On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions

For almost-periodic Besicovitch functions whose spectrum has a limit point only at infinity, we establish criteria for the absolute Cesàro summability of their Fourier series of order greater than –1.

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
Hauptverfasser:	Timan, M. F., Khasanov, Yu., Тиман, М. Ф., Хасанов, Ю. Х.
Format:	Artikel
Sprache:	Russisch Englisch
Veröffentlicht:	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009
Online Zugang:	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3098
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
Завантажити файл:

Institution

Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal

_version_	1860509128217067520
author	Timan, M. F. Khasanov, Yu. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х.
author_facet	Timan, M. F. Khasanov, Yu. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х.
author_sort	Timan, M. F.
baseUrl_str	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai
collection	OJS
datestamp_date	2020-03-18T19:45:12Z
description	For almost-periodic Besicovitch functions whose spectrum has a limit point only at infinity, we establish criteria for the absolute Cesàro summability of their Fourier series of order greater than –1.
first_indexed	2026-03-24T02:36:10Z
format	Article
fulltext	UDK 517.5 M. F. Tyman (Dnepropetr. ahr. un-t), G. Xasanov (Ros.-TadΩ. slavqn. un-t, Dußanbe) OB ABSOLGTNOJ SUMMYRUEMOSTY RQDOV FUR\|E POÇTY PERYODYÇESKYX FUNKCYJ BEZYKOVYÇA For the almost periodic Besicovitch functions, the spectrum of which has a limit point only at infinity, criteria of absolute Chezarov's summability of order more than minus one of their Fourier series are established. Dlq majΩe periodyçnyx funkcij Bezykovyça, spektr qkyx ma[ hranyçnu toçku lyße v neskin- çennosti, vstanovleno oznaky absolgtnoho çezarivs\koho pidsumovuvannq porqdku bil\ßoho za minus odynycg ]x rqdiv Fur’[. Kak yzvestno, çyslovoj rqd ann= ∞∑ 0 naz¥vaetsq absolgtno summyruem¥m me- todom Çezaro porqdka α (–1 < α < ∞) yly C, α -summyruem¥m, esly σ σα α n n n − < ∞− = ∞ ∑ 1 1 , hde σα n = A A an n k k k n α α( )− − = ∑ 1 0 , n = 1, 2, … , A n n n α α α α = + + … +( )( ) ( ) ! 1 2 . Yssledovanyg voprosov absolgtnoj çezarovskoj summyruemosty ortoho- nal\n¥x rqdov y, v çastnosty, tryhonometryçeskyx rqdov Fur\e posvqweno mnoho rabot. V rabotax [1 – 5] yssledugtsq rqd¥ Fur\e po tryhonometryçeskoj systeme funkcyj, tak kak peryodyçeskye funkcyy qvlqgtsq poçty peryody- çeskymy, spektr Λ λn n{ } = ∞ 1 kotor¥x ymeet vyd λn = n, n = 0, 1, 2, … . Po tryhonometryçeskoj systeme dlq peryodyçeskoj peryoda 2π funkcyy f x L( ) ∈ 2 , ymegwej rqd Fur\e ( cos sin )a nx b nxn n n + = ∞ ∑ 0 , (1) L. Lejndlerom [3] ustanovlen¥ sledugwye kryteryy. 