Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$

We establish necessary and sufficient conditions for a one-branch singularity of the type $W$ of a plane algebraic curve to have at most two-parameter families of ideals.

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автори:	Skuratovskii, R. V., Скуратовський, Р. В.
Формат:	Стаття
Мова:	Українська Англійська
Опубліковано:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009
Онлайн доступ:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3097
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Репозитарії

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509128328216576
author	Skuratovskii, R. V. Скуратовський, Р. В.
author_facet	Skuratovskii, R. V. Скуратовський, Р. В.
author_sort	Skuratovskii, R. V.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:45:12Z
description	We establish necessary and sufficient conditions for a one-branch singularity of the type $W$ of a plane algebraic curve to have at most two-parameter families of ideals.
first_indexed	2026-03-24T02:36:11Z
format	Article
fulltext	УДК 512.715, 512.772.1 Р. В. Скуратовський (Київ. нац. ун-т iм. Т. Шевченка) IДЕАЛИ ОДНОГIЛКОВИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ КРИВИХ ТИПУ W We establish necessary and sufficient conditions for the fact that a one-branched singularity of type W of a plane algebraic curve has as maximum two-parametric families of ideals. Установлены необходимые и достаточные условия того, что особенность типа W плоской алгебра- ической кривой с одной ветвью имеет как максимум двупараметрические семейства идеалов. 1. Вступ. Вивчення модулiв Коена – Маколея, зокрема iдеалiв комутативних кiлець розмiрностi Крулля 1, є класичним напрямком сучасної алгебри, який бере початок вiд робiт Дедекiнда, а в новий час — з теорiї цiлочислових зображень. Зокрема, в роботах [1, 2] дано критерiй того, що локальне комутативне кiльце R розмiр- ностi Крулля 1 без нiльпотентних елементiв має скiнченну кiлькiсть нерозкладних модулiв Коена – Маколея. Виявилось також, що лише в цьому випадку воно має скiнченну кiлькiсть класiв iдеалiв. У роботi [3] показано, що для особливостей алгебраїчних кривих умови з [2] рiвносильнi тому, що R домiнує над однiєю з простих плоских особливостей у розумiннi Арнольда [4]. У роботi [5] встановлено, що плоска особливiсть має лише однопараметричнi сiм’ї iдеалiв тодi i тiльки тодi, коли вона є строго однопараметричною в розумiннi [6] (рiвносильно, одно- або двопараметричною в розумiннi [4]). Зауважимо, що в цьому випадку будова всiх модулiв Коена – Маколея може бути як завгодно складною, оскiльки бiльшiсть з цих особливостей є дикими [7] (дикими є всi, крiм особливостей типу Tpq). У роботi [8] розглянуто довiльнi одновимiрнi особливостi й встановлено, що такi особливостi мають лише однопараметричнi сiм’ї iдеалiв тодi i лише тодi, коли вони домiнують над однiєю з особливостей, розглянутих Шаппертом. У данiй роботi вивчається питання про те, коли одновимiрна особливiсть має щонайбiльше двопараметричнi сiм’ї iдеалiв. Оскiльки це питання виявилось склад- ним, ми розглядаємо тут лише одногiлковi особливостi (тобто кiльця без дiльникiв нуля) типу W й для них встановлюємо критерiй двопараметричностi iдеалiв. Iншi особливостi буде розглянуто в наступних роботах. 2. Означення i основний результат. Спочатку нагадаємо основнi означення i твердження, необхiднi для подальшого викладу. Означення 1. Одногiлковою особливiстю типу W будемо називати пiдкiльце R ⊆ k[t] таке, що k[\|t\|] є скiнченнопородженим R-модулем, до того ж t4 ∈ R. Таку особливiсть називатимемо плоскою, якщо її розмiрнiсть занурення dim ( m/m2 ) = = 2, де m = radR — максимальний iдеал, тобто m має 2 породжуючi елементи. Далi R позначає якусь особливiсть типу W, m = rad R, S = End(m). Тодi S ⊆ R, до того ж якщо R 6= k[\|t\|], то S 6= R [4]. Нехай l — найменший покажчик, не кратний 4, такий, що R мiстить елемент tl + q(t), де q(t) не мiстить членiв степенiв менших або рiвних l. Вiдомо (див., наприклад, [8]), що коли R — плоска особливiсть, то вона збiгається з однiєю з особливостей типу W6k, або W# 2,2q−1 за класифiкацiєю Арнольда [4] (гл. 11, § 15). c© Р. В. СКУРАТОВСЬКИЙ, 2009 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 1257 1258 Р. В. СКУРАТОВСЬКИЙ Означення 