On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space
We establish necessary and sufficient conditions under which a sequence $x_0 = y_0,\; x_{n+1} = Ax_n + y_{n+1},\; n ≥ 0$, is bounded for each bounded sequence $\{y_n : n ⩾ 0\} ⊂ \left\{x ∈ ⋃^{∞}_{n=1} D(A_n)|\sup_{n ⩾ 0} ∥A^nx∥ < ∞\right\}$, where $A$ is a closed operator in a complex Banach...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainisch Englisch |
| Veröffentlicht: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Zugang: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3100 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509131572510720 |
|---|---|
| author | Vyatchaninov, O. V. Gorodnii, M. F. Вятчанінов, O. В. Городній, М. Ф. |
| author_facet | Vyatchaninov, O. V. Gorodnii, M. F. Вятчанінов, O. В. Городній, М. Ф. |
| author_sort | Vyatchaninov, O. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:12Z |
| description | We establish necessary and sufficient conditions under which a sequence $x_0 = y_0,\; x_{n+1} = Ax_n + y_{n+1},\; n ≥ 0$, is bounded for each bounded sequence $\{y_n : n ⩾ 0\} ⊂ \left\{x ∈ ⋃^{∞}_{n=1} D(A_n)|\sup_{n ⩾ 0} ∥A^nx∥ < ∞\right\}$, where $A$ is a closed operator in a complex Banach space with domain of definition $D(A)$. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:14Z |
| format | Article |
| fulltext |
K O R O T K I P O V I D O M L E N N Q
UDK 517. 98
M. F. Horodnij, O. V. Vqtçaninov (Ky]v. nac. un-t im. T. Íevçenka)
PRO OBMEÛENIST| ODNI{} REKURENTNO}
POSLIDOVNOSTI U BANAXOVOMU PROSTORI
We establish necessary and sufficient conditions under which the sequence x y0 0= , xn+1 = Axn +
+ yn+1 , n ≥ 0, is bounded for every bounded sequence y nn : ≥{ }0 ⊂
⊂ x D A A xn
n n
n∈ < ∞
=
∞
≥
( ) sup
1 0
∪ . Here, A is a closed operator with the domain D A( ) in a
complex Banach space.
Ustanovlen¥ neobxodym¥e y dostatoçn¥e uslovyq, pry v¥polnenyy kotor¥x posledovatel\-
nost\ x y0 0= , xn+1 = Axn + yn+1 , n ≥ 0, ohranyçena dlq kaΩdoj ohranyçennoj posledova-
tel\nosty y nn : ≥{ }0 ⊂ x D A A xn
n n
n∈ < ∞
=
∞
≥
( ) sup
1 0
∪ . Zdes\ A — zamknut¥j operator v
kompleksnom banaxovom prostranstve s oblast\g opredelenyq D A( ) .
Nexaj B, ⋅( ) — kompleksnyj banaxiv prostir, 0 — nul\ovyj element u pros-
tori B, L( )B — banaxiv prostir usix linijnyx obmeΩenyx operatoriv, wo digt\
iz B v B. Nexaj A — zamknenyj operator, wo di[ v B, z oblastg vyznaçennq
D A( ) .
Poklademo D D An
n
∞
=
∞
= ( )
1
∩ . Qkwo y nn : ≥{ }0 ⊂ D∞
, to korektno vyzna-
çenog [ taka rekurentno zadana poslidovnist\:
x y0 0= ,
(1)
x Ax yn n n+ += +1 1 , n ≥ 0.
Poklademo
V y D y A y
n
n: : sup= ∈ = < ∞
∞
∗ ≥0
.
Dali vvaΩatymemo, wo V ≠ { }0 .
Zaznaçymo, wo qkwo operator A ma[ taku spektral\nu mnoΩynu σ, wo
σ ∈ z z∈ <{ }C 1 , Dσ — invariantnyj pidprostir A, wo vidpovida[ σ, to zvu-
Ωennq Aσ operatora A na Dσ [ linijnym obmeΩenym operatorom iz spektrom
σ [1] (hl. 7), a otΩe, D Vσ ⊂ .