1. Esly 2 1 2 0 2 1 2 2 1 21 m m k k m m / / −( ) = ∞ = + ∑ ∑ +        < ∞α ρ , (2) hde ρk = a bk k 2 2 1 2 +( ) / , to rqd (1) poçty vsgdu C, α -summyruem pry – 1 < α < < 1 2 . © M. F. TYMAN, G. XASANOV, 2009 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1267 1268 M. F. TYMAN, G. XASANOV 2. Esly 2 2 0 2 1 2 2 1 21 m m k k m m / / = ∞ = + ∑ ∑ +        < ∞ρ , (3) to rqd (1) poçty vsgdu C, /1 2 -summyruem. 3. Esly m k k m m = ∞ = + ∑ ∑ +        < ∞ 0 2 1 2 2 1 21 ρ / , (4) to rqd (1) C, α -summyruem pry α > 1 2 . ∏tot rezul\tat L.GLejndlera b¥l ym ustanovlen y dlq rqdov po proyzvol\- n¥m ortonormyrovann¥m systemam funkcyj ϕ( )x{ } , zadann¥x na koneçnom ot- rezke a b,[ ] . Çastn¥j sluçaj teorem¥ L.GLejndlera, sootvetstvugwyj C,1 - summyruemosty poçty vsgdu rqda (1), b¥l ustanovlen ranee v rabote K.GTando- ryG[4]. Rezul\tat Lejndlera ustanavlyvaet dostatoçn¥e uslovyq absolgtnoj çeza- rovskoj summyruemosty rqdov Fur\e funkcyj v termynax povedenyq yx koπf- fycyentov Fur\e. L.GLejndler postroyl specyal\nug ortonormyrovannug systemu funkcyj ϕn x( ){ } , çtob¥ pokazat\, çto dlq rqdov s monotonn¥my koπffycyentamy Fur\e po πtoj systeme uslovyq (2) – (4) ne tol\ko dostatoçn¥ dlq yx C, α - summyruemosty poçty vsgdu, no y neobxodym¥. Tem sam¥m ym b¥lo ustanov- leno, çto na klasse vsex ortonormyrovann¥x system dlq rqdov Fur\e s mono- tonn¥my koπffycyentamy uslovyq (2) – (4) ne tol\ko dostatoçn¥, no y neobxo- dym¥ dlq C, α -summyruemosty rqdov Fur\e. Vopros¥ C, α -summyruemosty v obwyx konstruktyvn¥x lybo v struktur- n¥x termynax rassmotren¥ v rabotax [1, 2, 5]. M. F. Tyman [5] dokazal, çto v sluçae tryhonometryçeskoj system¥, esly f x L( ) ∈ 2 , 1 < p ≤ 2, dlq C, α -summyruemosty poçty vsgdu rqda (1) 0  ≤ α < < 1 2   dostatoçno, a v sluçae monotonnosty ee koπffycyentov Fur\e y neobxo- dymo, çtob¥ n p n Ln E f p = ∞ − +∑ < ∞ 1 1 1α / ( ) . (5) V rabote L. V. Hrepaçevskoj [1] po tryhonometryçeskoj systeme ustanovlen¥ sledugwye dostatoçn¥e uslovyq C, α -summyruemosty dlq 2π - peryodyçeskoj funkcyy f x L( ) ∈ 2 y ee rqda Fur\e (1). 1. Esly n n Ln E f p = ∞ − +∑ < ∞ 1 1 2( / ) ( )α , (6) to rqd (1) poçty vsgdu C, α -summyruem pry – 1 ≤ α < 1 2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 OB ABSOLGTNOJ SUMMYRUEMOSTY RQDOV FUR\|E POÇTY PERYODYÇESKYX …1269 2. Esly n n Ln E f p = ∞ −∑ < ∞ 1 1 ( ) , (7) to rqd (1) poçty vsgdu C, /1 2 -summyruem. 