 0 ,
de x a bi i i∈[ ], , i = 1, … , n, p xij i( ) , q xi i( ) , i, j = 1, … , n, — vidomi neperervni
dijsnoznaçni funkci] na a bi i,[ ] , α πi ∈[ )0, , β πi ∈ ( ]0, , i = 1, … , n, — fik-
sovani çysla. Pry c\omu u bil\ßosti doslidΩen\ prypuska[t\sq, wo ∆ ( )x ≡
≡ det ( )
,
p xij i i j
n
= 1
> 0 pry x x x Kn n= … ∈( , , )1 ≡ ⊕ [ ]
=i
n
i ia b
1
, .
Vektor λ λ λ= … ∈( , , )1 n
nR nazyva[t\sq vlasnym znaçennqm zadaçi (4), (5),
qkwo isnugt\ netryvial\ni rozv’qzky y xi i( , )λ koΩnoho z rivnqn\ (4), wo za-
dovol\nqgt\ hranyçni umovy (5).
U 60-x rokax mynuloho stolittq v osnovnomu u zv’qzku z robotamy F.1V.1At-
kinsona [4, 5] poçavsq novyj etap u rozvytku bahatoparametryçnyx spektral\nyx
zadaç. Intensyvni doslidΩennq provodylys\ qk dlq zadaç vyhlqdu (4), (5), tak i
dlq linijnyx bahatoparametryçnyx zadaç v abstraktnij postanovci (2).
Na danyj ças [ we bahato vidkrytyx pytan\, pov’qzanyx z ci[g problemog,
takyx, napryklad, qk isnuvannq ta kratnist\ rozv’qzkiv, a takoΩ rozrobka efek-
tyvnyx çysel\nyx metodiv dlq rozv’qzuvannq aktual\nyx problem dlq dyferen-
cial\nyx ta intehral\nyx rivnqn\.
Ohlqd vidomyx teoretyçnyx rezul\tativ i najbil\ß povnyj spysok literatu-
ry navedeno v robotax [5, 6]. U roboti [8] opysano zastosuvannq bahat\ox stan-
dartnyx metodiv, pryznaçenyx dlq çysel\noho rozv’qzuvannq dyferencial\nyx
rivnqn\, do rozv’qzuvannq dvoparametryçno] zadaçi na vlasni znaçennq. U c\omu
naprqmku dlq bahatoparametryçno] spektral\no] zadaçi vidmitymo takoΩ ro-
boty [9, 10].
VaΩlyvog osoblyvistg rozhlqnutyx zadaç [ te, wo çyslo spektral\nyx
parametriv u nyx zbiha[t\sq z çyslom rivnqn\ u systemax. Ce zabezpeçu[ deqku
„pravyl\nist\” postanovky zadaçi, da[ moΩlyvist\ dobytysq dyskretnosti
spektra. Odnak na praktyci vynykagt\ krajovi bahatoparametryçni zadaçi i dlq
odnoho rivnqnnq vyhlqdu (1) (dyv., napryklad, [11, 12] ). Tak, zadaça, u qkij
odnoridnyj vertykal\nyj stryΩen\ pidda[t\sq vplyvu vertykal\noho navanta-
Ωennq, pryvodyt\ do spektral\no] zadaçi, qka opysu[t\sq dyferencial\nym riv-
nqnnqm çetvertoho porqdku
d y
dx
d y
dx
y
4
4
2
22 0+ − =λ µ (6)
z vidpovidnymy krajovymy umovamy.
Dlq rozv’qzuvannq rivnqnnq (6) vyda[t\sq docil\nym zaminyty dyferenci-
al\ne rivnqnnq skinçenno-riznycevog aproksymaci[g i otrymaty matryçnu za-
daçu
Ay B y B y= +λ µ1 2 . (7)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
VARIACIJNYJ PIDXID DO ROZV’QZUVANNQ LINIJNYX … 1249
Rivnqnnq (7) — special\nyj (çastkovyj) vypadok uzahal\nenoho klasu zadaç (1),
qki budut\ rozhlqdatysq dali.
ZauvaΩymo, wo problema pobudovy çysel\nyx metodiv rozv’qzuvannq bahato-
parametryçno] spektral\no] zadaçi, qk i klasyçno] zadaçi na vlasni znaçennq,
rozbyva[t\sq na dvi: nasampered potribno zvesty neskinçennovymirnu zadaçu do
skinçennovymirno], a potim pobuduvaty metod rozv’qzuvannq otrymano] alheb-
ra]çno] zadaçi na vlasni znaçennq. U cij roboti rozhlqda[t\sq til\ky druhyj
etap.