2. Нехай X — деякий (дробовий) S-iдеал. Породжуючим пiд- простором у S/m-модулi V = X/mX називається такий пiдпростiр W, що SW = V. Означення 3. Породжуючi пiдпростори W1, W2 у S-модулi V = X/mX називають еквiвалентними тодi i тiльки тодi, коли iснує обертовий множник λ ∈ E, де E = End(X), такий, що λW1 = W2. Твердження 1. Нехай X — iдеал кiльця S. Тодi iснує взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж класами R-iдеалiв I такими, що SI ' X, i класами еквiвалент- ностi породжуючих пiдпросторiв у S/m-модулi V = X/Xm. Доведення цього твердження наведено, наприклад, у [4]. При цьому iдеалу I вiдповiдає пiдпростiр W = I/mI ⊆ X/mX = V, i навпаки, породжуючому пiд- простору W ⊆ V вiдповiдає iдеал I, який є прообразом W при природнiй проекцiї X → V. Зауважимо також, що оскiльки t4 ∈ R, то завжди 1 ≤ dim X/mX ≤ 4. Для знаходження iдеалiв R ми будуємо ланцюг надкiлець R = K0 ⊂ K1 ⊂ ⊂ K2 ⊂ . . . ⊂ Kn = k[\|t\|], в якому Ki+1 = End(Mi), Mi = radKi. Як було зауважено вище, до тих пiр, поки Ki не є цiлозамкненим, тобто Ki 6= k[\|t\|], обо- в’язково Ki+1 6= Ki. Тодi, застосовуючи твердження 1, отримуємо iдеали кiлець Km−1, Km−2, . . . , K0. Твердження 2. Нехай X — такий iдеал кiльця Kr+1, що dim(X/MrX) = 4. Тодi для довiльного Ks-iдеалу I, s ≤ r, такого, що Ks+1I = X, I є насправдi Kr-iдеалoм. Доведення. Оскiльки завжди dim X/MsX ≤ 4, то MsX = MrX. Тому якщо W — породжуючий пiдпростiр в X/MsX = X/MrX = V (над Ks+1), то вiн є й породжуючим пiдпростором над Kr в X/MrX, отже, його прoобраз (тобто I) є Kr-iдеалом. Ми також будемо використовувати наступне вiдоме твердження [2]. Твердження 3. Якщо dim(S/R) = 1, то будь-який нерозкладний R-модуль без скруту (зокрема, будь-який R-iдеал) або iзоморфний R, або є S-модулем. Сформулюємо основний результат статтi. Нагадаємо, кажуть, що R домiнує над R′, якщо R ⊇ R′. Зрозумiло, що у цьому випадку кожен R-iдеал є R′-iдеалом. Теорема 1. Одногiлкова особливiсть R типу W допускає щонайбiльше дво- параметричнi сiм’ї iдеалiв тодi й лише тодi, коли вона домiнує над особливiстю типу W24, W30, W# 2,2q−1 за класифiкацiєю Арнольда [4], тобто у наведених вище позначеннях, l ≤ 11. Доведення. Необхiднiсть. Якщо кiльце R не домiнує над W24, W# 2,2q−1 або W30, то l ≥ 13, тобто R мiститься в кiльцi K0 = k[[t4, t8, t12, . . .]] (тут крапки по- значають, що всi вищi степенi t належать R). Отже, достатньо побудувати трипа- раметричну сiм’ю для кiльця K0. У цьому випадку K1 = End(M0) = k[[t4, t8, . . .]] i K2 = End(M1) = k[[t4, . . .]]. Розглянемо K2-модуль Aγ = 〈 1, t2 + γt3 〉 + M2. Це надкiльце K2, тому при рiзних γ K2-iдеали Aγ не iзоморфнi (бо EndAγ = Aγ), Aγ/M1Aγ = 〈 1, t2 + + γt3, t5, t7 〉 . Легко перевiрити, що породжуючi пiдпростори Wγβ = 〈 1, t2 + γt3 + + βt7 〉 не еквiвалентнi, тобто визначають не iзоморфнi K1-iдеали Xγβ = 〈 1, t2 + +γt3+βt7, t4, t6+γt7, t8, . . . 〉 . Тодi Xγβ/M0Xγβ = 〈 1, t2+γt3+βt7, t9, t11 〉 i, знов- таки, легко переконатися, що породжуючi пiдпростори Wγβλ = 〈 1, t2 +γt3 +βt7 + ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 IДЕАЛИ ОДНОГIЛКОВИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ КРИВИХ ТИПУ W 1259 + λt11 〉 ⊆ Xγβ/M0Xγβ не еквiвалентнi. Отже, вони визначають трипараметричну сiм’ю iдеалiв. Достатнiсть. Очевидно, досить перевiрити, що кiльця типу W24, W# 2,2q−1, W30 мають лише двопараметричнi сiм’ї iдеалiв. Оскiльки обчислення в усiх випадках подiбнi, наведемо їх лише у „найскладнiшому” випадку W30, тобто l = 11. Це буде зроблено у наступному пунктi. Нехай X — S-iдеал. Виберемо в V = X/mX базу 〈λ1, . . . , λk, β1, . . . , βl〉 так, що V radS = 〈 β1, . . . , βl 〉 = X radS/X radR. Означення 4. Елементи β1, . . . , βl називатимемо вiльними в V, a елементи λ1, . . . , λk− обов’язковими. Очевидно, пiдпростiр W ⊆ V є породжуючим тодi i лише тодi, коли його образ в V/V radS мiстить всi обов’язковi елементи. 3. Iдеали кiлець типу W30. Нехай R — особливiсть типу W30, l = 11. Тодi ланцюг надкiлець Ki, де Ki = End(Mi), Mi = rad(Ki), має вигляд K0 = 〈 1, t4, t8, t11, t12, t15, t16, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, t27, t28, t30, . . . 〉 , K1 = 〈 1, t4, t8, t11, t12, t15, t16, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 , K1 = K0 + 〈 t29 〉 , K2 = 〈 1, t4, t8, t11, t12, t15, t16, t18, t19, t20, t22, . . . 