3. Esly n n Ln n E f p = ∞ − −∑ ( ) < ∞ 1 1 1 2ln ( )/ , (8) to rqd (1) poçty vsgdu C, α -summyruem pry α > 1 2 . V ocenkax (5) – (8) E fn L( ) 2 = inf max ( ) ( ) T x n n f x T x− oznaçaet nayluçßye pryblyΩenyq funkcyy f x( ) tryhonometryçeskymy polynomamy T xn ( ) po- rqdka ne v¥ße n. Yzvestno (sm., naprymer, [6]), çto dlq peryodyçeskyx funkcyj f x Lp( ) ∈ v¥polnqgtsq neravenstva E f f n n L L p p ( ) ;<< +    ω 1 1 , ω f n n E f L k k L p p ; ( ) 1 1 1 1 0+     << + = ∞ ∑ , hde ω f h f x t f xL t h Lp p ; sup ( ) ( )( ) = + − ≤ , h > 0, oznaçaet modul\ neprer¥vnosty funkcyy f x Lp( ) ∈ . Poztomu v neravenstvax (5)G– (8) velyçynu E fn Lp ( ) moΩno zamenyt\ velyçynoj ω f n Lp ; 1 1+     . Tem sa- m¥m poluçym uslovyq v termynax modulej neprer¥vnosty, zkvyvalentn¥e (6) – (8). Sootnoßenye U << V oznaçaet, çto U ≤ CV, hde C — nekotoraq posto- qnnaq. Pry α = 0, p = 2 rezul\tat L. V. Hrepaçevskoj ustanovlen ranee S. B. Steç- kyn¥m v rabote [7]. Otmetym takΩe, çto L. V. Hrepaçevskaq [1] ustanovyla neobxodymost\ uslo- vyj (6) – (8) dlq rqdov Fur\e po systeme Rademaxera v sluçae monotonnosty yx kozffycyentov. V¥ße b¥ly pryveden¥ nekotor¥e kryteryy C, α -summyruemosty tryhono- metryçeskyx rqdov Fur\e dlq razlyçn¥x znaçenyj α ( –1 < α < ∞ ) . Ostanovymsq teper\ na nekotor¥x rezul\tatax analohyçnoho xaraktera dlq rqdov Fur\e poçty peryodyçeskyx funkcyj Bezykovyça. Dlq poluçenyq so- otvetstvugwyx rezul\tatov nam ponadobqtsq sledugwye vspomohatel\n¥e utverΩdenyq. Lemma 1. Pust\ posledovatel\nost\ yzmerym¥x, ytehryruem¥x na kaΩdom koneçnom otrezke funkcyj f xn ( ){ } takova, çto: A) f x Bn ( ){ } ∈ 1 , n = 1, 2, … ; B) 0 ≤ f x1( ) ≤ f x2( ) ≤ … ≤ f xn ( ) ≤ … ; V) M f xn ( ){ } ≤ K (K — nekotoraq postoqnnaq, ne zavysqwaq ot n). Tohda suwestvuet funkcyq f x B( ) ∈ 1 takaq, çto poçty vsgdu ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1270 M. F. TYMAN, G. XASANOV lim ( ) ( ) n nf x f x →∞ = , lim ( ) ( ) n nM f x M f x →∞ { } = { } , B1 — klass poçty peryodyçeskyx funkcyj Bezykovyça, po povodu M f x( ){ } = = lim ( ) T T T T f x dx →∞ −∫ 1 2 sm. rabotu [8]. Dokazatel\stvo πtoj lemm¥ provodytsq analohyçno dokazatel\stvu rezul\- tata B. Levy dlq posledovatel\nosty yzmerym¥x y yntehryruem¥x po Lebehu funkcyj (sm. [ 9, s.G348]). Lemma 2. Esly posledovatel\nosty funkcyj ϕn x( ){ } prynadleΩat B1 , n = 1, 2, … , y poçty vsgdu ϕn x( ) ≥ 0, n = 1, 2, … , to yz uslovyq n nM x = ∞ ∑ { } < ∞ 1 ϕ ( ) (9) sleduet, çto rqd n n x = ∞∑ 1 ϕ ( ) sxodytsq poçty vsgdu. Dokazatel\stvo. Pust\ f xn ( ) = k k x = ∞∑ 1 ϕ ( ) — funkcyy f xn n( ){ } = ∞ 1 , udovletvorqgwye vsem uslovyqm lemm¥ 1. Dejstvytel\no, 1) f x Bn ( ){ } ∈ 1 , tak kak ϕn x B( ){ } ∈ 1 ; 2) poskol\ku ϕn x( ){ } ≥ 0, to uslovye B dlq f xn ( ){ } takΩe ymeet mesto; 3) yz sxodymosty rqda (9) sleduet v¥polnenye y uslovyq V. Yz lemm¥ 1 sleduet, çto poçty vsgdu lim ( ) n nf x →∞ = f x( ) . Oçevydno takΩe, çto pry lgbom T > 0 1 2 1 2T f x dx T f x dx T T n T T − − ∫ ∫≤( ) ( ) . Poskol\ku f x B( ) ∈ 1 , moΩno