Meta ci[] roboty — vkazaty neobxidni ta dostatni umovy na operator A, pry
vykonanni qkyx vykonu[t\sq taka umova.
Umova obmeΩenosti. Dlq dovil\no] obmeΩeno] za normog ⋅ poslidovnos-
© M. F. HORODNIJ, O. V. VQTÇANINOV, 2009
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9 1293
1294 M. F. HORODNIJ, O. V. VQTÇANINOV
ti y nn : ≥{ }0 iz V vyznaçena za pravylom (1) rekurentna poslidovnist\ xn :{
n ≥ }0 teΩ [ obmeΩenog za ci[g normog.
ZauvaΩymo, wo dlq vypadku A B∈L( ) analohiçne pytannq doslidΩeno, na-
pryklad, v [2].
1. DopomiΩni tverdΩennq.
Lema 1. V , ⋅( )∗ — kompleksnyj banaxiv prostir.
Dovedennq. NevaΩko pereviryty, wo V — linijna mnoΩyna i ⋅ ∗ — norma
na V. Dovedemo povnotu.
Nexaj poslidovnist\ xm{ } fundamental\na v V , ⋅( )∗ . Todi
∀ >ε 0 ∃ N ∀ ≥n N ∀ ≥m N :
x x A x xn m
p
p
n m− = − <∗ ≥
sup ( )
0
ε . (2)
Tomu poslidovnosti xm{ } ta Axm{ } fundamental\ni za normog ⋅ . Iz povno-
ty B ta zamknenosti operatora A vyplyva[, wo znajdet\sq takyj element
x D A∈ ( ) , wo x xm → , Ax Axm → pry m → ∞ za normog ⋅ .
Nexaj teper A x A xk
m
k→ , m → ∞ , pry fiksovanomu k ≥ 1. Vnasli-
dokC(2) poslidovnist\ A x mk
m
+ ≥{ }1 0: [ fundamental\nog, a otΩe, z uraxu-
vannqm zamknenosti A, x D Ak∈ +( )1
i A x A xk
m
k+ +→1 1
, m → ∞ . Takym çy-
nom, za indukci[g x D∈ ∞
.
Zdijsnggçy hranyçnyj perexid u (2) pry m → ∞ , otrymu[mo, wo x V∈ ta
x xn → , n → ∞ , za normog ⋅ ∗ .
Lemu 1 dovedeno.
Lema 2. Nexaj A — zamknenyj operator . V , ⋅( ) — povnyj prostir todi i
lyße todi, koly ⋅ ⋅ ∗∼ , tobto
∃ < ≤ ∀ ∈ ≤ ≤∗0 1 2 1 2c c x V c x x c x: . (3)
Dovedennq. Qkwo vykonu[t\sq umova (3), to, vykorystovugçy lemu 1, ne-
vaΩko perekonatys\, wo prostir V , ⋅( ) [ povnym.
Navpaky, nexaj V , ⋅( ) — povnyj prostir. Dlq koΩnoho x V∈ vykonu-
[t\sq nerivnist\ x x∗ ≥ . OtΩe, dosyt\ dovesty, wo
∃ ≥ ∀ ∈ ≤∗c x V x c x2 21 : .
Rozhlqnemo operator
�A , qkyj [ zvuΩennqm operatora A na V. Todi
�A :
V V→ ta
�A V∈ ⋅( )( )∗L , ,
�A
∗
≤ 1 . Tut i v podal\ßomu çerez
�A
∗
ta
�A budemo poznaçaty normu operatora
�A u prostorax V , ⋅( )∗ ta V , ⋅( )
vidpovidno. Dlq koΩnoho x V∈ poslidovnist\
�A xn{ } obmeΩena za normog
⋅ ∗ , a otΩe, i za normog ⋅ . Vraxovugçy, wo prostir V , ⋅( ) [ povnym, za
pryncypom rivnomirno] obmeΩenosti otrymu[mo
∃ > ∀ ≥ ≤c n A cn0 0 : �
.