〉 , K2 = K1 + 〈 t18, t25 〉 , K3 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t18, t19, . . . 〉 , K3 = K2 + 〈 t7, t14, t21 〉 , K4 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, . . . 〉 , K4 = K3 + 〈 t17 〉 , K5 = 〈 1, t4, t7, t8, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, . . . 〉 , K5 = K4 + 〈 t10, t13 〉 , K6 = 〈 1, t3, t4, t6, t7, t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, . . . 〉 , K6 = K5 + 〈 t3, t6, t9 〉 , K7 = 〈 1, t3, t4, t5, t6, t7, t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, . . . 〉 , K7 = K6 + 〈 t5 〉 , K8 = 〈 1, t, t2, t3, t4, t5, t6, t7, t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, . . . 〉 , K8 = K7 + 〈 t, t2 〉 . Зауважимо, що якщо Fi = Ki/Ki−1, то 1 ≤ dim Fi ≤ 3 i dim Fi ≡ i(mod 3). За твердженням 3, якщо i ≡ 0(mod 3), то кожен Ki-iдеал, крiм самого Ki, є насправдi Ki+1-iдеалом, зокрема кожен K0-iдеал є або K0-, або K1-iдеалом. Отже, достатньо обчислити K1-iдеали. K8 = k[[t]], тому єдиний K8-iдеал (з точнiстю до iзоморфiзму) — це саме K8. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 1260 Р. В. СКУРАТОВСЬКИЙ Знайдемо K7-iдеали. Маємо K8M7 = M7, K8/M7 = 〈 1, t, t2 〉 = V i тому будь- який пiдпростiр, що мiстить 1, є породжуючим. Тепер легко знайти всi породжуючi пiдпростори W для K8/M7 = V з точнiстю до еквiвалентностi. 1) W = 〈 1 〉 , йому вiдповiдає K7. 2) W = 〈 1, t+γt2 〉 . Легко бачити, що (1−γt)W = 〈 1, t 〉 , отже, всi цi пiдпрос- тори еквiвалентнi. Тому одержуємо єдиний, з точнiстю до iзоморфiзму, K7-iдеал I7,8 1 = 〈1, t〉+ XM7. 3) W = 〈 1, t2 〉 , отримуємо I7,8 2 = 〈 1, t2 〉 + M7. Як було зазначено вище, з 6 ≡ 0(mod 3) випливає, що кожен K6-iдеал, крiм самого K6, є насправдi K7-iдеалом. Знаходимо K5-iдеали. При цьому для K6-iдеалiв iснують 5 можливостей: 1) X = I7,8 2 = 〈 1, t2 〉 + M7. Тодi XM5 = 〈 t4, t6, . . . 〉 , XM6 = 〈 t3, . . . 〉 = M7, X/XM5 = 〈 1, t2, t3, t5 〉 , тому t, t2 — обов’язковi базиснi елементи, а t3, t5 — вiльнi. Породжуючi пiдпростори: 1.1) W = 〈 1, t2 + γt5, t3 + βt5 〉 . Якщо α = 1 − γ(t3 + βt5), то α(t2 + γt5) ≡ ≡ t2 modXM5, α(t3 + βt5) ≡ (t3 + βt5) modXM5. Звiси αW = 〈 1, t2, t3 + βt5 〉 , тобто можна вважати, що γ = 0. У таких випадках будемо говорити, що параметр γ редукується. Тепер для α = 1 − βt2 маємо α(t3 + βt5) ≡ t3 modXM5, отже, β редукується. Таким чином, отримуємо єдиний iдеал I5,7,8 1,2 = 〈 1, t2, t3 〉 + XM5. 1.2) W = 〈 1, t2 + γt3, t5 〉 . Легко переконатися, що рiзним значенням γ вiд- повiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Отже, одержимо однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,7,8 2,2 = 〈 1, t2 + γt3, t5 〉 + XM5. 1.3) W = 〈 1, t2 + γt3 + βt5 〉 . Покладаючи α = 1 − β/γ(t2 + γt3), редукуємо β, бо α(t2 + γt3 + βt5) ≡ (t2 + γt3) modXM5. Пiсля цього легко перевiрити, що пiдпростори з рiзними значеннями γ нееквiвалентнi. Отже, одержимо однопара- метричну сiм’ю iдеалiв I5,7,K8 3,2 = 〈 1, t2 + γt3 〉 + XM5. 2) X = I7,8 1 = 〈1, t〉 + M7. Тодi XM5 = 〈 t4, t5, t7, . . . 〉 , XM6 = 〈 t3, t4, t5, t6, t7, . . . 〉 . Тому X/XM5 = 〈 1, t, t3, t6 〉 , де t — обов’язковий елемент, а t3, t6 — вiльнi елементи. Породжуючi пiдпростори: 2.1) W = 〈 1, t + γt6, t3 + βt6 〉 . Можна перевiрити, що множник α = 1 − γt5 редукує γ, а множник α = 1 − β(t3 + βt6) — β . Отже, отримуємо один iдеал I5,7,K8 1,1 = 〈 1, t, t3 〉 + XM5. 2.2) W = 〈 1, t + γt3, t6 〉 . Можна перевiрити, що γ не редукується, бо t2 /∈ /∈ XM5. Отже, отримуємо однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,7,K8 2,1 = 〈 1, t + γt3, t6 〉 + XM5. 2.3) W = 〈 1, t + γt3 + βt6 〉 . Покладаючи α = 1 − βt5, редукуємо β. Пiсля цього можна переконатися, що рiзним значенням γ вiдповiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Отже, одержуємо однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,7,K8 3,1 = 〈 1, t + + γt3 〉 + XM5. 3) X = K8, тодi XM6 = 〈 t3, t4, t5, t6, . . . 〉 6= XM5 = 〈 t4, t5, t6, . . . 〉 . Звiдси X/XM5 = 〈 1, t, t2, t3 〉 , причому обов’язковими є елементи 1, t, t2. Породжуючi пiдпростори: 3.1) W = 〈 1, t + γt3, t2 + βt3 〉 . Знову легко перевiряється, що параметри β i γ редукуються, а саме, множник α = 1− β(t + γt3) редукує параметр β, а множник α = 1− γt2 — параметр γ. Отже, отримуємо один iдеал I5,K8 1 = 〈 1, t, t2 〉 + XM5. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 IДЕАЛИ ОДНОГIЛКОВИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ КРИВИХ ТИПУ W 1261 Iнших породжуючих пiдпросторiв немає, бо у цьому випадку маємо лише один вiльний елемент. 4) X = K7, тодi XM6 = M6, XM5 = 〈 1, t4, t7, t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, . . . 〉 , звiдки X/XM5 = 〈 1, t3, t5, t6 〉 , 1, t5 — обов’язковi елементи, t3, t6 — вiльнi. Породжуючи пiдпростори: 4.1) W = 〈 1, t5 +γt6, t3 +βt6 〉 . Покладаючи α = 1−β/γ(t5 +γt3), отримуємо, що параметр β редукується, a рiзним значенням γ вiдповiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Отже, одержуємо однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,K7 1 = 〈 1, t5 + + γt6, t3 〉 + XM5. 4.2) W = 〈 1, t5 + γt3, t6 〉 . Можна переконатися, що рiзним значенням γ вiд- повiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Отже, одержуємо однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,K7 2 = 〈 1, t5 + γt3, t6 〉 + XM5. 4.3) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt6 〉 . Можна переконатися, що множник α = 1 − − β/γ(t5 + γt3 + βt6) редукує параметр β, a рiзним значенням γ вiдповiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Тому одержимо однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,K7 3 = 〈 1, t5 + γt3 〉 + XM5. 5) X = K6. Тодi XM6 = M6, XM5 = M5, X/XM5 = 〈 1, t3, t6, t9 〉 , 1 — обов’язковий елемент, а iншi — вiльнi елементи. Породжуючi пiдпростори: 5.1) W = 〈 1, t3 + γt9, t6 + βt9 〉 . Поклавши спочатку α = 1 − γ(t6), а потiм α = 1− βt3, легко перевiрити, що параметри редукуються. Oтже, одержимо один iдеал I5,K6 1 = 〈 1, t3, t6 〉 + XM5. 5.2) W = 〈 1, t3+γt6, t9 〉 . Множник α = 1−γt3 редукує γ. Тому легко перевiри- ти, що параметр редукується. Oтже, одержимо один iдеал I5,K6 2 = 〈 1, t3, t9 〉 +XM5. 5.3) W = 〈 1, t3 +γt6 +βt9 〉 . Множники α = 1−γt3 i α = 1−βt6 редукують па- раметри γ, β. Тому легко перевiрити, що параметри редукуються. Oтже, одержимо один новий iдеал I5,K6 3 = 〈 1, t3 〉 + XM5. 5.4) W = 〈 1, t6 + γt9 〉 . Легко перевiрити, що рiзним значенням γ вiдповiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Отже, отримали нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I5,K6 4 = 〈 1, t6 + γt9 〉 + XM5. 5.5) W = 〈 1, t6, t9 〉 . Iснує один iдеал I5,K6 5 = 〈 1, t6, t9 〉 + XM5. 5.6) W = 〈 1, t9 〉 . Iснує один iдеал I5,K7 6 = 〈 1, t9 〉 + XM5. Шукаємо K4-iдеали. 1) X = I5,K6 4 , тодi XM4 = M5 = XM5, бо t10 = t4t6, t13 = t7t6, тому W = 〈 1, t6 + γt9 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Отже, не отримали нового iдеалу. 2) X = I5,K6 5 , тодi XM4 = M5 = XM5, бо t10 = t4t6, t13 = t7t6, W = = 〈 1, t6, t9 〉 , де всi елементи є обов’язковими, тобто не отримали нового iдеалу. 3) X = I5,K6 6 , XM4 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, . . . 〉 , XM5 = M5, X/XM4 = 〈 1, t9, t10 〉 , де 1, t9 — обов’язковi елементи. Породжу- ючi пiдпростори: 3.1) W = 〈 1, t9 + γt10 〉 . Отримали нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I4,5,K6 1,6 = 〈 1, t9 + γt10 〉 + XM4. 3.2) W = 〈 1, t10 〉 . Отримали новий iдеал I4,5,K6 2,6 = 〈 1, t10 〉 + XM4. 4) X = I5,K6 1 , тодi XM4 = M5 = XM5, W = 〈 1, t3, t6 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Отримали такий же iдеал. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 1262 Р. В. СКУРАТОВСЬКИЙ 5) X = I5,K6 3 , тодi XM4 = 〈 1, t4, t7, t8, t10, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, . . . 〉 = XM5 = M5, X/XM4 = 〈 1, t3, t13 〉 , 1, t3 — обов’язковi елементи. X = I5,K6 3 = 〈 1, t3 + γt13 〉 . Множник α = 1− γt10 редукує параметр γ. Отже, маємо один новий iдеал I4,5,K6 1,3 = 〈 1, t3 〉 + XM4. 6) X = I5,K6 2 = 〈 1, t3, t9 〉 , тодi XM4 = M5 = XM5, тому W = 〈 1, t3, t9 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Отже, не отримуємо нових iдеалiв. Тепер з’ясуємо, що породять знайденi I5,8 3 , I5,8 2 , I5,8 1 в K4-iдеалах. 7) X = I5,K8 3 , тодi XM4 = 〈 t4, t6, . . . 〉 = XM5, X/XM4 = 〈 1, t2, t3, t5 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нового iдеалу не отримуємо. 8) X = I5,K8 2 , XM4 = 〈 t4, t5, t7, . . . 〉 = XM5, X/XM4 = 〈 1, t, t3, t6 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Отже, нового iдеалу не отримуємо. 9) X = I5,K8 1 , тодi XM4 = 〈 t4, t5, t6, t7, . . . 〉 = XM5, тому X/XM4 = 〈 1, t, t2 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нового iдеалу не отримуємо. 