najty konstantu K takug, çto pry vsex T > 0 1 2T f x dx K T T − ∫ ≤( ) . Sledovatel\no, ravnomerno po T > 0 1 2T f x dx K T T n − ∫ ≤( ) . Prymenqq teper\ teoremu Levy, poluçaem utverΩdenye lemm¥ 2. Po analohyy s peryodyçeskym sluçaem dlq – 1 < α < 1 2 ukaΩem nekotor¥e pryznaky C, α -summyruemosty rqdov Fur\e poçty peryodyçeskyx funkcyj Bezykovyça f x B( ) ∈ 2 (opredelenye y svojstva takyx funkcyj moΩno najty vG[8]). Dlq poçty peryodyçeskyx funkcyj Bezykovyça, spektr kotor¥x ymeet edynstvennug predel\nug toçku v beskoneçnosty, v rabote [ 10] ustanovlen¥ pryznaky sxodymosty rqdov vyda ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 OB ABSOLGTNOJ SUMMYRUEMOSTY RQDOV FUR\|E POÇTY PERYODYÇESKYX …1271 n nA n = ∞ ∑ 1 β γ . Yspol\zuq πty uslovyq, moΩno yssledovat\ kryteryy C, α -summyruemosty rqdov Fur\e funkcyj f x B( ) ∈ 2 dlq otrycatel\n¥x znaçenyj α. Dlq poluçenyq takyx rezul\tatov yspol\zuem sledugwee vspomohatel\noe utverΩdenye, ustanovlennoe DΩ. Sonouty [11]. Lemma 3. Esly rqd n nU = ∞∑ 1 sxodytsq, to rqd n n nA U = ∞ −∑ 1 2 1( ) C, α -summyruem (0 < α < 1). Teorema 1. Pust\ funkcyq f x( ) prynadleΩyt B2 y ee spektr Λ λn{ } , n = 1, 2, … , udovletvorqet uslovyqm λ λ− = −n n , λ λn n< +1 , lim n n→∞ = ∞λ , n O n δ λ= { } , n > 0, δ > 0. Esly pry 0 < β < 2, 0 ≤ γ < 1, k > γ β βδ + −1 2/ , ρ = γ β δ + −1 2/ v¥polneno n k B n f n= ∞ −∑     < ∞ 1 1 1 2 ρ βω ; , (10) to rqd n nC = ∞∑ 1 β summyruem metodom C, −γ . Dokazatel\stvo. V rabote [10] ustanovlena ocenka m n n k B n C n f n= ∞ = ∞ + −( ) −∑ ∑<<     1 1 1 2 1 1γ β γ β γ βω/ / ; 22 . Otsgda v sylu uslovyq (10) poluçaem m nn C = ∞ ∑ < ∞ 1 γ β . Posle delenyq na çysla An γ , prynymaq vo vnymanye svojstva çysel An γ � nγ (sm., naprymer, [12]), poluçaem rqd n nC = ∞∑ 1 β , kotor¥j v sylu lemm¥ 3 abso- lgtno C, −γ -summyruem. (Zdes\ y v dal\nejßem sootnoßenye U � V ozna- çaet, çto suwestvugt postoqnn¥e C1 > 0, C2 > 0, dlq kotor¥x peremenn¥e U, V udovletvorqgt neravenstvam C U1 ≤ V ≤ C U2 . V sluçae, kohda f x B( ) ∈ 2 y β = 1, analohyçn¥j rezul\tat poluçen v rabo- te [13]. Dlq sluçaq α > 0 spravedlyvo sledugwee utverΩdenye. Teorema 2. Pust\ spektr Λ λn n{ } = ∞ 1 funkcyy f x B( ) ∈ 2 udovletvorqet uslovyqm ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1272 M. F. TYMAN, G. XASANOV λ λ− = −n n , λ λn n< +1 , lim n n→∞ = ∞λ , n = 1, 2, … . Tohda pry –1 < α < 1 2 uslovye ν ν α λ λ ω λ ν ν ν = ∞ −( ) −∑ +    ( ) < 0 1 2 2 2 2 12 1 2 / ; k k B f ∞∞ (11) vleçet C, α -summyruemost\ rqda n n nC i x = ∞ ∑ ( ) 1 exp λ . Dokazatel\stvo. Yzvestno [14], çto σ σα α α α n n n k n n k kx x nA A kC( ) ( ) exp (− = ( )− − = − −∑1 1 1 1 ii xkλ ) , hde σα n x( ) — n-e çezarovskye srednye porqdka α, α > – 1. Rassmotrym rqd n n n n n