On reduction of block matrices in a Hilbert space
We study the problem of the reduction of self-adjoint block matrices $B = (B_ij)$ with given graph by a group of unitary block diagonal matrices. Under the condition that the matrices $B^2$ and $B^4$ are orthoscalar, we describe the graphs of block matrices for which this problem is a problem of *-f...
Saved in:
| Date: | 2009 |
|---|---|
| Main Authors: | , |
| Format: | Article |
| Language: | Ukrainian English |
| Published: |
Institute of Mathematics, NAS of Ukraine
2009
|
| Online Access: | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3105 |
| Tags: |
Add Tag
No Tags, Be the first to tag this record!
|
| Journal Title: | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| Download file: |  |
Institution
Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal| _version_ | 1860509137868161024 |
|---|---|
| author | Omel’chenko, P. V. Омельченко, П. В. |
| author_facet | Omel’chenko, P. V. Омельченко, П. В. |
| author_sort | Omel’chenko, P. V. |
| baseUrl_str | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/oai |
| collection | OJS |
| datestamp_date | 2020-03-18T19:45:28Z |
| description | We study the problem of the reduction of self-adjoint block matrices $B = (B_ij)$ with given graph by a group of unitary block diagonal matrices. Under the condition that the matrices $B^2$ and $B^4$ are orthoscalar, we describe the graphs of block matrices for which this problem is a problem of *-finite, *-tame, or *-wild representation type. |
| first_indexed | 2026-03-24T02:36:20Z |
| format | Article |
| fulltext |
УДК 517.98
П. В. Омельченко (Iн-т математики НАН України, Київ)
ПРО ЗВЕДЕННЯ БЛОЧНИХ МАТРИЦЬ
У ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI
We study the problem of reduction of self-adjoint block matrices B = (Bij) graph-defined by the group of
unitary block-diagonal matrices. Under the condition that the matrices B2 and B4 are orthoscalar, the graphs
of block matrices are described for which this problem is of ∗-finite, ∗-tame, or ∗-wilde representative type.
Изучается задача о приведении самосопряженных блочных матриц B = (Bij) с заданным графом,
группой унитарных блочно-диагональных матриц. При условии, что матрицы B2 и B4 ортоскалярны,
описаны графы блочных матриц, для которых эта задача ∗-конечного, ∗-ручного или ∗-дикого представ-
ленческого типа.
Вступ. Ряд класифiкацiйних задач теорiї ∗-зображень у гiльбертовому просто-
рi H = H1 ⊕ . . . ⊕ Hn зводиться до задачi зведення лiнiйного обмеженого само-
спряженого оператора B = B∗ у блочному виглядi (B = (Bij)n
i,j=1). Серед таких
задач, зокрема, опис зображень напiвлiнiйних спiввiдношень [1], графiв [2], сiмей
лiнiйних операторiв з фiксованими спектрами [3] та iн.
У данiй роботi вивчається задача зведення самоспряжених блочних матриць до
„канонiчного” вигляду за допомогою групи унiтарних блочно-дiагональних мат-
риць. Без додаткових умов на B ця задача є надзвичайно складною (∗-дикою).
З кожною самоспряженою блочною матрицею B можна пов’язати простий не-
орiєнтовний граф Γ: кiлькiсть вершин графа дорiвнює кiлькостi пiдпросторiв у
розкладi H, а ребро мiж i- та j-ю вершинами iснує тодi i тiльки тодi, коли Bij —
блок, вiдмiнний вiд нуля. По кожному зображенню графа Γ [2, 4] можна побуду-
вати блочну матрицю вiдповiдної структури, i навпаки, по кожнiй блочнiй матрицi
можна побудувати ∗-зображення вiдповiдного їй графа. Якщо розглядати операто-
ри, пов’язанi з графами q q , q q q, то задача зведення вiдповiдних блочних
матриць, як i задача опису всiх незвiдних ∗-зображень цих графiв, є ∗-дикою [5].
Зауважимо, що задача зведення класу блочних матриць, пов’язаних з графом Γ, що
мiстить один iз ∗-диких графiв, теж є ∗-дикою.
Однiєю iз додаткових умов на блочну матрицю B, пов’язану з графом Γ,
що видiляє клас блочних матриць, якi не є ∗-дикими, є умова ортоскалярностi(
PHi
B2PHi
= χiPHi
, де PHi
— ортопроектор на Hi, χi ∈ R+ для всiх i = 1, n
)
.
