On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary
This work is devoted to the investigation of ring $Q$-homeomorphisms. We formulate conditions for a function $Q(x)$ and the boundary of a domain under which every ring $Q$-homeomorphism admits a homeomorphic extension to the boundary. For an arbitrary ring $Q$-homeomorphism $f: D → D’$ with $Q ∈ L_1...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Російська Англійська |
| Опубліковано: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Онлайн доступ: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3104 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Завантажити файл: |  |
Репозитарії
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509135888449536 |
|---|---|
| author | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. |
| author_facet | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. |
| author_sort | Lomako, T.V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | This work is devoted to the investigation of ring $Q$-homeomorphisms. We formulate conditions for a function $Q(x)$ and the boundary of a domain under which every ring $Q$-homeomorphism admits a homeomorphic extension to the boundary. For an arbitrary ring $Q$-homeomorphism $f: D → D’$ with $Q ∈ L_1(D)$; we study the problem of the extension of inverse mappings to the boundary. It is proved that an isolated singularity is removable for ring $Q$-homeomorphisms if $Q$ has finite mean oscillation at a point. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:18Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.5
Т. В. Ломако (Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк)
О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ
КВАЗИКОНФОРМНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ НА ГРАНИЦУ
In the present paper, a class of ring Q-homeomorphisms is studied. We formulate conditions on a function
Q(x) and a boundary on a domain, under which every ring Q-homeomorphism admits a homeomorphic
extension to the boundary. Moreover, for arbitrary ring Q-homeomorphism f : D → D′ with Q ∈ L1(D),
the question about extention of inverse mappings to the boundary is studied. It is proved that an isolated
singularity is removable for ring Q-homeomorphisms provided that Q has finite mean oscillation at a point.
Роботу присвячено вивченню кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв. Сформульовано умови на функцiю Q(x) i
межу областi, при яких будь-який кiльцевий Q-гомеоморфiзм допускає гомеоморфне продовження на
межу. Крiм того, для довiльного кiльцевого Q-гомеоморфiзму f : D → D′ з Q ∈ L1(D) дослiджено
питання про продовження на межу обернених вiдображень. Показано, що iзольована особливiсть є
усувною для кiльцевих Q-гомеоморфiзмiв при умовi, що Q має скiнченне середнє коливання у точцi.
1. Введение. В последнее время интенсивно изучаются так называемые уравнения
Бельтрами с вырождением, которые имеют широкое применение в науке и тех-
нике. Следует отметить, например, работы [1, 2], в которых изучается некоторый
класс отображений, тесно связанный с решениями упомянутых выше уравнений.
Более подробно, кольцевые Q-гомеоморфизмы являются решениями уравнений ти-
па Бельтрами, поэтому их изучение с точки зрения геометрической теории функций
является важным.
Данная статья посвящена проблеме распространения кольцевых Q-гомеомор-
физмов на границу.
Кольцевые гомеоморфизмы введены В. Рязановым, У. Сребро и Э. Якубовым на
плоскости (см., например, [2, 3]). Введение указанного класса отображений связано
с техникой исследования пространственных отображений в целом, в частности
с методом модулей (см., например, [1 – 9]). Известно, что при соответствующих
условиях семейства таких отображений нормальны [4] и удовлетворяют теоремам
типа Пикара – Сохоцкого – Вейерштрасса и Лиувилля в окрестности изолированных
существенно особых точках границы [5, 10].
Основные методы, которые используются в данной статье, применялись ранее
для исследования различных вопросов, связанных с изучением Q-гомеоморфизмов
(см. [6, 7]).
Основными аспектами работы являются: 1) граничное поведение гомеоморфиз-
мов, 2) поведение обратных отображений, 3) отдельно рассмотрен случай изоли-
рованной особенности. Результаты имеют обширные приложения к уравнениям
Бельтрами [1, 2, 9, 11] и к классам Соболева (см. замечание 4.10 в [12]).