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
PRO OBMEÛENIST| ODNI{} REKURENTNO} POSLIDOVNOSTI … 1295
Tomu
∀ ∈ ≤ ≤∗ ≥
x V x A x c x
n
n: sup
0
�
.
Lemu 2 dovedeno.
Naslidok. Prostir V , ⋅( ) [ povnym todi i lyße todi, koly poslidov-
nist\
�A nn , ≥{ }0 obmeΩena.
2. Osnovni rezul\taty.
Teorema 1. Pry vykonanni umovy obmeΩenosti spravdΩugt\sq taki tverd-
Ωennq:
1. Prostir V , ⋅( ) [ povnym.
2. Dlq spektral\noho radiusa rA� operatora
�A , qkyj rozhlqda[t\sq u
prostori V , ⋅( ) , vykonu[t\sq nerivnist\ rA� < 1 .
Dovedennq. 1. Dovedemo, wo pry vykonanni umovy obmeΩenosti poslidov-
nist\
�A nn : ≥{ }0 [ obmeΩenog.
Qkwo, vid suprotyvnoho, cq poslidovnist\ ne [ obmeΩenog, to isnugt\ taki
poslidovnosti k mm : ≥{ } ⊂1 N , u m Vm : ≥{ } ⊂1 , wo um = 1 dlq koΩnoho
m ≥ 1,
�A uk1
1 1> , a takoΩ
∀ ≥ > + ∗
=
−
∑m A u m uk
m i
i
m
m2
1
1
: �
.
Poklademo y u0 1= , yk k k nn1 2+ + … + + = un + 1 , n ≥ 1, y j = 0 dlq inßyx j ∈N .
Dovedemo, wo poslidovnosti y nn : ≥{ }0 vidpovida[ neobmeΩena poslidovnist\
x nn : ≥{ }0 iz (1), wo supereçyt\ umovi obmeΩenosti.
Spravdi, x A uk
k
1
1
1 1= >�
i dlq koΩnoho n ≥ 2
x A u A uk k k n
k
n
k k k n j
jn
n j j n
1 2
1
1+ + … + + −
+ + … + + −= + +� �
jj
n
=
−
∑
1
1
,
a otΩe,
x A u u nk k k n
k
n j
j
n
n
n
1 2 1
1
1
+ + … + + − ∗
=
−
≥ − >∑�
.
Tobto umova obmeΩenosti ne vykonu[t\sq.
2. Zhidno z punktom 1
�A nn : ≥{ }0 — obmeΩena poslidovnist\. Zafiksu[-
mo u V∈ i poklademo y A un
n= �
, n ≥ 0 . Poslidovnist\ y nn : ≥{ }0 obmeΩena
i ]j zhidno z (1) vidpovida[ obmeΩena poslidovnist\ xn{ = ( ) :n A un+ 1 � n ≥ }0 .
Zvidsy za pryncypom rivnomirno] obmeΩenosti vyplyva[, wo ( ) :n An+{ 1 �
n ≥ }0 — obmeΩena poslidovnist\. Tomu
�An → 0 , n → ∞ . Oskil\ky na pid-
stavi teoremy Danforda pro vidobraΩennq spektra
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
1296 M. F. HORODNIJ, O. V. VQTÇANINOV
∀ ≥ ( ) = ≤n r r AA
n
A
n
n1: � �
�
,
to rA� < 1 .
Teoremu 1 dovedeno.
Zhidno z [2], u vypadku A B∈L( ) z umovy rA < 1 vyplyva[, wo vidpovidna do
dovil\no] obmeΩeno] poslidovnosti y nn : ≥{ }0 poslidovnist\ x nn : ≥{ }0 iz
(1) [ obmeΩenog. Tomu spravdΩu[t\sq taka teorema.