Задача зведення ортоскалярних блочних матриць не є ∗-дикою у випадку, коли
їй вiдповiдає граф Динкiна (An, Dn, E6, E7, E8) або розширений граф Динкiна
(D̃n, Ẽ6, Ẽ7, Ẽ8) (див. [7, 2, 6, 4]).
У данiй роботi вводяться i вивчаються h-ортоскалярнi блочнi матрицi, тобто
такi блочнi матрицi B, що для деякого h ∈ N та додатних дiйсних чисел χ
[h]
i вико-
нується рiвнiсть PHi
BhPHi
= χ
[h]
i PHi
для всiх i = 1, n (при h = 2 ця умова збi-
гається з умовою ортоскалярностi). Якщо блочнiй матрицi B вiдповiдає граф K1,n( q
2
q
3 q
1
q
n
pp p )
, то умова 2s-ортоскалярностi (s ∈ N) для B виконується тодi i тiльки
тодi, коли виконується умова 2-ортоскалярностi для B (теорема 1).
У роботi також вводяться i вивчаються [2, 4]-ортоскалярнi блочнi матрицi, тобто
такi, що одночасно задовольняють умови 2- та 4-ортоскалярностi. Має мiсце теоре-
c© П. В. ОМЕЛЬЧЕНКО, 2009
1338 ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПРО ЗВЕДЕННЯ БЛОЧНИХ МАТРИЦЬ У ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI 1339
ма (теорема 2): блочнi матрицi з зiрчастим графом Tn1,...,nk
q q p p p q q︸︷︷︸
n1
q qp p p q︸︷︷︸
nk
qpppqq
n2 pp p , якi
задовольняють умову [2, 4]-ортоскалярностi, подiляються на три класи: ∗-скiнченнi
(F ), ∗-ручнi (T ), ∗-дикi (W ) (див. другий пункт статтi i [5]) в залежностi вiд
вiдповiдного їм графа Tp,q,r (для p, q, r ≥ 2) таким чином:
(F ) s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p− 2
,s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q − 2
s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p− 1
s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q − 1
s
(T ) s ss ss s s s. . .︸ ︷︷ ︸
q − 1
, s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p
s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q
s...s
sr
(W ) мiстить s ss ss s@
@
або
s ss ss s
s
1. Постановка задачi. Нехай H — сепарабельний гiльбертiв простiр. Зафiксу-
ємо деяке n ∈ N. Припустимо, що H розкладається в ортогональну суму своїх n
пiдпросторiв:
H = H1 ⊕H2 ⊕ . . .⊕Hn. (1)
Вектором розмiрностi простору H вiдносно розкладу (1) будемо називати век-
тор
d = (d0, d1, d2, . . . , dn), d0 = dim(H), di = dim(Hi), i = 1, n.
Будь-який лiнiйний обмежений самоспряжений оператор B ∈ L(H) вiдносно
розкладу (1) можна подати у виглядi блочної матрицi
B =
B11 B12 . . . B1n
B21 B22 . . . B2n
· · · · · ·
. . . · · ·
Bn1 Bn2 . . . Bnn
, (2)
де Bij : Hj → Hi, B∗
ij = Bji для всiх i, j = 1, n.
Двi блочнi матрицi B та B̃ будемо називати блочно еквiвалентними, якщо iснує
унiтарна блочно-дiагональна матриця
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1340 П. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
U =
U1 0 . . . 0
0 U2 . . . 0
. . . . . .
. . . . . .
0 0 . . . Un
така, що UB = B̃U, тобто виконується рiвнiсть UiBij = B̃ijUj для всiх i, j = 1, n.
Блочну матрицю B будемо називати блочно незвiдною, якщо для будь-якої
блочно-дiагональної матрицi
C =
C1 0 . . . 0
0 C2 . . . 0
. . . . . .
. . . . . .
0 0 . . . Cn
iз того, що CB = BC, випливає, що C є скалярним оператором.
У данiй роботi нас буде цiкавити опис всiх блочно незвiдних блочних матриць
фiксованої структури з точнiстю до блочної еквiвалентностi.
1.1. Зв’язок iз теорiєю зображень графiв. Iз кожною самоспряженою блоч-
ною матрицею можна пов’язати простий неорiєнтовний граф G = (Ge, Gv) таким
чином. Кiлькiсть вершин |Ge| графа дорiвнює n — кiлькостi пiдпросторiв у розкладi
простору H. Вершини i та j пов’язанi ребром тодi i тiльки тодi, коли Bij 6= 0.