2. Предварительные сведения. Приведем основные обозначения и определе-
ния, которые будут использованы в дальнейшем. Всюду далее D — область в Rn,
n ≥ 2, Rn = Rn ∪ {∞} , B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r}, Bn = {x ∈ Rn : |x| <
1}, m(x) — мера Лебега в Rn, m(A) — мера Лебега множества A ⊂ Rn, diamA
обозначает евклидов диаметр множества A ⊂ Rn, dist (A,B) — евклидово рассто-
яние между множествами A и B в Rn, A ⊂ Rn. Пусть E,F ⊆ Rn — произвольные
множества. Обозначим через Γ(E,F,D) семейство всех кривых γ : [a, b] → Rn,
которые соединяют E и F в D, т. е. γ(a) ∈ E, γ(b) ∈ F и γ(t) ∈ D при t ∈ (a, b).
c© Т. В. ЛОМАКО, 2009
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10 1329
1330 Т. В. ЛОМАКО
Напомним, что борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для
семейства Γ кривых γ в D, если ∫
γ
ρ(x) |dx| ≥ 1
для всех γ ∈ Γ. В этом случае пишем ρ ∈ adm Γ. Модулем семейства кривых Γ
называется величина
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
D
ρn(x) dm(x).
Напомним, что топологическое пространство X связно, если его нельзя раз-
бить на два непустых открытых множества [13, с. 136]. Компактные связные про-
странства называются континуумами [13, с. 176]. Топологическое пространство
T будем называть линейно связным, если любые точки x1 и x2 можно соединить
непрерывным путем γ : [0, 1]→ T, γ(0) = x1 и γ(1) = x2.
Пусть d0 = dist(x0, ∂D) и Q : D → [0, ∞] — измеримая по Лебегу функция.
Положим
A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x− x0| < r2},
Si = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| = ri}, i = 1, 2.
Следующее понятие (см. [2]) мотивировано кольцевым определением квази-
конформности по Герингу и тесно связано с решением вырожденных уравнений
типа Бельтрами на плоскости. Говорят, что гомеоморфизм f : D → Rn является
кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M
(
f(Γ(S1, S2, A))
)
≤
∫
A
Q(x)ηn
(
|x− x0|
)
dm(x) (1)
выполнено для любого кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < d0, и для каждой
измеримой функции η : (r1, r2)→ [0, ∞] такой, что
r2∫
r1
η(r)dr ≥ 1. (2)
В работе [9] введено более общее понятие кольцевогоQ-гомеоморфизма нежели
то, что касается соотношения (1). Указанное выше определение связано с изуче-
нием поведения отображений на границе. Гомеоморфизм f : D → Rn называется
кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ D, если соотношение
M
(
f(Γ(K1, K2, D))
)
≤
∫
A∩D
Q(x)ηn
(
|x− x0|
)
dm(x) (3)
выполнено для любых двух континуумов K1, K2 из D, которые принадлежат раз-
ным компонентам дополнения в Rn кольца A = A(r1, r2, x0), 0 < r1 < r2 < ∞,
и для каждой измеримой функции η : (r1, r2) → [0, ∞] такой, что выполняется
условие (2).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ... 1331
Напомним, что область D называется локально связной в точке x0 ∈ ∂D, если
для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊆ U точки x0 такая,
что V ∩ D связно [13, с. 232]. Аналогично, область D локально линейно связна в
точке x0 ∈ ∂D, если для любой окрестности U точки x0 найдется окрестность
V ⊆ U точки x0 такая, что V ∩ D линейно связно. Следует отметить (см. [6],
следствие 2.1), что в Rn для открытых множеств понятия связности и линейной
связности совпадают.