2. Postanovka zadaçi. Uzahal\neni vlasne znaçennq ta vlasnyj vektor
linijno] bahatoparametryçno] spektral\no] zadaçi. Nexaj H En= — dijs-
nyj evklidiv prostir zi skalqrnym dobutkom ( , )⋅ ⋅ ta normog ⋅ vidpovidno, a
A, B H Hi : → , i = 1, 2, … , m, — kvadratni matryci rozmirnosti n n× . Baha-
toparametryçna linijna zadaça na vlasni znaçennq polqha[ u znaxodΩenni ta-
koho naboru spektral\nyx parametriv λ λ λ= …{ } ∈1, , m
mR , pry qkomu isnu[
netryvial\nyj rozv’qzok x ≠ 0 rivnqnnq (1).
Takyj nabir spektral\nyx parametriv λ nazvemo uzahal\nenym vlasnym zna-
çennqm abo vlasnym naborom, a rozv’qzok x — uzahal\nenym vlasnym vektorom
zadaçi (1). MnoΩyna usix takyx naboriv λ λ λ= …{ }1, , m u m -vymirnomu vek-
tornomu prostori Rm
nazyva[t\sq „vlasnog poverxneg”, a dlq m = 2 — vlas-
nog kryvog. Dlq m = 1 otrymu[mo klasyçnu zadaçu na vlasni znaçennq vy-
hlqdu
Ax B x= λ 1 .
ZauvaΩymo, wo dvoparametryçnu zadaçu (7) moΩna podaty u vyhlqdi
( )A B x B x− =µ λ2 1 . (8)
Todi dlq riznyx znaçen\ µ moΩe ne isnuvaty rozv’qzku λ . Ale qkwo B1
1−
is-
nu[, to dlq bud\-qkoho µ otrymu[mo standartnu zadaçu B A B x x1
1
2
− − =( )µ λ i
isnu[ rozv’qzok λ (moΩlyvo kompleksnyj). Qkwo A, B1 , B2 budut\ matrycqmy
neparnoho porqdku, to isnu[ dijsnyj rozv’qzok λ µ1( ) dlq bud\-qkoho µ . Qkwo
Ω A, B 1
, B2 symetryçni i B 1 dodatno oznaçena, to vsi rozv’qzky [ dijsnymy. V
ostannix dvox vypadkax moΩlyvyj kontynuum rozv’qzkiv, qki parametryzugt\sq
çerez µ .
OtΩe, u deqkyx praktyçnyx problemax, de vynyka[ zadaça (7) i isnu[ konty-
nuum rozv’qzkiv, ]] moΩna zvodyty do poslidovnoho rozv’qzuvannq (8), zadagçy
znaçennq µ .
U vypadku, koly rivnqnnq (7) ma[ skinçenne çyslo vlasnyx znaçen\, çysel\ne
rozv’qzuvannq rivnqnnq (7) sposobom, koly nada[t\sq znaçennq µ i rozv’qzu[t\-
sq odnoparametryçna zadaça (8), ne moΩete buty efektyvnym. Zamist\ c\oho,
beruçy ( , )λ µ qk vektor, docil\no vykonuvaty iteraci] za oboma zminnymy odno-
çasno. Dali bude zaproponovano i ob©runtovano takyj metod.
3. Vlasni vektory qk toçky minimumu. Porqd z zadaçeg (1) rozhlqnemo za-
daçu znaxodΩennq takoho naboru parametriv λ λ λ( ) ( ), , ( )x x xm= …{ }1 i takyx
vektoriv x, na qkyx funkcional
F x Ax x B x x Hi i
i
m
( ) ( ) \= − ∀ ∈ { }
=
∑1
2
0
1
2
λ (9)
nabuva[ minimal\noho znaçennq, tobto
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1250 B. M. PODLEVS|KYJ
F x
x U
( ) min→
∈
, x U H En∈ ⊂ = , (10)
de U — deqka opukla mnoΩyna.
Dovedemo ekvivalentnist\ zadaç (1) ta (10).