Iз означення графа блочної матрицi можна бачити, що за блочною матрицею
можна побудувати зображення вiдповiдного їй графа i, навпаки, за кожним зобра-
женням графа можна вiдновити блочну матрицю. Кожнiй вершинi i графа блочної
матрицi поставимо у вiдповiднiсть простiр Hi, а кожному ребру (i, j) — пару
взаємоспряжених операторiв {Bij , Bji}. Кожному морфiзму U поставимо у вiдпо-
вiднiсть множину {U1, . . . , Un}. I навпаки, якщо маємо зображення графа, тобто
множину гiльбертових просторiв {H1, . . . ,Hn}, множину лiнiйних взаємоспряже-
них вiдображень мiж ними {Bij , Bji} та множину морфiзмiв {Ui} — унiтарних
операторiв, то побудуємо простiр H, як ортогональну суму просторiв {Hi}, i блоч-
нi матрицi B = ||Bij || та U = diag{U1, . . . , Un}, i, j = 1, n.
2. Класифiкацiя задач зведення блочних матриць. Стандартною ∗-дикою
задачею є опис усiх незвiдних зображень вiльної алгебри з двома самоспряженими
твiрними з точнiстю до унiтарної еквiвалентностi. Якщо задача зведення блочної
матрицi мiстить як пiдзадачу класичну ∗-дику задачу, то вона сама є ∗-дикою (W ),
тобто навести повний її розв’язок надзвичайно важко (детальнiше див. [5]).
Серед задач зведення блочних матриць, якi не є ∗-дикими, видiлимо задачi
∗-скiнченного та ∗-ручного типiв.
Будемо говорити, що блочна матриця ∗-скiнченного типу (F ), якщо вона блочно
еквiвалентна скiнченнiй кiлькостi блочно незвiдних блочних матриць.
Будемо говорити, що блочна матриця ∗-ручного типу (T ), якщо W ∗-алгебра,
породжена всiма блочними матрицями такого вигляду, мiстить лише фактори типу I.
Наведемо повну класифiкацiю задач зведення блочних матриць в залежностi
вiд вiдповiдного графа [5] (зауважимо, що подiбнi теореми добре вiдомi в теорiї
∗-зображень графiв).
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПРО ЗВЕДЕННЯ БЛОЧНИХ МАТРИЦЬ У ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI 1341
Клас Граф блочної матрицi
(F ) s
(T ) s s s
(W ) мiстить s s або s s s
2.1. Умова ортоскалярностi для блочних матриць. Iз попереднiх мiркувань
видно, що клас блочних матриць, якi не є ∗-дикими, є дуже вузьким. Один iз
можливих шляхiв розширення цього класу полягає у додатковiй умовi на блоч-
ну матрицю. Однiєю iз можливих умов є еквiвалент умови ортоскалярностi для
зображення графiв [2].
Будемо говорити, що блочна матриця задовольняє умову ортоскалярностi з
характером χ = (χ1, χ2, . . . , χn), якщо блочна матриця B2 має вигляд
B2 =
χ1I1 ∗ . . . ∗
∗ χ2I2 . . . ∗
. . . . . .
. . . . . .
∗ ∗ . . . χnIn
, (3)
що еквiвалентно PHi
B2PHi
= χiPHi
, де χi ∈ R+, Ii — тотожний оператор у
просторi Hi, PHi — ортопроектор на простiр Hi для всiх i = 1, n.
Зауваження 1. Для графiв з петлями умова ортоскалярностi для блочних
матриць вiдрiзняється вiд умови ортоскалярностi для зображень графiв. А саме, у
вершинi графа з петлею q умови мають такий вигляд: V = V ∗, V 2 = vIv, v ∈ R,
для блочної матрицi i V = {V1, V2}, V ∗
1 = V ∗
2 , V1V2 + V2V1 = vIv, v ∈ R, для
задачi зображення графiв.
Серед блочних матриць, якi задовольняють умову ортоскалярностi, також бу-
демо видiляти ∗-скiнченнi, ∗-ручнi та ∗-дикi блочнi матрицi. Належнiсть блочної
матрицi тому чи iншому класу, взагалi кажучи, залежить вiд її характеру.