10) X = I5,K7 1 , тодi XM4 = 〈 t4, t7, t8, t9, t10, . . . 〉 = XM5 i X/XM4 = 〈 1, t5 + + γt6, t3 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Тому нового iдеалу не отримуємо. 11) X = I5,K7 2 , тодi XM5 = 〈 t4, t7, t8, t9, t10, . . . 〉 = XM4, тому X/XM4 = = 〈 1, t5 + γt3, t6 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нового iдеалу не отримуємо. 12) X = I5,7,K8 1,1 = 〈1, t, t3〉+t4, t5, t7, . . . = I5,6,7,K8 1,1,1 . Тодi X radK5 = 〈t4, t5, t7, t8, t9, t10, . . .〉 = X radK4. Нового iдеалу не отримуємо. 13) X = I5,7,K8 1,2 , XM5 = 〈 1, t4, t6, t7, . . . 〉 = XM4, X/XM4 = 〈 1, t2, t3 〉 , всi елементи є обов’язковими. Нового iдеалу не буде. 14) X = I5,7,K8 2,2 , XM5 = 〈 1, t4, t6, t7, . . . 〉 = XM4, X/XM4 = 〈 1, t2 + γt3, t5 〉 , всi елементи є обов’язковими. Нового iдеалу не буде. 15) X = I5,7,K8 3,2 , XM5 = 〈 1, t4, t6, t7, . . . 〉 = XM4, X/XM4 = 〈 1, t2 +γt3 〉 , всi елементи є обов’язковими, тому нового iдеалу не буде. 16) X = I7,K8 1 = 〈 1, t, t3, t4, t5, t6, t7, t8, t9, . . . 〉 , тодi X/XM4 = 〈 1, t, t3, t6 〉 , де всi елементи є обов’язковими, тому нового iдеалу не буде. 17) X = I7,K8 2 , XM5 = 〈 t4, t6, t7, . . . 〉 = XM4, X/XM4 = 〈 1, t2, t3, t5 〉 = V, де всi елементи є обов’язковими, тому нового iдеалу не отримуємо. I за тверджен- ням 2 I7,K8 1,2 далi нових не породжує, бо дав вже чотиривимiрний фактор. 18) X = K7, XM5 = XM4 = 〈 1, t4, t7, t8, . . . 〉 , X/XM4 = 〈 1, t3, t5, t6 〉 = V, де всi елементи є обов’язковими. Отже, нових iдеалiв не буде. 19) X = I5,K6 1 , тодi XM5 = M5, XM4 = 〈 t4, t7, t8, t9, . . . 〉 , тому X/XM4 = = 〈 1, t3, t5, t6 〉 , де t6 — не обов’язковий елемент. 19.1) W = 〈 1, t3 +γt6, t5 +βt6 〉 , множник α = 1−γ(t3 +γt6) редукує параметр γ. Параметр β не редукується. Отже, отримали однопараметричну сiм’ю iдеалiв I4,5,K6 1,1 = 〈 1, t3, t5 + βt6 〉 + + XM4. 19.2) W = 〈 1, t3 + γt5, t6 〉 +XM4, параметр γ не редукується. Отже, отримали однопараметричну сiм’ю iдеалiв I4,5,K6 2,1 = 〈 1, t3 + γt5, t6 〉 + XM4. 19.3) W = 〈 1, t3 + γt5 + βt6 〉 редукується, множник α = 1− β(t3 + γt5 + βt6) редукує параметр β, а рiзним значенням параметра γ вiдповiдають нееквiвалентнi пiдпростори. Отже, отримали однопараметричну сiм’ю iдеалiв I4,5,K6 3,1 = 〈 1, t3 + + γt5, t6 〉 + XM4. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 IДЕАЛИ ОДНОГIЛКОВИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ КРИВИХ ТИПУ W 1263 Згiдно з наведеним вище зауваженням в K3 не буде нових iдеалiв, окрiм само- го K3. Далi обчислення виконуватимемо аналогiчним чином, тому наведемо їх у ско- роченому виглядi. Знайдемо K2-iдеали. Згiдно з твердженням 2 новi iдеали можуть виникати з таких: 1) X = I4,5,K6 1,6 = 〈 1, t9 + γt10 〉 + XM4, тодi XM2 = 〈 t4, t8, t11, t12, t13 + + γt14, t17, t15, t16, t18, t19, t20, t21, t22, . . . 〉 6= XM3 = 〈 t4, t7, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, . . . 〉 , тому X/XM2 = 〈 1, t7, t9 + γt10, t13 〉 , де 1, t9 + γt10 — обов’язковi елементи. 1.1) W = 〈 1, t9 + γt10 + βt13, t7 + χt13 〉 . Легко бачити, що параметри β, χ редукуються. Отже, отримали нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,4,5,K6 1,1,6 = = 〈 1, t9 + γt10, t7 〉 + XM2. 1.2) W = 〈 1, t9 +γt10 +βt7, t13 〉 . Отже, отримали нову двопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,4,5,K6 2,1,6 = 〈 1, t9 + γt10 + βt7, t13 〉 + XM2. 1.3) W = 〈 1, t9 + γt10 + βt7 + χt13 〉 , параметр χ редукується. Отже, отримали нову двопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,4,5,K6 3,1,6 = 〈 1, t9 + γt10 + βt7 〉 + XM2. 2) X = I4,5,K6 2,6 , тодi XM2 = 〈 t4, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t18, t19, t20, t21, t22, . . . 〉 6= XM3 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, . . . 〉 , тому X/XM2 = 〈 1, t7, t10, t17 〉 , де 1, t10 — обов’язковi елементи. 2.1) W = 〈 1, t10+γt17, t7+βt17 〉 , параметри γ, β редукуються. Отже, отримали новий iдеал I2,4,5,K6 1,2,6 = 〈 1, t7, t10 〉 + XM2. 2.2) W = 〈 1, t10 + γt7, t17 〉 , параметр γ не редукується. Отже, отримали новий iдеал I2,4,5,K6 2,2,6 = 〈 1, t10 + γt7, t17 〉 + XM2. 2.3) W = 〈 1, t10 + γt7 + βt17 〉 , параметр β редукується, а γ нi. Отже, отримали нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,4,5,K6 2,2,6 = 〈 1, t10 + γt7 〉 + XM2. 3) X = I5,K6 6 = 〈 1, t6, t9 〉 , тодi XM2 = 〈 t4, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t21, t22, . . . 