Nexaj T xλ = Ax x B xi ii
m−
=∑ λ ( )
1
, tak wo F x( ) =
1
2
2T xλ . Rozhlqnemo
pryrist funkcionala F x h( )+ – F x( ) dlq dovil\nyx x, x + h ∈ U, de U — de-
qka opukla mnoΩyna z H. Pislq neskladnyx peretvoren\ otrymu[mo
F x h( )+ – F x( ) = T x T h d x h B xi i
i
m
λ λ λ, ( , )−
=
∑
1
+
+
1
2
2 2
1
( , ) ( , ) ,T h T h d x h B x T h Ti i
i
m
λ λ λ λλ−
−
=
∑ xx d x h B hi i
i
m
, ( , )λ
=
∑
1
+
+ d x h B x d x h B xi i i i
i
m
i
m
λ λ( , ) , ( , )
==
∑∑
11
+ ( )o h 2 . (11)
OtΩe, dyferencial vid F x( ) zapyßemo u vyhlqdi
dF x h T x T h d x h B xi i
i
m
( , ) , ( , )= −
=
∑λ λ λ
1
=
= ( , ) , ( , )T x T h T x d x h B xi i
i
m
λ λ λ λ−
=
∑
1
. (12)
Druhyj dodanok u (12) budemo rozhlqdaty qk systemu linijnyx alhebra]çnyx riv-
nqn\ vidnosno λ
( , ) ( ) ( )B x T x x x xi i ij j
j
m
λ α β λ= − =
=
∑ 0
1
(13)
dlq vyznaçennq λ λ( )x i i
m= { } =col 1 dlq bud\-qkoho znaçennq vektora x . Tobto
β λ α( ) ( ) ( )x x x⋅ = , (14)
de
β β( ) , ,
x i j i j
m
= { } =
matr
1
, β β βi j j ix x, ( , )= , i, j = 1, … , m,
α α( )x i i
m= { } =col 1 , αi ix Ax B x( ) ( , )= , i = 1, … , m.
Zvidsy vyplyva[
dF x h T x T h( , ) ( , )= λ λ , (15)
a tomu dlq hradi[nta funkcionala (9) otrymu[mo zobraΩennq
grad F x F x T T x( ) ( )≡ ∇ = ∗
λ λ . (16)
OtΩe,
∇( ) =F x x F x( ), ( )2 ,
tak wo spravdΩu[t\sq take tverdΩennq.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
VARIACIJNYJ PIDXID DO ROZV’QZUVANNQ LINIJNYX … 1251
Lema 1. Nexaj λ( )x = λ λ1( ), , ( )x xm…{ } — rozv’qzok systemy rivnqn\1(14).
Todi koΩnyj vlasnyj vektor zadaçi (1) [ stacionarnog toçkog funkcionala (9)
i, navpaky, koΩna stacionarna toçka funkcionala (9) [ vlasnym vektorom
zadaçi (1).
Komponenty vektora λ λ( )x i i
m= { } =col 1 , qkyj [ rozv’qzkom systemy (14),
moΩna rozhlqdaty qk uzahal\nennq vidnoßennq Releq, oskil\ky dlq m = 1 ot-
rymu[mo klasyçne vidnoßennq Releq.
Dali vvaΩa[mo, wo dlq koΩnoho vlasnoho vektora x zadaçi vektory B x1 ,
B x B xm2 , ,… [ linijno nezaleΩnymy, i dovedemo take tverdΩennq.
Lema 2. Funkcional (9) [ dviçi neperervno dyferencijovnym na deqkij mno-
Ωyni U N⊃ λ .
Dovedennq. Zhidno z oznaçennqm (dyv., napryklad, [13, s. 88]) iz formuly
(11) dlq druhoho dyferenciala funkcionala (9) otrymu[mo zobraΩennq
d F x h F x h h2 ( , ) ( ) ,≡ ′′( ) =
= T h d x h B x T x d x h B hi i
i
m
i i
i
m
λ λλ λ− −
= =
∑ ∑( , ) , ( , )
1
2
1
2
, (17)
de
d x h T h B x T x B hi ij j j
j
m
λ γ λ λ( , ) ( , ) ( , )= +
=
∑
1
, 1 ≤ i ≤ m, (18)
a γ ij , i, j = 1, … , m, — elementy oberneno] matryci β−1( )x systemy (14), tobto
β γ− = { }1( )
,
x ij i j
m
matr .
ZauvaΩymo, wo β−1( )x isnu[, oskil\ky β( )x [ neosoblyvog matryceg Hrama
vektoriv B x B x B xm1 2, , ,…{ } .