Согласно [6] (п. 3), будем говорить, что ∂D сильнодостижима в точке x0 ∈ ∂D,
если для любой окрестности U точки x0 найдутся компакт E ⊂ D, окрестность
V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что
M
(
Γ(E,F,D)
)
≥ δ
для любого континуума F в D, пересекающего ∂U и ∂V. Граница ∂D области
D называется слабоплоской в точке x0 ∈ ∂D, если для любого числа P > 0 и
окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U такая, что
M
(
Γ(E,F,D)
)
≥ P
для любых континуумов E и F в D, пересекающих ∂U и ∂V. Граница области
D ⊂ Rn называется сильнодостижимой, или слабоплоской, если соответствующие
свойства выполнены в каждой точке границы.
Напомним, что сферическое (хордальное) расстояние между точками x и y в Rn
есть величина h(x, y) =
∣∣π(x)− π(y)
∣∣, где π — стереографическая проекция Rn на
сферу Sn
(
1
2
en+1,
1
2
)
в Rn+1:
h(x, y) =
|x− y|√
1 + |x|2
√
1 + |y|2
, x, y 6=∞,
1√
1 + |x|2
, x 6=∞, y =∞.
Хордальным диаметром множества E ⊆ Rn называется величина
h(E) = sup
x, y∈E
h(x, y).
3. О непрерывном продолжении на границу.
Лемма 1. Пусть D локально связна в x0 ∈ ∂D, D′ — компакт, а f : D → D′
— кольцевой Q-гомеоморфизм, D′ = f(D), такой, что ∂D′ сильнодостижима
хотя бы в одной точке предельного множества
C (x0, f) =
{
y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0, xk ∈ D
}
. (4)
Предположим, что найдется ε0 = ε(x0) > 0 такое, что для любого ε ∈ (0, ε0)∫
D(x0, ε)
Q(x)ψn
(
|x− x0|
)
dm(x) = o (In(ε, ε0)) (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1332 Т. В. ЛОМАКО
при ε→ 0, где D(x0, ε) = {x ∈ D : ε < |x− x0| < ε0} и ψ(t) — неотрицательная
измеримая функция на (0,∞) такая, что
0 < I(ε, ε′) =
ε′∫
ε
ψ(t)dt <∞
для всех (фиксированных) ε′ ∈ (0, ε0] и ε ∈ (0, ε′). Тогда f имеет непрерывное
продолжение в точку x0.
Доказательство. Не ограничивая общности можно считать, что ∞ /∈ D′.
Покажем, что предельное множествоE = C(x0, f) состоит из единственной точки.
Отметим, что E 6= ∅ вследствие компактностиD′. По условию леммы ∂D′ сильно-
достижима в некоторой точке y0 ∈ E. Допустим, что существует хотя бы еще одна
точка y∗ ∈ E. Пусть U = B(y0, r0), где 0 < r0 < |y0 − y∗|.
В силу локальной связности областиD в точке x0 найдется последовательность
окрестностей Vm точки x0 такая, что Dm = D ∩ Vm — области и diam(Vm) → 0
при m → ∞. Тогда найдутся точки ym и y∗m ∈ Fm = fDm, близкие к y0 и y∗
соответственно, для которых |y0 − ym| < r0 и |y0 − y∗m| > r0, которые можно
соединить непрерывными кривыми Cm в областях Fm. По построению
Cm ∩ ∂B(y0, r0) 6= ∅
вследствие связности Cm. По условию сильной достижимости найдутся компакт
C ∈ D′ и число δ > 0 такие, что
M(Γ(C, Cm, D′)) ≥ δ (6)
для больших m, так как dist (y0, Cm) → 0 при m → ∞. Выберем континуум C ′
такой, что C ⊂ C ′ и C ′ ⊂ D.
Заметим, что Γ(C, Cm, D′) ⊆ Γ(C ′, Cm, D′), поэтому
M
(
Γ(C ′, Cm, D′)
)
≥M
(
Γ(C, Cm, D′)
)
≥ δ. (7)
Множество K = f−1(C ′) является континуумом как непрерывный образ контину-
ума. Таким образом, ε0 =
1
2
dist (x0, K) > 0.