Будемо говорити, що блочна матриця, яка задовольняє умову ортоскалярностi, є
∗-дикою, якщо iснує хоча б один характер, для якого вона ∗-дикa;
∗-ручною, якщо iснує хоча б один характер, для якого вона ∗-ручнa, а для всiх
iнших характерiв або ∗-ручнa, або ∗-скiнченнa;
∗-скiнченною, якщо для кожного характеру вона ∗-скiнченна.
На пiдставi вiдомих теорем [2, 8] та зв’язку блочних матриць iз зображеннями
вiдповiдних їм графiв можна сформулювати наступне твердження.
Твердження 1. Якщо блочнiй матрицi вiдповiдає граф Динкiна (An, Dn, E6,
E7, E8), то вона є ∗-скiнченного типу, до того ж всi простори Hi скiнченнови-
мiрнi.
Якщо блочнiй матрицi вiдповiдає розширений граф Динкiна (D̃n, Ẽ6, Ẽ7, Ẽ8),
то вона є ∗-ручного типу, до того ж всi простори Hi скiнченовимiрнi.
Якщо блочнiй матрицi вiдповiдає граф, який мiстить розширений граф Динкi-
на, то розклад (1) обов’язково буде мiстити нескiнченновимiрнi простори.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1342 П. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
3. Умови h-ортоскалярностi та [h1, . . . , hl]-ортоскалярностi для блочних
матриць.
Означення 1. Блочна матриця задовольняє умову h-ортоскалярностi з h-
характером χ[h] = (χ[h]
1 , χ
[h]
2 , . . . , χ
[h]
n ), якщо блочна матриця Bh для деякого
h ∈ N має вигляд
Bh =
χ
[h]
1 I1 ∗ . . . ∗
∗ χ
[h]
2 I2 . . . ∗
. . . . . .
. . . . . .
∗ ∗ . . . χ
[h]
n In
, (4)
що еквiвалентно PHi
BhPHi
= χ
[h]
i PHi
, де χ
[h]
i ∈ R+, Ii — тотожний оператор у
просторi Hi, PHi — ортопроектор на простiр Hi для всiх i = 1, n.
Зауважимо, що умова ортоскалярностi для блочної матрицi, яку введено вище,
є умовою 2-ортоскалярностi, як надалi ми i будемо її позначати.
З теорiї графiв вiдомо [9], що ij-елемент h-го ступеня матрицi сумiжностi графа
вiдповiдає кiлькостi шляхiв довжини h iз i-ї в j-ту вершину графа. Якщо граф
блочної матрицi з умовою h-ортоскалярностi є простим (не мiстить циклiв), то
χ2s+1
k = 0, k = 1, n, s ≥ 0. У цiй роботi ми обмежимось випадком, коли граф
блочної матрицi є зiрчастим.
Найпростiшим зiрчастим графом є граф K1,n : s
2
s
3
s
1
s
n
qq q
.
Теорема 1. Якщо блочнiй матрицi, яка задовольняє умову 2-ортоскалярностi,
вiдповiдає граф K1,n, то вона є ∗-дикою тодi i тiльки тодi, коли ця блочна мат-
риця є ∗-дикою з умовою h-ортоскалярностi для будь-якого парного h = 2s, s > 1.
Доведення. Оскiльки блочнiй матрицi B вiдповiдає граф K1,n, то вона має
вигляд
0 B12 · · · B1n
B21 0 . . . 0
... · · ·
. . . · · ·
Bn1 0 . . . 0
.
Блочна матриця B2 має вигляд
B12B21 + · · ·+ B1nBn1 ∗ · · · ∗
∗ B21B12 . . . ∗
· · · · · ·
. . . · · ·
∗ ∗ . . . Bn1B1n
.
Введемо позначення X = B12B21 + . . . + B1nBn1. Тодi B2s для будь-якого s > 1
має вигляд
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПРО ЗВЕДЕННЯ БЛОЧНИХ МАТРИЦЬ У ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI 1343
Xs ∗ · · · ∗
∗ B21X
s−1B12 . . . ∗
· · · · · ·
. . . · · ·
∗ ∗ . . . Bn1X
s−1B1n
,
звiдки i випливає справедливiсть теореми.
Для h-характерiв блочної матрицi B виконуються спiввiдношення χ
[h]
1 = (χ[2]
1 )s,
χ
[h]
i = χ
[2]
i (χ[2]
1 )s−1, i = 2, n.