Teper pokaΩemo spravedlyvist\ zobraΩennq (18). Z (14) ma[mo
d x h x d x h d x h xλ β α β λ( , ) ( ) ( , ) ( , ) ( )= −[ ]−1
. (19)
Ne zmenßugçy zahal\nosti, rozhlqnemo vypadok m = 2, todi (19) nabere vy-
hlqdu
d x h
d x h
dλ
λ
γ γ
γ γ
α1
2
11 12
21 22
( , )
( , )
=
11
2
11 12
2
( , )
( , )
( , ) ( , )x h
d x h
d x h d x h
dα
β β
β
−
11 22
1
2( , ) ( , )
( )
( )x h d x h
x
xβ
λ
λ
,
tobto
d x h
d x h
dλ
λ
γ γ
γ γ
α1
2
11 12
21 22
( , )
( , )
=
11 1 11 2 12
2
( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )
( ,
x h x d x h x d x h
d x
− −λ β λ β
α hh x d x h x d x h) ( ) ( , ) ( ) ( , )− −
λ β λ β1 21 2 22
.
(20)
Rozhlqnemo perßu komponentu vektora u pravij çastyni (20). Oskil\ky
A x h B x h Ax B x( ), ( ) ( , )+ +( ) −1 1 =
= ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ,Ax B x Ax B h Ah B x Ah B h Ax B x1 1 1 1 1+ + + − )) =
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1252 B. M. PODLEVS|KYJ
= ( , ) ( , )Ah B x Ax B h o h1 1+ + ( ) ,
to
d x h Ah B x Ax B hα1 1 1( , ) ( , ) ( , )= + .
Analohiçno otrymu[mo
d x h B h B x B x B hβ11 1 1 1 1( , ) , ( , )= ( ) + ,
d x h B h B x B x B hβ12 2 1 2 1( , ) , ( , )= ( ) + .
OtΩe, dlq perßo] komponenty vektora u pravij çastyni (20) ma[mo
d x h x d x h x d x hα λ β λ β1 1 11 2 12( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , )− − =
= ( , ) ( , ) ( ) , ( ) ,Ah B x Ax B h x B h B x x B x B1 1 1 1 1 1 1+ − ( ) −λ λ 11h( ) –
– λ λ λ λ2 2 1 2 2 1 1( ) , ( ) , ( , ) (x B h B x x B x B h T h B x T( ) − ( ) = + xx B h, )1 .
Takym çynom,
d x h x d x h x d x h T hα λ β λ β λ1 1 11 2 12( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (− − = ,, ) ( , )B x T x B h1 1+ λ .
(21)
Analohiçno otrymu[mo zobraΩennq dlq druho] komponenty:
d x h x d x h x d x h T hα λ β λ β λ2 1 21 2 22( , ) ( ) ( , ) ( ) ( , ) (− − = ,, ) ( , )B x T x B h2 2+ λ .
(22)
Pidstavyvßy teper (21) ta (22) u (20), otryma[mo zobraΩennq (18) dlq m = 2.
Dlq dovil\noho m mirkuvannq analohiçni.
Oskil\ky β−1( )x isnu[ i neperervna dlq bud\-qkoho vlasnoho vektora, tobto
dlq x N∈ λ , to, oskil\ky Bi , i = 1, … , m, — obmeΩeni operatory, β−1( )x is-
nu[ dlq vsix x blyz\kyx do vlasnoho vektora, tobto isnu[ taka mnoΩyna U
(U N⊃ λ ), wo β−1( )x isnu[ i [ neperervnog dlq bud\-qkoho x U∈ . Zvidsy
vyplyva[, wo ′′F x( ) [ neperervnog dlq bud\-qkoho x U∈ , tobto funkcio-
nal1(9) [ dviçi neperervno dyferencijovnym za Freße na U.
Lemu dovedeno.
Uzahal\nene vlasne znaçennq λ λ λ= …{ }1, , m nazvemo prostym vlasnym
znaçennqm zadaçi (1), qkwo
R A B Mi i
i
m
−
= { }
=
∑ λ λ
1
0∩ ,
de
M B x R x N A Bi i i i i
i
m
i
m
λ α α λ= ∈ ∈ −
==
∑∑ : ,1
11
.