〉 6= XM3 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, . . . 〉 , де 1, t6, t9 — обов’язковi елементи. 3.1) W = 〈 1, t6 + γt7, t9 + βt7 〉 , параметр не редукується. Отже, отримали нову двопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,5,K6 1,6 = 〈 1, t6 + γt7, t9 + βt7 〉 + XM2. 4) X = I5,K7 2 , тодi XM3 = 〈 t4, t7, t8, t9, t10, . . . 〉 6= XM2 = 〈 t4, t9 + γt7, t8, t10, t11, t12, . . . 〉 , t9 = −γt7, тому X/XM2 = 〈 1, t5 + γt3, t6, t9 〉 , 1, t5 + γt3, t6 — обов’язковi елементи. 4.1) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt9, t6 + χt9 〉 . Легко перевiрити, що параметри χ i β редукуються, а рiзним значенням параметра γ вiдповiдають нееквiвалентнi пiд- простори. Отже, отримали однопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 1,2 = 〈 1, t5 + γt3, t6 〉 + + XM2. 4.2) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt6, t9 〉 , параметр β редукується. Отже, маємо нову сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 2,2 = 〈 1, t5 + γt3, t9 〉 + XM2. 4.3) W = 〈 1, t6, t9 〉 , отримуємо новий iдеал I2,5,K7 3,2 = 〈 1, t6, t9 〉 + XM2. 5) X = K5, тодi XM3 = M3, XM2 = M2, тому X/XM2 = 〈 1, t7, t10 〉 , де 1, t10 — обов’язковi елементи. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 1264 Р. В. СКУРАТОВСЬКИЙ 5.1) W = 〈 1, t7 + γt10 〉 + XM2, параметр γ не редукується. Отримали нову сiм’ю iдеалiв I2,5 1 = 〈 1, t7 + γt10 〉 + XM2. 6) X = I5,K7 3 , тодi XM3 = 〈 t4, t7, t8, t9, t10, . . . 〉 6= XM2 = 〈 t4, t9 + γt7, t8, t11, . . . 〉 , звiдки X/XM2 = 〈 1, t5 + γt3, t7, t10 〉 , де 1, t5 + γt3 — обов’язковi еле- менти. 6.1) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt10, t7 + χt10 〉 . Параметри β, χ редукуються. Отже, отримали нову сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 1,3 = 〈 1, t5 + γt3, t7 〉 + XM2. 6.2) W = 〈 1, t5+γt3+βt7+χt10 〉 , легко перевiрити, що параметр χ редукується. Отже, отримали нову сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 2,3 = 〈 1, t5 + γt3 + βt7 〉 + XM2. 6.3) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt7, t10 〉 , легко перевiрити, що параметр χ редукується, а рiзним значенням параметрiв γ i β вiдповiдають неiзоморфнi пiдпростори. Отже, отримано нову сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 3,3 = 〈 1, t5 + γt3 + βt7, t10 〉 + XM2. 7) X = I7,K8 2 , тодi XM2 = 〈t4, t6, t7, . . .〉 = XM3, тому X/XM2 = 〈1, t2, t3, t5〉, де всi елементи є обов’язковими. Отже, нового iдеалу не буде. 8) X = I5,K7 2 , XM3 = 〈 t4, t7, t8, t9, t10, . . . 〉 6= XM2 = 〈 t4, t9 + γt7, t8, t10, t11, t12, . . . 〉 , X/XM2 = 〈 1, t5 + γt3, t6, t9 〉 , t5 + γt3, t6 — обов’язковi елементи, t9 — вiльний елемент. 8.1) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt9, t6 + χt9 〉 , легко перевiрити, що параметри β, χ редукуються. Отже, отримали нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 1,2 = = 〈 1, t5 + γt3, t6 〉 + XM2. 9) X = I7,K8 2 = 〈1, t2〉 + M7, XM2 = 〈t4, t6, t7, . . .〉 = XM3, X/XM2 = = 〈1, t2, t3, t5〉, де всi елементи є обов’язковими. Отже, маємо єдиний iдеал I2,7,K8 1,2 = 〈1, t2, t3, t5〉+ XM2. 10) X = I5,K7 2 , тодi XM3 = 〈 t4, t7, t8, t9, t10, . . . 〉 6= XM2 = 〈 t4, t9 + γt7, t8, t10, t11, t12, . . . 〉 , тому X/XM2 = 〈 1, t5 + γt3, t6, t9 〉 , де t5 + γt3, t6 — обов’язковi елементи, a t9 — вiльний елемент. 10.1) W = 〈 1, t5 + γt3 + βt9, t6 + χt9 〉 . Легко перевiрити, що параметри β i χ редукуються при вiдповiдному виборi множникiв, а параметр γ не редукується. Отже, отримуємо нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I2,5,K7 1,2 = 〈 1, t5+γt3, t6 〉 + + XM2. Знаходимо K1-iдеали. Згiдно з твердженням 2 новi iдеали можуть породити такi: 1) X = I2,5,K7 2,3 , XM2 = XM1 = M2, тому нового iдеалу не буде. 2) X = I2,5,K7 3,3 , тодi XM2 = XM1 = M2, тому нового iдеалу не буде. 3) X = I2,5,K7 1,3 , XM2 = XM1 = M2, тому нового iдеалу не буде. 4) X = I2,5,K7 1,2 , тодi XM2 = 〈 t4, t9 + γt7, t8, t10, t11, t12, . . . 〉 = XM1. Отже, нового iдеалу не буде. 5) X = I2,5,K7 3,2 , тодi XM2 = 〈 t4, t9 + γt7, t8, t10, t11, t12, . . . 〉 = XM1. Отже, нового iдеалу не буде. 6) X = I2,5,K7 2,2 , тодi XM2 = XM1. Отже, нового iдеалу не буде. 7) X = I4,5,K6 1,6 = 〈 1, t9 + γt10 〉 + XM4, XM1 = 〈 1, t4, t8, t11, t12, t15, t16, t17 + +γt18, t19, t20, t21, t22, . . . 