Теорему доведено.
Iз останньої теореми випливає наступна класифiкацiя блочних матриць з умо-
вою h-ортоскалярностi та графом K1,n :
Клас Граф блочної матрицi
(F ) s , s s , s s s , s ss s
(T ) s ss ss
(W ) мiстить s ss ss s@
@
Зауваження 2. Про доведення ∗-дикостi задачi ∗-зображення графа K1,5
див. [7].
Разом з умовою h-ортоскалярностi для блочних матриць можна розглянути
умову [h1, . . . , hl]-ортоскалярностi, l > 1.
Означення 2. Будемо говорити, що блочна матриця задовольняє умову
[h1, . . . , hl]-ортоскалярностi, якщо вона одночасно задовольняє умови h1-, . . . , hl-
ортоскалярностi.
Розглянемо умову [2, 4]-ортоскалярностi. Будемо використовувати позначен-
ня Tp, q, r, p, q, r ≥ 2, для графа
s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p− 1
s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q − 1
s...s
sr − 1
.
Лема 1. Якщо блочнiй матрицi, яка задовольняє умову [2, 4]-ортоскалярностi,
вiдповiдає граф Tp, q, 2, p, q ≥ 2, то вона є ∗-скiнченною.
Доведення. Занумеруємо вершини даного графа таким чином:
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1344 П. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
s
l
s. . . s
3
s
1
s
2
. . . s s
l − 1
s4
, l ∈ N.
Вiдповiдна блочна матриця B має вигляд
B =
0 B12 B13 B14 0 0 . . . 0 0 0
B21 0 0 0 B25 0 . . . 0 0 0
B31 0 0 0 0 B36 . . . 0 0 0
B41 0 0 0 0 0 . . . 0 0 0
· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·
0 0 0 0 0 0 . . . Bl(l−2) 0 0
.
З умови 2-ортоскалярностi отримуємо такi спiввiдношення для блокiв матри-
цi B :
B12B21 + B13B31 + B14B41 = χ
[2]
1 I1, (5)
B21B12 + B25B52 = χ
[2]
2 I2, (6)
B31B13 + B36B63 = χ
[2]
3 I3, (7)
B41B14 = χ
[2]
4 I4, (8)
B52B25 + B57B75 = χ
[2]
5 I5, (9)
B63B36 + B68B86 = χ
[2]
6 I6, (10)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B(l−1)(l−3)B(l−3)(l−1) = χ
[2]
(l−1)I(l−1), (11)
Bl(l−2)B(l−2)l = χ
[2]
l Il, (12)
а з умови 4-ортоскалярностi —
(χ[2]
1 )2 + B12B25B52B21 + B13B36B63B31 = χ
[4]
1 I1, (13)
(χ[2]
2 )2 + B21(B13B31 + B14B41)B12 + B25B57B75B52 = χ
[4]
2 I2, (14)
(χ[2]
3 )2 + B31(B12B21 + B14B41)B13 + B36B68B86B63 = χ
[4]
3 I3, (15)
χ
[2]
4 χ
[2]
1 = χ
[4]
4 I4, (16)
(χ[2]
5 )2 + B52B12B21B15 + B57B79B97B75 = χ
[4]
5 I5, (17)
(χ[2]
6 )2 + B63B31B13B36 + B68B810B108B86 = χ
[4]
6 I6, (18)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПРО ЗВЕДЕННЯ БЛОЧНИХ МАТРИЦЬ У ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI 1345
χ
[2]
(l−1)χ
[2]
(l−3) = χ
[4]
(l−1)I(l−1), (19)
χ
[2]
l χ
[2]
l−2 = χ
[4]
l Il. (20)
Пiдставляючи у рiвняння (14) рiвняння (5), (6), (9), одержуємо умови на спектр
оператора B21B12 :
(B21B12)2 −
(
2χ
[2]
2 − χ
[2]
5 + χ
[2]
1
2
)
B21B12 +
(
χ
[4]
2 + 2(χ[2]
2 )2 − χ
[2]
5
2
)
I2 = 0,
а пiдставляючи у рiвняння (15) рiвняння (5), (7), (10), отримуємо умови на спектр
оператора B31B13:
(B31B13)2 −
(
2χ
[2]
3 − χ
[2]
6 + χ
[2]
1
2
)
B31B13 +
(
χ
[4]
3 + 2(χ[2]
3 )2 − χ
[2]
6
2
)
I3 = 0.