Tut R T( )λ ta N T( )λ — vidpovidno oblast\ znaçen\ ta vlasnyj pidprostir ope-
ratora Tλ .
Lema 3. Nexaj λ λ λ= …{ }1, , m — proste uzahal\nene vlasne znaçennq i
h N∈ ⊥
λ , x N∈ λ . Todi isnu[ konstanta c taka, wo
′′( ) ≥F x h h c h( ) , 2
, (23)
tobto funkcional (9) [ syl\noopuklym.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
VARIACIJNYJ PIDXID DO ROZV’QZUVANNQ LINIJNYX … 1253
Dovedennq. Oskil\ky x N∈ λ , to vyraz (17) dlq druhoho dyferenciala
funkcionala (9) z uraxuvannqm (18) nabere vyhlqdu
d F x h F x h h T h T h B x B xij j i
j
2
1
( , ) ( ) , ( , )≡ ′′( ) = −
=
λ λγ
mm
i
m
∑∑
= 1
2
≥
≥ T h P T h P T h P T hM M Mλ λ λ λλ λ λ
− = − = ⊥
2 2 2
1( ) .
Z ohlqdu na te, wo R T M( )λ λ∩ = { }0 , isnu[ c1 > 0 take, wo
P T h c T hM λ
λ λ⊥ ≥
2
1
2
,
a oskil\ky h N∈ ⊥
λ , to isnu[ c2 > 0 take, wo
T h c hλ
2
2
2≥ .
OtΩe,
′′( ) ≥F x h h c h( ) , 2
,
tobto funkcional F x( ) na mnoΩyni Nλ [ syl\noopuklym.
Lemu dovedeno.
Teper na osnovi lem 1 ta 3 spravdΩu[t\sq take tverdΩennq.
Teorema 1. Nexaj λ( )x = λ λ λ= …{ }1( ), , ( )x xm — rozv’qzok systemy
rivnqn\ (14). Todi koΩnyj vlasnyj vektor zadaçi (1) [ toçkog minimumu funk-
cionala (9) i, navpaky, koΩna toçka minimumu funkcionala (9) [ vlasnym vek-
torom zadaçi (1).
Dovedennq. Z lemy 1 vyplyva[, wo koΩnyj vlasnyj vektor zadaçi (1) [ sta-
cionarnog toçkog funkcionala (9) i navpaky. PokaΩemo teper, wo stacionarna
toçka [ minimumom funkcionala (9). Dijsno, nexaj λ λ λ∗ ∗ ∗= …{ }1, , n ta x∗
—
vlasnyj nabir ta vlasnyj vektor zadaçi (1). Todi T xλ∗ ∗ = 0 i z formuly skin-
çennyx pryrostiv dlq F x( )
F x h F x F x h F x h h h( ) ( ) ( ), ( ) , (∗ ∗ ∗ ∗+ − = ∇( ) + ′′( ) +
1
2
α ,, )x ,
de α( , )/h x h 2 → 0 pry h → 0 , vraxovugçy rivnist\ ∇ =∗F x( ) 0 (lema 1)
ta nerivnist\ (23) (lema 3), otrymu[mo F x h F x( ) ( )∗ ∗+ − ≥ 0 , tobto
F x h F x( ) ( )∗ ∗+ ≥ .
Ce oznaça[, wo x∗
[ toçkog minimumu funkcionala F x( ) .
Teoremu dovedeno.
Takym çynom, rozv’qzuvannq zadaçi (1) ekvivalentne znaxodΩenng stacionar-
nyx toçok funkcionala (9), qki [ joho toçkamy minimumu.
4. Çysel\nyj alhorytm. OderΩanyj rezul\tat dozvolq[ pobuduvaty hra-
di[ntnu proceduru qk metod çysel\noho rozv’qzuvannq zadaçi (1), koly pry fik-
sovanomu znaçenni vektora xk vidpovidne znaçennq λ λk
kx= ( ) ßuka[t\sq qk
rozv’qzok systemy (14), a nastupne nablyΩennq do vlasnoho vektora — u vy-
hlqdi
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1254 B. M. PODLEVS|KYJ
x x F xk k k k+ = − ∇1 γ ( ) , k = 0, 1, 2,1… . (24)
Tut konstanta γ γk kx≡ ( ) na koΩnomu kroci vyznaça[t\sq z umovy minimumu
funkcionala (9) u naprqmku (24). Takym çynom, z neobxidno] umovy minimumu
funkcionala
∂
∂
=
F
γ
0 znaxodymo
γ
λ λ
( )
( ), ( )
( ), ( )
x
F x F x
T F x T F x
F
k
k k
k k
=
∇ ∇( )
∇ ∇( ) =
∇ (( )
( )
x
T F x
k
k
2
2
λ ∇
.