Обозначим Bε = B(x0, ε), ε ∈ (0, ε0). Для функции
ηε(t) =
ψ(t)/I(ε, ε0), t ∈ (ε, ε0),
0, t /∈ (ε, ε0),
выполняется
ε0∫
ε
ηε(t)dt =
ε0∫
ε
ψ(t)
I(ε, ε0)
dt = 1.
Обозначим A = A(ε, ε0, x0). Возьмем континуумы K1 ⊂ Bε ∩ D и K2 = K,
тогда согласно (5)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ... 1333
M(f(Γ(K1,K2, D))) ≤
∫
A∩D
Q(x)ηn(|x− x0|)dm(x) =
=
∫
D(x0, ε)
Q(x)ψn(|x− x0|)
In(ε, ε0)
dm(x)→ 0 (8)
при ε→ 0.
С другой стороны, для любого ε ∈ (0, ε0) при больших m имеет место вклю-
чение Dm ⊂ Bε, и поскольку fDm = Fm ⊂ fBε и Cm ⊂ Fm, то Cm ⊂ fBε,
откуда следует, что f−1Cm ⊂ Bε. Возьмем континуумы K1 = f−1(Cm) и K2 = K,
причем K1 ⊂ B(x0, ε)∩D, K2 ⊂ (Rn \B(x0, ε0))∩D. Тогда согласно (7) получим
M(f(Γ(K1,K2, D))) ≥ δ,
что противоречит (8). Полученное противоречие доказывает, что f имеет непре-
рывное продолжение в точку x0.
Лемма доказана.
4. Основные следствия.
Теорема 1. Пусть D локально связна в точке x0 ∈ ∂D, D′ — компакт и
f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм такой, что f(D) = D′ и ∂D′ сильно-
достижима хотя бы в одной точке предельного множества
C (x0, f) =
{
y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0, xk ∈ D
}
.
Предположим, что
qx0(r) = O
([
log
1
r
]n−1
)
при r → 0, где qx0(r) — среднее интегральное значение Q(x) над сферой {x ∈
∈ D : |x− x0| = r}. Будем считать, что Q(x) равна 0 вне D. Тогда f продолжим
в точку x0 в Rn по непрерывности.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что x0 = 0. За-
фиксируем ε0 < 1. Положим ψ(t) =
1
t log (1/t)
. Заметим, что
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)dm(x)(
|x| log
1
|x|
)n =
ε0∫
ε
∫
|x|=r
Q(x)(
|x| log
1
|x|
)n dS
dr ≤
≤ ωn−1
ε0∫
ε
dr
r log
1
r
= ωn−1 log
log
1
ε
log
1
ε0
= ωn−1I(ε, ε0),
где I(ε, ε0) :=
∫ ε0
ε
ψ(t) dt. Нужное заключение следует теперь непосредственно
из леммы 1.
С целью упрощения обозначаем в дальнейшем −
∫
A
f(x) dm(x) :=
:=
1
|A|
∫
A
f(x) dm(x), где, как обычно, |A| обозначает лебегову меру множества
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1334 Т. В. ЛОМАКО
A ⊆ Rn. Следуя работе [7], говорим, что функция ϕ : D → R имеет конечное сред-
нее колебание в точке x0 ∈ D (пишем ϕ ∈ FMO(x0)), если lim
ε→0
−
∫
B(x0, ε)
∣∣ϕ(x) −
− ϕε
∣∣ dm(x) <∞, где ϕε = −
∫
B(x0, ε)
ϕ(x) dm(x). Также говорим, что ϕ : D → R —
функция конечного среднего колебания в D (пишем ϕ ∈ FMO(D)), если ϕ имеет
конечное среднее колебание в каждой точке x0 ∈ D.
Также напомним (см. раздел 2 в [7]), что область D ⊂ Rn удовлетворяет усло-
вию удвоения меры в точке x0 ∈ D, если
m (B(x0, 2ε) ∩D) ≤ cm (B(x0, ε) ∩D)
для некоторого c > 0 и достаточно малых ε > 0.