k n n kx x nA A = ∞ − = ∞ − = −∑ ∑ ∑− = ( ) 1 1 1 1 1 σ σα α α( ) ( ) αα λ−1kC i xk kexp ( ) , (12) hde Ck — koπffycyent Fur\e funkcyy f x B( ) ∈ 2 . V sylu lemm¥ 2 dlq dokazatel\stva sxodymosty poçty vsgdu rqda (12) do- statoçno ustanovyt\ sxodymost\ rqda G f M x x n n n( ; ) ( ) ( )α σ σα α= −{ } = ∞ −∑ 1 1 . (13) Na osnovanyy (12), prymenqq neravenstva Koßy – Bunqkovskoho y ravenstva Parsevalq, poluçaem G f( ; )α ≤ n n nM x x = ∞ −∑ −{ }{ } 1 1 2 1 2 σ σα α( ) ( ) / ≤ ≤ n n k n n k knA A k C = ∞ − = − −∑ ∑( ) ( )       1 1 1 1 2 2 2α α 11 2/ = = ν α α ν ν = ∞ = − − = − −∑ ∑ ∑ + ( ) ( ) 0 2 2 1 1 1 1 2 1 n n k n n k knA A kC       1 2/ . Otsgda s pomow\g neravenstva Koßy – Bunqkovskoho y s uçetom svojstv çysel An γ � nγ ymeem G f( ; )α << ν ν α ν ν = ∞ − +( ) = − = ∑ ∑ ∑ + − +0 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 / ( )n k n kk C n k 22 1 1 2 ( ) / −         α = ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 OB ABSOLGTNOJ SUMMYRUEMOSTY RQDOV FUR\|E POÇTY PERYODYÇESKYX …1273 = ν ν α ν ν ν ν ν = ∞ − +( ) = − = − = ∑ ∑ ∑ + + + 0 1 2 2 2 1 1 2 1 2 2 2 1 1 / n k n −− = −∑ ∑       − +       1 2 2 2 2 11k n nn C n kν α( ) ( )   1 2/ = = ν ν α ν ν ν ν ν = ∞ − +( ) = − = − = ∑ ∑ ∑ + + + 0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 1 1 / n k n −− = − −∑ ∑ +      − +     1 2 1 2 2 2 1 1 1k n nn C n k ν α( ) ( )     1 2/ . (14) Pust\ –1 < α < 1 2 , tohda 2α < 1 yly 2(1 – α) > 1. Sledovatel\no, k k n K = − − + ∑ − + ≤ 2 2 1 2 1 1 1 ν ν α( ) ( ) , (15) hde K — nekotoraq postoqnnaq (sm., naprymer, [15, s.G117]). Znaçyt, yz sootnoßenyq (14) pry –1 < α < 1 2 s uçetom neravenstva (15) poluçaem G f( ; )α << ν ν α ν = ∞ − +( ) = − ∑ ∑ +       0 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 1 / / n nn C = = ν ν α ν = ∞ − +( ) = = − ∑ ∑ ∑ +      0 1 2 0 2 2 1 2 22 1 / k n n k k n C   1 2/ ≤ ≤ ν ν α ν = ∞ − +( ) = + = − ∑ ∑ ∑ +   0 1 2 0 1 2 2 1 22 2 1 / k k n n k k C     1 2/ . (16) Pry yssledovanyy voprosov absolgtnoj sxodymosty rqdov Fur\e funkcyy f x B( ) ∈ 2 v sluçae, kohda pokazately Fur\e Λ λn{ } ymegt predel\nug toçku v beskoneçnosty, v rabote [10] ustanovlena ocenka n n k k C = −+ ∑        2 2 1 2 1 21 / ≤ λ λ ω λ ν ν ν 2 2 2 11 2 +    ( )− k k B f ; . (17) Prymenqq ocenku (17) y neravenstvo (16), naxodym G f( ; )α << ν ν α λ λ ω λ ν ν ν = ∞ − +( ) −∑ +    ( ) 0 1 2 2 2 2 12 1 2 / ; k k B f . (18) Takym obrazom, yz neravenstva (18) blahodarq ocenke (11) v¥tekaet sxodymost\ poçty vsgdu rqda (13). V sylu lemm¥ 2 πto vleçet sxodymost\ poçty vsgdu rqda (12) pry –1 < α < 1 2 , t.Ge. rqd n n nC i x = ∞ ∑ ( ) 1 exp λ summyruem metodom C, α , –1 < α < 1 2 . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1274 M. F. TYMAN, G. XASANOV Teper\ rassmotrym vopros o C, α -summyruemosty poçty vsgdu rqda Fur\e funkcyy f x B( ) ∈ 2 dlq znaçenyj –1 < α < 1 2 v sluçae, kohda ee pokazately Fur\e Λ λn n{ } = ∞ 1 ymegt edynstvennug predel\nug toçku v nule. Pry πtom v kaçestve xarakterystyky svojstv funkcyj yspol\zuem velyçynu W f Hk B( ; ) 2 (H → ∞) — modul\ usrednenyq porqdka k funkcyy f x B( ) ∈ 2 , kotoraq opre- delqetsq tak: W f H f xk B T H T Bp k p ( ; ) sup ( )= ≥ , hde H > 0, k N∈ , f x T dt dtT k x T x T t T t T t T t k k ( ) ( )= …− − + − + − ∫ ∫ − 2 1 2 1 1 2 kk k kT k t T t T k kdt f t dt − − −+ − − + ∫ ∫ 2 1 1 1 ( ) . Dlq otrycatel\n¥x znaçenyj α moΩno ustanavlyvat\ kryteryy C, α -summy- ruemosty rqdov Fur\e funkcyj f x B( ) ∈ 2 . A ymenno, ymeet mesto sledugwee utverΩdenye. Teorema 3. Pust\ dlq spektra Λ λn n{ } = ∞ 1 funkcyy f x B( ) ∈ 2 v¥polnq- gtsq uslovyq λ λ− = −n n , λ δ n O n= { }− , n = 1, 2, … , δ > 0. Esly v¥polneno n k Bn W f n = ∞ −∑ < ∞ 1 1 2 ρ β( ; ) , (19) hde 0 < β < 2, 0 ≤ γ < 1, k > γ β βδ + −1 2/ , ρ = γ β δ + −1 2/ , to rqd n nC = ∞∑ 1 β summyruem metodom C, −γ . Dokazatel\stvo. Pry yssledovanyy pryznakov absolgtnoj sxodymosty rqdov Fur\e funkcyy f x B( ) ∈ 2 v sluçae, kohda pokazately Fur\e Λ λn n{ } = ∞ 1 ymegt edynstvennug predel\nug toçku v nule, v rabote [16] ustanovlena ocen- ka n n n k Bn C n W f n = ∞ = ∞ + −( ) −∑ ∑<< 1 1 1 2 1 2 γ β γ β δ β/ / ( ; ) . Znaçyt, blahodarq uslovyqm (19) ymeem n nn C = ∞ ∑ < ∞ 1 γ β . ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 OB ABSOLGTNOJ SUMMYRUEMOSTY RQDOV FUR\|E POÇTY PERYODYÇESKYX …1275 Poskol\ku An γ � nγ , razdelyv poslednee sootnoßenye na çysla An γ , poluçym rqd n nC = ∞∑ 1 β , kotor¥j na osnovanyy lemm¥ 3 C, −γ -summyruem. Sledugwyj rezul\tat ustanavlyvaet nekotor¥e kryteryy C, α -summyrue- mosty dlq α > 0. Teorema 4. Pust\ dlq spektra Λ λn n{ } = ∞ 1 funkcyy f x B( ) ∈ 2 v¥polnq- gtsq uslovyq λ λ− = −n n , λ δ n O n= { }− , n = 1, 2, … , δ > 0, lim n n→∞ =λ 0 . Esly v¥polnen¥ uslovyq n k B W f = ∞ −( ) −∑ ( ) < ∞ 1 1 2 2 12 2 ν α β λ ν / ; , –1 < α < 1 2 , (20) to rqd n n nC i x = ∑ ( ) 1 ν λexp (21) C, α -summyruem poçty vsgdu dlq znaçenyj –1 < α < 1 2 . Dokazatel\stvo. Povtorqem rassuΩdenyq, provedenn¥e pry dokazatel\- stve teorem¥ 2. Poskol\ku W f Ck B n n 2 2 1 2 2 1 2 2 1 ; λ ν ν ν − = − ( ) ≥ + ∑ yly n n k B C W f = − − + ∑         ≤ ( ) 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2ν ν νλ / ; , (22) yz neravenstva (16) v sylu ocenky (22) pry –1 < α < 1 2 v¥tekaet ν ν α νν ν = ∞ − −( ) = − = ∑ ∑ +        << 0 1 2 2 2 1 22 1 / n nC 00 1 2 2 12 2 ∞ −( ) −∑ ( )ν α λ ν / ;W fk B . Takym obrazom, yz ocenky (20) sleduet sxodymost\ poçty vsgdu rqda (13). ∏to oznaçaet, çto v sylu lemm¥ 2 y rqd (12) sxodytsq poçty vsgdu. Sledovatel\no, rqd (21) qvlqetsq poçty vsgdu C, α -summyruem¥m pry –1 < α < 1 2 . Teorema 4 dokazana. 