〉 6= 6XM2 = 〈 1, t4, t8, t11, t12, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t21, t22, . . . 〉 , X/XM1 = 〈 1, t7, t9 + γt10, t17 〉 де t7, t9 + γt10 — обов’язковi елементи, t17 — вiльний елемент. Тодi маємо пiдпростори: ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 IДЕАЛИ ОДНОГIЛКОВИХ ОСОБЛИВОСТЕЙ КРИВИХ ТИПУ W 1265 7.1) W = 〈 1, t7 + χt17, t9 + γt10 + βt17 〉 , параметри χ, β редукуються, тому одержуємо нову однопараметричну сiм’ю iдеалiв I1,4,5,K6 1,1,6 = 〈 1, t7, t9 + γt10 〉 . 8) X = I4,5,K6 2,6 = 〈 1, t10 〉 +XM4. Тодi XM1 = 〈 1, t4, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 , K1 = K0 + 〈 t29 〉 , X/XM1 = 〈 1, t7, t13, t10 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Тому нового iдеалу не отримуємо. Це всi I4,5,K6 i,6 -iдеали, їх всього два. 9) X = I5,K6 5 , тодi XM1 = 〈 t4, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t6, t7, t9 〉 , де 1, t6, t7, t9 — обов’язковi елементи. Отже, нового iдеалу не отримуємо. 10) X = I5,K6 6 , тодi XM1 = 〈 t4, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t6, t7, t9, 〉 t13 = t4t9, де 1, t6, t7, t9 — обов’язковi елементи. Отже, нового iдеалу не отримуємо. 11) X = I5,K6 4 , тодi XM1 = 〈 t4, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, тому X/XM1 = 〈 1, t6 + γt9, t7 〉 , де 1, t6 + γt9, t7 — обов’язковi елементи. Отже, нового iдеалу не отримуємо. 12) X = I5,K6 3 , тодi XM1 = 〈 t4, t7 +γt10, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, тому X/XM1 = 〈 1, t3 + γt6 + βt9, t7 〉 , де 1, t3 + γt6 + βt9, t7 — обов’язковi елементи. Отже, нового iдеалу не отримуємо. 13) X = I5,K6 1 = 〈 1, t3, t6 〉 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t7, t8, t10, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, тому X/XM1 = 〈 1, t3, t6, t13 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Тому нового iдеалу не отримуємо. 14) X = I5,K6 2 = 〈 1, t3, t9 〉 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, тому X/XM1 = 〈 1, t3, t9, t10 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Тому нового iдеалу не отримуємо. 15) X = I5,K6 3 = 〈 1, t3 〉 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, t24, t25, t26, . . . 〉 = XM2, тому X/XM1 = 〈 1, t9, t10, t13 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Тому нового iдеалу не отримуємо. 16) X = I5,7,K8 1,1 = 〈 1, t, t3 〉 + XM5, тодi XM1 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, тому X/XM1 = 〈 1, t, t3, t10 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 17) X = I5,7,K8 2,1 = 〈 1, t + γt3, t6 〉 + XM5, тодi XM1 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t+γt3, t4+γt7, t6 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 18) X = I5,7,K8 3,1 = 〈 1, t+ γt3 〉 +XM5, тодi XM1 = 〈 1, t4, t7, t8, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, звiдки X/XM1 = 〈 1, t+γt3, t4+γt7 〉 , тому всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 19) X = I5,7,8 1,2 = 〈 1, t2, t3 〉 + XM5, тодi XM1 = 〈 1, t4, t6, t7, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t2, t3, t5 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 20) X = I5,7,8 2,2 = 〈 1, t2 + γt3, t5 〉 + XM5, тодi XM1 = 〈 1, t4, t6 + γt7, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t2 + γt3, t5, t7 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 21) = I5,7,K8 3,2 = 〈 1, t2 + γt3 〉 +XM5, тодi XM1 = 〈 1, t4, t6 + γt7, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t2 + γt3, t5, t7 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9 1266 Р. В. СКУРАТОВСЬКИЙ 22) X = I5,K7 1 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t9 + γt10, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, звiдки X/XM1 = 〈 1, t5 +γt3, t9 +γt10, t7 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 23) X = I5,K7 2 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t9+γt7, t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, звiдки X/XM1 = 〈 1, t5 + γt3, t9 + γt7, t6 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 24) X = I5,K7 3 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t9+γt7, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, звiдки X/XM1 = 〈 1, t5 + γt3, t9 + γt7, t10 〉 , де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 25) X = I5,7,K8 1,1 , тодi XM1 = 〈 1, t4, t5, t7, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t, t3, t7, t10 〉 , де всi елементи є обов’яз- ковими. Нових iдеалiв немає. 