OtΩe, iteracijnyj proces realizu[t\sq za dopomohog formul
y x x F xk k k k+ = − ∇1 γ ( ) ( ) , k = 0, 1, 2,1… , (25)
x
y
y
k
k
k
+
+
+
=1
1
1
, (26)
γ λ( )
( )
( )
, ( ) ,
,
x
F x
T F x
F x
k
k
k
k
=
∇
∇
∇ ≠
∇
2
2 0
0
qkwo
qkwo FF xk( ) ,=
0
(27)
tobto rozv’qzok ßuka[t\sq u klasi normovanyx vektoriv.
Pry vybori poçatkovoho nablyΩennq, v pevnomu sensi blyz\koho do vlasnoho
vektora, iteracijnyj proces (25) – (27) zbiha[t\sq do stacionarnyx toçok funk-
cionala (9), v qkyx dosqha[t\sq joho minimum, tobto do vlasnoho vektora x∗
za-
daçi (1), a vlasne znaçennq λ( )x znaxodyt\sq odnoznaçno iz spivvidnoßen-
nq1(14).
U vypadku prostoho uzahal\nenoho vlasnoho znaçennq zadaçi (1) dlq navede-
noho vywe iteracijnoho procesu spravdΩu[t\sq taka teorema.
Teorema 2. Nexaj λ λ λ= …{ }1, , m — proste uzahal\nene vlasne znaçennq
i Nλ — joho vlasnyj pidprostir. Todi dlq poslidovnosti xk{ } , otrymano]
za dopomohog spivvidnoßen\ (25) – (27), pry bud\-qkomu poçatkovomu nablyΩen-
ni x0 z deqkoho okolu U vlasnoho pidprostoru Nλ , n a qkomu
vektory B x B xm1 , ,… [ linijno nezaleΩnymy, a funkcional (9) [
syl\noopuklym,
lim ( , ) lim ( , )
k
k
k
kx N x x
→ ∞ → ∞
∗= =ρ ρλ 0 .
Dovedennq. Za lemog 2 ′′F x( ) [ neperervnog po x na U, a otΩe, ′′F x( )
[ obmeΩenog na U, tobto isnu[ L > 0 take, wo
′′ ≤ ∀ ∈F x h L h x U( ) .
Z c\oho, zokrema, vyplyva[, wo hradi[nt funkcionala F x( ) zadovol\nq[ umovu
Lipßycq
′ − ′ ≤ − ∀ ∈F x F y L x y x y U( ) ( ) , ,
a takoΩ spravdΩu[t\sq nerivnist\
F x F y F y x y L x y( ) ( ) ( ), /− − ′ −( ) ≤ − 2 2 . (28)
Dali, qkwo dlq deqkoho k ≥ 0 ∇ =F xk( ) 0 , to iz spivvidnoßen\ (25) – (27)
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
VARIACIJNYJ PIDXID DO ROZV’QZUVANNQ LINIJNYX … 1255
formal\no otrymu[mo
x xk k= = …+ 1 ,
i tverdΩennq teoremy spravdΩu[t\sq. Tomu prypustymo, wo ∇ ≠F xk( ) 0 dlq
k = 0, 1, … . Oskil\ky
F x F x F x F x F xk k k k k k( ) ( ) inf ( )+ ≥
= − ′( ) = − ′( )(1
0
γ γ
γ
)) ≤ − ′( )F x F xk kγ ( )
dlq bud\-qkoho γ ≥ 0, to
F x F x F x F x F xk k k k k( ) ( ) ( ) ( )− ≥ − − ′( )+ 1 γ .