Лемма 2. Пусть в точке x0 ∈ D
m
(
D ∩B(x0, 2r)
)
≤ γ logn−2 1
r
m
(
D ∩B(x0, r)
)
для всех r ∈ (0, r0), где γ = const . Тогда для любой неотрицательной функции
ϕ : D → R, имеющей конечное среднее колебание в точке x0,∫
D∩A(ε, ε0, x0)
ϕ(x)dm(x)(
|x− x0| log 1
|x−x0|
)n = O
(
log log
1
ε
)
при ε→ 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min{e−e, d0}, d0 = sup
x∈D
|x− x0| (см.
лемму 4.1 в [6]).
Теорема 2. Пусть область D локально связна в точке x0 ∈ ∂D и
m(D ∩B(x0, 2r)) ≤ γ logn−2 1
r
m(D ∩B(x0, r))
для всех r ∈ (0, r0), D′ — компакт, а f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм,
D′ = f(D), такой, что ∂D′ сильнодостижима хотя бы в одной точке предельного
множества
C (x0, f) =
{
y ∈ Rn : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0, xk ∈ D
}
.
Предположим, что Q(x) имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ ∂D.
Тогда f продолжим в точку x0.
Доказательство. Не ограничивая общности, можно считать, что x0 = 0. Пусть
ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min{e−e, d0}, d0 = sup
x∈D
|x− x0|. На основании леммы 2 для
функции 0 < ψ(t) =
1
t log (1/t)
имеем∫
D∩A(ε, ε0, 0)
Q(x)ψn(|x|) dm(x) = O
(
log log
1
ε
)
.
Заметим также, что
I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt = log
log
1
ε
log
1
ε0
.
Оставшаяся часть утверждения следует теперь из леммы 1.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ... 1335
5. О продолжении на границу обратных отображений.
Лемма 3. Пусть f : D → D′ — кольцевой Q-гомеоморфизм с Q ∈ L 1(D), где
D′ = f(D). Если область D локально связна в точках x1 и x2 ∈ ∂D, x1 6= x2, а
D′ имеет слабоплоскую границу, то C(x1, f) ∩ C(x2, f) = ∅.
Доказательство. ПустьEi = C(xi, f), i = 1, 2, и δ = |x1−x2|. Предположим,
что E1 ∩E2 6= ∅. Поскольку область D локально связна в точках x1 и x2, сущест-
вуют окрестности U1 и U2 точек x1 и x2 соответственно такие, что W1 = D ∩ U1
и W2 = D ∩ U2 — области и U1 ⊂ B
(
x1,
δ
3
)
и U2 ⊂ Rn \B
(
x1,
2δ
3
)
. Тогда по
неравенству треугольника dist (W1, W2) ≥ δ
3
и функция
η(t) =
3
δ
, t ∈
(
δ
3
,
2δ
3
)
,
0, t /∈
(
δ
3
,
2δ
3
)
.
Имеем
∫ 2δ/3
δ/3
η(t)dt = 1, следовательно, для любых континуумов K1 ⊂ W1 и
K2 ⊂W2
M
(
f(Γ(K1, K2, D))
)
≤
∫
A(δ/3, 2δ/3, x1)∩D
Q(x)ηn
(
|x− x1|
)
dm(x) ≤
≤ 3n
δn
∫
A(δ/3, 2δ/3, x1)∩D
Q(x)dm(x) <∞,
так как Q ∈ L 1(D).
Однако последняя оценка противоречит условию слабой плоскости. Действи-
тельно, y0 ∈ fW1 ∩ fW2 и в областях W ∗
1 = fW1 и W ∗
2 = fW2 найдется по
непрерывной кривой, пересекающей любые наперед заданные сферы ∂B(y0, r0) и
∂B(y0, r∗) с достаточно малыми радиусами r0 и r∗. Поэтому предположение, что
E1∩ E2 6= ∅, неверно.
Лемма доказана.
Из леммы 3 следует такое заключение.