З останнiх рiвнянь видно, що спектри операторiв B21B12 та B31B13 скла-
даються не бiльш нiж iз двох точок. Для спектрiв спряжених операторiв маємо
σ(B12B21) ⊆ {σ(B21B12), 0}, σ(B13B31) ⊆ {σ(B31B13), 0}.
Iз рiвняння (8) випливає, що σ(B41B14) = {χ[2]
4 }, σ(B14B41) ⊆ {χ[2]
4 , 0}.
Рiвнiсть (5) разом з умовами на спектри операторiв B12B21, B13B31, B14B41
дає можливiсть знайти цi оператори, розв’язавши задачу опису блочної матрицi
з графом E6: s s ss s s та умовою 2-ортоскалярностi. А згiдно з твер-
дженням (1) ця задача є ∗-скiнченного типу.
Наслiдок 1. Блочнi матрицi з графами Ẽ7, Ẽ8 та умовою [2, 4]-ортоскаляр-
ностi ∗-скiнченнi.
Лема 2. Якщо блочнiй матрицi, яка задовольняє умову [2, 4]-ортоскаляр-
ностi, вiдповiдає граф Tp, q, r, p, q, r > 2, то вона є ∗-ручною.
Доведення. Аналогiчно доведенню леми 1 розв’язання даної задачi зводиться
до розв’язання задачi з графом Ẽ6: s s sss s s та умовою 2-ортоскаляр-
ностi. Згiдно з твердженням 1 ця задача є ∗-ручного типу.
Лема 3. Якщо блочнiй матрицi, яка задовольняє умову [2, 4]-ортоскалярностi,
вiдповiдає граф
s ss ss s s s. . .︸ ︷︷ ︸
q > 1 , то вона є ∗-ручною.
Доведення. Аналогiчно доведенню леми 1 розв’язання даної задачi зводиться
до розв’язання задачi з графом D̃4:
s ss ss та умовою 2-ортоскалярностi. Згiдно
з твердженням 1 ця задача є ∗-ручного типу.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
1346 П. В. ОМЕЛЬЧЕНКО
Лема 4. Якщо граф блочної матрицi, яка задовольняє умову [2, 4]-ортоскаляр-
ностi, мiстить пiдграф
s ss ss s
s , то вона є ∗-дикою.
Доведення. Аналогiчно доведенню леми 1 розв’язання даної задачi зводиться
до розв’язання задачi з тим самим графом та умовою 2-ортоскалярностi. Як вiдомо,
ця задача є ∗-дикою.
Лема 5. Якщо граф блочної матрицi, яка задовольняє умову [2, 4]-ортоскаляр-
ностi, мiстить пiдграф
s ss ss s@
@ , то вона є ∗-дикою.
Доведення випливає з твердження 1.
На пiдставi попереднiх лем можна сформулювати наступну теорему.
Теорема 2. Блочнi матрицi з зiрчастим графом, якi задовольняють умову
[2, 4]-ортоскалярностi, подiляються на три класи в залежностi вiд вiдповiдного
їм графа (для p, q, r ≥ 2) таким чином:
Клас Граф блочної матрицi
(F ) s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p− 2
,s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q − 2
s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p− 1
s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q − 1
s
(T ) s ss ss s s s. . .︸ ︷︷ ︸
q − 1
, s s. . . s s︸ ︷︷ ︸
p
s. . . s s︸ ︷︷ ︸
q
s...s
sr
(W ) мiстить s ss ss s@
@
або
s ss ss s
s
Автор висловлює подяку науковому керiвнику В. Л. Островському та Ю. С. Са-
мойленку за постановку задачi, плiднi обговорення i слушнi зауваження.
1. Samoilenko Yu. S., Turowska L. B., Shulman V. S. Semilinear relations and their ∗-representation // Meth.
Funct. Anal. and Top. – 1996. – 2, № 1. – P. 55 – 111.
2. Кругляк С. А., Ройтер А. В. Локально скалярные представления графов в категории гильбертовых
пространств // Функцион. анализ и его прил. – 2005. – 39, вып. 2. – С. 13 – 30.