Teper, vraxovugçy nerivnist\ (28) dlq y xk= , x x x F xk k k= = − ′+ 1 γ ( ) , ma[mo
F x F x L F xk k k( ) ( ) / ( )− ≥ −( ) ′+ 1
21 2γ γ
dlq bud\-qkoho γ, k = 0, 1, … . OtΩe,
F x F x L F x
L
Fk k k( ) ( ) max ( / ) ( )− ≥ −( ) ⋅ ′ = ′+ 1
21 2
1
2γ
γ γ (( )xk
2
,
zvidky oderΩu[mo
F x F x
F x
L
k k
k( ) ( )
( )
+ ≤ −
′
1
2
2
,
tobto
F x F xk k( ) ( )+ ≤1 . (29)
Pidsumovugçy nerivnosti (29) po k vid 0 do n – 1, otrymu[mo
F x F xn( ) ( )≤ 0 , n = 1, 2, … ,
tobto poslidovnist\ xk{ } naleΩyt\ mnoΩyni Lebeha
M x x U F x F x( ) : ( ) ( )0 0= ∈ ≤{ } ,
qka, z ohlqdu na syl\nu opuklist\ funkcionala F x( ) , [ obmeΩenog, a mnoΩyna
toçok minimumu funkcionala F x( ) [ ne poroΩn\og i sklada[t\sq z [dyno] toç-
ky x∗
, do qko] zbiha[t\sq poslidovnist\ xk{ } , otrymana za dopomohog spivvid-
noßen\ (25) – (27) pry poçatkovomu nablyΩenni x U0 ∈ (dyv. teoremu 1 v [13,
s. 186] ).
Teoremu dovedeno.
Zaproponovanyj alhorytm testuvavsq na prykladax dvoparametryçnyx mat-
ryçnyx zadaç [14]. Obçyslennq provodylysq do dosqhnennq toçnosti (napryk-
lad, ε = −10 6
) za vektorom. Sposterihalasq ßvydka zbiΩnist\ poslidovnosti do
vlasnyx vektoriv dlq riznyx poçatkovyx nablyΩen\ (navit\ dosyt\ dalekyx vid
vlasnyx vektoriv).
U zaproponovanomu alhorytmi konstanta γ γk kx≡ ( ) na koΩnomu kroci vy-
znaça[t\sq z umovy minimumu funkcionala u naprqmku hradi[nta. MoΩlyvi inßi
sposoby vyboru velyçyny kroku γ k , oskil\ky spivvidnoßennqmy typu (24)
x x pk k k k+ = −1 γ , k = 0, 1, … , (30)
zada[t\sq klas metodiv, qki vidriznqgt\sq vyborom naprqmku spusku pk ta ve-
lyçynog kroku γ k .
U roboti [15, s. 253] zaznaçeno, wo u vypadku, koly deqkyj funkcional
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1256 B. M. PODLEVS|KYJ
g x R Rn( ) : → 1
zadovol\nq[ umovu g x( ) ≥ 0 dlq vsix x Rn∈ , velyçynu γ k
moΩna obçyslgvaty za dopomohog odnoho kroku za N\gtonom dlq skalqrnoho
rivnqnnq g x pk k k( )− =γ 0 , tobto
γ k k k kg x g x p= ′( )/ ( ) .
Pry p g xk k
T= ∇ ( ) iteracijnyj proces (30) nabyra[ vyhlqdu
x x g x g x g xk k k k k
T
+ = − ∇
∇1
2( ) ( ) ( ) , k = 0, 1, … .
Ce pryvodyt\ do hradi[ntnoho metodu, qkyj doslidΩuvavsq, zokrema, u robotax
[16, 17].
1. Vladymyrov V. S. Uravnenyq matematyçeskoj fyzyky. – 5-e yzd. – M.: Nauka, 1988. – 512 s.
2. Kurant R., Hyl\bert D. Metod¥ matematyçeskoj fyzyky. – M.; L.: Hostexteoryzdat, 1951.
– T.11. – 476 s.
3. Atkinson F. V. Multiparameter spectral theory // Bull. Amer. Math. Soc. – 1968. – 74, # 1. – P. 1 –
27.
4. Atkinson F. V. Multiparameter eigenvalue problems. – New York; London: Acad. Press, 1972. –
1. – 220 p.
5. Sleeman B. D. Multiparameter spectral theory in Hilbert space. – London etc.: Pitman Press,
1978. – 128 p.
6. Volkmer H. Multiparameter eigenvalue problems and expansion theorem // Lect. Notes Math. –
1988. – 1336. – 157 p.
7. Kalengk P. Y. Mnohoparametryçeskye spektral\n¥e zadaçy, voznykagwye pry posledova-
tel\nom y obobwennom razdelenyy peremenn¥x // Vestn. L\vov. polytex. yn-ta. – 1989. –
#1232. – S. 69 – 71.