Теорема 3. Пусть D локально связна во всех своих граничных точках, D —
компакт, D′ имеет слабоплоскую границу и f : D → D′ — кольцевой Q-гомеомор-
физм сQ ∈ L1(D), где f(D) = D′. Тогда обратный гомеоморфизм g = f−1 : D′ →
→ D допускает непрерывное продолжение g : D′ → D.
6. Устранение изолированной особенности. Как видно из леммы 4, для устра-
нения изолированной особенности кольцевых Q-гомеоморфизмов достаточно по-
требовать интегрируемость Q(x) с подходящим весом.
Лемма 4. Пусть f : Bn \ {0} → Rn, n ≥ 2, — кольцевой Q-гомеоморфизм в
точке x0 = 0. Предположим, что существует ε0, 0 < ε0 <
1
2
, такое, что для
любого ε ∈ (0, ε0) ∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ψn(|x|)dm(x) = o(I(ε)n) (9)
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1336 Т. В. ЛОМАКО
при ε→ 0, где ψ(t) — неотрицательная измеримая функция на (0, ∞), такая, что
0 < I(ε) =
ε0∫
ε
ψ(t)dt <∞ (10)
при всех ε ∈ (0, ε0). Тогда f имеет непрерывное продолжение на Bn, которое
является кольцевым Q-гомеоморфизмом.
Доказательство. Поскольку модуль семейства путей, проходящих через фик-
сированную точку, равен 0, достаточно показать, что f(x) имеет предел при x→ 0.
Положим
ηε(t) =
ψ(t)/I(ε), t ∈ (ε, ε0),
0, t /∈ (ε, ε0).
Заметим, что
∫ ε0
ε
ηε(t)dt = 1. Следовательно, для сфер S1 = S
(
0,
ε
2
)
и S2 =
= S(0, 2ε0)
M
(
f(Γ(S1, S2, Bn \ {0}))
)
≤
∫
ε<|x|<ε0
Q(x)ηnε
(
|x|
)
dm(x),
т. е. согласно (9) M
(
f(Γ(S1, S2, Bn \ {0}))
)
→ 0 при ε→ 0.
По лемме Геринга [14, с. 225 – 227]
M
(
f(Γ(S1, S2, Bn \ {0}))
)
≥ an(
log
bn
δ0δε
)n−1 ,
где an и bn зависят только от n, δ0 и δε — сферические (хордальные) диаметры fS2
и fS1. Таким образом, δε → 0 и fS1 стягивается в точку при ε → 0. То, что f —
гомеоморфизм в Bn, вытекает из следствия 5.2 в [7].
Лемма доказана.
В частности, выбирая в лемме 4 ψ =
1
t log(1/t)
, получаем согласно лемме 2
следующее утверждение.
Теорема 4. Пусть f : D \ {x0} → Rn, n ≥ 2, является кольцевым Q-гомео-
морфизмом в точке x0 = 0, где Q(x) имеет конечное среднее колебание в точке
x0 ∈ D либо логарифмические особенности порядка не выше n− 1. Тогда f допус-
кает кольцевое Q-гомеоморфное продолжение на D.
1. Bojarski B., Gutlyanskii V., Ryazanov V. General Beltrami equations and BMO // Ukr. Math. Bull. –
2008. – 5, № 3. – P. 305 – 326.
2. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solutions of Beltrami equations // J. Anal. Math. – 2005. –
96. – P. 117 – 150.
3. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1.
– 2005. – 30, № 1. – P. 49 – 69.
4. Севостьянов Е. А. Теория модулей, емкостей и нормальные семейства отображений, допускающих
ветвление // Укр. мат. вестн. – 2007. – 4, № 4. – C. 582 – 604.