1. Hrepaçevskaq L. V. Absolgtnaq summyruemost\ ortohonal\n¥x rqdov // Mat. sb. – 1964. – 65 (107), # 3. – S. 370 – 389. 2. Hrepaçevskaq L. V. Ob absolgtnoj summyruemosty metodamy Çezaro, Ryssa y Zyhmunda // Dokl. AN SSSR. – 1964. – 155, # 3. – S. 173 – 179. ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1276 M. F. TYMAN, G. XASANOV 3. Leindler L. Uber die absolute Summierbarkeit der Orthogonalreihen // Acta Sci. Math. (Szeged). – 1961. – 22. – S. 243 – 268. 4. Tandori K. Über die orthogonalen Funktionen IX. (Absolute Summation) // Ibid. – 1960. – S. 292 – 299. 5. Tyman M. F. Ob absolgtnoj sxodymosty y summyruemosty rqdov Fur\e // Soobw. ANGHSSR. – 1961. – 26, # 6. – S. 641 – 646. 6. Tyman A. F. Teoryq pryblyΩenyq funkcyj dejstvytel\noho peremennoho. – M.: Fyzmat- hyz, 1960. 7. Steçkyn S. B. Ob absolgtnoj sxodymosty ortohonal\n¥x rqdov // Dokl. AN SSSR. – 1955. – 102, # 2. – S. 37 – 40. 8. Levytan B. M. Poçty-peryodyçeskye funkcyy. – M.: Hostexteoryzdat, 1953. 9. Kolmohorov A. N., Fomyn S. V. ∏lement¥ teoryy funkcyj y funkcyonal\noho analyza. – M.: Nauka, 1989. 10. Xasanov G. X. Ob absolgtnoj sxodymosty rqdov Fur\e poçty peryodyçeskyx v sm¥sle Be- zykovyça funkcyj // Dokl. AN Respublyky TadΩykystan. – 1996. – 39, # 9-10. – S. 42G–G47. 11. Sunouchi G. On the absolute summability of Fourier series // J. Math. Soc. Jap. – 1949. – 1, # 2. – P. 57 – 65. 12. Zyhmund A. Tryhonometryçeskye rqd¥. – M.: Myr, 1965. – T. 1. 13. Xasanov G. X. Ob absolgtnoj sxodymosty rqdov Fur\e poçty peryodyçeskyx funkcyj // Tez. dokl. konf. „Konstruktyvnaq teoryq funkcyj”. – Sankt-Peterburh, 1992. – S. 66 – 68. 14. Baron S. A. Vvedenye v teoryg summyruemosty rqdov. – Tallynn: Valhus, 1977. 15. Aleksyç H. Problem¥ sxodymosty ortohonal\n¥x rqdov. – M.: Yzd-vo ynostr. lyt., 1963. 16. Xasanov G. X. Modul\ hladkosty — apparat yssledovanyq absolgtnoj sxodymosty rqdov Fur\e poçty peryodyçeskyx funkcyj // Dyfferenc. y yntehral. uravnenyq y yx pryl. – Du- ßanbe, 1996. – S. 67 – 72. Poluçeno 12.03.09 ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
id	umjimathkievua-article-3098
institution	Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal
keywords_txt_mv	keywords
language	rus English
last_indexed	2026-03-24T02:36:10Z
publishDate	2009
publisher	Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
record_format	ojs
resource_txt_mv	umjimathkievua/de/2d87f35f214cffd6c4778f48ef0f6bde.pdf