8. Fox L., Hayes L., Mayers D. F. The double eigenvalue problem. Topics in numerical analysis //
Proc. Irish Acad. Conf. Numer. Anal. – 1972. – P. 93 – 112.
9. Abramov A. A., Ul\qnova V. Y. Odyn metod reßenyq samosoprqΩenn¥x mnohoparametryçes-
kyx spektral\n¥x zadaç dlq slabo svqzann¥x system ob¥knovenn¥x dyfferencyal\n¥x
uravnenyj // Ûurn. v¥çyslyt. matematyky y mat. fyzyky. – 1997. – 37, # 5. – S. 566 – 571.
10. Abramov A. A., Ul\qnova V. Y., Gxno L. F. Metod reßenyq mnohoparametryçeskoj spekt-
ral\noj zadaçy dlq nekotor¥x system dyfferencyal\n¥x uravnenyj // Tam Ωe. – 2000. –
40, # 1. – S. 21 – 29.
11. Collatz L. Multiparametric eigenvalue problems in inner-product spaces // J. Comput. and Syst.
Sci. – 1968. – 2, # 4. – P. 333 – 341.
12. Hadeler K. P. Einige Anwendungen mehrparametriger Eigenweraufgaben // Numer. Math. – 1969.
– 13. – S. 285 – 292.
13. Vasyl\ev F. P. Çyslenn¥e metod¥ reßenyq πkstremal\n¥x zadaç. – M.: Nauka, 1980. –
5201s.
14. Podlevs\kyj B. M. Variacijnyj pidxid do rozv’qzuvannq dvoparametryçnyx zadaç na vlasni
znaçennq // Mat. metody ta fiz.-mex. polq. – 2005. – 48, # 1. – S. 31 – 35.
15. Orteha DΩ., Rejnboldt V. Yteracyonn¥e metod¥ reßenyq nelynejn¥x system uravnenyj
so mnohymy neyzvestn¥my. – M.: Myr, 1975. – 558 s.
16. Altman M. Connection between gradient methods and Newton’s method for functionals // Bull.
Acad. pol.sci. – 1961. – 9. – P. 745 – 750.
17. Blum E.K., Curtis A. R. A convergent gradient method for matrix eigenvector-eigentuple problems
// Numer. Math. – 1978. – 31, # 3. – P. 247 – 263.
OderΩano 27.03.08,
pislq doopracgvannq — 28.05.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3096 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:10Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/99/62c93a5aa6db5252802a541f59b14399.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-30962020-03-18T19:45:12Z Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems Варіаційний підхід до розв'язування лінійних багатопараметричних задач на власні значення Podlevs’kyi, B. M. Подлевський, Б. M. We associate a multiparameter spectral problem in a real Euclidean space with a variational problem of finding a minimum of a certain functional. We establish the equivalence of the spectralproblem and the variational problem. On the basis of the gradient procedure, we propose a numerical algorithm for the determination of its eigenvalues and eigenvectors. The local convergence of the algorithm is proved. Многопараметрической спектральной задаче в действительном евклидовом пространстве ставится в соответствие вариационная задача на минимум некоторого функционала. Установлена эквивалентность спектральной и вариационной задач. На основе градиентной процедуры предложен численный алгоритм нахождения ее собственных значений и собственных векторов. Доказана локальная сходимость алгоритма. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3096 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1247-1256 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1247-1256 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3096/2940 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3096/2941 Copyright (c) 2009 Podlevs’kyi B. M. |
| spellingShingle | Podlevs’kyi, B. M. Подлевський, Б. M. Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| title | Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| title_alt | Варіаційний підхід до розв'язування лінійних багатопараметричних задач на власні значення |
| title_full | Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| title_fullStr | Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| title_full_unstemmed | Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| title_short | Variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| title_sort | variational approach to the solution of linear multiparameter eigenvalue problems |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3096 |
| work_keys_str_mv | AT podlevskyibm variationalapproachtothesolutionoflinearmultiparametereigenvalueproblems AT podlevsʹkijbm variationalapproachtothesolutionoflinearmultiparametereigenvalueproblems AT podlevskyibm varíacíjnijpídhíddorozv039âzuvannâlíníjnihbagatoparametričnihzadačnavlasníznačennâ AT podlevsʹkijbm varíacíjnijpídhíddorozv039âzuvannâlíníjnihbagatoparametričnihzadačnavlasníznačennâ |