5. Севостьянов Е. А. Теоремы Лиувилля, Пикара и Сохоцкого для кольцевых отображений // Там
же. – 2008. – 5, № 3. – C. 366 – 381.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
О РАСПРОСТРАНЕНИИ НЕКОТОРЫХ ОБОБЩЕНИЙ КВАЗИКОНФОРМНЫХ ... 1337
6. Рязанов В. И., Салимов Р. Р. Слабо плоские пространства и границы в теории отображений // Там
же. – 2007. – 4, № 2. – C. 199 – 234.
7. Игнатьев А., Рязанов В. Конечное среднее колебание в теории отображений // Там же. – 2005. –
2, № 3. – C. 395 – 417.
8. Bishop C. J., Gutlyanskii V. Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Int. J. Math.
and Math. Sci. – 2003. – 22. – P. 1397 – 1420.
9. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On convergence theory for Beltrami equations // Ukr. Math. Bull. –
2008. – 5, № 4. – P. 524 – 535.
10. Севостьянов Е. А. Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого – Вейерштрасса для
Q-отображений // Укр. мат. журн. – 2009. – 61, № 1. – C. 116 – 126.
11. Gutlyanski V., Martio O., Sugava T., Vuorinen M. On the degenerate Beltrami equation // Trans. Amer.
Math. Soc. – 2005. – 357, № 3. – P. 875 – 900.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. Anal. Math.
– 2004. – 93. – P. 215 – 236.
13. Куратовский К. Топология: В 2 т. – М.: Мир, 1969. – Т. 2. – 624 с.
14. Gehring F. W. Quasiconformal mappings // Complex Anal. and Appl. – 1976. – Vol. 2.
Получено 23.03.09,
после доработки — 22.05.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3104 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | rus English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:18Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/96/cd189ed7f8b9f4f4efa0c395032fd096.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31042020-03-18T19:45:28Z On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на границу Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. This work is devoted to the investigation of ring $Q$-homeomorphisms. We formulate conditions for a function $Q(x)$ and the boundary of a domain under which every ring $Q$-homeomorphism admits a homeomorphic extension to the boundary. For an arbitrary ring $Q$-homeomorphism $f: D → D’$ with $Q ∈ L_1(D)$; we study the problem of the extension of inverse mappings to the boundary. It is proved that an isolated singularity is removable for ring $Q$-homeomorphisms if $Q$ has finite mean oscillation at a point. Роботу присвячено вивченню кільцевих $Q$-гомєоморФізмів. Сформульовано умови на Функцію $Q(x)$ i межу області, при яких будь-який кільцевий $Q$-гомеоморфізм допускає гомеоморфне продовження на межу. Крім того, для довільного кільцевого $Q$-гомеоморфізму $f: D → D’$ з $Q ∈ L_1(D)$ досліджено питання про продовження на межу обернених відображень. Показано, що ізольована особливість є усувною для кільцевих $Q$-гомеоморфізмів при умові, що $Q$ має скінченне середнє коливання у точці. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3104 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1329-1337 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1329-1337 1027-3190 rus en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3104/2956 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3104/2957 Copyright (c) 2009 Lomako T.V. |
| spellingShingle | Lomako, T.V. Ломако, Т. В. Ломако, Т. В. On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| title | On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| title_alt | О распространении некоторых обобщений квазиконформных отображений на границу |
| title_full | On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| title_fullStr | On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| title_full_unstemmed | On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| title_short | On extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| title_sort | on extension of some generalizations of quasiconformal mappings to a boundary |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3104 |
| work_keys_str_mv | AT lomakotv onextensionofsomegeneralizationsofquasiconformalmappingstoaboundary AT lomakotv onextensionofsomegeneralizationsofquasiconformalmappingstoaboundary AT lomakotv onextensionofsomegeneralizationsofquasiconformalmappingstoaboundary AT lomakotv orasprostraneniinekotoryhobobŝenijkvazikonformnyhotobraženijnagranicu AT lomakotv orasprostraneniinekotoryhobobŝenijkvazikonformnyhotobraženijnagranicu AT lomakotv orasprostraneniinekotoryhobobŝenijkvazikonformnyhotobraženijnagranicu |