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
ПРО ЗВЕДЕННЯ БЛОЧНИХ МАТРИЦЬ У ГIЛЬБЕРТОВОМУ ПРОСТОРI 1347
3. Островський В. Л., Самойленко Ю. С. Про спектральнi теореми для сiмей лiнiйно пов’язаних са-
моспряжених операторiв iз заданими спектрами, що асоцiйованi з розширеними графами Динкiна
// Укр. мат. журн. – 2006. – 58, № 11. – C. 1556 – 1570.
4. Ройтер А. В., Кругляк С. А., Назарова Л. А. Ортоскалярные представления колчанов в категории
гильбертовых пространств. II // arXiv: 0901.2296v1[math.RT]15Jan2009.
5. Ostrovskyi V. L., Samoilenko Yu. S. Introduction to the theory of representation of finited presented
∗-algebras. I. Representations by bounded operators // Rev. Math. Math. Phys. – 1999. – 261 p.
6. Albeverio S., Ostrovskyi V. L., Samoilenko Yu. S. On functions on graphs and representations of a certain
class of ∗-algebras // J. Algebra. – 2007. – 308, № 2. – P. 567 – 582.
7. Кругляк С. А., Рабанович С. И., Самойленко Ю. С. О суммах проекторов // Функцион. анализ и
его прил. – 2002. – 36, вып. 3. – С. 20 – 35.
8. Ostrovskyi V. L. Special characters on star graphs and representations of ∗-algebras // arxiv: math.
RA/0509240. – 2005.
9. Берж К. Теория графов и ее применение. – М.: Изд-во иностр. лит., 1962. – 320 c.
Одержано 16.12.08,
пiсля доопрацювання — 10.07.09
ISSN 1027-3190. Укр. мат. журн., 2009, т. 61, № 10
|
| id | umjimathkievua-article-3105 |
| institution | Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal |
| keywords_txt_mv | keywords |
| language | Ukrainian English |
| last_indexed | 2026-03-24T02:36:20Z |
| publishDate | 2009 |
| publisher | Institute of Mathematics, NAS of Ukraine |
| record_format | ojs |
| resource_txt_mv | umjimathkievua/19/b930570a540f8a0bfeb39c24750d5c19.pdf |
| spelling | umjimathkievua-article-31052020-03-18T19:45:28Z On reduction of block matrices in a Hilbert space Про зведення блочних матриць у гільбертовому просторі Omel’chenko, P. V. Омельченко, П. В. We study the problem of the reduction of self-adjoint block matrices $B = (B_ij)$ with given graph by a group of unitary block diagonal matrices. Under the condition that the matrices $B^2$ and $B^4$ are orthoscalar, we describe the graphs of block matrices for which this problem is a problem of *-finite, *-tame, or *-wild representation type. Изучается задача о приведении самосопряженных блочных матриц $B = (B_ij)$ с заданным графом, группой унитарных блочно-диагональных матриц. При условии, что матрицы $B^2$ и $B^4$ ортоскалярны, описаны графы блочных матриц, для которых эта задача *-конечного, *-ручного или *-дикого представленческого типа. Institute of Mathematics, NAS of Ukraine 2009-10-25 Article Article application/pdf https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3105 Ukrains’kyi Matematychnyi Zhurnal; Vol. 61 No. 10 (2009); 1338-1347 Український математичний журнал; Том 61 № 10 (2009); 1338-1347 1027-3190 uk en https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3105/2958 https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3105/2959 Copyright (c) 2009 Omel’chenko P. V. |
| spellingShingle | Omel’chenko, P. V. Омельченко, П. В. On reduction of block matrices in a Hilbert space |
| title | On reduction of block matrices in a Hilbert space |
| title_alt | Про зведення блочних матриць у гільбертовому просторі |
| title_full | On reduction of block matrices in a Hilbert space |
| title_fullStr | On reduction of block matrices in a Hilbert space |
| title_full_unstemmed | On reduction of block matrices in a Hilbert space |
| title_short | On reduction of block matrices in a Hilbert space |
| title_sort | on reduction of block matrices in a hilbert space |
| url | https://umj.imath.kiev.ua/index.php/umj/article/view/3105 |
| work_keys_str_mv | AT omelchenkopv onreductionofblockmatricesinahilbertspace AT omelʹčenkopv onreductionofblockmatricesinahilbertspace AT omelchenkopv prozvedennâbločnihmatricʹugílʹbertovomuprostorí AT omelʹčenkopv prozvedennâbločnihmatricʹugílʹbertovomuprostorí |