26) X = I5,7,K8 2,1 , тодi XM1 = 〈 1, t4 + γt7, t5, t8, t9, t10, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t + γt3, t6 〉 + XM1, де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 27) X = I5,7,K8 3,1 , XM1 = 〈 1, t4+γt7, t5, t8, t9, t11, t12, t13, t14, t15, t16, t17, t18, t19, t20, t22, t23, . . . 〉 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t + γt3, t6, t10 〉 + XM1, де всi елементи є обов’язковими. Нових iдеалiв немає. 28) X = K8, XM1 = XM2, X/XM1 = 〈 1, t, t2, t3 〉 , де всi елементи є обов’яз- ковими. Нових iдеалiв немає. Згiдно з наведеним вище зауваженням в K0 не буде нових iдеалiв, окрiм само- го K0. Таким чином, ми переконалися, що особливiсть типу W30 має щонайбiльше двопараметричнi сiм’ї iдеалiв. Це завершує доведення теореми 1. 1. Jacobinski H. Sur les ordres commutatives over un nombre finide resedux indecomposables // Acta Math. – 1961. – 118. – P. 1 – 31. 2. Дрозд Ю. А., Ройтер А. В. Коммутативные кольца с конечным числом неразложимых целочислен- ных представлений // Изв. АН СССР. Сер. мат. – 1967. – 31. – С. 783 – 798. 3. Greuel G.-M., Knörrer H. Simple singularities in positive characteristic // Math. Z. – 1990. – 203. – S. 339 – 354. 4. Arnold V. I., Gusein-Zade S. M., Varchenko A. N. Singularities of differentiable maps. – Boston etc.: Birkhäuser, 1985. – Vol. 1. 5. Schappert A. A characterization of strict unmodal plane curve singularities // Singularities, Repr Esentati- on of Algebras and Vektor Bundles Lamberg. – Berlin etc.: Springer, 1987. – Vol. 1273. – P. 168 – 177. 6. Wall C. T. C. Classification of unimodal isolated singularities of complete intersections // Proc. Symp. Pure Math. – 1983. – 40, № 2. – P. 625 – 640. 7. Drozd Y. A., Greuel G.-M. Cohen – Macaulay module type // Compos. math. – 1993. – 89. – P. 315 – 338. 8. Drozd Y. A., Greuel G.-M. On Schappert’s characterization of strictly unimodal plane curve singularities. Singularities: The Brieskorn Anniversary Volume. – Birkhäuser, 1998. – P. 3 – 26. Одержано 02.03.09, пiсля доопрацювання — 16.06.09 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 9
id	umjimathkievua-article-3097
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	Ukrainian English
last_indexed	2026-03-24T02:36:11Z
publishDate	2009
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/c5/73c73af87b2f753cea3ac820cc82f7c5.pdf
spelling	umjimathkievua-article-30972020-03-18T19:45:12Z Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$ Ідеали одногілкових особливостей кривих типу $W$ Skuratovskii, R. V. Скуратовський, Р. В. We establish necessary and sufficient conditions for a one-branch singularity of the type $W$ of a plane algebraic curve to have at most two-parameter families of ideals. Установлены необходимые и достаточные условия того, что особенность типа $W$ плоской алгебраической кривой с одной ветвью имеет как максимум двупараметрические семейства идеалов. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3097 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1257-1266 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1257-1266 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3097/2942 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3097/2943 Copyright (c) 2009 Skuratovskii R. V.
spellingShingle	Skuratovskii, R. V. Скуратовський, Р. В. Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$
title	Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$
title_alt	Ідеали одногілкових особливостей кривих типу $W$
title_full	Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$
title_fullStr	Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$
title_full_unstemmed	Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$
title_short	Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$
title_sort	ideals of one-branch singularities of curves of the type $w$
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3097
work_keys_str_mv	AT skuratovskiirv idealsofonebranchsingularitiesofcurvesofthetypew AT skuratovsʹkijrv idealsofonebranchsingularitiesofcurvesofthetypew AT skuratovskiirv ídealiodnogílkovihosoblivostejkrivihtipuw AT skuratovsʹkijrv ídealiodnogílkovihosoblivostejkrivihtipuw

Ideals of one-branch singularities of curves of the type $W$

Репозитарії

Схожі ресурси