spelling	umjimathkievua-article-30982020-03-18T19:45:12Z On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций Безиковича Timan, M. F. Khasanov, Yu. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х. For almost-periodic Besicovitch functions whose spectrum has a limit point only at infinity, we establish criteria for the absolute Cesàro summability of their Fourier series of order greater than –1. Для майже періодичних функцій Безиковича, спектр яких має граничну точку лише в нескінченності, встановлено ознаки абсолютного чезарівського підсумовування порядку більшого за мінус одиницю їх рядів Фур'є. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3098 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1267-1276 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1267-1276 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3098/2944 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3098/2945 Copyright (c) 2009 Timan M. F.; Khasanov Yu.
spellingShingle	Timan, M. F. Khasanov, Yu. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х. Тиман, М. Ф. Хасанов, Ю. Х. On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions
title	On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions
title_alt	Об абсолютной суммируемости рядов Фурье почти периодических функций Безиковича
title_full	On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions
title_fullStr	On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions
title_full_unstemmed	On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions
title_short	On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions
title_sort	on the absolute summability of fourier series of almost-periodic besicovitch functions
url	https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3098
work_keys_str_mv	AT timanmf ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicbesicovitchfunctions AT khasanovyu ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicbesicovitchfunctions AT timanmf ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicbesicovitchfunctions AT hasanovûh ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicbesicovitchfunctions AT timanmf ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicbesicovitchfunctions AT hasanovûh ontheabsolutesummabilityoffourierseriesofalmostperiodicbesicovitchfunctions AT timanmf obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcijbezikoviča AT khasanovyu obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcijbezikoviča AT timanmf obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcijbezikoviča AT hasanovûh obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcijbezikoviča AT timanmf obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcijbezikoviča AT hasanovûh obabsolûtnojsummiruemostirâdovfurʹepočtiperiodičeskihfunkcijbezikoviča

On the absolute summability of Fourier series of almost-periodic besicovitch functions

Institution

Ähnliche Einträge