Teorema 2. Umova obmeΩenosti vykonu[t\sq todi i lyße todi, koly mnoΩy-
na V [ zamknenog v B, ⋅( ) i dlq spektra σ( )�A zvuΩennq
�A operatora
A na V vykonu[t\sq vklgçennq σ( )�A ⊂ z z∈ <{ }C 1 .
ZauvaΩennq. TverdΩennq teoremy 2 [ novym i u vypadku, koly A B∈L( ) .
1. Danford N., Ívarc DΩ. T. Lynejn¥e operator¥. Obwaq teorema. – M.: Yzd-vo ynostr.
lyt., 1962. – 896 s.
2. Tomilov G. V. Asymptotyçna povedinka odni[] rekurentno] poslidovnosti v banaxovomu
prostori // Asymptotyçne intehruvannq nelinijnyx rivnqn\. – Ky]v: In-t matematyky
NANCUkra]ny, 1992. – S. 146 – 153.
OderΩano 16.07.08,
pislq doopracgvannq — 22.05.09
ISSN 1027-3190. Ukr. mat. Ωurn., 2009, t. 61, # 9
|
| id | umjimathkievua-article-3100 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:14Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/7d/e6756289ef3f1bf3483de988d6edc57d.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31002020-03-18T19:45:12Z On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space Про обмеженість однієї рекурентної послідовності у банаховому просторі Vyatchaninov, O. V. Gorodnii, M. F. Вятчанінов, O. В. Городній, М. Ф. We establish necessary and sufficient conditions under which a sequence $x_0 = y_0,\; x_{n+1} = Ax_n + y_{n+1},\; n ≥ 0$, is bounded for each bounded sequence $\{y_n : n ⩾ 0\} ⊂ \left\{x ∈ ⋃^{∞}_{n=1} D(A_n)|\sup_{n ⩾ 0} ∥A^nx∥ < ∞\right\}$, where $A$ is a closed operator in a complex Banach space with domain of definition $D(A)$. Установлены необходимые и достаточные условия, при выполнении которых последовательность $x_0 = y_0,\; x_{n+1} = Ax_n + y_{n+1},\; n ≥ 0$, ограничена для каждой ограниченной последовательности $\{y_n : n ⩾ 0\} ⊂ \left\{x ∈ ⋃^{∞}_{n=1} D(A_n)|\sup_{n ⩾ 0} ∥A^nx∥ < ∞\right\}$. Здесь $A$ — замкнутый оператор в комплексном банаховом пространстве с областью определения $D(A)$. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-09-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3100 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 9 (2009); 1293-1296 Український математичний журнал; Том 61 № 9 (2009); 1293-1296 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3100/2948 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3100/2949 Copyright (c) 2009 Vyatchaninov O. V.; Gorodnii M. F. |
| spellingShingle | Vyatchaninov, O. V. Gorodnii, M. F. Вятчанінов, O. В. Городній, М. Ф. On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| title | On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| title_alt | Про обмеженість однієї рекурентної послідовності
у банаховому просторі |
| title_full | On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| title_fullStr | On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| title_full_unstemmed | On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| title_short | On the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| title_sort | on the boundedness of one recurrent sequence in a banach space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3100 |
| work_keys_str_mv | AT vyatchaninovov ontheboundednessofonerecurrentsequenceinabanachspace AT gorodniimf ontheboundednessofonerecurrentsequenceinabanachspace AT vâtčanínovov ontheboundednessofonerecurrentsequenceinabanachspace AT gorodníjmf ontheboundednessofonerecurrentsequenceinabanachspace AT vyatchaninovov proobmeženístʹodníêírekurentnoíposlídovnostíubanahovomuprostorí AT gorodniimf proobmeženístʹodníêírekurentnoíposlídovnostíubanahovomuprostorí AT vâtčanínovov proobmeženístʹodníêírekurentnoíposlídovnostíubanahovomuprostorí AT gorodníjmf proobmeženístʹodníêírekurentnoíposlídovnostíubanahovomuprostorí |